2021年高二下学期开学考试数学试题含答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题 含答案
2021年高二下学期开学考试理科数学试题含答案第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1.用样本估计总体，下列说法正确的个数是2.①样本的概率与实验次数有关；3.②样本容量越大，估计就越精确；4.③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；5.④数据的方差越大，说明数据越不稳定．6.A．1 B．2 C．3 D．47.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是8.A．至少有一个黑球与都是黑球B．至多有一个黑球与都是黑球9.C．至少有一个黑球与至少有一个红球D．恰有一个黑球与恰有两个黑球10.在直角坐标系中，直线的倾斜角是11.A．B．C．D．12.已知随机变量服从正态分布，且，则13.A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.214.学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如右表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为15.A．24 B．18 C．16 D．1216.在的展开式中，常数项是17.A．－28 B．－7 C．7 D．2818.在△ABC中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC＝6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为19.A．B．C．D．20.直线绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆的位置关系是21.A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心22.C．直线与圆相离D．直线过圆心23.小明在玩“开心农场”游戏的时候，为了尽快提高经验值及金币值，打算从土豆、南瓜、桃子、茄子、石榴这5种种子中选出4种分别种在四块不同的空地上(一块空地只能种一种作物)．若打算在第一块空地上种南瓜或石榴，则不同的种植方案共有24.A．36种B．48种C．60种D．64种25.已知直线l：被圆C：所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有26.A．9条B．10条C．11条D．12条27.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点B与A连接，则弦长AB超过半径的倍的概率是28.A．B．C．D．29.在圆内，过点有n条长度成等差数列的弦，最小弦长为数列的首项，最大弦长为，若公差，那么n的取值集合内所有元素平方和为30.A．126 B．86 C．77 D．50第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）31.若随机变量Ｘ服从两点分布，且成功的概率为0.7，则D(X) =_________32.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有_________33. 已知过点A (－1，0)的动直线l 与圆x 2＋(y －3)2＝4相交于P 、Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x ＋3y ＋6＝0相交于N ．则_________34. 马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如右表．请小牛同学计算的数学期望，尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了数学期望的正确答案为_________三、解答题：本大题共6个小题，共70分。
2021-2022年高二下学期开学考试数学试题 含答案
2021年高二下学期开学考试数学试题含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.从一批产品中取出3件产品，设事件A为“三件产品全不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（）A.事件B与C互斥B.事件A与C互斥C.任何两个均不互斥D.任何两个均互斥2.已知双曲线的渐近线方程为，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为且支出在元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为（）元.A.45B.46C.D.4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A.7B.8C.9D.105.从甲、乙、丙、丁、戊五人中任选三人作代表，这五人入选的机会均等，则甲或乙被选中的概率是（）A. B. C. D.6.已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（）A.5B.7C.4D.37.已知实数满足，那么的最小值为（）A. B. C. D.8.F是椭圆的左焦点，P是椭圆上的动点，为定点，则的最小值是（）A. B. C. D.9.已知命题，使；命题，都有.给出下列结论：①命题“”是真命题；②命题“”是真命题；③命题“”是假命题；④命题“”是假命题.其中错误的是（）A.②③B.②④C.③④D.①③10.已知，在上，在上，且，点是内的动点，射线交线段于点，则的概率为（）A. B. C. D.11.已知双曲线，是左焦点，是坐标原点，若双曲线左支上存在点，使，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.12.圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆的圆心轨迹方程为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.）13.已知样本的平均数是10，方差是4，则14.过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则15.设命题；命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是16.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（其中为常数）.当曲线与曲线只有一个公共点时，的取值范围为三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分8分）一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：Array按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在B类轿车中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率.18.（本小题满分10分）已知圆及点.（1）若点在圆C上，求直线的斜率；（2）若是圆C上任一点，求的最大值和最小值；（3）若点满足关系式，求的最大值.19.（本小题满分10分）极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为.（1）求C的直角坐标方程；（2）直线（为参数）与曲线C 交于A ，B 两点，与轴交于点E ，求的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，过椭圆的右焦点且垂直于长轴的弦长为. （1）求椭圆的方程；（2）若一条不与轴垂直的直线交椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的下顶点，且，求直线在轴上截距的取值范围.数学试题答案本试卷满分120分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ABDBDADCDCBA13.91 14. 15. 16.三、解答题（本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分8分） 解析：（1）设该厂本月生产轿车为N 辆， 则 ……1分2000100300450400600150z ∴=-----=……2分 （2）设抽取的样本中有辆舒适型轿车， 则 ……4分即抽取了2辆舒适型轿车，6辆标准型轿车，分别记作A 、B 、1、2、3、4、5、6 基本事件为（A ，B ），（A ，1），（A ，2），（A ，3），（A ，4），（A ，5），（A ，6）， （B ，1），（B ，2），（B ，3），（B ，4），（B ，5），（B ，6），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6）共 28个，其中至少有一辆舒适型轿车的有13个. ……6分故至少有一辆舒适型轿车的概率为. ……8分 18、（本小题满分10分） 解析：（1）点在圆上，()()2214141450m m m m ∴++--++=解得 ……2分 （2）圆 则……4分 ……6分（3）设，如图，当过点E 的直线与圆相切时，取最大值. 切线方程为，即的最大值为 ……10分 19、（本小题满分10分） 解析：（1） ……4分（2）设分别为点A ，B 对应的参数 把与C 的方程联立得： ……6分()21212121245EA EB t t t t t t t t ∴+=+=-=+-= ……10分20、（本小题满分12分）解析：（1）故椭圆方程为……2分（2），设直线的方程为，线段MN的中点为由得：……4分则①……8分②……9分把①代入②得：……10分又由②得：综上，……12分。
2021-2022年高二下学期开学考数学文试题 含答案
2021年高二下学期开学考数学文试题含答案注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150 分。
考试时间： 120 分钟。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。
2.选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上。
3.主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1.直线的斜率是( )A. B. C. D.2.不等式的解集为( )A. B. C. D.3.在等差数列中，已知，则( )A. B. C. D.4.正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为( )A． B． C． D．5.若| ，且，则与的夹角是( )A. B. C. D.6.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），则该几何体的体积是( )A. B.C. D.7.双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.8.三个数的大小顺序是( )A. B.C. D.9.执行如右图所示的程序框图，若输入，则输出的值为( )A. B. C. D.10.在中，是的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.若实数满足，则的取值范围是( )A. B. C. D.12.若函数满足：，则的最小值为( )A. B. C. D.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13.抛物线的焦点坐标是_____________.14.同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.15.若正三棱柱的棱长均相等，则与侧面所成角的正切值为___.16.函数的值域是________________.三、解答题（本题包括6小题，共70分）17．（10分）解关于的不等式.18．（12分）在中,角所对的边分别为,已知,,,求.19．（12分）已知是公比为的等比数列，且成等差数列.⑴求的值；⑵设是以为首项，为公差的等差数列，求的前项和.20．（12分）已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.⑴求证：直线平面；⑵若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.21．（12分）已知在处取得极值，且在点处的切线斜率为.⑴求的单调增区间；⑵若关于的方程()3220f x x x x m+--+=在区间上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.22．（12分）已知过曲线上任意一点作直线的垂线，垂足为, 且.⑴求曲线的方程；⑵设、是曲线上两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且为定值时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.桂林十八中12级高二下学期开学考试卷答案一.选择题二.填空题三.解答题17.解：原不等式可化为;即，也即;所以原不等式的解集为18.解：由余弦定理得：2222cos10b ac ac B=+-=，∴，222cos28a b cCab+-===.19.解：⑴由题知：或（舍去）;⑵1111,(1)222nnb d b b n d=-=-⇒=+-=- ;()112224nnnn nS⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭==-20.解：⑴证明：取的中点，则，故平面;又四边形正方形，∴，故平面;∴平面平面,∴平面(理)⑵由底面，得底面;则与平面所成的角为;∴2222PA MN CN AD====, ∴和都是边长为正三角形,取的中点，则，且∴为二面角的平面角;在中，，∴222cos2AG BG ABAGBAG BG+-∠=⋅∴二面角的余弦值方法二：⑴设，因为，，，∴以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，取的中点，则各点坐标为：，，，，，;∴，，∴，∴，∴平面;⑵由底面及，得与平面所成角的大小为;∴,∴,，，;取的中点，则因，1111,1,,,1,,2222AG BG⎛⎫⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴;则，且 ,∴为二面角的平面角;∵cos,||||GA GBGA GBGA GB⋅<>=⋅;∴二面角的余弦值（文）⑵由理解知PA＝2，故()11121211332V Sh==⨯⨯+⨯=。
2021年高二下学期开学检测数学试题 含答案
开学适应性训练2021年高二下学期开学检测数学试题含答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（xx重庆理）已知命题：对任意，总有；：“”是“”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A． B． C． D．2.若向量，且与的夹角余弦为，则等于（）A．2 B．-2 C．-2或 D．2或4.设集合，那么“或”是“”的（）A．充分条件但非必要条件 B．必要条件但非充分条件C．充分必要条件 D．非充分条件，也非必要条件5.已知是椭圆上的一点，是椭圆的焦点，则的最大值是（）A．4 B．6 C．9 D．126.过点作与抛物线只有一个公共点的直线有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条7.等轴双曲线的一个焦点是，则其标准方程为（）A． B．C． D．8.为了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段间隔为（）A．40 B．30 C．20 D．129.如图所示的是一个算法的程序框图，已知，输出的，则等于（）A．9 B．10 C．11 D．1210.如下四个游戏盘（各正方形边长和圆的直径都是单位1），如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，则应选择的游戏盘是（）11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412.先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一次正面的概率为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共20分）二、解答题（每题10分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在直三棱柱中，，求二面角的大小.14.如图，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于两点，若直线的倾斜角为45°，求的面积.31147 79AB 禫R26682 683A 栺39992 9C38 鰸YO32040 7D28 紨31062 7956 祖20962 51E2 凢20515 5023 倣d22132 5674 噴39546 9A7A 驺24811 60EB 惫。
2021年高二下学期开学测试数学理试题 含答案
2021年高二下学期开学测试数学理试题 含答案学科：理科数学 测试时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.下列命题正确的有（ ）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合与集合是同一个集合；（3）这些数组成的集合有个元素；（4）集合是指第二和第四象限内的点集A.个B.个C.个D.个2.复数等于（ ）A. B. C. D.3．已知 , 则(A) (B) (C) (D)4．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，B ＝120°，则A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°5.“a = 1”是“复数(,i 为虚数单位)是纯虚数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.7．如下图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1那么这个几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.168．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 2a 9＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．2＋log 359．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．310.将函数y ＝cos2x 的图象上的所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋111.椭圆两焦点为 ， ，P 在椭圆上，若 △的面积的最大值为12，则椭圆方程为（ ）A. B . C . D .12. 如右图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则下列命题中，错误的是( )A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直于平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）13．若一个正方体的顶点都在同一球面上，则球与该正方体的体积之比为________．14．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率为 ．15.已知OA →＝(1,1)，OB →＝(4,1)，OC →＝(4,5)，则AB →与AC →夹角的余弦值为16．如果关于x 的不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，那么k 的取值范围是____． 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求c ；(3)求△ABC 的面积．18. （本小题满分12分）假设某种设备使用的年限x （年）与所支出的维修费用y （元）有以下统计资料：使用年限x2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0参考数据：，如果由资料知y 对x 呈线性相关关系．试求：（1）；（2）线性回归方程．（3）估计使用10年时，维修费用是多少？19．（本小题满分12分）如右图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知E 为棱CC 1上的动点．(1)求证：A 1E ⊥BD ；(2)是否存在这样的E 点，使得平面A 1BD ⊥平面EBD ？若存在，请找出这样的E 点；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n 满足条件S 2n S n＝4，n ＝1,2，…， (1)求数列{a n }的通项公式和S n ；(2)记b n ＝a n ·2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n .21. （本小题满分12分）如图，点A ，B 分别是椭圆的长轴的左右端点，点F 为椭圆的右焦点，直线PF 的方程为：且.(1)求直线AP 的方程；(2)设点M 是椭圆长轴AB 上一点，点M 到直线AP 的距离等于，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.22. （本小题满分12分）如右图所示，已知直二面角α－AB －β，P ∈α，Q ∈β，PQ 与平面α，β所成的角都为30°，PQ ＝4.PC ⊥AB ，C 为垂足，QD ⊥AB ，D 为垂足．求：(1)直线PQ 与CD 所成角的大小；(2)四面体PCDQ 的体积．参考答案1. A2.B3.C4.A5.A6.A7.D8.B9.C 10. C 11. B 12. D13. 3π∶2 14. 15. 35 16. －3<k ≤017.解：(1)∵2cos(A ＋B )＝1，∴cos C ＝－12.∴角C 的度数为120°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab (cos C ＋1)＝12－2＝10，∴c ＝10.(3)S ＝12ab sin C ＝32.18. 解：（1）由表中数据可得=（2+3+4+5+6）÷5=4，=（2.2+3.8+5.5+6.5+7.0）÷5=5（2）由已知可得：=．于是 ．所求线性回归方程为：．（3）由（2）可得，当x=10时，（万元）．即估计使用10年时，维修费用是12.38万元． 19. 解：连接AC ，设AC ∩DB ＝O ，连接A 1O ，OE .(1)∵A 1A ⊥底面ABCD ，∴A 1A ⊥BD ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面ACEA 1，∵A 1E ⊂平面ACEA 1，∴A 1E ⊥BD .(2)当E 是CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .证明如下：∵A 1B ＝A 1D ，EB ＝ED ，O 为BD 中点，∴A 1O ⊥BD ，EO ⊥BD ，∴∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设棱长为2a ，∵E 为棱CC 1的中点，由平面几何知识，EO ＝3a ，A 1O ＝6a ，A 1E ＝3a ，∴A 1E 2＝A 1O 2＋EO 2，即∠A 1OE ＝90°.∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20. 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由S 2n S n ＝4，得a 1＋a 2a 1＝4，所以a 2＝3a 1＝3， 且d ＝a 2－a 1＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2. (2)由b n ＝a n ·2n －1，得b n ＝(2n －1)·2n －1.所以T n ＝1＋3·21＋5·22＋…＋(2n －1)·2n －1，①2T n ＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，②①－②得－T n ＝1＋2·2＋2·22＋…＋2·2n －1－(2n －1)·2n＝2(1＋2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n －1＝2(1－2n )1－2－(2n －1)·2n －1. 所以T n ＝(2n －1)·2n ＋1－(2n ＋1－2)＝(n －1)·2n ＋1－2n ＋3.21. 解： ⑴由题意知，，从而 ，由题意得，，从而，，因此，直线AP 的方程为：， 即. ⑵设，则点M 到直线AP 的距离为，而，依题意得解得或（舍去），故.设椭圆上一点，则，即()22222424249d MN x y x x ==-+=-+，， 所以当时，，即.22. 解：(1)如下图，在平面β内，作CE 綊DQ ，连接PE ，QE ，则四边形CDQE 为平行四边行，所以EQ 綊CD ，即∠PQE 为直线PQ 与CD 所成的角(或其补角)．∵α⊥β，α∩β＝AB ，PC ⊥AB 于C .∴PC ⊥β.同理QD ⊥α，又PQ 与平面α，β所成的角都为30°，∴∠PQC ＝30°，∠QPD ＝30°，∴CQ ＝PQ ·cos 30°＝4×32＝23，DQ ＝PQ ·sin 30°＝4×12＝2.在Rt△CDQ中，CD＝CQ2－DQ2＝12－4＝22，从而EQ＝2 2.∵QD⊥AB，且CDQE为平行四边形，∴QE⊥CE.又PC⊥β，EQ⊂β，∴EQ⊥PC. 故EQ⊥平面PCE，从而EQ⊥PE.在Rt△PEQ中，cos∠PQE＝EQPQ＝224＝22.∴∠PQE＝45°，即直线PQ与CD所成角的大小为45°.(2)在Rt△PCQ中，PQ＝4，∠PQC＝30°，∴PC＝2.而S△CDQ＝12CD·DQ＝12×22×2＝22，故四面体PCDQ的体积为V＝13S△CDQ·PC＝13×22×2＝43 2.936617 8F09 載J34747 87BB 螻35362 8A22 訢37957 9445 鑅23753 5CC9 峉26879 68FF 棿39658 9AEA 髪22414 578E 垎MN 27772 6C7C 汼。
2021-2022学年江西省新余市第一中学高二下学期开学摸底考数学(文)试卷含详解
新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.1505.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D. 6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈- D.()3,1m ∈--7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A .17B.18C.19D.208.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --= D.4370x y +-=10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A.B.5C.D.211.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = 16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n nb S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <A【详解】试题分析：由“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”得“若1x >，则0x >”的否命题是若1x ≤，则0x ≤.故选：A.考点：否命题.2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.B【分析】先根据三角形内角和求得A ，进而利用正弦定理求得b ．【详解】由题意可知，180457560A =︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知sin sin a bA B=，所以2sin 2sin 32a Bb A⋅==．故选：B ．3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.150C【分析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前n 项和公式求和即可.【详解】由行列式的定义有9711(10)0a a ⨯-⨯-=，即1875a d a +==，所以11581515()1527522a a a S +⨯===.故选：C.5.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D.D【分析】由正弦定理得30︒∠=CAD，进而结合余弦定理计算得BC =.【详解】解：由正弦定理，sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即2sin 22CAD=∠，故1sin 2CAD ∠=，所以30︒∠=CAD ，所以120BAC ︒∠=，所以由余弦定理，BC ==故选：D ．6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈-D.()3,1m ∈--D【分析】由“方程22131x y m m +=+-表示椭圆”可求得实数m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程22131x ym m +=+-表示椭圆，则301031m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得3<1m -<-或11m -<<.故方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是()3,1m ∈--.故选：D.7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A.17B.18C.19D.20C【分析】按照程序框图逐步计算.【详解】方法一：运行情况如下：执行次数mnr177920915222091525731525738457381953819所以输出的19m =.方法二：易知该程序是求两数的最大公约数，而779和209的最大公约数是19,.故选：C【点睛】本题考查程序框图，属于基础题.8.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-A【分析】根据递推关系式得到11n n b b n --=-，进而利用累加法可求得结果．【详解】 数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，11122n n n n a a n --∴=+-，2n n n a b = ，11n n b b n -∴-=-，且11b =，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-++-+L ()()()()211121211122n n n n n n ⎡⎤-+--+⎣⎦=-+-+++=+=，故选：A ．9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --=D.4370x y +-=D【分析】判断点M 与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB 的斜率即可计算作答.【详解】显然点()1,1M 在椭圆22134x y +=内，设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()034x x x x y y y y -+-++=，而弦AB 恰好被点()1,1M 平分，即12122,2x x y y +=+=，则直线AB 的斜率121212124()43()3y y x x k x x y y -+==-=--+，直线AB ：41(1)3y x -=--，即4370x y +-=，所以AB 所在的直线方程为4370x y +-=.故选：D10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C.D.2A【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标(,0)c ，渐近线方程为：by x a=±,距离为：化简得：2b a =，又：222c b a =+，得：2225,5,c c a e a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．11.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列D【分析】由分母不等于0可判断A ；取非0常数列可判断BC ；先判断()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，是否为常数列，然后对211n n n na a a a +++--化简可判断D.【详解】若0k =，则32210a a a a -=-，即320a a -=，则4332a a a a --无意义，故A 错误；当数列{}n a 为常数列，1n a =，则数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，显然不是“等差比数列”，故BC 不正确；当()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，时，11((1)0)n nnn n a b c a a b c ab a b ++⋅+-⋅=--+=≠，所以1211(1)(1)n n n nn n a a ab b a a ab b b ++++---==-，故D 正确.故选：D12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞C【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点(),x y到定点与定直线之比为常数e =，进而可得结果.【详解】已知方程可以变形为()2222321x y m x y y -+=-++==其表示双曲线上一点(),x y 到定点()0,1-与定直线230x y -+=之比为常数e =又由1e >，可得05m <<，故选：C.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.【分析】根据已知等式，由复数除法的几何含义，即可求z的值.【详解】由题设，知：221i i z i i++====--.故答案为14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.10【详解】作出不等式区域,如图所示:目标2z x y =+的最大值,即为平移直线2y x z =-+的最大纵截距,当直线经过点7A ,32⎛⎫⎪⎝⎭时z 最大为10.故答案为10.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = ①④【分析】比较圆心到渐近线的距离和半径的关系可判断①；以2F 为圆心，4为半径作圆，数形结合可判断②；观察直线()2y k x =-与渐近线的位置关系可判断③；根据双曲线定义与已知列方程组求1PF ，2PF ，然后判断12PF F △的形状，由面积公式可得.【详解】双曲线C中，渐近线为y =，焦点为(20)±,，a =1，b =，c =2.圆22(2)3x y -+=的圆心(2,0)0y -=的距离2d r ===，∴①正确；以2F 为圆心，4为半径作圆，由图可知②错误；当k =时，直线()2y k x =-与渐近线平行，由图可知，此时直线与双曲线的左支不相交，故③错误；不妨设点P 在右支上，则由双曲线定义得1222PF PF a -==，又因为128PF PF +=，联立求解可得15PF =，23PF =，所以2221212PF PF F F =+，所以212PF F π∠=，所以12212162PF F S PF F F == ，故④正确.故答案为：①④16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．163π9【分析】根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.【详解】如图，2223a b c S +=+，222431sin 32a b c ab C ∴+-=⋅，222323a b c C ab +-∴=，tan C ∴=π3C ∴=，又2c AB ==，ABC ∴ 外接圆半径为3，π3C =，所以点C 的轨迹长度为4π23⨯=，故答案为：163π9.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．（1）[)2,3.（2）()[)1,23,-⋃+∞.【分析】（1）由已知得p ，q 均为真命题，分别求得p 为真命题，q 为真命题时，实数a 的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得p ，q 一真一假，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题．若p 为真命题，则()()()214130a a a ∆=--=+-<，解得13a -<<；若q为真命题，则1222x xa =+≥=，当且仅当122x x =，即0x =时，等号成立，此时2a ≥．故实数a 的取值范围是[)2,3；【小问2详解】解：若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 一真一假．当p 真，q 假时，则13,2,a a -<<⎧⎨<⎩得a ∈()1,2-；当p 假，q 真时，则13,2,a a a ≤-≥⎧⎨≥⎩或得[)3,a ∈+∞．故实数a 的取值范围为()[)1,23,-⋃+∞．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.（1）13；（2）32.【分析】（1）利用正弦定理求得sin B 的值，由此求得cos 2B 的值.（2）利用余弦定理求得cos A ，结合基本不等式求得A 的最大值，由此求得此时ABC 的面积.【详解】（1）由正弦定理sin sin a b A B =，得321sin 2B =，解得3sin 3B =所以21cos 212sin 3B B =-=.（2）由余弦定理得22221cos 24b c a c A bc c +-+==.因为2121442c c c c +≥=，当且仅当1c =时，等号成立，所以1cos 2A ≥，则03A π<≤，则A 的最大值为3π.此时，ABC 的面积113sin 21sin 2232S bc A π==⨯⨯⨯=.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iiix x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.（1）由散点图可判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）100.6y =+；（3）508.6吨．【分析】（1）由散点图可以知x ,y 关系是非线性的即可判断；（2）令w =，则 y c dw =+ ，利用根据题中数据可计算ˆd ，c的值，即可得y 关于w 的线性回归方程，再将w =代入即可求解；（3）将36x =代入y 关于x 的回归方程即可求解.【详解】（1）由散点图可以判断：y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8ˆ681.6iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， 56368 6.8100.6ˆcy d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为 68100.6y w =+，所以y 关于x 的回归方程为100.6y =+；（3）由（2）知：当36x =时，年销售量y 的预报值100.6508.6y =+=故年宣传费36x =千元时，年销售预报值是508.6吨．20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.（1）证明见解析，n a =；（2）3【分析】（1）由题得()22112n n S S n --=≥，即得数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列，再求出n S =，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)先求出112121n b n n =--+，再利用裂项相消求出n T ，最后解二次不等式得解.【详解】（1）证明：221n n n a S a -= ，∴当2n ≥时，()()21121n n n n n S S S S S -----=，整理得，()22112n n S S n --=≥，又211S =，∴数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列.2n S n ∴=，又0n S >，n S ∴=2n ∴≥时，1n n n a S S -=-=111a S ==适合此式∴数列{}n a的通项公式为n a =；（2）解：()()422412121n nb S n n ==--+112121n n =--+1111335n T ∴=-+-+112121n n ⋅⋅⋅+-=-+1121n -+*n N ∈ 123n T T ∴≥=依题意有()221336m m >-，解得14m -<<，故所求最大正整数m 的值为3.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？（1）2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．【分析】（1）根据题意，分019x <<、19x ≥两种情况可写出答案；（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出019x <<、19x ≥时的最大值，然后作比较可得答案.【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则x 万件商品销售收入为25x 万元，依题意得，当019x <<时，2222()251002410033L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭，当19x ≥时，400400()2526320100220L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当019x <<时，22()(18)1163L x x =--+，此时，当18x =时，()L x 取得最大值()18116L =万元，当19x ≥时，400()22022022040180L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭万元，此时，当且仅当400x x=，即20x =时，()L x 取得最大值180万元，因为116180<，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．（1）2214x y +=；（2）是定值，5π.【分析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得12k k 为定值，12S S +也为定值，从而可得1212S S k k +是定值．【小问1详解】由题意知||||PQ AQ =，||||||||||4||3AQ CQ PQ CQ CP AC ∴+=+==>=，根据椭圆的定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2,3a c ==21b ∴=，∴曲线E 的方程为2214x y +=；【小问2详解】由题意知直线l 的方程为1(12y x m m =+≠±且m ≠0)，设直线l 与椭圆的交点为1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，222220x mx m ++-=，22244(22)840m m m ∆=--=->22m ⇒<，∴212122,22+=-=-x x m x x m ，∴2212121212221212121211()11(2)12242422444x m x my y m x x m m m m k k x x x x x x x x m m +++⋅-=⋅=⋅=++=++=--，222222121212(||||)()44S S OM ON x x y y ππ+=+=+++， 22222121212()242(22)4x x x x x x m m +=+-=--=，∴222222121212(1)(1)21444x x x x y y ++=-+-=-=，∴1254S S π+=，∴121254514S S k k ππ+==，∴1212S S k k +是定值，为5π．。
2021年高二下学期入学考试数学(文)试题 含答案
2021年高二下学期入学考试数学（文）试题 含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．i 是虚数单位，复数=( )．A ．1+2iB ．2+4iC ．-1-2iD ．2-i 2．设集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B 等于( )．A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |x ≥3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ≥2}3．命题“”的否命题是( )A ．B ．C ．D ．4．若变量满足约束条件,则的最大值和最小值分别为（ ）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和05．在正项等比数列中，，则的值是（ ）A ．10000B ．1000C ．100D ．10 6．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ． 7．函数f （x ）=（ ）A ．（-2,-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2） 8．“”是“”的 条件( )A ． 充分而不必要B ． 必要而不充分C ． 充要D ． 既不充分也不必要 9．右表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据.根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程为,那么表中的值为 ( )A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.5 10．函数的单调递增区间为（ ）A ．（－∞，1）B ．（2，+∞）C ．（－∞，）D ．（，+∞） 11．设双曲线的离心率为,抛物线的准线过双曲线的左焦点,则双曲线的方程为( ) A ． B ． C ． D ．12．设函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数； ②存在,使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数是定义域为的“成功函数”，则的取值范围为 ( )3 45 62.5 t 44.5A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）。
2021-2022学年安徽省六安市新安中学高二下学期开学摸底考数学试卷含详解
新安中学2021—2022学年度（下）高二年级开学考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线m 经过()2,1A -，()0,3B -两点，则直线m 的斜率为（）A.-2B.12-C.12D.22.已知数列{}n a 满足112n n a a n +=+，334a =，则1a =（）A.14B.23C.1D.23.抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD 即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m ，则灶口直径AB 为（）A.2mB.3mC.4mD.5m4.已知双曲线C ：()220x y k k -=≠过点(，则双曲线C 的顶点到其渐近线的距离为（）A.1B.C.D.25.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A.1B.2C.4D.86.如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c == ＝，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++ C.111222a b c +- D.221332a b c-+- 7.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）A.2B.14C.4D.68.在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若464b b ⋅=，则212229log log log b b b +++= A.6B.7C.8D.9二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列 ，则下列说法正确的是（）A.此数列的通项公式是n a =B.是它的第23项C.此数列的通项公式是n a =D.是它的第25项10.已知直线1l ：0x y m -+=，2l ：210x my +-=，则下列结论正确的有（）A .若12//l l ，则2m =-B.若12l l ⊥，则2m =C.若1l ，2l 在x 轴上的截距相等则1m =D.2l 的倾斜角不可能是1l 倾斜角的2倍11.已知双曲线C ：2213y x -=，则（）A.双曲线C 与圆22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有3个公共点B.双曲线C 的离心率与椭圆22143x y +=的离心率的乘积为1C.双曲线C 与双曲线2213y x -=有相同的渐近线D.双曲线C 的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同12.已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（）A.342n a n=- B.16S 为n S 的最小值C.1216272a a a +++= D.1230450a a a +++= 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()2,1,a m =- ，()6,,3b n = ，若//a b r r，则m n +=______．14.在等差数列{}n a 中，a 10＝18，a 2＝2，则公差d ＝______．15.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =______.16.已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点，过(,0)2a M 的作垂直于x 轴的直线与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1//PO F B ，则椭圆C 的离心率为___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线m ：x +3y -5=0，直线n ：ax -y +4=0{a ∈R }.（1）若直线m 与直线n 平行，求实数a 的值；（2）若直线m 与直线n 垂直，求直线m 与n 的交点坐标.18.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且椭圆的长轴长为（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．21.已知过抛物线22y px =()0p >的焦点，斜率为22()11,A x y ，()22,B x y ()12 x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB 的面积.22.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．新安中学2021—2022学年度（下）高二年级开学考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知直线m 经过()2,1A -，()0,3B -两点，则直线m 的斜率为（）A.-2B.12-C.12D.2A【分析】根据斜率公式求得正确答案.【详解】直线m 的斜率为：()13220--=---.故选：A2.已知数列{}n a 满足112n n a a n +=+，334a =，则1a =（）A.14B.23C.1D.2C【分析】结合递推关系式依次求得21,a a 的值.【详解】因为334a =，112n n a a n +=+，所以2323144a a a =⨯=，得213a =．由1211133a a a =⨯=，得11a =.故选：C3.抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置．当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上．如图所示的太阳灶中，灶深CD 即焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为1m ，则灶口直径AB 为（）A.2mB.3mC.4mD.5mC【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为()220y px p =>，根据()1,0D 是抛物线的焦点，求得抛物线的方程24y x =，进而求得AB 的长.【详解】由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，O 与C 重合，设抛物线的方程为()220y px p =>，由题意可得()1,0D 是抛物线的焦点，即12p=，可得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，当1x =时，2y =，所以4AB m =.故选：C.4.已知双曲线C ：()220x y k k -=≠过点(，则双曲线C 的顶点到其渐近线的距离为（）A.1B.C.D.2A【分析】根据点(求得k ，求得双曲线的渐近线，结合点到直线的距离求得正确选项.【详解】因为点(在双曲线上，所以221k -=，解得2k =-，所以双曲线C 的标准方程为22122y x -=，2a b c ===，双曲线焦点在y 轴上，所以双曲线的一个顶点为(，一条渐近线为y x =，即0x y -=，顶点(到其一条渐近线0x y -=1=.故选：A5.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（）A.1B.2C .4D.8C【分析】根据等差数列的通项公式及前n 项和公式利用条件4524a a +=，648S =列出关于1a 与d 的方程组，通过解方程组求数列{}n a 的公差.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立11272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =.故选：C.6.如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c == ＝，点M 在OA 上，且2OM MA = ，N 为BC 中点，则MN （）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.221332a b c-+- B【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可．【详解】12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++故选：B7.椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（）A.2 B.14C.4D.6B【分析】根据已知条件列方程，化简求得m 的值.【详解】依题意，方程221x my +=，表示焦点在y 轴上的椭圆，所以0m >，2211y x m+=，故11,01m m><<，只有B 选项符合.221,1a b m==，由于长轴长是短轴长的2倍，即22222,2,4a b a b a b =⨯==，即14m =，解得14m =.故选：B8.在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若464b b ⋅=，则212229log log log b b b +++= A.6B.7C.8D.9D【分析】由等比数列的性质可得b 5＝2,再利用对数的运算性质即可得出．【详解】已知464b b ⋅=,由等比数列的性质可得24654b b b ⋅==，又等比数列各项为正数，b 5＞0，可得b 5＝2．则212229log log log b b b +++ ＝log 2（b 1b 2•…•b 9）＝log 295b ＝9．故选D ．【点睛】本题考查等比数列的性质p q m n a a a a ⋅=⋅（其中m+n=p+q）、对数的运算性质的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知数列 ，则下列说法正确的是（）A.此数列的通项公式是n a =B.是它的第23项C.此数列的通项公式是n a =D.是它的第25项AB【分析】根据已知条件求得数列的通项公式，由此对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】数列 ，所以n a =A 选项正确，C 选项错误.23a ===，B 选项正确，257a ==，D 选项错误.故选：AB10.已知直线1l ：0x y m -+=，2l ：210x my +-=，则下列结论正确的有（）A.若12//l l ，则2m =-B.若12l l ⊥，则2m =C.若1l ，2l 在x 轴上的截距相等则1m =D.2l 的倾斜角不可能是1l 倾斜角的2倍AB【分析】根据直线平行、垂直的条件判断AB 选项的正确性；根据直线的截距、倾斜角判断CD 选项的正确性.【详解】若12//l l ，则2111m m-=≠-，得2m =-，选项A 正确；若12l l ⊥，则120m ⨯-=，得2m =，选项B 正确；若1l ，2l 在x 轴上的截距相等，则12m -=，解得12m =-，选项C 错误；当0m =时，2l 的倾斜角π2恰好是1l 的倾斜角π4的2倍，选项D 错误．故选：AB【点睛】解决此题的关键是要弄清楚直线的点斜式和直线的一般式判断两直线平行和垂直的充要条件，其次还要注意斜率的存在性，一定要注意分类讨论.易错点：两直线平行一定要注意纵截距不等和斜率的存在性.11.已知双曲线C ：2213y x -=，则（）A .双曲线C 与圆22112x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭有3个公共点B.双曲线C 的离心率与椭圆22143x y +=的离心率的乘积为1C.双曲线C 与双曲线2213y x -=有相同的渐近线D.双曲线C 的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同BCD【分析】由圆锥曲线的几何性质直接可得.【详解】解：作图可知A 不正确；由已知得双曲线C 中，1a =，b =，2c ==，所以双曲线C 的焦点为()2,0±，顶点为()1,0±，渐近线方程为by x a=±=，离心率为2ca=，易知选项BCD 正确．故选：BCD12.已知数列{}n a 的前n 项和为2n 33S n n =-，则下列说法正确的是（）A.342n a n=- B.16S 为n S 的最小值C.1216272a a a +++= D.1230450a a a +++= AC 【分析】利用和与项的关系，分1n =和2n ≥分别求得数列的通项公式，检验合并即可判定A;根据数列的项的正负情况可以否定B;根据前16项都是正值可计算判定C;注意到121617193300()a a a S a a a +++=+---- 16302S S =-可计算后否定D.【详解】1133132a S ==-=,()()()2213333113422n n n a S S n n n n n n -=-=---+-=-≥,对于1n =也成立，所以342n a n =-，故A 正确；当17n <时，0n a >,当n=17时n a 0=,当17n >时，n a 0<,n S ∴只有最大值，没有最小值，故B 错误；因为当17n <时，0n a >,∴21216163316161716272a a a S +++==⨯-=⨯= ，故C 正确；121617193300()a a a S a a a +++=+---- 2163022272(333030S S =-=⨯-⨯-）54490454=-=，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题考查数列的和与项的关系，数列的和的最值性质，绝对值数列的求和问题，属小综合题.和与项的关系()()1112n nn S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩,若数列{}n a 的前k 项为正值，往后都是小于等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-，若数列{}n a 的前k 项为负值，往后都是大于或等于零，则当n k ≥时有122n k n a a a S S ++⋯+=-+.若数列的前面一些项是非负，后面的项为负值，则前n 项和只有最大值，没有最小值，若数列的前面一些项是非正，后面的项为正值，则前n 项和只有最小值，没有最大值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()2,1,a m =- ，()6,,3b n = ，若//a b r r ，则m n +=______．2-【分析】根据向量平行求得,m n ，由此求得m n +.【详解】由于//a b r r ，所以213,1263m n m m n n -==⇒=-=⇒+=-.故答案为：2-14.在等差数列{}n a 中，a 10＝18，a 2＝2，则公差d ＝______．2【分析】根据等差数列的公式求得公差d .【详解】依题意1028,1828,2a a d d d =+=+=.故答案为：215.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，则p =______.8.【分析】利用抛物线的焦点及椭圆焦点列出关于p 的方程求解即可.【详解】因为抛物线()220y px p =>的焦点是,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故椭圆2231x y p p +=的一个焦点也为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得2p =，解得8p =.故答案为：8.【点睛】本题考查根据圆锥曲线的焦点求参问题，较简单，属基础题.16.已知1F ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点和上顶点，点O 为坐标原点，过(,0)2a M 的作垂直于x 轴的直线与椭圆C 在第一象限的交点为P ，且1//PO F B ，则椭圆C 的离心率为___________.33【分析】先根据题意得P 点坐标，再根据1//PO F B 平行计算其直线斜率，并列式化简求值即可得答案.【详解】解：根据题意得P 点横坐标为2P a x =，由于点P 为第一象限的点，故代入椭圆方程得的2P y =，因为1//PO F B ，()1,0F c -，()0,B b 所以13OP F B b k k a c===，所以33c e a ==.故答案为：33【点睛】本题考查椭圆的性质，考查运算能力，是基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线m ：x +3y -5=0，直线n ：ax -y +4=0{a ∈R }.（1）若直线m 与直线n 平行，求实数a 的值；（2）若直线m 与直线n 垂直，求直线m 与n 的交点坐标.（1）a =-13（2）(-710，1910)【分析】(1)平行就是斜率相等；（2,）垂直就是两直线的斜率互为负倒数关系，联立方程即可.【小问1详解】∵m //n ，∴13n m k a k ===-，即13a =-；【小问2详解】m n ⊥ ，1m n k k ∴=- ，a =3；联立方程：350340x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得710x =-，1910y =，交点坐标为：719(,)1010-故答案为：13-，719(,1010-.18.在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.(1)求n a ；(2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .(1)13n n a -=.（2）22n n n S -=.【详解】试题分析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得方程组1413{81a q a q ==，解得11{3a q ==，即可写出通项公式.（2）因为3log 1n nb a n ==-，利用等差数列的求和公式即得.试题解析：(1)设{}n a 的公比为q ，依题意得1413{81a q a q ==，解得11{3a q ==，因此，13n n a -=.（2）因为3log 1n n b a n ==-，所以数列{}n b 的前n 项和21()22n n n b b n n S +-==.考点：等比数列、等差数列.19.已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()222210x y a b a b+=>>两个焦点，且椭圆的长轴长为（1）求此椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且123F PF π∠=，求12F PF △的面积.（1）22184x y +=；（2）433.【分析】（1）由题可得2a c ==，从而可得方程；（2）设1122,P F r P F r ==，在12PF F △中利用余弦定理可得12163r r =，进一步可求得12PF F △的面积．【详解】（1）由题意知2a =,∴a =2c =，∴24b =，∴椭圆方程为22184x y +=.(2)设1122,P F r P F r ==，由椭圆的定义得12r r +=1224F F c ==，在12PF F △中由余弦定理得222121212122co )s 3(163r r r r r r r r π+-=-=+，得12163r r =，1212143sin 233F PF S r r π∴== .20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且12,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6；（Ⅲ）33.【分析】以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（Ⅰ）计算出向量1C M 和1B D 的坐标，得出110C M B D ⋅= ，即可证明出11C M B D ⊥；（Ⅱ）可知平面1BB E 的一个法向量为CA ，计算出平面1B ED 的一个法向量为n ，利用空间向量法计算出二面角1B B E D --的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值.【详解】依题意，以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得()0,0,0C 、()2,0,0A 、()0,2,0B 、()10,0,3C 、()12,0,3A 、()10,2,3B 、()2,0,1D 、()0,0,2E 、()1,1,3M .（Ⅰ）依题意，()11,1,0C M = ，()12,2,2B D =-- ，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥；（Ⅱ）依题意，()2,0,0CA = 是平面1BB E 的一个法向量，()10,2,1EB = ，()2,0,1ED =- ．设(),,n x y z = 为平面1DB E 的法向量，则100n EB n ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即2020y z x z +=⎧⎨-=⎩，不妨设1x =，可得()1,1,2n =-．6cos ,6C CA n A C n A n ⋅<>===⋅，sin ,6CA n ∴<>== ．所以，二面角1B B E D --的正弦值为306；（Ⅲ）依题意，()2,2,0AB =- ．由（Ⅱ）知()1,1,2n =- 为平面1DB E的一个法向量，于是3cos ,3AB n AB n AB n ⋅<>==-⋅ ．所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为33.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.21.已知过抛物线22y px =()0p >的焦点，斜率为()11,A x y ，()22,B x y ()12 x x <两点，且9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）O 为坐标原点，求OAB 的面积.（1）28y x =；（2）【分析】（1）由题意设直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，然后将直线方程与抛物线方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系结合抛物线的定义，由9AB =列方程可求出p 的值，从而可求出抛物线的方程，（2）结合（1）解方程求出,A B 两点的坐标，从而可求出三角形的面积【详解】解：（1）抛物线22y px =的焦点为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以直线AB的方程为2p y x ⎫=-⎪⎭，由2,22,p y x y px ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩消去y 得22450x px p -+=，所以1254p x x +=，由抛物线定义得129AB x x p =++=，即594p p +=，所以4p =.所以抛物线的方程为28y x =.（2）由4p =知，方程22450x px p -+=，可化为2540x x -+=，解得11x =，24x =，故1y =-，2y =所以(1,A -，(4,B .则OAB面积122S =⨯⨯=22.设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=.【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++--- 1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.。
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2021年高二下学期开学考试数学试题含答案
一、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试
时间120分钟；
二、本试卷为文、理合卷，注明理科的只理科考生做，注明文科的只文科考生
做，其它的文理考生皆做
三、填空题答案答在第Ⅱ卷相应横线上，否则不给分。
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
)
1.已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命
题中，真命题的个数是( )
2.A、1 B、2 C、3 D、4
3.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )
4.A、开口向上，焦点为(0，1) B、开口向上，焦点为(0，)
5.C、开口向右，焦点为(1，0) D、开口向右，焦点为(0，)
6.如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设，则下列向量中与相等
的向量是：( )
7.A、B、
8.C、D、
9.在△ABC中，a＝80，b＝100，A＝45°，则此三角形解的情况是( )
10.A、一解B、两解C、一解或两解D、无解
11.已知等差数列的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2＝( )
12.A、-4 B、-6 C、-8 D、-10
13.已知不等式ax2-5x+b＞0的解集是，则不等式bx2-5x+a＞0的解是( )
14.A、x＜-3或x＞-2 B、x＜或x＞C、D、-3＜x＜-2
15.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以
A、B为焦点的椭圆”，那么( )
16.A、甲是乙成立的充分不必要条件B、甲是乙成立的必要不充分条件
17.C、甲是乙成立的充要条件D、甲是乙成立的非充分必要条件
18.已知数列的前n项和S n＝n2-9n，第k项满足5＜a k＜8，则k＝( )
19.A、9 B、8 C、7 D、6
20.设X∈R，[X]表示不大于X的最大整数，如：[π]＝3，[-1，2]＝-2，[0，5]＝0，则使[X2-1]
＝3的X的取值范围( )
21.A、B、C、 D、
22.设a，b是非零实数，则方程bx2+ay2＝ab及ax+by＝0所表示的图形可能是( )
23.
24.已知三个不等式：①x2-4x+3＜0；②x2-6x+8＞0；③2x2-8x+m≤0。
要使同时满足①式
和②式的所有x的值都满足③式，则实数m的取值范围是( )
25.A、m＞9 B、m＝9 C、m≤6D、0＜m≤9
26.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1的直线与椭圆交于M、N两点，则△MNF2的周长
为（）
27.A、8 B、16 C、25 D、32
二、填空题(每题4分，共计16分)
28.方程表示双曲线，则k的取值范围是
29.若数列中，a n＝43-3n，则S n最大值n＝
30.若0＜x＜1，则x(3-3x)取得最大值时X的值为
31.已知A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5)，若，且，则向量的坐标为。
三、解答题。
(本大题共6个小题，满分74分，解答要求写出步骤过程)
32.(本小题满分12分)△ABC中，D在边BC上，且BD＝2，DC＝1，∠B＝60°，∠ADC
＝150°，求AC的长及△ABC的面积。
33.
34.(本小题满分12分)已知a＞0且a≠1，设p：函数在上是减函数；q：方程有两个不等的
实数根。
若“”为假命题，“”为真命题，求a的取值范围。
35.(本小题满分12分)当a＞0时，解关于x的不等式。
36.(本小题满分12分)设数列的前n项和为为等比数列，且，
37.(Ⅰ)求数列和的通项公式；(Ⅱ)设，求数列的前n项和T n。
38.(本小题满分14分)
39.(如图，ABCD是梯形，面ABCD，
且AB＝1，AD＝1，CD＝2，PA＝3，E为PD的中点。
(1) 求证：面PBC。
(2) 求直线AC与PB所成角的余弦值；
(本小题满分12分)已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为，另一双曲线和椭圆有公共焦点，且椭圆的长半轴比双曲线的实半轴大4，椭圆的离心率和双曲线的离心率之比为
3：7。
求椭圆和双曲线的方程。
高二数学试题参考答案 一选择题：BBABB CBBCC BB
二填空题：13) k>1或k<-1；14) 14；15) ；16) (1，1，1)或(-1，-1，-1) 三解答题：
17解：在△ABC 中，∠BAD ＝150°－60°＝90°，
∴。
……………………3分
在△ACD 中，222AC (3)1231cos1507=+-⨯⨯⨯︒=…………6分
………………………………………………………………8分
……………………………………12分
18 (过程略)…………………………………………………12分
19 因为a>0，不等式可化为，下面对和1的大小讨论：
①当，即a ＝1时，不等式化为，解集为空集；
②当，即0<a<1时，不等式解集为；
③当，即a>1时，不等式解集为
每步4分
20解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2
当n≥2时，n n n 1n a S S 4n 2a 4n 2(n N )-+=-=-∴=-∈
n 1211n 1b 11b a 2,q b 2(n N )b 44-+⎛⎫∴====∴=⨯∈ ⎪⎝⎭
……………………………………6分
(2)由(1)知， 2n 1n 23n n n 12n 1n
n n n n T 13454(2n 1)44T 43454(2n 1)44(14)3T 1242424(2n 1)412(2n 1)4146n 55T 41299①②①②得分
---∴=+⋅+⋅+
+-⋅∴=+⋅+⋅+
+-⋅---=+⋅+⋅++⋅--=+----⎛⎫∴=⋅+ ⎪⎝⎭
21解：(1)取PC 中点为F ，连结EF ，BF
又E 为PD 的中点，所以EF//DC 且
所以EF//AB ，且EF ＝AB ，所以ABFE 为平行四边形
所以AE//BF ，因为面PBC ，所以AE//面PBC ……6分
(2) 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别为A(0，0，0)，
B(1，0，0)，C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，3)，
E(0，)
从而＝(2，1，0)，＝(1，0，-3)。
设的夹角为θ，则
∴AC与PB所成角的余弦值为……………………14分-d23699 5C93 岓32907 808B 肋y o31736 7BF8 篸h^x22806 5916 外c25485 638D 掍。