数学奥林匹克高中训练题(15)及答案
数学奥林匹克高中训练题
数学奥林匹克高中训练题
启治
【期刊名称】《《中等数学》》
【年(卷),期】2002(000)002
【摘要】第一试一、选择题 (共 3 6分 ,每小题 6分 )1 .函数f(x) =xα,x∈ ( -
1 ,0 )∪ ( 0 ,1 ) .若不等式 f(x) >|x|成立 ,则在α∈-
2 ,-1 ,-2
3 ,0 ,13 ,23 ,1 ,2的条件下,α可以取的值的个数是 ( ) .(A)
4 (B) 3 (C) 2 (D) 12 .正四面体的 4个正三角形面的 1 2条中线能形成数值不同的n个锐角。
【总页数】6页(P44-49)
【作者】启治
【作者单位】
【正文语种】中文
【相关文献】
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4.数学奥林匹克高中训练题(263) [J], 王金勇;刘翼
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中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(202)(无答案)(2021年整理)
答案）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（202）（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（无答案)第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1。
设3331110201620162016x y z x y z y z x >+=+=++++、、，且则333x y z xyz ++的取值集合为 .2.多项式32()2242016p x x x x d =-+-的三个根成等比数列，则d 的值为 。
3.若曲线229x y -=上的点P 到直线y x =-的距离为2016,则点P 到第一、三象限角平分线的距离为 。
4。
设ABC ∆的边长分别为62x x 、、。
则其面积S 的最大值为 。
5。
在四面体ABCD 中，1,5,7,5,7AB BC CD DA AC BD ======。
则其体积为 。
6.连续掷三次色子，所得点数的乘积被6整除的概率为 。
7.在方程141010z z ++=的所有复根中，模长为1的有 个。
8.设100101102103A =…798799为2100位的正整数,其由100到799的三位数顺序连接而成,则A 被126除的余数为二、解答题（共56分）9.（16分）数列{}n a 满足1232,2a a ==, 211111120(2)n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n +-+-+---++--=≥证明：20166a >10.（20分）已知点(1,2)=上，问：是否存在定点Q,经过点Q而与抛物线交P-在抛物线2y mx于点A、B的任意直线均使得APB∠的外角平分线为抛物线的切线?11。
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)参考答案与评分标准B1卷
2022年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2022年全国高中数学联合竞赛（B1卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设10分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9、10小题5分为一个档次，第11、12小题10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题10分，满分80分．1. 若等差数列{}n a 的各项非零，且1234a a a +=，则567a a a +的值为 ． 答案：45． 解：设{}n a 的公差为d ，则111()42a a d a d ++=+，即127d a =-． 令17,2(0)a t d t t ==-¹，从而56171291418467125a a a d t t a a d t t ++-===+-． 2. 在平面直角坐标系中，圆W 的方程为22202220220x y x y +---=，则圆W 的面积为 ．答案：2243p ．解：易知2222:(10)(11)202210112243x y W -+-=++=．设圆W 的半径为r ，则22243r =，于是圆W 的面积为22243r p p =．3. 将一枚质地均匀的骰子连续掷两次，则后一次所得点数不小于前一次所得点数的概率为 ．答案：712． 解：连续掷两次骰子共有2636=种情况，其中对每个{1,2,,6}k Î ，当第一次掷骰子所得点数为k 时，第二次掷骰子所得点数不小于k 的情况数为7k -． 从而所求概率611217(7)363612k p k ==⋅-==å． 4. 设,R a b Î，若tan()2,tan(2)3a b a b +=+=，则tan a 的值为 ．答案：139． 解：由于2tan tan(2)2tan()tan(22)1tan tan(2)1tan ()a ab a b a b a a b a b +++=+=-⋅+-+，故 2tan 322413tan 123a a +⋅==---， 解得13tan 9a =． 5. 设0z 为复数，集合0{i |}Z k A z k =+Î（i 为虚数单位）．若A 的所有元素之和为88i +，则A 的所有元素之积为 ．答案：65-．解：当0,1,2,3(mod 4)k º时，i k 的值分别为1,i,1,i --，故0000{1,i,1,i}A z z z z =++--． 由于A 的所有元素之和为88i +，即0488i z =+，故022i z =+．所以A 的所有元素之积为(32i)(23i)(12i)(2i)65+´+´+´+=-．6. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，棱11,AC AC 的中点分别为,M N ，则异面直线BN 与1C M 所成的角的余弦值为 ． 答案：35． 解：连接AN ，则1||AN C M ，故异面直线BN 与1C M 所成的角为ANB （或其补角）．不妨设正三棱柱的所有棱长都为2．在ANB D 中，显然有2,AB AN ==又由1BB ^平面111A B C 知11BB B N ^，故BN ===222cos 235AN BN AB ANB AN BN +- ===⋅，即所求的余弦值为35． 7. 设实数,,k l m 满足：函数2(1)()y x x kx l =+++的图像有对称中心(1,0)，且与函数3y x m =+的图像有公共点，则k l m ++的取值范围是 ．答案：25,12æùçú-¥ççúèû． 解：记2()(1)()f x x x kx l =+++．由()y f x =的图像关于点(1,0)对称，可知(1)0f =，又由(1)0f -=得(3)0f =，故2()(1)(1)(3)(1)(43)f x x x x x x x =+--=+-+，即4,3k l =-=．根据题意，方程23(1)()x x kx l x m +++=+有实数解，即方程23(3)0x x m ++-=有实数解，这等价于判别式112(3)0m D =--³，即3712m £． 所以25431,12k l m m m æùç++=-++=-Î-¥ççèû． 8. 有四所学校的学生参加一项数学竞赛，每所学校派出3名选手．组委会要抽选其中若干名选手做一项调研，要求任意两所学校被抽中的选手数之和至少为1、至多为3，则不同的抽选方式数为 （结果用数值表示）． 答案：837．解：将四所学校被抽中的选手数从小到大依次记为,,,()a b c d a b c d £££，则有1,3a b c d +³+£．故1b ³（否则0a b ==，矛盾）且1c £（否则24c d c +³³，矛盾），于是必有1b c ==．此时a 只能为0或1，d 只能为1或2．易验证(,,,)(0,1,1,1),(1,1,1,1),(0,1,1,2),(1,1,1,2)a b c d =均符合题意．当(,,,)(0,1,1,1)a b c d =时，指定一所学校无选手被抽中，在剩下三校中各抽1名选手，由乘法原理知有11343C (C )108´=种抽选方式．当(,,,)(1,1,1,1)a b c d =时，每所学校各抽1名选手，有143(C )81=种抽选方式．当(,,,)(1,1,1,2)a b c d =时，指定一所学校有2名选手被抽中，再抽该校的2名选手及剩下三校各1名选手，共1213433C C (C )324´´=种抽选方式．11当(,,,)(0,1,1,2)a b c d =时，依次指定两所学校，第一所无选手被抽中，第二所有2名选手被抽中，再于第二所学校抽2名选手，剩下两校各抽1名选手，有2212433P C (C )324´´=种抽选方式．综上，满足条件的抽选方式数为10881324324837+++=．二、解答题：本大题共4小题，满分120分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分20分）解方程：2lg10lg()1x x =-．解：显然0x >．原方程等价于1lg 2lg 1x x +=-． ……………5分 当lg 1x £-时，方程化为(1lg )2lg 1x x -+=--，即lg 0x =，舍去． ……………10分当1lg 0x -<£时，方程化为1lg 2lg 1x x +=--，即2lg 3x =-，得x =． ……………15分 当lg 0x >时，方程化为1lg 2lg 1x x +=-，即lg 2x =，得100x =．综上，原方程的解为x =或100x =． ……………20分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，x 轴正半轴上的两个动点A 、B 满足2022OB OA -=，抛物线2:4y x G =上一点P 满足PA AB ^，过点P 作G 的切线l ，记点B 到直线l 的距离为d ．求d 的最小值，并求出当d 取到最小值时数量积PA PB ⋅ 的值．解：设(,0),(2022,0)A t B t +，0t >．由于PA AB ^，可设(,)P t u ，其中P 在G 上，故24u t =．切线l 的方程为2()uy x t =+，即220x uy t -+=． ……………5分点B 到直线l的距离为d = ……………10分 利用基本不等式，可知2d =³． ……………15分=1009t =时，d取到最小值． 此时22()44036PA PB PA PA AB PA u t ⋅=⋅+==== ． ……………20分11. （本题满分40分）对任意三个两两不同的非负实数,,a b c ，定义343434(,,)||||||b c c a a b S a b c a b b c c a +++=++---， 并设(,,)S a b c 能取到的最小值为0m ．(1) 证明：当,,a b c 均为正数时，0(,,)S a b c m >；(2) 求所有非负实数组(,,)x y z ，使得0(,,)S x y z m =．解：(1) 不妨设min{,,}0c a b c =>，则将,,a b c 同时减去c ，得三个两两不同的非负实数,,0a a c b b c c ¢¢¢=-=-=，此时(,,)S a b c 343434||||||b c c a a b a b b c c a +++=++¢¢¢¢¢¢--- 343434||||||b c c a a b a b b c c a ¢¢¢¢¢¢+++>++¢¢¢¢¢¢---(,,)S a b c ¢¢¢=，而0(,,)S a b c m ¢¢¢³，从而0(,,)S a b c m >． ……………10分(2) 设0(,,)S x y z m =．由(1)知,,x y z 中有一个为零，不妨设0z =，则034343(,,0)43||||y x x y y x y m S x y x y y x x y y x æö+÷ç==++=++÷+ç÷ç÷--èø， 其中,x y 为两个不相等的正数．假如x y <，则33(,,0)(,,0)0x y S y x S x y y x y x-=-<--，故0(,,0)S y x m <，矛盾．所以x y >． ……………20分设(1)x y l l =>，则利用基本不等式得033143431y x y m x y y x l l l æöæöçç=++=+++ççççèø--èø 143161l l l l æöæö÷÷çç=-++++÷÷çç÷÷ççèøèø-3616³⋅=， ……………30分 等号成立当且仅当2l =，即2,(0)x t y t t ==>（从而016m =）． 由轮换性，满足条件的所有非负实数组(,,)x y z 为(2,,0),(0,2,),(,0,2)t t t t t t ，其中0t >． ……………40分12. （本题满分40分）对每个正整数n ，将形如2(1)2(2)a b c n n n ++-+（,,a b c 为正整数）的整数称为“n -有趣数”．(1) 判断2022是否为2-有趣数，说明理由；(2) 求所有正整数n ，使得存在两个n -有趣数互为相反数．解：(1) 由于11122232420486322022+⋅-⋅=+-=，故2022为2-有趣数．……………10分(2) 考虑n -有趣数2(1)2(2)a b c n n n ++-+模1n +的余数，有2(1)2(2)(1)21,3(mod(1))a b c a n n n n ++-+º--º--+．若这些数中存在两个数互为相反数，则或有(1)(1)0(mod(1))n -+-º+，或有(1)(3)0(mod(1))n -+-º+，或有(3)(3)0(mod(1))n -+-º+，从而1n +只可能为2,3,4,6，即{1,2,3,5}n Î． ……………20分当1,5n =时，对任意正整数,,a b c ，均有2(1)2(2)1021(mod 4)a b c n n n ++-+º+-º-，这样的数中不存在两个互为相反数． ……………30分当2n =时，1212232412+⋅-⋅=与1222232412+⋅-⋅=-均为2-有趣数，且互为相反数；当3n =时，322324259+⋅-⋅=与222324259+⋅-⋅=-均为3-有趣数，且互为相反数．综上，所求正整数n 为2,3． ……………40分。
数学奥林匹克高中训练题()及答案(1)
数学奥林匹克高中训练题（09）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题14)设3p >，p 和4p +都是素数，(4)S p p =+，对于1,2,3,,1i k =-，1i S +表示iS 的各位数码之和，若k S 是一位数，则k S =(B)．(A) 3 (B)5 (C)7 (D)92．(训练题14)已知ABC ∆的各个顶点都是整点(横纵坐标为整数的点称为整点)，且(0,0),(36,15A B ．则ABC ∆的面积的最小值是(B)．(A)12 (B)32 (C)52 (D) 723．(训练题14)把1995个不加区别的小数分别放在10个不同的盒子里，使得第i 个盒子中至少有i 个球(1,2,3,,10i =)，则不同放法的总数是(D)．(A)101940C(B) 91940C(C) 101949C(D) 91949C4．(训练题14) 已知P 为ABC ∆内一点，直线,,AP BP CP 交,,BC CA AB 于,,D E F ，且1995AP BP CP PD PE PF ++=，则AP BP CPPD PE PF⋅⋅的值为(C)． (A) 1995 (B) 1996 (C) 1997 (D) 1998 5．(训练题14)cos6cos 42cos66cos78oooo=(A)．(A)116 (B) 18 (C) 14(D) 某个无理数6．(训练题14)正十二面体有点，30条棱，每一个顶点是三条棱的交点，这三条棱的另一端是正十二面体的另外三个顶点，则称这三个顶点与前一个顶点是相邻的．在每个顶点放上一个实数，要求每个顶点所放的实数恰是与该顶点相邻的三个顶点处所放实数的算术平均值．设M 和m 分别是这数中最大的和最小的,则M m -= (A)．(A)0 (B)1 (C)12 (D) 不能确定 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题14)设函数f(x)的定义域和值域都是R ，且对任意的,a b R ∈有[()]f af b ab =，则(1995)f 的值是 1995 ．2．(训练题14)已知双曲线221x y t t-=的右焦点为F ，过F 的任一直线交双曲线的右支于,M N ，MN垂直平分线交x 轴于P ．当t 取不等于0的任意正实数时，FP MN=． 3．(训练题14)设z 是1的7次方根，1z ≠．则24z z z ++的值是． 4．(训练题14)设2()(,,,0)f x ax bx c a b c R a =++∈≠．如果在1x ≤时，()1f x ≤，则在1x ≤时，2ax b +的最大值等于 4 ．5．(训练题14)设{0,1,2}i x ∈，1,2,,i n =，且11ni i T x ==∑，221ni i T x ==∑，…，1nkk i i T x ==∑．设1T a =，2T b =，用,a b 表示k T ，则k T = 11(21)(22)k k b a ----- ．6．(训练题14)在六条棱长分别是 2,3,3,4,5,5的所有四面体中，最大的体积是3．第二试一、(训练题14)(本题满分25分)M 为ABC ∆内一点，满足90,150,120oooAMC AMB BMC ∠=∠=∠=，设,,P Q R 分别为AMC ∆,AMB ∆和BMC ∆的外心，求证：PQR ABC S S ∆∆>．二、(训练题14)(本题满分25分)设{}n a 为等差数列，d 为公差，且1a 和d 均为实数，它的前n 项和记作n S ．设集合221{(,)|},{(,)|1,,}4n n S A a n N B x y x y x y R n =∈=-=∈． 下列结论是否正确？如果正确，请给予证明；如果不正确，请举一个例子说明．(1)以集合A 中的元素为坐标的点都在同一直线上； (2)A B 至少有一个元素； (3)10a ≠时，一定有AB φ≠．三、(训练题14)(本题满分35分)对于正整数(1)n n >的每个质约数，考虑其不超过n 的最高次幂，所有这些方幂的和记为()f n ，例如62642(100)2589,(120)235170f f =+==++=． 证明：存在无穷多个n ，使得()f n n >．四、(训练题14)(本题满分35分)某桥牌俱乐部规定：仅当四人中无二人曾经相互作过伙伴时才能一起玩，在一次有14人参加的集会中，他们每人都曾与其他5人作过伙伴，玩3局之后，按规定只能停止．正当他们准备离开时，他们都不认识的一个新会员来了，证明这时至少还有一局可以玩．。
数学奥林匹克高中训练题(153)
在 １２ …， １ ， ， ２０２中选 ｋ一 个数 ， １ 使其
２１ 年第 ５期 ０２
４ １
６ 一 个五 位数ａｃｅ 足 ． ｂｄ满
ａ＜ｂ ｂ＞Ｃ＞ｄ， ， ｄ＜ｅ 且 ａ＞ｄ， ， ｂ＞ｅ
切线 ， ｏ， 于点 Ｇ， 与 Ａ Ａ 与 切 并 Ｂ、Ｃ分 别交 于
点 Ｍ、 ． ＭＤ与 Ｂ Ⅳ记 Ｇ交于 点 Ｑ， Ｄ与 Ｃ Ｎ Ｇ交
于点 Ｒ 证 明 ： Ｒ、 ． Ｐ、 Ｑ三点共线 的充 分必要 条 件是 Ａ、 Ｄ三点共 线． Ｇ、
Ａ
则 ｃｔ ｃｔ ｏ Ａ＋ ｏ Ｃ的最小值是— —＿ ． ８ 已知数列 ｛ 满足 ． ａ｝
ａｌ＝２， ２：１， ａ
Ｊ Ｄ Ｃ
图 １
Ｐ
： ：
— — — ＿ ｎ Ｎ， — 警 一 一 ＋ ｚ ２∈ ） ｌ （ ‘ ．
（ ３ ０ ， １） 若其数码随位数的变化 如 ７ １４ ４ ２ ， ２ ５ 规律类似正弦函数在一个周期上单调性 的变
化， 则称 这个 五位 数符 合 “ 弦 规律 ” 那 么 ， 正 ． 共有 — — 个 五位数符 合 正弦规 律．
７ 已知△ Ａ Ｃ的外心为 ０， ． Ｂ 且
ＡＤ・ Ｃ ＋ ０・ Ａ＋３ ０・ Ｂ ＝０ ２ Ｃ Ｃ Ａ ．
二、４ （０分） Ｐ是质数 ， 设 数列 ｛ 满足 ａ｝ ａ ＝ ，， １且对任意非负整数 ｎ有 。 ０ａ ＝ ，
ａｎ ２＝ ２ ＋ ＋ ａｎ １一ｐ０ ． ｎ
则 ｛ 的通项公式 ａ ＝ — ． ａ｝ —
二 、 答题 （ ５ 解 共 ６分 ） ９ （６分 ） ．１ Ｆ是 中心 在 坐 标 原 点 Ｄ的椭
ｑ：３．
对符合上述条件的任数组 口 ， …， 。口 ， 口 ， 显然， 总有 ｎ大于或等于①中的第 ｉ 个数．
中学高中数学奥林匹克竞赛训练题(200)(无答案)(2021年整理)
答案）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江西省上饶县中学2017-2018学年高中数学奥林匹克竞赛训练题（200）（无答案））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（无答案）第一试一、填空题（每小题8分，共64分） 1。
设函数2log 2xy =的定义域为[],m n ，值域为[]0,2。
则区间[],m n 长度的最小值为 。
2.已知向量a b 、满足2,a b a b ===且()()0a c b c --=。
则2b c -的最小值为 3。
若复数z 满足2z =的最大值为 。
4.设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>。
若()f x 在区间,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且2236f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最小正周期为 。
5。
已知方程22ay b x c =+中的{}3,2,,3a b c ∈--、、…，且a b c 、、互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有 条. 6.已知高为4的四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，点S A B C D 、、、、均在半径为1的同一球面上。
则侧棱SA 长度的最大值为 。
7.设函数2()1f x x x =-+。
定义()()n f x 如下：(1)()(1)()(),()(())n n f x f x f x f f x -==.记n r 为()()0n f x =的所有根的算术平均值，则2015r = 。
2022年全国中学生数学奥林匹克(预赛)贵州省初赛试题及答案
2022年全国中学生数学奥林匹克（预赛）贵州省初赛试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．双曲线222022x y -=上格点（横纵坐标均为整数的点）的个数为（ ） A ．0B ．4C ．8D ．122．平面α与长方体的六个面所成的角分别为(1,2,3,6)i i θ=，则612sin i i θ=∑的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．63．如图，1C ，2C 是离心率都为e 的椭圆，点A ，B 是分别是2C 的右顶点和上顶点，过A ，B 两点分别作1C 的切线1l ，2l ．若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（ ）A ．2eB ．21e -C ．21e -D ．21e二、多选题4．如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复上述操作（其中123∠∠∠==），得到四个小正方形,,,A B C D ，记它们的面积分别为,,,A B C D S S S S ，则以下结论正确的是（ ）A ．A DBC S S S S +=+B ．A D BC S S S S ⋅=⋅ C ．2AD B S S S + D ．2D A C S S S +<5．如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（ ）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时， 点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线三、填空题6．00x ∃<，使得2||20x x a +--<（a Z ∈）恒成立，则所有满足条件的a 的和_____． 7．甲烷分子4CH 的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C 位于四面体的中心0C ，记四个氢原子分别为1H ，2H ，3H ，4H ，则0014i i j j C H C H ≤<≤⋅=∑_____．8．如图，“爱心”是由曲线221:2||(0)C x y y x +=和2:||cos 1(0)C y x x π=+所围成的封闭图形，在区域1Ω=(,)22x x y y -π-≤≤⎧⎧⎫⎨⎨⎬⎩⎭⎩内任取一点A ，则A 取自“爱心”内的概率=P _____．9．函数122023()12022x x x f x x x x +++=+++++的对称中心为(,)a b ，则2a b +=_____．四、解答题10．已知0(1,(1))P f 是曲线:()e x C f x =上的点，C 在0P 处的切线1l 交x 轴于点()1,0Q x ，过1Q 作x 轴的垂线交C 于1P ，C 在1P 处的切线2l 交x 轴于()22,0Q x ，过2Q 作x 轴的垂线交C 于点2P ，C 在2P 处的切线3l 交x 轴于()33,0Q x ，过3Q 作x 轴的垂线交C 于3P ，重复上述操，依次得到()44,0Q x ，()55,0Q x ，……，求2023x ．11．已知半径为1的圆上有2022个点，求证：至少存在一个凸337边形，它的面积小于0.1．（ 3.142π≈ 1.732≈） 12．函数1()f x x x=+的图像酷似教师批改作业时所画的“对勾”，所以我们常称()f x 为“对勾函数”．其图像是双曲线，其渐近线方程为1:0l x =（即y 轴）与2:l y x =．(1)求C 顶点的坐标与离心率； (2)求C 焦点坐标．13．正数a ，b 满足+=1a b ，求证：2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．14．求所有正整数n 和素数p 满足()22232172221n n nn p n +⋅-=+-⋅15．甲乙二人轮流给一个正方体的棱涂色，首先，甲任选3条棱涂成红色，然后乙从余下的9条棱中任选3条涂成绿色，接着甲从余下的6条棱中任选3条涂成红色，最后乙将余下的3条棱涂成绿色，如果甲能将某个面上的4条边全都涂成红，甲就获胜，试问甲有必胜策略吗？说明理由．参考答案：1．A【详解】由222022x y -=，则()()2022x y x y +-=， △,x y Z ∈，△+x y 与x y - 具有相同的奇偶性，则()()x y x y +-为奇数或者能被4整除，这与()()2022x y x y +-=矛盾， 所以方程222022x y -=无整数解， 故选：A. 2．C【详解】解法1．取平面α与长方体的一个面平行或重合， 则在(1,2,36)i i θ=⋯中有两个为0，四个为2π， 所以612sin i i θ=∑=20+41=⨯⨯ 4.故选：C.解法2．建立如图的空间坐标系D xyz -，取α的法向量为()000,,n x y z =，长方体相邻三个面的法向量为1(1,0,0)=n ，2(0,1,0)n =，3(0,0,1)n =，△612cos i i θ=∑2221231232n nn nn n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22200022222222200000000022x y z x y z x y z x y z ⎛⎫=++= ⎪++++++⎝⎭， △612sin i i θ=∑=6-612cos i i θ=∑624=-=．故选：C. 3．C【详解】不妨设22122:1x y C a b +=，222222:x y C a bλ+=(0,1)a b λ>>>，△,(,0)(0,)A a B b λλ，11:()l y k x a λ=-代入1C 的方程得：()2222322422211120ba k x a k x a k ab λλ+-+-=，()()()23222224222111Δ240a k b a k a k a b λλ=--+-=，化简得()221221b k a λ=-．22:l y k x b λ=+代入22221x y a b+=得()22222222222220b a k x a bk x a b a b λλ+-+-=．()()()222222222222Δ240a bk b a k a b a b λλ=-+-=．化简得()222221b k a λ-=．△422124b k k a =，△222212221b a c k k e a a-===-， 故选C ． 4．BC【详解】设123α∠=∠=∠=，最大正方形的边长为1，小正方形,,,A B C D 的边长分别为a b c d ,,,．△2cos ,sin cos a b ααα==， 2sin cos ,sin c d ααα==，4422sin cos 2sin cos A D S S αααα+=+≥， 22sin cos B C S S αα==，2A D B S S S +≥，所以C 正确；4444sin sin ,sin sin A D B C S S S S αααα==，所以A D B C S S S S =，所以B 正确， 故选：BC. 5．ABC【详解】建立如图的直角坐标设(),P x y ，则(2,0)M x ，(0,2)N y ，0x >，0y >，对于A ，当Rt △AMN 面积为定值()20k k >时，12222x y k ⋅⋅=，△(0)x y k k ⋅=>轨迹为双曲线一支，所以A 正确．对于B ，若2(0)MN d d =>，则222222444x y d x y d +=⋅+=，(0,0)x y >>是一圆弧，所以B 正确．对于C ，当2(0)AM AN t t +=>时，222(0,0)x y t x y +=>>，即(0,0)x y t x y +=>>为空端点线段，所以C 正确．对于D ，当Rt △AMN 的周长为定值2C 时，则222x y C ++=，即(0,0)x y C x y +>>，()C x y =-+，△22222222x y C Cx Cy xy x y +=--+++， 所以2(22)2x C y Cx C -=-，2222Cx C y x C-=-轨迹为双曲线一支，所以D 错误．故选：ABC. 6．0【详解】由2||20x x a +--<得2||2x a x -<-(x <， 2222x x a x -<-<-，令21:2C y x =-，22:2C y x =-+，(x ∈，:l y x a =-，12,C C ，l 在同一坐标下的图像如图所示：由2==+2y x a y x -⎧⎨-⎩得22x x a -+=-，2(2)0x x a +-+=， 当Δ14(2)0a =++=时，94a =-，由图对称性知9944a -<-<，△9944a -<<，△{2,1,0,1,2}A =--，△元素之和为0， 故答案为：0. 7．34-【详解】4H 在面123H H H 的射影为O ，123=1sin60=33OH ⨯⨯，则49OH ===△04433==44C H OH 又140401H H C H C H =-，△()()()222140401412H H C H C H C H C H =+-⋅，即0401612216C H C H =⋅-⋅，△040118C H C H ⋅=-， △040118C H C H ⋅=-，所以0014i i j j C H C H ≤<≤⋅=∑0102010301040203C H C H C H C H C H C H C H C H ⋅+⋅+⋅+⋅02040304C H C H C H C H +⋅+⋅13=6=84--⨯，故答案为：34-.8．344ππ+ 【详解】解法1．区域Ω的面积为=4(+1)=4+4S ππ⨯，爱心面积20=1+2(1+cos )A S x dx ππ⎰⨯0=+2(+sin )=+2=3x x πππππ，△344A S P S ππ==+． 故答案为：344ππ+. 解法2．在图中的阴影部分面积1=22=4S ππ⨯⨯阴影，所以爱心面积为21+2=3πππ⨯，△344P ππ=+． 故答案为：344ππ+. 9．1【详解】△122023()12022x x x f x x x x +++=+++++111202312022x x x =++++++，设()(1011)2023g x f x =--11111011101010101011x x x x =++++--++，1111()1011101010101011g x x x x x -=++++-----+-+1111()1011101010101011g x x x x x ⎛⎫=-++++=- ⎪--++⎝⎭，△()(1011)2023g x f x =--是奇函数，所以f (x )关于点(1011,2023)-对称， △2+=2(1011)+2023=1a b -⨯． 故答案为：1. 10．2022-【详解】由()x f x e =得()e x f x '=，△1:e e(1)l y x -=-， △1:e e(1)l y x -=-，△1=0x ，由()1,0n Q x 知(),n x n n P x e ，△()1:n n x xn n l y e e x x +-=-，()10n n x x n n e e x x +-=-，即11n n x x +-=-，△数列{}n x 是首项1=0x ，公差为1-的等差数列，2023=0+2022(1)=2022x --⨯. 11．证明见解析【详解】由于2022337=6÷，故将2022个点分成6组，则至少有一个组T 的点数不小于337个， 将圆周六等分，60AOB ∠=，将T 组的点12,,,(337)k C C C k ≥都放在弧AB 上（有两个点可能是A ，B ）， 则凸337边形12337C C C 的面积S 小于弓形(1,2337)i ABC A i =的面积，而弓形ABCA的面积为3.142 1.732 2.1760.166424π-=-<<， △至少存在一个凸337边形，它的面积小于0.1.12．(1)顶点坐标为，⎛⎝，离心率为(2)1F，2(F .【详解】（1）由于1y x x=+的两条渐近线为=0x 与=y x ，则它的中心为(0,0)， 实轴所在的直线方程为()tan67.51)y x x ==+，由1=+y x y x x ⎧⎪⎨⎪⎩得11x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩22==x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩△顶点坐标为，⎛⎝． 由于渐近线对实轴的夹角为22.5， △离心率122.5cos22.5e ==，45cos22.5cos 2=，△e ==（2）设焦点坐标为(),F m n ，则1)n m = △由c e a =得222c e a =221)=，所以228m n += △由△△联解得11m n ⎧⎪⎨⎪⎩22m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩△焦点坐标为1F，2(F ．13．证明见解析 【详解】332211a b a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()55234234222211(1)(1)11a b a b a a a a b b b b a b a b----++++++++== ()()23423411a a a a b b b b ab++++++++= 23231111a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫=++++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭231ab ⎫≥++⎪⎭（柯西不等式），122a b +=，令t =231()1g t t t t t=++++，其中102t <≤， 则2213()12341104g t t t t =-+++≤-+++<'，所以131()28g t g ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭． 所以2332211318a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 14．证明见解析【详解】(,)(17,1)p n =是唯一解．下面我们证明这个结论．首先排除=2p ．假设=2p ．则()222321722221n n n n n +⋅-=+-⋅， 显然地，等式左边不是4的倍数，但右边是4的倍数，矛盾！因此p 为奇素数，于是n 也为奇数，21(mod 8)n =．由于821(mod 17)=，421(mod 17)=-，我们有2321(mod 17)n +=-，()222mod 17n =，于是22+3172+21n n -，因此217172n n p ⋅-，即17p ，于是17p =． 此时原式转化为()()222132171721221n n n n n -+⋅⋅-=+-⋅， 显然地，若3n ≥，12179n n ->．于是，当3n 时，()222122172192117921n n n n n LHS n -⋅->⋅-⇒>⋅⋅-，此外，()()22222229219217921n n n RHS n n n n =⋅⋅-=⋅-<⋅⋅-矛盾！ 经验证得(,)(17,1)p n =是唯一解．15．甲没有必胜策略，理由见解析【详解】将正方体的12条棱分成4组：{}{}112334223441,,,,,A B B B A A A B B B A A ，{}334112,,A B B B A A ，{}441223,,A B B B A A ．当甲第一次涂红3条棱后，由抽屈原理知，上述4组棱中总有一组的3条棱均未被涂红． 乙只要将这一组的3条棱涂绿，则正方体的6个面就各有一条绿边．可见，甲没有必胜策略．。
牛吃草问题的奥数题及答案
牛吃草问题的奥数题及答案
牛吃草问题的奥数题及答案
“奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。
1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。
以下是店铺帮大家整理的牛吃草问题的奥数题及答案，仅供参考，欢迎大家阅读。
有三块草地，面积分别为5，6和8公顷．草地上的`草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天．问：第三块草地可供19头牛吃多少天？
分析：根据题意先把将三块草地的面积统一起来，变为典型的牛吃草的基本类型的题目，只要求出每天新长出的草以及草地原有草，就可以求出答案。
解：因为5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5=24，所以120公顷草地可供11×24=264（头）牛吃10天，因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6=20，所以120公顷草地可供12×20=240（头）牛吃14天．又因为120÷8=15，问题变为：120公顷草地可供19×15=285（头）牛吃几天？因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为：“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？”设1头牛1天吃的草为1份，每天新长出的草有：（240×14—264×10）÷（14—10）=180（份），草地原有草（264—180）×10=840（份），可供285头牛吃840÷（285—180）=8（天）．所以，第三块草地可供19头牛吃8天。
答：第三块草地可供19头牛吃8天。
【牛吃草问题的奥数题及答案】。
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛初赛一试A卷参考答案及评分标准
2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021全国高中数学联合竞赛 一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 等差数列{}n a 满足202120211a a a ，则1a 的值为 ．答案：19814001．解：设的公差为d ．由条件知1120201,2391,a d a d 解得119814001a ． 2. 设集合{1,2,}A m ，其中m 为实数．令 2B a a A ，C A B ．若C 的所有元素之和为6，则C 的所有元素之积为 ．答案：8 ．解：由条件知21,2,4,,m m （允许有重复）为C 的全部元素．注意到，当m 为实数时，221246,1246m m m ，故只可能是{1,2,4,}C m ，且1246m ．于是1m （经检验符合题意），此时C 的所有元素之积为124(1)8 ．3. 设函数()f x 满足：对任意非零实数x ，均有(2)()(1)1f f x f x x，则()f x 在(0,) 上的最小值为 ．答案1．解：令1,2x ，分别得(1)(1)(2)1f f f 与(2)(2)2(1)12f f f，解得3(2)1,(1)4f f ．从而对0x ，有31()14f x x x．当(0,)x时，()11f x，当3x 时等号成立．所以()f x 在(0,)1．4. 设函数2()cos log (0)f x x x x ，若正实数a 满足()(2)f a f a ，则(2)(4)f a f a 的值为 ．答案：3 或1 ．解：由条件得2222cos log cos2log 22cos 11log a a a a a a ，所以{}n a2cos 2cos a a ，进而得cos 0a 或12，相应有2cos22cos 11a a 或12． 于是222(2)(4)cos2log 2cos4log 4cos22cos 2f a f a a a a a a a3,cos 21,11,cos 2.2a a 若若5. 在ABC 中，21,2,3AB AC B C，则ABC 的面积为 ．答案：14．解：由正弦定理知sin 2sin B AC C AB ，又23B C，故212sin sin sin sin 322C B C C C ，即5sin 22C C，所以tan 5C ．记ABC 的面积为S ．注意到23A B C C，故11sin sin cos 2sin 2222S AB AC A A C C ．由tan 5C知2221tan 112tan cos 2,sin 21tan 141tan 14C C C C C C ，从而11121421414S． 6. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过上一点（异于）作的切线，与轴交于点．若，则向量OP 与OQ的数量积为 ．答案：32．解：设2,(0)2t P t t p ，则 的切线PQ 的方程为22t yt p x p．令0x ，得2t y ，故0,2t Q．又F 坐标为,02p ，进而 222p tFP p ，FQ 结合可分别得224p t p ，224p t ．所以21,3p t ．于是2322t OP OQ ．xOy 2:2(0)y px p F P O y Q 2,1FP FQ 2,1FP FQ7. 一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数．随机地抛掷该骰子三次（各次抛掷结果相互独立），所得的点数依次为，则事件“”发生的概率为 ．答案：14．解：注意到12233113132max 2min i i i i a a a a a a a a ．因此，掷得的三个点数123,,a a a 满足条件，当且仅当最大数与最小数之差为3，即123,,a a a 是,,3x x d x 的一个排列，其中{1,2,3},{0,1,2,3}x d ．对每个{1,2,3}x ，当0d 或3d 时，,,3x x d x 各有3种不同的排列；当1d 或2d 时，,,3x x d x 各有6种不同的排列．因此，满足条件的点数123,,a a a 有3(2326)54 种情况．从而所求概率为354164 ．8. 设有理数(0,1)pr q，其中,p q 为互素的正整数，且pq 整除3600．这样的有理数r 的个数为 ．答案：112．解：设集合*,,,(,)1,|3600p r r p q p q pq q N． 考虑 的任一元素r 的最简分数形式pq，因3600的标准分解为422235 ，可设235,235A B C a b c p q ，其中min{,}min{,}min{,}0A a B b C c ，且4,2,2A a B b C c ．这样的数对(,)A a 共有9种取法，数对(,)B b 共有5种取法，数对(,)C c 共有5种取法．所以 的元素个数955225 ．满足条件的有理数的全体为(0,1) ．注意到，r 当且仅当1r，特别地，1 ．因此，\{1} 中的元素可按乘积为1配成 111122对，每对中恰有一数属于(0,1)，即恰有一数满足条件．从而所求有理数r 的个数为112．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）已知复数列{}n z 满足：11,(1i)(1,2,)2n n n z z z z n， 其中i 为虚数单位．求2021z 的值．解：对*N n ，设i (,)R n n n n n z a b a b ，则222111i (1i)i i ()i n n n n n n n n n n n a b z z z z z a b a b ，因此2211,n n n n n n a a b a b b ． ……………4分1,2,3,4,5,6123,,a a a 1223316a a a a a a又由12z知，11,02a b，所以2n a ，进而 2134n n n b b b ， ……………8分即221111242n n n n b b b b． 所以当2n 时，1122111112222n n n b b121122n ． ……………12分 于是2020202120212021211i 2i 2z a b． ……………16分 10. （本题满分20分）在平面直角坐标系中，函数11x y x的图像上有三个不同的点位于直线l 上，且这三点的横坐标之和为0．求l 的斜率的取值范围．解：当0x 时，1y ；当0x 时，11x y x关于x 严格递增且小于1．设直线:l y kx b ，则条件等价于方程11x kx b x ①有三个不同的实数解123123,,()x x x x x x ，满足1230x x x ．首先有0k （否则，l 只能是1y ，但此时l 与函数11x y x 图像的任意三个公共点的横坐标之和必大于0，不合题意）． ……………5分当0x 时，方程①可整理为2(1)10kx k b x b ， ②至多两个负数解． ……………10分当0x 时，方程①即为1kx b ， ③至多一个非负解．这表明方程②有两个不同的负数解12,x x ，其中121k b x x k，方程③有非负解31bx k．由1230x x x ，可知2k b ．进而有312bx b，由30x 得01b ． ……………15分方程②变为22(1)10bx b x b ，由判别式2(1)42(1)(1)(19)0b b b b b ，并结合01b ，可知109b （经检验，此时12,x x 确实为负数，符合题意）．综上，l 的斜率(2)k b 的取值范围是209k ． ……………20分11. （本题满分20分）如图，正方体ABCD EFGH 的棱长为2，在正方形ABFE 的内切圆上任取一点1P ，在正方形BCGF 的内切圆上任取一点2P ，在正方形EFGH 的内切圆上任取一点3P ．求122331PP P P P P 的最小值与最大值．解：以正方体的中心为原点，DA 、DC 、DH 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．根据条件，可设111222333(1,cos ,sin ),(sin ,1,cos ),(cos ,sin ,1)P P P ．约定4141,P P ．记1(1,2,3)i i i d PPi ，则 222211(1sin )(1cos )(sin cos )i i i i i d ． ①……………5分记122331f PP P P P P ．先求f 的最小值．对1,2,3i ，根据①与平均值不等式得2222111(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )2i i i i i d ，故1(2sin cos )2i i i d ．于是312311(2sin cos )2i i i f d d d31(sin cos )2i i i31sin 4i i3 ． 当(1,2,3)4i i时，f可取到最小值3． ……………10分再求f 的最大值．由①知21142cos 2sin 2sin cos i i i i i d ．注意到sin 1,cos 1(1,2,3)i i i ，有33332111111122sin cos sin cos i i i i i i i i i d 33311111122sin cos sin cos i i i i i i i 311182(1sin )(1cos )18i i i ．由柯西不等式知22221233()54f d d d，故f ．当(1,2,3)i i 时，f可取到最大值．综上所述，f的最小值为3，最大值为． ……………20分2。
数学奥林匹克高中训练题(156)
１ ０
ｎ 从 中擦 去 了数 ｜ 则 ． ｝ ｊ ，
ｎ １
一
丁
ｍ 了
ｊ （４ ） 了 ） 一， Ｐ一， Ｄ （４ ． ０ 同，等） 理 ， 尸 ｏ （ ．
当Ｄ Ｅ为底 边时 ， Ｄ 过 Ｅ的中点 Ｇ作 Ｇ ， Ｐ ＿ 轴 于点 Ｐ ． ｌ ＿
则 Ｄ ２ Ｐ ＝ ｍ Ｅ＝ Ｇ ２ ． 由△ Ｃ Ｅ∽ △ Ｃ Ｂ Ｄ Ａ
Ｑ ） ②
√ｃｓ ｘ＋ Ｏ ４ ８ｉ２ ・ｉ ６ ｏ ４ Ｃ￥ ｙ一） （０分 已知各 项均 为整 数 的无 穷数
列 ｛ 满足： ｑｒ 口｝ 、 ∈ｚ，
ａ ｐ ＋ ， ＋１ ｌ ｇ＋２ ，
ｎ ｐ 一 ２ ２ ２ ｑ ＋ｒ — ，
易知 ， Ｅ＝Ｄ ｍ． Ｄ Ｐ ＝
由Ａ Ｄ Ｃ Ｅ∽ △ Ｃ Ｂ Ａ
…
ａ ＝ Ⅱ
一
ｌ＋２ ａ ｌ ＋ ｎ２ ｈ
一
一
ｎ— （ ｌ ｎ∈ Ｎ＋ ． ）
（ ，（，， ， 一 ０ 了 ）－ ） 争 ）６ （ ０ ，０９． ２
三、 设共 写 出了 ｎ个 连续 的正整 数 １２ ，，
，
ｊ ｍ ２ 一ｍ
＝
丽
＋
＋
的半 径 ｒ ＝一 ８Ｅ、 ． ，分别 是正 四面体 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的棱 Ｂ Ｄ、 Ｃ 的中点． Ｄ 则平 面 Ａ Ｃ和 平 面 Ａ Ｆ所 成 二 Ｂ Ｅ 面角 的余 弦值 是— — ． ． 二、 解答题 （ ５ ） 共 ６分 ９ （ ６分 ） ．１ 已知 ， ） 定 义 在实 数 集 Ｒ （ 是 上 的 函数 ， （ ）＝ ， ，０ ２ 对任 意 ∈ Ｒ， 有 ５＋ ｘ 一 ４ ） ２ ）＝ ５— ， ３ ２ ５—６ ） 一 ）＝ ．
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数学奥林匹克高中训练题（15）
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题15)正方体表面正方形的对角线中存在异面直线，如果其中两条异面直线距离是1，那么，
正方形的体积(C)．
(A) 1 (B) 33 (C) 1 或33 (D) 33 或23
2．(训练题15)设有长度为12345,,,,aaaaa的五条线段，其中任何三条线段都能组成一个三角形，共组
成了10个三角形，这些三角形中(A)．
(A) 必有一个锐角三角形 (B) 必有一个直角三角形
(C) 不可能有锐角三角形 (D) 是否存在锐角三角形与已知线段长有关
3．(训练题15)在锐角ABC中，,,ABC为其内角，设cot2cot2cot2TABC，则一定
有(C)．
(A) 0T (B) 0T (C) 0T (D) 0T
4．(训练题15)C为复数集，设18{|1,}AzzzC，18{|1,}BC，{|,}DzzAB．则
D
中的元素的个数为(D)个．
(A)864 (B)432 (C) 288 (D) 144
5．(训练题15)已知正数,,abc，满足1995abbccd，则cab+abc+bca的最小值为(B)．
(A) 1995 (B) 3665 (C) 2665 (D) 665
6．(训练题15)已知函数()fx在(0,)上有定义且为增函数，并满足1()(())1fxffxx．则(1)f(D)．
(A)1 (B)0 (C) 251 (D) 251
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题15)已知抛物线方程(0)2xyhh，点(2,4)P在抛物线上，直线AB在y轴上的截距
大于0，且与抛物线交于,AB两点，直线PA与PB的倾斜角互补，则PAB的面积的最大值是
643
9
．
2．(训练题15)设p是一个素数，4p的各正约数之和是一个完全平方数，则p= 3p ．
3．(训练题15)方程cos(1)cos(2)cos(3)0axbxcx在开区间(0,)内至少有两个根，则
此方程的所有根为 一切实数 ．
4．(训练题15)设12,xx是实系数方程2240xkx的两个非零实根，且满足221221()()7xxxx，则
k
取值范围是 55kk或 ．
5．(训练题15)设多项式()px的次数不超过3次，且(0)1,(3)0,(2)(2)pppxpx．若
()px
的首项系数为负数，则()px 1(1)(2)(3)6xxx ．
6．(训练题15)在一次网球比赛中，n个女子和2n个男子参加，并且每个选手与其他所有选手恰好比
赛一次，如果没有平局，女子胜的局数与男子胜的局数之比7：5，则n 3 ．
第二试
一、(训练题15)(本题满分25分)求所有的a的值，(,)22a，使方程组1arcsin(sin)1tan()10yxyx ，
在110x的条件下恰有10个解．
二、(训练题15)(本题满分25分)已知,An均为自然数，其中21,nAn，且2|[]1nnA．求A的值．
三、(训练题15)(本题满分35分) 某厂第一天产品不超过a件，以后每天日产量都有所增加，但每日增
产数量也不超过a件，且设,0baqrra，证明，当日产量达到b件时，工厂生产产品总数不
少于2)2)(1(rqaq件．
四、(训练题15)(本题满分35分) 平面上有n个点，其中每两个点之间的连线均染成红色或黑色，若图
中总存在两个没有公共边的同色三角形，求n的最小值．