四川大学 《概率与统计1111》15秋在线作业1满分答案
《概率与统计》习题答案(复旦大学)
P{X=k}= ， 其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知 故 (2) 由分布律的性质知 即 . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) +
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则 故 所以 . 9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指 示灯发出信号， （1） 进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2） 进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3） (2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3） 10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为 （1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）. （1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率； （2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1） (2) 11.设P{X=k}= , k=0,1,2 P{Y=m}= , m=0,1,2,3,4 分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}= ，试求P{Y≥1}. 【解】因为 ，故 . 而 故得 即 从而 12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试 求在这2000册书中恰有5册错误的概率. 【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似 计算, 得 13.进行某种试验，成功的概率为 ，失败的概率为 .以X表示试验首次成 功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在 一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12 元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1） 保险公司亏本的概率; （2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.
2015年XD-概率论与数理统计及答案
西安电子科技大学网络与继续教育学院2015学年上学期《概率论与数理统计》期末考试试题（综合大作业）考试说明：1、大作业于2015年4月3日公布，2015年5月9日前在线提交；2、考试必须独立完成，如发现抄袭、雷同、拷贝均按零分计。
一、选择题（每小题2.5分，共25分） 1、设A 、B 、C 是随机事件，则（ A ）。
A ．()A B B A B ?=- B ．()A B B A -?C ．()()A B C A B C -=-D ．A B AB AB =-2、设甲、乙两人进行象棋比赛，A 表示事件“甲胜乙负”，则A 表示事件（ D ）。
A ．“甲负乙胜” B ．“甲乙平局” C ．“甲负” D ．“甲负或平局”3、设事件A 与事件B 互不相容，则（ D ）。
A ．()0P AB = B ．()()()P AB P A P B =C ．()1()P A P B =-D ．()1P A B = 4、设A B 、互不相容，且()0,()0P A P B >>，则（ A ）。
A ．()0P BA >B ．()()P A B P A =C ．()0P A B =D ．()()()P AB P A P B =5、在下述函数中，可以作为某随机变量的分布函数的是（ B ）。
A ．21(), 1F x x x =-∞<<+∞+ B ．11()arctan , 2F x x x π=+-∞<<+∞C ．1(1), 0()20, 0xe x F x x -⎧->⎪=⎨⎪≤⎩D ．()() ()xF x f x dx x -∞=-∞<<+∞⎰，其中()1f x dx +∞-∞=⎰6、设随机变量~(0,1)X N ，则方程2240t Xt ++=没有实根的概率为（ A ）。
A ．2(2)1Φ- B ．(4)(2)ΦΦ- C ．(4)(2)ΦΦ--- D ．(2)(4)ΦΦ-7、设随机变量~(1,1)X N ，其分布函数为()F x ，概率密度为()f x ，则（ C ）。
概率论与数理统计课后标准标准答案
第四章 大数定律与中心极限定理4.1设D(x)为退化分布:讨论下列分布函数列地极限是否仍是分布函数？1 1(1){D(x n)}; (2){D(x )}; (3){D(x - 0},其中 n =1,2,…n n解：(1)( 2)不是；(3)是. 4.2设分布函数F n (x)如下定义：x 兰- nl /、 x +nF n (x)=」 ---- 一 n c x 兰 n2n 1 x > n1J问F(x) =lim F n (x)是分布函数吗？n _jpc解：不是•4.3设分布函数列{F n (x)}弱收敛于分布函数 F(x)，且F(x)为连续函数，则 {F n (x)}在(」：,：：)上一致收敛于F(x).证：对任意地；.0,取M 充分大，使有1 —F(x) ：： ；,—x_M;F(x) ：： ；,—x ^-M对上述取定地 M ，因为F(x)在［-M,M ］上一致连续，故可取它地 k 分点：& 二-M :: X2 ：： ：：： X2 ：： X k 二 M ，使有 F(X j .J - F(xJ ：：；,仁 i ：： k ，再令X o - -：：,Xk T =3，则有F(x 「) —F(xJ ：： ；,0G k 1这时存在N ，使得当n • N 时有|F n (X i )-F(X i" ；,0G Ek 1(2)成立，对任意地x •(-：：,：：)，必存在某个i(0 _ i 一 k)，使得(X j ,X j 』，由(2) 知当n •N 时有F n (X)乞 F n (X i1) ：：F(X i1)；D(x)x 0X _0(1)(3)F n (X)一 F n (Xj • F(X)一 ；(4)由( 1), (3), (4)可得F n (x) —F(x)：： F(X i 1)—F(x) , F(X i ) — F(X i) — 2；, F n (x)-F(x) F(X i )-F(x)- ； _F(X i )_F(X i i)_ ； —2；,即有|Fn(x)-F(x)| c 2g 成立，结论得证•4.5设随机变量序列 同时依概率收敛于随机变量 •与，证明这时必有P( = ) =1.4.6设随机变量序列^n -In 1分别依概率收敛于随机变量•与，证明:(1)_nn即；■ n J'成立.(2 )先证明这时必有7—^ 2 .对任给地；0^0取M 足够大8<1 i ，使有^|> MT 〕£ §成立，对取定地M ，存在N ，当n> N 时有 lM 丿 < 2丿即对任意地名>0有P (E 」Mg )=0成立，于是有P G^n)=P |U 吐一H 兰丄卩 <z P 工丄1=02 n从而P 「二)"成立，结论得证.证：对任意地；0有'->-卜 P 乍n 冷？ |T 0,n T 0 2丿l 2丿证：(1)因为仁+口_監』n | |D n |沁A)u2 _P QE n -E 对)兰P Q -耳色上成立这时有I M 丿P fg +q >M 洋卩忤-匕+|2勺>M ) =p 鸥乂 +|2卩M 小為—q <i »P{(l n - I |2 | . M) - (I n - |-1)} < P(| r I ■ M 一 1)P(| n 一 |一1) ：：2、・P(I n - "k J=P(|「|| n |- 0 = P{(| n - || n |- )- (| n #M)}P{(| 卄 || n |-)^ (| n | M)}乞 P(| n - |) P(| n | M)：：3.MP2 n n =(： ■ n )^ n - n >C ■)^-^2'故；n P 「，结论成立.1 1 设随机变量序列©n ― T a ，a 0是一个常数，且：n式0，证明T -------- J —-na从而有P由；「•地任意性知；22,由前述（1）有4.7 不妨设a 0对任意地0 ：：：；：：： a ，当< Z 时有；a =a 2 +a(£ _a)兰a2-a ；,n -a\a-；n.于是有J巴—a[n aTTn -a2-<Pl a 结论成立.兰名+P (^n —a KgH O, n T°o因而丿l a、 x ( 1证：充分性，令 f (x) , x 0，则 f (x)20, x 0，故 f (x)是 x(x -0)1 + X(1 + X)地单调上升函数，因而 L 止（启〉丘j ，于是有1 + E E F n _，| 0 兰 --- E ——t 0,n T 凶1半—匕|对任意地；.0成立，充分性得证.必要性，对任给地名>0，令A =仏：J -匕 > 計，因为©n ―J 匕，故存在 E- 充分大地N 使得当n 一 N 时有P （A ；）：：：；,于是有4.10设随机变量n 按分布收敛于随机变量■，又数列a n > a ，b n > b ，证明a n n ' b n 也按分布收敛于a b.证：先证明a n 按分布收敛于a . ^0时为显然，不妨设a 0（ a ：：： 0时地 修改为显然），若a ， '，a n ， n 地分布函数分别记作F a • •，F ，F an -与 F n •，则F a * X = F £」x，当x 是F a …地连续点时，％是F …地连续点，于是有 a ab5E2RGbCAP⑺ 〔X 、n m F a 缶（X ）二 n m Fn 匕广广 F a©（X ）PP4.9证明随机变量序列 I n ［依概率收敛于随机变量 地充要条件为:住n 」|―；0,n -；::由；地任意性知 E一；0,nr ：:， 结论为真.< P （A ；） ； ：：成立，结论为真.由 4.12 知=(an -a)—；0，再由 4.6(1)知\(a^a) bn—；b ,于是由前述结论及4.11知\a n b^a；-佝-a)「b n按分布收敛于a：b ,结论得证.4.11设随机变量序列｛；｝按分布收敛于随机变量，随机变量序列｛n｝依概率收敛于常数a,证明n按分布收敛于：a.证：记「n地分布函数分别为F(x),F n(x)，贝r - a地分布函数为F(x—a)，设x是F (x 一a)地连续点，则对任给地；• 0 ,存在0，使当0 ：：：；厂时有| F(x - a _ ；) -F(x - a)卜：(1)现任取0 ：：：；1 ：：：；2 ：：：-，使得x-a，；1,x-a - ；2都是F ()地连续点，这时存在N，当n _弘时有I F (x - a * 詁)-F n (x - a * 詁)| ：：>(2)|F(X-a - 二)- F n(X-a - ；2)|：：；(3)对取定地,，存在N2，当n _ N2时有P（I n -a|_ ；1）:：；（4）于是当n Xmax（N「N2）时，由（1），（2），（4）式有P（n n -a） *a）= P｛（n n—a：：x — a）-（|n—a|「1）｝ P｛（n n—a：：x — a）-（|n—a|_；1）｝ MP （n ：：x—a ；1）P（| n —a|—；1）：： F（x — a） 3；⑸又因为P（n ：：X-a- ；2）=P｛[ n n -（n -a）：：X- ；2]「（| nT卜：；2）｝+ P｛（©n £X-am —a^2）｝于是由（1），（3），（4）式有P（n n —a ：：X-a） -P｛[ n n -（n - 司：：X - 叨「（| 厂&卜：；2）｝他（6）-P（n ：：X - a - ；2）一p（| n 一 a |- ；2 - F（X - a） - 3 ；由(5), (6)两式可得|P( n n — a ：：x—a) —F(x—a)|：：3；由；地任意性即知；n按分布收敛于：a ,结论得证.4.12设随机变量序列{ n}按分布收敛于，随机变量序列{ n}依概率收敛于0，证明P'n n >0.证：记',n地分布函数分别为F(x),F n(x)，对任给地；弋，取a 0,b 0足够大，使—a,b是F(x)地连续点且1 —F(b) ：：：；,F(_a)：：：；W因为F n(x) > F(x)，故存在N i，当n 一N i时有1 — F n(b)：：2,F n(—a)：：2P令M =max(a,b)，因为厂0，故存在 2，当n _ N2时有P(l n | 八M而P(| n n | ；) = P{(| n n | ；厂[(—a ^ n 小厂(| n | )]}MP{(| n n | •；) 一[(中空n 小)一(| n | )]} = h 丨2M其中^=0，当n 一max(N「N2)时有P{(| n n | 厂(—a 乞n ：：b)}乞P{^^ n < b)}二P{( n —a) 一( n - b)}二F n(-a) [1-F n(b)]P因而P(「n n | • J = J ：：：5 ；，由；地任意性知；n >0，结论为真•4.13设随机变量；服从柯西分布，其密度函数为P n(x)二n二(1 n2x2)这时有nP( n -x ^ii P( i 一)二[1 —F(x)]n =e 利xv),x ai=i对任意地；• 0，有证：对任意地； ■ 0，有已 庄 n 胆 1P(| n 匡；)r^dx21,n r ：：4.14设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量，其密度函数为_P _其中：• 0为常数，令n =max （「I ，…，n ），证明n —；证：对任意地n ，0 ::： n ::： '■为显然，这时有P （ n ：：：nnx 1 xx W.i P( i <x W.i 0=dx =(—)n ,0 ：：： x ：：：： y y P PP( n ：： X)二 0,X 乞 0； P( n ::: X)=1,X _ :对任意地；• 0（ ； ：：： 1），有P(| n - J •；)二 P( n - ；)=(^-)n > 0, nP故n 》-成立，结论得证•4.15设｛ ；｝为一列独立同分布随机变量，其密度函数为x^a P （x ）=」i0x vaP令 n 二 mi n（l ，2「；n ），证明 n 2.证：设i 地分布函数为F （x ），有F(x)■:P故 n 0, n _•:.0 ：： x :::P(| n - a ；) = P( n - a _ ；) =0, n“ ：：P故n 》a 成立，结论得证•4.17设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量，都服从(0,1)上地均匀分布，若n1Pn =(［丨；)n，证明n 》C(C 为常数)，并求出C.k 4证：这时｛In n ｝也是独立同分布随机变量序列，且1E n = °ln xdx = -11 nP由辛钦大数定律知｛In n ｝服从大数定理，即有—'T n 11，令f(x)二e x，则n y结论成立.2 n P 证明 一2k k )a.n(n 1) k^2 / ka = a n(n 1)心4J “2門2 —2 kn (n 1)心对任给地；・0，由契贝晓夫不等式有2协1 协1 4Q 2P(| n -a|- ；)2 D n 2 0,n::.n 1P故n 》a ，结论得证.4.19设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量，且 D ^-2存在，数学期望为零，证f (x)是直线上地连续函数，由 4.8题知n (II i :—1 i )nnln i P土 —；e J = c4.18设｛ n ｝为一列独立同分布随机变量, 每个随机变量地期望为a ，且方差存在,证：已知E n = a ，记D ^-2，令n2n(n 1)数定律(马尔柯夫大数定律) 证：由契贝晓夫不等式即得.4.26在贝努里试验中，事件 A 出现地概率为p ，令1,若在第n 次及第n+1次实验中A 出现 O 其它证明｛ n ｝服从大数定律.证：｛ n ｝为同分布随机变量序列，且E E 'n= p 2 ,因而D ；二P 2(1- P 2)叮,n P明-Zn k 4证：这时｛ ；｝仍独立同分布，且E SD ； ::，由辛钦大数定律知结论成立.4.21设随机变量序列｛ n ｝按分布收敛于随机变量，又随机变量序列｛ n ｝依概率收敛于常数a(a = 0), n =0，则｛ n 按分布收敛于a.证：由4.7题知丄 -- --- J 0，于是由4.12题有-n (―an*1布收敛于一(见4.10题地证明)，因而由4.11题知a按分布收敛于一，结论成立.a4.22设｛；｝为独立同N(0,1)分布地随机变量序列，证明ni 地分布函数k4弱收敛于N(0,1)分布.证：这时｛ '｝也为独立同分布随机变量序列，且 E 'n=1，由辛钦大数定律知 na i 2—P》1，又n 1服从N(0,1)分布，当然弱收敛于 n i 1N(0,1)分布，由4.21题即知n 按分布收敛于N(0,1)分布，结论得证.plEanqFDPw4.23如果随机变量序列｛ n ｝，当n > -> 0，证明｛ n ｝服从大又当|i-j|_2时，i与j独立，由4.24知｛n｝服从大数定律，结论得证•Q Q4.28设｛n｝为一列独立同分布随机变量，方差存在，又'a n为绝对收敛级数,n 4令n二n - i，则｛a n n｝服从大数定律.i 4证：不妨设E ^0.否则令：「n -E n，并讨论｛n｝即可•记E ：=于，又:: n n i n nc — |a n 卜：：：.因为 7 a i i - 7 a i (V - W aj，故有n 4 i =4 i 4 k =4 k4i 土1 n 1 n . n CT2 n n C%2D(1 a i i)2E｛1 "(二a i)] 牙"(二a i)0,n r ：：n i土n k A i土n 心甘n由4.23知｛a n n｝服从大数定律，结论得证.4.30设｛n｝为一列独立同分布随机变量，共同分布为弹 2 1P( n 2) F ,k=1,2,k 2试问｛n｝是否服从大数定律？答：因为E n存在，由辛钦大数定律知｛n｝服从大数定律.4.31设｛n｝为一列独立同分布随机变量，共同分布为弹 cP(n"莎而,5旳 1其中C=( 2 P)'，问｛n｝是否服从大数定律？k=2 k log k答：因为E n存在，由辛钦大数定律知｛n｝服从大数定律.4.32如果要估计抛掷一枚图钉时尖头朝上地概率，为了有95鸠上地把握保证所观察到地频率与概率P地差小于P10，问至少应该做多少次试验？DXDiTa9E3d 解：令n-(- p)— P|:: P) =P(| V k 1 np10 Jnpq 10 F q 1 一彳 _e 2dx _ 0.95故应取 1 np= 2，即n =400$，但图钉底部重，尖头轻，由直观判断有p_〕，10、q p2因而q<1，故可取 n =400.p4.33 一本书共有一百万个印刷符号，排版时每个符号被排错地概率为 0.0001，校对时每个排版错误被改正地概率为 0.9，求在校对后错误不多于 15个地概 率.RTCrpUDGiT解：令戶‘1第i 个印刷符号被排错且校 对后仍错误 厂：0 其它因为排版与校对是两个独立地工序，因而P = P( j =1) =0.0001 0.1 =10二P( j =0) =q =1 - pn{ i }是独立同分布随机变量序列，E j = p ，令n = ' i ，其中n = 106，由中心im极限定理有p( n 汨5) = P (—匸叩 J 5二np =b)、1Jnpq pnpqv 2其中b '5:1.58，查N (0,1)分布表即可得P( n 汨5) : 0.94，即在校对后错误.10不多于15个地概率.‘1第n 次试验时图钉的尖头朝上其它据题意选取试验次数n 应满足 nz 耳P(|^^ - Pl 2)_ 0.95，因为n 比较大，由中心n10极限定理有n ' iP(ln1 np 10, q_• 1 np 2刁0「24.34在一家保险公司里有10000个人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年里一个人死亡地概率为 0.006，死亡时家属可向保险公司领得1000元，问:5PCzVD7HxA（1） 保险公司亏本地概率多大？（2） 保险公司一年地利润不少于 40000元，60000元，80000元地概率各为多大？ 解：保险公司一年地总收入为120000元，这时 （1） 若一年中死亡人数 120，则公司亏本； （2） 若一年中死亡人数＜80，则利润中死亡人数_ 40000元；若一年中死亡人数＜60，则利润中死亡人数＞ 60000元；若一年中死亡人数＜40，则利润中死亡人数_ 80000元； 令¥‘1第i 个人在一年内死亡巴=丿 i0第i 个人在一年内活着n则P （ i =1）=0.006二p ，记n =7爲n=10000已足够大，于是由中心极限定理i 吕 可得欲求事件地概率为 （1）同理可求得 （2）P （ n 岂 80） ： 0.995 （对应的 b 2.59） P （n ^60） ： 0.5 （对应的 b = 0）P^n >120） =1 _P （苹/ J 20_n pJnpq 」pqx 21b —60,——「e 2dx 畑0（其中b 畑P （ n 乞 40） ： 0.005 （对应的b ” -2.59）4.35有一批种子, 其中良种地比例与其中良种占1,从中任取6000粒，问能以0.99地概率保证61相差多少？ jLBHrnAlLg6解：令1第i 粒为良种0第i 粒不是良种则P （〔ni，其中n = 6000，据题意即要求:使满足i An P（|」 1人 n.Z --卜?） 一 0.99.令q =1-p,b ----- ，因为n 很大，由中心极限定理有6n ：npq1 n — np： ) = P(—bm —n — p mb) 6. nipq 由N(0,1)分布表知当b =2.60时即能满足上述不等式，于是知b ___ 1a =-J npq ".25x10,，即能以0.99地概率保证其中良种地比例与相差不超n6过1.25 10巴4.36若某产品地不合格率为0.005，任取10000件，问不合格品不多于70件地 概率等于多少？ 解：令尹_；1第i 件为不合格品 _i ="0 第i 件为合格品贝U p =P( i =1) =0.005，记 q =1_p, “ = J i ，其中 n = 10000，记 b = 70二np ， y J npq由中心极限定理有—x 2叮—np1 bP( n 乞 70) =P(—nb) e 2dx ： 0.998.npq2-即不合格品不多于70件地概率约等于0.998.4.37某螺丝钉厂地不合格品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中 含有100只合格品地概率不小于0.95 ? XHAQX74J0X 解：令£_ ；1 第i 只是合格品 _i ="0第i 只是不合格品=1) =0.99，记 q=1 —p,b = 100二np,Jn pq应满足P( n :: 100) < 0.05，由中心极限定理有十 S 一 npP( n ：：100) =P(—n ——b)：J npq 寸2兀查N(0,1)分布表可取b =-1.65，由此求得n =103，即在一盒中应装103只螺丝 钉才能使其中含有100只合格品地概率不小于0.95. LDAYtRyKfE4.39用特征函数地方法证明“二项分布收敛于普哇松分布”地普哇松定理.证：设｛ i ｝」』独立同二项分布，即P(|-n- n 21 b _； ---- e 2dx _ 0.99 2 u则 p 二 P( i n二：h ，其中n 尚待确定，它i =12b 丄_e 2 dx 乞0.05P( ' =1) = P n,P( 「=0) =q n =1 一P n,1 S 乞nn(q nP n e")，记n 八i n , n 地特征函数记作：n (t)，因为i 1二- o(-), qn =1 - 一 o(-)，于是有n1 it.二[1 — ■ (e -1)o(—)]n —e ,n r ：：而e ，(eH A)是参数为■地普哇松分布地特征函数，由特征函数地逆极限定理即知定 理成立，证毕.4.40设随机变量I .服从丨---分布，其分布密度为■二 地分布函数弱收敛于N (0,1)分布. Jot证：l 地特征函数为，()=(1-殳厂〉，易知 」地特征函数为t 2故lim _g ：.(t) =e _2，所以相应地分布函数弱收敛于 N (0,1)分布，命题得证.Ct —JpC4.41设｛ ；｝为一列独立同分布随机变量，且 ；服从(-n,n)上地均匀分布，证明 对｛ n ｝成立中心极限定理.in地特征函数为 nP n 》’，故 P nn (t) =4P n" =(1e K o(1))nn nn a, it八仁帀乜)(1n P (x)=丨(：)X~e 「X x 0(, m 0)x _0证：当=时, g,t) =e 八(1-it-i -t r ：ln(1 )=e■因而有ln(1 -+ 0(^^))t 2T -— a T2，.23t1 ito2 2nx , ndx ，于是」2n 3nnk 21B "2；Dk ；§=!8n （n1）（2n1）r对任意地「0,存在N ，使当n-N 时有亍」，因而B.n ，即林德贝尔格条件满足，所以对｛ ；｝成立中心极限定理，结论得证•4.42设｛ ；｝，｛ n ｝皆为独立同分布随机变量序列，且 ｛ n ｝ 与｛ n ｝独立，其中1 1 nE?n =0,DE n =1； PC =±1) = ,n= 1,2,…，证明:s n=〒送 和地分布函数弱2 P n i 二收敛于正态分布N(0,1).证：这时｛ ； n ｝仍是独立同分布随机变量序列，易知有E( n n ) ",D( n n ) = E( n nt = E ；=1分布N(0,1)，结论得证.4.45利用中心极限定理证明： f n k 、 .Z ——b T —,n T k!丿 2证：设｛ n ｝是独立同分布随机变量序列，共同分布为 ■ =1地Poisson 分布，故nE n =D n -1, Bn =、' D k = n ，由林德贝尔格---勒维中心极限定理知kJ证：易知E n3 2故 B n从而当n K N ，LX^Bn Tx 2dF k (x) = 0，若 k <n ，由此知lim 12"B ； k4n送爲/2dF k (x )=0由林德贝尔格---勒维中心极限定理知:S n\ i 地分布函数弱收敛于正态广nZ (J -EL)k-1B nn由Poisson 分布地可加性知；服从参数为n 地Poisson 分布，因而k 4nn」n *n nP(v k ::: n) ■ —e 』，但 一e J — 0 (n —;)，所以 k 4 k ^o k! n!成立，结论得证版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理 .版权为个人所有This articlein eludes someparts, in cludi ng text, pictures,and desig n. 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大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案
大学《概率论与数理统计》期末考试试卷含答案一、填空题(每空 3 分，共 30分)在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加 样本容量 .设随机变量具有数学期望与方差，则有切比雪夫不等式 .设为连续型随机变量,为实常数，则概率= 0 . 设的分布律为，,若绝对收敛(为正整数),则=.某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为. 设服从参数为的分布,则=. 设，则数学期望= 7 .为二维随机变量, 概率密度为, 与的协方差的积分表达式为 .设为总体中抽取的样本的均值,则＝ . (计算结果用标准正态分布的分布函数表X ()E X μ=2()D X σ={}2P X μσ-≥≤14X a {}P X a =X ,{}1,2,k k P X x p k ===2Y X =1n k k k x p ∞=∑n()E Y 21k k k x p ∞=∑17X λpoisson (2)E X 2λ(2,3)YN 2()E Y (,)X Y (,)f x y X Y (,)Cov X Y (())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰X N （3，4）14,,X X {}15P X ≤≤2(2)1Φ-()x Φ示)10. 随机变量,为总体的一个样本，,则常数=.A 卷第1页共4页 概率论试题(45分) 1、(8分)题略解：用，分别表示三人译出该份密码,所求概率为 （2分）由概率公式 （4分）（2分） 2、(8分) 设随机变量，求数学期望与方差.解：(1) = （3分） (2) （3分） （2分）(8分) 某种电器元件的寿命服从均值为的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命相互独立，记，用中心极限定理计算的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数表示).2(0,)XN σn X X X ,,,21 X221()(1)ni i Y k X χ==∑k 21n σA B C 、、P A B C （）P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）1-1-1-p q r =1-（）（）（）()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====()E X Y +(23)D X Y -()E X Y +E X E Y （）+（）=1+3=4(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-8361244XYρ=+-=-100h i T 161ii T T ==∑{1920}P T ≥()x Φ解： （3分） （5分）(4分)(10分)设随机变量具有概率密度,.(1)求的概率密度； (2) 求概率.解: (1) （1分）A 卷第2页共4页（2分）（2分）概率密度函数 （2分）(2) . （3分） (11分) 设随机变量具有概率分布如下,且.i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000{1920}0.8}1P T P ≥=≥≈-Φ（0.8）X 11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它21Y X =+Y ()Y f y 312P Y ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭12Y Y y F y y F y≤>时（）=0,时（）=1212,{}{1}()d Y y F yP Y y P X y f x x <≤≤=+≤=（）=02d 1x y ==-2()=Y Y y f y F y≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222(,)X Y {}110P X Y X +===(1)求常数； (2)求与的协方差,并问与是否独立?解: (1) （2分）由（2分） 可得 （1分）(2), , （3分） （2分） 由可知与不独立 （1分） 三、数理统计试题(25分)1、(8分) 题略. A 卷第3页共4页 证明:,相互独立（4分） ,（4分）,p q X Y (,)Cov X Y X Y 1111134123p q p q ++++=+=，即{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X p P X Y X P X P X p +====+========+，，1p q ==EX 1（）=2E Y 1（）=-3E XY 1（）=-6,-CovX Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0..ij i j P P P ≠X Y 222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ--22(1)X n S σ-2(1)X t n -(1)X t n -(10分) 题略解：似然函数 （4分）由 可得为的最大似然估计 (2分)由可知为的无偏估计量，为的有偏估计量 (4分) 、(7分) 题略 解： （2分）检验统计量，拒绝域 （2分）而 （1分）因而拒绝域，即不认为总体的均值仍为4.55 （2分）A 卷第4页共4页2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑2,μσ221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==11ˆn i i x n μ==∑μ2211ˆ()ni i x n σμ==-∑2σ01: 4.55: 4.55H H μμ=≠x z =0.025 1.96z z ≥=0.185 1.960.036z ==>0H。
兰州大学《数值天气预报》15秋在线作业1满分答案
兰州大学《数值天气预报》15秋在线作业1满分答案一、多选题（共1 道试题，共4 分。
）1. 资料同化的方法很多，大体可分为（）等类型A. 连续资料同化B. 间歇资料同化C. 变分资料同化正确答案：ABC《数值天气预报》15秋在线作业1二、判断题（共24 道试题，共96 分。
）1. 差分方程的准确解与实际求出的数值解之差，是舍入误差累积的结果，可称之舍入误差或稳定性误差。
A. 错误B. 正确正确答案：B2. 一般将保持能量守恒的差分方程称为能量守恒格式，保持能量和位涡拟能守恒的差分方程称能量和饱禺拟能守恒格式等等。
A. 错误B. 正确正确答案：B3. 在s坐标系中正确给出下边界条件是很容易的A. 错误B. 正确正确答案：A4. 由于重力惯性外波是快波，这给时间积分也带来了新问题A. 错误B. 正确正确答案：B5. 最优插值法对此作了重大改进，它是根据大量统计资料建立的气象场的统计结构和观测误差，决定出最小二乘法意义上的最佳权重，从而使得分析误差能在统计意义上达到最小，因而称为最优插值法A. 错误B. 正确正确答案：B6. 对于斜压原始方程模式，首先需要将模式方程组分解为垂直结构方程和水平结构方程，然后再分别求出它们的正规模B. 正确正确答案：B7. 对于向外传播的重力惯性波，过渡区就相当于一个能量的吸收带，因此将这种边界条件形象地称为海绵边界条件。
试验表明，海绵边界条件对消除计算波有很好的作用A. 错误B. 正确正确答案：B8. 静力方程的截断误差不会影响气压梯度力的计算精度A. 错误B. 正确正确答案：A9. 平衡方程常用于确定原始方程模式的初值A. 错误B. 正确正确答案：B10. 风场中考虑并引入合理的辐散部分是十分必要的B. 正确正确答案：B11. 为消除初值中和计算过程中所产生的没有意义的小扰动，进行空间平滑和时间平滑，以滤去这些小扰动是常用的方法。
A. 错误B. 正确正确答案：B12. 对于任意足够小的时间步长小于一确定的时间内，差分方程的数值解是初值一致有界函数，则称差分格式是稳定的A. 错误B. 正确正确答案：B13. 所谓变分平衡初值就是利用平衡方程为约束条件的一种变分初姑化方法A. 错误B. 正确正确答案：B14. 动力迭代法的最大好处是利用了原始方程模式的动力特征使风压场自动进行调整，有效地去除重力惯性波的高频部分A. 错误B. 正确正确答案：B15. 逐步订正法中，一个测站的权重主要取决于测站相对于格点的位置或距离，权重函数的选取带有一定的随意性A. 错误B. 正确正确答案：B16. 对原始方程作进一步的简化，就可得到滤去声波、重力波的过滤模式——准地转模式和平衡模式，这些模式仍保持了基本方程组原有的各种能量的积分关系A. 错误B. 正确正确答案：B17. 如果对于一确定的时间，在给定的积分区域内，当空间和时间步长趋于零时，差分方程的解逼近微分方程的解（即解得截断误差趋于零），则称差分方程是收敛的A. 错误B. 正确正确答案：B18. 通过资料同化，有效地综合利用各种不同时次、不同类型的观测资料，是改进初始场质量和提高数值天气预报水平的一条重要途径。
《概率论与统计原理》各章例题的答案(三版).doc
例1 例2 例3 例4 例5例6 见书上第9页例1.3 见书上第11页例 见书上第12页例 见书上第13页例 见书上第13页例1.4 1.5 1.61.7例7 例8 例9例 例 例 例 例10 11 12 13 14解设A=｛能钻到石油｝,则40P(A)= -------- =0.0008 5X104见书上第15页例1.9 见书上第18页例1.10见书上第19页例1.11 见书上第20页例 见书上第22页例 见书上第23页例 见书上第26页例 见书上第26页例1.131.161.171.191.20 例16=0.5,P ⑷=0.6, P （A 3） =0.8.课件屮各章例题的答案第一章解 设A=｛甲击中敌机｝, B=｛乙击屮敌机｝。
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9 X 0.8 = 0.98解 设4 (Z=l, 2, 3)分别表示甲、乙、丙屮靶，则仏，仏，力3相互独立，且P (4)（1） P （ A 1A 2A 3 + A l A 2A 3 +A X A 2A 3） =P （ A t A 2A 3） +P （ A t A 2A 3 ） +P （ A^2A 3） =P g ） P （刁2）P （万3）+P （瓦）P 4）P （厶）+P （ 4 ） P （万?）P （A 3） =0.5 X 0.4 X 0.2+0.5 X 0.6 X 0.2+0.5 X 0.4 X0.8 =0.26（.2） P （力］+?12+力3）=1 —P （4 +& + 力3 ）= 1-P （仏）P （万?）P （厶）=1-0.5X0.4X0.2 = 0.96第二章例1见书上第38页例2.1 例2见书上第43页例2.2 例3见书上第43页例2.3 例4见书上第45页例2.5 例5见书上第48页例2.7 例6见书上第53页例2.11 例7见书上第54页例2.12 例8见书上第55页例2.13 例9解 设随机变量X 表示洗衣机的寿命，则X 服从参数为久=1/15的指数分布，因此1 — —Pk= P{X >/:}=£—e ,5dx = e 15计算结果见下表:例10见书上第61页例2.17 例11见书上第61页例2.16 例12见书上第61页例2.18 例13见书上笫63页例2.18 例14见书上第64页例2.20 例15见书上第66页例2.21第三章例1 解EX= -4 X 0.35+1 X 0.50+4 X 0.15 = -0.3例2见书上第112页例4.5例3见书上第113页例4.9例4见书上第117页例4.14例5见书上第114页例4.10例6随机变量X的概率密度为一、0 < X <71 /（兀）=\兀0, 其他因此EY = fsin 兀丄dx = Zo兀兀例7见书上第114页例4.111°2例8 解EX = ^2x2dx = ~, EY= \y =6.所以0 3 5E (2X-3 Y) = 2EX~3EY= -50/3 ；2由于X和Y相互独立，因此，E (AT) =EXEY.所以，E (AT) =E%EX=-x6 =4；3E (-4AT+5) =-4E (AT) +5 = - 11例9解设X表示第Z次抽出的球上的号码(/=1, 2, 3, 4),显然，用尤+基+禺+屁. 而随机变量&的概率分布为P{X j= = ~(^=1，2, (9)于是9 1 9kP{X^k} = -^k=5K=\ " k=l例17解由条件知,于是，有DA^EY 2- (EX) 2=4-1 =34-coEe'2yV由数学期望的性质，得盼E (尤+基+盼疋)=E¥i+E 疋+EZ+EA>4X 5=20 例10见书上第⑵页例4.17 例11见书上第121页例4.20 例12见书上第124页例4.22 例13见书上第124页例4.232]例 14 解 P{|X —“|>3”}W ―=-3)9例15解 设X 表示120次独立重复试验中成功次数，则X 服从参数为(120, p )的二项 分布，因此DZ=120p (1-p)由于只有当p=0.5时，方差=120p (l-p)収最大值，此时标准差也取最大值，标准差的最大值为 例 16 解 由题设，知 ELg, DX=2,从而，E%2= ( EX) 2+DX=*U 因此E[ (XT) (X-2) ]=E (乎-3护2) HEA 2-3EX+2=(AA) -3 A+2 =A 2-2 Z +2于是,有乎-2 2+2=1,从而,得；1=1。
大工19秋应用统计在线作业123满分答案
【奥鹏】-[大连理工大学]大工19秋《应用统计》在线作业1试卷总分:100 得分:100第1题,已知甲、乙两人击中目标的概率分别为0.9、0.8（两人互不影响），两人均射击一次，则两人中只有一人击中目标的概率为（）。
A、0.8B、0.18C、0.74D、0.26正确标准参考解析:D第2题,已知有5个红球，3个黑球，有放回的抽取，则第二次抽到黑球的概率是（）。
A、3/5B、2/7C、3/8D、2/3正确标准参考解析:C第3题,下列式子成立的是（）。
A、P(A|B)=P(B|A)B、P（AB）=P(A)P(B)C、0P（B|A）1D、P(AB)=P(A)P(B|A)，（P（A）0）正确标准参考解析:D第4题,题面见图片A、AB、BC、CD、D正确标准参考解析:A第5题,同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面向上的概率为A、0.25B、0.75C、0.125D、0.375正确标准参考解析:D第6题,假设盒中有10个木质球，6个玻璃球，玻璃球中有2个红色4个蓝色，木质球中有3个红色7个蓝色，现从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”，用B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)=A、6/10C、4/7D、4/11正确标准参考解析:D第7题,随机投掷一枚硬币，则两次都正面朝上的概率是（）。
A、1/4B、1/2C、3/4D、1正确标准参考解析:A第8题,题面见图片A、AB、BC、CD、D正确标准参考解析:C第9题,设工厂A和工厂B的产品的次品率分别是1%和2%，现在从由A和B的产品分别是60%和40%的产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A生产的概率是A、2/7B、3/7C、2/9D、1/5正确标准参考解析:B第10题,题面见图片A、AB、BC、CD、D正确标准参考解析:A第11题,将一枚均匀骰子掷两次，则两次出现的最小点数为4的概率为1/12。
A、错误B、正确正确标准参考解析:A第12题,进行一次随机试验之前不能确定哪一个结果将会出现。
《概率论与数理统计》答案.docx
4、至少两名女生的概率: « 0.40465人全为女生的概率: C5亠〜0.00045、一等奖: 冷“6430 Me33e l6二等奖: .8.4645x10-三等奖: CMC：匕9・1417乂10亠四等奖:C：C；7C；5 + C：瞬C；^33^16=0.0004习题1.11、(1)选中乘客是不超过30岁的乘车旅游的男性(2)选中的乘客是不超过30岁的女性或以旅游为乘车目的(3)选中乘客是不超过30岁的女性或乘车旅游的女性(4)选中乘客是30岁以上以旅游为目的男性n(2)q/=!⑶ G.G2习题1.21、(该题题目有误，请将P(A) = l / 4改作P(A) = l/3)(1) P(AB) = P(A) + P(B) - B)= —(2) - 3P(AB) = P( A -B) = P( A) - P(AB)=—(3)- 7 P(AUB) = \-P(AB) = —10(4)7P(AB AB) = P(AB) + P(AB) = P(AB) + P(B) — P(AB)=—158x1 _18^7 _7(2)末位1和9的数的平方末位是1,故概率为：早=丄C；。
5102、(1)俎)By (2)5Bj>13(3)20Z=1710 10Ci(4) Q y-l>13、(1)3、⑴仅考虑末位煜吕ne33v16五等奖：“.0078 六等奖： “.05896、双王出现的概率：—=-3x3 3 3 14个2出现的概率：—=丄34 277 1农民手中有双王的概率：—r = —22 2习题1.32、设A 表示事件：取出的两个球屮有一个红球，B 表示事件：取出的两个球都是红球，则 P ⑷亠唱,所求概率为：P 加骨晋*3、用人•表示笫门欠取得黑球，则所求事件可表示为：A44 A4舛，其概率为：P=P(A l A 2A^+P(A l A 2A 3) = P ⑷P (駆)P(% I £爲)+ P«)P (血冈)P(% I 剳2)= 2x^xl +8x 2xh=76 «0.037510 9 9 10 10 920254、用A 表示事件：任选一人为男生，B 表示事件：任选一人该人参加了社团活动，任选一 人该人没有参加社团活动的概率为:F\ = P(B) = P(B\A)P(A) + P(B| A)P(A) = ().3 x 0.75 + 0.2 x 0.25 = 0.275 已知抽取一人参加社团活动，此人为男生的概率为： P_P(A0=PeM )P (A) = O ・7xO.75=m - P(B) 1-0.275 29大于此人是女生的概率。
四川大学概率统计第一章综合练习
4. 设 C1 , C2 分别表示迷路者在 A 坡和 B 坡.S 表示事件“找到迷路者”. (1) 利用全概率公式可得 P (S ) = P (A)P (S |A) + P (B )P (S |B ) = 60% × (1 − (0.7)8 ) + 40%(1 − (0.7)4 ) ≈ 86.94% (2) 设去 A 坡的人数为 x, 则去 B 坡的人数为 12 − x. 于是 P (S ) = 1 − [60% × (0.7)x + 40% × (0.3)(12−x) ] 可求得, 当 A 坡去 8 7 人, 找到的概率最大, 最大概率为 88.34%. 5. 设 A 表示仪器可直接出厂,B 表示调试后能出厂. 于是可得一台仪器可出厂的 概率为 p = P (A) + P (AB ) = P (A) + P (A)P (B |A) = 70% + 30% × 80% = 94%. (1) P1 = pn = (94%)n (2)
2 n−2 P2 = Cn p (1 − p)n−2 2 = Cn (94%)n−2 (6%)2 .
2
第一章综合练习
一、选择题 1.B 2.A
二、填空题
9 ≈ 18.37% 1. 49
2. 1 4 = 25%
三、解答与证明题 1. 利用 P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ) 得到 P (A ∩ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∪ B ) √ √ = 1 − p + p − P (A ∪ B ) ≥ p − p > 0. 2. 设 Ai 表示第 i 次击中,B 表示最多设计 3 次击中. 根据题意知道概率 p 和距 离 s 有关系 p = k s , 代入 p = 0.6, s = 100 可得 k = 60. 于是可得 P (A1 ) = 60% P (A2 |A1 ) = 60/150 = 40% P (A3 |A1 A2 ) = 60/200 = 30% 可得 P (B ) = P (A1 ) + P (A1 A2 ) + P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 A2 )P (A3 |A1 A2 ) = 60% + 40% × 40% + 40% × 60% × 30% = 83.2%. 3. 用 A, B 分别表示甲、乙的有效率, 于是有 P (A) = 92%, (1) P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (AB ) = P (A) + P (AB ) = P (A) + P (A)P (B |A) = 98.8% 1 P (B ) = 93%
西南大学《概率统计初步》网上作业及参考答案
第一套作业题一.单项选择题1.设A 、B 是二事件，9.0)(=⋃B A P ，P(A)=0.5 , P(B)=0.8,则P(B-A) = ( ).A 0.4B 0.3C 0.2D 0.12.一部四卷的文集随意摆放到书架上，则恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1，2，3，4的概率为（ ）。
A241 B 121 C 61 D 313.服从（ ）分布的随机变量为连续型随机变量。
A 二项B 均匀C 几何D 两点4.设随机变量为X 与Y ，已知DX=25,DY=36,相关系数ρ=0.4,则D(X-Y)=( ). A. 85 B. 61 C. 11 D .37. 二.判断题1． 设A 、B 、C 表示三事件，则事件“A 、B 、C 三事件中至多有一个发生”表为A ∪B ∪C 。
【 】2.从1，2，3，4，5，6这六个数中随机的、有放回的连续抽取4个，则“取到的4个数字完全不同”的概率为5/18. 【 】3.X ～N(3,4),则P(X<3)= P(X>3). 【 】4.随机变量X 、Y 独立，则X 与Y 必不相关。
【 】5.某工厂用自动包装机包装葡萄糖，规定标准重量为每袋500克。
某天从生产的产品中随机抽取9袋，测得平均重量501.3克，样本标准差5.62，假设每袋重量服从正态分布N (a,σ2),检验该天包装机工作是否正常,应用t 检验。
【 】三.填空题1.有10个产品其中3个次品，从中任取2个，则取出的2个中恰有1个次品的概率为 。
2.设A 与B 为两个随机事件，且P （A ）= 0.3，P （B ）= 0.5，若A 与B 相互独立，则P （A ∪B ）= .3．某城市50％住户订日报，65％订晚报，85％住户至少订有这两种报纸的一种，现随意抽取一住户，则该住户同时订有这两种报纸的概率为 .4．设=≥==)1(,9/4)0(),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若.5. 假设X ，Y 为二随机变量，且D （X ＋Y ）＝7，D （X ）＝4，D （Y ）＝1， 则Cov(X,Y)= .四．解答题1.假设某地区位于甲、乙两河流交汇处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾，设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2，当乙河流泛滥时，甲河流泛滥的概率为0.3，求：(1)该时期内这个地区遭受水灾的概率；(2)当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率。
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四川大学 《概率与统计1111》15秋在线作业1满分答案
一、单选题（共 25 道试题，共 100 分。）
1.
题面如下：
A. a
B. b
C. c
D. d
正确答案
：D
2.
题面如下：
A. a
B. b
C. c
D. d
正确答案
：D
3.
题面如下：
A. a
B. b
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D. d
正确答案
：D
4.
题面如下：
A. a
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正确答案
：D
5.
题面如下：
A. a
B. b
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正确答案
：C
6.
题面如下：
A. a
B. b
C. c
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正确答案
：B
7.
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A. a
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正确答案
：C
8.
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A. a
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正确答案
：B
9.
题面如下：
A. a
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正确答案
：D
10.
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A. a
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正确答案
：A
11.
题面如下：
A. a
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正确答案
：B
12.
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：B
13.
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：B
14.
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：D
15.
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17.
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：C
18.
题面如下：
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：B
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：C
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正确答案
：D
21.
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正确答案
：D
22.
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：D
23.
题面如下：
A. a
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正确答案
：C
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正确答案
：D
25.
题面如下：
A. a
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正确答案
：A