北师大版九年级数学下册第二章练习题 01

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北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程

北师大版数学九年级下册第二章 2.5二次函数与一元二次方程一、二次函数1. 二次函数的定义二次函数是指具有如下形式的函数：y=ax2+bx+c其中，a、b、c是常数，且a eq0。

二次函数的图像呈现出抛物线的形状，开口向上或向下取决于系数a的正负。

2. 抛物线的顶点二次函数的图像以抛物线的形式出现，其中最高点或最低点被称为顶点。

对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点的横坐标和纵坐标分别为：$$x = -\\frac{b}{2a}$$$$y = f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$$3. 抛物线的对称轴对于二次函数y=ax2+bx+c，其图像的对称轴的方程为 $x = -\\frac{b}{2a}$。

对称轴是抛物线的中线，将抛物线分为两个完全对称的部分。

4. 抛物线的焦点和准线焦点和准线是与抛物线相关的两个重要概念。

在二次函数y=ax2+bx+c中，焦点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $y = -\\frac{D}{4a}$，其中D=b2−4ac是二次函数的判别式。

准线是与抛物线平行的一条直线，其纵坐标等于焦点的纵坐标减去$\\frac{1}{4a}$，即 $y = -\\frac{D}{4a} - \\frac{1}{4a}$。

5. 抛物线的开口方向二次函数中的参数a决定了抛物线的开口方向。

当a>0时，抛物线开口向上。

当a<0时，抛物线开口向下。

6. 抛物线与坐标轴的交点对于二次函数y=ax2+bx+c，抛物线与x轴的交点可以通过求解该函数的根来得到。

设抛物线与x轴的交点为(x1,0)和(x2,0)，则有以下关系成立：ax12+bx1+c=0ax22+bx2+c=0二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax2+bx+c=0其中，a、b、c是常数，且a eq0。

2. 一元二次方程的求解求解一元二次方程的一般步骤如下：(1)将方程转化为标准形式：ax2+bx+c=0(2)计算方程的判别式D=b2−4ac(3)根据判别式的值确定方程的解的情况：•当D>0时，方程有两个不相等的实数解；•当D=0时，方程有两个相等的实数解；•当D<0时，方程没有实数解；(4)根据判别式的值，使用求根公式求解方程的根：•当D>0时，方程的两个根为 $x_1 = \\frac{-b + \\sqrt{D}}{2a}$ 和$x_2 = \\frac{-b - \\sqrt{D}}{2a}$；•当D=0时，方程的唯一解为 $x = \\frac{-b}{2a}$；•当D<0时，方程没有实数解。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-6利用三角函数测高》填空专项练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》填空专项练习题（附答案）1．喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点P处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道AB为东西方向，赛道起点A位于点P的北偏西30°方向上，终点B位于点P的北偏东60°方向上，AB＝200米，则点P到赛道AB的距离约为米（结果保留整数，参考数据：≈1.732）．2．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，2小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是海里．（结果保留根号）3．如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A 与小岛C的距离是海里（结果保留根号）．4．如图，海中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A在它的北偏东60°方向上，航行12海里到达点C处，测得小岛A在它的北偏东30°方向上，那么小岛A到航线BC的距离等于海里．5．如图，城中有一高层建筑物A，一辆汽车在一条东西方向的笔直公路上由西向东行驶，在点B处测得建筑物A位于它的东北方向，此时汽车与建筑物相距2公里，继续行驶至点D处，测得建筑物A在它的北偏西60°方向，此时汽车与建筑物距离AD为公里．6．如图，已知公路l上A，B两点之间的距离为20米，点B在C的南偏西30°的方向上，A在C的南偏西60°方向上，则点C到公路l的距离为米．7．如图，上午9时，一艘船从小岛A出发，以12海里/小时的速度向正北方向航行，10时40分到达小岛B处，若从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，则小岛B处到灯塔C的距离是海里．8．如图所示，海面上有一座小岛A，一艘船在B处观测A位于西南方向20km处，该船向正西方向行驶2小时至C处，此时观测A位于南偏东60°，则船行驶的路程约为．（结果保留整数，≈1.41，≈1.73，≈2.45）9．一艘轮船以15千米时的速度向正东方向航行，到达A点时测得小岛C在点A北偏东60°方向；继续航行一小时到达B点，这时测得小岛C在点B的东北方向；再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P 的距离为海里（结果保留根号）．11．如图，海中有一个小岛A．一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上；航行12nmile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．小岛A到航线BC的距离是nmile（≈1.73，结果用四舍五入法精确到0.1）．12．如图，甲，乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°的方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则甲船每小时行驶海里．13．如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东53°方向走了400m到达B 点，然后再沿北偏西37°方向走了300m到达目的地C．此时A，C两点之间的距离为m．14．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小雅同学在南岸B处测得对岸A 处一棵柳树位于北偏东60°方向，她沿着河岸向东步行60米后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，则河面的宽度是米．15．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛60海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．16．某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走70m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为m．（参考数据：tan37°≈，tan53°≈）17．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为km．18．如图，一个机器人从A地沿着西南方向先前进了4米到达B地，观察到原点O地在它的南偏东60°的方向上，则A、O两地的距离等于米．19．如图，一艘货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B，货轮继续向北航行30分钟后到达C点，发现灯塔B在它北偏东75°方向，则此时货轮与灯塔B的距离为海里．（结果精确到0.1海里，参考数据：≈1.414，≈1.732）20．如图，某海监船以30海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A处时，测得岛屿P恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C处，此时海监船与岛屿P之间的距离（即PC的长）为海里．21．如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60°方向直线延伸，测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市北偏东30°方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处，测得小区M位于C的北偏西60°方向．当在主输气管道AC上寻找支管道连接点N，使到该小区M铺设的管道最短时，AN的长为米．22．如图，为了测量河宽CD，先在A处测得对岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直行100米到点B，在B点测得对岸C点在其北偏西45°方向，则河宽CD是米．（结果保留根号）23．如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，则B，C两地的距离千米．24．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A、C两港之间的距离为km．参考答案1．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x米，在Rt△APC中，∠APC＝30°，∴AC＝PC•tan30°＝x（米），在Rt△CBP中，∠CPB＝60°，∴BC＝CP•tan60°＝x（米），∵AB＝200米，∴AC+BC＝200，∴x+x＝200，∴x＝50≈87，∴PC＝87米，∴点P到赛道AB的距离约为87米，故答案为：87．2．解：作BD⊥AC于点D．∵∠CBA＝25°+50°＝75°，∠CAB＝（90°﹣70°）+（90°﹣50°）＝20°+40°＝60°，∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝30°，∴∠CBD＝∠CBA﹣∠ABD＝75°﹣30°＝45°．在Rt△ABD中，∠CAB＝60°，AB＝2×20＝40，BD＝AB•sin∠CAB＝40•sin60°＝40×＝20．在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，cos C＝，∴∠C＝90﹣∠CBD＝45°，则BC＝BD＝20（海里）．故答案为：20．3．解：过C作CD⊥BA于D，如图：则∠CDB＝90°，由题意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，AC＝CD，设CD＝AD＝x海里，则AC＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，∴BD＝CD＝x（海里），∵BD＝AD+AB，∴x＝x+10，解得：x＝5+5，∴x＝×（5+5）＝5+5，即AC＝（5+5）海里，故答案为：（5+5）．4．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得：BC＝12海里，∠ABC＝90°﹣60°＝30°，∠ACE＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12海里，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC•sin∠ACE＝12×＝6（海里），即小岛A到航线BC的距离是6海里，故答案为：6．5．解：如图，过点A作AC⊥BD于点C，根据题意可知，∠BAC＝∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，AB＝2公里，在Rt△ABC中，AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（公里），在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，∴AD＝2AC＝2（公里），即此时汽车与建筑物距离AD为2公里．故答案为：2．6．解：如图，过点C作CD⊥公路l于点D，则∠ADC＝90°，∠BCD＝30°，∠ACD＝60°，AB＝20米，∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝60°﹣30°＝30°，∠CAD＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴∠ACB＝∠CAD，∴BC＝AB＝20米，在Rt△BCD中，cos∠BCD＝，∴CD＝BC•cos∠BCD＝20×＝10（米），故答案为：10．7．解：连接AB幷延长，如图，由题意得：AB＝12×＝20（海里），∵从灯塔C处分别测得小岛A、B在南偏东34°、68°方向，∴∠CAB＝34°，∠ACB＝68°﹣34°＝34°，∴∠CAB＝∠ACB，∴BC＝AB＝20海里，即小岛B处到灯塔C的距离是20海里，故答案为：20．8．解：作AD⊥BC于D，则∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝AD＝AB＝10，CD＝AD＝10，∴BC＝BD+CD＝10+10≈39（km）；故答案为：39km．9．解：如图，由题意得，AB＝15千米，∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，∵∠EAC＝60°，∠FBC＝45°，∴∠CAD＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣45°＝45°，设CD＝x千米，则AD＝（x+15）千米，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，∴AD＝CD，即15+x＝x，解得x＝（千米），即CD＝BD＝千米，需要的时间为：÷15＝（时），答：再继续航行小时，轮船刚好到达小岛C的正南方向．10．解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．11．解：过点A作AE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠BAE＝60°，∠CAE＝30°，∴∠ABC＝30°，∠ACE＝60°，∴∠BAC＝∠ACE﹣∠ABC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴AC＝BC＝12nmile，在Rt△ACE中，sin∠ACE＝，∴AE＝AC•sin∠ACE＝6≈10.4（nmile），故小岛A到航线BC的距离是10.4nmile，故答案为10.4．12．解：设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，如图，作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，根据题意可知：∠BAD＝30°，∠C＝15°，∴∠BED＝30°，∴AD＝DE＝x，CE＝BE＝AB＝2x，∴AD+DE+CE＝60，即x+x+2x＝60，解得x＝15（﹣1）（海里）．答：甲船每小时行驶15（﹣1）海里．故答案为：15（﹣1）．13．解：如图，由题意得：AB＝400m，BC＝300m，∠CBD＝37°，∠BAF＝53°，AF∥DE，∴∠ABE＝∠BAF＝53°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBD﹣∠ABE＝180°﹣37°﹣53°＝90°，∴AC＝＝＝500（m），即A，C两点之间的距离为500m，故答案为：500．14．解：如图，过A作AD⊥BC于D，由题意可知：BC＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60（米）．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．即这条河的宽度为30米，故答案为：30．15．解：如图所示：设该船行驶的速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，由题意得：AB＝60海里，BC＝3x海里，在直角三角形ABQ中，∠BAQ＝60°，∴∠B＝90°﹣60°＝30°，∴AQ＝AB＝30，BQ＝AQ＝30，在直角三角形AQC中，∠CAQ＝45°，∴CQ＝AQ＝30，∴BC＝30+30＝3x，解得：x＝10+10（海里/时）．即该船行驶的速度为（10+10）海里/时；故答案为：10+10．16．解：如图，过C作CE⊥BA于E．设EC＝xm，BE＝ym，在Rt△ECB中，tan53°＝≈，即≈①，在Rt△AEC中，tan37°＝≈，即≈②，由①②得：x＝120，y＝90，∴EC＝120m，BE＝90m，∴AE＝70+90＝160（m），∴AC＝＝＝200（m），故答案为：200．17．解：如图所示，过点A作AD⊥OB于点D，由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，∴∠DAB＝45°，在Rt△OAD中，AD＝OA sin∠AOD＝4×sin30°＝4×＝2（km），OD＝OA cos∠AOD＝4×cos30°＝4×＝2（km），在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，∴OB＝OD+BD＝2+2（km），故答案为：（2+2）．18．解：如图，过点B作BC⊥OA于C，在Rt△ABC中，AB＝4米，∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝4（米）．在Rt△OBC中，∠OBC＝90°﹣60°＝30°，∴OC＝BC＝（米），∴AO＝AC+CO＝（4+）米，故答案为：（4+）．19．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA＝∠CDB＝90°，∵货轮以40海里/小时的速度在海面上航行，向北航行30分钟后到达C点，∴AC＝40×＝20（海里），∵∠A＝45°，∠BCE＝75°，∴∠B＝∠BCE﹣∠A＝30°，∵CD＝AC sin45°＝20×＝10（海里），∴BC＝2CD＝20≈28.3（海里），即此时货轮与灯塔B的距离约为28.3海里，故答案为：28.3．20．解：在Rt△P AB中，∠APB＝30°，∴PB＝2AB，由题意得BC＝2AB，∴PB＝BC，∴∠C＝∠CPB，∵∠ABP＝∠C+∠CPB＝60°，∴∠C＝30°，∴PC＝2P A，∵P A＝AB•tan60°，AB＝30×1＝30（海里），∴PC＝2×30×＝60（海里），故答案为：60．21．解：如图，过C作东西方向线的平行线交过A的南北方向线AE于B，过M作MN⊥AC交于N点，则MN最短，∵∠EAC＝60°，∠EAM＝30°，∴∠CAM＝30°，∴∠AMN＝60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM＝60°，∴∠MCB＝30°，∵∠EAC＝60°，∴∠CAD＝30°，∴∠BCA＝30°，∴∠MCA＝∠MCB+∠BCA＝60°，∴∠AMC＝90°，∠MAC＝30°，∴MC＝AC＝1000，∠CMN＝30°，∴NC＝MC＝500，∵AC＝2000米，∴AN＝AC﹣NC＝2000﹣500＝1500（米），即该小区M铺设的管道最短时，AN的长为1500米，故答案为：1500．22．解：设CD＝x米，由题意得：CD⊥AB，∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴AD＝CD＝x米，BD＝CD＝x米，∵AD+BD＝AB＝100米，∴x+x＝100，解得：x＝150﹣50，即河宽CD是（150﹣50）米，故答案为：（150﹣50）．23．解：过B作BD⊥AC于点D．在Rt△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝4，sin∠BAD＝，∴BD＝AB•sin∠BAD＝4×＝2（千米），在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，∴∠C＝90°﹣∠CBD＝90°﹣45°＝45°，∴∠CBD＝∠C，∴CD＝BD＝2千米，∴BC2＝BD2+CD2＝（2）2+（2）2＝24，∴BC＝2（千米）．答：B，C两地的距离是2千米，故答案为：2．24．解：如图，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，则CF∥AD∥BG，∠AEB＝∠CEB＝90°，∴∠ACF＝∠CAD＝20°，∠BCF＝∠CBG＝40°，∴∠ACB＝20°+40°＝60°，由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，AB＝30km，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB＝30km，∴AE＝BE＝AB＝15（km），在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，tan∠ACB＝，∴CE＝＝＝5（km），∴AC＝AE+CE＝（15+5）km，∴A，C两港之间的距离为（15+5）km，故答案为：（15+5）．。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1-4解直角三角形》同步练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《1.4解直角三角形》同步练习题（附答案）一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．2．在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A＝，tan C＝，则△ABC是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．不能确定3．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，3）与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么cosα的值是（）A．3B．C．D．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．25．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．阅读理解：为计算tan15°三角函数值，我们可以构建Rt△ACB（如图），使得∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，可得到∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，请你计算tan22.5°的值为（）A．+1B．﹣1C．D．8．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D．若BD＝9，DC＝5，cos B＝，E为边AC的中点，则cos∠ADE的值为（）A．B．C．D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则tan∠BDE的值等于（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝8，AB＝4，则BC的长是（）A．B．C．6D．8二．填空题11．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A，若AC＝4，cos A＝，则BD的长度为．12．已知等腰三角形两条边的长分别是4，6，底角为α，则cosα＝．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为．14．如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当n＝2时，则tanα＝；当tanα的值最大时，n的值为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点E在AC上，∠ABE＝45°，tan∠CBE＝，若AD＝BC，AC＝2，则线段BC的长是．三．解答题16．根据下列条件解直角三角形：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9．17．如图，在平面直角坐标系中，OB＝4，sin∠AOB＝，点A的坐标为（，0）．（1）求点B的坐标；（2）求sin∠OAB的值．18．如图，点C在线段AB上，点D，E在直线AB的同侧，∠A＝∠DCE＝∠CBE＝90°，∠ADC＝∠ABD，AC＝3，BC＝，求tan∠CDB的值．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，过B作BE⊥CD，交CD的延长线于点E，AC＝30，sin B＝，求：（1）线段CD的长．（2）cos∠BDE的值．20．如图（1），在Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，以下是某同学推理证明的过程：证明：∵sin A＝，sin B＝∴c＝，c＝∴根据你掌握的三角函数知识，请在图（2）中的锐角△ABC中，求证：．参考答案一．选择题1．解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∴sin A＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝＝＝．故选：A．2．解：∵sin A＝，∴∠A＝60°，∵tan C＝，∴∠C＝60°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°．∴△ABC是等边三角形．故选：C．3．解：如图，过P点作P A⊥x轴于A，则∠POA＝α，∵点P的坐标为（1，3），∴OA＝1，P A＝3，∴tan∠POA＝＝＝3，即tanα＝3．故选：D．4．解：∵∠C＝90°，sin A＝＝，BC＝，∴AB＝BC＝×＝2，∴AC＝＝＝＝．故选：C．5．解：如图：在Rt△ABC中，AC＝＝．故选：D．6．解：如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．7．解：如图：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，∴∠BAD＝∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝AC＝，∴CD＝BC+BD＝1+，在Rt△ADC中，tan22.5°＝＝＝﹣1，故选：B．8．解：∵AD⊥BC，BD＝9，cos B＝，∴AB＝＝15，AD＝＝12，∵DC＝5，∴AC＝＝13，∵E为边AC的中点，∴ED＝，∴∠EDA＝∠DAE，∴cos∠EDA＝cos∠DAE＝，故选：D．9．解：连接AD，∵△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D为BC中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6，∴AD＝，∴tan∠BAD＝．∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠BDE+∠ADE＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴tan∠BDE＝tan∠BAD＝，故选：C．10．解：如图，过点C作CE⊥BA交BA的延长线于E．∵∠BAC＝120°，∴∠CAE＝180°﹣120°＝60°，∴AE＝AC•cos60°＝4，EC＝AC•sin60°＝4，∵AB＝4，∴BE＝AB+AE＝8，∴BC＝＝＝4，故选：B．二．填空题11．解：∵∠C＝90°，AC＝4，cos A＝，∴AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵∠DBC＝∠A．∴cos∠DBC＝cos∠A＝＝，∴BD＝3×＝，故答案为：．12．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为6时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝4，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝3，在Rt△ABD中，cos B＝＝，当等腰三角形的腰长为6，底边长为4时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC＝6，AD⊥BC，∴BD＝DC＝BC＝2，在Rt△ABD中，cos B＝＝＝，综上所述：cosα＝或，故答案为：或．13．解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，故答案为：2．14．解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BG于点N，如图所示：则∠AMC＝90°，∠ANB＝90°，∵直线y＝﹣2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∠CGB＝90°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∵∠AMC＝∠CGB＝90°，∴△AMC∽△CGB，∴，设BG＝m，∵点A坐标为（4，3），点C坐标为（0，n），∴AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∴＝，当n＝2时，可得，解得m＝1，∴GB＝1，BN＝3，∴tanα＝＝；∵tanα＝，当BN最小，即BG最大时，tanα最大，∵＝，∴m＝﹣（n﹣3）（n+2）＝﹣（n﹣）2+，∵﹣＜0，∴当n＝时，m取得最大值，即tanα最大，故答案为：，．15．解：如图，过点A作AF⊥BE于点F，设AD与BF交于点G，∵∠ABE＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF＝BF，∵∠GDB＝∠AFG＝90°，∠BGD＝∠AGE，∴∠GBD＝∠F AG，∴tan∠GBD＝tan∠F AG，∴＝＝，设DG＝x，则BD＝2x，∴BG＝＝x，设FG＝a，则AF＝2a，∴BF＝AF＝2a，AG＝＝a，∴BG＝BF﹣FG＝a，∴a＝x，∴AD＝AG+DG＝a+x＝6x，∵DC＝BC﹣BD＝AD﹣BD＝a+x﹣2x＝a﹣x＝4x，在Rt△ADC中，根据勾股定理得AD2+DC2＝AC2，∴（6x）2+（4x）2＝（2）2，∴x＝1（负值舍去），∴BC＝AD＝6x＝6．故答案为：6．三．解答题16．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴b＝c＝4，∴a＝b＝12，∴∠B＝30°，b＝4，a＝12；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝9，∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°﹣∠A＝60°，c＝2a＝6，∴∠A＝30°，∠B＝60°，c＝6．17．解：（1）过点B作BC⊥OA于点C，在Rt△BOC中，OB＝4，sin∠AOB＝，∴BC＝OB•sin∠AOB＝4×＝3，∴，∴点B的坐标为（，3）；（2）∵点A的坐标为（，0），∴OA＝，∴AC＝OA﹣OC＝＝，∵∠ACB＝90°，∴，∴，∴sin∠OAB的值为．18．解：如图，设CE交BD于G．∵∠A＝∠A＝90°，∠ADC＝∠ABD，∴△ADC∽△ABD，∴，，解得AD＝5，∴DC＝＝，DB＝＝，∵∠A＝∠ECD＝∠CBE＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ECB，设∠DBA＝∠CDA＝α，则∠ECB＝α，∴∠GCB＝∠GBC＝α，∴CG＝GB，设CG＝GB＝x，∴DG＝﹣x，∴（）2+x2＝（﹣x）2，解得x＝，∴tan∠CDB＝＝．19．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝30，sin B＝＝，∴AB＝50，∵D为直角三角形ABC斜边上的中点，∴CD＝AB＝25；（2）∵AB＝50，D为AB的中点，∴AD＝BD＝25，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，由勾股定理得：BC＝＝＝40，由勾股定理得：BE2＝BD2﹣DE2＝BC2﹣CE2，即252﹣DE2＝402﹣（25+DE）2，解得：DE＝7，∴cos∠BDE＝＝．20．解：过C点作CD⊥AB于D，过B点作BE⊥AC于E，∴sin A＝，sin B＝，∴CD＝b sin∠A＝a sin B，∴，同理，∴．。

北师大版初三数学9年级下册第1章 1.6 利用三角函数测高同步练习题(含答案)

北师大版九年级数学下册《1.6利用三角函数测高》同步练习题（附答案）1．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51C．50+1D．1012．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A 处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（）A．100m B．50m C．50m D．m3．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B 处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．40海里C．80海里D．40海里4．如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60°，又从A点测得D点的俯角β为30°，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为（）A．20米B．米C．米D．米5．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C 地，此时王英同学离A地（）A．m B．100m C．150m D．m6．如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（）A．82米B．163米C．52米D．30米7．如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为 m（结果保留根号）．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米．9．如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为 m（结果不作近似计算）．10．小兰想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为 m．（小兰身高忽略不计，取）11．某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60°，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30°，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米．12．如图，建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，山坡上E点处有一凉亭，测得假山坡脚C与建筑物水平距离BC＝25米，与凉亭距离CE＝20米，某人从建筑物顶端测得E点的俯角为45°，求建筑物AB的高．（注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）13．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．（2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）14．某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘刚在南海巡航的渔政船前往救援．当飞机到达距离海面3000米的高空C处，测得A处渔政船的俯角为60°，测得B处发生险情渔船的俯角为30°，请问：此时渔政船和渔船相距多远？（结果保留根号）15．军方派出搜救船在失事海域搜寻飞机残骸和黑匣子（如图）．在海面A处搜救船测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续直线航行2千米后再次在B处测得俯角为45°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底C处距离海面的深度？（参考数据：）16．如图，为测得峰顶A到河面B的高度h，当游船行至C处时测得峰顶A的仰角为α，前进m米至D处时测得峰顶A的仰角为β（此时C、D、B三点在同一直线上）．（1）用含α、β和m的式子表示h；（2）当α＝45°，β＝60°，m＝50米时，求h的值．（精确到0.1m，≈1.41，≈1.73）17．国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”，并对钓鱼岛进行常态化立体巡航．如图1，在一次巡航过程中，巡航飞机飞行高度为2021米，在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°，保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°，如图2．请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米．（结果保留整数，参考数值：＝1.732，＝1.414）18．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．19．如图，在与河对岸平行的南岸边有A、B、D三点，A、B、D三点在同一直线上，在A 点处测得河对岸C点在北偏东60°方向；从A点沿河边前进200米到达B点，这时测得C点在北偏东30°方向，求河宽CD．20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取＝1.732，结果精确到1m）21．今年五、六月份，我省各地、市普遭暴雨袭击，水位猛涨．某市抗洪抢险救援队伍在B 处接到报告：有受灾群众被困于一座遭水淹的楼顶A处，情况危急！救援队伍在B处测得A在B的北偏东60°的方向上（如图所示），队伍决定分成两组：第一组马上下水游向A处救人，同时第二组从陆地往正东方向奔跑120米到达C处，再从C处下水游向A 处救人，已知A在C的北偏东30°的方向上，且救援人员在水中游进的速度均为1米/秒．在陆地上奔跑的速度为4米/秒，试问哪组救援队先到A处？请说明理由．（参考数据＝1.732）22．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．23．某中学初三（2）班数学活动小组利用周日开展课外实践活动，他们要在湖面上测量建在地面上某塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰角为45°，沿直线CD 向塔AB方向前进18米到达点D，测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米，请你帮他们计算出塔AB的高度．（结果保留根号）24．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°，已知测角仪器高CE＝1.5米，CD＝30米，求塔高AB．（保留根号）25．如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC＝150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：≈1.41，≈1.73）参考答案1．解：设AG＝x米，在Rt△AEG中，∵tan∠AEG＝，∴EG＝＝x（m），在Rt△ACG中，∵tan∠ACG＝，∴CG＝＝x（m），∴x﹣x＝100，解得：x＝50．则AB＝（50+1）米．故选：C．2．解：根据题意得：∠ABC＝30°，AC⊥BC，AC＝100m，在Rt△ABC中，BC＝＝＝100（m）．故选：A．3．解：过点P作PC⊥AB于点C，由题意可得出：∠A＝30°，∠B＝45°，AP＝80海里，故CP＝AP＝40（海里），则PB＝＝40（海里）．故选：A．4．解：∵点G是BC中点，EG∥AB，∴EG是△ABC的中位线，∴AB＝2EG＝30米，在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，则BC＝AB tan∠BAC＝30×＝10米．如图，过点D作DF⊥AF于点F．在Rt△AFD中，AF＝BC＝10米，则FD＝AF•tanβ＝10×＝10米，综上可得：CD＝AB﹣FD＝30﹣10＝20米．故选：A．5．解：AD＝AB•sin60°＝50；BD＝AB•cos60°＝50，∴CD＝150．∴AC＝＝100．故选：D．6．解：设楼高AB为x．在Rt△ADB中有：DB＝＝x，在Rt△ACB中有：BC＝＝x．而CD＝BD﹣BC＝（﹣1）x＝60，解得x≈82．故选：A．7．解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝AB•tan30°＝30×＝10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．8．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×25＝750（米），∴AD＝AC•sin45°＝375（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750（米）．故答案为：750．9．解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB＝β＝60°，∠ADE＝α＝30°，BC＝18m，∴DE＝BC＝18m，CD＝BE，在Rt△ABC中，AB＝BC•tan∠ACB＝18×tan60°＝18（m），在Rt△ADE中，AE＝DE•tan∠ADE＝18×tan30°＝6（m），∴DC＝BE＝AB﹣AE＝18﹣6＝12（m）．故答案为：12．10．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝50m．∴DC＝BD•sin60°＝50×＝43.3．故答案为：43.3．11．解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，由题意可知，四边形ACDE为矩形，则AE＝CD＝6米，AC＝DE．设BE＝x米．在Rt△BDE中，∵∠BED＝90°，∠BDE＝30°，∴DE＝BE＝x米，∴AC＝DE＝x米．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，∴AB＝AC＝×x＝3x米，∵AB﹣BE＝AE，∴3x﹣x＝6，∴x＝3，AB＝3×3＝9（米）．即旗杆AB的高度为9米．故答案为9．12．解：过点E作EF⊥BC于点F，过点E作EN⊥AB于点N，∵建筑物AB后有一座假山，其坡度为i＝1：，∴设EF＝x，则FC＝x，∵CE＝20米，∴x2+（x）2＝400，解得：x＝10，则FC＝10m，∵BC＝25m，∴BF＝NE＝（25+10）m，∴AB＝AN+BN＝NE+EF＝10+25+10＝（35+10）m，答：建筑物AB的高为（35+10）m．13．解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，∵在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x，在Rt△BCE中，BE＝CE＝x，∴AE+BE＝x+x＝100（3+），解得x＝100，∴AC＝2x＝200．在△ACD中，∵∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，∴∠ACD＝45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得y＝100（3﹣），∴AD＝2y＝200（3﹣）．答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；（2）∵由（1）可知，DF＝AF＝×100（3﹣）≈219．∵219＞200，∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．14．解：在Rt△CDA中，∠ACD＝30°，CD＝3000米，∴AD＝CD tan∠ACD＝1000米，在Rt△CDB中，∠BCD＝60°，∴BD＝CD tan∠BCD＝3000米，∴AB＝BD﹣AD＝2000米．答：此时渔政船和渔船相距2000米．15．解：过C作CD垂直AB于D点，设CD为x，在Rt△ACD与Rt△BCD中，∠CAD＝30°，∠CBD＝45°，AC＝CD＝2x，AD ＝AB+CD＝2+x，∴在Rt△ACD中有：（2+x）2+x2＝（2x）2，∴（舍去）．答：海底C处距海面2.732千米．16．解：（1）在Rt△ABC中，有BC＝AB÷tanα＝；同理：在Rt△ABD中，有BD＝AB÷tanβ＝；且CD＝BC﹣BD＝m；即﹣＝m；故h＝，（2）将α＝45°，β＝60°，m＝50米，代入（1）中关系式可得h＝，＝，＝75米+25米，≈118.3米．17．解：设CF＝x米，在Rt△ACF和Rt△BCF中，∵∠BAF＝30°，∠CBF＝45°，∴BC＝CF＝x米，＝tan30°，即AC＝x米，∵AC﹣BC＝1200米，∴x﹣x＝1200，解得：x＝600（+1），则DF＝h﹣x＝2021﹣600（+1）≈382（米）．答：钓鱼岛的最高海拔高度约382米．18．解：根据题意得：∠CAD＝45°，∠CBD＝54°，AB＝112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD＝∠CAD＝45°，∴AD＝CD，∵AD＝AB+BD，∴BD＝AD﹣AB＝CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，∠BCD＝90°﹣∠CBD＝36°，∴tan36°＝，∴BD＝CD•tan36°，∴CD•tan36°＝CD﹣112，∴CD＝≈≈415（m）．答：天塔的高度CD约为：415m．19．解：根据题意得：∠CAB＝90°﹣60°＝30°，∠CBD＝90°﹣30°＝60°，AB＝200米，CD⊥AB，则∠ACB＝∠CBD﹣∠CAB＝60°﹣30°＝30°，则BC＝AB＝200米，在Rt△CBD中，CD＝BC•sin60°＝200×＝100（米）．答：河宽CD为100米．20．解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝（x+100）m．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，3x＝（x+100），解得x＝50+50＝136.6，∴CD＝CE+ED＝136.6+1.5＝138.1≈138（m）．答：该建筑物的高度约为138m．21．解：过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，∵A在B北偏东60°方向上，∴∠ABD＝30°，又∵A在C北偏东30°方向上，∴∠ACD＝60°又∵∠ABC＝30°，所以∠BAC＝30°，∴∠ABD＝∠BAC，所以AC＝BC∵BC＝120，所以AC＝120在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，AC＝120，∴CD＝60，AD＝在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，∴AB＝第一组时间：第二组时间：因为207.84＞150所以第二组先到达A处．答：第二组先到．22．解：有触礁危险．理由：过点P作PD⊥AC于D．设PD为x，在Rt△PBD中，∠PBD＝90°﹣45°＝45度．∴BD＝PD＝x．在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°﹣60°＝30°∴AD＝x∵AD＝AB+BD∴x＝12+x∴x＝∵6（+1）＜18∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．23．解：如图，延长CD，交AB的延长线于点E，则∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∠ADE＝60°，CD＝18，设线段AE的长为x米，在Rt△ACE中，∵∠ACE＝45°，∴CE＝x，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝tan60°＝，∴DE＝x，∵CD＝18，且CE﹣DE＝CD，∴x﹣x＝18，解得：x＝27+9，∵BE＝1米，∴AB＝AE﹣BE＝（26+9）（米）．答：塔AB的高度是（26+9）米．24．解：设AF＝x；在Rt△AGF中，有GF＝＝x，同理在Rt△AEF中，有EF＝＝x．结合图形可得：GE＝CD＝EF﹣GF＝30即x﹣x＝30，解可得：x＝15；故AB＝15+答：塔高AB为15+米．25．解：过点A作AD⊥BC于点D，设AD＝xm．在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，∴BD＝AD•tan30°＝x．在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝x．∵BD+CD＝BC，∴x+x＝150，∴x＝75（3﹣）≈95．即A点到河岸BC的距离约为95m．。

2020年春北师大版本九年级数学下册第二章二次函数周周测10(全章)

（第5(第3题)第二章二次函数自我检测题（满分85分）一、选择题（每题5分，共25分）1．抛物线的顶点坐标是()342-=x y A ．（3，0）B ．(－3，0)C ．(0，3)D ．（0，－3）2．若直线经过第一、三、四象限，则抛物线的顶点必在（）3y x m =+2()1y x m =-+A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．你知道吗？平时我们跳大绳时，绳甩到最高处时的形状可近似地看做抛物线。

如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m ，2.5m 处。

绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶。

已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图所示)（）A ．1.5m B ．1.625m C ．1.66m D ．1.67m4．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致为()5．已知抛物线和直线l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线上的点，P 3（x 3，y 3）是直线l 上的点，且-1＜x 1＜x 2，x 3＜-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（）A. y 1＜y 2＜y 3 B. y 3＜y 1＜y 2 C. y 3＜y 2＜y 1 D. y 2＜y 1＜y 3二、填空题(每题5分，共25分)6．已知抛物线y=ax 2+b x +c 经过(－1，2)和(3，2)两点，则4a +2b+3的值为．7．若将二次函数y =x 2-2x +3配方为y =(x -h )2+k 的形式，则y = .8．在距离地面2米高的某处把一物体以初速度（米/秒）竖直向上抛出,在不计空气阻v力的情况下,其上升高度（米）与抛出时间（秒）满足： (其中是s t 2021gt t v s -=g 常数,通常取10米/秒2),若米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面100=v _______米.9．已知抛物线的对称轴是，且经过点和点，则该抛物c bx ax y ++=22=x )4,1()0,5(线的解析式为________。

北师大版数学九年级下册：圆章节知识点及练习题

圆章节知识点及其练习题一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2、点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3、点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；A2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；图4图5（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》同步练习题(附答案)

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《2.2二次函数的图象与性质》同步练习题（附答案）一．选择题1．与抛物线y＝﹣x2+1的顶点相同、形状相同且开口方向相反的抛物线所对应的函数表达式为（）A．y＝﹣x2B．y＝x2﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝x2+12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a的值等于（）A．﹣1B．1C．D．3．已知函数y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，下列结论错误的是（）A．当m＝0时，y随x的增大而增大B．当m＝时，函数图象的顶点坐标是（，﹣）C．当m＝﹣1时，若x＜，则y随x的增大而减小D．无论m取何值，函数图象都经过同一个点4．二次函数y＝ax2+bx+c图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．5．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（1，0）…求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称，根据现有信息，题中的二次函数具有的性质：（1）过点（3，0）（2）顶点是（1，﹣2）（3）在x轴上截得的线段的长度是2（4）c＝3a正确的个数（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．定义[a，b，c]为函数y＝ax2+bx+c的特征数，下面给出特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]的函数的一些结论，其中不正确的是（）A．当m＝﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）B．当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于C．当m≠0时，函数图象经过同一个点D．当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小7．二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣101y3m7n7则当x＝3时，y的值是（）A．3B．m C．7D．n8．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，下列5个结论，其中正确的结论有（）①abc＜0②3a+c＞0③4a+2b+c＜0④2a+b＝0⑤b2＞4acA．2B．3C．4D．59．若A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象上的三点，则y1，y2，y3的关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3 10．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（）A．﹣3和5B．﹣4和5C．﹣4和﹣3D．﹣1和5二．填空题11．在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：若y′＝，则称点Q为点P的“可控变点”．请问：若点P在函数y＝﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣16＜y′≤16，则实数a的取值范围是．12．若函数y＝（m2﹣m）x是二次函数，则m＝．13．若y＝（m2+m）x m2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝．14．二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1顶点坐标．15．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）16．抛物线y＝2x2+8x+5的顶点坐标为．17．把函数y＝﹣x2﹣4x﹣5配方得，它的开口方向，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，函数y有最值为．18．抛物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为．19．关于x的二次函数y＝ax2+a2的最大值为4，则a的值为；三．解答题20．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m．（1）若这个函数是二次函数，求m的取值范围．（2）若这个函数是一次函数，求m的值．（3）这个函数可能是正比例函数吗？为什么？21．当m＝时，是关于x的二次函数．22．已知二次函数y1＝ax2+bx+1（a＞0），一次函数y2＝x．（Ⅰ）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，求a与b之间的关系；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，y1的图象与y2图象的交点为P，且点P的横坐标是2，若将y2向上平移t个单位，与y1交于两点Q，R，△PQR面积为2，求t；（Ⅲ）二次函数y1图象与一次函数y2图象有两个交点（x1，y1）（x2，y2），且满足x1＜2＜x2＜4，此时设函数y1的对称轴为x＝m，求m的范围．23．已知二次函数y＝x2+4x+3．（1）用配方法将二次函数的表达式化为y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象；（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．参考答案一．选择题1．解：与抛物线y＝﹣x2+1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，即与抛物线y＝﹣x2+1只有二次项系数不同．即y＝x2+1，故选：D．2．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＜0，a＞0，则b＞0，正确；第四个图的对称轴﹣＜0，a＜0，则b＜0，故与b＞0矛盾．由于第三个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向上，a＝1．故选：B．3．解：当m＝0时，y＝x﹣1，则y随x的增大而增大，故选项A正确，当m＝时，y＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，则函数图象的顶点坐标是（，﹣），故选项B正确，当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+5x﹣3＝﹣2（x﹣）2，则当x＜，则y随x的增大而增大，故选项C错误，∵y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1＝2mx2+x﹣4mx+2m﹣1＝（2mx2﹣4mx+2m）+（x﹣1）＝2m（x﹣1）2+（x﹣1）＝（x﹣1）[2m（x﹣1）+1]，∴函数y＝2mx2+（1﹣4m）x+2m﹣1，无论m取何值，函数图象都经过同一个点（1，0），故选项D正确，故选：C．4．解：∵二次函数的图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＜0，∴b＜0，∵函数图象经过原点，∴c＝0，∴一次函数y＝bx+c在坐标系中的大致图象是经过原点且从左往右下降的直线，故选：D．5．解：（1）因为图象过点（1，0），且对称轴是直线x＝2，另一个对称点为（3，0），正确；（2）顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；（3）抛物线与x轴两交点为（1，0），（3，0），故在x轴上截得的线段长是2，正确；（4）图象过点（1，0），且对称轴是直线x＝﹣＝2时，则b＝﹣4a，即a﹣4a+c＝0，即可得出c＝3a，正确．正确个数为3．故选：B．6．解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；A、当m＝﹣3时，y＝﹣6x2+4x+2＝﹣6（x﹣）2+，顶点坐标是（，）；此结论正确；B、当m＞0时，令y＝0，有2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣﹣，|x2﹣x1|＝+＞，所以当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，此结论正确；C、当x＝1时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）＝2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）＝0即对任意m，函数图象都经过点（1，0），函数图象经过x轴上一个定点此结论正确．D、当m＜0时，y＝2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线x＝，在对称轴的右边y随x的增大而减小．因为当m＜0时，＝﹣＞，即对称轴在x＝右边，因此函数在x＝右边先递增到对称轴位置，再递减，此结论错误；根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的．故选：D．7．解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，∵当x＝﹣1或1时，y＝7，∴抛物线的对称轴为x＝0，由抛物线的对称性可知x＝﹣3与x＝3对称，∴当x＝3时，y＝3．故选：A．8．解：①由抛物线的对称轴可知：＞0，∴ab＜0，∵抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；②∵＝1，∴b＝﹣2a，∴由图可知x＝﹣1，y＜0，∴y＝a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＜0，故②错误；③由（﹣1，0）关于直线x＝1对称点为（3，0），（0，0）关于直线x＝1对称点为（2，0），∴x＝2，y＞0，∴y＝4a+2b+c＞0，故③错误；④由②可知：2a+b＝0，故④正确⑤由图象可知：Δ＞0，∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确；故选：B．9．解：二次函数y＝﹣（x+2）2+3的图象的开口向下（因为a＝﹣1＜0），对称轴是直线x ＝﹣2，所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，点A关于对称轴对称的点的坐标为（0，y1），∵﹣1＜0＜2，∴y3＜y1＜y2，故选：C．10．解：∵二次函数y＝（x+1）2﹣4，对称轴是：x＝﹣1∵a＝1＞0，∴x＞﹣1时，y随x的增大而增大，x＜﹣1时，y随x的增大而减小，由图象可知：在﹣2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2+1）2﹣4＝5，x＝﹣1时y有最小值，是﹣4，故选：B．二．填空题11．解：依题意，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上（如图），当x＝﹣5时，y＝25﹣16＝9，当y＝9时，x2＝7，∵x＞0，∴x＝∵﹣16≤y′≤16，当y′＝16，代入y′＝，得：x＝4，当y＝﹣16，代入上式得：x＝4，若a＜4，则y取不到﹣16；当a＞4，则y取值超过范围；故≤a＜4．12．解：由题意，得m2+m＝2且m2﹣m≠0，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．13．解：由题意，得m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，解得m＝3，故答案为：3．14．解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2+1图象的顶点坐标是（2，1）．故答案为：（2，1）．15．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a416．解：∵y＝2x2+8x+5＝2（x+2）2﹣3，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），故答案为：（﹣2，﹣3）．17．解：y＝﹣x2﹣4x﹣5＝﹣（x2+4x+5）＝﹣（x+2）2﹣1．∵a＝﹣1＜0，∴开口向下，顶点坐标（﹣2，﹣1），对称轴为直线x＝﹣2．当x＝﹣2时，函数y有最大值为﹣1，故答案为：y＝﹣（x+2）2﹣1，下，（﹣2，﹣1），直线x＝﹣2，﹣2，大，﹣1．18．解：∵抛物线的顶点为（2，﹣3），∴设这个二次函数的解析式y＝a（x﹣2）2﹣3，∵抛物线与y轴交于点（0，﹣7），∴﹣7＝4a﹣3，解得：a＝﹣1，则这个二次函数的解析式y＝﹣（x﹣2）2﹣3．故答案为y＝﹣（x﹣2）2﹣319．解：∵关于x的二次函数y＝ax2+a2的最大值为4，∴a＜0，且a2＝4，∴a＜0且a＝±2，∴a＝﹣2．故答案为﹣2．三．解答题20．解：（1）函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+2﹣2m，若这个函数是二次函数，则m2﹣m≠0，解得：m≠0且m≠1；（2）若这个函数是一次函数，则m2﹣m＝0，m﹣1≠0，解得m＝0；（3）这个函数不可能是正比例函数，∵当此函数是一次函数时，m＝0，而此时2﹣2m≠0．21．解：根据二次函数的定义：m2+m＝2，解得：m＝﹣2或1，又m+2≠0，m≠﹣2，故m＝1．故答案为：1．22．解：（1）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象只有一个交点，即：ax2+bx+1＝x，△＝（b﹣1）2﹣4a＝0，解得：b2﹣2b+1＝4a，…①答：a与b之间的关系是b2﹣2b+1＝4a；（2）图象如上图所示，若将y2向上平移t个单位后所在直线为PR所在直线为y＝x+t，将P点坐标（2，2）代入二次函数方程得：4a+2b+1＝2…②联立方程①②解得：b＝0，a＝，点Q、R的坐标由方程③和二次函数联立得：x2﹣x+1﹣t＝0，则：|x Q﹣x P|＝4，S△PQR＝•|x Q﹣x P|•PH＝2，解得：t＝1，答：t＝1；（3）若二次函数y1的图象与一次函数y2的图象有两个交点（x1，0）（x2，0），且满足x1＜2＜x2＜4则ax2+（b﹣1）x+1＝0有两不同实根x1，x2，且x1＜2＜x2＜4，a＞0故x＝2时ax2+（b﹣1）x+1＜0，x＝4时ax2+（b﹣1）x+1＞0，，②﹣3×①得：4a﹣2b＞0，∵a＞0，故m＝﹣＞﹣1，∴m＞﹣1，解得：m＞﹣1；答：m的范围为m＞﹣1．23．解：（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+22﹣22+3＝（x+2）2﹣1；（2）列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣10…y…30﹣103…如图，（3）当x＜﹣2时，y随x的增大而减小，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大．。

北师大版九年级数学下册第二章教学课件全套

双曲线
x
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
-2
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
七点法，即先取原点，然后在原点两侧对称地取六个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y轴右侧三个点的坐标，则左侧三个点的坐标对应写出即可．
（来自《点拨》）
知1－练
1 已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2) 与边长x(cm)的函数关系图象为( C )
不要漏掉一些约束条件．列不等式组是求自变量的
取值范围的常见方法．
（来自《点拨》）
知3－练
1 圆的半径是1cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增加 y cm2. (1)写出y与x之间的关系式；
解： (1) y＝π·(1＋x)2－π·12＝πx2＋2πx，即y与x之间的关系式为y＝πx2＋2πx.
（来自《教材》）
知3－练
2 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
（来自《典中点》）
知3－练
3 如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设
a≠0
二次项
一次项
指出方程各项的系数时要带上前

北师大版九年级数学下册全册同步练习含答案

北师大版初中数学九年级下册全册同步练习1.1锐角三角函数一、选择题1．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB=3，则下列结论正确的是( )A． sin A=53B．cos A=23C．sin A=23D．tan A=522．如图l－2l所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高h＝6 m，迎水坡AB＝10 m，斜坡的坡角为a，则tan a的值为 ( )A．35B．45C．43D．343．如图1－22所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且cos a＝35，AB＝4，则AD的长为 ( )A．3 B．16 3C. 203D．165二、填空题4．如图1－23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC=3米，cos∠BAC＝34，则梯子AB的长度为米．5．若a是锐角，且sin2 a+cos2 48°＝1，则a= .6．如图l－24所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝1，求∠A的三角函数值．三、计算与解答题7．如图1－25所示，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BD＝3，AD =163，求sin A，cos A，tan A的值．8．如图1－26所示，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA＝35．(1)求点B的坐标；(2)求cos∠BAO的值．9．请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC，使底边上的高AD＝BC(1)求tan∠ABC和sin∠ABC的值；(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC＝5米，求腰上的高BE．参考答案 1．C[提示：sinA=BCAB．] 2．D[提示：过A 点作垂线交底部于C 点，则△ACB 为直角三角形，∴BC ＝2222106AB AC -=-＝8(m)，∴tan a ＝68＝34．故选D ．]3．B[提示：∠ADE 和∠EDC 互余，∴cos a ＝sin ∠EDC ＝35，sin ∠EDC ＝3,45EC EC DC ==∴EC =125.由勾股定理，得DE ＝165．在Rt △AED 中，cos a ＝16355DE AD AD ==,∴AD＝163．故选B ．] 4．4[提示：在Rt △BCA 中，AC ＝3米，cos ∠BAC ＝34AC AB =，所以AB ＝4米，即梯子的长度为4米．]5．48°[提示：∵sin 2a ＋cos 2a ＝l ，∴a ＝48°．] 6．提示：sin A ＝13，cos A ＝223，tan A =24.7．解：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴△ACD ∽△CBD ，∴CD 2＝AD ·DB ＝16，∴CD =4，∴AC =22203AD CD +=．∴sin A ==35CD AC =，cos A ＝45AD AC =，tan A =34CD AD =. 8．解：(1)如图l －27所示，作BH ⊥OA ，垂足为H ．在Rt △OHB 中，∵BO ＝5，sin ∠BOA ＝35，∴BH =3，∴OH ＝4，∴点B 的坐标为(4，3)． (2)∵OA ＝10，OH ＝4，∴AH ＝6．在Rt △AHB 中，∵BH =3，∴AB ＝22223635BH AH +=+=，∴cos ∠BAO=635AH AB == 255． 9．解：(1)根据题意画出图形，如图1－28所示，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，AD ＝BC ，∴BD ＝12B C = 12AD ，即AD ＝2BD ，∴AB ＝225BD AD +=BD ，∴tan ∠ABC=ADBD=2,sin ∠ABC=AD AB =255 (2)作BE ⊥AC 于E ，在Rt △BEC 中，sinC=sin ∠ABC=255.又∵sin C=,BEBC.5BE故BE=.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值一．选择题：1.在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，且 sin A ＝21，cos B ＝22，则△ABC 三个角的大小关系是（）A ．∠C ＞∠A ＞∠B B ．∠B ＞∠C ＞∠A C ．∠A ＞∠B ＞∠CD ．∠C ＞∠B ＞∠A2.若0°＜＜90°，且|sin －41|＋223cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-θ，则tan 的值等于（）A ．3B ．33 C ．21 D ．233．如图1—37所示，在△ABC 中，∠A =30°，tan B ＝32，AC ＝23，则AB 的长是 ( ) A ．3＋3 B ．2＋23 C. 5 D ．924．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a ，则其底边上的高是( ) A ．32a B ．a C.12a D ．12a 或32a 二、选择题5．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝2，则tan2B= ． 6．若a 为锐角，且sin a =22,则cos a = ． 7．在Rt △ACB 中，若∠C ＝90°，sin A ＝32,b ＋c ＝6，则b = ． 8．(1)在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝21，则 cos B ＝________； (2)已知为锐角，且cos(90°－)＝21，则＝________；(3)若1)10(tan 3=︒+α，则锐角＝________．三、计算与解答9．计算（1）sin 60°·cos 30°－12.(2) 2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45°；(3) 2 sin30°－3 tan 45°＋4 cos 60°；10．如图1—38所示，在Rt △ACB 中，∠BCA ＝90°，CD 是斜边上的高，∠ACD ＝30°，AD ＝1，求AC ，CD ，BC ，BD ，AB 的长．11．如图1—39所示，在相距100米的A ，B 两处观测工厂C ，测得∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，则A ，B 两处到工厂C 的距离分别是多少?12．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且c＝53,若关于x的方程(53＋b)x2＋2ax＋(53－b)=0有两个相等的实数根，方程2x2－(10sin A)x＋5sin A＝0的两个实数根的平方和为6，求△ABC的面积．参考答案 1． D ； 2 。

第2章二次函数与几何综合题型解读9 二次函数与胡不归阿氏圆问题-北师大版九年级数学下册

<<二次函数与几何综合>>题型解读9 二次函数与“胡不归问题、阿氏圆问题”【解题思路】1.题型特点：求形如“AB+k∙AD”最小值的题目，其中A是动点，B,D是定点①当动点A在直线上运动时，属“胡不归问题”；解题方法：利用特殊角的三角函数值转化，使“AB=k∙AM或k∙AD=AM”,则转化成将军饮马问题的“k∙AM+k∙AD=k(AM+AD)或AB+AM”情形，当A,M,D或A,B,M三点共线时，即有最小值；②当动点A在圆上运动时，属“阿氏圆问题”解题方法：把k∙AD由乘积式转化成比例式，构造一个与AD所在三角形相似的共角模型的三角形，且该三角形的一个顶点为动点A，进而可得k∙AD=过A的一条线段；2.技巧：题目中的“k”是精心设置的数字，一定是图中某两条已知线段的比值。

【例题详解】例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象交x 轴于A、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A(-2,0),C(0,-2√3),且抛物线的对称轴是直线x＝1．（1）求此二次函数的解析式；(y=√34x2−√32x−2√3)（2）连接P B，则12PC+PB 的最小值是________；（3）连接PA、解析：（2）OA=2,OC=2√3,可得∠ACO=30°，作PM⊥AC于点M，则PM=12PC,则求12PC+PB 的最小值即求PM+PB的最小值，当B,P,M三点共线时，即BM⊥AC时有最小值，∠BAM=60°,AB=6,最小值PM=3√3.(3)二次函数与边角存在性问题，构造一线三垂直，两次相似即可解答。

①当P 在y 轴正半轴时，设P(0,a)，由“一线三垂直”的相似可得EP=2，EA=a ，AF=2√3,FD=√3a ，设FD 与y 轴交于G 点，则GD=√3a-2,由OB//DG ，可得BO:DG=OP:PG ，即4：(√3a-2)=a:（2√3+a ），解得a=√3+√11,（负值舍去），故P 点坐标为（0，√3+√11）、（0，√3−√11）. ②当P 在y 轴负半轴时，设P(0,a)，由“一线三垂直”的相似可得EP=2，EA=-a ，AF=2√3,FD=−√3a ，设FD 与y 轴交于G 点，则GD=−√3a-2,由OB//DG ，可得BO:DG=OP:PG ，即4：(−√3a-2)=（-a ）:（2√3-a ），解得a=−√3−√11, （正值舍去），故P 点坐标为（0，√3+√11）、（0，−√3−√11）.例2.如图，已知抛物线y=a(x+2)(x-4)(a 为常数，且a>0)与x 轴从左到右依次交于A,B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B 的直线y =−√33x +4√33与抛物线的另一交点为D ，且点D 的横坐标为-5.（1）求抛物线的函数表达式；（2）该二次函数图像上有一点P(x,y)，使S ∆BCD =S ∆ABP ，求点P 的坐标；（3）设F 为线段BD AF ，求2AF+DF 的最小值。

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《二次函数》练习题 01

一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．下列函数：y＝x（8－x），y＝1－221x，y＝42x，y＝xx62，其中以x为自变
量的二次函数有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．在函数2yx，5yx，2yx的图象中，关于y轴对称的图形有（）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．点A（2，3）在函数21yaxx的图象上，则a等于（）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
4．下列四个函数中，图象经过原点且对称轴在y轴左侧的二次函数是（）

A．xxy22 B．xxy22 C．y＝2（1x）2 D．y＝2（1x）2

5．在同一坐标系中，图象与22xy的图象关于x轴对称的函数为（）
A．221xy B．221xy C．22xy D．2xy
6．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确是（）
A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0

7．将抛物线22xy经过平移得到抛物线2y（4x）21是（）
A．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
8．已知抛物线2(0)yxbxca的部分图象如图所示，
若y＜0，则x的取值范围是（）
A．1＜x＜4 B．1＜x＜3
C．x＜1或x＞4 D．x＜1或x＞3

二、填空题（每小题3分，满分21分）
1．抛物线2241yxx的开口向；顶点坐标是；对称轴方程为．
2．抛物线232yxx不经过第象限.
3．若点),1(1yP、Q2(1,)y都在抛物线21yx上，则线段PQ的长为．

4．如图所示，二次函数26yxx的图象交x轴于A、B两点，
交y轴于C点，则ABC的面积ABCS ．
5．一条抛物线，顶点坐标为(4,2)，且形状与抛物线22yx相同，则它的函数表
达式是．
6．函数2412xxy的图象与x轴有个交点；当时，y值随x值增

大而增大；当x 时， y有最值．
7．函数cbxaxy2的图象如图所示，则cba 0，
cba24
0．（用“＝”、“＞”或“＜”填空）

三、解答题：
1．（9分）如图所示的是一个二次函数的图象，试求其解析式
解：

2．（10分）已知一抛物线经过点2,6，它与x轴的两交点间的距离为4，对称轴为直
线1x，求此抛物线的解析式．
解：

3．（12分）抛物线2yxbxc(0)a与x轴交于(1,0)A，(3,0)B两点．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）一动点P在（1）中抛物线上滑动且满足10ABPS，求此时P点的坐标．

4．（12分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出20件，每件可盈利40元．为了扩
大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施。调查发现，每件少
盈利1元,商场平均每天可多售出2件衬衫。那么每件衬衫少盈利多少元时，商场
平均每天盈利最多？
解：

5．（12分）某地要修一条水渠，其横截面为等腰梯形（如图所示），其腰与水平线夹角
为60°，如果它的周长（两腰加渠底宽）为定值L，那么水渠渠深h为多少时，可
使水流量达到最大值？
解：

参考答案
一、选择题（每小题3分，满分24分）
1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B
二、填空题（每小题3分，满分21分）．

1.上；（1，-3）；x=1. 2. 三； 3.2； 4.15； 5．2(4)2yx；
6．两；x＜2；2；大. 7．＜；=.
三、解答题（满分55分）

1.2113424yxx。 2.
2
246yxx

。

3.（1）223yxx；（2）P的坐标为4,5或2,5.
4．每件衬衫少盈利15元时，商场平均每天盈利最多。

5．水渠渠深h为36L时，可使水流量达到最大值。