2017-2018学年天津和平区耀华中学高二上学期期中考试数学(理)试题 解析版
天津市耀华中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试卷 含解析
天津市耀华中学2018-2019学年度第二学期期中形成性检测高二年级数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设(1) 1i x yi +=+，其中,x y 是实数，则x yi +=（ ） A. 1 B.2C.3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据复数相等的充要条件，求得1,1x y ==，再由复数模的计算公式，即可求解.【详解】由题意知，复数满足(1)1i x yi +=+，可得1x x y=⎧⎨=⎩，解得1,1x y ==，所以22||1112x yi i +=+=+=B.【点睛】本题主要考查了复数相等的充要条件，以及复数模的计算，其中解答中熟记复数相等的充要条件和复数模的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知(3)(1)z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A. (31)-， B. (13)-， C. (1,)+∞ D. (3)-∞-，【答案】A 【解析】 试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi复平面内点Z （a ，b ）（a ，b ∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ .【此处有视频，请去附件查看】3.已知()()231f x x xf '=+，则()2f '-=（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】先求出()()231f x x f +''=，令1x =，求出()1f '后，导函数即可确定，再求()2f '． 【详解】()()231f x x f +''=，令1x =，得()()1231f f =+''，()11f '=-， ∴()23f x x '=-． ∴()21f '=． 故选A ．【点睛】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出()1f '是关键步骤．4.已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A. 1B. -1C. 3D.13【答案】C 【解析】 【分析】根据导数概念，得到00(13)(1)(13)(1)lim3lim 3(1)3x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'==∆∆，即可求出结果.【详解】因为(1)1f '=， 所以00(13)(1)(13)(1)lim 3lim 3(1)33x x f x f f x f f x x∆→∆→+∆-+∆-'===∆∆.故选C【点睛】本题主要考查导数的概念，熟记导数的概念即可，属于常考题型.5.函数()ln xf x x=，则（ ）A. e x =为函数()f x 的极大值点B. e x =为函数()f x 的极小值点C. 1e x =为函数()f x 的极大值点 D. 1ex =为函数()f x 的极小值点【答案】A 【解析】()211'nxf x x-=，故当0x e <<时函数单调递增，当x e >时，函数单调递减，故x e =为函数的极大值点．6.函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的最小值是（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 32【答案】B 【解析】对函数求导可得，()'2.f x ax b =+根据导数的几何意义，()'122f a b =+=，即b1.2a += 8a b ab +=81b a +=(81b a +)·b (2a +)=8a b 2b a +8a b2b a +，当且仅当228a b 2a b b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩即1343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，取等号.所以8a b ab +的最小值是9.故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，求分式的最值结合了重要不等式，“1”的巧用，注意取等条件7.若函数()1ln f x x ax x=++在[)1,+∞上是单调函数，则a 的取值范围是( ) A. 1(,0][,)4-∞⋃+∞ B. 1(,][0,)4-∞-⋃+∞C. 1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. (],1-∞【答案】B 【解析】 【分析】由求导公式和法则求出()'f x ，由条件和导数与函数单调性的关系分类讨论，分别列出不等式进行分离常数，再构造函数后，利用整体思想和二次函数的性质求出函数的最值，可得a 的取值范围． 【详解】由题意得，()211'f x a x x=+-， 因为()f x 在[)1,+∞上是单调函数，所以()'0f x ≥或()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立， 当()'0f x ≥时，则2110a x x+-≥在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≥-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当11x=时，()g x 取到最大值为0， 所以0a ≥； 当()'0f x ≤时，则2110a x x+-≤在[)1,+∞上恒成立， 即211a x x≤-， 设()221111124g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，因为[)1,x ∈+∞，所以(]10,1x∈， 当112x =时，()g x 取到最小值为14-， 所以14a ≤-，综上可得，14a ≤-或0a ≥，所以数a 的取值范围是][1,0,4⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 本题选择B 选项.【点睛】本题主要考查导数研究函数的的单调性，恒成立问题的处理方法，二次函数求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.设点P 是曲线3335y x x =+上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ） A. 203π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. 2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， C. 223ππ⎛⎤⎥⎝⎦， D. 233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】 【分析】求导后通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，求出倾斜角的取值范围 【详解】2333y x =-≥-'tan 3α∴≥02πα∴≤<或23παπ≤< 则角α的取值范围为2023πππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，， 故选B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，求导后解得直线的倾斜角与斜率，属于基础题。
2018-2019学年上学期天津和平区耀华中学高一期中数学试卷及答案解析
A. 1 B. 0 C. − 1 D. − 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由实数 a 满足 f（-a）=2，得 f（ − a） = ln（ − a + a2 + 1） + 1 = 2 ，从而 ln（ − a + a2 + 1） = 1，进而 f（a） = ln（a + a2 + 1） =− ln（ − a + a2 + 1） + 1 ，由此能求出结果．
1 9
=−
2，
f（f（19））=f（-2）=2−2
=
1 4
．
故选：B． 【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 7.函数 f（x）=log3（6-x-x2）的单调递增区间是（ ）
A.
[
−
1 2
,
+
∞)
B.
(
−
∞,
−
1 2
]
C.
(
−
3,
−
1 2
]
D.
[
−
1 2
f(x)
=
ex 2
−
a ex
，若对任意的x1
,x2
∈
[1,2]，且x1
≠
x2时，[|f(x1)|
−
|f(x2)|](x1
−
x2)
>
0，则实数
a
的
取值范围为（ ）
A. [ − e2 , e2 ]
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2022-2023学年天津市耀华中学高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市耀华中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知直线l 与直线1:230l x y -+=和2:210l x y --=平行且距离相等，则直线l 的方程为（ ） A ．210x y -+= B ．210x y ++= C ．220x y -+= D ．220x y ++=A【分析】设直线l 的方程为20(3,1)x y c c c -+=≠≠，然后利用两平行线间的距离公式列方程求解即可.【详解】设直线l 的方程为20(3,1)x y c c c -+=≠≠，=解得：1c =，所以直线l 的方程为210x y -+=， 故选.A2．已知直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直，则实数=a （ ） A ．0a =或3a =- B ．0a =或3a = C ．0a = D ．3a =B【分析】直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直，若斜率不存在，则0a =或1a =，显然当0a =时两直线垂直；若两直线斜率存在时，则斜率积为1,-求出3a =. 【详解】当0a =时，1:3l y =，2:1l x =，此时两直线垂直， 当1a =时，1:3l x =，22:2l x y +=，此时两直线不垂直， 当0,1a ≠时，两条直线分别化为： 13:11a l y x a a =+--，222:l y x a a=-+， 直线()1:13l ax a y +-=与2:22l x ay +=互相垂直， 211,a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭∴⨯- 解得：3a =或0a =（舍去）， 综上可知：3a =或0a =.故选:B3．过点()2,3的直线l 与圆C ：22430x y x +++=交于A ，B 两点，当弦AB 取最大值时，直线l 的方程为（ ） A ．3460x y -+= B ．3460x y --= C ．4380x y -+= D ．4380x y +-=A【分析】要使过点()2,3的直线l 被圆C 所截得的弦AB 取最大值时，则直线过圆心，然后根据直线的两点式方程写出答案即可【详解】圆C ：22430x y x +++=化为22(2)1x y ++= 所以圆心坐标(2,0)-要使过点()2,3的直线l 被圆C 所截得的弦AB 取最大值时，则直线过圆心 由直线方程的两点式得：023022y x -+=-+ ，即3460x y -+= 故选：A4．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且11,24OE EA BF BC ==，则EF =（ ）A ．131344a b c -+B ．131344a b c ++C ．131344a b c --+D ．131344a b c -++D【分析】利用空间向量基本定理求解出3144OF b c =+，从而求出131344EF OF OE a b c =-=-++.【详解】因为14BF BC =，所以1131()4444OF OB BF OB BC OB OC OB b c =+=+=+-=+，又1123OE EA a ==，所以131344EF OF OE a b c =-=-++． 故选：D5．已知圆M 的半径为1，若此圆同时与 x 轴和直线3y x = 相切，则圆M 的标准方程可能是（ ） A ．22(3)(1)1x y +-=B ．22(1)(3)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -++=D ．22(3)(1)1x y -++=A【分析】设圆的方程为()()221x a y b -+-=，依题意利用圆心到直线的距离等于半径得到方程组，解得即可；【详解】解：设圆的方程为()()221x a y b -+-=，圆心为(),a b ，半径1r =，依题意()()2213131b a b ⎧=⎪⎪-⎨=⎪+-⎪⎩，解得13b a =⎧⎪⎨=⎪⎩或133b a =⎧⎪⎨=-⎪⎩或13b a =-⎧⎪⎨=-⎪⎩或133b a =-⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以圆的方程为22(3)(1)1x y -+-=或22(3)(1)1x y +++= 或223()(1)13x y -++=或223()(1)13x y ++-=； 故选：A6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是111,B C CC 的中点，直线DN 与1A M 所成角的余弦值为（ ）A ．45-B ．45C ．35 D ．35B【分析】设正方体棱长为2，以D 为原点建立空间直角坐标系，写出向量1AM ，DN 的坐标，利用数量积计算向量夹角的余弦值，其绝对值即直线DN 与1A M 所成角的余弦值.【详解】设正方体棱长为2，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.则1(2,0,2)A ，()1,2,2M ，()0,0,0D ，()0,2,1N ，所以()11,2,0A M =-，()0,2,1DN =，设直线DN 与1A M 所成角为θ，则()1222211022014cos 51221A M DN A M DNθ⋅-⨯+⨯+⨯===-+⨯+. 故选：B.7．已知22:(2)2C x y -+=，过点()1,3P 的直线l 交圆C 于,A B 两点，且2AB =，则直线l 的方程是（ ）A ．43130x y +-=B ．34130x y +-=C ．1x =或43130x y +-=D ．1y =或34130x y +-= C【分析】过点()1,3P 的直线l 与圆C 相交，弦长2AB =，有斜率存在与斜率不存在两种情况，故分类讨论即可.【详解】由题意可知圆心(2,0)C ，半径2r = 当直线斜率不存在时，此时1,x = 将1x =代入圆的方程可得21y =， 解得1y =±，所以弦长2AB =，符合条件， 当直线斜率存在时，设直线方程为：3(1)y k x -=-即30kx y k --+=，圆心到直线的距离d ==由弦长公式可得2AB == 解得：43k =-,所以直线方程为：43(1)3y x -=--，即：43130x y +-=，综上可知直线l 的方程为：1x =或43130x y +-=. 故选：C8．曲线221259x y +=与221(09)925x y k k k+=<<--的关系是（ ）A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有不等的焦距，相同的焦点C ．有不等的焦距，不同的焦点D ．有相等的焦距，不同的焦点D【分析】根据椭圆标准方程的特点及焦距的定义即可求解.【详解】由题意可知，椭圆221259x y +=的焦点在x 轴上，且225916c =-=， 所以4c =，焦距为2248c =⨯=，焦点坐标为()4,0±，椭圆221(09)925x y k k k+=<<--的焦点在y 轴上，且()()225916c k k =---=， 所以4c =，焦距为2248c =⨯=，焦点坐标为()0,4±， 所以两椭圆有相等的焦距，不同的焦点. 故选：D.9．已知圆222:()0O x y r r +=>，直线:34150l x y --=，圆O 上有且只有两个点到直线l 的距离为1，则圆O 半径r 的取值范围为（ ） A ．[]2,4 B ．()2,4C ．(]2,3D ．[)3,4B【分析】求出圆心到直线的距离，再由条件列出不等式|3|1r -<求解即可. 【详解】圆心(0,0)到直线:34150l x y --=3=，又圆O 上有且只有两个点到直线l 的距离为1， 所以|3|1r -<，解得24r <<.故选：B10．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（ ） A ．33 B ．6 C ．210 D ．25C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程． 【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ， 则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，22(24)(02)210QT =--+-=．故选：C11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为上底面1111D C B A 和侧面11CDD C 的中心，则点C 到平面AEF 的距离为（ ）A 411B 11C 11D 211A【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF 的法向量，按照距离的向量求法求解即可.【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，易知(0,0,0),(1,1,2),(1,2,1),(2,2,0)A E F C ，设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则2020n AE x y z n AF x y z ⎧⋅=++=⎨⋅=++=⎩，令1y =-，解得(3,1,1)n =--，故点C 到平面AEF 的距离为6241111911n AC n⋅-==++. 故选：A.12．已知椭圆2222:1(0),x y C a b C a b+=>>的上顶点为A ，左右焦点为12,F F ，离心率为12.过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点，6DE =，则ADE 的周长是（ ） A ．19 B ．14 C ．252D ．13D【分析】由离心率为12，得到a ，b ，c 之间的关系，做出简图，分析可得直线DE 的方程为：3()3y x c =+，且直线DE 垂直平分2AF ，所以ADE 的周长等于2F DE △的周长，等于4a ，将直线方程与椭圆方程2222143x y c c+=联立，利用弦长公式求出c ，a 的值.【详解】因为椭圆的离心率为12c e a ==，所以2a c =，223b a c c =-=，如图，2160AF F ∠=︒，所以12AF F △为正三角形，又因为直线DE 过1F 且垂直于2AF ，所以1230DF F ∠=︒，直线DE 的方程为：)y x c +， 设点D 坐标()11,x y ，点E 坐标()22,x y ，将直线方程与椭圆方程2222143x y c c+=联立，得22138320x cx c +-=，则12813c x x +=-，2123213c x x =-，所以48613c DE =， 得138c =，134a =.由图，直线DE 垂直平分2AF ，所以ADE 的周长等于2F DE △的周长，等于413a =. 故选：D.二、填空题13．已知实数x ，y 满足22650x y x +++=，则1yx -的最大值为__________．【分析】由1yx -的几何意义为圆上的点与(1,0)连线的斜率，利用点线距离公式求过(1,0)与圆相切直线的斜率，即可得最大值. 【详解】1yx -可看作圆上的点与(1,0)连线的斜率，当直线与圆相切时斜率取最值，∴设直线方程(1)y k x =-，圆心(3,0)-，半径2r =，圆心到直线距离2d ==，∴k =故答案为14．过点()1,1P 且截距相等的直线方程为__________. 0x y -=或20x y +-=【分析】求过点()1,1P 且截距相等的直线方程，分为过原点与不过原点两种情况讨论即可. 【详解】当直线经过原点时，设直线方程,y kx =代入()1,1P 得1k =，所以直线方程为：y x =，即0,x y -= 当直线不经过原点时，设直线方程为,x y a += 代入()1,1P 得112a =+=，所以直线方程为：2x y +=，即20x y +-=， 综上所求直线方程为：0x y -=或20x y +-=. 故0x y -=或20x y +-=15．在平面直角坐标系中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点2(,0)a c 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =_________．22【分析】根据圆的性质，结合椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】由题意可知：圆的方程为222x y a +=，设两切点为,A B ，由圆的性质和题意可知：4POA π∠=，且OA PA ⊥，因此POA 是直角三角形，故222cos422OA a c e a OP a cπ=⇒=⇒==， 故2216．两圆22440x y x y ++-=和22280x y x ++-=相交于两点,M N ，则公共弦MN 的长为__________. 1251255【分析】根据已知条件联立方程组，求出交点坐标，利用两点间的距离公式即可求解.【详解】由2222440280x y x y x y x ⎧++-=⎨++-=⎩，解得40x y =-⎧⎨=⎩，或45125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以不妨取两圆的交点为()4124,0,,55M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2241212540555MN ⎛⎫⎛⎫=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为.125517．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，则对角线1AC 的长为__________.66【分析】由11AC AB BC CC =++，结合数量积向量运算即可求 【详解】由题，11AC AB BC CC =++，则()2222211111222AC AB BC CC AB BC CC AB BC BC CC AB CC =++=+++⋅+⋅+⋅2363266cos60216=⨯+⨯⨯⨯⨯︒=，故121666AC ==故6618．已知EF 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体表面上运动，则ME MF ⋅的最小值为__________. 32-【分析】根据已知条件及正方体的体对角线为正方体外接球的直径，再利用平面向量的数量积的运算，结合平面向量的线性运算即可求解.【详解】由题意可知，EF 为棱长为8的正方体外接球的一条直径，O 为球心，M 为正方体表面上的任意一点，如图所示则球心O 也就是正方体的中心，所以正方体的中心O 到正方体表面任意一点M 的距离的最小值为正方体的内切球半径，它等于棱长的一半为4,EF 的长为正方体的对角线长为22288883++=.()()()()22ME MF MO OE MO OF MO OE MO OE OM OE ⋅=+⋅+=+⋅-=-22283482OM OM ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭所以ME MF ⋅的最小值为244832-=-. 故答案为.32-三、解答题19．如图：在直三棱柱111ABC A B C 中，190,1ACB CA CB CC ∠====，D 是棱1BB 的中点，P 是1C D 的延长线与CB 的延长线的交点.(1)求证：AP平面1A CD ；(2)求平面1A CD 与平面11AC D 的夹角的余弦值；(3)若点E 在线段AP 上，且直线1A E 与平面1A CD 14AE 的长. (1)证明见解析 55【分析】(1)连接1AC 交1A C 于O ，连接DO ，则O 是1AC 的中点，由三角形中位线得AP DO ∥，再由线面平行的判定定理即可证明.(2)建立坐标系，求出平面1A CD 与平面11AC D 的法向量，利用空间向量求出夹角的余弦值. (3)先设出E 点位置AE AP λ=，再利用直线1A E 与平面1A CD 所成的角的正弦值为147求出λ，即可求出AE 的长.【详解】（1）连接1AC 交1A C 于O ，连接DO ，则O 是1AC 的中点，D 是棱1BB 的中点，1B D BD ∴=，1111,90B DC BDP C B D PBD ︒∠=∠∠=∠=，11B DC BDP ∴≌， 1C D PD ∴=，D ∴是1C P 的中点， AP DO ∴∥，DO ⊂平面1A CD ，AP ⊄平面1A CD ，AP∴平面1A CD .（2）以C 为坐标原点，以1,,CA CB CC 为坐标轴建立空间直角坐标系,C xyz - 则111(0,0,0),(1,0,1),(0,1,),(0,0,1),2C AD C111111(1,0,1),=01(1,0,0),(0,1,),22CA CD C A C D ∴===-（，，），设平面1A CD 的法向量为111(,,)m x y z =，平面11AC D 的法向量为222(,,)n x y z = ， 则111100,,00n C A m CA n C D m CD ⎧⎧⋅=⋅=⎪⎪⎨⎨⋅=⋅=⎪⎪⎩⎩ 即112112200,,110022x z x y z y z +==⎧⎧⎪⎪⎨⎨+=-=⎪⎪⎩⎩ 令12z =得(2,1,2),m =-- 令22z =得(0,1,2),n =3cos ,3m n m n m n⋅∴===⨯⋅ 由图可知平面1A CD 与平面11AC D 的夹角为锐角，所以平面1A CD 与平面11AC D （3）1(1,2,0),(0,0,1),AP AA =-= 设(,2,0)(01AE AP λλλλ==-≤≤）， 则11(,2,1),A E AE AA λλ=-=-- 则111sin ,5A E mA E m A E m⋅===⋅直线1A E 与平面1A CD 所成的角的正弦值为7，7=， 解得1,3λ==(1AP -13AE AP∴==. 20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，O 是坐标原点，OA OB OD +=，点D 刚好在椭圆C 上，已知点()0,1,P PAB l 的方程.(1)22142x y +=(2)1y x =-或1y =-.【分析】（1）由离心率结合222a b c =+，可得a b ，关系.后代入所过点可得方程.（2）考虑直线斜率存在与不存在两种情况，先由OA OB OD +=，求出D 点坐标，后通过已知三角形面积得出答案.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ,因为椭圆C 的离心率为,所以c a =结 合222a b c =+，则2222222112c a b b a a a -==-=，得2212b a =，即222a b =. 又椭圆C 经过点⎛ ⎝⎭，则2222221112a b b b ⎝⎭⎝⎭+=+=. 解得2a b c ===，故椭圆C 的标准方程为:22142x y +=. （2）①当直线l 的斜率不存在时，不妨将其设为0x x =,其中00x >. 则A B ，两点关于x 轴对称，设为()()0000,,A x y B x y -，则OA OB OD +==()02,0x ，又D 在椭圆上，故022x =，得01x =取点1,A B ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，.则112PABS ==≠故直线l 的斜率不存在与题意不符.②当直线l 的斜率存在时，设直线的方程()()1122,,y kx m A x y B x y =+，，.联立方程:22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩.消 去y ,得()222214240k x kmx m +++-=. 由题意 ()28420k m ∆=+->.则21212224242121km m x x x x k k -+=-=++，，121222()221m y y k x x m k +=++=+. 因OA OB OD +=，故点D 的坐标为2242(,)2121km mk k -++ .因为点D 刚好在椭圆C 上，所以222242()()2121142km m k k -+++=()()()()()2222222222222821421164240212121m k k k m m k k k +-+⇒+⋅-==+++. 即22212k m +=.此时()22284224k m m ∆=+-=.则AB==设点P 到直线l 的距离为d ,则d =则1122PABSAB d =⋅⋅===()22221413210m m m m m m ⇒=-⇒=-⇒+-=，解得1m =-或13m =.当13m =时，由22212k m +=，算得20k <，故13m =不合题意.当1m =-时，由22212k m +=，算得212k =，解得k =k =. 故直线方程为:1y =-或1y x =-. 关键点点睛:本题（1）考查求椭圆标准方程，关键为通过离心率找到a b c ，，关系.（2）为直线与椭圆关系综合题，需注意考虑直线斜率存在与不存在两种情况.其次是对于斜率存在的情况，关键为通过OA OB OD +=及D 点在椭圆上，利用方程联立及韦达定理找到所设直线中未知量k 和m 的关系.考查了学生的分析计算能力，属于难题.。
天津市耀华中学2017_2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)
天津市耀华中学2017—2018学年度第一学期期中形成性检测高一年级数学学科试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填在题中括号里）1．已知集合{}2|1,M y y x x ==-∈R ，集合{|N x y =，M N =（ ）．A ．{}(B ．[-C ．D ．∅【答案】B【解析】解：[1,)M =-+∞，[N =，故[M N =-．2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是（ ）．A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞【答案】C【解析】解：根据题意，使1()lg(1)1f x x x=++-有意义， 应满足1010x x +>⎧⎨-≠⎩，解可得(1,1)(1,)-+∞．故选C ．3．设函数2(1)()x a x af x x+++=为奇函数，则实数a =（ ）．A ．1-B ．1C ．0D ．2-【答案】A【解析】解：∵函数2(1)()x a x af x x+++=为奇函数，∴22(1)(1)()()0x a x a x a x af x f x x x-+++++-+=+=-，化为(1)0a x +=， ∴10a +=，解得1a =-． 故选A ．4．已知1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩≥，则1746f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）．A ．16-B ．16C ．56D ．56-【答案】A【解析】解：1212()1(1)12x x f x f x x ⎧⎛⎫-< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+ ⎪⎪⎝⎭⎩≥，则1711111211214646266f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-++=+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选A ．5．已知132a =，21log 3b =，121log 3c =，则（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】解：本题主要考查对数函数和指数函数．132a -=，则01a <<，21log 3b =，则0b <，1221log log 313c ==>，所以10c a b >>>>，即c a b >>． 故选C ．6．函数213()log (6)f x x x =--的单调递增区间是（ ）．A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】解：∵260x x -->，∴32x -<<，又函数213()log (6)f x x x =--是由13()log f x t =及26t x x =--复合而成，易知13()log f x t=在定义域上单调递减，而函数26t x x =--在13,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦单调递增，在1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭单调递减，根据复合函数的单调性的法则知，函数213()log (6)f x x x =--的单调递增区间是1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭．故选D ．7．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（ ）．A ．11,23⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：本题主要考查对数函数，指数函数和幂函数． 由图可知点A在函数y x =上，又点A 的纵坐标为2，所以将2y =代入对数函数解析式可求得点A 的坐标为1,22A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以点D 的横坐标为12，点B 的纵坐标为2，点B 在幂函数12y x =的图像上，所以点B 的坐标为(4,2)，所以点C 的横坐标为4，点C的指数函数xy =⎝⎭的图像上，所以点C 的坐标为14,4C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以点D 的纵坐标为14， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭．故选C ．8．函数()y f x =与()y g x =的图像如图，则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）．)A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由()y f x =的图像可知：在0x >时，函数值为负，0x <时，函数值为正， 结合()y g x =的图像可知：0x >时，函数值先为正数，后为0，再为负数，0x <时，函数值先为负数，后为0，再为正数，0x <时，先为负数，后为0，再为正数，且()()y f x g x =⋅的图像不过原点． 故选A ．9．设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞上，()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式3()2()05f x f x x--<的解集为（ ）．A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(,1)(0,1)-∞-C ．(,1)(1,)-∞-+∞D ．(1,0)(0,1)-【答案】D【解析】解：奇函数()f x 定义在(,0)(0,)-∞+∞上，在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =， ∴函数()f x 的关于原点对称，且在(,0)-∞上也是增函数，过点(1,0)-， 所以可将函数()f x 的图像画出，大致如下：∵()()f x f x -=-， ∴不等式3()2()05f x f x x --<可化为()0f x x<，即()0xf x <，不等式的解集即为自变量与函数值异号的x 的范围， 据图像可以知道(1,0)(0,1)x ∈-． 故选D ．10．设函数21()122x x f x =-+，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]2-=-，[2.3]2=则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为（ ）．A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,0-【答案】B【解析】化简函数21()122x x f x =-+，对x 的正、负和0分类讨论，求出[()][()]f x f x +-的值． 解：21()122x xf x =-+ 111122x =--+11212x=-+， 当0x >，10()[()]02f x f x <=≤，当10()0[()]12x f x f x <-<<=-，当0x =，()0[()]0f x f x ==，所以：当0x =，[()][()]0y f x f x =+-=， 当x 不等于0，[()][()]011y f x f x =+-=-=-， 所以，y 的值域：{}0,1-． 故选B ．第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．不需写解答过程，请把答案填在题中横线上） 11．计算：7lg142lg lg7lg183-+-=__________．【答案】0【解析】解：法一：7lg142lg lg7lg183-+-2lg(27)2(lg7lg3)lg7lg(32)=⨯--+-⨯lg2lg72lg72lg3lg72lg3lg2=+-++-- 0=．法二： 7lg142lg lg7lg183-+-27lg14lg lg7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2147lg7183⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭lg1=0=．12．设集合{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20142015a b +=__________．【答案】1 【解析】解：由题意0(0)ba a=≠， ∴0b =，∴{}{}2,0,1,,0a a a =， ∴21a =且1a ≠． ∴1a =-， ∴201420151a b +=．13．函数2223(1)m m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为__________． 【答案】2【解析】解：本题考查幂函数的定义，因为2223(1)m m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，所以2211230m m m m ⎧--=⎪⎨--<⎪⎩，解得2m =．14．函数()2lg(1)2x f x x =++-的零点有__________个 【答案】1【解析】解：由题意得：()2lg(1)20x f x x =++-=， 即22lg(1)x x =-+，而：2x y =单调递增，2lg(1)y x =-+单调递减， 根据图像性质可知如果此两函数有交点，那也只有一个，也就是：22lg(1)x x =-+至多有一个零点0(0)2lg121f =+-=-， 99(9)2lg102210f =+-=->，所以(0)(9)0f f ⋅<，所以：函数()2lg(1)2x f x x =++-有一个零点．15．已知2()1g x x =-，221(())(0,1)x f g x x x-=≠，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 【答案】1【解析】解：令2()1t g x x ==-，则21x t =-， ∵1x ≠， ∴0t ≠， ∴1(1)()(0)11t tf t t t t--==≠--， ∴11211212f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-．故答案为1．16．若函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m，且函数()(1g x =-在[0,)+∞上是增函数，则a =__________． 【答案】14【解析】解：本题主要考查指数函数和函数的单调性． 由题意，当1a >时，1a m -=，24a =，解得2a =，12m =，当01a <<时，2a m =，14a -=， 解得14a =，116m =，又函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数， 所以140m ->，即14m <，所以116m =，14a =， 故本题正确答案为14．三、解答题：（本大题共4小题，共36分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．设集合{}|321A x x =->，{}|23B x m x m =+≤≤． （1）当1m =-时，求A B ，A B ． （2）若B A ⊆，求m 的取值范围． 【答案】0.5m >．【解析】解：由A 中不等式解得：1x >，即{}|1A x x =>， ①把1m =-代入B 中得：22x -≤≤，即{}|22B x x =-≤≤， ∴{}|12A B x x =<≤，A B =R ． ②∵B A ⊆， ∴21m >， 解得0.5m >．18．已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，（0a >，0a ≠） （1）设2a =，函数()f x 的定义域为[3,63]，求()f x 的最值． （2）求使()()0f x g x ->的x 的取值范围． 【答案】（1）最大值6，最小值2．（2）当1a >时，(0,1)x ∈，当01a <<时，()1,0x ∈-．【解析】解：（1）当2a =时，函数2()log (1)f x x =+为[3,63]上的增函数， 故max 2()(63)log (631)6f x f ==+=， min 2()(3)log (31)2f x f ==+=．（2）()()0f x g x ->，即log (1)log (1)a a x x +>-．①当1a >时，由110x x +>->，得01x <<，故此时x 的范围是(0,1)．②当01a <<时，由011x x <+<-，得10x -<<，故此时x 的范围是(1,0)-．19．已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x >时，()23x xf x =-． （1）求(1)f -的值．（2）若对于任意的t ∈R ，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）53．（2）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【解析】解：（1）115(1)(1)233f f ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭．（2）∵()f x 是奇函数， ∴(0)0f =，∵5(1)(0)03f f =-<=，且()f x 在R 上单调，∴()f x 在R 上单调递减， ∵22(2)(2)0f t t f t k -<--< ∵22(2)(2)f t t f t k -<--， ∵()f x 是奇函数， ∴()222(2)f t t f k t -<-， ∵()f x 是减函数，∴2222t t k t ->-，即2320t t k -->对任意t ∈R 恒成立， ∴4120k ∆=+<得13k <-即为所求，∴k 的取值范围为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．20．已知：函数()f x 对一切实数x ，y 都有()()(21)f x y f y x x y +-=++成立，且(1)0f =．（1）求(0)f 的值．（2）求()f x 的解析式．（3）已知a ∈R ，设:P 当102x <<时，不等式()32f x x a +<+恒成立， :Q 当[2,2]x ∈-时，()()g x f x ax =-是单调函数，如果满足P 成立的a 的集合记为A ，满足Q 成立的a 的集合记为B ，求A C B R （R 为全集）．【答案】（1）2-．（2）2()2f x x x =+-．（3）{}|15A C B a a =<R ≤．【解析】解：（1）令1x =-，1y =，则由已知(0)(1)1(121)f f -=-⨯-++，∵(1)0f =，∴(0)2f =-．（2）令0y =，则()(0)(1)f x f x x -=+，又∵(0)2f =-，∴2()2f x x x =+-．（3）不等式()32f x x a +<+，即2232x x x a +-+<+，即21x x a -+<，当102x <<时，23114x x <-+<， 由21324x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭恒成立，故{}|1A a a =≥，22()2(1)2g x x x ax x a x =+--=+--， 又()g x 在[2,2]-上是单调函数，故有122a --≤或122a -≥， ∴{|3B a a =-≤或}5a ≥，∴{}|15A C B a a =<R ≤．。
天津市耀华中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷 (有解析)
天津市耀华中学2019-2020学年高二上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.命题：∃x0∈R，2x0≥1的否定是()A. ∃x0∈R，2x0<1B. ∃x0∉R，2x0≥1C. ∀x∈R，2x≥1D. ∀x∈R，2x<12.在等差数列{a n}中，a3=1，公差d=2，则a8的值为()A. 9B. 10C. 11D. 123.已知a1,a2,a3,a4是非零实数，则a1a4=a2a3是a1,a2,a3,a4成等比数列的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分且必要条件D. 既不充分又不必要条件4.等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6,a1=4，则公差d=()A. 1B. 53C. −2D. 35.在数列{a n}中，a1=1，a2=5，a n+2=a n+1−a n(n∈N∗)，则a100=()A. 1B. −1C. 2D. 06.若不等式ax2−5x+1≤0的解集为[13,12]，则a的值为()A. 56B. 6 C. 16D. 57.不等式x2−4x>2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是()A. (1,4)B. (−4,−1)C. (−∞,−4)∪(−1,+∞)D. (−∞,1)∪(4,+∞)8.若不等式x2−ax+a>0在(1,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是()A. [0,4]B. [4,+∞)C. (−∞,4)D. (−∞,4]9.数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N∗都有a m+n=a m+a n+mn，则1a1+1a2+⋯+1a20等于()A. 4021B. 2021C. 1910D. 201910.已知1a +1b=1(a>0,b>0),则a+b的最小值为()A. 2B. 3C. 4D. 511.已知数列{a n}中，a1=13，且对任意的n∈N∗，都有a n+1=1−a n1+a n成立，则a100=()A. 1B. 13C. 12D. 2312.若x<0，则2+3x+4x的最大值是()A. 2+4√3B. 2±4√3C. 2−4√3D. 以上都不对二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）13.设等比数列{a n}的前n项的和为S n，且满足S2=3，S3−S1=6，则a6=________．14.已知p：|4−x|≤6，q：x2−2x+1−a2≥0(a>0)，若￢p是q的充分而不必要条件，则实数a的取值范围为____________．15.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m，且a1=1，那么a10=________．16.已知{a n}是等比数列，且a3a4=6，则a2a5=______ ．17.若数列{a n}满足(n−1)a n=(n+1)a n−1，且a1=1，则a100=________．18.若2a>b>0，则a+4的最小值是________．(2a−b)·b三、解答题（本大题共2小题，共22.0分）19.等差数列{a n}的各项均为正数，a1=1，前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1=1，且b2S2=6，b2+S3=8．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)求{a n·b n}的前n项和T n．20.已知函数f(x)=x2−ax+3(a∈R)．(1)当a=2时，解不等式f(x)≥6；(2)若x∈[1,+∞)时，f(x)≥1−x2恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵命题是特称命题，∴命题的否定是：∀x∈R，2x<，故选：D．根据特称命题的否定是全称命题．即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．2.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查学生的计算能力，比较基础．直接利用等差数列的通项公式求解即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a3=1，公差d=2，∴a8=a3+5d=1+10=11．故选C．3.答案：B解析：【分析】本题考查了等比数列的性质，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键，属基础题．若a1，a2，a3，a4成等比数列，利用等比数列的性质得到a1a4=a2a3；但当a1a4=a2a3时，举反例说明a1，a2，a3，a4不一定成等比数列，进而得到“a1a4=a2a3”是“a1，a2，a3，a4成等比数列”必要非充分条件．【解答】解：先证必要性：若a1，a2，a3，a4成等比数列，∴a1a4=a2a3；又a1=1，a4=2，a2=−1，a3=−2，满足a1a4=a2a3，但1，−1，−2，2不成等比数列，则“a 1a 4=a 2a 3”是“a 1，a 2，a 3，a 4，成等比数列”必要非充分条件． 故选B ．4.答案：C解析： 【分析】本题考查等差数列的性质，等差数列的通项公式及求和公式，属基础题． 利用等差数列性质可得a 2=2，即可得d =a 2−a 1=−2． 【解答】解：由题意可得a 1+a 2+a 3=S 3，即3a 2=S 3=6， 得a 2=2，所以d =a 2−a 1=2−4=−2． 故选C ．5.答案：B解析： 【分析】本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，属于中档题． 依题意得到a n+6=a n,即数列为周期数列，即可解答． 【解答】解：∵在数列{a n }中，a 1=1，a 2=5，a n+2=a n+1−a n (n ∈N ∗)，∴a 3=a 2−a 1=4，同理可得：a 4=−1，a 5=−5，a 6=−4，a 7=1，a 8=5，…， 可得a n+6=a n ．则a 100=a 16×6+4=a 4=−1． 故选B ．6.答案：B解析：解：∵不等式ax 2−5x +1≤0的解集为[13,12]， ∴对应一元二次方程ax 2−5x +1=0的实数根为13和12， 由根与系数的关系，得； 1a=13×12， 解得a =6．根据不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系，求出a 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．7.答案：B解析： 【分析】本题考查二次函数恒成立问题，属于基础题． 先利用二次函数恒成立，△<0，然后求出结果． 【解答】解：不等式x 2−4x >2ax +a 变形为x 2−(4+2a)x −a >0，该不等式对一切实数x 恒成立， ∴△<0，即(4+2a)2+4a <0，化简得a 2+5a +4<0，解得−4<a <−1， ∴实数a 的取值范围是(−4,−1)． 故选B ．8.答案：C解析： 【分析】本题考查恒成立问题求参数的取值范围，是中档题． 将不等式x 2−ax +a >0在(1,+∞)上恒成立转化为a <x 2x−1在(1,+∞)上恒成立，运用基本不等式求出x 2x−1的最小值即可．【解答】解：∵不等式x 2−ax +a >0在(1,+∞)上恒成立， ∴a <x 2x−1在(1,+∞)上恒成立， 即a <(x 2x−1)min，∵x 2x−1=(x −1)+1x−1+2≥2+2=4，当且仅当x =2时，取得最小值4． ∴a <4． 故选C ．9.答案：A解析：本题考查等差数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N∗都有a m+n=a m+a n+mn，可得a n+1−a n=1+n，利用“累加求和”可得a n，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N∗都有a m+n=a m+a n+mn，∴a n+1−a n=1+n，∴a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1=n+(n−1)+⋯+2+1=n(n+1)2．∴1a n =2(1n−1n+1)．则1a1+1a2+⋯+1a20=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(120−121)]=2(1−121)=4021．故选A．10.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属简单题．【解答】解：(a+b)(1a +1b)=ba+ab+2≥2√ba×ab+2=4，当且仅当a=b=2时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选C．11.答案：C解析：【分析】本题考查数列的周期性，属于基础题．由题意，求出数列{a n}的前几项，进而可知数列的周期，即可求出结果．【解答】解：数列{a n}中，a1=13，且对任意的n∈N∗，都有a n+1=1−a n1+a n成立，所以a2=1−a11+a1=1−131+13=12，a3=1−121+12=13，a4=1−131+13=12，···，所以数列{a n}的周期为2．所以a100=a2=12．故选C．12.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解答时要注意基本不等式等号成立的条件，属于基础题．由题意，可变为2+3x+4x =2−[(−3x)+(−4x)]，利用基本不等式求出最值即可．【解答】解：由题意，2+3x+4x =2−[(−3x)+(−4x)]，∵x<0时，(−3x)+(−4x )≥2√(−3x)×(−4x)=4√3，∴2+3x+4x =2−[(−3x)+(−4x)]≤2−4√3，当且仅当−3x=−4x 即x=−2√33时等号成立，故x<0时，2+3x+4x的最大值是2−4√3，故选C．13.答案：32解析：【分析】本题主要考查等比数列的通项公式及前n项的和S n，属于基础题．根据等比数列的通项公式列出方程，求解首项与公比，再求解a6．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，因为S2=3⇒a1+a2=3，所以a1+a1q=3，因为S3−S1=6⇒a2+a3=6，所以a1q+a1q2=6，所以q=2,a1=1，则a6=a1q5=32．故答案为32.14.答案：(0,3]解析：【分析】此题主要考查绝对值的性质及一元二次方程的求法，还考查了充分必要条件的定义，是一道基础题．根据充分必要条件的定义可以求出a的取值范围．【解答】解：∵p：|4−x|≤6，∴−2≤x≤10，￢p可得，x>10或x<−2，q：x2−2x+1−a2≥0(a>0)，∴q，x≥1+a，x≤1−a，∵￢p是q的充分而不必要条件，∴￢p⇒q，∴{1+a≤101−a≥−2，且等号不能同时取到，解得，a≤3，∵a>0，∴当a=3，可得x≥4或x≤−2，满足题意，则实数a的取值范围为(0,3]，故答案为(0,3]．15.答案：1解析：【分析】本题考查数列的递推关系，数列的求和，属于基础题．由题意，可以对m，n赋值，根据特值法得到所求．【解答】，且a1=1，解：∵数列{a n}的前n项和S n满足S n+S m=S n+m∴令m=n=1，得到2S1=S2=a1+a2，∴a1=a2=1，令m=1，n=10，得到S10+S1=S11，令m=2，n=9，得到S9+S2=S11，两式相减得到a10−a2=0，∴a10=1，故答案为1．16.答案：6解析：解：∵{a n}是等比数列，且a3a4=6，∴a2a5=a1q⋅a14 =a1q2⋅a1q3a3a4=6．故答案为：6．利用等比数列通项公式求解．本题考查等比数列的两项乘积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．17.答案：5050解析：【分析】根据数列递推式，可采用累加法，利用等差数列的求和公式，可得结论．本题考查数列递推式，考查数列的通项，累加求和．【解答】解：∵(n−1)a n=(n+1)a n−1，∵a1=1，所以n≥2时，a na n−1=n+1n−1，所以a n=a na n−1·a n−1a n−2·…a3a2·a2a1·a1=n+1n−1·nn−2·n−1n−3 (4)2·31·1，即a n=(n+1)n1×2=n(n+1)2，所以，a100=5050故答案为5050．18.答案：3解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．由a+4(2a−b)·b=(a−b2)+b2+1(a−b2)·b2，利用基本不等式可得答案．【解答】解：由于2a>b>0，所以2a−b>0，所以a+4(2a−b)·b=a+2(a−b2)·b=(a−b2)+b2+1(a−b2)·b2≥3√(a−b2)·b2·1(a−b2)·b23=3．当且仅当a−b2=b2=1(a−b2)·b2，即a=2，b=2时，取等号，故答案为3．19.答案：解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，d>0，{b n}的公比为q，则a n=1+(n−1)d，b n=q n−1．由b2S2=6，b2+S3=8，有q(2+d)=6，q+3+3d=8，解得d=1，q=2，或q=9，d=−43(舍去)，故a n=n，b n=2n−1．(2)a n·b n=n·2n−1．前n项和为T n=1×20+2×21+3×22+⋯+n×2n−1，2T n=1×21+2×22+3×23+⋯+n×2n．两式相减可得−T n=20+21+22+⋯+2n−1−n·2n=20−2n1−2−n·2n=(1−n)·2n−1．化简可得T n=1+(n−1)·2n．解析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)设等差数列{a n}的公差为d，d>0，{b n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；(2)求得a n·b n=n·2n−1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．20.答案：解：(1)函数f(x)=x2−ax+3，(a∈R)，当a=2时，不等式f(x)≥6化为x2−2x+3≥6，即x2−2x−3≥0，解得x≤−1或x≥3，∴该不等式的解集为(−∞,−1]∪[3,+∞)；(2)若x∈[1,+∞)时，f(x)≥1−x2恒成立，则x2−ax+3≥1−x2恒成立，即a⩽2x+2x在x∈[1,+∞)时恒成立；设g(x)=2x+2x ，其中x∈[1,+∞)，则g(x)⩾2⋅√2x⋅2x=4，当且仅当x=1时取“=”；∴a的取值范围是(−∞,4]．解析：本题主要考查不等式求解和不等式恒成立问题，属于中档题．(1)利用一元二次不等式和一元二次方程根的关系求解即可；(2)借助基本不等式求得a的取值范围即可．。
天津市耀华中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
天津市耀华中学2017—2018学年度第一学期期中形成性检测高一年级数学学科试卷第I卷（选择题共40 分）、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案填在题中括号里）1 已知集合M ={y|y =x2_1,x 壬R }，集合N ={x| y = J3 —x2}, M P1N=().A. 1(— 2,1),( 2,1)?B. [一1,、3]C. [0, 3]D ..一【答案】B【解析】解：M =[-1, ：：) , N =[_..3, ..3],故M「|N =[-1, 3].12 .函数f (x) lg(1 x)的定义域是( ).1 —XC. (—1,1)U(1,乜) D . (-«,P)A.(」=,-1)B. (1,二)【答案】C【解析】解：根据题意，使f (x) — lg(1亠x)有意义，1 -x（V x应满足，解可得（-1,1）—1,；）.J —xHO故选C .3.设函数f(x j …a x 为奇函数，则实数).A. -1B. 1C. 0【答案】A【解析】解：•••函数2x f(x)：(a 1)x ax为奇函数,331支 1 1a =2 ，则 0 :::a ：1 ,b =log 2 ，则 b ：：0 ,c = log 1 log 2 3 1 ,3 2 3所以 c 1 a 0 b ，即 c a b . 故选C .f (_x)f (x)二 2x 一(a 1)x a2x (a 1)x a-x化为(a 1)x =0 ,故选A .4.已知 f(x)・ f 1)I 2丿 j ( f(x -1) 1 x >( ).C .【答案】【解析】 解:f (x)二f『1)2x -1 x ：-! I 2丿 f 1 ) f(x -1) 1 x > - I I 2丿1 14-1 f -故选A .5.已知1b =log 2 — 3 1,C =log 1 ，则(2 3).C . cab【答案】【解析】解：本题主要考查对数函数和指数函数.6. 函数f(x) =81(6-x-x2)的单调递增区间是( ).3【答案】D【解析】解：••• 6 _x _x 2 0 ,••• -3 ：：：x ：：：2 ,又函数 f (x) =log 1(6「x 「x 2)是由 f (x) =log 11 及 t = 6 - x - x 2 复合而成，易知 f (x) = log ^ t33亏【答案】C【解析】解：本题主要考查对数函数，指数函数和幕函数.由图可知点 A 在函数y=log .2x 上，又点A 的纵坐标为2 ,2所以将y=2代入对数函数解析式可求得点 A 的坐标为A -,2 ,吃丿1所以点D 的横坐标为1，点B 的纵坐标为2，点B 在幕函数y=x 2的图像上,2所以点B 的坐标为(4,2),在定义域上单调递减，而函数-!,2单调递减，根据复合函数IL 2的单调性的法则知，函数f(x) =log t (6 —x —X 2)的单调递增区间是|_丄2 I 1.3 1 2,丿故选D .17.如图，矩形 ABCD 的三个顶点 A , B , C 分别在函数y =log .p X ,,2且矩形的边分别平行于两坐标轴，若点A 的纵坐标为2，则点D的坐标为(t = 6 - x - x 2 在).所以点C 的坐标为C 4,1 ,I 4丿所以点D的纵坐标为1, 4所以点 D 的坐标为 1 1I. 2,4故选C 【答案】A【解析】解：由y =f(x)的图像可知：在x 0时，函数值为负，x ：：：0时，函数值为正， 结合y =g(x )的图像可知：x 0时，函数值先为正数，后为0,再为负数，x ：：0时，函数值先为负数，后为0,再为正数，x ：：0时，先为负数，后为0 ,再为正数，且y=f(x)・g(x) 的图像不过原点. 故选A .9.设奇函数f (x)定义在(-：：,0) U(0, ；) 上, f (x)在(0,；)上为增函数，且f ⑴=0，则不等式 沁逬耳“的解集为( ). 5xA . (-1,0)U(1,；)B . (-：,-1)U(0,1)C . (-D . (-1,0^ (0,1)所以点C 的横坐标为4，点C 的指数函数&函数y=f (x)与y =g(x)的图像如图，则函数y =f(x) g(x)的图像可能是()•x的图像上,A B C D【答案】D【解析】解：奇函数f(x)定义在(_：:,0川(0,；)上，在(0,=)上为增函数，且f(1) = 0,•••函数f(x)的关于原点对称，且在(_：:,0)上也是增函数，过点(_1,0),所以可将函数f (x)的图像画出，大致如下:3f(x)-2f(-x) f (x)小••不等式0可化为0,5x x即xf(x) <0，不等式的解集即为自变量与函数值异号的x的范围,据图像可以知道X- (—1,0) J(0,1) •故选D •x2 110.设函数f(x) - x --，［x］表示不超过x的最大整数，如［-1.2］ = -2 , ［2.3］ =2则函数1+2 2 y 二［f(x)］，［f(-x)］的值域为( ).【答案】Bx2 f(x)：• 1 +2x=11 _11 2x 2A •心B . ；、-1,0? C.〈-1,0,1? D . : -2,0? 【解析】化简函数f(x)x2x1 2对x的正、负和0分类讨论，求出[f(x)] [f(_x)]的值.解:3=0.当 x 0 , 0 w f (x) ：：：—[ f(x)] =0 , x ：：：0-2 ：：： f(x) ：：:0[f(x)] - -1 , 当 x =0, f(x) =0[f(x)] =0 , 所以：当 x =0 , y =[f(x)] f[(—x)] =0 , 当 x 不等于 0, y =[f(x)] [f(_x)] =0 _1 =_1 , 所以，y 的值域：］0,_1 ?. 第n 卷（非选择题 共60分）二、填空题: （本大题共6小题，每小题4分，共24分.不需写解答过程，请把答案填在题中横线上） 11.计算: Ig14 -2lg — Ig7 -Ig18 二 3 【答案】0 【解析】解:法一： Ig14 -2lg - Ig7 -Ig18 3 = lg(2 7) -2(lg7 -Ig3) Ig7 -lg(322) =lg2 Ig7 -2lg7 2lg3 Ig7 -2lg3 -Ig2 =0. 法二：Ig14 -2lg - Ig7 -Ig18 3 希4 -lg [芍 3 Ig7 -Ig18 14 7 "g7 21812.设集合』a,b,l[={a2,a+b,0}，则a2014+b2015 = .I a J【答案】1【解析】解：由题意b =0(a =0),a••• b =0 ,a0Wa2,a,0 f,• 2 口• - a =1 且a 才1 .a -」,. 2014 2015…a b 二1 .m的值为____________ 13•函数y=(m2 _m-1)x m2'2是幕函数且在(0,;)上单调递减，则实数【答案】2【解析】解：本题考查幕函数的定义，因为y =(m2—m-1)x m2g是幕函数且在© ；)上单调递减，m2 -m -1 =1所以2，m -2m -3 :: 0解得m =2 .14. __________________________________________ 函数f (x) =2x +lg(x +1)-2的零点有个【答案】1【解析】解：由题意得：f(x) =2x - lg(x 1) -2 =0 ,即2x=2 —lg(x 1),而：y =2x单调递增，y=2-lg(x，1)单调递减，根据图像性质可知如果此两函数有交点，那也只有一个，也就是：2x =^lg(x 1)至多有一个零点f(0^2°Ig1 -2 = -1 ,4f (9) =29 lg10 _2 =29 -1 0 ,所以f(0) f(9) ：::0 ,所以：函数f(x) =2x Jg(x ・1)_2有一个零点.2 d X2〃\15. ___________________________________________________________ 已知g(x)=1_x , f(g(x)) =— (x式0,1)，贝U f .— = ________________________________________________x l2丿【答案】1【解析】解：令t =g(x)二1 -x2，则x2=1 -1 ,••• x =1,t --0 ,16. 若函数f (x) =a ( a >0且a式1)在［T2上的最大值为4 ,最小值为m,且函数g (x) =(1 -4)J x在［0,七马上是增函数，则a = ___________ .【答案】14【解析】解：本题主要考查指数函数和函数的单调性.A由题意，当a 1 时，a'=m , a2=4，解得a = 2 , m = -，当0 ：：： a ：：： 1 时，a2 = m , a」=4 ,2解得a =1, m =丄,4 16又函数g(x) =(1-4m).. x在［0, •：：)上是增函数，所以1 -4m -0，即卩m：：：1,所以m =丄,a =—,16 4f(t)二1 -(1 -t)1 —t(t=0)，故答案为1.故本题正确答案为—.4三、解答题：(本大题共4小题，共36分•解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17 .设集合A - ［x|3x -2 —，B - ［x| 2m < x< m 3).(1 )当m =_1 时，求A「|B , AUB .(2 )若B A，求m的取值范围.【答案】m 0.5 .【解析】解：由A中不等式解得：x 1，即A・：x|x .1?,①把m - -1 代入B 中得：-2 < x < 2，即B -「x| _2 < x< 2?,••• AflB」x|1 ：：：x w 2 , AUB 二R .②••• B M A ,• 2m 1 ,解得m 0.5 .18.已知函数f (x) =log a(1 x) , g(x) =log a(1-x) , ( a 0 , a=0 )(1 )设a =2，函数f (x)的定义域为［3,63］，求f (x)的最值.(2)求使f(x) _g(x) .0的x的取值范围.【答案】(1 )最大值6，最小值2 .(2 )当a 1 时，x (0,1)，当0 ::: a <1 时，x (-1,0).【解析】解：(1 )当a =2时，函数f(x) =log2(x 1)为［3,63］上的增函数，故f (x)ma^ f (63) =log2(63 1)=6 ,f(x)min 二f(3) =log2(3 1)=2 .(2) f(x)-g(x) 0，即log a(1 x) log a(1-x).①当a 1时，由1 x・1 —x,得0 ：：：x ：：：1，故此时x的范围是(0,1).4②当0 ::: a ：：：1 时，由0 ：：：1 - x -1 - x，得-1 ：：： x ：：： 0 ,故此时x 的范围是(-1,0).19 •已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x 0时，f(x)=^_2x.(1 )求f (-1)的值.(2)若对于任意的t・R，不等式f(t2_2t) • f (2t2 -k) ：：：0恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1 ) 5.3f 1 \(2) -：：，-I 3丿【解析】解：(1) f (_1) = _f (1) = 一1—21 =5.© 丿3(2 )T f(x)是奇函数，•- f(0) =0,••• f ⑴=f(0) = 0 ,且f (x)在R 上单调，3••• f (x)在R上单调递减，2 2••• f (t —2t) ：：:—f(2t — k) ：：:02 2T f (t —2t) ：： -f (2t -k),••• f (x)是奇函数，•- f (t2-2t) ：：f(k -2t2),f(x)是减函数，2 2 2…t 2t k - 2t，即31 ■ ■ 2t - k ^0对任意t R恒成立，•A. =4 12k ：：:0 得k ：：： -1 即为所求，20.已知：函数f (x)对一切实数x , y都有f(x y^f(y^x(x 2y 1)成立，且f(1) = 0 .3(1 )求f (0)的值.(2 )求f (x)的解析式.1(3 )已知a R，设P:当0 ：：：x 时，不等式f (x) 3 ：. 2x - a恒成立，Q:当x・［f,2］时，g(x)二f(x)_ax是单调函数，如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a 的集合记为B，求A"C R B( R为全集).【答案】(1 ) 2 .(2) f (x) =x2 x —2 .(3 ) Ap|C R B Xa|1 w a ：：：5?.【解析】解：(1 )令x=—1 , y =1，则由已知f(0)_f(1)=「1 (_1 2 1),••• f(1)=0,••• f (0) - -2 .(2 )令y =0，贝U f (x) _f (0) =x(x 1),又••• f (0) =-2 ,• f (x) =x2 x -2 .(3 )不等式f (x) 3 ■2x a，即x2• x「2 • 3 ：：：2x a ,2 13 2即x - x • 1 ：：：a，当0 ：：：x ：：：—时，一：：：x —x 1 <1 ,4由！x -1 | 一:: a 恒成立，故A ='a|a > 1; , g(x) =x2 x -2 - ax = x2 (1 -a)x -4又g(x)在［-2,2］上是单调函数，故有口w -2或口 > 2 ,2 2• B =\a |a w -3 或a > 5:,•- A P|C R B - \a |1 w a ::: .。
2017-2018学年天津市第一中学高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
天津市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（文）试题一、选择题：1. 已知两条不同的直，两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A. 若，，，则B. 若，，，则C. 若，，，则D. 若，，，则【答案】A【解析】对于，由，可得∥或，又由，则，故正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，若∥，∥，∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确；对于，由，可得∥或，又由∥，则与可能平行也可能相交，也可能异面，故不正确.故选A2. 已知直线与直线平行，则的值为（）A. 0或3或B. 0或3C. 3或D. 0或【答案】D∴，即∴，，或经验证当时，两直线重合.故选D3. 已知满足约束条件，则的最大值是（）A. 0B. 2C. 5D. 6【答案】C【解析】画出二元一次不等式所表示的可行域，目标函数为截距型，直线的截距越大越大，根据图形求出最优解为，代入目标函数，则的最大值是5.4. 若过定点且斜率为的直线与圆在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把圆的方程化为标准方程为∴圆心坐标为，半径令，则设，又∴∵直线过第一象限，且过∴又∵直线与圆在第一象限内有交点∴∴的取值范围是故选A5. 在正三棱柱中，若，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设点到平面的距离为∵∴∴∴故选B6. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：直线表示斜率为的直线，而曲线表示以为圆心以为半径的下半圆，如图由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得；当直线经过点时取到最大值，此时。
所以，故选D．考点：直线与曲线有公共点是参数的取值范围，数形结合思想的应用．【易错点睛】该题考查的是有关直线与曲线有公共点时参数的取值范围的问题，属于较难题目，在做题的过程中，要注意看清化简后的曲线与圆有关，但是并不是整个圆，而是下半个圆，如果不注意这点，很容易错选，再结合着图形，找出相应的边界值，从而确定出最后的结果，一个边界值是相切的时候，一个不是．7. 设不等式组表示的平面区域为，若圆：不经过区域上的点，则的取值范围是（ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】试题分析:求得各交点，的取值范围是，故选A ．考点:线性规划．8. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：几何体是四棱锥，如图.最长的棱长为补成的正方体的体对角线，即该四棱锥的最长棱的长度，故选B.【考点】三视图【名师点睛】本题考查了空间想象能力，由三视图还原几何体的方法:或者也可根据三视图的形状，将几何体的顶点放在正方体或长方体里面，便于分析问题. 9. 若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵直线始终平分圆的周长∴直线过圆心∴，即∵∴当且仅当，即，时，取等号故选C点睛：本题考查了直线与圆的位置关系，直线平分圆的周长则直线过圆心，再就是基本不等式的应用，“1”的妙用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正、二定、三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 已知二面角为，，，为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B考点：空间角的求解问题．【方法点晴】本题主要考查了空间角的求解问题，其中解答中涉及到异面所成角的求解、二面角的应用、以及空间直线与平面的位置关系的应用等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，本题解答的关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．二、填空题11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____（单位：）．【答案】【解析】由三视图可得原图形如图：该几何体是一个三棱锥与半圆锥的组合体，三棱锥的底面是等腰直角三角形，半圆锥的底面半径为1，高均为3，则该几何体的体积.故答案为12. 已知点和圆：，从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程________．【答案】8【解析】由题意，圆的圆心坐标为，圆的半径为2，点关于轴对称的点的坐标为，由反射定律得点关于轴对称的点在反射光线的延长线上，当反射光线过圆心时，路程最短∵∴从点发出的一束光线经过轴反射到圆周的最短路程是故答案为813. 已知圆：与直线：，当 时，圆被直线截得的弦长最短.【答案】1【解析】∵直线：，即∴直线经过定点∴当和直线垂直时，圆被直线截得的弦长最短，此时，，即∴故答案为114. 已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数_____________________．【答案】【解析】试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得.考点：直线与圆的位置关系，解三角形．【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.15. 正方形的边长为4，点分别是边，的中点，沿折成一个三棱锥（使重合于），则三棱锥的外接球表面积为______．【答案】【解析】根据题意，得折叠后的三棱锥中，侧面、侧面、侧面都是直角三角形，∴两两互相垂直∵，∴ 三棱锥的外接球的直径为：∴外接球的半径为∴三棱锥的外接球表面积为故答案为点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法：求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求得；若球面上四点构成的三条线段分别两两互相垂直，且，，，一般把有关元素“补形”成一个球内接长方体，利用求解.16. 若关于的不等式的解集为区间，且，则____.【答案】【解析】试题分析：如图所示，不等式的解集为，且，所以必有，又，解得，则直线，过点，代入解得．考点：直线与圆的位置关系及其应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其应用，其中解答中涉及到不等式的解法转化为直线与半圆的位置关系、直线的点斜式方程的应用等知识点的综合考查，着重考查了分析问题和解答问题能力，以及数形结合、转化思想的应用，本题的解答中把不等式问题转化为直线与圆的位置关系是解答的关键，试题有一定的难度，属于难题．三、解答题17. 本市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A, B,C 三种玩具共100个，每天生产时间不超过10小时，且C种玩具至少生产20个，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟）和所获利润如下表：（Ⅰ）用每天生产A种玩具个数x与B种玩具个数y表示每天的利润（元）（Ⅱ）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1) (2)每天生产A种玩具20件，B种玩具60件，C种玩具20件，利润最大为520元.【解析】试题分析：（1）依据题设条件借助数表中的数据及数据之间的关系，建立二元一次目标函数关系；（2）借助题设条件建立二元一次不等式组，运用线性规划的知识数形结合，联立方程组分析求出最优解即可，再代入目标函数即可获解：试题解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）即最优解为即∴（元）．18. 如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】(1)详见解析（2）【解析】试题分析：（1）先利用线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线得到线线平行和线段，得到平行四边形，再由平行四边形的性质得到线线平行，再由线面平行的判定定理进行证明；（3）利用三棱锥的体积公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，底面，所以.又因为，，所以平面，又平面，所以平面平面（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.因为，，分别是，，的中点，所以，且，.因为，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又因为平面，平面，所以平面.（Ⅲ）因为，，，所以.所以三棱锥的体积.考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间中平行关系的转化；3.三棱锥的体积．19. 如图所示，四棱锥的底面是平行四边形，，，，E，F 分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角为.（i）证明：平面平面；（ii）求直线与平面所成角的正切值．【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）要证明平面，可以先证明平面，利用线面平行的判定定理，即可证明平面；（2）①要证明平面平面，可用面面垂直的判定定理，即只需证明平面即可；②由①平面，所以为直线与平面所成的角，由及已知，得为直角，即可计算的长度，在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．试题解析：（1）证明：如图，取PB中点M，连接MF，AM．因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝BC．由已知有BC∥AD，BC＝AD．又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM．又AM⊂平面PAB，而EF⊄平面PAB，所以EF∥平面PAB．（2）①证明：如图，连接PE，BE．因为PA＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．在△PAD中，由PA＝PD＝，AD＝2，可解得PE＝2．在△ABD中，由BA＝BD＝，AD＝2，可解得BE＝1．在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB．又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC．又BE⊂平面ABCD，所以平面PBC⊥平面ABCD．②连接BF．由①知，BE⊥平面PBC，所以∠EFB为直线EF与平面PBC所成的角．由PB＝及已知，得∠ABP为直角．而MB＝PB＝，可得AM＝，故EF＝．又BE＝1，故在Rt△EBF中，sin∠EFB＝＝．所以直线EF与平面PBC所成角的正弦值为．考点：直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质；直线与平面所成角的求解．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定及直线与平面垂直的判定与性质，直线与平面所成角的求解，熟练掌握线面位置关系的判定定理与性质定理是解答基础，同时根据题设条件确定直线与平面所成的角是解答的关键，本题的第二问的解答中，根据平面，可以确定为直线与平面所成的角，可放置在中，即计算直线与平面所成的角的正弦值．20. 已知圆的圆心在直线：上，与直线：相切，且截直线：所得弦长为6（Ⅰ）求圆的方程（Ⅱ）过点是否存在直线，使以被圆截得弦为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）不存在直线.【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的圆心在直线：上，故可设圆心坐标为，再根据圆与直线相切，截直线：所得弦长为6，列出等式方程求解即可；（2）由题意过的直线斜率一定存在，设直线的方程为，以为直径的圆过原点，则，设，，则，联立直线与圆的方程，消去，得到关于的一元二次方程，由，利用韦达定理即可求出.试题解析：（Ⅰ）设圆心∵圆与直线相切∴∵圆截直线：所得弦长为6∴圆到直线的距离为∴∴∴圆心，∴圆的方程（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，不符合题意②设：设∵被圆截得弦为直径的圆经过原点∴，即∴联立直线与圆的方程化简可得，即∴，∵，，∴，即∴∵∴无解∴不存在直线.点睛：直线与圆的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解.联立直线与圆的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法，涉及垂直的关系时往往利用根与系数的关系，设而不求法简化运算.。
天津耀华中学高二数学理上学期期末试卷含解析
天津耀华中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是()A．(－∞，－2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)参考答案：D2. 某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A．，s2+1002 B． +100，s2+1002C．，s2 D． +100，s2参考答案：D【考点】BC：极差、方差与标准差；BB：众数、中位数、平均数．【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．【解答】解：由题意知y i=x i+100，则=（x1+x2+…+x10+100×10）=（x1+x2+…+x10）=+100，方差s2= [（x1+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）2+…+（x10+100﹣（+100）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2．故选：D．3. 已知，，若∥，则的值是( )A．1 B．－1 C．4 D．－4参考答案：D4. 命题“ x0∈R,=1”的否定形式是（）A. x0∈R,≠1 B. x0∈R,＞1C. x∈R,x2 =1D. x∈R,x2≠1参考答案：D5. 已知抛物线，过点的任意一条直线与抛物线交于A，B两点，抛物线外一点，若∠∠，则t的值为( )A. B. p C. D. －3参考答案：D【分析】设出点和直线，联立方程得到关于的韦达定理，将转化为斜率相反，将根与系数关系代入得到答案.【详解】设，设直线AB：又恒成立即答案为D【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,定点问题,设直线方程时消去可以简化运算,将角度关系转化为斜率关系是解题的关键,计算量较大,属于难题.6. 设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是（）A． B. C． D.参考答案：A7. 若，是异面直线，，，则直线（）A．同时与，相交B．至少和，中一条相交C．至多与，中一条相交D．与一条相交，与另一条平行参考答案：B8. 如果，那么下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．参考答案：A略9. 已知，，则是成立的 ( )A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A10. .已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是()A．求数列的前10项和(n∈N*)B．求数列的前11项和(n∈N*)C．求数列的前10项和(n∈N*)D．求数列的前11项和(n∈N*) 参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，．过作圆的切线，过作的垂线，分别与直线、圆交于点，则线段的长为．参考答案：312. 已知抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），则抛物线的标准方程是．参考答案：x2=﹣12y【考点】抛物线的标准方程．【专题】计算题；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意和抛物线的性质判断出抛物线的开口方向，并求出p的值，即可写出抛物线的标准方程．【解答】解：因为抛物线的焦点坐标是（0，﹣3），所以抛物线开口向下，且p=6，则抛物线的标准方程x2=﹣12y，故答案为：x2=﹣12y．【点评】本题考查抛物线的标准方程以及性质，属于基础题．13. 已知椭圆的离心率，A,B是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A,B的一点，直线PA,PB倾斜角分别为，则参考答案：略14. 若半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是．参考答案：15. 数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}的各项按如下规律排列：有如下运算和结论：①a24＝；②数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…是等比数列；③数列a1，a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9＋a10，…的前n项和为；④若存在正整数k，使S k<10，S k＋1≥10，则a k＝.其中正确的结论有________．(将你认为正确的结论序号都填上)参考答案：①③④16. .观察下列式子：根据以上式子可以猜想：__________．参考答案：【分析】确定的不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，即可求解．【详解】由已知中的不等式可知不等式的左边各式分子是1，分母值自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以不等式右边的第2018项为所以．【点睛】本题考查了合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．17. 《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后每天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从出发到相遇的天数为．参考答案：9【考点】函数模型的选择与应用．【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{a n}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m=103m+×13+97m+×（﹣0.5）=200m+×12.5≥2×1125，化为m2+31m﹣360≥0，解得m，取m=9．故答案为：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。
天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析
天津市耀华中学2018-2019学年高二9月月考数学试题解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P 中函数的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是 A4 B6 C8 D102． 已知2,0()2, 0ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）A ．716-B ．916-C ．12-D ．14-3． 函数22()(44)log x x f x x -=-的图象大致为（ ）4． 已知一三棱锥的三视图如图所示，那么它的体积为（ ）A ．13 B ．23C ．1D ．2 5． 已知角α的终边经过点(sin15,cos15)-，则2cos α的值为（ ）A ．124+B ．124- C. 34 D ．0 6． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （ ） A ．6B ．3C ．38D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）7． 设a ，b 为正实数，11a b+≤23()4()a b ab -=，则log a b =（ ） A.0B.1-C.1 D .1-或0【命题意图】本题考查基本不等式与对数的运算性质等基础知识，意在考查代数变形能与运算求解能力. 8． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。
ABC D9． 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是，，，BH 为AC 边上的高，5BH =，若2015120aBC bCA cAB ++=，则H 到AB 边的距离为（ ）A ．2B ．3 C.1 D ．410．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- .则几何体的体积为（ ）34意在考查学生空间想象能力和计算能 ） ,m m γ=,//m βα⊥,γαβ⊥⊥二、填空题（本大题共分.把答案填写在横线上）a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________．((2))f g = ， [()]f g x 的值域为 ．. 15．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.16．某公司租赁甲、乙两种设备生产A B ，两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件，乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费用为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B 类产品140件，所需租赁费最少为__________元.三、解答题（本大共6小题，共70分。
天津市耀华中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题含解析
A． ( 2,1),( 2,1)
B．[1, 3]
C．[0, 3]
D．
【答案】B 【解析】解： M [1,) ， N [ 3, 3] ，
故 M N [1, 3] ．
2．函数 f (x) 1 lg(1 x) 的定义域是（ ）． 1 x
A． (,1)
B． (1,)
C． (1,1) (1,)
19．已知定义域为 R 的单调函数 f (x) 是奇函数，当 x 0 时， f (x) x 2x ． 3
天津市耀华中学 2017—2018 学年度第一学期期中形成性检测
高一年级数学学科试卷
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一 项是符合题目要求的，请把正确的答案填在题中括号里）
1．已知集合 M y | y x2 1, x R ，集合 N x | y 3 x2 ， M N （ ）．
y
y= fx
1 O1
x
∵ f (x) f (x) ，
∴不等式 3 f (x) 2 f (x) 0 可化为 f (x) 0 ，
5x
x
即 xf (x) 0 ，不等式的解集即为自变量与函数值异号的 x 的范围，
据图像可以知道 x (1,0) (0,1) ．
故选 D ．
10．设函数
f
(x)
2x 1 2x
所以
m2 m2
m 1 2m
1 3
0
，
解得 m 2 ．
14．函数 f (x) 2x lg(x 1) 2 的零点有__________个 【答案】1 【解析】解：由题意得： f (x) 2x lg(x 1) 2 0 ，
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天津市耀华中学2017~2018学年度第一学期期中形成性检测高二、实验四年级 理科数学试卷一、选择题：将选择题答案填涂在答题卡．．．．．．．．．．．．．（每小题5分，共计40分） 1．空间两条直线a 、b 与直线l 都成异面直线，则a 、b 的位置关系是（ ）．A ．平行或相交B ．异面或平行C ．异面或相交D ．平行或异面或相交【答案】D【解析】直线a 、b 与直线l 都成异面直线，a 与b 之间并没有任何限制，所以a 与b 直线的位置关系所有情况都可能．故选D ．2．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）． 左视图主视图俯视图A ．423B ．433C ．36D ．83【答案】B【解析】该空间几何体为正四棱锥，其底面边长为2，高为3， 所以体积21432333V =⨯⨯=． 故选C ．3．一个球受热膨胀，表面积增加21%，那么球的半径增加了（ ）．A ．2110B ．3710C ．1110D ．110【答案】D【解析】设因膨胀半径由r 变为R ，则224π12()1%4πr R ⋅＋＝， ∴2111(121%)11010R r r r ⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭， ∴半径增加110． 故选D ．4．若方程0Ax By C ++=表示与两条坐标轴都相交的直线，则（ ）．A ．000ABC ≠⎧⎪≠⎨⎪≠⎩ B ．00A B ≠⎧⎨≠⎩ C ．00B C ≠⎧⎨≠⎩D ．00A C ≠⎧⎨≠⎩ 【答案】B【解析】∵方程0Ax By C ++=表示与两条坐标轴都相交的直线，∴直线的斜率存在且不等于0，∴0A ≠且0B ≠．故选B ．5．在60︒的二面角的一个面内有一点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是（ ）．A ．3B ．23C ．33D ．43【答案】D【解析】如图，8AP =，60HAP =︒∠， ∴sin 6043HP AP =⋅︒=．故选D ． ABHP6．若两条直线26123(0)a a x y +-+-=与()(12)40a x a y a ---+-=互相垂直，则a 的值等于（ ）．A ．3B ．3或5C ．3或5-或2D ．5- 【答案】C【解析】由两条直线垂直或知12120A A B B +=，即2()(1)612(2)0a a a a ⋅--+--=，即23)()()0(5a a a --+=，解得12a =，23a =，35a =-．故选C ．7．如果P 是等边ABC △所在平面外一点，且23PA PB PC ===，ABC △边长为1，那么PA 与底面ABC 所成的角是（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】A【解析】如图，易知P ABC -为正三棱锥，PO ⊥面ABC ，PA 与底面ABC 所成的角，即为APO ∠，3333AO AB ==，23PA =， ∴3cos 2AO PAO PO ==∠， 故30PAO =︒∠．故选A ．A B COP8．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面， ③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直．其中真命题的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】①正确，是线面平行的性质定理．②正确，是线面垂直的判定定理．③不正确，这两条直线也可能相交、异面．④正确，是面面垂直的判定定理．故选B ．二、填空题：（每小题4分，共计24分）将填空题答案写在答题纸上．．．．．．．．．．．．． 9．已知两点(2,3)P -，(3,2)Q ，直线20ax y ++=与线段PQ 相交，则a 的取值范围是__________． 【答案】41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】∵P 、Q 在直线20ax y ++=的两侧或在直线上，∴(232)(322)0a a -+++≤， ∴4132a -≤≤．10．过点(2,1)P 作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，则使||||PA PB ⋅的值最小时直线l 的方程为__________．【答案】30x y +-=【解析】P (2,1)x yO BA O如图所示：设BAO θ=∠，090θ︒<<︒，1||sin PA θ=，2||cos PB θ=， ∴24||||sin cos sin 2PA PB θθθ⋅==⋅， ∴290θ=︒，即45θ=︒时，||||PA PB ⋅取最小值， θ时、直线的倾斜角为135︒，斜率为1-，∴直线的方程为11(2)y x -=--，即30x y +-=．11．已知ABC △中，30A =︒∠，60B =︒∠，2AB =，AB ⊂平面α，平面ABC 与α所成角为30︒，则C 到平面α的距离为__________． 【答案】34【解析】设C 到AB 的距离为h ，在ABC △中，30A =︒∠，60B =︒∠，2AB =，∴90C =︒∠，1BC =，3AC =， ∴32BC AC h AB ⋅==， ∵平面ABC 与α所成角为30︒， ∴点C 到面α的距离为33sin 3024⋅︒=．12．已知圆锥侧面展开图为中心角为135︒的扇形，其面积为B ，圆锥的全面积为A ，则:A B 为__________．【答案】11:8【解析】圆锥底面弧长1352π2π360l r R ︒==⋅︒， ∴38r R =，即38r R =，2135π360B R ︒=⋅︒， 22135ππ360A R r ︒=⋅+︒， ∴222135ππ360135π360R r A B R ︒⋅+︒=︒⋅︒， 222338838R R R ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭= 118=．13．直线:20l x y --=关于直线330x y -+=对称的直线方程是__________． 【答案】7220x y ++=【解析】由20330x y x y --=⎧⎨-+=⎩得5292x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴两条直线的交点为59,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，该点也在所求直线上， 在l 上任取一点:(0,2)P -，设它关于直线330x y -+=的对称点为00:(,)Q x y ， 则有00002310233022y x x y +⎧⨯=-⎪-⎪⎨-⎪⨯-+=⎪⎩，解得0031x y =-⎧⎨=-⎩， ∴:(3,1)Q --且在所求直线上， ∴所求直线方程为13951322y x ++=-+-+， 即7220x y ++=．14．在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC △、ACD △、ADB △的面积分别为22、32、62，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为__________． 【答案】6π【解析】在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，补成长方体，两者的外接球是同一个，长方体的体对角线即为球的直径， 设长方体的三度分别为a 、b 、c ， 则有1622ab =，1322bc =，1222bc =，解得：3a =，2b =，1c =， 所以球的直径3216d =++=， 球的半径622d r ==， ∴三棱锥A BCD -的外接球的体积为 346π6π33V ⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭．三、解答题：（共3小题，共计36分）将解答题答案填写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．． 15．（本小题满分8分）一直线被两直线1:460l x y ++=，2:3560l x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程．【答案】见解析．【解析】解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A ，B ，设00(,)A x y ，则B 点坐标为00(,)x y --，因为A ，分别在1l ，2l 上，所以00004603560x y x y ++=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩①②，【注意有①②】 ①+②得：0060x y ＋＝，即点A 在直线60x y +=上，又直线60x y +=过原点，所以直线l 的方程为60x y +=．16．（本小题满分14分）已知点P 到两个定点 (1,0)M -、 (1,0)N 距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1．求直线PN 的方程．【答案】见解析．【解析】解：设点P 的坐标为(,)x y ，由题设有||2||PM PN =， 即2222(1)2(1)x y x y ++=⋅-+，整理得22610x y x +-+=①，因为点N 到PM 的距离为1，||2MN =，所以30PMN =︒∠，直线PM 的斜率为33±， 直线PM 的方程为3(1)3y x =±+② 将②式代入①式整理得2410x x -+=， 解得23x =+，23x =-，代入②式得点P 的坐标为(23,13)++ 或(23,13)--+；(23,13)+-或(23,13)--，直线PN 的方程为1y x =-或1y x =-+．17．（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CD =，平面 平面EDCF ⊥平面ABCD ． （1）求证： DF ∥平面ABE ．（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值． （3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为34，若存在，求出线段BP 的长．D A BC EF【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴， DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(0,0,3)E ，(1,2,3)F -， ∴(1,2,3)BE =-- ，(0,2,0)AB = ，设平面ABE 的法向量为(,,)n x y z = ， ∴23020x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设(3,0,1)n =， 又(1,2,3)DF =- ， ∴330DF n ⋅=-+= ，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴DF ∥平面ABE ．（2）解：∵(1,2,3)BE =-- ，(2,0,3)BF =- ， 设平面BEF 的法向量为(,,)m x y z = ， ∴230230x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设(23,3,4)m =， ∴||10531|cos |31||||231m n m n θ⋅===⋅ ，∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为53131．（3）解：设(1,2,3)(,2,3)DP DF λλλλλ==-=- ，[0,1]λ∈，∴(,2,3)P λλλ-， ∴(1,22,)BP λλλ=--- ，又∵平面ABE 的法向量为(3,0,1)n = ， ∴222|333|3sin |cos |42(1)(22)3BP n λλθλλλ-+=<⋅>==++-+，∴28610λλ-+=， ∴12λ=或14λ=， ∴当12λ=时，33,1,22BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴||2BP = ， 当14λ=时，533,,424BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴||2BP = ， 综上||2BP = ．。