重庆市万州第二高级中学2021-2022学年高二下学期入学考试 数学含解析

【答案】BCD
【解析】
【分析】根据圆与圆 位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 .
圆 的圆心为 ，半径为 .
圆心距 .
当 时， ，两圆内切， 和 只有一个公共点，A选项错误.
当 时，两个圆的半径相等， 和 关于直线 对称，B选项正确.
当 时， ，即 ， 和 外离，C选项正确.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的0分.
9.已知圆 ： 和圆 ： ，以下结论正确的是（）
A.若 和 只有一个公共点，则
B.若 ，则 和 关于直线 对称
C.若 ，则 和 外离
D.若 且 和 的公共弦长为 ，则
A. 4862B. 4962C. 4852D. 4952
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得数列2，3，5，8，12，17，23， ，满足： ， ，从而利用累加法即可求出 ，进一步即可得到 的值．
【详解】2，3，5，8，12，17，23， 后项减前项可得1，2，3，4，5，6，
所以 ，
所以
.
所以 .
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为 即可求解；
对B：由抛物线方程即可求解；
对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；
对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.
【详解】解：对B：由抛物线 ，可得 ，准线 ，故选项B错误；
故选：D
6.正数数列 的前 项和为 ， ，则下列选项中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题设求出 、 、 ，并猜想 的通项公式，再利用数学归纳法证明，进而判断各选项的正误.
详解】由题设，当 时， 得 ，
当 时， ，整理得 ，
∴ ；
，整理得 ，
∴ ；
猜想： ，由 时 ，符合题设，
B.向量 是直线 的一个方向向量
C.过点 与直线 平行的直线方程为
D.若直线 ，则
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的倾斜角可判断A，由直线的方向向量可判断B，由直线平行设所求 ，代点即可判断C，由直线垂直 可判断D
【详解】对于A： 的斜率为 ，所以直线 的倾斜角为 ，故A错误；
对于B：因为直线 的方向向量为 或 ，
四、解算题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知等差数列 为其前 项和，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 为数列 的前 项和，求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据题意列出方程求得 ，即可求得数列 的通项公式；
（2）由 ，根据题意得到 ，利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由已知可得 .
故选：A.
2.已知 ， ， ，若向量 共面，则实数 等于（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
分析】由向量 共面，建立方程组，即可求解.
【详解】向量 共面，则 ，（ ）.
则有 ，
所以
解得：x=1，y=1， =1.
故选：A
3.已知直线 ，则下列结论正确的是（）
A.直线 的倾斜角为
假设 时， ，
则 时， ，
∴ ，整理得 ，
∴ 也成立，故 ， 成立.
∴ ，易知A、B错误；
， ，故C错误，D正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：应用数学归纳法证明猜想的 通项公式，进而判断各项正误.
7.方程 有两个不同的解，则实数k的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为圆心在原点半径为1的上半圆和 表示恒过定点 的直线始终有两个公共点，结合图形可得答案.
当 ， ， ，
所以 ，所以两圆相交， ，两式相减并化简得 ，
即相交弦所在直线方程为 ，
所以公共弦长为 ，D选项正确.
故选：BCD
10.已知抛物线 ，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点 ，则下列说法正确的是（）
A.焦点F到准线l的距离为2
B.焦点 ，准线方程
C. 的最小值是3
D.以弦PQ为直径的圆与准线l相切
因为DA'＋EA'≥DE，
所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，
所以△ADE的周长 ，当 时取得最大值8，
故答案为：8
16.在数列 中，首项不为零，且 ， 为 的前 项和．令 ，则 的最大值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】数列 首项 ，所以数列 是公比为 的等比数列， ， ， ，所以 ，设 ，令 ,当且 时取等号， ，即 的最大值为 ，故答案为 .
又根据抛物线的定义有 ， ，
所以 ，
所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；
故选：ACD.
11.设数列 ， 的前 项和分别为 ， ， ， ，且 ，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，通过累乘法求出 的通项公式，进而求出 的通项公式，即可求解；
对于CD，通过 的通项公式求出 的通项公式，再通
又当 时 也符合上式，
∴ ，易得 ，∴ ，
故A，B正确；
，
∴ ，
易知 单调递增，
∴ ，∴ ，故C错误，D正确.
故选:ABD．
12.如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则（）
A.当 在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
14.在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若 ，则 __．
【答案】1
【解析】
【分析】由空间向量的线性运算将 用 表示，由空间向量基本定理可求得 的值即可求解.
【详解】在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，
所以
，
所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
15.如果点 在运动过程中，总满足关系式 ，记满足此条件的点M的轨迹为C，直线 与C交于D，E，已知 ，则 周长的最大值为______．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可设 且 ，即得a、b的数量关系，进而求双曲线C的渐近线方程.
【详解】由题设， ， ，又 ，P为双曲线C上一点，
∴ ，又 ， 为 的中点，
∴ ，即 ，
∴双曲线C的渐近线方程为 .
故选：B.
5.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23则该数列的第100项为（）
【详解】A.当 在平面 上运动时，点 到面 的距离不变， 不变，
故四棱锥 的体积不变，故A正确；
B.建立如图所示空间直角坐标系：
设 ， ，则 ，
设 与 所成的角为 ，则 ，
因为 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
综上： ，所以 与 所成角的取值范围是 ，故B错误；
C.因为直线 与平面 所成的角为 ，
若点 在平面 和平面 内，因为 最大，不成立；
【小问1详解】
解：设等差数列 的公差为 ，因为 ，
可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式 .
【小问2详解】
解：由 ，可得 ，所以 ，
根据等差数列的求和公式，可得
18.已知圆 关于直线 对称，且圆心C在 轴上.
（1）求圆C的方程；
（2）直线 与圆C交于A、B两点，若 为等腰直角三角形，求直线 的方程.
【答案】（1）
对A：由抛物线 ，可得 ，即 ，所以焦点F到准线l的距离为 ，故选项A正确；
对C：过点P作 ，垂足为 ，由抛物线的定义可得 ，
所以 （ 为点 到准线l的距离），当且仅当 、 、 三点共线时等号成立，
所以 的最小值是3，故选项C正确；
对D：过点P、Q分别作 ， ，垂足分别为 、 ，
设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作 ，垂足为 ，则 为直角梯形 的中位线， ，
在平面 内，点 的轨迹是 ，
在平面 内，点 的轨迹是 ，
在平面 时，如图所示：
，
作 平面 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
则 ，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径的四分之一圆，
所以点 的轨迹长度为 ，
所以点 的轨迹总长度为长度为 ，故C正确；
D.建立如图所示空间直角坐标系：
设 ， ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
【详解】令 ，平方得 表示圆心在原点半径为1的上半圆，
表示恒过定点 的直线，方程 有两个不同的解即半圆和直线要始终有两个公共点，如图
圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
当直线经过 时由 得 ，当直线经过 时由 得 ，
所以实数k的取值范围为 .
故选：C.
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系 中， ，点 满足 .设点 的轨迹为 ，则下列说法错误的是（）
B.当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C.当直线 与平面 所成的角为45°时，点 的轨迹长度为