四川大学概率统计图文
川大概率论与数理统计复习资料要点总结
第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A2．运算规则 （1）BA AB A B BA =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC CB A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk k n k k A P A P 11)()( （n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能 6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3） 全概率公式： ∑==ni i i B A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k kB A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑ii p =1（3）对任意R D⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)( ,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X aP )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3． 几个常用随机变量4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X aP -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=x dt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6． 随机变量的函数 )(X g Y=（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加； （2）X连续，)(x g 在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
第47讲 中心极限定理
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第47讲中心极限定理1§5.2 中心极限定理四川大学第47讲中心极限定理3第47讲中心极限定理四川大学四川大学第47讲中心极限定理4中心极限定理的概念Central Limit Theorems四川大学第47讲中心极限定理5在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机因素的综合影响所形成，而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用是微小的。
这种随机变量往往近似地服从正态分布。
这种现象就是中心极限定理的客观背景。
本节将用中心极限定理来说明这种现象。
四川大学中心极限定理是说：在一定条件下，充分多的相互独立的随机变量的算术平均值将服从正态分布，不管这些随机变量本身服从什么分布。
四川大学四川大学第47讲中心极限定理6本节介绍了三个中心极限定理1. 列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）2. 李雅普诺夫定理（独立不同分布的中心极限定理）自学3. 棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布的极限分布)四川大学四川大学四川大学第47讲中心极限定理7列维-林德伯格定理独立同分布的中心极限定理四川大学第47讲中心极限定理8四川大学第47讲中心极限定理17Jarl Waldemar Lindeberg 1876–1932芬兰数学家Paul Pierre Lévy1886-1971法国数学家Lévy法国数学家。
现代概率论开拓者之一，他在巴黎出生。
第一次世界大战期间，莱维是法国炮兵进行数学分析工作。
1920年，他被任命为在Ecole理工学院，在那里他的学生包括蒙德布罗特分析。
他留在莱维主要研究概率论和泛函分析。
他引入分布律的莱维距离、散布函数和集结函数、鞅、局部时等概念，对极限理论和随机过程理论作出了重要贡献。
概率论中的莱维过程(Lévy processes)，莱维测度（Lévy measure），莱维分布(Lévy distribution) 等都是以其命名。
概率论与数理统计-四川大学数学学院
课程号：课程名称：总学：学分：在数学学院领导的组织及大力支持下，经过编写人员的努力，《概率论与数理统计》新书已正式出版，主要用于理工类(非数学专业)本科生教学。
该书是根据教育部颁发的教学大纲并参照全国硕士研究生入学数学考试要求编写的，一个重要特点是提倡启发式教学，鼓励学生自学，以提高其数学素质及解决实际问题的能力。
因此，书中安排了不少例题，并在每一章末设一节综合例题。
我们的建议是，综合例题一般不讲，由学生自看；书中其它例题及作业题则由教师根据需要灵活掌握，不必每例都讲到，也不必每题都布置学生做；打*的内容则不讲。
书中一些易懂的内容可以安排学生自学。
全书预计授课51学时，加上习题课10学时，共计61学时。
教学的基本内容，基本要求及建议课时安排如下，教师可根据学生情况适当微调，数学二可适当降低要求。
第一章随机事件及概率一、基本内容样本空间及随机事件，事件之间的关系及运算，频率的定义及定义性质，概率的定义及性质，古典概率，几何概率，条件概率及乘法公式，全概率及贝叶斯公式，事件的独立性及运算，可靠性问题。
二、基本要求1．理解随机事件及样本空间的概念，掌握事件之间的关系及运算。
2．了解频率及概率的条件及定义，掌握概率的基本性质并能用于计算。
3．掌握古典概率的条件及定义，会计算一般的古典概率；了解几何概率的思想及计算方法。
4．熟练掌握条件概率、乘法公式、全概率及贝叶斯公式，能应用这些公式作概率计算并了解贝叶斯决策的思想。
5．理解事件独立性的概念，掌握用事件的独立性进行概率计算的方法，并对可靠性问题研究有大致的了解。
三、建议课时安排(10学时)1．随机事件及运算1学时2．频率与概率1学时3．等可能概型(包括古典及几何概率) 2学时4．条件概率、全概率及贝叶斯公式2学时5．独立性及可靠性问题2学时6．习题课10学时第二章离散型随机变量11学时一、基本内容随机变量及离散型随机变量的定义，超几何分布，二项分布及泊松分布的定义及计算，泊松定理，一维分布函数，二维离散型随机变量，二维分布函数，边缘分布，条件分布及独立性，随机变量函数的分布及可加性。
四川大学出版社《概率论与数理统计》课后习题答案chapter1
习题1.1解答1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。
试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）}{=C (正，正)，（正，反），（反，正）}2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。
试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。
试用C B A ,,表示以下事件：（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；（3）只订一种报； （4）正好订两种报；（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；（9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ；（3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++;（5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++（8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。
第10讲 条件概率 (III) 全概率公式 贝叶斯公式
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式1§1.5 条件概率四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式3第10讲条件概率(III)全概率公式贝叶斯公式四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式4四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式5在前面两讲，我们讲了条件概率和乘法公式。
现在来讲全概率公式和贝叶斯公式()()(|)P AB P A P B A =(()0)P A >（一）全概率公式四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式6A ()(|)B P A B1AB 2AB 3AB 4AB 5AB )B1AB2AB 3AB 4AB 5AB四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式11全概率公式的意义事件A 的发生有各种可能的原因B i (i =1,…,n )。
如果A 是由原因B i 引起，则A 发生的概率为()()(|)i i i P AB P B P A B 每一个原因都可能导致A 发生，故A 发生的概率是全部原因引起A 发生的概率的总和，即为全概率公式。
由此可以形象地把全概率公式看成是“由原因推结果”的公式，每个原因对结果的发生有一定的作用，结果发生的可能性与各种原因的作用大小有关，全概率公式就表达了它们之间的关系。
四川大学四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式12在很多实际问题中，P (A )不容易直接求得，但却容易找到S 的一个划分B 1, B 2,…, B n ，且P (B i )和P (A |B i )容易求得，那么就可以用全概率公式求出P (A )。
使用全概率公式的关键是作出S 的一个划分。
何时用全概率公式求A 的概率？四川大学1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑四川大学第10讲条件概率(III): 全概率公式贝叶斯公式16例2 有12个足球都是新球，每次比赛时取出3个，比赛后又放回去，求第三次比赛时取到的3 个足球都是新球的概率。
概率与统计习题册(川大版) (陈鸿建 著) 四川大学出版社 课后答案
( )
课
BC = ∅ 或 B ⊂ C ；从而有 ABC = A ， BC = B ，于是
P A BC =
后
因事件 A 发生导致事件 B 发生，则 A ⊂ B 或 AB = A ；事件 B 与事件C 互斥，则
答
2.
3 8
(
)
P (ABC ) P (BC )
案
网
1 1 πa 2 + a 2 2+π 2 = 4 = 率为 P (A) = . 1 2π m (Ω) 2 πa 2 m (A)
A=
B=
⎪ (4)A (B ∪ C ) = ⎪ ⎨ω : ≤ ω < 1⎬ ⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎩ ⎪ ⎭
3. 1 A, B,C 恰有一个发生
⎧ ⎪
1
()
网
课
一．1. D
P (A) = 0.3 ⇒ P (A) = 0.7 ⇒ P (AB ) = P (A) − P (AB ) = 0.3
⇒ P (A ∪ B ) = P AB = 1 − P (AB ) = 1 − 0.3 = 0.7
w.
2. D 3. C
kh ww
) ( )
( ) ( ) ( )
P (AB ) P (B )
3
P A B + P A B = 1 ⇒ P A B = 1− P A B = P A B =
(
⇒P AB =
课
2.
48 60
因 A 与 B 互斥，故 AC p )
(
)(
ww
P A3 B =
(
)
P B A3 P (A3 )
(
)
)
P BA =
(
)
四川大学概率统计习题册答案及解答前 章
P B A P(A )
2
2
0.2× 1
=
3 = 0.4444
2
( ) ∑4
P
(A i
)
P
B
A i
0.15
i =1
( ) ( ) P A B =
P B A P(A )
3
3
0.1× 1
=
12 = 0.0556
3
( ) ∑4
P
(A i
)
P
B
A i
0.15
i =1
P(A B) =
( ) P B A P(A )
因A 与 B 互斥，故AC 与 BC 互斥，从而有
P(A
∪
B
C)
=
P((A ∪ B)C )
P(C )
=
P(AC ∪ BC ) P(C )
=
P(AC ) + P(BC ) P(C )
=
P(A)P(C ) + P(B)P(C ) P(C )
=
P(A) +
P(B)
=
0.8
思考题：一般情况下，A 与C 独立， B 与C 独立，则A ∪ B 与C 也独立吗？
B)
+
P(A
B)
=
1
⇒
P(A
B)
=
1−
P(A
B)
=
P(A
B)
=
P(AB) P(B)
B) 1 − P(B)
⇒ P(A B) ⎡⎢⎣1 − P(B)⎤⎥⎦ = P(A)− P(AB)
⇒ P(A B) = P(A) ⇒ A与B相互独立.
二．1. p3 (2 − p)
第52讲 抽样分布(2) t分布
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t分布1§6.3 抽样分布四川大学第52讲抽样分布(2) t分布3第52讲抽样分布(2)t 分布四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t分布4二、t分布四川大学第52讲抽样分布(2) t分布51908年英国统计学学者Gosset以“Student”为笔名发表了他的研究成果，其中引入了t 分布的概念。
四川大学所以t 分布被称为Student t distribution。
四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t分布7William Sealy Gosset1876 –1937was an English statistician.He published under the penname Student,and developed the Student'st-distribution.四川大学第52讲抽样分布(2) t分布88n =1n =2n =15n =21)2x eπ-=四川大学()()n t x x ϕ=四川大学第52讲抽样分布(2) t 分布20t 分布的分位点对于一个数α( 0< α<1 ) ，怎么求数c ，使得概率这个点c 称为t 分布的上α分位点，记为即{}?P t c α>=()t n α{()}P t t n αα=>()()n t n t x dxα+∞=⎰已知积分值求积分下限四川大学四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t 分布21t 分布的上α分位点()t n α{()}P t t n αα=>()()n t n t x dxα+∞=⎰()t n α()n t x α1α-四川大学四川大学四川大学第52讲抽样分布(2) t 分布22()t n α()n t x α1α-由t n (x ) 关于y 轴的对称性，有1()()t n t n αα-=-()1()t n n t x dx αα-∞-=⎰()()n t n t x dxα+∞-=⎰()t n α-1()1()n t n t x dxαα-+∞-=⎰由定义比较积分下限即可四川大学四川大学对于不同的α和n，t(n)分布的上α分位点的值可以查t分布表。
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概率论与数理统计
主讲人： 胡朝浪
Cl_hu@ 四川大学数学学院
2020/3/31
1
概率论的诞生
分赌注问题：甲、乙两个赌徒按某种 方式下注赌博，说定先胜t局将赢得全 部赌注。但进行到甲胜r局，乙胜s局， （r,s<t）因故不得不中止，试问如何 分配这些赌注才公平合理？
解: (1) A B C
(2) ( A C ) B
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16
例1.2
(3)至少两门优秀
AB AC BC
(4)恰有两门优秀;
ABC ABC ABC
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17
§1.2事件发生的概率
我们关心某个随机事件A发生的可能 性大小：
想法：用P(A)来度量，P(.)的取值 跟A有关，即：用一个与A有关函数 来定义。因此：P(.)是个集函数。
2 P() 1
3 对 于 两 两 互 不 相 容 的 事件A1 , A2 , ,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
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20
概率的性质
1 P( ) 0
2 A, B互斥（即AB ）
P( A B) P( A) P(B)
一般地，若
Ai Aj (i, j 1,2, , n.i j)
2020/3/31
事件B就是 的一个子集
B发生当且仅当B中的样 本点1，3，5中的某一个 出现.
7
从集合的角度看
A
B
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8
§1.1.3 事件的关系及运算
1.事件的包含与相等
A B A 发生必然导致 B 发生
例如: A={1}，B={1，3，5}
A B A B且B A
2. A B {A,B中至少一个发生}
n
n
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
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21
概率的性质
AΩ
3 P(A) 1 - P(A)
A
4P( A B) P( A) P( AB)
Ω
特别：若B A,则
B A-B
P( A B) P( A) P(B)
小结论:
A B,则P( A) P(B) A B
5
§1.1.2样本空间sample space
Ω表示一个试验的所有可能的集合，称Ω
为样本空间. 而这个随机试验的每个基本结
果称为样本点，记作ω.
.
样本点
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6
随机事件event----样本空间的子集 . 例：掷一颗骰子，观察出现的点数
样本空间： = { 1,2,3,4,5,6｝
B = {1,3,5｝
A (B C) (A B) C
• 分配律 A (B C) ( A B)( A C)
A (B C) ( A B) ( A C)
• 对偶律 A B A B, A B A B
2020/3/31
14
例1.1
检查产品质量时，从一批产品中任意抽取
5件进行检查，设事件
Ai {发现i件次品}，i 0,1,..,5
Ω
B A-B
5. A与B互不相容（或互斥）
A B
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11
§1.1.3（续）
Ω
6. A 的对立事件 A
AA
须满足：AA , A A ,
注意对立事件与互斥的区别
综上得一般结论：1) A A,
2)A B AB A AB
3)AU B A (B A)
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n
Ai {A1,…An中至少一个发生}
i 1
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9
§1.1.3 事件的关系及运算
3. A B(或AB) {A,B同时发生}
例如：A={1，3，5}； B={2，4，6}，则
AB=
说明AB同时发生是不 可能事件；
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10
§1.1.3 事件的关系及运算
4. A－ B ={A发生而B不发生}
12
§1.1.3 事件的关系及运算
7. A1, A2,…,An 构成 完备事件组
(1) Ai Aj (i j),
n
(2) Ai
i 1
完备事件组将样本空间分为有限个
互不相容的事件的和。
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13
运算律：(Page4)
• 交换律 A B B A, A B B A • 结合律 A (B C ) ( A B) C,
巴斯卡和费马在1654年给出了正确的 解法。
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2
第一章 概率论基础知识
§1.1 样本空间与随机事件
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3
§1.1.1 随机试验
随机试验的三个特点: 1.可以在相同条件下重复进行；
2.试验结果不止一个，且可以预知一切 可能的结果的取值范围；
3.试验前不能确定会出现哪一个结果。
请用集合表示下列事件：
（1）完备事件组； A0 , A1 ,..., A5
（2）发现两件或三件次品； A2 A3
（3）最多两件次品；A0 A1 A2
（4）至少一件次品；A0
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15
例1.2
事件A,B,C分别表示一同学高数、线代、 概率三门课程成绩优秀,请用事件的关系 运算表示(1)仅有线代优秀; (2)高数,概率至少一门优秀而线代不优秀; (3)至少两门优秀;(4)恰有两门优秀;
fn(A) 0.5070
K.皮尔 12000 6019 0.5016
逊
24000 12012 0.5005
K.皮尔 2020/3/31
19
§1.2.2概率的公理化定义
设E是随机试验，Ω是它的样本空间。对 于每一个事件A赋予一个实数 P(A),称为 事件A 的概率，如果它满足以下三条：
1 对于每一个事件 A有 0 P(A) 1
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4
例:考虑试验E1：将一枚硬币抛掷两次，
可能结果为:
第1次 (H,H): H (H,T)： H (T,H): T (T,T)： T
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第2次
H T H T
可见，该随机试验 的所有可能的结果， 构成一个集合：
={(H,H), (H,T),
(T,H), (T,T)} 我们称该集合为这 个随机试验的样本 空间。
下面考虑该集函数的应具有的性质。
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18
§1.2.1 频率及性质
定义1.1 在n次重复试验中，若事件A发生
了k 次，则称k为事件A发生的频数，称 k / n
为事件A发生的频率，记为 fn ( A)
大量实践表明：频率有波动性，但随着试
验次数增加，频率总稳定在某个值附近。
试验者
n
nA
蒲丰 4040 2048