2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第28讲 正弦定理与余弦定理 含答案
2020届高考数学一轮复习43正弦定理和余弦定理课件
∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°.
由余弦定理,得 BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos
60°=25+64-2×5×8×12=49,∴BC=7.
考点 51
考点 52
考点 53
考向
2
卷
理 文
13 15
正弦定理和余弦定理
根据正弦定理求边
2016
3
卷
理 文
8 9
正弦定理和余弦定理 根据余弦定理求角 正弦定理和余弦定理 根据正弦定理求角
利用边角互化公式 ,边化角得到两角的
1 卷 理 17 边角互化公式的应用 正弦值,然后结合两角和差公式及余弦
定理确定各边长
理 17
三角形面积公式的应 用
14.(2015·天津,理 13,5 分,难度★★)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边
分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积为 3 15,b-c=2,cos A=-14,则 a 的值为 8.
解析∵S△ABC=12bcsin A=12bc 1-cos2??= 12bc× 145=3 15,∴bc=24.又
C=1+25+2×1×5×35=32.
∴AB=4 2.
考点 51
考点 52
考点 53
2.(2016·全国 3,理 8,5 分,难度★★)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等
于13BC,则 cos A=( C )
3 10
A. 10
10
B. 10
C.-
10 10
D.-31010
2025高考数学一轮复习-正弦定理与余弦定理【课件】
cos B＝____2_a_c____； a2＋b2－c2
cos C＝_____2_a_b_____
④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A
解斜
①已知三边，求各角；
三角 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和它们的夹
形的 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 角，求第三边和其他两
第四章 三角函数与解三角形
第22讲 解三角形
激活思维
1．在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为
(
A)
A．120°
B．90°
【解析C】．由60余°弦定理知 cos A＝b2＋2cb2c－a2D＝．－4125，°所以 A＝120°.
2．在△ABC 中，设 b＝5，c＝5 3，A＝30°，则 a＝
问题
个角
2．三角形常用面积公式
(1) S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)； (2) S＝12ab sin C＝12ac sin B＝12bc sin A.
3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝b sin A __一__解____
b sin A＜a＜b ___两__解___
6＋ 2
则由正弦定理sinb B＝sinc C，得 c＝bssininBC＝2ssiinn6705°°＝2×
4 3
＝
2＋
6 3.
2
6
3 A＝4，B＝π，b＝ 3，则 a＝5______，c＝____5________．
53
【解析】由 cos A＝45，可知 A 为锐角，所以 sin A＝ 1－cos2A＝35.由正弦定理，得 a＝
2020届高考数学一轮课件：4.3 正弦定理和余弦定理
即 3c2=36,解得 c=2 3或 c=-2 3(舍去).
∴a=2c=4 3.
∴S△ABC=12acsin B=12×4 3×2 3 × 23=6 3.
考情概览
试题类编
考点 51
考点 52
考点 53
10.(2018·浙江,13,6 分,难度★★)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别
转化与统一.
考点 51
考点 52
考点 53
考情概览
试题类编
考点51正弦定理和余弦定理
1.(2018·全国 2,理 6 文 7,5 分,难度★)在△ABC 中,cos
������ 2
=
55,BC=1,AC=5,则 AB=( A )
A.4 2
B. 30
C. 29 D.2 5
解析∵cos C=2cos2���2���-1=-35,∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos
4.3 正弦定理和余弦定理
考情概览
试题类编
2010—2019年高考全国卷考情一览表
年 份 题号 考 点 考 向
2010
文
16
正弦定理和 余弦定理
根据余弦定理求边
2011
文
15
三角形面积 公式的应用
根据余弦定理求边,根据三角形面积公 式求面积
2012
理
17
三角形面积 公式的应用
边角互化公式结合两角和差公式求角, 利用三角形面积公式结合求边长
文
17
边角互化公 式的应用
边角互化公式结合两角和差公式求角 的值,利用三角形面积公式结合求边长
2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第四章 4.6 正弦定理和余弦定理含解析
§4.6 正弦定理和余弦定理最新考纲 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)＝＝＝2R a sin A b sin B c sin C(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C变形(3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(4)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；a 2R b 2R c 2R (5)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(6)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A(7)cos A ＝；cos Bb 2＋c 2－a 22bc ＝；cos C ＝c 2＋a 2－b 22aca 2＋b 2－c22ab2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b 解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S ＝a ·h a (h a 表示边a 上的高)；12(2)S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ；121212(3)S ＝r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．12概念方法微思考1．在△ABC 中，∠A >∠B 是否可推出sin A >sin B?提示 在△ABC 中，由∠A >∠B 可推出sin A >sin B .2．如图，在△ABC 中，有如下结论：b cos C ＋c cos B ＝a .试类比写出另外两个式子．提示 a cos B ＋b cos A ＝c ；a cos C ＋c cos A ＝b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × )(2)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × )(3)在△ABC 中，＝.( √ )a sin A a ＋b －csin A ＋sin B －sin C(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )题组二 教材改编2．在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为 ．答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝，π2所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝2，则△ABC 的面积为 ．3答案 23解析 ∵＝，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，23sin 60°4sin B∴AB ＝2，∴S △ABC ＝×2×2＝2.1233题组三 易错自纠4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 由已知及正弦定理得sin C <sin B cos A ，∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ，又sin A >0，∴cos B <0，∴B 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．5．(2018·桂林质检)在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定答案 C解析 由正弦定理得＝，b sin B csin C∴sin B ＝＝＝>1.b sin Cc 40×32203∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．(2018·包头模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝ .答案 2π3解析 由3sin A ＝5sin B 及正弦定理，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ，所以a ＝b ，c ＝b ，5373所以cos C ＝＝＝－.a 2＋b 2－c 22ab(53b )2＋b 2－(73b )22×53b ×b 12因为C ∈(0，π)，所以C ＝.2π3题型一 利用正弦、余弦定理解三角形例1 (2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos .(B －π6)(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理＝，a sin A bsin B 可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ，得a sin B ＝a cos ，(B －π6)(B －π6)即sin B ＝cos ，所以tan B ＝.(B －π6)3又因为B ∈(0，π)，所以B ＝.π3(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝，π3得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝.7由b sin A ＝a cos ，可得sin A ＝.(B －π6)217因为a <c ，所以cos A ＝.277因此sin 2A ＝2sin A cos A ＝，437cos 2A ＝2cos 2A －1＝.17所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B＝×－×＝.4371217323314思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1 (1)(2018·天津河西区模拟)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝sin A sin C ，则B 的大小为( )3A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案 D解析 因为sin 2B －sin 2C －sin 2A ＝sin A sin C ，3所以b 2－c 2－a 2＝ac ，3即a 2＋c 2－b 2＝－ac ，3则cos B ＝＝－，a 2＋c 2－b 22ac 32又0°<B <180°，则B ＝150°.(2)如图所示，在△ABC 中，D是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB ＝BD ，BC ＝2BD ，则sin 3C 的值为．答案 66解析 设AB ＝a ，∵AB ＝AD,2AB ＝BD ，BC ＝2BD ，∴AD ＝a ，BD ＝，BC ＝.在△ABD 32a34a3中，cos ∠ADB ＝＝，∴sin ∠ADB ＝，∴sin ∠BDC ＝.在△BDC 中，＝a 2＋4a 23－a 22a ×2a 3336363BDsin C，BCsin ∠BDC∴sin C ＝＝.BD ·sin ∠BDCBC 66题型二 和三角形面积有关的问题例2 (2018·济南模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos A －a cos B ＝2c .(1)证明：tan B ＝－3tan A ；(2)若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且△ABC 的面积为，求a .33(1)证明 根据正弦定理，由已知得sin B cos A －cos B sin A ＝2sin C ＝2sin(A ＋B )，展开得sin B cos A －cos B sin A ＝2(sin B cos A ＋cos B sin A )，整理得sin B cos A ＝－3cos B sin A ，所以tan B ＝－3tan A .(2)解 由已知得b 2＋c 2－a 2＝bc ，3所以cos A ＝＝＝，b 2＋c 2－a 22bc 3bc 2bc32由0<A <π，得A ＝，tan A ＝，∴tan B ＝－，π6333由0<B <π，得B ＝，所以C ＝，a ＝c ，2π3π6由S ＝ac sin ＝×a 2＝，得a ＝2.122π312323思维升华 (1)对于面积公式S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪121212一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．跟踪训练2 (1)(2018·承德质检)若AB ＝2，AC ＝BC ，则S △ABC 的最大值为( )2A ．2 B. C. D ．3232232答案 A解析 设BC ＝x ，则AC ＝x .根据三角形的面积公式，2得S △ABC ＝·AB ·BC sin B ＝x .①121－cos 2B 根据余弦定理，得cos B ＝＝＝.②AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC 4＋x 2－2x 24x 4－x 24x 将②代入①，得S △ABC ＝x ＝.1－(4－x 24x )2128－(x 2－12)216由三角形的三边关系，得Error!解得2－2<x <2＋2，22故当x ＝2时，S △ABC 取得最大值2，故选A.32(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝，则△ABCπ3的面积是________．答案 332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6. ①∵C ＝，π3∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos ＝a 2＋b 2－ab .②π3由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6.∴S △ABC ＝ab sin C ＝×6×＝.121232332题型三 正弦定理、余弦定理的应用命题点1 判断三角形的形状例3 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形答案 C解析 方法一 由余弦定理可得a ＝2b ·，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b ＝c ，a 2＋b 2－c 22ab 从而△ABC 为等腰三角形．方法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ，因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ，于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ，故△ABC 为等腰三角形．(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin(π－A )＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A .∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，∴sin A ＝1，即A ＝，∴△ABC 为直角三角形．π2引申探究1．本例(2)中，若将条件变为2sin A cos B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，∴sin(A －B )＝0.又A ，B 为△ABC 的内角．∴A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形．2．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝＝，a 2＋b 2－c 22ab 12又0<C <π，∴C ＝，π3又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ，故△ABC 为等边三角形．命题点2 求解几何计算问题例4 (2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝π3，AB⊥BC .7(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝，求CD 的长．2π3解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝，∠DAB ＝，7π3所以由余弦定理，得()2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos ，解得k ＝1，所以AD ＝2，AB ＝3，7π3sin ∠ABD ＝＝＝.AD sin ∠DAB BD 2×327217(2)因为AB ⊥BC ，所以cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝，217所以sin ∠DBC ＝，所以＝，277BD sin ∠BCD CD sin ∠DBC 所以CD ＝＝.7×27732433思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．(2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示；②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．跟踪训练3 (1)(2018·安徽六校联考)在△ABC 中，cos 2＝(a ，b ，c 分别为角A ，B ，CB 2a ＋c2c 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 ∵cos 2＝，cos 2＝，B 21＋cos B 2B 2a ＋c2c ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝，a 2＋c 2－b 22a ∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．(2)(2018·洛阳统考)在△ABC 中，B ＝30°，AC ＝2，D 是AB 边上的一点，CD ＝2，若∠ACD 5为锐角，△ACD 的面积为4，则BC ＝ .答案 4解析 依题意得S △ACD ＝CD ·AC ·sin ∠ACD ＝2·sin ∠ACD ＝4，sin ∠ACD ＝.12525又∠ACD 是锐角，因此cos ∠ACD ＝＝.1－sin 2 ∠ACD 15在△ACD 中，AD ＝＝4，CD 2＋AC 2－2CD ·AC ·cos ∠ACD ＝，sin A ＝＝ .AD sin ∠ACD CDsin A CD ·sin ∠ACD AD 15在△ABC 中，＝，BC ＝＝4.AC sin B BC sin A AC ·sin A sin B1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝，b ＝3，A ＝60°，则边c 等13于( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos 60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝2，C ＝30°，则B 等于( )3A ．30° B ．60°C ．30°或60° D ．60°或120°答案 D解析 ∵c ＝2，b ＝2，C ＝30°，∴由正弦定理可得3sin B ＝＝＝，由b >c ，可得30°<B <180°，b sin Cc 23×12232∴B ＝60°或B ＝120°.3．(2018·南昌模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为( )A. B. C ．1 D ．21214答案 A解析 由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC12的面积S ＝bc sin A ＝×2×＝.121212124．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝，n ＝，p ＝(a ，cos A 2)(b ，cos B2)共线，则△ABC 的形状为( )(c ，cos C2)A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵向量m ＝，n ＝共线，(a ，cos A 2)(b ，cos B2)∴a cos ＝b cos .B 2A2由正弦定理得sin A cos ＝sin B cos .B 2A2∴2sin cos cos ＝2sin cos cos .A 2A 2B 2B 2B 2A2则sin ＝sin .∵0<<，0<<，∴＝，即A ＝B .A 2B 2A 2π2B 2π2A 2B2同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.5．(2018·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝，b cos A ＋a cos223B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( )A ．4π B ．8π C ．9π D ．36π答案 C解析 c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝，得sin C ＝，再由正弦定理可得2R ＝＝6，R22313c sin C ＝3，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为( )A. B. C. D.14342423答案 B解析 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝＝＝.a 2＋c 2－b 22ac a 2＋4a 2－2a 24a 2347．(2018·成都模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝ac ，3则角B 的值为 ．答案 或π32π3解析 由余弦定理，得＝cos B ，a 2＋c 2－b 22ac 结合已知等式得cos B ·tan B ＝，32∴sin B ＝，又0<B <π，∴B ＝或.32π32π38．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝，sin B ＝，C ＝，则b312π6＝ .答案 1解析 因为sin B ＝且B ∈(0，π)，12所以B ＝或B ＝.π65π6又C ＝，B ＋C <π，π6所以B ＝，A ＝π－B －C ＝.π62π3又a ＝，由正弦定理得＝，3a sin A bsin B 即＝，332b 12解得b ＝1.9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝，C ＝，则△ABC 的面π6π4积为 ．答案 ＋13解析 ∵b ＝2，B ＝，C ＝.π6π4由正弦定理＝，b sin B c sin C 得c ＝＝＝2，A ＝π－＝，b sin C sin B 2×22122(π6＋π4)7π12∴sin A ＝sin ＝sin cos ＋cos sin(π4＋π3)π4π3π4π3＝.6＋24则S △ABC ＝bc sin A ＝×2×2×＝＋1.121226＋24310.如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin ∠BAC ＝，AB ＝3，AD ＝3，2232则BD 的长为________．答案 3解析 因为sin ∠BAC ＝，且AD ⊥AC ，223所以sin ＝，(π2＋∠BAD )223所以cos ∠BAD ＝，在△BAD 中，由余弦定理，223得BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠BAD＝＝.(32)2＋32－2×32×3×223311．(2018·珠海模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝，且B 为钝角，求A ，B ，C .34(1)证明 由正弦定理知＝＝＝2R ，a sin Ab sin B csin C ∴a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入a ＝b tan A 得sin A ＝sin B ·，又∵A ∈(0，π)，∴sin A >0，sin Acos A ∴1＝，即sin B ＝cos A .sin Bcos A(2)解 由sin C －sin A cos B ＝知，34sin(A ＋B )－sin A cos B ＝，∴cos A sin B ＝.3434由(1)知，sin B ＝cos A ，∴cos 2A ＝，由于B 是钝角，34故A ∈，∴cos A ＝，A ＝.(0，π2)32π6sin B ＝，B ＝，∴C ＝π－(A ＋B )＝.322π3π612．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－.17(1)求∠A ；(2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－，17所以sin B ＝＝.1－cos 2B 437由正弦定理得sin A ＝＝.a sin Bb 32由题设知<∠B <π，所以0<∠A <，π2π2所以∠A ＝.π3(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝，3314所以AC 边上的高为a sin C ＝7×＝.331433213．在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝2ab sin C ，则△ABC 的形状是( )3A ．不等腰的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形答案 D解析 易知a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 2－2ab cos C ＝2ab sin C ，即a 2＋b 2＝2ab sin ，3(C ＋π6)由于a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab sin ≥2ab ，sin ≥1，故只(C ＋π6)(C ＋π6)能a ＝b 且C ＋＝，所以△ABC 为正三角形．π6π214．(2018·大理模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin B ＝b cos 3A ．若a ＝4，则△ABC 周长的最大值为________．答案 12解析 由正弦定理＝，a sin A bsin B可将a sin B ＝b cos A 转化为sin A sin B ＝sin B cos A .33又在△ABC 中，sin B >0，∴sin A ＝cos A ，3即tan A ＝.3∵0<A <π，∴A ＝.π3由余弦定理得a 2＝16＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－32，(b ＋c 2)则(b ＋c )2≤64，即b ＋c ≤8(当且仅当b ＝c ＝4时等号成立)，∴△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝4＋b ＋c ≤12，即最大值为12.15．在△ABC 中，C ＝60°，且＝2，则△ABC 面积S 的最大值为．a sin A 答案 334解析 由C ＝60°及＝＝2，可得c ＝.c sin C asin A3由余弦定理得3＝b 2＋a 2－ab ≥ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，∴S ＝ab sin C ≤×3×＝，121232334∴△ABC 的面积S 的最大值为.33416．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2－(b －c )2＝(2－)bc ，且sin B ＝1＋cos 3C ，BC 边上的中线AM 的长为.7(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－)bc ，3得a 2－b 2－c 2＝－bc ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，33∴cos A ＝＝，b 2＋c 2－a 22bc 32又0<A <π，∴A ＝.π6又sin B ＝1＋cos C,0<sin B <1，∴cos C <0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝，5π6则sin＝1＋cos C ，化简得cos ＝－1，(5π6－C )(C ＋π3)解得C ＝，∴B ＝.2π3π6(2)由(1)知，a ＝b ，sin C ＝，cos C ＝－，3212在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋2－2b ··cos C (a 2)a2＝b 2＋＋＝()2，解得b ＝2，b 24b 227故S △ABC ＝ab sin C ＝×2×2×＝.1212323。
高三一轮复习精题组正弦定理、余弦定理及解三角形(有详细答案)
§4.6 正弦定理、余弦定理及解三角形1． 正弦、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2. S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r .3． 在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：4. 实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等． (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②)． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在△ABC 中，A >B 必有sin A >sin B ．( √ )(2)若满足条件C ＝60°，AB ＝3，BC ＝a 的△ABC 有两个，那么a 的取值范围是(3，2)．( √ ) (3)若△ABC 中，a cos B ＝b cos A ，则△ABC 是等腰三角形．( √ ) (4)在△ABC 中，tan A ＝a 2，tan B ＝b 2，那么△ABC 是等腰三角形．( × )(5)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )2． (2013·湖南)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理得 2sin A sin B ＝3sin B ，∴sin A ＝32. 又A 为锐角，∴A ＝π3.3． (2013·陕西)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sinA ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，所以sin A ＝1，由0<A <π，得A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4． 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．答案 27解析 由正弦定理知AB sin C ＝3sin 60°＝BCsin A， ∴AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .又A ＋C ＝120°，∴AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin(120°－C ) ＝2(sin C ＋2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ) ＝2(sin C ＋3cos C ＋sin C )＝2(2sin C ＋3cos C )＝27sin(C ＋α)， 其中tan α＝32，α是第一象限角， 由于0°＜C ＜120°，且α是第一象限角， 因此AB ＋2BC 有最大值27.5． 一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．题型一 正、余弦定理的简单应用例1 (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ，则sin B ＋sin C 的最大值为( )A ．0B ．1C.12D. 2思维启迪 (1)由sin C ＝23sin B 利用正弦定理得b 、c 的关系，再利用余弦定理求A . (2)要求sin B ＋sin C 的最大值，显然要将角B ，C 统一成一个角，故需先求角A ，而题目给出了边角之间的关系，可对其进行化边处理，然后结合余弦定理求角A . 答案 (1)A (2)B解析 (1)∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理得c ＝23b ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.(2)已知2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C ， 根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，∴A ＝120°.故sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin(60°－B )＝32cos B ＋12sin B ＝sin(60°＋B )， 故当B ＝30°时，sin B ＋sin C 取得最大值1.思维升华 (1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( )A.725B ．－725C ．±725D.2425(2)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则角A 的大小为________． 答案 (1)A (2)π6解析 (1)由正弦定理b sin B ＝csin C ，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得bsin B ＝85b sin 2B ，化简得1sin B ＝852sin B cos B ，则cos B ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×(45)2－1＝725，故选A.(2)∵A ＋C ＝2B 且A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.由正弦定理知：sin A ＝a sin B b ＝12，又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6.题型二 正弦定理、余弦定理的综合应用例2 (2012·课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sinC －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .思维启迪 利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A ；面积公式和余弦定理相结合，可求出b ，c .解 (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12. 又0<A <π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.思维升华 有关三角形面积问题的求解方法： (1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化．(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、二倍角公式等．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .(1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状． 解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4. 又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ， 得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0， 当cos A ＝0时，∵0<A <π， ∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ， 由正弦定理得a ＝b ， 即△ABC 为等腰三角形．∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 题型三 解三角形的实际应用例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解 如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋92t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)． 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．思维升华 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长．解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错．在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ， 所以∠ACB ＝30°.由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°.在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ，由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)，解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.代数式化简或三角运算不当致误典例：(12分)在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．易错分析 (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形； (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解； (3)结论表述不规范． 规范解答解 ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B ．[4分]方法一 由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .[8分]在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分] 方法二 由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．[12分]温馨提醒 (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子然后判断；注意不要轻易两边同除以一个式子．(2)在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．方法与技巧1． 应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．2． 正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明． 3． 合理利用换元法、代入法解决实际问题． 失误与防范1． 在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．2． 利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题1． 在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°答案 A解析 在△ABC 中，AB sin C ＝BC sin A ，∴2sin C ＝2sin 45°，∴sin C ＝12，又AB <BC ，∴∠C <∠A ，故∠C ＝30°.2． △ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cb<cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形答案 A解析 依题意得sin Csin B <cos A ，sin C <sin B cos A ，所以sin(A ＋B )<sin B cos A ，即sin B cos A ＋cos B sin A －sin B cos A <0，所以cos B sin A <0.又sin A >0，于是有cos B <0，B 为钝角，△ABC 是钝角三角形．3． (2012·湖南)△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394答案 B解析 设AB ＝a ，则由AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B 知7＝a 2＋4－2a ，即a 2－2a －3＝0，∴a ＝3(负值舍去)． ∴BC 边上的高为AB ·sin B ＝3×32＝332. 4． (2013·辽宁)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.5． 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知b 2＝c (b ＋2c )，若a ＝6，cos A＝78，则△ABC 的面积等于 ( )A.17B.15C.152D ．3答案 C解析 ∵b 2＝c (b ＋2c )，∴b 2－bc －2c 2＝0， 即(b ＋c )·(b －2c )＝0，∴b ＝2c .又a ＝6，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78，解得c ＝2，b ＝4.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×1－(78)2＝152.二、填空题6． (2013·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.7． 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则a ＝________.答案 210解析 由tan A ＝2得sin A ＝2cos A . 又sin 2A ＋cos 2A ＝1得sin A ＝255. ∵b ＝5，∠B ＝π4，根据正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，∴a ＝b sin A sin B ＝2522＝210.8． 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________． 答案 50 2 m 解析 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，所以AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝50 2.三、解答题9． (2013·北京)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A，∴cos A ＝63. (2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去．故c 的值为5.10．(2013·江西)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 即3cos B ＝sin B . 因为0<B <π， 所以sin B >0， 所以cos B >0， 所以tan B ＝3， 即B ＝π3.(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝(a ＋c )2－3ac ≥(a ＋c )2－3⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝14(a ＋c )2＝14， ∴b ≥12.又a ＋c >b ，∴b <1，∴12≤b <1.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)1． △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba等于( )A ．2 3B ．2 2C. 3D. 2答案 D解析 ∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ， ∴sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， ∴sin B ＝2sin A ，∴b a ＝sin Bsin A＝ 2.2． 有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20°答案 C解析 如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°， ∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝ABsin 10°，∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°.3． (2013·浙江)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点．若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________. 答案63解析 因为sin ∠BAM ＝13，所以cos ∠BAM ＝223.如图，在△ABM 中，利用正弦定理，得BM sin ∠BAM ＝AM sin B ，所以BM AM ＝sin ∠BAM sin B ＝13sin B ＝13cos ∠BAC .在Rt △ACM 中，有CMAM ＝sin ∠CAM ＝sin(∠BAC －∠BAM )．由题意知BM ＝CM ，所以13cos ∠BAC＝sin(∠BAC －∠BAM )．化简，得22sin ∠BAC cos ∠BAC －cos 2∠BAC ＝1. 所以22tan ∠BAC －1tan 2∠BAC ＋1＝1，解得tan ∠BAC ＝ 2.再结合sin 2∠BAC ＋cos 2∠BAC ＝1，∠BAC 为锐角可解得sin ∠BAC ＝63.4． (2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C －sin C sin ⎝⎛⎭⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝⎛⎭⎫22sin C ＋22cos C －sin C⎝⎛⎭⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1.由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.5． 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值． (1)求f (x )的值域及周期； (2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π， 所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3.因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π.又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]． (2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π，故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值，所以A ＝512π，所以C ＝π4.由正弦定理，知3sin π3＝csinπ4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34.。
2020年高考文科数学一轮总复习：正弦定理和余弦定理
2020年高考文科数学一轮总复习：正弦定理和余弦定理第7讲 正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b A 为钝角或直角时，a ＝b ，a <b 均无解． 3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin__B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径).常用知识拓展 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C . (2)cos(A ＋B )＝－cos C . (3)sinA ＋B 2＝cosC 2. (4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A; 已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B＝( )A.π4或π6 B.π12 C.π4D.π6解析：选C.由正弦定理，得3sin2π3＝6sin B ，解得sin B ＝22.又因为在△ABC 中，A ＝2π3，所以B ＝π4.故选C.(教材习题改编)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4. 答案：4第1课时 正弦定理和余弦定理利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29D ．25(2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________．(3)(2019·贵州贵阳摸底)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.①求边长a ； ②求sin A .【解】 (1)选A.因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.(2)因为a ＝3c ，所以sin A ＝3sin C ，因为A ＝2π3，所以sin A ＝32，所以sin C ＝12，又C 必为锐角，所以C ＝π6，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π6，所以B ＝C ，所以b ＝c ，所以bc ＝1.故答案为1.(3)①由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3. ②由①知a ＝3，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin C ＝7sin 120°，即sin A ＝3314.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(一题多解)(2019·广西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ∶B ∶C 为( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B.法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.2．(2019·河南南阳四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( )A.823B.1433C.73D.733解析：选D.因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝ABsin ∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.判断三角形的形状(典例迁移)(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cosB ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为________．【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， 即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰或直角三角形． 【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形[迁移探究] (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．(2019·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(一题多解)若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选D.法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2， 所以a ＝b .又因为a 2＋b 2－c 2＝ab . 所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二：利用角的关系来判断：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．数学运算——计算三角形中的未知量数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．(2018·高考天津卷节选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小； (2)设a ＝2，c ＝3，求b .【解】 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.本题(1)中利用正弦定理化边为角，实现边角的互化，而(2)中利用余弦定理求边长，体现核心素养中的数学运算．(2019·石家庄质量检测(二))已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且3ca＝sin C cos A. (1)求角A 的大小；(2)设D 为AC 边上一点，且BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，求c . 解：(1)在△ABC 中，3c a ＝sin Ccos A， 所以3sin C sin A ＝sin Ccos A. 所以3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)由BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，得cos ∠BDC ＝25＋9－492×3×5＝－12，又0<∠BDC <π，所以∠BDC ＝2π3.又∠A ＝π3，所以△ABD 为等边三角形，所以c ＝5.[基础题组练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．22C ．2D.3解析：选C.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b <c ＝23，所以b ＝2.选C.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．一个 B ．两个 C ．0个D ．无法确定解析：选B.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，因为b >a ，所以B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．3．△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 的值为( )A.－74B.34C.74D.13解析：选C.由正弦定理，得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b 2＝2a 2, 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝34，所以sin B ＝74. 4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选D.由正弦定理，得sin A sin A ＝cos B sin B ＝cos Csin C ，即tan B ＝tan C ＝1，所以B ＝C ＝π4，所以A ＝π2，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选D.5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________．解析：由sin B ＝12，C ＝π6，得B ＝π6，A ＝2π3.由b sin B ＝asin A ，解得b ＝1.答案：16．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________.解析：设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，即sin A 2＝sin B3＝sin C 4，由正弦定理得a 2＝b 3＝c4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k >0，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1116. 答案：11167．(2019·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长． 解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0， 由于B 为三角形的内角， 所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角， 所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， 即20＝c 2＋4－4c ⎝⎛⎭⎫－22，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 8．(2019·重庆质量调研(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cos B 2＝14. (1)求cos B 的值； (2)若b 2－a 2＝314ac ，求sin Csin A的值． 解：(1)将sin B 2－cos B 2＝14两边同时平方得，1－sin B ＝116，得sin B ＝1516，故cos B ＝±3116， 又sin B 2－cos B 2＝14>0，所以sin B 2>cos B 2，所以B 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 所以B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，。
2020版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数解三角形5.6正弦定理和余弦定理讲义含解析
§5.6正弦定理和余弦定理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况3.三角形常用面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形内切圆半径)．概念方法微思考1．在△ABC 中，∠A >∠B 是否可推出sin A >sin B? 提示 在△ABC 中，由∠A >∠B 可推出sin A >sin B .2．如图，在△ABC 中，有如下结论：b cos C ＋c cos B ＝a .试类比写出另外两个式子．提示 a cos B ＋b cos A ＝c ；a cos C ＋c cos A ＝b .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)当b 2＋c 2－a 2>0时，三角形ABC 为锐角三角形．( × )(3)在△ABC 中，a sin A ＝a ＋b －csin A ＋sin B －sin C.( √ )(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ ) 题组二 教材改编2．[P10B 组T2]在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为． 答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin2A ＝sin2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．[P18T1]在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积为． 答案 2 3解析 ∵23sin60°＝4sin B ，∴sin B ＝1，∴B ＝90°，∴AB ＝2，∴S △ABC ＝12×2×23＝2 3.题组三 易错自纠4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c <b cos A ，则△ABC 为( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形答案 A解析 由已知及正弦定理得sin C <sin B cos A ， ∴sin(A ＋B )<sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B <sin B cos A ， 又sin A >0，∴cos B <0，∴B 为钝角， 故△ABC 为钝角三角形．5．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案 C解析 由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则C ＝. 答案2π3解析 由3sin A ＝5sin B 及正弦定理，得3a ＝5b .又因为b ＋c ＝2a ， 所以a ＝53b ，c ＝73b ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53b 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫73b 22×53b ×b ＝－12.因为C ∈(0，π)，所以C ＝2π3.题型一 利用正、余弦定理解三角形例1(2018·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值． 解 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得b sin A ＝a sin B .又由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6， 即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7. 由b sin A ＝a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝217.因为a <c ，所以cos A ＝277.因此sin2A ＝2sin A cos A ＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin2A cos B －cos2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．跟踪训练1(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，则A 等于( ) A.3π4B.π3C.π4D.π6答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∵b ＝c ，∴a 2＝2b 2(1－cos A )，又∵a 2＝2b 2(1－sin A )， ∴cos A ＝sin A ，∴tan A ＝1，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，故选C.(2)(2018·浙江金华一中月考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a ＝23，C ＝π3，tan A ＝34，则sin A ＝，b ＝.答案 354＋ 3解析 因为角A 为△ABC 的内角，tan A ＝sin A cos A ＝34，sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得sin A ＝35(舍负)．又在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，解得c ＝a sin Csin A＝5，则在△ABC 中，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，即(23)2＋b 2－52＝2×23b cos π3，解得b ＝4＋3(负舍)．题型二 和三角形面积有关的问题例2(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B . (1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．(1)证明 由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解 由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a24，故有sin B sin C ＝12sin A ＝12sin2B ＝sin B cos B ，由sin B ≠0，得sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.思维升华 (1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 跟踪训练2(1)若AB ＝2，AC ＝2BC ，则S △ABC 的最大值为( ) A ．22B.32C.23D ．3 2 答案 A解析 设BC ＝x ，则AC ＝2x .根据三角形的面积公式， 得S △ABC ＝12·AB ·BC sin B ＝x 1－cos 2B .①根据余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝4＋x 2－2x 24x ＝4－x 24x.②将②代入①，得S △ABC ＝x1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4－x 24x 2＝128－(x 2－12)216.由三角形的三边关系，得⎩⎨⎧2x ＋x >2，x ＋2>2x ，解得22－2<x <22＋2，故当x ＝23时，S △ABC 取得最大值22，故选A.(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是．答案332解析 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.题型三 正弦定理、余弦定理的应用命题点1 判断三角形的形状例3(1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 答案 C解析 方法一 由余弦定理可得a ＝2b ·a 2＋b 2－c 22ab，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b＝c ，从而△ABC 为等腰三角形．方法二 由正弦定理可得sin A ＝2sin B cos C ， 因此sin(B ＋C )＝2sin B cos C ， 即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C ， 于是sin(B －C )＝0，因此B －C ＝0，即B ＝C ， 故△ABC 为等腰三角形．(2)(2018·杭州二中期中)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都可能答案 D解析 由余弦定理可得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b ·a 2＋c 2－b 22ac，化简得(a 2＋b 2－c 2)(a ＋b )(a －b )＝0，由于a ＋b >0，所以a 2＋b 2＝c 2或a ＝b ，故选D. 引申探究1．本例(2)中，若将条件变为a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A ·sin B ＝sin C ，判断△ABC 的形状．解 ∵a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3，又由2cos A sin B ＝sin C 得sin(B －A )＝0，∴A ＝B ， 故△ABC 为等边三角形． 命题点2 求解几何问题例4如图，在平面四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC.(1)求sin∠ABD 的值； (2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．解 (1)因为AD ∶AB ＝2∶3，所以可设AD ＝2k ，AB ＝3k (k >0)．又BD ＝7，∠DAB ＝π3，所以由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，所以AD ＝2，AB ＝3，sin∠ABD ＝AD sin∠DAB BD ＝2×327＝217.(2)因为AB ⊥BC ，所以cos∠DBC ＝sin∠ABD ＝217， 所以sin∠DBC ＝277，所以BD sin∠BCD ＝CDsin∠DBC，所以CD ＝7×27732＝433.命题点3 解三角形的实际应用例5(1)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD 是60m ，则河流的宽度BC 等于( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m答案 C解析 如图，在Rt△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60m ，所以CD ＝AD ·tan60°＝603(m)．在Rt△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°， 所以BD ＝AD ·tan15°＝60(2－3)(m)． 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)．(2)如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°，若山高AD ＝100m ，汽车从B 点到C 点历时14s ，则这辆汽车的速度约为m/s.(精确到0.1，参考数据：2≈1.414，5≈2.236)答案 22.6解析 因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°，设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ，在Rt△ADB 中，AB ＝AD cos∠BAD ＝ADcos60°＝200.在Rt△ADC 中，AC ＝AD c os∠CAD ＝100cos45°＝100 2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.思维升华 (1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． (2)求解几何计算问题要注意：①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理．(3)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(4)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3 (1)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 B解析 ∵cos 2B 2＝1＋cos B 2，cos 2B 2＝a ＋c 2c， ∴(1＋cos B )·c ＝a ＋c ，∴a ＝cos B ·c ＝a 2＋c 2－b 22a，∴2a 2＝a 2＋c 2－b 2，∴a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．(2)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是． 答案 (6－2，6＋2)解析 如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE . 在等腰三角形CBF 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos30°＝6－ 2. 在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BEsin75°＝2sin30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB<6＋ 2.1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c 等于( ) A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 ∵a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， ∴13＝c 2＋9－2c ×3×cos60°， 即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．2．(2018·杭州地区七校期中联考)在△ABC 中，a ＝23m ，b ＝4m (m >0)，如果三角形有解，则角A 的取值范围是( ) A ．0°<A ≤60° B ．0°<A <30° C ．0°<A <90° D ．30°<A <60°答案 A解析 由题意得点B 在以C 为圆心，23m 为半径的圆上(除去与直线AC 的交点)，所以A >0°，且当AB 与圆C 相切时，角A 取得最大值，此时AB ⊥BC ，则sin A ＝BC AC ＝23m 4m ＝32，又因为a <b ，所以角A 为锐角，所以角A 的最大值为60°，综上所述，角A 的取值范围为0°<A ≤60°，故选A.3．(2018·金华十校模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝30°，△ABC 的面积为32，且sin A ＋sin C ＝2sin B ，则b 的值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3 C.3－1 D.3＋1答案 D解析 在△ABC 中，由sin A ＋sin C ＝2sin B 结合正弦定理得a ＋c ＝2b ，△ABC 的面积为12ac sin B＝12ac ×12＝32，解得ac ＝6，则在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝(2b )2－(2＋3)×6，解得b ＝3＋1，故选D.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知三个向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2，p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，cos C 2共线，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 A解析 ∵向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，cos A 2，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，cos B 2共线，∴a cos B 2＝b cos A2.由正弦定理得sin A cos B 2＝sin B cos A2.∴2sin A 2cos A 2cos B 2＝2sin B 2cos B 2cos A2.则sin A 2＝sin B 2.∵0<A 2<π2，0<B 2<π2，∴A 2＝B2，即A ＝B . 同理可得B ＝C .∴△ABC 的形状为等边三角形．故选A.5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π 答案 C解析 c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223，得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C＝6，R ＝3，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C.6．(2018·浙东北联盟期中考试)在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )A.4003mB.40033m C.20033m D.2003m 答案 A解析 设山顶为A ，塔底为C ，塔顶为D ，过点A 作CD 的垂线，交CD 的延长线于点B (图略)，则易得AB ＝BCtan60°，BD ＝AB ·tan30°＝BC tan60°·tan30°＝2003×33＝2003(m)，所以CD＝BC －BD ＝200－2003＝4003(m)，故选A.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为． 答案π3或2π3解析 由余弦定理，得a 2＋c 2－b 22ac＝cos B ，结合已知等式得cos B ·tan B ＝32， ∴sin B ＝32，又0<B <π，∴B ＝π3或2π3. 8．(2019·台州调研)为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)如图所示，且∠B ＋∠D ＝180°，则AC 的长为km.答案 7解析 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝82＋52－2×8×5cos B ，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝32＋52－2×3×5cos D ，由cos D ＝－cos B 并消去AC 2得cos B ＝12，所以AC ＝7.9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为． 答案3＋1解析 ∵b ＝2，B ＝π6，C ＝π4.由正弦定理b sin B ＝csin C，得c ＝b sin C sin B ＝2×2212＝22，A ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π4＝7π12，∴sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3 ＝6＋24. 则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×22×6＋24＝3＋1.10．(2018·诸暨模拟)如图，已知△ABC 中，AB ＝8，AC ＝5，BC ＝7，AB 的中垂线交BC于点D ，则BD ＝，△ADC 的面积等于．答案5611 30311解析 记AB 的中点为E ，在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1114，sin B ＝1－cos 2B ＝5314，S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝103；在Rt△BDE 中，BE ＝12AB ＝4，cos B ＝BE BD ＝4BD＝1114，因此BD ＝5611，BD BC ＝811，S △ABD ＝811S △ABC ，S △ADC ＝311S △ABC ＝30311. 11．(2018·宁波模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知3a sin C ＝c cosA .(1)求sin A 的值；(2)若B ＝π4，△ABC 的面积为9，求a 的值．解 (1)因为3a sin C ＝c cos A ， 所以3sin A sin C ＝sin C cos A ，又因为sin C ≠0，所以tan A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1010. (2)由(1)知，cos A ＝31010，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝255.由正弦定理得a c ＝sin A sin C ＝24，c ＝22a ，因为S △ABC ＝12ac sin B ＝12a ×22a ×22＝a 2＝9，所以a ＝3.12．(2018·北京)在△ABC 中，a ＝7，b ＝8，cos B ＝－17.(1)求∠A ； (2)求AC 边上的高．解 (1)在△ABC 中，因为cos B ＝－17，所以sin B ＝1－cos 2B ＝437. 由正弦定理得sin A ＝a sin Bb ＝32. 由题设知π2<∠B <π，所以0<∠A <π2，所以∠A ＝π3.(2)在△ABC 中，因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3314，所以AC 边上的高为a sin C ＝7×3314＝332.13．在△ABC 中，a 2＋b 2＋c 2＝23ab sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．不等腰的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．正三角形答案 D解析 易知a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 2－2ab cos C ＝23ab sin C ，即a 2＋b 2＝2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6，由于a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2ab sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥2ab ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1，故只能a ＝b 且C ＋π6＝π2，所以△ABC 为正三角形．14．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝3，则△ABC 的周长的最大值为( ) A ．23B ．6C.3D ．9 答案 D解析 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵a ＝3，∴由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝332＝23，∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ，则a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6，∵B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，∴当B ＝π3时周长取得最大值9.15．(2018·舟山中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a答案 C解析 由sin 2A －cos 2A ＝12得cos 2A －sin 2A ＝－12，则cos2A ＝－12，又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2A ＝2π3，A ＝π3， ∴B ＋C ＝π－π3＝2π3，在△ABC 中，由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C＝b ＋csin B ＋sin C，而sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B＝sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6.又∵0<B <2π3，∴π6<B ＋π6<5π6，∴12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6≤1，即32<sin B ＋sin C ≤3， 而a ＝sin A sin B ＋sin C (b ＋c )≥323(b ＋c )＝b ＋c2，即2a ≥b ＋c ，故选C.16．(2018·诸暨调研)在直角△ABC 中，A ＝π6，B ＝π3，点P 在△ABC 内，∠APC ＝23π，∠BPC＝π2，设∠PCA＝α，求tan α的值．解 由题意知AC ＝3·BC ，∠PBC ＝∠PCA ＝α， ∴PC ＝BC ·sin α，又∠APC ＝2π3，∴∠PAC ＝π3－α，在△APC 中，由正弦定理得PC sin∠PAC ＝ACsin∠APC ，即sin αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2，化简得2sin α＝3cos α，易知cos α≠0， ∴tan α＝32.。
2020版高考数学(文)高分计划一轮高分讲义：第3章三角函数、解三角形 3.6 正弦定理和余弦定理 Word版
3．6正弦定理和余弦定理[知识梳理]1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则2．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，三角形解的情况3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)． (2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 4．在△ABC 中，常有的结论 (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． [诊断自测] 1．概念思辨(1)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )(2)在△ABC 中，asin A ＝a ＋b －c sin A ＋sin B －sin C.( )(3)若a ，b ，c 是△ABC 的三边，当b 2＋c 2－a 2>0时，△ABC 为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，△ABC 为直角三角形；当b 2＋c 2－a 2<0时，△ABC 为钝角三角形．( )(4)在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则此三角形是钝角三角形．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)√2．教材衍化(1)(必修A5P 10A 组T 4)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin2Asin C ＝________.答案 1解析 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin2Asin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×46×34＝1.(2)(必修A5P 20A 组T 11)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________．答案 7解析 因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.3．小题热身(1)(2016·天津高考)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝ 120°，则AC ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 在△ABC 中，设A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1.故选A.(2)(2016·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.答案 2113解析 由已知可得sin A ＝35，sin C ＝1213，则sin B ＝sin(A ＋C )＝35×513＋45×1213＝6365，再由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ⇒b ＝1×636535＝2113.题型1 利用正、余弦定理解三角形 典例1 (2018·郑州预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 3cos B＝asin A ，则cos B ＝( ) A ．－12 B.12 C ．－32 D.32边角互化法．答案 B解析 由正弦定理知sin B 3cos B ＝sin Asin A ＝1，即tan B ＝3，由B ∈(0，π)，所以B ＝π3，所以cos B ＝cos π3＝12.故选B.典例2(2018·重庆期末)在△ABC 中，已知AB ＝43，AC ＝4，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．4 3B ．8 3C ．43或8 3 D. 3注意本题的多解性．答案 C解析 在△ABC 中，由余弦定理可得AC 2＝42＝(43)2＋BC 2－2×43BC cos30°，解得BC ＝4或BC ＝8.当BC ＝4时，AC ＝BC ，∠B ＝∠A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∠C ＝120°，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×4×12＝4 3.当BC ＝8时，△ABC 的面积为12AB ·BC sin B ＝12×43×8×12＝8 3.故选C.方法技巧正、余弦定理在解三角形中的应用技巧1．已知两边和一边的对角或已知两角和一边都能用正弦定理解三角形，正弦定理的形式多样，其中a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 能够实现边角互化．见典例1.2．已知两边和它们的夹角、已知两边和一边的对角或已知三边都能直接运用余弦定理解三角形．见典例2.3．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．见典例2.冲关针对训练1．(2017·河西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(b －a )sin A ＝(b －c )·(sin B ＋sin C )，则角C 等于( )A.π3B.π6C.π4D.2π3 答案 A解析 由题意，得(b －a )a ＝(b －c )(b ＋c )，∴ab ＝a 2＋b 2－c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.故选A.2．(2018·山东师大附中模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C .(1)求a 的值；(2)若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．解 (1)在△ABC 中，c ＝3，sin A ＝6sin C ，由正弦定理asin A ＝csin C ，得a ＝6c ＝6×3＝3 2.(2)由cos2A ＝1－2sin 2A ＝－13得，sin 2A ＝23，由0<A <π2，得sin A＝63，则cos A ＝1－sin 2A ＝33.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 化简，得b 2－2b －15＝0， 解得b ＝5(b ＝－3舍去)．所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×5×3×63＝522.题型2 利用正、余弦定理判断三角形的形状典例(2017·陕西模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定用边角互化法．答案 B解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，即sin A ＝sin 2A .又sin A >0，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，故△ABC 为直角三角形．故选B.[条件探究1] 将本典例条件变为“若2sin A cos B ＝sin C ”，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 解法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B .故选B. 解法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，由余弦定理得2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b .故选B. [条件探究2] 将本典例条件变为“若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13”，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 答案 C解析 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13， ∴a ∶b ∶c ＝5∶11∶13，故设a ＝5k ，b ＝11k ，c ＝13k (k >0)，由余弦定理可得 cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25k 2＋121k 2－169k 22×5×11k2＝－23110<0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴△ABC 为钝角三角形．故选C.[条件探究3] 将本典例条件变为“若b cos B ＋c cos C ＝a cos A ”，试判断三角形的形状．解 由已知得b ·a 2＋c 2－b 22ac ＋c ·a 2＋b 2－c 22ab ＝a ·b 2＋c 2－a 22bc ， ∴b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(a 2＋b 2－c 2)＝a 2(b 2＋c 2－a 2)． ∴(a 2＋c 2－b 2)(b 2＋a 2－c 2)＝0.∴a 2＋c 2＝b 2或b 2＋a 2＝c 2，即B ＝π2或C ＝π2.∴△ABC 为直角三角形． 方法技巧判定三角形形状的两种常用途径提醒：“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．冲关针对训练在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C 及正弦定理，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ∈(0，π)， ∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin120°cos B －cos120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°. ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为等边三角形. 题型3 与三角形有关的最值角度1 与三角形边长有关的最值典例(2017·杏花岭区模拟)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cos C ＋33c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求ac 的最大值．本题采用转化法．解 (1)在△ABC 中，∵a ＝b cos C ＋33c sin B ，∴sin A ＝sin B cos C ＋33sin C sin B ，∴sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋33sin C sin B ， 化为cos B sin C ＝33sin C sin B ，sin C ≠0， 可得tan B ＝3，B ∈(0，π)，∴B ＝π3. (2)由正弦定理得b sin B ＝2R ＝43，令y ＝ac ＝2R sin A ·2R sin C ＝163sin A sin C ＝163sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝83sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＋43. ∵0<A <π2，0<2π3－A <π2，∴π6<A <π2. 故π6<2A －π6<5π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4.∴ac 的最大值为4. 角度2 与三角形内角有关的最值典例(2017·庄河市期末)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，设f (x )＝a 2x 2－(a 2－b 2)x －4c 2.(1)若f (1)＝0，且B －C ＝π3，求角C 的大小； (2)若f (2)＝0，求角C 的取值范围．本题采用放缩法．解 (1)由f (1)＝0，得a 2－a 2＋b 2－4c 2＝0， ∴b ＝2c ，又由正弦定理，得sin B ＝2sin C ， ∵B －C ＝π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ＝2sin C ，整理得3sin C ＝cos C ，∴tan C ＝33. ∵角C 是三角形的内角，∴C ＝π6. (2)∵f (2)＝0，∴4a 2－2a 2＋2b 2－4c 2＝0， 即a 2＋b 2－2c 2＝0，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12(当且仅当a ＝b 时取等号)．又∵余弦函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，C 是锐角，∴0<C ≤π3. 方法技巧求与三角形中边角有关的量的取值范围时，主要是利用已知条件和有关定理，将所求的量用三角形的某个内角或某条边表示出来，结合三角形边角的取值范围、函数值域的求法求解范围即可．冲关针对训练(2018·绵阳检测)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4，记f (x )＝m ·n .(1)若f (x )＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 因为f (x )＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0， 所以cos B ＝12，B ＝π3，所以0<A <2π3，所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1，又因为f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，所以f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12，故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.1．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3 答案 B解析 因为a ＝2，c ＝2， 所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C ， 故sin A ＝2sin C .又B ＝π－(A ＋C )， 故sin B ＋sin A (sin C －cos C ) ＝sin(A ＋C )＋sin A sin C －sin A cos C＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝(sin A ＋cos A )sin C ＝0.又C 为△ABC 的内角， 故sin C ≠0，则sin A ＋cos A ＝0，即tan A ＝－1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝3π4. 从而sin C ＝12sin A ＝22×22＝12.由A ＝3π4知C 为锐角，故C ＝π6. 故选B.2．(2018·南阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝________.答案 π6解析 由正弦定理，得sin B (sin A cos C ＋sin C cos A )＝12sin B ，即sin B sin(A ＋C )＝12sin B ，因为sin B ≠0，所以sin B ＝12，所以B ＝π6或5π6，又因为a >b ，故B ＝π6.3．(2018·沈阳模拟)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )·sin C .若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是________．答案 5<b 2＋c 2≤6解析 由正弦定理可得，(a －b )·(a ＋b )＝(c －b )·c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴A ＝π3.∵b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2，∴b 2＋c 2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4[sin 2B ＋sin 2(A ＋B )]＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos2B 2＋1－cos2(A ＋B )2＝3sin2B －cos2B ＋4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋4. ∵△ABC 是锐角三角形，且A ＝π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2，即2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，∴12<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，∴5<b 2＋c 2≤6.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积． 解 (1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac . 又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c . 由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2. 故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2. 所以△ABC 的面积为1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2017·长沙模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则边c ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 C解析 a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ⇒13＝c 2＋9－6c cos60°，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4或c ＝－1(舍去)．故选C.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案 A解析 据题意由余弦定理可得a 2＋b 2－2ab cos120°＝c 2＝(2a )2，化简整理得a 2＝b 2＋ab ，变形得a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )＝ab >0，故有a －b >0，即a >b .故选A.3．(2017·湖南长郡中学六模)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b sin2A ＝a sin B ，且c ＝2b ，则ab 等于( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3 答案 A解析 由2b sin2A ＝a sin B ，得4b sin A cos A ＝a sin B ，由正弦定理得4sin B sin A cos A ＝sin A sin B ，∵sin A ≠0，且sin B ≠0，∴cos A ＝14，由余弦定理得a 2＝b 2＋4b 2－b 2，∴a 2＝4b 2，∴ab ＝2.故选A.4．(2017·衡水中学调研)在△ABC 中，三边之比a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则sin A －2sin Bsin2C ＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.12答案 B解析 不妨设a ＝2，b ＝3，c ＝4，故cos C ＝4＋9－162×2×3＝－14，故sin A －2sin B sin2C ＝a －2b 2c cos C ＝2－68×⎝⎛⎭⎪⎫－14＝2.故选B.5．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三个内角，a ，b ，c 是三个内角对应的三边，已知b 2＋c 2＝a 2＋bc .若sin B sin C ＝34，△ABC 的形状( )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形答案 A解析 在△ABC 中，由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由已知，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝12.∵0<A <π，故A ＝π3.∵A ＋B ＋C ＝π，A ＝π3，∴C ＝2π3－B .由sin B sin C ＝34，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝34.即sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3cos B －cos 2π3sin B ＝34. 32sin B cos B ＋12sin 2B ＝34， 34sin2B ＋14(1－cos2B )＝34，32sin2B －12cos2B ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1. 又∵－π6<2B －π6<7π6，∴2B －π6＝π2，即B ＝π3.∴C ＝π3，也就是△ABC 为等边三角形．故选A.6．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932 C.332 D ．3 3 答案 C解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.故选C. 7．(2018·上海杨浦质量调研)设锐角△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝2A ，则b 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(0,2) 答案 A解析 由a sin A ＝b sin B ＝bsin2A ，得b ＝2cos A . π2<A ＋B ＝3A <π，从而π6<A <π3. 又2A <π2，所以A <π4，所以π6<A <π4，22<cos A <32，所以2<b < 3.故选A.8．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B解析 S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝45°或135°.若B ＝45°，则由余弦定理得AC ＝1，∴△ABC 为直角三角形，不符合题意，因此B ＝135°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2×1×2×⎝⎛⎭⎪⎫－22＝5，∴AC ＝ 5.故选B.9．(2018·辽宁五校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若直线bx ＋y cos A ＋cos B ＝0与ax ＋y cos B ＋cos A ＝0平行，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰或者直角三角形 答案 C解析 由两直线平行可得b cos B －a cos A ＝0，由正弦定理可知sin B cos B －sin A cos A ＝0，即12sin2A ＝12sin2B ，又A ，B ∈(0，π)，且A ＋B ∈(0，π)，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.若A ＝B ，则a ＝b ，cos A ＝cos B ，此时两直线重合，不符合题意，舍去，故A ＋B ＝π2，则△ABC 是直角三角形．故选C.10．(2017·武昌调研)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2b sin C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值是( )A ．4B ．3 3C ．8D ．6 3 答案 C解析 a ＝2b sin C ⇒sin A ＝2sin B sin C ⇒sin(B ＋C )＝2sin B sin C ⇒tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，又根据三角形中的三角恒等式tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C (注：tan A ＝tan(π－B －C )＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C，即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C )⇒tan B tan C ＝tan Atan A －2，∴tan A tan B tan C ＝tan A ·tan A tan A －2＝m 2m －2(tan A ＝m )，令m －2＝t ⇒(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝4t ，即t ＝2，tan A ＝4时，取等号．故选C.二、填空题11．(2015·重庆高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.答案 4解析 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4.12．(2018·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cos B ＝________.答案 34解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . ∴2sin B ＝sin A ＋sin C .∵A －C ＝90°，∴2sin B ＝sin(90°＋C )＋sin C . ∴2sin B ＝cos C ＋sin C . ∴2sin B ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sin B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－B 2. ∴2sin B ＝2cos B 2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B2. ∴sin B 2＝24.∴cos B ＝1－2sin 2B 2＝1－14＝34.13．(2018·沈阳监测)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值为________．答案 8解析 由题意得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ， 即sin A ＋cos A ＝1，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝1， 又0<A <π，∴π4<A ＋π4<5π4，∴A ＋π4＝3π4， ∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ， 当且仅当b ＝c 时取“＝”，∴bc ≤16， ∴S 的最大值为8.14．(2017·浙江高考)已知△ABC ，AB ＝AC ＝4，BC ＝2.点D 为AB 延长线上一点，BD ＝2，连接CD ，则△BDC 的面积是________，cos ∠BDC ＝________.答案152104解析 依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2， 则cos ∠ABC ＝14，sin ∠ABC ＝154.所以S △BDC ＝12BC ·BD ·sin ∠DBC ＝12×2×2×154＝152.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD22BD ·BC＝8－CD 28，所以CD ＝10.由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104.B 级三、解答题15．(2018·郑州质检)已知△ABC 的外接圆直径为433，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°.(1)求a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C 的值；(2)若a ＋b ＝ab ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝433， 所以a ＝433sin A ，b ＝433sin B ，c ＝433sin C . 所以a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝433(sin A ＋sin B ＋sin C )sin A ＋sin B ＋sin C ＝433.(2)由c ＝433sin C ，得c ＝433×32＝2，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝ab ，所以(ab )2－3ab －4＝0，解得ab ＝4或ab ＝－1(舍去)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.16．(2017·湖北四校联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0.(1)求ab 的值；(2)若cos C ＝34，求sin B 的值．解 (1)因为sin 2A ＋sin A sin B －6sin 2B ＝0，sin B ≠0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A sin B 2＋sin A sin B －6＝0，得sin A sin B ＝2或sin A sin B ＝－3(舍去)． 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ＝2.(2)由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝34.① 将ab ＝2，即a ＝2b 代入①， 得5b 2－c 2＝3b 2，得c ＝2b . 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，得 cos B ＝(2b )2＋(2b )2－b 22×2b ×2b ＝528，则sin B ＝1－cos 2B ＝148.17．(2018·海淀区模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .满足2a cos C ＋c cos A ＝b .(1)求角C 的大小；(2)求sin A cos B ＋sin B 的最大值．解 (1)由正弦定理及2a cos C ＋c cos A ＝b ， 得2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin B . 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， ∴A ＋C ＝π－B ，即sin(A ＋C )＝sin B .∴2sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＋sin A cos C ＝sin B ＋sin A cos C ＝sin B ，∴sin A cos C ＝0，又∵0<A <π，0<C <π，∴sin A >0. ∴cos C ＝0，∴C ＝π2. (2)由(1)得C ＝π2， ∴A ＋B ＝π2，即A ＝π2－B .∵sin A cos B ＋sin B ＝cos 2B ＋sin B ＝－sin 2B ＋sin B ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin B －122＋54.∵0<B <π2，∴当sin B ＝12，即B ＝π6时， sin A cos B ＋sin B 取得最大值54.18．已知等腰三角形ABC 满足AB ＝AC ，3BC ＝2AB ，点D 为BC 边上一点且AD ＝BD .(1)求tan ∠ADB 的值； (2)若CD ＝33，求S △ABC .解 (1)如图，设AB ＝AC ＝a ，AD ＝BD ＝b ，由3BC ＝2AB 得，BC ＝233a .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫23a 32－a 22a ·233a＝33，∴∠ABC 是锐角，则sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝63.在△ABD 中，由余弦定理AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos ∠ABD ， 得b 2＝a 2＋b 2－233ab ，解得a ＝233b . 由正弦定理AD sin ∠ABD ＝ABsin ∠ADB ，得b 63＝a sin ∠ADB ，解得sin ∠ADB ＝223，又2b 2>a 2，∴∠ADB 为锐角，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝13，tan ∠ADB ＝2 2.(2)由已知可得3⎝⎛⎭⎪⎫b ＋33＝2a ，①由(1)可知a ＝233b ，② 联立①②得a ＝2，b ＝ 3.过A 作AH ⊥BC 于H ，则H 为BC 的中点，易求得DH ＝33. 则tan ∠ADB ＝AH33＝2 2. ∴AH ＝263，∴S △ABC ＝12×433×263＝423.海阔天空专业文档。
2020年高考文科数学一轮总复习：正弦定理和余弦定理
2020年高考文科数学一轮总复习：正弦定理和余弦定理第7讲 正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b A 为钝角或直角时，a ＝b ，a <b 均无解． 3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin__B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径).常用知识拓展 1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π； 变形：A ＋B 2＝π2－C 2.2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A ＋B )＝sin C . (2)cos(A ＋B )＝－cos C . (3)sinA ＋B 2＝cosC 2. (4)cos A ＋B 2＝sin C2.3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ； b ＝a cos C ＋c cos A ； c ＝b cos A ＋a cos B .判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC 中，已知a ，b 和角B ，能用正弦定理求角A; 已知a ，b 和角C ，能用余弦定理求边c .( )(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( ) (3)在△ABC 中，sin A >sin B 的充分不必要条件是A >B .( )(4)在△ABC 中，“a 2＋b 2<c 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．( ) (5)在△ABC 的角A ，B ，C ，边长a ，b ，c 中，已知任意三个可求其他三个．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B＝( )A.π4或π6 B.π12 C.π4D.π6解析：选C.由正弦定理，得3sin2π3＝6sin B ，解得sin B ＝22.又因为在△ABC 中，A ＝2π3，所以B ＝π4.故选C.(教材习题改编)在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＝sin A ，bc ＝2，则△ABC 的面积为________．解析：由cos 2A ＝sin A ，得1－2sin 2A ＝sin A ，解得sin A ＝12(负值舍去)，由bc ＝2，可得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×12＝12.答案：12设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________．解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 答案：4第1课时 正弦定理和余弦定理利用正弦、余弦定理解三角形(师生共研)(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29D ．2 5(2)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________．(3)(2019·贵州贵阳摸底)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成公差为2的等差数列，C ＝120°.①求边长a ； ②求sin A .【解】 (1)选A.因为cos C 2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A.(2)因为a ＝3c ，所以sin A ＝3sin C ，因为A ＝2π3，所以sin A ＝32，所以sin C ＝12，又C 必为锐角，所以C ＝π6，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π6，所以B ＝C ，所以b ＝c ，所以bc ＝1.故答案为1.(3)①由题意得b ＝a ＋2，c ＝a ＋4，由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab 得cos 120°＝a 2＋（a ＋2）2－（a ＋4）22a （a ＋2），即a 2－a －6＝0，所以a ＝3或a ＝－2(舍去)，所以a ＝3. ②由①知a ＝3，c ＝7，由正弦定理得3sin A ＝7sin C ＝7sin 120°，即sin A ＝3314.(1)正、余弦定理的选用①利用正弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两角和一角的对边，求其他边或角；二是已知两边和一边的对角，求其他边或角；②利用余弦定理可解决两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边或角；二是已知三边求角．由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．(一题多解)(2019·广西五市联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝3，A ＝30°，B 为锐角，那么A ∶B ∶C 为( )A ．1∶1∶3B ．1∶2∶3C ．1∶3∶2D ．1∶4∶1解析：选B.法一：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32.因为B 为锐角，所以B ＝60°，则C ＝90°，故A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，选B.法二：由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，B ＝120°，与已知矛盾，当c ＝2时，a <b <c ，则A <B <C ，排除选项A ，C ，D ，故选B.2．(2019·河南南阳四校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则此三角形外接圆的半径R ＝( )A.823B.1433C.73D.733解析：选D.因为b ＝8，c ＝3，A ＝60°，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64＋9－2×8×3×12＝49，所以a ＝7，所以此三角形外接圆的直径2R ＝a sin A ＝732＝1433，所以R ＝733，故选D.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠A ＝AB sin ∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin ∠ADB，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos ∠BDC ＝25＋8－2×5×22×25＝25. 所以BC ＝5.判断三角形的形状(典例迁移)(1)(一题多解)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cosB ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为________．【解析】 (1)法一：因为b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ，所以a sin A ＝a 即sin A ＝1，故A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．法二：因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2 A ， 即sin(B ＋C )＝sin 2 A ，所以sin A ＝sin 2 A ， 故sin A ＝1，即A ＝π2，因此△ABC 是直角三角形．(2)因为c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，所以由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，所以sin(A ＋B )－sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， 故cos A (sin B －sin A )＝0， 所以cos A ＝0或sin A ＝sin B ， 即A ＝π2或A ＝B ，故△ABC 为等腰或直角三角形． 【答案】 (1)A (2)等腰或直角三角形[迁移探究] (变条件)若将本例(1)条件改为“2sin A cos B ＝sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：法一：由已知得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin(A －B )＝0，因为－π<A －B <π，所以A ＝B ，故△ABC 为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B ＝c ，再由余弦定理得 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ⇒a 2＝b 2⇒a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．判定三角形形状的两种常用途径[提醒] “角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．(2019·广西桂林阳朔三校调研)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，那么△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形D ．非钝角三角形解析：选B.因为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，所以可设a ＝3t ，b ＝5t ，c ＝7t ，由余弦定理可得cos C ＝9t 2＋25t 2－49t 22×3t ×5t＝－12，所以C ＝120°，△ABC 是钝角三角形，故选B.2．(一题多解)若a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析：选D.法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sin C sin B ＝c b ，由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c2b .又由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a 2＝b 2， 所以a ＝b .又因为a 2＋b 2－c 2＝ab . 所以2b 2－c 2＝b 2，所以b 2＝c 2， 所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c . 所以△ABC 为等边三角形． 法二：利用角的关系来判断：因为A ＋B ＋C ＝180°，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 又因为2cos A sin B ＝sin C ，所以2cos A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以sin(A －B )＝0.又因为A 与B 均为△ABC 的内角，所以A ＝B ， 又由a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，所以C ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．数学运算——计算三角形中的未知量数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．(2018·高考天津卷节选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6.(1)求角B 的大小； (2)设a ＝2，c ＝3，求b .【解】 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B ，又由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，得a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，即sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎫B －π6，可得tan B ＝ 3. 又因为B ∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b＝7.本题(1)中利用正弦定理化边为角，实现边角的互化，而(2)中利用余弦定理求边长，体现核心素养中的数学运算．(2019·石家庄质量检测(二))已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且3ca＝sin C cos A. (1)求角A 的大小；(2)设D 为AC 边上一点，且BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，求c . 解：(1)在△ABC 中，3c a ＝sin Ccos A， 所以3sin C sin A ＝sin Ccos A. 所以3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，又0<A <π，所以A ＝π3.(2)由BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，得cos ∠BDC ＝25＋9－492×3×5＝－12，又0<∠BDC <π，所以∠BDC ＝2π3.又∠A ＝π3，所以△ABD 为等边三角形，所以c ＝5.[基础题组练]1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3解析：选C.由余弦定理b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，得b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4，因为b <c ＝23，所以b ＝2.选C.2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A ．一个 B ．两个 C ．0个D ．无法确定解析：选B.由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 45°2＝32，因为b >a ，所以B ＝60°或120°，故满足条件的三角形有两个．3．△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sin C ，则sin B 的值为( )A.－74B.34C.74D.13解析：选C.由正弦定理，得b 2－a 2＝12ac ，又c ＝2a ，所以b 2＝2a 2,所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34，所以sin B ＝74. 4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选D.由正弦定理，得sin A sin A ＝cos B sin B ＝cos Csin C ，即tan B ＝tan C ＝1，所以B ＝C ＝π4，所以A ＝π2，所以△ABC 为等腰直角三角形．故选D.5．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________．解析：由sin B ＝12，C ＝π6，得B ＝π6，A ＝2π3.由b sin B ＝asin A ，解得b ＝1.答案：16．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝________.解析：设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，即sin A 2＝sin B3＝sin C 4，由正弦定理得a 2＝b 3＝c4，可设a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，k >0，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1116. 答案：11167．(2019·兰州模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＋b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若a ＝25，b ＝2，求边c 的长． 解：(1)因为a sin B ＋b cos A ＝0， 所以sin A sin B ＋sin B cos A ＝0， 即sin B (sin A ＋cos A )＝0， 由于B 为三角形的内角， 所以sin A ＋cos A ＝0，所以2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝0，而A 为三角形的内角， 所以A ＝3π4.(2)在△ABC 中，a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ， 即20＝c 2＋4－4c ⎝⎛⎭⎫－22，解得c ＝－42(舍去)或c ＝2 2. 8．(2019·重庆质量调研(一))在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin B 2－cos B 2＝14. (1)求cos B 的值； (2)若b 2－a 2＝314ac ，求sin Csin A的值． 解：(1)将sin B 2－cos B 2＝14两边同时平方得，1－sin B ＝116，得sin B ＝1516，故cos B ＝±3116， 又sin B 2－cos B 2＝14>0，所以sin B 2>cos B 2，所以B 2∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 所以B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，故cos B ＝－3116. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋314ac ， 所以314a ＝c －2a cos B ＝c ＋318a ， 所以c ＝318a ，故sin C sin A ＝318. [综合题组练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2 B ＝2sin A sin C ，cos B ＝14，a >c ，则ac＝( ) A.32 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.由正弦定理，得b 2＝2ac ，又cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14，即a 2＋c 2－2ac 2ac ＝14，整理得2⎝⎛⎭⎫a c 2－5a c ＋2＝0，又a >c ，所以ac＝2，故选B. 2．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：选C.如图，过点A 作AD ⊥BC .设BC ＝a ，则BC 边上的高AD ＝13a .又因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝13a ，AB ＝23a ，DC ＝a －BD ＝23a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝53a .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝29a 2＋59a 2－a 22×23a ×53a＝－1010.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b ＝58a ，A ＝2B ，则cosA ＝________．解析：因为A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ．因为b ＝58a ，所以由正弦定理可得a b ＝85＝sin A sin B ＝2sin B cos B sin B ＝2cos B ，所以cos B ＝45，所以cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×1625－1＝725.答案：7254．在钝角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，b ＝3，则c 的取值范围是________．解析：三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此可得1<c <7， ① 若∠C 为钝角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25－c 224<0，解得c >5， ②若∠A 为钝角，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－76c <0，解得0<c <7， ③结合①②③可得c 的取值范围是(1，7)∪(5，7)． 答案：(1，7)∪(5，7)5．(综合型)(2019·安徽知名示范高中联考)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．解：(1)由cos B ＝34，0<B <π得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74，因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ， 由正弦定理，可得sin 2 B ＝sin A sin C ， 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B ＝sin B sin 2 B ＝1sin B＝477.(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32，而cos B ＝34，所以b 2＝ac ＝2，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2＝5，所以(a ＋c )2＝5＋2ac ＝9， 所以a ＋c ＝3.6．(综合型)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，⎝⎛⎭⎫53c －a cos B ＝b cos A . (1)求cos B 的值．(2)若a ＝2，cos C ＝－1717，求△ABC 外接圆的半径R . 解：(1)因为⎝⎛⎭⎫53c －a cos B ＝b cos A ，所以结合正弦定理，得⎝⎛⎭⎫53sin C －sin A cos B ＝sin B cos A ，所以53sin C cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ．又因为sin C ≠0，所以cos B ＝35.(2)由(1)知，sin B ＝1－cos 2B ＝45.因为cos C ＝－1717， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝41717，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝45×⎝⎛⎭⎫－1717＋35×41717＝81785，所以R ＝12·a sin A ＝12×281785＝5178.。
2020版高考数学一轮总复习检测：5.3 正弦、余弦定理及解三角形 Word版含解析
5.3正弦、余弦定理及解三角形挖命题【考情探究】分析解读 1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形.2.高考命题仍会以三角形为载体,以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识.3.预计2020年高考中,仍会对解三角形进行重点考查,复习时应高度重视.破考点【考点集训】考点一正弦、余弦定理1.(2018浙江绍兴高三3月适应性模拟,6)在△ABC中,内角C为钝角,sinC=,AC=5,AB=3,则BC=()A.2B.3C.5D.10答案A2.(2018浙江嵊州高三期末质检,14)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos(A+C)=,a=2,b=4,则sinA=,c=.答案;3考点二解三角形及其综合应用1.(2018浙江湖州、衢州、丽水第一学期质检,15)在锐角△ABC中,AD是BC边上的中线,若AB=3,AC=4,△ABC 的面积是3,则AD=.答案2.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.答案100炼技法【方法集训】方法有关三角形面积的计算1.(2018浙江杭州高三教学质检,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,b=3,sinC=2sinA,则sinA=;设D为AB边上一点,且=2,则△BCD的面积为.答案;22.(2018浙江金华十校高考模拟(4月),18)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinA=sin(B-C)+2sin2B,B≠.(1)证明:c=2b;(2)若△ABC的面积S=5b2-a2,求tanA的值.解析(1)证明:由sinA=sin(B-C)+2sin2B,知sin(B+C)=sin(B-C)+4sinBcosB,展开化简得,cosBsinC=2sinBcosB,又因为B≠,所以sinC=2sinB,由正弦定理得,c=2b.(2)因为△ABC的面积S=5b2-a2,所以有bcsinA=5b2-a2,由(1)知c=2b,代入上式得b2sinA=5b2-a2,①所以a2=b2+c2-2bccosA=5b2-4b2cosA,代入①得b2sinA=4b2cosA,∴tanA=4.过专题【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点一正弦、余弦定理(2018浙江,13,6分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=,c=. 答案;3考点二解三角形及其综合应用1.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.答案2.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB,因sinB≠0,得sinC=cosB.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.3.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC=,cosC=.又因为sinB=sin(A+C)=sin,所以sinB=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsinA=3,所以bc=6,故b=3.评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.4.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解析(1)由tan=2,得tanA=,所以==.(2)由tanA=,A∈(0,π),得sinA=,cosA=.又由a=3,B=及正弦定理得b=3.由sinC=sin(A+B)=sin得sinC=.设△ABC的面积为S,则S=absinC=9.评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.5.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=,求△ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin-=sin-.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sinA=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以△ABC的面积S=acsinB=.评析本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、正弦定理、三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一正弦、余弦定理1.(2018课标全国Ⅱ理,6,5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2答案A2.(2017山东理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2018课标全国Ⅰ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为.答案4.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=. 答案5.(2018课标全国Ⅰ理,17,12分)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC.解析(1)在△ABD中,由正弦定理得∠=∠.由题设知,°=∠,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=-=.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25.所以BC=5.方法总结正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.6.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.(1)求∠∠;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得∠∠==.(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.考点二解三角形及其综合应用1.(2018课标全国Ⅲ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为-,则C=()A.B.C.D.答案C2.(2014课标Ⅱ,4,5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1答案B3.(2018北京文,14,5分)若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=;的取值范围是.答案;(2,+∞)4.(2015课标Ⅰ,16,5分)在平面四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则AB的取值范围是.答案(-,+)5.(2018天津文,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos-.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在△ABC中,由正弦定理可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos-,得asinB=acos-,即sinB=cos-,可得tanB=.又因为B∈(0,π),可得B=.(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos-,可得sinA=.因为a<c,故cosA=.因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=.所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=×-×=.6.(2017课标全国Ⅲ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tanA=-,所以A=.在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)由题设可得∠CAD=,所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=.故△ABD面积与△ACD面积的比值为···=1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2,所以△ABD的面积为.思路分析(1)由sinA+cosA=0,可求得tanA=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由题意知∠CAD=,∠BAD=,于是可求得△△的值,再由S△ABC=×4×2sin∠BAC=2得解.一题多解(2)1题多解1:由余弦定理得cosC=,在Rt△ACD中,cosC=,∴CD=,∴AD=,DB=CD=,∴S△ABD=S△ACD=×2××sinC=×=.1题多解2:∠BAD=,由余弦定理得cosC=,∴CD=,∴AD=,∴S△ABD=×4××sin∠DAB=.1题多解3:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在△ABE中,∠EAB=-=,AB=4,∴BE=2,∴BE=CA,从而可得△ADC≌△EDB,∴BD=DC,即D为BC中点,∴S△ABD=S△ABC=××2×4×sin∠CAB=.C组教师专用题组考点一正弦、余弦定理1.(2017课标全国Ⅰ文,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A. B.C.D.答案B2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.答案4.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为.答案85.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案76.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=.答案 17.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.答案8.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.答案-9.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcosC+ccosB=2b,则=.答案 210.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.答案211.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC,则cosC的最小值是.答案-12.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.答案13.(2017山东文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A 和a.解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为·=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得a2=9+8-2×3×2×-=29,所以a=.14.(2016江苏,15,14分)在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos-的值.解析(1)因为cosB=,0<B<π,所以sinB=-=-=.由正弦定理知=,所以AB=·==5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinB·sin,又cosB=,sinB=,故cosA=-×+×=-.因为0<A<π,所以sinA=-=.因此cos-=cosAcos+sinAsin=-×+×=-.评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系式与两角和(差)的三角函数,考查运算求解能力.15.(2016四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=bc,求tanB.解析(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+=中,有+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA=-=.所以sinA=-=.由(1)可知sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB==4.评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式. 16.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=-==.·(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD=-∠=-=,sin∠BAD=-∠=--=.于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×--×=.,在△ABC中,由正弦定理,得=∠故BC=·==3.∠考点二解三角形及其综合应用1.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()A.3B.C.D.3答案C2.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A3.(2017课标全国Ⅲ文,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=. 答案75°4.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.答案 15.(2014山东,12,5分)在△ABC中,已知·=tanA,当A=时,△ABC的面积为.答案6.(2018北京理,15,13分)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-.(1)求∠A;(2)求AC边上的高.解析(1)在△ABC中,因为cosB=-,所以sinB=-=.由正弦定理得sinA==.由题设知<∠B<π,所以0<∠A<.所以∠A=.(2)在△ABC中,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,所以AC边上的高为asinC=7×=.方法总结处理解三角形相关的综合题目时,首先要掌握正弦、余弦定理,其次结合图形分析哪些边、角是已知的,哪些边、角是未知的,然后将方程转化为只含有边或角的方程,最后通过解方程求出边或角.7.(2017课标全国Ⅰ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得acsinB=,即csinB=.由正弦定理得sinCsinB=.故sinBsinC=.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsinA=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsinB=,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出△ABC的周长.方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将csinB=变形为sinCsinB=.(2)三角形面积公式:S=absinC=acsinB=bcsinA.(3)三角形的内角和为π.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在△ABC中,sin(B+C)=sinA.8.(2017课标全国Ⅱ理,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故S△ABC=acsinB=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2××=4.所以b=2.解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)中的转化就说明了这一点.9.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sinC==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsinA=×8×3×=6.解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.10.(2016课标全国Ⅰ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absinC=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以△ABC的周长为5+.(12分)评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.11.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求∠B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cosB=-==.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)(2)由(1)知∠A+∠C=.cosA+cosC=cosA+cos-=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=cos-.(11分)因为0<∠A<,所以当∠A=时,cosA+cosC取得最大值1.(13分)思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.12.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=-;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)证明:tan===-.(2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=-+-+-°-°-+-°-°-=+.连接BD.在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcosA,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC,所以AB2+AD2-2AB·ADcosA=BC2+CD2+2BC·CDcosA.则cosA=--=--=.··于是sinA=-=-=.连接AC.同理可得=--=,cosB=--··于是sinB=-=-=.所以tan+tan+tan+tan=+=+=.评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.13.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.解析设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sinB=∠==,由题设知0<B<,所以cosB=-=-=.=在△ABD中,由正弦定理得AD=·-==.14.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sinA+sinC的取值范围.解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得==,所以sinB=cosA,即sinB=sin.又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈.于是sinA+sinC=sinA+sin-=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2-+.因为0<A<,所以0<sinA<,因此<-2-+≤.由此可知sinA+sinC的取值范围是.评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.15.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsinA=.解法二:由正弦定理,得=,从而sinB=,又由a>b,知A>B,所以cosB=.故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin=.所以△ABC的面积为absinC=.16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cosB=-=-≥-=,当且仅当a=c时等号成立.∴cosB的最小值为.评析本题考查了等差、等比数列,正、余弦定理,基本不等式等知识;考查运算求解能力.17.(2014大纲全国,17,10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.解析由题设和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA.故3tanAcosC=2sinC,因为tanA=,所以cosC=2sinC,tanC=.(6分)所以tanB=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)(8分)=-=-1,即B=135°.(10分)18.(2014北京,15,13分)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.解析(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=,所以sin∠ADC=.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos∠B-cos∠ADCsin∠B=×-×=.(2)在△ABD中,由正弦定理得==3.BD=·∠∠在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠B=82+52-2×8×5×=49.所以AC=7.评析本题考查了正、余弦定理等三角形的相关知识;考查分析推理、运算求解能力.19.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正、余弦定理得a=2b·-.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cosA=-=-=-.由于0<A<π,所以sinA=-=-=.故sin=sinAcos+cosAsin=×+-×=-.评析本题考查正、余弦定理,三角恒等变换等知识;考查基本运算求解能力;属容易题.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2019届浙江名校协作体高三联考,3)在△ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知A=45°,B=60°,b=,则a=()A. B. C. D.答案A2.(2019届浙江嘉兴9月基础测试,8)在△ABC中,已知cosA=,cosB=,c=4,则a=()A.12B.15C.D.答案D3.(2018浙江镇海中学期中,10)若△ABC沿着三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥,则称这样的△ABC 为“和谐三角形”,设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则下列条件不能够确定该△ABC为“和谐三角形”的是()A.A∶B∶C=7∶20∶25B.sinA∶sinB∶sinC=7∶20∶25C.cosA∶cosB∶cosC=7∶20∶25D.tanA∶tanB∶tanC=7∶20∶25答案B4.(2018浙江台州第一次调考(4月),7)在△ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sinC=2cosB,则()A.A=B.B=C.c=bD.c=2a答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共24分)5.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,14)已知△ABC的面积为,∠A=60°,D是边AC上一点,AD=2DC,BD=2,则AB=,cosC=.答案2;6.(2019届浙江名校新高考研究联盟第一次联考,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,A=60°,且△ABC外接圆的半径为,则a=,若b+c=3,则△ABC的面积为.答案3;7.(2018浙江名校协作体,14)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若c=2b,sinC=,则sinB=;若2a2+b2+c2=4,则△ABC面积的最大值是.答案;8.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),14)设△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,已知a2+2b2=c2,则=;tanB的最大值为.答案-3;三、解答题(共20分)9.(2019届金丽衢十二校高三第一次联考,18)如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cos∠ACB=,BC=13.(1)求cosB的值;(2)求CD的长.解析(1)在△ABC中,cosA=,A∈(0,π),所以sinA=-=-=.同理可得sin∠ACB=.所以cosB=cos[π-(∠A+∠ACB)]=-cos(∠A+∠ACB)=sinAsin∠ACB-cosAcos∠ACB=×-×=.(2)在△ABC中,由正弦定理得AB=∠==20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在△BCD中,由余弦定理得CD=-·=-=9.10.(2018浙江杭州二中期中,18)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tanC=.(1)求角C的大小;(2)若△ABC的外接圆直径为1,求a2+b2的取值范围.解析(1)∵tanC=,即=,∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC,即sinCcosA-sinAcosC=sinBcosC-sinCcosB,即sin(C-A)=sin(B-C),∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去),∴2C=A+B,∴C=.(2)由(1)知C=,故设A=α+,B=-α+,其中-<α<,外接圆半径为R, a=2RsinA=sinA,b=2RsinB=sinB.故a2+b2=sin2A+sin2B=(1-cos2A)+(1-cos2B)=---=1+cos2α.∵-<α<,∴-<2α<,∴-<cos2α≤1,∴<a2+b2≤.。
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第28讲 正弦定理与余弦定理 1．掌握正弦定理、余弦定理． 2．能利用这两个定理解斜三角形及解决与正弦定理、余弦定理有关的综合问题．
知识梳理 1．正弦定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和 它所对角的正弦的比 相等，并且都等于 外接圆的直
径 ，即 asin A＝bsin B＝csin C＝2R . 2．余弦定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦 的积的2倍，即： a2＝ b2＋c2－2bccos A ； b2＝ a2＋c2－2accos B ； c2＝ a2＋b2－2abcos C . 已知三角形的三边求各角时，余弦定理变形为
cos A＝ b2＋c2－a22bc ；
cos B＝ c2＋a2－b22ca ； cos C＝ a2＋b2－c22ab .
1．三角形边角关系 (1)三角形三边的关系：①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边． (2)三角形边角关系：①三角形中，大边对大角；②三角形中，大角对大边． (3)三角形三角关系：A＋B＋C＝π. 2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(2)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2. 3．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B； b＝acos C＋ccos A，c＝bcos A＋acos B. 4．解三角形的四种基本类型 (1)已知两角及任一边，求另一角和两边； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边及另两角； (3)已知两边和它们的夹角，求另一边及另两角； (4)已知三边，求三角．
热身练习 1．在锐角△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，若2asin B＝3b，则角A等于(D) A.π12 B.π6
C.π4 D.π3 因为2asin B＝3b， 由正弦定理得2sin Asin B＝3sin B，所以sin A＝32，
因为02．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(A)
A.43 B．8－43
C．1 D.23 由(a＋b)2－c2＝4得a2＋b2＋2ab－c2＝4， 由C＝60°得cos C＝a2＋b2－c22ab＝4－2ab2ab＝12，
解得ab＝43. 3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝(D) A.2 B.3 C．2 D．3
由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×23，
解得b＝3或b＝－13(舍去)，故选D. 4．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝45，cos C＝513，a＝1，则b＝ 2113 . 在△ABC中，因为cos A＝45，cos C＝513， 所以sin A＝35，sin C＝1213， 所以sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C
＝35×513＋45×1213＝6365. 又因为asin A＝bsin B，所以b＝asin Bsin A＝1×636535＝2113. 5．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝ 75° . 如图，在△ABC中，已知C＝60°，b＝6，c＝3.
由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B，所以sin B＝22. 又c＞b，所以B＝45°，所以A＝180°－60°－45°＝75°.
求一个三角形中的有关元素 (2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( )
A.π12 B.π6
C.π4 D.π3 因为a＝2，c＝2，所以由正弦定理可知，2sin A＝2sin C， 故sin A＝2sin C. 又B＝π－(A＋C)， 故sin B＋sin A(sin C－cos C) ＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C ＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C ＝(sin A＋cos A)sin C ＝0. 又C为△ABC的内角，故sin C≠0， 则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝3π4.
从而sin C＝12sin A＝22×22＝12. 由A＝3π4知C为锐角，故C＝π6. B (1)三角形可解类型有四类，求解时，可画出示意图，并将有关数据在示意图中标示，弄清所求解三角形是可解三解三角形中的哪一类，再根据相应类型运用正弦定理或余弦定理进行求解． (2)已知两边和其中一边的对角(如a，b，A)应用正弦定理时，有一解、两解和无解等情况，可 根据三角函数的有界性、三角形内角和定理或“三角形中大边对大角”来判断解的情况，做出正确的取舍．若求另一条边，可选择余弦定理进行求解．
1．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝ 217 ，c＝ 3 .
如图，由正弦定理asin A＝bsin B，
得sin B＝ba·sin A＝27×32＝217. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cos A， 得7＝4＋c2－4c×cos 60°， 即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)． 求多个三角形中的有关元素 (2018·抚州南城二中月考)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
①图中涉及哪些三角形？(△ABD，△ADC，△ABC) ②哪些三角形是可解的？(△ADC) ③哪些三角形含有需要求的量(△ABD，△ABC) ④你能得到的求解方案是怎样的？ 方案一：先解△ADC，求出cos ∠ADC，再转化为sin ∠ADC，在△ABD中利用正弦定理求出AB； 方案二：先解△ADC，求出cos C，再转化为sin C，在△ABC中利用正弦定理求出AB. (方法一)在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6， 由余弦定理得
cos ∠ADC＝AD2＋DC2－AC22AD·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12， 所以∠ADC＝120°，∠ADB＝60°. 在△ADB中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°.
由正弦定理得ABsin ∠ADB＝ADsin B，
所以AB＝ADsin ∠ADBsin B＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝56. (方法二)在△ADC中，因为cos C＝62＋142－1022×6×14＝1114， 所以sin C＝1－11142＝5314， 在△ABC中，由正弦定理得14sin 45°＝AB5314，
所以AB＝14×531422＝56. (1)涉及多个三角形时，首先要分析所求元素位于哪个三角形中，有哪些元素是已知的，还需要怎样的元素，做到目标清楚． (2)具体求解时，根据所求目标尽量选择满足三角形求解条件的三角形进行求解，使含所求元素的三角形成为可解三角形，解三角形得到所求元素．
2．(2018·佛山二模)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AC＝7，∠ABC＝2π3，∠ACD＝π3. (1)求sin∠BAC； (2)求DC的长． (1)在△ABC中，由余弦定理得： AC2＝BC2＋BA2－2BC·BAcos B， 即BC2＋BC－6＝0，解得BC＝2，或BC＝－3(舍去)，
由正弦定理得：BCsin ∠BAC＝ACsin B，
所以sin ∠BAC＝BCsin BAC＝217. (2)由(1)有cos ∠CAD＝sin ∠BAC＝217， 所以sin ∠CAD＝1－37＝277， 所以sin D＝sin(∠CAD＋π3) ＝277×12＋217×32＝5714， 由正弦定理得：DCsin ∠CAD＝ACsin D，
所以DC＝ACsin ∠CADsin D＝7×2775714＝475 . 正、余弦定理的综合应用 (2018· 全国卷Ⅰ·理)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC.
(1)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠A＝ABsin∠ADB，
即5sin 45°＝2sin∠ADB，所以sin∠ADB＝25. 由题设知，∠ADB<90°，所以cos∠ADB＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝25. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×22×25＝25， 所以BC＝5. (1)本题主要考查正弦定理、余弦定理的综合应用． (2)解三角形综合问题时，要注意： ①根据已知的边角画出图形，并在图形中标示已知条件； ②根据问题特点，合理运用正弦定理、余弦定理等； ③注意三角恒等变换相关知识的运用．
3．(2016·江苏卷)在△ABC中，AC＝6，cos B＝45，C＝π4. (1)求AB的长； (2)求cos(A－π6)的值．
(1)因为cos B＝45，0＜B＜π， 所以sin B＝1－cos2B＝1－452＝35. 由正弦定理知ACsin B＝ABsin C，
所以AB＝AC·sin Csin B＝6×2235＝52. (2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)， 于是cos A＝－cos(B＋C)＝－cos(B＋π4)
＝－cos Bcosπ4＋sin Bsinπ4. 又cos B＝45，sin B＝35， 故cos A＝－45×22＋35×22＝－210.