2016-2017学年福建省泉州市惠安县荷山中学七年级数学上期中试卷.doc
福建省泉州市泉港区2017_2018学年七年级数学上学期期中教学质量检测答案201711211139
福建省泉州市泉港区2017-2018学年七年级数学上学期期中教学质量检测答案一、BCADD ADBCA二、11. 12. (答案不唯一) 13. 14.25 15.1.2a元16. 72,（说明：下列各题若有另外的解法，请参照给分）三式= ······························2分= ····································· 4分= ······································· ···6分= ····························1分= ·························2分= ·································4分= ···································6 分= ·························2分= ······································ 4分= (6)18解：原式= ························2分1= ·······················4分= ··································· ··6分19.解：= ··············2分= ····················4分= ·································· ··6分20.解：（1）································2分（2）·····5分答：该厂星期一生产工艺品305个；本周实际生产工艺品的数量为2110 个. ·····················6分21.解：原式= ···························1分= ····························2 分= ····································· ·····3分···································· ······4分= (5)= ······································· ·······6分222.解：由题意的：············4分所以：原式= ························6分= ··································7分= ·········································8分23.解：（1） (1)分································2分···································4分答：阴影部分边长，面积···5分（2）······················6分······································7分··················8分·····································9分答：阴影部分边长，面积············10分24.解：（1）（-1,1）························2分（2（-2, ）注：答案不唯一························6分（3）由题意得：2m=m2＋2－3 即m2－2m=12m－[3m2－2(2m－1) ]= 6m-3m2－2=-3(m2－2m)-2=-5 ·········································12分25.解：（1）2,4···············································2分（2）2+t···············································4分（3）秒后点C运动的距离为t个单位长度,点D运动的距离为t个单位长度,表示的数是t,D表示的数是, ····························5分, , ··························6分,,计算得出: ·∴当秒时; , (8)分(4)假设能相等,则点A表示的数为,C表示的数为t,D表示的数为,B表示的数为12, ············································9分, , ·····11分,, ·········································12分计算得出: ,故在运动的过程中使得,此时运动的时间为16秒和秒·····························································14分。
《解析》福建省惠安县荷山中学2017届高三上学期第二次质检数学文试卷Word版含解析
2016-2017学年福建省泉州市惠安县荷山中学高三（上）第二次质检数学试卷（文科）一、选择题1．命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞02．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i3．已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）4．若数列{a n}中，a n=43﹣3n，则S n最大值n=（）A．13 B．14 C．15 D．14或155．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（3﹣2）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．6．平面向量，已知=（4，3），2+=（3，18），则,夹角的余弦值等于（）A． B． C． D．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．81 B．54 C．45 D．188．在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°9．设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．610．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．11．等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log3512．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C． D．二、填空题13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=．14．设数列{a n}满足a1=1，且a n﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为．+115．已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为．16．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于．三、解答题17．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（a﹣b）（sinA﹣sinB）=csinC ﹣asinB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a＞b，且△ABC的面积为，求的值．19．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．20．某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（须扣除技术改造资金），求A n、B n的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21．设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．22．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．2016-2017学年福建省泉州市惠安县荷山中学高三（上）第二次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0【考点】命题的否定．【专题】常规题型．【分析】特称命题“∃x0∈M，p（x）”的否定为全称命题“∀x∈M，￢p（x）”．【解答】解：特称命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．故选A．【点评】本题考查特称命题的否定形式，要注意存在量词“∃”应相应变为全称量词“∀”．2．已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i【考点】复数相等的充要条件．【专题】数系的扩充和复数．【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．【解答】解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）【考点】一元二次不等式的解法；交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．4．若数列{a n}中，a n=43﹣3n，则S n最大值n=（）A．13 B．14 C．15 D．14或15【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【专题】计算题．【分析】由a n=43﹣3n，可得a1=40，故S n= 是关于n的二次函数，图象的对称轴为n=，又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，由此求得结果．【解答】解：∵数列{a n}中，a n=43﹣3n，∴a1=40，∴S n= 是关于n的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n=，又n为正整数，与最接近的一个正整数为14，故S n取得最大值时，n=14．故选B．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，数列的函数特性，二次函数的性质，属于基础题．5．已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（3﹣2）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0 C．3 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据两个向量的坐标，写出两个向量的数乘与和的运算结果，根据两个向量的垂直关系，写出两个向量的数量积等于0，得到关于k的方程，解方程即可．【解答】解：∵向量=（k，3），=（1，4），∴3﹣2=（3k﹣2，1），又=（2，1）且（3﹣2）⊥，∴（3k﹣2）×2+1×1=0，即．故选：D．【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查数量积的坐标形式，是基础题．6．平面向量，已知=（4，3），2+=（3，18），则,夹角的余弦值等于（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】先设出的坐标，根据a=（4，3），2a+b=（3，18），求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦【解答】解：设=（x，y），∵a=（4，3），2a+b=（3，18），∴∴cosθ==，故选C．【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．7．（2016秋•沙河口区校级期中）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．81 B．54 C．45 D．18【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，由已知数据易得答案．【解答】解：由等比数列的性质可得S3，S6﹣S3，S9﹣S6，…成等比数列，并设其公比为q，又由题意可得S3=9，S6﹣S3=36﹣9=27，∴q==3，∴a7+a8+a9=S9﹣S6=27×3=81．故选：A．【点评】本题考查等比数列的求和公式和性质，属基础题．8．（2015秋•唐山校级期中）在一个△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，那么B等于（）A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】将已知代入正弦定理即可直接求值．【解答】解：由正弦定理可得：sinB===．∵0＜B＜180°，∴B=60°或120°，故选：B．【点评】本题主要考查了正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查．9．（2010•辽宁）设S n为等比数列{a n}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，由此能求出公比q=4．【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故选：B．【点评】本题考查公比的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．10．（2015秋•通渭县校级期中）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若a、b、c成等比数列且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再将c=2a代入，开方用a表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，将表示出的b和c代入，整理后即可得到cosB的值．【解答】解：根据题意，a，b，c成等比数列，则b2=ac，又c=2a，则b2=2a2，c2=4a2，则cosB==；故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及等比数列的性质，解题的关键是求出a、b、c的关系，进而运用余弦定理求解．11．（2014•湖北模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（）A．12 B．10 C．8 D．2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5答案可得．【解答】解：∵a5a6=a4a7，∴a5a6+a4a7=2a5a6=18∴a5a6=9∴log3a1+log3a2+…log3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．解题的关键是灵活利用了等比中项的性质．12．（2016•平度市模拟）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．二、填空题13．（2011•北京）已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k=1．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．【解答】解：∵与共线，∴解得k=1．故答案为1．【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．14．（2015•江苏）设数列{a n}满足a1=1，且a n﹣a n=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的+1和为．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．﹣a n=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得a n=．再利用“裂【分析】数列{a n}满足a1=1，且a n+1项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，且a n+1﹣a n=n+1（n∈N*），∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n）+…+（a2﹣a1）+a1=n+…+2+1=．﹣1当n=1时，上式也成立，∴a n=．∴=2．∴数列{}的前n项的和S n===．∴数列{}的前10项的和为．故答案为：．【点评】本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2014•新课标I）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．【解答】解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为邻边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（2013•江西）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n（n∈N*）等于6．【考点】等比数列的通项公式．【专题】应用题；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求出n天中种树的棵数满足s n≥100，解不等式可求【解答】解：由题意可得，第n天种树的棵数a n是以2为首项，以2为公比的等比数列s n==2n+1﹣2≥100∴2n+1≥102∵n∈N*∴n+1≥7∴n≥6，即n的最小值为6故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式在实际问题中的应用，解题的关键是等比数列模型的确定三、解答题17．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为1+×（﹣）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为1+×1=1+．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题．18．（2016秋•清远期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（a﹣b）（sinA﹣sinB）=csinC﹣asinB．（1）求角C的大小；（2）若c=，a＞b，且△ABC的面积为，求的值．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【专题】解三角形．【分析】（1）△ABC中，由条件利用正弦定理求得a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理求得cosC 的值，可得C的值．（2）由（1）可得即a2+b2﹣ab=7 ①，又△ABC的面积为=，可得ab=6 ②．由①②可得的值．【解答】解：（1）△ABC中，由（a﹣b）（sinA﹣sinB）﹣csinC﹣asinB，利用正弦定理可得（a﹣b）（a﹣b）=c2﹣ab，即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理可得，cosC==，∴C=．（2）由（1）可得即a2+b2﹣ab=7 ①，又△ABC的面积为=，∴ab=6 ②．由①②可得=．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．19．（2014•新课标I）已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{a n}是递增的等差数列，故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，故a n=2+（n﹣2）×=n+1，（2）设数列{}的前n项和为S n，S n=，①S n=，②①﹣②得S n==，解得S n==2﹣．【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．20．（2004•福建）某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n万元（须扣除技术改造资金），求A n、B n的表达式；（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【考点】数列的应用．【专题】应用题．【分析】（Ⅰ）依题设，A n=（500﹣20）+（500﹣40）+…+（500﹣20n），B n=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]﹣600．由此能够导出A n、B n的表达式．（Ⅱ）由题意知B n﹣A n=（500n﹣﹣100）﹣（490n﹣10n2）=10n2+10n﹣﹣100=10[n（n+1）﹣﹣10]．再由函数的单调性可知至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．【解答】解：（Ⅰ）依题设，A n=（500﹣20）+（500﹣40）+…+（500﹣20n）=490n﹣10n2；B n=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]﹣600=500n﹣﹣100．（Ⅱ）B n﹣A n=（500n﹣﹣100）﹣（490n﹣10n2）=10n2+10n﹣﹣100=10[n（n+1）﹣﹣10]．因为函数y=x（x+1）﹣﹣10在（，+∞）上为增函数，当1≤n≤3时，n（n+1）﹣﹣10≤12﹣﹣10＜0；当n≥4时，n（n+1）﹣﹣10≥20﹣﹣10＞0．∴仅当n≥4时，B n＞A n．答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．【点评】本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力．21．（2016•山东）设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】分类讨论；转化思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，①当a≤0时，f′（x）单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当1＜x＜时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，即f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．③当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则当x＞0时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．④当a＞时，0＜＜1，当＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件．综上实数a的取值范围是a＞．【点评】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性，极值和导数的关系，要求熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、把问题等价转化等是解题的关键．综合性较强，难度较大．22．（2014春•大庆校级期中）已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l经过定点P（3，5），倾斜角为．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）消去参数θ，把曲线C的参数方程化为普通方程；由直线l过定点P，倾斜角为，写出直线l的参数方程；（Ⅱ）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，由根与系数的关系以及t的几何意义求出|PA|•|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ，得曲线C的普通方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=16；∵直线l经过定点P（3，5），倾斜角为，∴直线l的参数方程为：，t为参数．（Ⅱ）将直线l的参数方程代入曲线C的方程，得t2+（2+3）t﹣3=0，设t1、t2是方程的两个根，则t1t2=﹣3，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1t2|=3．【点评】本题考查了参数方程与普通方程的互化以及应用问题，解题时应明确参数方程中参数的几何意义，并能灵活应用，是基础题．。
福建省泉州市惠安县荷山中学2017届高三上学期第二次质
2016-2017学年福建省泉州市惠安县荷山中学高三（上）第二次质检数学试卷（理科）一、选择题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合M={x|x＜2}，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∪∁R N=R C．N∪∁R M=R D．M∩N=M2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0 3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a，b为待定系数）（）A．y=a+bx B．y=a+b x C．y=ax2+b D．y=a+4．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a5．直线y=x﹣4与抛物线y2=2x所围成的图形面积是（）A．15 B．16 C．17 D．186．已知条件p：关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件8．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f （11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）9．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1） D．x2f（x2）＞x1f（x1）10．直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（）A． B．C．D．11．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．813．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．414．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．f（0）＞e2f（4）二、填空题（每小题4分，共20分）15．曲线y=xe2x﹣1在点（1，e）处的切线方程为．16．（+2x）dx=．17．已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是．18．已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．19．定义在R上奇函数的f（x）周期为2，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=．三、解答题（每小题12分，共60分）20．（1）已知f（x）=+m是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数y=|3x﹣1|的图象，利用图象研究方程|3x﹣1|=k解得情况．21．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？22．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．23．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f （x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．24．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b＞时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当b≤时，求函数f（x）的极值点．2016-2017学年福建省泉州市惠安县荷山中学高三（上）第二次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．已知集合M={x|x＜2}，集合N={x|x2﹣x＜0}，则下列关系中正确的是（）A．M∪N=R B．M∪∁R N=R C．N∪∁R M=R D．M∩N=M【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：N={x|x2﹣x＜0}={x|0＜x＜1}，则∁R N={x|x≥1或x≤0}，则M∪∁R N=R，故选：B2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．3．在一次数学试验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近（其中a，b为待定系数）（）A．y=a+bx B．y=a+b x C．y=ax2+b D．y=a+【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题中表格数据画出散点图，由图观察它是指数型函数图象．【解答】解：由表格数据逐个验证，观察图象，类似于指数函数，分析选项可知模拟函数为y=a+b x．故选B．4．已知a=，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数的运算性质．【分析】利用指数式的运算性质得到0＜a＜1，由对数的运算性质得到b＜0，c ＞1，则答案可求．【解答】解：∵0＜a=＜20=1，b=log2＜log21=0，c=log=log23＞log22=1，∴c＞a＞b．故选：C．5．直线y=x﹣4与抛物线y2=2x所围成的图形面积是（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】先联立求出方程组的解，利用导数的运算法则和微积分基本定理即可得出．【解答】解：联立得，解得或，∴由抛物线y2=2x与直线y=x﹣4所围成的图形的面积S= [（y+4）﹣]dy==8+16﹣﹣2+8﹣=18．故选：D．6．已知条件p：关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|＜m有解；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】条件p：由于|x﹣1|+|x﹣3|≥2，即可得出m的取值范围；条件q：f （x）=（7﹣3m）x为减函数，可得0＜7﹣3m＜1，解得m范围即可得出．【解答】解：条件p：∵|x﹣1|+|x﹣3|≥|3﹣1|=2，而关于x的不等式|x﹣1|+|x ﹣3|＜m有解，∴m＞2；条件q：f（x）=（7﹣3m）x为减函数，∴0＜7﹣3m＜1，解得．则p成立是q成立的必要不充分条件．故选：B．7．设a、b都是不等于1的正数，则“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求解3a＞3b＞3，得出a＞b＞1，log a3＜log b3，或根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：a、b都是不等于1的正数，∵3a＞3b＞3，∴a＞b＞1，∵log a3＜log b3，∴，即＜0，或求解得出：a＞b＞1或1＞a＞b＞0或b＞1，0＜a＜1根据充分必要条件定义得出：“3a＞3b＞3”是“log a3＜log b3”的充分条不必要件，故选：B．8．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f （11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），即函数的周期是8，则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），f（80）=f（0），f（﹣25）=f（﹣1），∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），故选：D9．已知函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，则下列结论中正确的是（）A．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 B．f（）＜f（）C．x1f（x2）＞x2f（x1） D．x2f（x2）＞x1f（x1）【考点】命题的真假判断与应用；对数函数的图象与性质．【分析】根据函数f（x）=lnx在区间（0，）上是单调增函数得出（x1﹣x2）[f （x1）﹣f（x2）]＞0，判断A错误；根据函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象下凹，得出f（）＞f （），判断B错误；根据函数f（x）=lnx中[]′＞0，在（0，+∞）上是增函数，得出＞，判断C正确，D错误．【解答】解：对于A，函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，∴（x1﹣x2）＜0，f（x1）﹣f（x2）＜0，∴（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，A错误；对于B，函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（）＞f（），B错误；对于C，函数f（x）=lnx，x1，x2∈（0，），且x1＜x2，∴[]′==＞0，∴函数在（0，+∞）上是增函数，∴＞，即x1f（x2）＞x2f（x1），C正确，D错误．故选：C．10．直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化；函数模型的选择与应用．【分析】本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：然后分情况即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：当0＜t≤1时，，当1＜t≤2 时，；所以．结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．故选C．11．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数，故它的图象关于原点对称，所以排除选项B，由当x=时，y=1＞0，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选：D．12．已知函数f（x）=，若关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，则实数a的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．8【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．【解答】解：函数f（x），如图所示，[f（x）]2+af（x）＜0，当a＞0时，﹣a＜f（x）＜0，由于关于x的不等式[f（x）]2+af（x）＜0恰有1个整数解，因此其整数解为3，又f（3）=﹣9+6=﹣3，∴﹣a＜﹣3＜0，﹣a≥f（4）=﹣8，则8≥a＞3，a≤0不必考虑，故选：D．13．已知函数f（x）=|lnx|﹣1，g（x）=﹣x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，则函数h（x）的零点个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据min{m，n}的定义，作出两个函数的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图，两个图象的下面部分图象，由g（x）=﹣x2+2x+3=0，得x=﹣1，或x=3，由f（x）=|lnx|﹣1=0，得x=e或x=，∵g（e）＞0，∴当x＞0时，函数h（x）的零点个数为3个，故选：C．14．已知函数f（x）满足：f（x）+2f′（x）＞0，那么下列不等式成立的是（）A．B．C．D．f（0）＞e2f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意可设f（x）=，然后代入计算判断即可．【解答】解：∵f（x）+2f′（x）＞0，可设f（x）=，∴f（1）=，f（0）=e0=1，∴f（1）＞，故选：A．二、填空题（每小题4分，共20分）15．曲线y=xe2x﹣1在点（1，e）处的切线方程为y=3ex﹣2e．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．【解答】解：y=xe2x﹣1的导数为y′=e2x﹣1+2xe2x﹣1，可得曲线y=xe2x﹣1在点（1，e）处的切线斜率为3e，曲线y=xe2x﹣1在点（1，e）处的切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即为y=3ex﹣2e．故答案为：y=3ex﹣2e．16．（+2x）dx=．【考点】定积分在求面积中的应用；定积分．【分析】dx表示四分之一单位圆，（2x）dx=，相加可得答案．【解答】解：dx表示四分之一单位圆，∴dx=，（2x）dx==1，故（+2x）dx=+1=，故答案为：．17．已知函数f（x）=，且关于x的方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的零点．【分析】由f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象，由数形结合即可得到结论．【解答】解：由f（x）+x﹣a=0得f（x）=﹣x+a，∵f（x）=，∴作出函数f（x）和y=﹣x+a的图象，则由图象可知，要使方程f（x）+x﹣a=0有且只有一个实根，则a＞1，故答案为：（1，+∞）18．已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是﹣4＜a≤4．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．19．定义在R上奇函数的f（x）周期为2，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=﹣2．【考点】函数的值．【分析】利用函数的周期性以及已知条件化简求解即可．【解答】解：定义在R上奇函数的f（x）周期为2，f（1）=f（﹣1）=﹣f（﹣1）=0．当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（1）=f（﹣）+0=﹣f（）=2，故答案为：﹣2．三、解答题（每小题12分，共60分）20．（1）已知f（x）=+m是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数y=|3x﹣1|的图象，利用图象研究方程|3x﹣1|=k解得情况．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）利用f（﹣x）=﹣f（x），建立方程求常数m的值；（2）作出直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象，利用图象，分类讨论研究方程|3x ﹣1|=k解得情况．【解答】解：（1）∵f（x）=+m是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴+m=﹣﹣m．∴+m=﹣m，∴+2m=0．∴﹣2+2m=0，∴m=1．（2）作出直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象，如图．①当k＜0时，直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象无交点，即方程无解；②当k=0或k≥1时，直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；③当0＜k＜1时，直线y=k与函数y=|3x﹣1|的图象有两个不同的交点，所以方程有两解．21．如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB=a（a＞2），BC=2，且AE=AH=CF=CG，设AE=x，绿地面积为y．（1）写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）当AE为何值时，绿地面积y最大？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用y=S ABCD﹣2（S△AEH +S△BEF），化简即得结论；（2）通过（1）可知y=﹣2x2+（a+2）x的图象为开口向下、对称轴是的抛物线，比较与2的大小关系并结合函数的单调性即得结论．【解答】解：（1）依题意，，，∴，由题意，解得：0＜x≤2，∴y=﹣2x2+（a+2）x，其中0＜x≤2；（2）∵y=﹣2x2+（a+2）x的图象为抛物线，其开口向下、对称轴是，∴y=﹣2x2+（a+2）x在上递增，在上递减，若，即a＜6，则时，y取最大值；若，即a≥6，则y=﹣2x2+（a+2）x，0＜x≤2是增函数，故当x=2时，y取最大值2a﹣4；综上所述：若a＜6，则时绿地面积取最大值；若a≥6，则AE=2时绿地面积取最大值2a﹣4．22．设函数f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）．（1）若在定义域内存在x0，而使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，求实数m的最小值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣x2﹣x﹣a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（﹣1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1（2）解出g（x）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a，原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x﹣2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．【解答】解：（1）要使得不等式f（x0）﹣m≤0能成立，只需m≥f（x）min．求导得f′（x）=2（1+x）﹣2，定义域为（﹣1，+∞），∵当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在区间（﹣1，0）上是减函数；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．∴f（x）mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．（2）由f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）得：g（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）﹣（x2+x+a）=x+1﹣2ln（x+1）﹣a原题设即方程1+x﹣2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．设h（x）=（1+x）﹣2ln（1+x）．∵h′（x）=1﹣，列表如下：∵h（0）﹣h（2）=1﹣（3﹣2ln3）=2（ln3﹣1）＞2（lne﹣1）=0，∴h（0）＞h （2）．从而有h（x）max=1，h（x）min=2﹣2ln2画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，只需：2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3，即：a∈（2﹣2ln2，3﹣2ln3]．23．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a，记F（x）=2f （x）+g（x）．（1）求函数F（x）的定义域D及其零点；（2）若关于x的方程F（x）﹣m=0在区间[0，1）内仅有一解，求实数m的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）可得F（x）的解析式，由可得定义域，令F（x）=0，由对数函数的性质可解得x的值，注意验证即可；（2）方程可化为，设1﹣x=t∈（0，1]，构造函数，可得单调性和最值，进而可得吗的范围．【解答】解：（1）F（x）=2f（x）+g（x）=（a＞0且a ≠1）由，可解得﹣1＜x＜1，所以函数F（x）的定义域为（﹣1，1）令F（x）=0，则…（*）方程变为，即（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0解得x1=0，x2=﹣3，经检验x=﹣3是（*）的增根，所以方程（*）的解为x=0即函数F（x）的零点为0．（2）方程可化为=，故，设1﹣x=t∈（0，1]函数在区间（0，1]上是减函数当t=1时，此时x=0，y min=5，所以a m≥1①若a＞1，由a m≥1可解得m≥0，②若0＜a＜1，由a m≥1可解得m≤0，故当a＞1时，实数m的取值范围为：m≥0，当0＜a＜1时，实数m的取值范围为：m≤024．设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（Ⅰ）当b＞时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）当b≤时，求函数f（x）的极值点．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）首先判断函数的定义域，并求出f（x）导数，利用导函数判断函数的单调性即可；（II）分类讨论当b=时，f'（x）＞0恒成立，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点；当b＜时，根据导函数零点判断原函数是否存在极值点；【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+bln（x+1）的定义域在（﹣1，+∞），f'（x）=2x+=；令g（x）=2x2+2x+b，则g（x）在（﹣，+∞）上递增，在（﹣1，﹣）上递减，g（x）min=g（﹣）=﹣+b，当b＞时，g（x）min＞0；g（x）=2x2+2x+b＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，所以f'（x）＞0即当b＞，函数f（x）在定义域（﹣1，+∞）上单调递增．（Ⅱ）（1）当b=时，f'（x）=，∴x∈（﹣1，﹣）时，f'（x）＞0；x∈（﹣，+∞）时，f'（x）＞0，∴b=时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点；（2）当b＜时，解f'（x）=0得两个不同解；当b＜0时，，∴x1∈（﹣∞，﹣1），x2∈（﹣1，+∞），f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；当0＜b＜时，x1，x2∈（﹣1，+∞）f'（x）在（﹣1，x1），（x2，+∞）都大于0，f'（x）在（x1，x2）上小于0，f（x）有一个极大值点和一个极小值点；综上可知，b＜0，时，f（x）在（﹣1，+∞）上有唯一的极小值点；0＜b＜时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点；时，函数f（x）在（﹣1，+∞）上无极值点．2017年1月20日。
2017年福建省泉州市养正中学、惠安一中联考高三上学期期中数学试卷含解析答案(理科)
2016-2017学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}2．（5分）已知命题p：∀x＞1，x＞0，命题q：∃x∈R，x3＞3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣1或﹣D．24．（5分）角α的终边过函数y=log a（x﹣3）+2的定点P，则sin2α+cos2α=（）A．B．C．4 D．55．（5分）函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．68．（5分）使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（）A．B．C．πD．9．（5分）已知三棱锥ABCD的棱长都相等，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）=（）A．B．﹣1 C．D．111．（5分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）12．（5分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m 在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为．14．（5分）多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）．15．（5分）已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为．16．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，若f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0对任意的θ∈（0，）恒成立，则实数m的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣x+（m﹣m2）＜0}．（1）当m＜时，化简集合B；（2）p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．19．（12分）经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=，（1）求出k的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中点．（1）求证：AM∥平面PCD；（2）设点N是线段CD上的一动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．21．（12分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=，已知曲线y=f（x）在x=1处的切线过点（2，3）．（1）求实数a的值．（2）是否存在自然数k，使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．（3）设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的较小值），对于实数m，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．[坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．[不等式选讲]23．设函数f（x）=|x﹣a|，a＜0．（Ⅰ）证明f（x）+f（﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜的解集非空，求a的取值范围．2016-2017学年福建省泉州市养正中学、惠安一中、安溪一中联考高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡的相应位置.1．（5分）若集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}，则∁M N=（）A．∅B．0 C．{0}D．{﹣1，1}【解答】解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=coskπ，k∈Z}={x|x=1或x=﹣1}={1，﹣1}，∴∁M N={0}．故选：C．2．（5分）已知命题p：∀x＞1，x＞0，命题q：∃x∈R，x3＞3x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．p∧（￢q）D．（￢p）∧q【解答】解：当x＞1时，，∴p：∀x＞1，为假命题；对于q，当x＜3时，x3＜3x；当x=3时，x3=3x；当x＞3时，x3＜3x ．∴命题q：∃x∈R，x3＞3x为假命题，则￢q为真命题．∴p∨（￢q）为真命题．故选：B．3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣1或﹣D．2【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，可得4=f（1﹣b），当1﹣b＜1，即b＞0时，2（1﹣b）﹣b=4，解得b=﹣，（舍去）．当1﹣b≥1，即b≤0时，21﹣b=4，解得b=﹣1，故选：A．4．（5分）角α的终边过函数y=log a（x﹣3）+2的定点P，则sin2α+cos2α=（）A．B．C．4 D．5【解答】解：∵函数y=log a（x﹣3）+2过定点P（4，2），且角α的终边过点P，∴x=4，y=2，r=|OP|=2，∴sinα==，cosα==，∴sin2α+cos2α=2sinαcosα+2cos2α﹣1=2××+2×﹣1=，故选：A．5．（5分）函数f（x）=xsin（x2）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：因为f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）2=﹣xsin（x2）=﹣f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故排除BC，当x=时，f（）=sin，∵0＜＜π，∴sin＞0，∴f（）＞0，故排除D，故选：A．6．（5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【解答】解：A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，故B正确；C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．故选：B．7．（5分）由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为（）A．B．4 C．D．6【解答】解：联立方程得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为：S=．故选C．8．（5分）使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（）A．B．C．πD．【解答】解：要使y=sinωx（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，只需要满足ωx=2，∵0≤x≤1，∴．∴ω的最小值为．故选：A．9．（5分）已知三棱锥ABCD的棱长都相等，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取AD中点F，连接EF，因为E、F分别为AB、AD的中点，则EF为三角形ABD的中位线，所以EF∥BD，所以直线EF与CE所成的角即为直线CE与直线BD所成角，因为三棱锥A﹣BCD的棱长全相等，设棱长为2a，则EF=a，在等边三角形ABC中，因为F为AD的中点，所以CF为边AD上的高，所以CF=同理∴CF=CE=在三角形CEF中：cos∠CEF==．所以，直线CE与直线BD所成角的余弦值为．故选：B．10．（5分）=（）A．B．﹣1 C．D．1【解答】解：==2•=2sin30°=1，故选：D．11．（5分）设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx，若x=1是f（x）的极大值点，则a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=﹣ax﹣b，由f'（1）=0，得b=1﹣a．所以f'（x）=．①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．当0＜x＜1时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．所以x=1是f（x）的极大值点．②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=﹣．因为x=1是f（x）的极大值点，所以﹣＞1，解得﹣1＜a＜0．综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．故选：B．12．（5分）若函数f（x）在区间A上，对∀a，b，c∈A，f（a），f（b），f（c）为一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“三角形函数”．已知函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：若f（x）为“区域D上的三角形函数”．则在区间D上，函数的最大值M和最小值m应满足：M＜2m，∵函数f（x）=xlnx+m在区间[，e]上是“三角形函数”，f′（x）=lnx+1，当x∈[，）时，f′（x）＜0，函数f（x）递减；当x∈（，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）递增；故当x=时，函数f（x）取最小值﹣+m，又由f（e）=e+m，f（）=﹣+m，故当x=e时，函数f（x）取最大值e+m，∴0＜e+m＜2（﹣+m），解得：m∈，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．（5分）若幂函数g（x）=（m2﹣m﹣1）x m在（0，+∞）上为增函数，则实数m的值为2．【解答】解：要使函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x m是幂函数，且在x∈（0，+∞）上为增函数，则解得：m=2．故答案为：2．14．（5分）多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）cm3．【解答】解：如图所示，由三视图可知：该几何体为三棱锥P﹣ABC．该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，故几何体的体积V=×8×4=cm3，故答案为：cm315．（5分）已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣．【解答】解：∵a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x，∴f（x）在R上是增函数，∴f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，∴a+b=2．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值f（﹣1）=﹣（a+b）+2﹣1=﹣2+=﹣．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知函数f（x）=sinx﹣x，若f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0对任意的θ∈（0，）恒成立，则实数m的取值范围为[﹣，+∞）．【解答】解：由f（x）=sinx﹣x可知，f（x）定义域为R，且为奇函数；∵f'（x）=cosx﹣1≤0，则f（x）在R上单调递减；f（cos2θ+2msinθ）+f（﹣2﹣2m）＞0 即：f（cos2θ+2msinθ）＞f（2m+2）；根据函数单调性有：cos2θ+2msinθ＜2m+2 ①；sinθ=t∈（0，1），1﹣t＞0，①式则：1﹣t2+2mt＜2m+2；⇒﹣1﹣t2＜2m（1﹣t）；⇒m＞=﹣[（1﹣t）+﹣2]∵u=（1﹣t）+﹣2 在（0，1）上单调递减，u（0）=1∴m ﹣故答案为：[﹣，+∞）三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）设集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x2﹣x+（m﹣m2）＜0}．（1）当m＜时，化简集合B；（2）p：x∈A，命题q：x∈B，且命题p是命题q的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解答】解∵不等式x2﹣x+（m﹣m2）＜0⇒（x﹣m）•[x﹣（1﹣m）]＜0…（2分）（1）当时，m＜1﹣m，∴集合B={x|m＜x＜1﹣m}．…（4分）（2）依题意得B⊊A，…（5分）∵A={x|﹣1≤x≤2}，①当m＜时，B={x|m＜x＜1﹣m}，此时；…（7分）②当m=时，B=∅，有B⊊A成立；…（9分）③当m＞时，B={x|1﹣m＜x＜m}，此时；…（11分）综上所述，m的取值范围是﹣1≤m≤2…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将f（x）的图象上所有点向左平移m（m＞0）个长度单位，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），当m取得最小值时，求g（x）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=sin2ωx+2sinωxcosωx﹣cos2ωx=﹣（cos2ωx﹣sin2ωx）+sin2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=2sin（2ωx﹣）∵f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为．∴周期T=，由=，可得ω=2．∴f（x）=2sin（4x﹣），∴f（）=2sin（4×﹣）=2sin=1…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）=2sin（4x﹣），则g（x）=2sin（4x+4m﹣），∵（，0）为y=g（x）图象的一个对称中心，∴2sin（4×+4m﹣）=0，解得：4×+4m﹣=kπ（k∈Z），可得：m=﹣，当k=1时，m取得最小值…10分本题此时g（x）=2sin（4x+），由2k≤4x+≤2k，k∈Z，解得g（x）的单调递增区间为：[﹣，+]，k∈Z…12分19．（12分）经研究发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：f（t）=，（1）求出k的值，并指出讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多久？（2）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到185，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？【解答】解：（1）当t=20时，f（t）=240，则有240=20k+400；解得，k=﹣8；当0＜t≤10时，f（t）=﹣t2+26t+80是单调递增的，且f（10）=240；当10＜t≤20时，f（t）=240；当20＜t≤40时，f（t）=﹣8t+400是单调递减的，且f（20）=240；故讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟；（2）由f（t）=﹣t2+26t+80=185解得，t=5或t=21（舍去）；由f（t）=﹣8t+400=185解得，t=26.875；故学生的注意力至少达到185的时间有26.875﹣5=21.875＜24；故老师不能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，M是棱PB的中点．（1）求证：AM∥平面PCD；（2）设点N是线段CD上的一动点，当点N在何处时，直线MN与平面PAB所成的角最大？并求出最大角的正弦值．【解答】（1）证明：以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1）设平面PCD的法向量是…（3分）…（4分）又…（5分）（2）解：由点N是线段CD上的一点，可设…（7分）平面PAB的一个法向量为设MN与平面PAB成θ角，则…（8分）令1+λ=t∈[1，2]当…（11分）∴当点N是线段CD上靠近点C的三等分点时，MN与平面PAB所成角最大，最大角的正弦值为．…（12分）21．（12分）设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=，已知曲线y=f（x）在x=1处的切线过点（2，3）．（1）求实数a的值．（2）是否存在自然数k，使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由．（3）设函数h（x）=min{f（x），g（x）}，（其中min{p，q}表示p，q中的较小值），对于实数m，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=（x+a）lnx，得f′（x）=lnx+，则f'（1）=a+1，f（1）=0，∴f（x）在x=1处的切线方程为y=（1+a）（x﹣1），代入（2，3），得3=1+a，即a=2；（2）存在k=1符合题意，证明如下：令，当x∈（0，1]时，φ（x）＜0，φ（2）=＞，∴φ（1）φ（2）＜0．可得∃x0∈（1，2），使得φ（x0）=0，φ′（x）=lnx++，当x∈（1，2）时，φ′（x）＞1+＞0；当x∈[2，+∞）时，φ′（x）=lnx++＞0．即x∈（1，+∞）时，φ′（x）＞0．φ（x）在（1，+∞）上单调递增．可得φ（x）=0在（1，2）有唯一实根．∴存在k=1使得函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点；（3）∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立，则m≤h max（x）．由（2）知，函数y=f（x）﹣g（x）在（k，k+1）内存在唯一的零点x0 ．当x∈（0，x0）时，f（x）＜g（x），x∈（x0，+∞）时，f（x）＞g（x），∴h（x）=，当x∈（0，x0]时，若x∈（0，1]，h（x）=f（x）≤0，若x∈（1，x0]，h′（x）=lnx+＞0，h（x）在（1，x0]上单调递增，∴0＜h（x）≤h（x0），当x∈（x0，+∞）时，h′（x）=，可得x∈（x0，2）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，x∈（2，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．∴x∈（x0，+∞）时，h（x）≤h（2）=，且h（x0）＜h（2）．可得．∴时，∃x0∈（0，+∞），使得h（x0）≥m成立．[坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程．（2）若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值，并求出此时点P的坐标．【解答】解：（1），消去参数可得x﹣y=1直线l的极坐标方程为…．（3分）由．得ρcos2θ=sinθ⇒ρ2cos2θ=ρsinθ得y=x2（x≠0）…..（5分）（2）设P（x0，y0），则点P到直线l的距离为当…..（8分）当P 到直线l 的距离最小，最小…．（10分）[不等式选讲]23．设函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0． （Ⅰ）证明f （x ）+f （﹣）≥2；（Ⅱ）若不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，求a 的取值范围． 【解答】（Ⅰ）证明：函数f （x ）=|x ﹣a |，a ＜0， 则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a |+|﹣﹣a | =|x ﹣a |+|+a |≥|（x ﹣a ）+（+a ）|=|x +|=|x |+≥2=2．（Ⅱ）解：f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a |+|2x ﹣a |，a ＜0． 当x ≤a 时，f （x ）=a ﹣x +a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ； 当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a +a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ； 当x时，f （x ）=x ﹣a +2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞），不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜0， 则a 的取值范围是（﹣1，0）．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n 是偶数时，正数a 的正的n表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a NaN =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质图象定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。
福建省泉州市惠安县荷山中学2017届九年级数学上学期第一次月考试题(无答案) 新人教版
福建省泉州市惠安县荷山中学2017届九年级数学上学期第一次月考试题（满分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）．1．下列二次根式中，最简二次根式为（ ）．A ．31 BCD．2是同类二次根式的是（ ）． A ．3 B3．下列计算正确的是（ ）A．3+=．532=+C=．224=-4.下列一元二次方程两实数根和为-4的是（ ）A ．x 2+2x-4=0 B ．x 2-4x+4=0 C ．x 2+4x+10=0 D ．x 2+4x-5=0 5．用配方法解方程0542=--x x ，下列配方结果正确的是（ ）．A.2(x 4)21-=B.2(x 4)21+=C.2(x 2)9+= D.2(x 2)9-=6.若(0)n n ≠是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m n +的值为（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
7．01)3(|1|=+---mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）.A ．3±=mB ．3=mC ．3=m 或1-=mD ．1-=m8．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简2||a b a --的结果是（ ） A ．2a -b B ．bC ．-bD ．-2a + b 9.等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2－12x +k =O 的两个根，则k 的值是( )A:27 B:36 C:27或36 D:1810.若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是 ( )DC BA二、填空题（每小题4分，共40分）．11.当x __________时，二次根式1-x 在实数范围内有意义. 12．比较大小：．（选填“＞”、“=”、 “＜”）．13.（1）方程042=-x 的根是 .(2) 方程24x x =的根是________________. 14.已知1=x 是方程032=-+mx x 的一个实数根，则m 的值是 ,另一个根为_________.15.计算：(1)____)3(2=-,(2)2＝ .(3) =_____,⑷=-)522(2____.16.如图，在长为6m ，宽为4m 的矩形地面上修建两条宽均为1m 的道路，余下部分做为耕地，根据图中数据，计算耕地面积为 m 2． 17. 若n 20是整数，则正整数n 的最小值是_______. 18|3|0y +=，则y x -的值为19．已知方程x 2－7x ＋12＝0的两根恰好是Rt △ABC 的两条边的长，则Rt △ABC•的第三边长为_____．20.如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足23m m -=，23n n -=， 那么代数式2222015n mn m -++= 三、解答题（共80分） 21．计算：+÷-2612021|3|2013()2--++m（第15题图）22．解方程：（1）22510x x -+=． (2) ()()123122+=+x x23．先化简，再求值：)3)(3()2(2x x x -+-+，其中x=3.24．已知1=x 是关于x 的方程2-30ax bx +=(0)a >的一根.(1)求a b +的值；(2)若2b a =,1x 和2x 是方程的两根，求12x x +的值.25．某化肥厂去年四月份生产化肥500吨，因管理不善，五月份的产量减少了10%，从六月起强化管理，该厂产量逐月上升，七月份产量达到648吨。
福建省泉州市惠安县荷山中学高二数学下学期期中试题 理(含解析)
福建省泉州市惠安县荷山中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数()231i -的值是（ ）A ．32iB ．32i -C ．iD ．i -【答案】A 【解析】试题分析：化简复数的分母，然后复数的分子、分母同乘i ，即可得到结果. 复数()2233332221i i i i i ===---. 故选A.考点：复数代数形式的混合运算.2.用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程20x ax b ++=没有实根B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根【答案】A考点：综合法与分析法；反证法.3.3名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（ ）A ．3B ．12C ．43D ．34【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，易得3名同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算可得答案. 根据题意，每个同学可以在艺术体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组中任选1个，有4种选法，则3名学生一共有3444=4⨯⨯种不同的报名情况. 故选D.考点：计数原理的应用. 4.定积分()12xx e dx +⎰的值为（ ）A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -【答案】C 【解析】 试题分析：.故选C.考点：定积分的概念及几何意义.5.若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a =，1b =-D ．1a =-，1b =-【答案】A 【解析】试题分析：因为曲线在点处的切线方程是，所以'2y x a =+，且满足在x=0处的导数值为a, 那么切线方程为y-a=a(x-0),即10ax y -+=，故选A.考点：曲线的导函数；曲线上点的切线方程.6.函数321y x x x =+-+在区间[]2,1-上的最小值为（ ）A ．2227B ．2C ．1-D ．4-【答案】C 【解析】考点：函数的导函数；函数的极值和最值.7.四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【答案】B 【解析】试题分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．最左端排甲，共有336A =种；最左端只排乙，最右端不能排甲，有12224C A =种，根据加法原理可得，共有6+4=10种． 故选B ．考点：排列、组合及简单计数问题.8.函数()3239f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D 【解析】试题分析：对函数求导可得，2x 3x 2ax 3f '=++（）， ∵x f （）在3x =-时取得极值，∴30a 5f '-=⇒=（）. 故选D.考点：导数研究函数的极值. 9.已知函数()1ln 22f x mx x x =+-在其定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞【答案】D 【解析】试题分析：∵函数()1ln 22f x mx x x =+-在其定义域（0x >）内是增函数， ∴()'120f x mx x=+-≥对于任意的0x >恒成立，即221m x x ≥-对于任意的0x >恒成立，即max 221m x x ≥-（），令()221g x x x=-，则()()'2332122x g x x x x -=-+=-， 解()'0g x >，得01x <<；解()'0g x <，得1x >；因此当1x =时，()221g x x x =-取得最大值()11g =， ∴1m ≥，故实数m 的取值范围为[)1,+∞. 故选D.考点：导数研究函数的单调性、极值与最值；二次函数的性质． 10.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列命题：①3-是函数()y f x =的极值点；②1- 是函数()y f x =的最小值点；③()y f x =在区间()3,1-上单调递增；④()y f x =在0x =处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】C 【解析】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，()'0f x ≥ ∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确； 则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定. 11.已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,+∞【答案】B 【解析】试题分析：因为函数有两个极值点，由.所以有两个不同的正实数根，令，所以.令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.综上所以.故选B.考点：函数的极值与导数的关系.12.设函数ln ()xf x x=，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是 A ．1,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．1,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()0,eD ．()1,e 【答案】B 【解析】试题分析：由函数ln ()x f x x =知，0x >；则()'21ln x f x x-=，当()'0f x >时，0x e <<，函数在()0,e 上单调递增；()'0fx <时，x e >，函数在(),e +∞上单调递减；()'=0f x 时，=x e ，函数取得最大值()()max 1f x f e e==；由此可画出函数ln ()xf x x =的图像如下：设()t f x =，则关于的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦可变形为210t mt +-=；因为240m ∆=+>，所以方程有两个不相等的实根；设方程的两根分别为12t t <，由12=10t t -<得120t t <<；若()1f x t =，由函数的图像知此时存在唯一根()10,1x ∈使()11f x t =，故要使x 的方程有三个不同的实数解，必有()2f x t =有两不相等实根，故210,t e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()210g t t mt =+-=有两不相等实根，且1210t t e <<<；则10g e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即2110m e e +->，解得1m e e >-，故则实数m 的取值范围是1,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选B.考点：函数的零点与方程根的联系.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.曲线52xy e-=+在点()0,3处的切线方程为____________________．【答案】530x y +-=. 【解析】试题分析：由曲线52xy e -=+得'5=5x y e --，所以0|5x y '==-，则曲线52xy e -=+在点（0，3）处的切线方程为350y -=--（x ）， 即530x y +-=． 故答案为530x y +-=． 考点：导数的概念及其几何意义.14.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_____种．（用数字作答） 【答案】60. 【解析】试题分析：6名选手中决出1名一等奖有种方法；2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种可能的结果，第二步，再决出2名二等奖，有种可能的结果，第三步，三等奖有种可能的结果，故共有（种）可能的结果.故答案为60．考点：排列组合与简单计数问题.15.如图，直线2y x =与函数2y x =的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________．【答案】43. 【解析】试题分析：由图形可知，直线2y x =与函数2y x =联立22y xy x=⎧⎨=⎩， 得它们图象的交点为()()0,02,4O 和P ，则围成的封闭图形（阴影部分）的面积是222300118424442333S x dx x =⨯⨯-=-=-=⎰.故答案为43. 考点：定积分. 16.观察下列等式：11122-=，11111123434-+-=+，11111111123456456-+-+-=++，……， 据此规律，第n 个等式为_________________________________________． 【答案】111111111234212122n n n n n -+-+-=+++-++.【解析】试题分析：观察等式知：第n 个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.故答案为.考点：归纳推理.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）(I)设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，求复数z .(II)实数m 取何值时，复数()22132z m m m i =-+-+,(i)是实数；（ii ）是纯虚数.【答案】(I) 1z i =- ；(II) (i) 1m =或2m =；（ii ）-1m =. 【解析】 试题分析：(I)由复数的乘除运算即可解得；(II)(i) 直接由复数Z 的虚部等于0列出方程求解即可；（ii ）直接由复数Z 的实部等于0且虚部不等于0列不等式组求解即可. 试题解析：解：(I)设i iz bi a z -=+=+=112， …………4分 (II)当z为实数时232m m -+=，解得1m =或2m = …………8分当z 为纯虚数时2210320m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩ ，解得-1m = …………12分考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义. 18.（本题满分12分）已知()xkx bf x e +=．（I ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值；（II ）求1x xdx e ⎰． 【答案】（I ）1b =，2k =；（II ）21e-. 【解析】 试题分析：（I ）求出函数的的导函数；根据题意知()()011101f k b b f '=⎧-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，可解得1b =，2k =； （II ）根据微积分的基本定理设()xx kx k b xf x e e-+-'==，解得1k =-，1b =-，得()1x x f x e --= ，从而求得111210x x x x dx e e e --==-⎰．试题解析：解：()()()2x xx x x k e kx b e kx b kx k b f x e e e '⋅-++-+-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭． （I ）依题意：()()011101f k b b f '=⎧-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，解得1b =，2k =； （II ）设()x x kx k b x f x e e -+-'==，则10k k b -=⎧⎨-=⎩，解得1k =-，1b =-，即()1xx f x e --= ， ∴111210x x x x dx e e e --==-⎰． 考点：导数的几何意义；微积分的基本定理. 19.（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数： （I ）每个项目都要有人报名；（II ）甲、乙报同一项目，丙不报A 项目；（III ）甲不报A 项目，且B 、C 项目报名的人数相同；【答案】（I ）36；（II ）9；（III ）18. 【解析】试题分析：（I ）每个项目都要有人报名，其中一个项目有两人报名，所以先从四人中选两个人报名一个项目，再全排列即可；（II ）甲、乙报同一项目，丙不报A 项目，丙从三个项目中选择B 、C 项目中的一个，同时甲、乙从三个项目中任选一个即可；（III ）甲不报A 项目，且B 、C 项目报名的人数相同，可分B 、C 项目各有一人和B 、C 项目各有两人两种情况讨论.试题解析：解：（I ）每个项目都要有人报名，共有234343321362C A ⨯=⨯⨯⨯=种； （II ）甲、乙报同一项目，丙不报A 项目，共有2133339C C ⋅=⨯=种；（III ）甲不报A 项目，且B 、C 项目报名的人数相同， 若B 、C 项目各有一人，有12326C A =种；若B 、C 项目各有两人，有2242432122C A ⨯=⨯=种，所以甲不报A 项目，且B 、C 项目报名的人数相同共有18种．考点：排列与组合. 20.（本小题满分12分）已知()322f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（I ）求a ，b ，c 的值；（II ）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值． 【答案】（I ）13a =,12b =,83c =；（II ）当3=x 时，max 616f =，当1=x 时，min 32f =.【解析】试题分析：（I ）由已知可得函数()322f x ax bx x c =+-+的导函数为2'()322f x ax bx =+-；由导数的几何意义及在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值可得.38,21,31.6448)2(,0223)1(,02412)2(===⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得（II ）由（I ）知32118(x)x 2323f x x =+-+，2'(x)x 2f x =+-，并令f′（x ）=0，这样方程的解将区间[]3,3-划分为几个区间，通过判断f′（x ）在这几个区间上的符号，得到函数)(x f 的增减性，从而得到()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值. 试题解析：解：（I ）由条件知2'()322f x ax bx =+-.38,21,31.6448)2(,0223)1(,02412)2(===⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得 ….4分（II ）32118(x)x 2f x x =+-+，2'(x)x 2f x =+- 由上表知，在区间－3，3]上，当3=x 时，max 6f =，1=x 时，min 2f =….12分 考点：导函数的几何意义； 利用导数研究函数的最值. 21.（本小题满分12分）设函数()2ln af x ax x x=--． （I ）若()f x 在2x =时有极值，求实数a 的值和()f x 的极大值； （II ）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．【答案】（I ）54=a ，)(x f 取得极大值为562ln 2)21(-=f ；（II ）1≥a .【解析】试题分析：（I ）求f′（x ），所以f′（2）=0，这样即可求出45a =，这样就可求出f′（x ），并令f′（x ）=0，这样方程的解将区间（0，+∞）划分为几个区间，通过判断f′（x ）在这几个区间上的符号，即可找到极大值点，从而求出极大值；（II ）求f′（x ），所以f′（x ）≥0对于x ＞0时恒成立，进而得到220ax x a -+≥对于x ＞0时恒成立，所以得到221x a x ≥+，利用均值不等式得221xx +的最大值是1，所以得到a≥1． 试题解析：解：(1)定义域为),0(+∞，xx a a x f 2)(2-+=' 由题意知()f x 在2x =时有极值，则54,014)2(=∴=-+='a a a f ， 经检验，当54=a 时，()f x 在2x =时有极值，满足题意22225)42)(12(5410425454)(x x x x x x x x x f --=+-=-+='所以当2=x 时，)(x f 取得极大值为52ln 2)2(-=f …………….6分（2）()f x 在),0(+∞上是增函数⇔)(x f '0≥对于),0(+∞∈∀x 上恒成立即022)(222≥+-=-+='xax ax x x a a x f 对于),0(+∞∈∀x 上恒成立 ⇔xx a 12+≥对于),0(+∞∈∀x 上恒成立时等号成立，即当且仅当11,112212===≤+x x x xxxx 综上1≥a …………….12分 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.22.（本小题满分12分）设函数2()(n 1)x n n f x e e x e ax =-+-+.n ∈N ，（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：xe ≥(n 1)ne x -+；（Ⅲ）当0n =时，若()f x ≥0对于任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递减区间为(,)n -∞，()f x 的单调递增区间为(,)n +∞；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）1[,)2-∞.【解析】 试题分析：（Ⅰ）将0a =代入函数的解析式得()(n 1)xnnf x e e x e =-+-，对函数求导得'()xnf x e e =-.令'()0f x <，得(,)x n ∈-∞，令'()0f x >得(,)x n ∈+∞，从而求得()f x 的单调递减区间为(,)n -∞，()f x 的单调递增区间为(,)n +∞；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，0a =时x n =，()f x 取得极小值，即最小值，即()(n 1)xnnf x e e x e =-+-≥0，从而得x e ≥(n 1)ne x -+，当且仅当x n =时等号成立；（Ⅲ）当0n =时，2()1xf x e x ax =--+，对函数求导得'()12xf x e ax =-+，由（Ⅱ）知x e ≥1x +，当且仅当0x =时等号成立；得'()f x ≥2(12)x ax a x +=+，讨论当12a +≥0，即a ≥12-时， ()f x ≥0；当12a <-时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<---=-+，此时()0f x <； 综上可得，实数a 的取值范围为1[,)2-∞.试题解析：（Ⅰ）解：当0a =时，()(n 1)xnnf x e e x e =-+-，'()xnf x e e =-.当(,)x n ∈-∞时，'()0f x <；当(,)x n ∈+∞时，'()0f x >.∴()f x 的单调递减区间为(,)n -∞，()f x 的单调递增区间为(,)n +∞.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，若0a =，则当x n =时，()f x 取得极小值，即最小值. ∴min ()()0f x f n ==，即()(n 1)x n nf x e e x e =-+-≥0∴xe ≥(n 1)ne x -+，当且仅当x n =时等号成立.（Ⅲ）解：当0n =时，2()1x f x e x ax =--+，'()12xf x e ax =-+由（Ⅱ）知x e ≥1x +，当且仅当0x =时等号成立.∴ '()f x ≥2(12)x ax a x +=+， ∴当12a +≥0，即a ≥12-时，'()f x ≥0（x ≥0），()f x 单调递增，而(0)0f =， ∴当x ≥0时，()f x ≥0.又由1(0)xe x x >+≠，可得1(0)xe x x ->-≠，即1(0)x x e x --<-≠∴当12a <-时，'()12(1)(1)(2)x x x x xf x e a e e e e a --<---=-+， ∴当(0,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减，而(0)0f =，此时()0f x <综上可得，实数a 的取值范围为1[,)2-∞.考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值和最值.。
福建省泉州市惠安县荷山中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文
惠安荷山中学15-16年度高二下学期期中考试卷文科数学注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写班级、某某、座号； 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，完卷试卷120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的。
把正确答案写在答题卷的相应位置上。
） 1．全集U R =，{}|21A x x =-≤<，{}|13B x x =-<≤，则AB =（ ）A.{}|11x x -≤≤B.{}|23x x -≤≤C.{|11}x x -<<D.{|21}x x -≤< 2．复数31x iR i+∈-，则实数x 等于（ ）A ．3-B ．3C ．0D 3．“a b >”是“33log log a b >”的（ ）4. 函数y =的定义域是（ ）A ．(1,3)-B ．(,1)[1,3)-∞-⋃C ．(,1)(1,3]-∞-⋃D ．(,1)(1,3)-∞-⋃5．已知函数2log ,>0()=2,0xx x f x x ⎧⎨≤⎩若1()=,2f a 则a 的值为 ( )A ．1-B C ．1- D ．1-或126. 已知2:||2;:20,p x q x x p q <--<⌝⌝则是的（ ）7．下列四个函数中，在(0,)+∞上为增函数的是（ ）A.()3f x x =-B.2()f x x x =- C.1()f x x=D.()ln(1)f x x =+ 8. 已知奇函数()f x 满足当0x >时，2()23f x x x =-+，则当0x <时，()f x 的解析式为（ ）A ．223x x -+B ．223x x ---C ．223x x ++D ．223x x -+-9．已知定义在R 上的减函数()f x 满足()()0f x f x +-=，则不等式(1)0f x -<的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,1)-∞D ．(1,)+∞10.已知函数2,10(),01x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列图象错误的是 ( )11. 已知0a <，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足20ax b +=，则下列必为真命题中的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∃∈>B ．0,(1)()x R f x f x ∃∈-≥C ．0,()()x R f x f x ∀∈≤D ．0,(1)()x R f x f x ∀∈+≥ 12. 定义在R 上的函数()f x 满足下列三个条件：①1(3)()f x f x +=-；②对任意1236x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(3)y f x =+的图像关于y 轴对称．则下列结论中正确的是（ ）A ．(3)(7)(4.5)f f f <<B ．(7)(3)(4.5)f f f <<C ．(7)(4.5)(3)f f f <<D ．(3)(4.5)(7)f f f <<第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．） 13．集合{},,A a b c =的子集．．的个数是个； 14．函数2(),(,1)f x x mx c x =-+∈-∞当时是减函数，则m 的取值X 围是________； 15．已知数列{}n a 为等差数列，且16113a a a ++=，则39a a +=__________； 16. 从甲、乙、丙、丁、戊、已6人中选3人组成一个辩论赛队，要求满足如下三个条件：○1甲、丙两人中至少要选上一人； ○2乙、戊两人中至少要选上一人； ○3乙、丙两人中的每一个人都不能与戊同时入选。
【数学】2017-2018年福建省泉州市惠安县惠南中学高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2017-2018学年福建省泉州市惠安县惠南中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={y|y≥1}，则（）A．A∪B=A B．A⊆B C．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1）和（2，﹣1），则=（）A．B． C．D．3．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．5．（5分）已知则（）A．C＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c6．（5分）某程序框图如图所示，若t=7，则输出的值为（）A．8 B．6 C．4 D．27．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形8．（5分）已知函数f（x）=cos4x+cos（4x﹣），将f（x）的图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，则y=g（x）的一个单调递增区间是（）A．[，] B．[，] C．[﹣，]D．[﹣，]9．（5分）若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f （x）在下列区间上单调递增的是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（2，+∞）10．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣12．（5分）已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b （x﹣a）的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置）13．（5分）已知函数（a＞0，a≠1）．若f（e2）=f（﹣2），则实数a=．14．（5分）如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B、C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°，若山高AD=100m，汽车从B点到C点历时14s，则这里汽车的速度为m/s．15．（5分）f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=．16．（5分）已知f1（x）=sinx+cosx，记f2（x）=f1'（x），…，f n+1（x）=f n'（x），…，则=．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知=（cosA，cosB），=（a，2c﹣b），∥（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积为3，求a的值．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前三项和为6，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n的n的最大值．19．（12分）某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC为主题活动园区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休息．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，∠DAC=θ，用θ表示L，并求L的最大值．20．（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD交于点O，E为侧棱SC上的一点．（1）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面SAC．21．（12分）已知函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=ae x，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ebx﹣y+a﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若存在实数m，对任意的x∈[1，k]（k＞1），都有f（x+m）≤2ex，求整数k的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l经过点P（，1），倾斜角α=，圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）．（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．2017-2018学年福建省泉州市惠安县惠南中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}，B={y|y≥1}，则（）A．A∪B=A B．A⊆B C．A∩B=∅D．A∩（∁I B）≠∅【解答】解：由题意：全集I=R，集合A={y|y=log2x，x＞2}={y|y＞1}，B={y|y ≥1}，那么有：A∪B=B，A⊆B，A∩B=A，A∩（∁I B）=∅，∴A，C，D选项不对．故选：B．2．（5分）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1）和（2，﹣1），则=（）A．B． C．D．【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点分别为（1，1）和（2，﹣1），可得z1=1+i，z2=2﹣i，则===，故选：C．3．（5分）设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设x＞0，y∈R，当x＞0，y=﹣1时，满足x＞y但不满足x＞|y|，故由x＞0，y∈R，则“x＞y”推不出“x＞|y|”，而“x＞|y|”⇒“x＞y”，故“x＞y”是“x＞|y|”的必要不充分条件，故选：C．4．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选：A．5．（5分）已知则（）A．C＞b＞a B．b＞c＞a C．b＞a＞c D．a＞b＞c【解答】解：∵，∴0＜a=（）＜（）0=1，b=＞=1，c=，∴b＞a＞c．故选：C．6．（5分）某程序框图如图所示，若t=7，则输出的值为（）A．8 B．6 C．4 D．2【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，则S=1，k=8；当S=1时，满足继续循环的条件，则S=3，k=6；当S=3时，满足继续循环的条件，则S=11，k=4；不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：C．7．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．有一内角为30°的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一内角为30°的等腰三角形D．等边三角形【解答】解：∵，∴结合正弦定理，可得sinA=cosA，因此tanA=1，可得A=．同理得到B=∴△ABC是以C为直角的等腰直角三角形故选：B．8．（5分）已知函数f（x）=cos4x+cos（4x﹣），将f（x）的图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，得到函数y=g （x）的图象，则y=g（x）的一个单调递增区间是（）A．[，] B．[，] C．[﹣，]D．[﹣，]【解答】解：函数f（x）=cos4x+cos（4x﹣）=cos4x+cos4x+sin4x=cos4x+sin4x=sin（4x+），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin（2x+）的图象，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）=sin2x的图象，由2x∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：x∈[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z，当k=0时，[﹣，]是函数y=g（x）的一个单凋递增区间．故选：C．9．（5分）若函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点，则f （x）在下列区间上单调递增的是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=x+（b∈R），∴f′（x）=1﹣，∵函数f（x）=x+（b∈R）的导函数在区间（1，2）上有零点∴当1﹣=0时，b=x2，x∈（1，2）∴b∈（1，4）令f'（x）＞0 得到x或x，即f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），∵b∈（1，4），∴（2，+∞）适合题意．故选：D．10．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：C．11．（5分）已知菱形ABCD边长为2，∠B=，点P满足=λ，λ∈R，若•=﹣3，则λ的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：由题意可得=2×2×cos60°=2，•=（+）•（﹣）=（+）•[（﹣）﹣]=（+）•[（λ﹣1）•﹣]=（1﹣λ）﹣+（1﹣λ）•﹣=（1﹣λ）•4﹣2+2（1﹣λ）﹣4=﹣6λ=﹣3，∴λ=，故选：A．12．（5分）已知函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=log b （x﹣a）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是由y=sinbx的图象向上平移a的单位得到的，由图象可知1＜a＜2，由图象可知函数的最小正周期＜T＜π，∴＜＜π，解得2＜b＜4，∴y=log b x的图象过定点（1，0）且为增函数，∵y=log b（x﹣a）函数的图象是由y=log b x图象向右平移a的单位得到，∴y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），其中2＜a+1＜3，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的相应位置）13．（5分）已知函数（a＞0，a≠1）．若f（e2）=f（﹣2），则实数a=．【解答】函数（a＞0，a≠1）．若f（e2）=f（﹣2），可得：lne2=a﹣2，即a﹣2=2，解得a=．故答案为：14．（5分）如图，小明同学在山顶A处观测到，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B、C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC=135°，若山高AD=100m，汽车从B点到C点历时14s，则这里汽车的速度为m/s．【解答】解：由题意，在Rt△ADB中，AD=100m，∠ABD=30°，∴AB=200m，在Rt△ADC中，AD=100m，∠ACD=45°，∴AC=100m，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos135°=40000+20000+2×200×100×=100000m，∴BC=100，这辆汽车的速度为=．故答案为：．15．（5分）f（x）=在定义域上为奇函数，则实数k=±1．【解答】解：若f（x）=在定义域上为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，即=﹣，则（k•2x﹣1）（1+k•2x）=﹣（k﹣2x）（k+2x），即k2•22x﹣1=﹣（k2﹣22x，则k2•22x﹣1+k2﹣22x=0，即k2﹣1=0，解得k=±1，故答案为：±116．（5分）已知f1（x）=sinx+cosx，记f2（x）=f1'（x），…，f n+1（x）=f n'（x），…，则=．【解答】解：f2（x）=f1′（x）=cosx﹣sinx，f3（x）=（cosx﹣sinx）′=﹣sinx﹣cosx，f4（x）=﹣cosx+sinx，f5（x）=sinx+cosx，以此类推，可得出f n（x）=f n（x），+4（x）是周期为4的周期函数，即函数f n+1又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0，∴=f2017（）=f1（）=sin+cos=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a、b、c，已知=（cosA，cosB），=（a，2c﹣b），∥（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b=3，△ABC的面积为3，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）∵∥，∴（2c﹣b）•cosA﹣a•cosB=0，∴cosA•（2sinC﹣sinB）﹣sinA•cosB=0，即2cosAsinC﹣cosAsinB﹣sinA•cosB=0，∴2cosAsinC=cosAsinB+sinA•cosB，∴2cosAsinC=sin（A+B），即2cosAsinC=sinC，∵sinC≠0，∴2cosA=1，即cosA=，又0＜A＜π，∴A=；（Ⅱ）∵b=3，由（Ⅰ）知A=，=bcsinA=×3c×=3，∴S△ABC∴c=4，由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=9+16﹣12=13，∴a=．18．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前三项和为6，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为S n，求使S n的n的最大值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．依题意有，即，由d≠0，解得，所以a n=n．（2）∵a1=1，d=1．∴a n=n，∴b n===，∴S n=1﹣+…+﹣=1﹣=，由S n，可得＜，∴n≤14，∴满足条件S n的n的最大值为14．19．（12分）某地拟建一主题游戏园，该游戏园为四边形区域ABCD，其中三角形区域ABC为主题活动园区，其中∠ACB=60°，∠ABC=45°，AB=12m；AD、CD为游客通道（不考虑宽度），且∠ADC=120°，通道AD、CD围成三角形区域ADC为游客休闲中心，供游客休息．（1）求AC的长度；（2）记游客通道AD与CD的长度和为L，∠DAC=θ，用θ表示L，并求L的最大值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由已知由正弦定理，得，代入AB=12m，得AC=24m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）在△ABC中，设∠DAC=θ，∠ACD=60°﹣θ，由正弦定理：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）AD=16sin（60°﹣θ），CD=16sinθ，∴AD=L=AD+CD=16sin（60°﹣θ）+16sinθ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）=16（cosθ+sinθ）=16sin（θ+60°）≤16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）因0°＜θ＜60°，当θ=30°时，L取到最大值16m．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是正方形，四个侧面都是等边三角形，AC与BD交于点O，E为侧棱SC上的一点．（1）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；（2）求证：平面BDE⊥平面SAC．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连接OE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵点O、E分别为AC、SC中点，∴SA∥OE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵SA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴SA∥平面BDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）由已知可得，SB=SD，O是BD中点，∴BD⊥SO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵AC∩SO=O，∴BD⊥面SAC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∵BD⊂面BDE，∴平面BDE⊥平面SAC．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）21．（12分）已知函数f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=ae x，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ebx﹣y+a﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若存在实数m，对任意的x∈[1，k]（k＞1），都有f（x+m）≤2ex，求整数k的最小值．【解答】解：（1）x＞0时，f′（x）=ae x，f′（1）=ae，f（1）=ae，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），即y=aex，又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为ebx+y+a﹣2=0，所以a=b=2；（2）因为f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）=ae x，那么f（x）=22e|x|，由f（x+m）≤2ex得2e|x+m|≤2ex，两边取以e为底的对数得|x+m|≤lnx+1，所以﹣x﹣lnx﹣1≤m≤﹣x+lnx+1在[1，k]上恒成立，设g（x）=﹣x+lnx+1，则g′（x）=﹣1+=≤0（因为x∈[1，k]）所以g（x）min=g（k）=﹣k+lnk+1，设h（x）=﹣x﹣lnx﹣1，易知h（x）在[1，k]上单调递减，所以h（x）max=h（1）=﹣2，故﹣2≤m≤﹣k+lnk+1，若实数m存在，必有﹣k+lnk≥﹣3，又k＞1，所以k=2满足要求，故所求的最小正整数k为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l经过点P（，1），倾斜角α=，圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）．（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【解答】解：（1）直线l的参数方程为即（t为参数）…（2分）由所以ρ2=ρcosθ+ρsinθ…（4分）得…（6分）（2）把得…（8分）…（10分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
福建省泉州市惠安县荷山中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理
2016年春季惠安荷山中学高二年数学（理）期中考试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1．复数()231i -的值是（ ）A ．32iB ．32i -C ．iD ．i -2．用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A ．方程20x ax b ++=没有实根B ．方程20x ax b ++=至多有一个实根C ．方程20x ax b ++=至多有两个实根D ．方程20x ax b ++=恰好有两个实根3．3名学生报名参加体操、美术、计算机、航模课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有（ ）A ．3B ．12C ．43D ．344．定积分()12xx e dx +⎰的值为（ ）A ．2e +B ．1e +C ．eD ．1e -5．若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则（ ）A ．1a =，1b =B ．1a =-，1b =C ．1a =，1b =-D ．1a =-，1b =-6．函数321y x x x =+-+在区间[]2,1-上的最小值为（ ）A ．2227B ．2C ．1-D ．4-7．四个人从左到右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．68．函数()3239f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59．已知函数()1ln 22f x mx x x =+-在其定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(],2-∞-B ．(],1-∞-C ．[)0,+∞D ．[)1,+∞10．函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列命题： ①3-是函数()y f x =的极值点；②1- 是函数()y f x =的最小值点；③()y f x =在区间()3,1-上单调递增；④()y f x =在0x =处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④11．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,+∞12．设函数ln ()xf x x=，关于x 的方程()()210f x mf x +-=⎡⎤⎣⎦有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是A ．1,e e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．1,e e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ． ()0,eD ．()1,e二、填空题（每小题4分，共16分）13．曲线52x y e -=+在点()0,3处的切线方程为____________________． 14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_____种．（用数字作答）15．如图，直线2y x =与函数2y x =的图象围成的封闭图形（阴影部分）的面积是_____________． 16观察下列等式：11122-=，11111123434-+-=+，11111111123456456-+-+-=++，……， 据此规律，第n 个等式为_________________________________________． 三、解答题17.（本小题满分12分）(I)设复数z 满足(1)2i z +=，其中i 为虚数单位，求复数z .(II 实数m 取何值时，复数()22132z m m m i =-+-+,(i)是实数；（ii ）是纯虚数.18．（本题满分12分）已知()xkx bf x e +=．（I ）若()f x 在0x =处的切线方程为1y x =+，求k 与b 的值；（II ）求1x xdx e ⎰．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数：（I ）每个项目都要有人报名；（II ）甲、乙报同一项目，丙不报A 项目；（III ）甲不报A 项目，且B 、C 项目报名的人数相同； 20．（本小题满分12分）已知()322f x ax bx x c =+-+在2x =-时有极大值6，在1x =时有极小值．（I ）求a ，b ，c 的值；（II ）求()f x 在区间[]3,3-上的最大值和最小值．21．（本小题满分12分）设函数()2ln af x ax x x=--． （I ）若()f x 在2x =时有极值，求实数a 的值和()f x 的极大值； （II ）若()f x 在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．22. （本小题满分12分）设函数2()(n 1)x n n f x e e x e ax =-+-+.n ∈N ，（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：xe ≥(n 1)ne x -+；（Ⅲ）当0n =时，若()f x ≥0对于任意[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.2016年春季惠安荷山中学高二年数学（理）期中考试卷参考答案一、选择题13．530x y +-=； 14．60； 15．43； 16．111111111234212122n n n n n -+-+-=+++-++三、解答题17.（本小题满分12分）解：(I)设i iz bi a z -=+=+=112， …………4分 (II)当z 为实数时2320m m -+=，解得1m =或2m = …………8分当z 为纯虚数时2210320m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩ ，解得-1m = …………12分18．（本题满分12分）解：()()()2x xx x x k e kx b e kx b kx k b f x e e e '⋅-++-+-⎛⎫'=== ⎪⎝⎭． （I ）依题意：()()011101f k b b f '=⎧-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩，解得1b =，2k =；（II ）设()x x kx k b x f x e e -+-'==，则10k k b -=⎧⎨-=⎩ ，解得1k =-，1b =-，即()1xx f x e --= ， ∴111210x x x x dx e e e --==-⎰． 19．（本小题满分12分） 解：（I ）每个项目都要有人报名，共有234343321362C A ⨯=⨯⨯⨯=种； （II ）甲、乙报同一项目，丙不报A 项目，共有2133339C C ⋅=⨯=种；（III ）甲不报A 项目，且B 、C 项目报名的人数相同，若B 、C 项目各有一人，有12326C A =种；若B 、C 项目各有两人，有2242432122C A ⨯=⨯=种， 所以甲不报A 项目，且B 、C 项目报名的人数相同共有18种． 20．（本小题满分12分） 解：（I ）由条件知2'()322f x ax bx =+-.38,21,31.6448)2(,0223)1(,02412)2(===⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-=-+='=--=-'c b a c b a f b a f b a f 解得 ….4分（II ）32118(x)x 2f x x =+-+2'(x)x 2f x =+-由上表知，在区间[－3，3]上，当3=x 时，max 6f =1=x 时，max 2f =….12分21．（本小题满分12分）解：(1)定义域为),0(+∞，xx a a x f 2)(2-+=' 由题意知()f x 在2x =时有极值，则54,014)2(=∴=-+='a a a f ， 经检验，当54=a 时，()f x 在2x =时有极值，满足题意 22225)42)(12(5410425454)(x x x x x x x x x f --=+-=-+='所以当2=x 时，)(x f 取得极大值为52ln 2)2(-=f …………….6分 （2）()f x 在),0(+∞上是增函数⇔)(x f '0≥对于),0(+∞∈∀x 上恒成立即022)(222≥+-=-+='xax ax x x a a x f 对于),0(+∞∈∀x 上恒成立 ⇔xx a 12+≥对于),0(+∞∈∀x 上恒成立时等号成立，即当且仅当11,112212===≤+x x x xxxx 综上1≥a …………….12分22. （本小题满分12分）（Ⅰ）解：当0a =时，()(n 1)x n n f x e e x e =-+-，'()x n f x e e =-.当(,)x n ∈-∞时，'()0f x <；当(,)x n ∈+∞时，'()0f x >.∴()f x 的单调递减区间为(,)n -∞，()f x 的单调递增区间为(,)n +∞.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，若0a =，则当x n =时，()f x 取得极小值，即最小值. ∴min ()()0f x f n ==，即()(n 1)x n n f x e e x e =-+-≥0 ∴x e ≥(n 1)n e x -+，当且仅当x n =时等号成立.（Ⅲ）解：当0n =时，2()1x f x e x ax =--+，'()12x f x e ax =-+由（Ⅱ）知xe ≥1x +，当且仅当0x =时等号成立.∴ '()f x ≥2(12)x ax a x +=+， ∴当12a +≥0，即a ≥12-时，'()f x ≥0（x ≥0），()f x 单调递增，而(0)0f =， ∴当x ≥0时，()f x ≥0.又由1(0)x e x x >+≠，可得1(0)x e x x ->-≠，即1(0)x x e x --<-≠ ∴当12a <-时，'()12(1)(1)(2)x x x x x f x e a e e e e a --<---=-+， ∴当(0,ln(2))x a ∈-时，'()0f x <，()f x 单调递减，而(0)0f =，此时()0f x < 综上可得，实数a 的取值范围为1[,)2-∞.。
2017-2018学年泉州市惠安县七年级下期中数学试卷(有答案)【精选】
2017-2018学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题4分，共40分）1．下列各方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣2y＝4 B．xy＝4 C．3y﹣1＝4 D．2．已知x＞y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣1＜y﹣1 B．3x＜3y C．﹣x＜﹣y D．3．用“加减法”将方程组中的x消去后得到的方程是（）A．3y＝2 B．7y＝8 C．﹣7y＝2 D．﹣7y＝84．不等式组1≤x＜2的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．5．若代数式x+2的值为1，则x等于（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣36．二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．7．方程+1＝，去分母后正确的是（）A．3（x+2）+12＝4x B．12（x+2）+12＝12xC．4（x+2）+12＝3x D．3（x+2）+1＝4x8．不等式组的整数解的个数为（）A．0个B．2个C．3个D．无数个9．若不等式ax+x＞1+a的解集是x＜1，则a必须满足的条件是（）A．a＜﹣1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＞110．林林的妈妈给他买了一件上衣和一条裤子，共用去180元，其中上衣按标价打九折，裤子按标价打八五折，若上衣和裤子按标价算共计250元，求上衣和裤子的标价分别为多少元？设上衣标价为x元，裤子标价为y元，则可列出方程组为（）A．B．C．D．二、填空题（每题4分，共24分）11．如果x＝6是方程2x+3a＝0的解，那么a的值是．12．已知方程x m﹣3+y2﹣n＝6是二元一次方程，则m﹣n＝．13．x的3倍与5的和大于8，用不等式表示为．14．已知：，则x+y+z＝．15．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．则不等式x⊕4＜0的解集为．16．已知关于x，y的方程组（1）由方程①﹣②，可方便地求得x﹣y＝；（2）若方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围是．三、计算题（本大题共5小题，共40分）17．（12分）解方程：（1）5x+6＝3x+2（2）．18．（6分）解二元一次方程组：．19．（6分）解不等式x﹣2（x﹣1）＞0，并将它的解集在数轴上表示出来．20．（8分）解不等式组：并写出它的所有的整数解．21．（8分）二元一次方程组的解满足2x﹣ky＝1，求k的值．四、解答题（本大题共4小题，共46分）22．（8分）某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，两种车型的销售总额为96万元；本周销售2辆A型车和1辆B型车，两种车型的销售总额为62万元，已知这两周两种型号汽车销售价格不变，求它们的销售单价．23．（10分）一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作．（1）求甲、乙合作多少天才能把该工程完成．（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为2500元，乙队每天的施工费用为3000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元．24．（14分）某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品总利润是W（元），采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？25．（14分）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？2017-2018学年福建省泉州市惠安县七年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分，共40分）1．下列各方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣2y＝4 B．xy＝4 C．3y﹣1＝4 D．【分析】利用一元一次方程的定义判断即可．【解答】解：各方程中，是一元一次方程的是3y﹣1＝4，故选：C．【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．2．已知x＞y，则下列不等式成立的是（）A．x﹣1＜y﹣1 B．3x＜3y C．﹣x＜﹣y D．【分析】根据不等式的性质逐项分析即可．【解答】解：A、根据不等式的基本性质不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故本选项错误；B、不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，故本选项错误；C、不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，正确；D、不等式两边乘（或除以）同一个正数，等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变．故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．用“加减法”将方程组中的x消去后得到的方程是（）A．3y＝2 B．7y＝8 C．﹣7y＝2 D．﹣7y＝8【分析】方程组中两方程相减消去x得到结果，即可做出判断．【解答】解：，①﹣②得：﹣7y＝8，故选：D．【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．不等式组1≤x＜2的解集在数轴上可表示为（）A．B．C．D．【分析】先在数轴上表示不等式组的解集，再选出即可．【解答】解：不等式组1≤x＜2的解集在数轴上可表示为：，故选：C．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，能把不等式组的解集在数轴上表示出来是解此题的关键．5．若代数式x+2的值为1，则x等于（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题意得：x+2＝1，解得：x＝﹣1，故选：B．【点评】此题考查了解一元一次方程方程，根据题意列出方程是解本题的关键．6．二元一次方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程，用代入消元法可解方程组．【解答】解：二元一次方程组，即，解得x＝2．则y＝﹣3．【点评】一要注意方程组的解的定义；二要熟练解方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法．7．方程+1＝，去分母后正确的是（）A．3（x+2）+12＝4x B．12（x+2）+12＝12xC．4（x+2）+12＝3x D．3（x+2）+1＝4x【分析】根据等式的性质方程两边都乘以12即可．【解答】解： +1＝，去分母得：3（x+2）+12＝4x，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次方程的应用，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．8．不等式组的整数解的个数为（）A．0个B．2个C．3个D．无数个【分析】先根据一元一次不等式组的解法求出x的取值范围，然后找出整数解的个数．【解答】解：解不等式2x﹣1≤1得：x≤1，解不等式﹣x＜1得：x＞﹣2，则不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，整数解为：﹣1，0，1，共3个．故选：C．【点评】此题考查了是一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是根据x的取值范围，得出x 的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9．若不等式ax+x＞1+a的解集是x＜1，则a必须满足的条件是（）A．a＜﹣1 B．a＜1 C．a＞﹣1 D．a＞1【分析】根据不等式的性质3：不等式两边除以同一个负数时，不等式的方向改变，可知a+1＜0，由此得到a满足的条件．【解答】解：由原不等式可得（1+a）x＞1+a，两边都除以1+a，得：x＜1，∴1+a＜0，解得：a＜﹣1，故选：A．【点评】本题考查了不等式的解集及不等式的性质，根据解集中不等式的方向改变，得出a+1＜0是解题的关键．10．林林的妈妈给他买了一件上衣和一条裤子，共用去180元，其中上衣按标价打九折，裤子按标价打八五折，若上衣和裤子按标价算共计250元，求上衣和裤子的标价分别为多少元？设上衣标价为x元，裤子标价为y元，则可列出方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据“上衣标价为x元，裤子标价为y元”可得x+y＝250；由“上衣按标价打九折，裤子按标价打八五折”可得0.9x+0.85y＝180，可得方程组．【解答】解：设上衣标价为x元，裤子标价为y元，由题意得，，故选：C．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际运用，根据题意找出等量关系是解答此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）11．如果x＝6是方程2x+3a＝0的解，那么a的值是﹣4 ．【分析】把x＝6代入方程，即可得出一个关于a的一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：把x＝6代入方程2x+3a＝0得：12+3a＝0，解得：a＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．12．已知方程x m﹣3+y2﹣n＝6是二元一次方程，则m﹣n＝ 3 ．【分析】根据二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程可得m﹣3＝1，2﹣n＝1，解出m、n的值可得答案．【解答】解：由题意得：m﹣3＝1，2﹣n＝1，解得：m＝4，n＝1，m﹣n＝4﹣1＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．13．x的3倍与5的和大于8，用不等式表示为3x+5＞8 ．【分析】先表示出x的3倍，再表示出与5的和，最后根据大于8可得不等式．【解答】解：根据题意可列不等式：3x+5＞8，故答案为：3x+5＞8；【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．14．已知：，则x+y+z＝ 6 ．【分析】三个式子左右两边分别相加即可求解．【解答】解：三个式子相加得：2（x+y+z）＝12，则x+y+z＝6．故答案是：6．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，理解三个方程的左边相加所得结果与x+y+z的关系是关键．15．在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．则不等式x⊕4＜0的解集为x＜﹣6 ．【分析】首先转化成一般的不等式，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得：2x+12＜0，解得：x＜﹣6．故答案是：x＜﹣6．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．16．已知关于x，y的方程组（1）由方程①﹣②，可方便地求得x﹣y＝2a；（2）若方程组的解满足x+y＞0，则a的取值范围是a＞﹣1 ．【分析】（1）直接用①﹣②，即可得出答案；（2）直接用①+②，即可得出x+y，根据x+y＞0，再求出a的取值范围．【解答】解：（1），①﹣②得，2x﹣2y＝1+3a﹣1+a，即x﹣y＝2a；（2）①+②得，4x+4y＝1+3a+1﹣a，即x+y＝a+；∵x+y＞0，∴a+＞0，解得a＞﹣1；故答案为2a；a＞﹣1．【点评】本题考查了解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．三、计算题（本大题共5小题，共40分）17．（12分）解方程：（1）5x+6＝3x+2（2）．【分析】（1）依次移项、合并同类项、系数化为1可得；（2）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1可得．【解答】解：（1）移项，得：5x﹣3x＝2﹣6，合并同类项，得：2x＝﹣4，系数化为1，得：x＝﹣2；（2）去分母得：2x+4＝20﹣5x+5，移项，得：2x+5x＝20+5﹣4，合并同类项，得：7x＝21，系数化为1，得：x＝3．【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1．18．（6分）解二元一次方程组：．【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：，①×2+②得：7x＝14，即x＝2，把x＝2代入①得：y＝﹣3，则方程组的解为．【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．19．（6分）解不等式x﹣2（x﹣1）＞0，并将它的解集在数轴上表示出来．【分析】解不等式的步骤为：去括号；移项及合并；系数化为1；再将它的解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：去括号得x﹣2x+2＞0，移项得x﹣2x＞﹣2，合并得﹣x＞﹣2，系数化为1，得x＜2．解集在数轴上表示为：【点评】本题考查了解不等式的一般步骤，需注意在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下该怎么除还怎么除．20．（8分）解不等式组：并写出它的所有的整数解．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后求出答案即可．【解答】解：解不等式①得，x≥1，解不等式②得，x＜4，所以不等式组的解集是1≤x＜4，所以不等式组的所有整数解是1、2、3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．21．（8分）二元一次方程组的解满足2x﹣ky＝1，求k的值．【分析】利用加减消元法求出x、y的值，将x、y的值代入方程得出关于k的方程，解之可得答案．【解答】解：，①+②×2得：7x＝7，即x＝1，把x＝1代入①得：y＝2，∴方程组的解为，代入2x﹣ky＝1中得：2﹣2k＝1，解得：．【点评】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程的方法和二元一次方程的解的定义．四、解答题（本大题共4小题，共46分）22．（8分）某汽车专卖店销售A、B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，两种车型的销售总额为96万元；本周销售2辆A型车和1辆B型车，两种车型的销售总额为62万元，已知这两周两种型号汽车销售价格不变，求它们的销售单价．【分析】设每辆A型车售价为x万元，B型车的售价为y万元，根据1辆A型车和3辆B型车的销售总额为96万元，2辆A型车和1辆B型车的销售总额为62万元，列出二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设每辆A型车售价为x万元，B型车的售价为y万元，根据题意，得，解得：，答：每辆A型车售价为18万元，B型车的售价为26万元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出正确的二元一次方程组并求解．23．（10分）一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作．（1）求甲、乙合作多少天才能把该工程完成．（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为2500元，乙队每天的施工费用为3000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元．【分析】（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成，根据总工程量＝甲单独做4天完成的部分+甲、乙合作完成的部分即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）根据总费用＝单天费用×工作时间即可算出甲、乙两队的费用，将其相加即可得出结论．【解答】解：（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成，根据题意得：×4+（+）x＝1，解得：x＝20．答：甲、乙合作20天才能把该工程完成．（2）甲队的费用为2500×（20+4）＝60000（元），乙队的费用为3000×20＝60000（元），60000+60000＝120000（元）．答：完成此项工程需付给甲、乙两队共120000元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据总工程量＝甲单独做4天完成的部分+甲、乙合作完成的部分列出关于x的一元一次方程；（2）根据数量关系列式计算．24．（14分）某工厂有甲种原料360kg，乙种原料290kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品，需用甲种原料9kg，乙种原料3kg，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4kg，乙种原料10kg，可获利润1200元．（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品总利润是W（元），采用哪种生产方案获总利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．（2）根据题意列出W与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性和（1）得到的取值范围即可求得最大利润．【解答】解：（1）设安排生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，根据题意有：，解得：30≤x≤32，∵x为整数，∴x30，31，32，所以有三种方案：①安排A种产品30件，B种产品20件；②安排A种产品31件，B种产品19件；③安排A种产品32件，B种产品18件．（2）设安排生产A种产品x件，那么利润为：W＝700x+1200（50﹣x）＝﹣500x+60000，∵k＝﹣500＜0，∴W随x的增大而减小，∴当x＝30时，对应方案的利润最大，W＝﹣500×30+60000＝45000，最大利润为45000元．∴采用方案①所获利润最大，为45000元．【点评】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用及最大利润问题；得到两种原料的关系式及总利润的等量关系是解决本题的关键．25．（14分）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【分析】（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．【解答】解：（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得，解得答：购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得，解得：6≤a≤8，所以a＝6，7，8；则（10﹣a）＝4，3，2；三种方案：①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：100×6+150×4＝1200万元；②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：100×7+150×3＝1150万元；③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：100×8+150×2＝1100万元；购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．【点评】此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．。
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2016-2017学年福建省泉州市惠安县荷山中学七年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分． 1．3的相反数是（ ） A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 2．计算：|﹣7|=（ ） A．7 B．﹣7 C． D． 3．若规定收入为“+”，那么﹣50元表示（ ） A．收入了50元 B．支出了50元 C．没有收入也没有支出 D．收入了100元 4．对于下列各式，其中错误的是（ ） A．﹣15＜0 B．2.9＞﹣3.1 C．﹣10＞﹣9 D．|0.23|＞﹣|0.32| 5．下列运算结果等于1的是（ ） A．（﹣3）+（﹣3） B．（﹣3）﹣（﹣3） C．﹣3×（﹣3） D．（﹣3）÷（﹣3） 6．下列各组数中，结果相等的是（ ） A．﹣12与（﹣1）2 B．与（）3 C．﹣|﹣2|与﹣（﹣2）D．（﹣3）3与﹣33 7．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆，则摆第n个“口”字需用旗子（ ）
A．4n枚 B．（4n﹣4）枚 C．（4n+4）枚 D．n2枚 二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 8．2的倒数是 ． 9．地球离太阳约有150000000万千米，用科学记数法表示为 万千米． 10．计算：30×（﹣﹣）= ． 11．用四舍五入法，按括号中的要求取近似数：1.5246（精确到0.01）≈ ． 12．将算式（﹣5）﹣（﹣10）+（﹣9）﹣（+2）改写成省略加号的和的形式，应该是 ． 13．已知|x+2|+（y﹣5）2=0，则x= ，y= ． 14．某校初一（1）有女生a人，男生比女生的2倍少5人，则男生有 人． 15．规定一种新的运算：A*B=A×B﹣A，如4*2=4×2﹣4=4，运算6*（﹣3）= ． 16．已知|x|=3，|y|=4，且x＞y，则xy的值为 ． 17．对数轴上的点P进行如下操作：先把点P表示的数乘以，再把所得数对应的点向
右平移1个单位长度，得到点P的对应点P′． （1）若点P表示的数是3，则点P′表示的数是 ； （2）若点P′表示的数是﹣3，则点P表示的数是 ．
三、解答题（解答要求写出必要的计算步骤或证明过程）．在答题卡上相应题目的答题区域内作答．（共89分）． 18．把下列各数填入相应的大括号里：﹣4，2013，﹣0.5，﹣，8.7，0，，﹣95%． 整数 集：{ …}； 负分数集：{ …}； 正数 集：{ …}． 19．把数3，﹣3.5，0，4，﹣1，在数轴上表示出来，并用“＜”把它们连接起来．
＜ ＜ ＜ ＜ ． 20．计算：7﹣（+8）﹣（﹣2） 21．计算：2×（﹣3）2﹣12÷（﹣2）+5． 22．今年“十一”黄金周期间，黄山风景区在7天假期中每天游客的人数变化如下表（正数表
示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（万人） +1.6 +0.8 +0.4 ﹣0.4 ﹣0.8 +0.2 ﹣1.2 （1）请判断七天内游客人数最多的是 日，最少的是 日，它们相差 万人． （2）如果最多一天有游客3万人，那么9月30日游客有多少万人？ 23．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值等于2，计算：m﹣（a+b）2﹣cd的
值． 24．某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开
展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x＞30）． （1）若该客户按方案①购买，夹克需付款 元，T恤需付款 元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款 元，T恤需付款 元（用含x的式子表示）； （2）若x=40，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？ 25．小明同学平时爱好数学，他探索发现了：从2开始，连续的几个偶数相加，它们和的情
况变化规律，如表所示： 加数的个数n 连续偶数的和S 1 2=1×2 2 2+4=6=2×3 3 2+4+6=12=3×4 4 2+4+6+8=20=4×5 5 2+4+6+8+10=30=5×6 请你根据表中提供的规律解答下列问题： （1）如果n=8时，那么S的值为 ； （2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示S，则S=2+4+6+8+…+2n= ； （3）利用上题的猜想结果，计算300+302+304+…+2014+2016的值（要有计算过程）． 26．如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr） （1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ； （2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下： +2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2 ①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？ ②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？ 2016-2017学年福建省泉州市惠安县荷山中学七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共21分）：每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答一律得0分． 1．3的相反数是（ ） A．﹣3 B．﹣ C．3 D． 【考点】相反数． 【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可． 【解答】解：根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3． 故选：A．
2．计算：|﹣7|=（ ） A．7 B．﹣7 C． D． 【考点】绝对值． 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，可得一个绝对值对应的数． 【解答】解： =7，故A正确， 故选：A．
3．若规定收入为“+”，那么﹣50元表示（ ） A．收入了50元 B．支出了50元 C．没有收入也没有支出 D．收入了100元 【考点】正数和负数． 【分析】若规定收入为“+”，则“﹣”表示与之相反的意义，即支出． 【解答】解：∵收入用“+”表示，∴﹣50元表示支出50元，故选B．
4．对于下列各式，其中错误的是（ ） A．﹣15＜0 B．2.9＞﹣3.1 C．﹣10＞﹣9 D．|0.23|＞﹣|0.32| 【考点】有理数大小比较． 【分析】分别根据正数与辅助，负数与负数，正数与正数比较大小的法则进行解答即可． 【解答】解：A、∵﹣15是负数，∴﹣15＜0，故本选项正确； B、∵2.9＞0，﹣3.1＜0，2.9＞﹣3.1，故本选项正确； C、∵|﹣10|=10，|﹣9|=9，10＞9，∴﹣10＜﹣9，故本选项错误； D、∵|0.23|=0.23＞0，﹣|0.32|=﹣0.32＜0，∴|0.23|＞﹣|0.32|，故本选项正确． 故选C．
5．下列运算结果等于1的是（ ） A．（﹣3）+（﹣3） B．（﹣3）﹣（﹣3） C．﹣3×（﹣3） D．（﹣3）÷（﹣3） 【考点】有理数的除法；有理数的加法；有理数的减法；有理数的乘法． 【分析】分别运用有理数的加、减、乘、除运算法则进行计算，再与1比较即可． 【解答】解：A、（﹣3）+（﹣3）=﹣6，故错误； B、（﹣3）﹣（﹣3）=0，故错误； C、﹣3×（﹣3）=9，故错误； D、（﹣3）÷（﹣3）=1，故正确． 故选D．
6．下列各组数中，结果相等的是（ ） A．﹣12与（﹣1）2 B．与（）3 C．﹣|﹣2|与﹣（﹣2）D．（﹣3）3与﹣33 【考点】有理数的乘方． 【分析】利用有理数乘方法则判定即可． 【解答】解：A、﹣12=﹣1，（﹣1）2=1，所以选项结果不相等， B、=，（）3=，所以选项结果不相等， C、﹣|﹣2|=﹣2，﹣（﹣2）=2，所以选项结果不相等， D、（﹣3）3=﹣27，﹣33=﹣27，所以选项结果相等， 故选：D．
7．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆，则摆第n个“口”字需用旗子（ ） A．4n枚 B．（4n﹣4）枚 C．（4n+4）枚 D．n2枚 【考点】规律型：图形的变化类． 【分析】每增加一个数就增加四个棋子． 【解答】解： n=1时，棋子个数为4=1×4； n=2时，棋子个数为8=2×4； n=3时，棋子个数为12=3×4； …； n=n时，棋子个数为n×4=4n． 故选A．
二、填空题（每小题4分，共40分）：在答题卡上相应题目的答题区域内作答． 8．2的倒数是 ． 【考点】倒数． 【分析】根据倒数的定义，2的倒数是． 【解答】解：2×=1， 答：2的倒数是．
9．地球离太阳约有150000000万千米，用科学记数法表示为 1.5×108 万千米． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将150000000用科学记数法表示为：1.5×108． 故答案为：1.5×108．