河北高三高中数学专题试卷带答案解析
河北省2024届高三下学期大数据应用调研联合测评(V)数学试题(含答案与解析)_9042
绝密★启用前河北省2024届高三年级大数据应用调研联合测评（Ⅴ）数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上，2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足2024(12i)i z -⋅=（i 为虚数单位），则z =（ ）A12i 5+ B. 12i 5- C. 12i 5+- D. 2i 15- 2. 已知,a b 平面向量，其中||1,||2,1a b a b ==⋅= ，则|2|b a -= （ ） A. 1 B. 2C. D. 43. 德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A 和B 是全集U 的子集，且无公共元素，则称集合,A B 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集{}{}221log (1)3,,7100,U x x x A x x x x =<+≤∈=-+<∈N N ∣∣，则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为（ ）A. 8B. 16C. 32D. 644. 某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访．某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表： 时长x （分钟） 10 12 1415 19 评分y 60 m 75 1.25m + 90根据散点图分析得知y 与x 具有线性相关关系且求得其回归方程为ˆ 3.229.8yx =+，则m =（ ） .为A. 61B. 63C. 65D. 675. 已知函数())(0)f x x ωϕω=+>满足对于任意x ∈R 都有π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.若函数()f x 在区间ππ,82⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的最大值为（ ） A. 3 B. 214 C. 154 D. 56. 已知a ，b 均为正实数，且满足132a b +=，则232123a b +--的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 7. 陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠．其中木质件的形状为上部是底面半径为2.2cm ，高为1.63cm 的圆柱，下部为上底半径为2.2cm ，下底半径为0.21cm ，高为0.78cm 的圆台．若陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为（ ）A. 2.21cmB. 2.22cmC. 2.23cmD. 8. 已知圆221:4C x y +=上有一动点P ，圆222:(2)(3)1C x y -+-=上有一动点Q ，直线:30l x y -+=上有一动点M ，直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，则||||PM QM +的最小值为（ ）A. 4B. 5C.D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知π53,0,,cos(),sin()2135αβαβαβ⎛⎫∈+=-= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 12sin()13αβ+= B. 4cos()5αβ-=-C. 63sin 265α=D. tan 33tan 7αβ= 10. 双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条xOz 平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz 平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，则下列说法正确的是（）A. 用平行于xOy 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B. 用法向量为()1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C. 用垂直于y 轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D. 用过原点且法向量为()1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线11. 已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①32(2)()26128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令3()()g x f x x =+，则下列说法正确的是（ ）A. ()g x 的图象关于1x =对称B. (1)3f '=-C. 3(2024)2024f =D. 2(2023)32023f '=-⨯ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分． 12. 已知()()42260126223x x x a a x a x a x ++=++++ ，则4a =__________． 13. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 为第一象限内椭圆上一点，12F PF △的内心为(I ，且130F PI ∠=︒，则椭圆的离心率为__________．14. 已知数列{}n a 满足12a =，且2142n n n a a a +=++，则n a =__________；令11131n n n b a a +=+++，若{}n b 前n 项和为n S ，则n S =__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数21()ln (0)2m f x x m x =+->． （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若1()2f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上任意一点M 到F的距离的最小值为2+．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线:1l y kx =+交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若10OA OB ⋅= ，求直线l 斜率k 的值．17. 已知在多面体PQABCD 中，平面PADQ ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，四边形PADQ 为矩形，其中M 和N 分别为AD 和AP的中点，5,==2AB BC AD DC ==．（1）证明：平面BMN ⊥平面QDC ；（2）若二面角N BM C --余弦值为BQ 与平面BMN 所成角的正弦值． 18. 现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同．第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第1k +次是从与第k 次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n 次取出的球是红球的概率为n P ．的的的（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；（2）求n P 的解析式．19. 设a ，b 为非负整数，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．（1）求证：()332165mod 7+≡；（2）若p 是素数，n 为不能被p 整除的正整数，则11(mod )p np -≡，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题： ①证明：对于任意整数x 都有130(mod 546)x x -≡；②求方程9730(mod 35)x x x x +--≡的正整数解的个数． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数z 满足2024(12i)i z -⋅=（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 12i 5+ B. 12i 5- C. 12i 5+- D. 2i 15- 【答案】B【解析】【分析】根据复数除法的运算法则、虚数单位乘方的运算性质，结合共轭复数的定义进行求解即可. 【详解】()()2024506412i (12i)i12i 12i i 112i 112i 12i 2i 55z z z ⨯+-⋅=--+-⇒====⇒=-+， 故选：B 2. 已知,a b 为平面向量，其中||1,||2,1a b a b ==⋅= ，则|2|b a -= （ ）A. 1B. 2C.D. 4【答案】B 【解析】【分析】结合题意利用2b a -=.【详解】结合题意可得：因为||1,||2,1a b a b ==⋅=，22b a -==== .故选：B. 3. 德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：若集合A 和B 是全集U 的子集，且无公共元素，则称集合,A B 互为正交集合，规定空集是任何集合的正交集合．若全集{}{}221log (1)3,,7100,U x x x A x x x x =<+≤∈=-+<∈N N ∣∣，则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为（ ）A. 8B. 16C. 32D. 64【答案】B【解析】【分析】利用一元二次不等式及对数不等式的解法求出集合,A U ,再计算正交集合的个数即可.【详解】结合题意：因21log (1)3x <+≤，所以222log log (og 21)8l x <+≤，解得218x <+≤，即17x <≤， 所以全集{}{}21log (1)3,2,3,4,5,6,7U xx x =<+≤∈=N ∣， 由27100x x -+<可得25x <<，所以{}{}27100,3,4A x x x x =-+<∈=N ∣， 则集合A 关于集合U 的正交集合B 的个数为4216=.故选：B.4. 某小学为提高课后延时服务水平和家长满意度，对该校学生家长就服务质量、课程内容、学生感受、家长认可度等问题进行随机电话回访．某天共回访5位家长，通话时长和评分情况如下表： 时长x （分钟） 10 12 1415 19 评分y 60 m 75 1.25m + 90根据散点图分析得知y 与x 具有线性相关关系且求得其回归方程为ˆ 3.229.8yx =+，则m =（ ） A. 61B. 63C. 65D. 67【答案】C【解析】【分析】先由题意求得,x y ，再利用样本中心()x y 在回归直线上列式即可得解. 为【详解】依题意，得()11012141519145x =⨯++++=， ()16075 1.2590460.445y m m m =⨯+++++=+， 将样本中心(),x y 代入回归方程ˆ 3.229.8yx =+， 得460.44 3.21429.8m +=⨯+，解得65m =.故选：C.5. 已知函数())(0)f x x ωϕω=+>满足对于任意x ∈R 都有π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.若函数()f x 在区间ππ,82⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，则ω的最大值为（ ） A. 3 B. 214 C. 154 D. 5 【答案】A【解析】【分析】根据题意得到()f x 的图象关于直线π3x =对称，从而三角函数的性质得到关于ω的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则()f x 在π3x =取得最值， 所以()f x 的图象关于直线π3x =对称，且πππ,382⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 又函数()f x 在区间ππ,82⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点，设()f x 的最小正周期为T ， 所以ππππ23438T -≤<-，即ππ5π6224ω≤<，所以1235ω<≤. 所以ω的最大值为3.故选：A.6. 已知a ，b 均为正实数，且满足132a b +=，则232123a b +--的最小值为（ ）A. 2B.C.D. 【答案】B【解析】【分析】先将132a b+=化为32a b ab +=，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得. 【详解】因为a ，b 均为正实数，且132a b +=，得32a b ab +=， 所以()()236496496492123212346233a b a b a b a b a b ab a b +-+-+-+===------+， 又()1131418646418922b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当418,132,b a a b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩232123a b +≥--. 故选：B.7. 陀螺是中国传统民俗体育游戏，流传甚广，打陀螺已被列入第五批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．陀螺结构分为上下两部分：上部分为木质件，下部分为球形钢珠．其中木质件的形状为上部是底面半径为2.2cm ，高为1.63cm 的圆柱，下部为上底半径为2.2cm ，下底半径为0.21cm ，高为0.78cm 的圆台．若陀螺的木质件由一个球形原料经车床一次性车制而成，那么原料的半径最小为（ ）A. 2.21cmB. 2.22cmC. 2.23cmD.【答案】A【解析】 【分析】根据给定信息，可得陀螺的木质件几何体内接于原料球，再作出轴截面，结合勾股定理计算即得.【详解】依题意，当陀螺的木质件几何体内接于原料球，即圆柱的上底面圆与圆台下底面圆均为球的截面小圆时，所用原料的半径最小，如图，取几何体的轴截面，其中O 为球心，21,O O 分别为圆柱的上底面圆与圆台下底面圆的圆心， 矩形ABEF 是圆柱的轴截面，等腰梯形BCDE 是圆台的轴截面，点12,,O O O 共线，则12 1.630.78 2.41O O =+=，120.21,2,2O D O F ==，设球半径为2,R OOx =，而2222222211O F O O OF O D O O OD⎧+=⎨+=⎩，于是2222222.20.21(2.41)x R x R ⎧+=⎨+-=⎩，解得0.21, 2.21x R ==， 所以原料的半径最小为2.21cm .故选：A8. 已知圆221:4C x y +=上有一动点P ，圆222:(2)(3)1C x y -+-=上有一动点Q ，直线:30l x y -+=上有一动点M ，直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，则||||PM QM +的最小值为（ ）A 4 B. 5C.D. 【答案】D【解析】【分析】设出()00,3M x x +，利用直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，表示出||||PM QM +，并进行转化为,A B 到N倍.利用三点共线即可求出最小值.【详解】由圆221:4C x y +=可得圆心()10,0C ，半径为12r =，由圆222:(2)(3)1C x y -+-=可得圆心()22,3C ，半径为21r =，设直线:30l x y -+=上有一动点()00,3M x x +，因为直线PM 与圆1C 相切，直线QM 与圆2C 相切，所以PM QM +=， 即PM QM +=+=+=， .即PM QM +=+，设()031,,1,,,022A B N x ⎛⎛⎫- ⎪ ⎝⎭⎝，则)PM QM AN BN +=+≥,当且仅当,,A B N 三点共线时取等号.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用直线与圆相切表示出||||PM QM +，并进行转化为为,A B 到N 点的距离问题.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知π53,0,,cos(),sin()2135αβαβαβ⎛⎫∈+=-= ⎪⎝⎭，则（ ） A. 12sin()13αβ+= B. 4cos()5αβ-=- C. 63sin 265α= D. tan 33tan 7αβ= 【答案】ACD【解析】【分析】由同角三角函数的平方关系计算sin()αβ+和cos()αβ-验证AB 选项；[]sin 2sin ()()ααβαβ=++-，由两角和的正弦公式计算验证C 选项；由sin()αβ+和sin()αβ-算出sin cos αβ和cos sin αβ，计算tan tan αβ验证D 选项. 【详解】π53,0,,cos(),sin()2135αβαβαβ⎛⎫∈+=-= ⎪⎝⎭， 则ππ0,,0,22αβαβ⎛⎫⎛⎫+∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12sin()13αβ+==，A选项正确；4cos()5αβ-==，B选项错误；[]1245363sin2sin()()sin()cos()cos()sin()13513565ααβαβαβαβαβαβ=++-=+-++-=⨯+⨯=，C选项正确；由3sin()sin cos cos sin512sin()sin cos cos sin13αβαβαβαβαβαβ⎧-=-=⎪⎪⎨⎪+=+=⎪⎩，有1232sin cos1351232cos sin135αβαβ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3tan sin cos3353tan cos si712131n5213ααββαβ+===-，D选项正确.故选：ACD10. 双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应用．在空间直角坐标系中，将一条xOz平面内开口向上的抛物线沿着另一条yOz平面内开口向下的抛物线滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为22222(0,0)x yz a ba b-=>>，则下列说法正确的是（）A. 用平行于xOy平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线B. 用法向量为()1,0,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线C. 用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线D. 用过原点且法向量为()1,1,0的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线【答案】AB【解析】【分析】利用空间向量的相关知识，结合马鞍面的标准方程，逐一变换方程判断各选项即可得解.【详解】因为马鞍面的标准方程为22222(0,0)x y z a b a b-=>>，对于A ，平行于xOy 平面的面中z 为常数，不妨设为()000z z ≠，得220222x y z a b-=，故所得轨迹是双曲线.，故A 正确； 对于B ，法向量为(1,0,0)的平面中x 为常数，不妨设为0x ，则222222b x y b z a=-+，为抛物线方程，故B 正确；对于C ，垂直于y 轴的平面中y 为常数，不妨设为0y ，则222222a y x a z b=+，为抛物线方程，故C 错误；对于D ，不妨设平面上的点坐标为(,,)A x y z ，因为平面过原点且法向量为(1,1,0)n =，由0OA n ⋅=，得0x y +=，故y x =-，代入马鞍面标准方程，得222112x z a b ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 当a b =时，方程为0z =，不是物物线，故D 错误. 故选：AB.11. 已知函数()f x 是定义在R 上的连续可导函数，且满足①32(2)()26128f x f x x x x --=-+-，②()f x 为奇函数，令3()()g x f x x =+，则下列说法正确的是（ ）A. ()g x 的图象关于1x =对称B. (1)3f '=-C. 3(2024)2024f =D. 2(2023)32023f '=-⨯【答案】ABD 【解析】【分析】对于选项A:由3()()g x f x x =+，得3(2)(2)(2)g x f x x -=-+-两式相减整理得()(2)0g x g x --=即可判断；对于选项B:易得(1)0g '=，通过2()()3g x f x x ''=+，令1x =计算即可;对于选项C:结合奇偶性与对称性求出周期，利用3()()g x f x x =+计算即可；对于选项D:利用()g x 的周期性与奇偶性可得()g x '的周期性与奇偶性，利用2()()3g x f x x ''=+计算即可. 【详解】对于选项A:由3()()g x f x x =+，则3(2)(2)(2)g x f x x -=-+-, 所以()()33(2)(2)(2)g x g x f x f x x x --=-+---,因为32(2)()26128f x f x x x x --=-+-，所以()()32612(2)(802)2g x g x f x f x x x x --=---++=-，所以()g x 的图象关于1x =对称，故选项A 正确；对于选项B: 因为()g x 的图象关于1x =对称，所以(1)0g '=，因为2()()3g x f x x ''=+，故(1)(1)30g f ''=+=，所以(1)3f '=-,故选项B 正确；对于选项C:因为()f x 为奇函数，所以3()()g x f x x =+为奇函数，即()g x 关于()0,0对称，结合()g x 的图象关于1x =对称， 可得()g x 的周期为2144104T x x =-=-=，因为3()()g x f x x =+，所以()()3(2024)0020242024g g f ===+，所以3(2024)2024f =-，故选项C 错误；对于选项D:因为3()()g x f x x =+是周期为4的奇函数， 故2()()3g x f x x ''=+是周期为4的偶函数，所以()2(2023)(1)(1)020*******g g g f ''''=-===+⨯，故2(2023)32023f '=-⨯，故选项D 正确. 故选项：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是得出3()()g x f x x =+是周期为4的奇函数，借助导数，充分利用奇偶性、对称性与周期性是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．第14题第一空2分，第二空3分．12. 已知()()42260126223x xx a a x a x a x ++=++++ ，则4a =__________．【答案】144 【解析】【分析】对所给二项式合理变形，求展开项系数即可. 【详解】在()()42260126223x x x a a x a x a x ++=++++ 中，而()()()()444222232232x x x x x x x ++=+++，由二项式定理知()42x +展开式的通项为414C 2rrr r T x-+=，令42-=r ，解得2r =，令43r -=，1r =， 故22134442C 3C 21442a ⨯⨯=⨯+⨯=. 故答案为：144.13. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点P 为第一象限内椭圆上一点，12F PF △的内心为(I ，且130F PI ∠=︒，则椭圆的离心率为__________．【解析】【分析】结合内切圆得性质，并设1122,,FQ F M m F N F Q n ====结合余弦定理求出2n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再借助离心率公式计算即可.【详解】如图由12F PF △的内心为(I设该内切圆与12F PF △的三边的切点为,,M N Q ,所以IM IN IQ ===,又130F PI ∠=︒，所以3PM PN ==,1260F PF ∠=︒,设1122,,FQ F M m F N F Q n ==== 在12F PF △中由余弦定理可得：()()()()()22233cos 60233m n m n m n +++-+︒=++，化简得：3,m n mn ++=由12F PF △的内心为(I 可知()1,0Q ，在椭圆中易知12FO F O =,即11,m n -=+即2m n =+，联立23m n m n mn =+⎧⎨++=⎩，解得2n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的离心率为1212226F F c c m n e a a PF PF m n +======+++..14. 已知数列{}n a 满足12a =，且2142n n n a a a +=++，则n a =__________；令11131n n n b a a +=+++，若{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =__________．【答案】 ①. 222n- ②.1211321n +-- 【解析】【分析】先利用构造法证得(){}4log 2n a +是等比数列，从而求得n a ，再利用倒数法得到11111n n n b a a +=-++，从而利用裂项求和法即可得解. 【详解】由2142n n n a a a +=++，可得21244n n n a a a ++=++，即()2122n n a a ++=+，两边取以4为底的对数得()()414log 22log 2n n a a ++=+， 又()()414log 2log 2210a +=+=≠，则数列(){}4log 2n a +是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以()14log 22n n a -+=，所以1224222n nn a -=-=-；由2142n n n a a a +=++，得()()2114313n n n n n a a a a a ++=++=++，则()()111111113213n n n n n a a a a a +⎛⎫==- ⎪+++++⎝⎭，得1211113n n na a a +=-+++，故1111113111n n n n n b a a a a ++=+=-++++， 所以12231111111111111n n n S a a a a a a +-+-++-+=+++++ 1211111111321n n a a ++=-=-++-. 故答案为：222n-；1211321n +-- 【点睛】关键点点睛：本题第二空解决的关键是通过观察法与倒数法得到11111n n n b a a +=-++，从而得解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数21()ln (0)2m f x x m x =+->． （1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若1()2f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）302x y +-=（2）e,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求得()f x 的最小值，从而得到关于m 的不等式，解之即可得解.小问1详解】因为21()ln (0)2m f x x m x =+->，所以233122()(0)m x mf x x x x x-'=-=>， 当1m =时，211()ln 2f x x x =+-，232()x f x x-'=， 故11(1)122f =-=，(1)1f '=-， 【所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1(1)2y x -=--，即302x y +-=. 【小问2详解】由（1）得233122()(0)m x mf x x x x x-'=-=>， 因为0m >，所以由()0f x '=，得x =，所以当x ∈时，()0,()'<f x f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()0,()'>f x f x 单调递增；所以min ()ln f x f ==， 因为1()2f x ≥恒成立，所以min 1()ln 2f x =≥，解得e 2m ≥， 所以实数m 的取值范围为e,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点F 到一条渐近线的距离为1，且双曲线左支上任意一点M 到F的距离的最小值为2+． （1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线:1l y kx =+交C 于A 、B 两点，O 为坐标原点，若10OA OB ⋅=，求直线l 的斜率k 的值．【答案】（1）2213x y -=（2）k = 【解析】【分析】（1）根据已知条件建立方程组，求出21c b a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，写出双曲线方程即可.（2）联立22131x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩,借助韦达定理表示出10OA OB ⋅= ，解出斜率k 即可.【小问1详解】结合题意可知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c ，渐近线为b y x a =±，所以右焦点F到一条渐近线的距离为1d ==，因为双曲线左支上任意一点M 到F的距离的最小值为2+，所以2a c +=+所以22221a c c a b ⎧+=+==+⎩，解得21c b a ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C 的方程为2213x y -=. 【小问2详解】由（1）问可知双曲线C 的方程为2213x y -=，设()()1122,,,,A x y B x y 则()()1122,,,OA x y OB x y ==， 联立22131x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2213660k x kx ---=，所以()()222130Δ3641360k k k ⎧-≠⎪⎨=--⨯->⎪⎩，解得k <<k ≠ 所以12122266,1313k x x x x k k -+==--， 所以()()()2121212121111y y kx kx k x x k x x =++=+++=，因为10OA OB ⋅=，所以21212611013OA OB x x ky y ⋅=+-+=-=，解得k =，此时满足k <<k ≠ 故直线l的斜率k =.17. 已知在多面体PQABCD 中，平面PADQ ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，四边形PADQ 为矩形，其中M 和N 分别为AD 和AP 的中点，5,==2AB BC AD DC ==．（1）证明：平面BMN ⊥平面QDC ；（2）若二面角N BM C --的余弦值为BQ 与平面BMN 所成角的正弦值． 【答案】17. 证明过程见解析18.【解析】【分析】（1）作出辅助线，由余弦定理求出π3BCD AHB ∠=∠=，2754BF =，从而由勾股定理逆定理得到BF ⊥CF ，由面面垂直得到线面垂直，进而得到QD ⊥BF ，从而证明出线面垂直，面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，由余弦定理得到MB =，1,,02N t t ⎫->⎪⎪⎭，求出平面的法向量，从而根据二面角的余弦值大小得到方程，求出1t =，再利用线面角的向量求解公式得到答案. 【小问1详解】过点A 作//AH CD 交BC 于点H ， 则2,2AH CD AD CH ====，因为5BC =，所以523BH =-=， 延长BM 交CD 的延长线于点F ，AB =，在ABH 中，由余弦定理得2224971cos 22232AH HB AB AHB AH HB +-+-∠===⋅⨯⨯，故π3AHB ∠=，则π3BCD AHB ∠=∠=， 因为M 为AD 的中点，故1DM =，在BCF △中，//DM BC ，由相似关系可知15FD DM FC BC ==， 又2CD =，故125FD FD =+，解得12FD =，故15222CF =+=， 在BCF △中，由余弦定理得222π2551752cos252534224BF CB CF CB CF =+-⋅=+-⨯⨯⨯=， 故222BF CF CB +=，所以BF ⊥CF ， 因为四边形PADQ 为矩形，所以QD ⊥AD ，因为平面PADQ ⊥平面ABCD ，交线为AD ，QD ⊂平面PADQ ， 所以QD ⊥平面ABCD ，因为BF ⊂平面ABCD ，所以QD ⊥BF ， 因为CF QD D = ，,CF QD ⊂平面CDQ ， 所以BF ⊥平面CDQ ，又BF ⊂平面BMN ，所以平面BMN ⊥平面CDQ ；【小问2详解】过点M 作//MG CD 交BC 于点G ，作//MS DQ 交PQ 于点S ，则由（1）知MG ⊥MB ，MS ⊥平面ABCD ，因为,MB MG ⊂平面ABCD ，所以MS ⊥MB ，MS ⊥MG ，故MG ，,BM MS 两两垂直，故以M 为坐标原点，,,MB MG MS 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，由平行关系可知，四边形CGMD 为平行四边形，故π3DMG ∠=，故π6AMB ∠=， 在ABM 中，由余弦定理得222cos 2AM MB AB AMB AM MB+-∠=⋅，2172MB MB+-=，解得MB =，()()5,0,0,0,,02B M C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设1,,02N t t ⎫->⎪⎪⎭，平面NBM 的法向量为(),,m x y z = ， 则()()(),,011,,,022m MB x y z m MN x y z t x y zt ⎧⋅=⋅==⎪⎪⎨⎫⋅=⋅-=-+=⎪⎪⎪⎪⎭⎩ ， 解得0x =，令1z =，则2y t =，故()0,2,1m t = ，平面BMC 的法向量为()0,0,1n =， 则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ ， 因为二面角N BMC --的余弦值为=， 解得1t =， 故2AP =，()0,2,1m = ，1,22Q ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，1,22BQ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BQ与平面BMN所成角的大小为θ，则sin cos,BQ θ=故直线BQ与平面BMN.18. 现有红、绿、蓝三种颜色的箱子，其中红箱中有4个红球，2个绿球，2个蓝球；绿箱中有2个红球，4个绿球，2个蓝球；蓝箱中有2个红球，2个绿球，4个蓝球，所有球的大小、形状、质量完全相同．第一次从红箱中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；第二次要从与第一次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后将球放回去；以此类推，第1k+次是从与第k次记录颜色相同的箱子中随机抽取一球，记录颜色后放回去，记第n次取出的球是红球的概率为n P．（1）求第3次取出的球是蓝球的概率；（2）求n P的解析式．【答案】（1）21 64（2）121(*) 334n nP n=+⋅∈N【解析】【分析】（1）先设定第k次分别取出红、绿、蓝球等3个事件的概率，分析得出第1k+次取出蓝球的概率，建立起第1k +次取出蓝球的概率与第k 次取出蓝球的概率间的递推关系式，变形构造成等比数列，解之即可；（2）同理，先设定第k 次分别取出红、绿、蓝球等3个事件概率，分析得出第1k +次取出红球的概率，建立起第1k +次取出红球的概率与第k 次取出红球的概率间的递推关系式，变形构造成等比数列，写出通项公式即可；【小问1详解】分别设第k 次取出红球、绿球和篮球的概率为：1()p k 、2()p k 和3()p k ，其中123()()()1p k p k p k ++=，*k ∈N ， 由题意知：141(1)82p ==，221(1)84p ==，321(1)84p ==， 若第k 次取出红球，且第1k +次取出蓝球的概率为：1121()()84p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出绿球，且第1k +次取出蓝球的概率为：2221()()84p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出蓝球，且第1k +次取出蓝球的概率为：3341()()82p k p k ⋅=⋅， 所以第1k +次取出蓝球的概率为：3123111(1)()()()442p k p k p k p k +=⋅+⋅+⋅， 由于123()()()1p k p k p k ++=， 可得：33331111(1)()(1())()2444p k p k p k p k +=⋅+-=⋅+， 若设数列3()k a p k =，上式即为：11144k k a a +=+， 配凑为：1111(343k k a a +-=-，*k ∈N ，其中()1311111,04312a p a ==-=-≠， 数列1{}3n a -(*)n ∈N 是一个以112-为首项，14为公比的等比数列， 则23111(()3124a -=-⨯， 的则2311121(312464a =-⨯=，即321(3)64p =， 即第3次取出的球是蓝球的概率为：2164. 【小问2详解】同上，分别设第k 次取出红球、绿球和篮球的概率为：1()p k 、2()p k 和3()p k ，其中123()()()1p k p k p k ++=，*k ∈N ， 由题意知：141(1)82p ==，221(1)84p ==，321(1)84p ==， 若第k 次取出红球，且第1k +次取出红球的概率为：1141()()82p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出绿球，且第1k +次取出红球的概率为：2221()()84p k p k ⋅=⋅， 若第k 次取出蓝球，且第1k +次取出红球的概率为：3321()()84p k p k ⋅=⋅， 所以第1k +次取出红球的概率为：1123111(1)()()()244p k p k p k p k +=⋅+⋅+⋅， 由于123()()()1p k p k p k ++= 可得：11111111(1)()(1())()2444p k p k p k p k +=⋅+-=⋅+， 由已知，记第n 次取出的球是红球的概率为n P ， 上式即为11144k k P P +=+，有1111(343k k P P +-=-，*k ∈N ， 其中()1111111,0236P p P ==-=≠， 数列1{}3n P -(*)n ∈N 是一个以16为首项，14为公比的等比数列， 则1111()364n n P --=⨯， n P 的解析式为：121(*)334n n P n =+⋅∈N .19. 设a ，b 为非负整数，m 为正整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为(mod )a b m ≡．（1）求证：()332165mod 7+≡；（2）若p 是素数，n 为不能被p 整除的正整数，则11(mod )p np -≡，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题： ①证明：对于任意整数x 都有130(mod 546)x x -≡；②求方程9730(mod 35)x x x x +--≡正整数解的个数．【答案】（1）证明见详解；（2）① 证明见详解；② 35.【解析】【分析】（1）由二项式定理证明3321+被7除所得的余数为2，即可证明结论；(2)①由费马小定理证明130(mod13)x x -≡，130(mod 2)x x -≡，130(mod 3)x x -≡，进而即可证明结论；②将()()973271x x x x x x x +--=+-和()()9735421x x x x x x x x +--=-++，结合①的结论即可得到9370(mod 7)x x x x +--≡和9370(mod 5)x x x x +--≡，从而得到结果.【小问1详解】因为()1133111111101011111112871C 7C 7C 71==+=++++ ， 所以332被7除所得的余数为1，所以3321+被7除所得的余数为2，又65被7除所得的余数为2，所以()332165mod 7+≡. 【小问2详解】①由费马小定理得121(mod13)x ≡即130(mod13)x x -≡，又()()()()213126661111x x x x x x x x x ⎡⎤-=-=-=+-⎢⎥⎣⎦， 所以130(mod 7)x x -≡，同理：130(mod 2)x x -≡，130(mod 3)x x -≡，的因为2,3,7,13都为素数，23713546⨯⨯⨯=，所以130(mod 546)x x -≡②因为()()()()9732627111x x x x x x x x x x +--=+-=+-，由费马小定理知，对于任意正整数x 都有70(mod )7x x -≡，即9370(mod 7)x x x x +--≡， ()()()()()()()973262242542111111x x x x x x x x x x x x x x x x +--=+-=+-++=-++由费马小定理知，对于任意正整数x 都有50(mod 5)x x -≡，即9370(mod 5)x x x x +--≡，因为5和7互为质数，所以对于任意的正整数x 都有9370(mod 35)x x x x +--≡所以方程9730(mod 35)x x x x +--≡的正整数解的个数为35.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解新定义，然后结合带余除法以及费马小定理等初等数论知识即可顺利求解.。
河北省石家庄市2024届高三教学质量检测(三)数学试卷
石家庄市2024年普通高中学校毕业年级教学质量检测（三）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数2ii z -=，则|z |=（）A.B.C.3D.5【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，再求复数的模长即可.【详解】由已知得2i (2i)i 2i 112i i i i 1z --+====--⨯-，所以z ==，故选：B.2.已知圆221:1C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，则两圆公切线的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系求两圆圆心距及两圆半径，从而可判断两圆位置关系，即可得公切线条数.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径11r =，圆2226890C x y x y +--+=:的圆心()23,4C ，半径24r =，则12125C C r r ===+，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选：C.3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为195,1,627n S a S a ==+，则5S =（）A.25 B.27C.30D.35【答案】A 【解析】【分析】借助等差数列及其前n 项和的性质计算可得公差，结合等差数列求和公式计算即可得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则有()()1117894262a a d a d ++⨯++=，又11a =，则()()62714914d d =⨯+++，解得2d =，则()511425252S ++⨯⨯==.故选：A.4.已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C 的渐近线方程为（）A.y =B.33y x =±C.32y x =±D.233y x =±【答案】B 【解析】【分析】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，由题意可得3=，可求b ，由已知可求a ，可求渐近线方程.【详解】设双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>的上焦点为(0,)c ，双曲线的渐近线方程为0by ax ±=，由点到直线的距离公式可得3b ===，又双曲线()2222:10,0y x C a b a b-=>>a =所以双曲线C 的渐近线方程为30y ±=，即3y x =±.故选：B.5.设,,αβγ是三个不同的平面，,m l 是两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（）A.若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则m l ∥B.若,,m l αβαβ⊂⊂ ，则m l∥C.若,,m l m αβαβ⊥⋂=⊥，则l β⊥ D.若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则αγ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据线面位置关系依次讨论各选项即可得答案.【详解】对于A 选项，若,,m l αβαβ⊥⊂⊥，则//l α或l ⊂α，无法确定m 与l 的关系，错误；对于B 选项，根据面面平行的性质定理，缺少m l ∥的条件，它们可能平行或异面，错误；对于C 选项，根据面面垂直的性质定理，缺少条件l ⊂α，,l β平行、相交或l β⊂均有可能，错误；对于D 选项，若,,l m l m αβγ⋂=⊥ ，则l γ⊥，由面面垂直的判定定理可得αγ⊥，正确.故选：D6.某项活动在周一至周五举行五天，现在需要安排甲、乙、丙、丁四位负责人值班，每个人至少值班一天，每天仅需一人值班，已知甲不能值第一天和最后一天，乙要值班两天且这两天必须相邻，则不同安排方法的种数为（）A.24B.10C.16D.12【答案】D 【解析】【分析】分乙值前两天，乙值后两天及乙不值第一天和最后一天进行讨论即可得.【详解】若乙值前两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙值后两天，则甲有两种选择，共有1222C A 4=，若乙不值第一天和最后一天，共有1222C A 4=，共有44412++=种不同安排方法.故选：D .7.已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（）A.13B.16C.17D.2【答案】C 【解析】【分析】借助()βαβα=+-对已知化简，可求出()tan αβ+的值，再由()()tan tan βαβα=+-可解.【详解】因为()2sin cos sin βαβα=+，即()()2sin cos sin αβααβα⎡⎤+-=+⎣⎦，所以()()()2sin cos 2cos sin cos sin αβααβααβα+-+=+，整理得()()2sin cos 3cos sin αβααβα+=+，变形得()31tan tan 22αβα+==，所以()()()tan tan 1tan tan 1tan tan 7αβαβαβααβα+-⎡⎤=+-==⎣⎦++.故选：C8.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，斜率为()0k k >的直线过F 与C 交于,P Q 两点，若FP FQ -=，则k 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出直线方程，联立曲线后得到横坐标有关韦达定理，结合焦半径公式计算即可得解.【详解】由2:8C y x =可得()2,0F ，则():2PQ l y k x =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立()228y k x y x⎧=-⎨=⎩，得()22224840k x k x k -++=，42421664641664640k k k k ∆=++-=+>，212224884k x x k k++==+，124x x =，由焦半径公式可得1122p FP x x =+=+，2222pFQ x x =+=+，则12FP FQ x x -=-=，则有21284422k x k ++==+，22284422k x k -+==+，21224254x x k ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，解得2k =±，又0k >，故2k =.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是（）A.三项比赛都参加的有2人B.只参加100米比赛的有3人C.只参加400米比赛的有3人D.只参加1500米比赛的有1人【答案】ABD 【解析】【分析】根据总人数和各个项目的人数，可求出三项比赛都参加的人数，从而可判定各选项.【详解】根据题意，设A ={x x 是参加100米的同学}，B ={x x 是参加400米的同学}，C ={x x 是参加1500米的同学}，则()()()card 8,card 7,card 5,A B C ===且()()()card 4,card 3,card 3,A B A C B C === 则()()()card 128754332A B C ⎡⎤=-++-++=⎣⎦ ，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1500米比赛的有1人.故选：ABD10.函数()()ππ4sin 02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.π6ϕ=-B.()f x 的图象关于直线πx =对称C.()12π4cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.若方程()2f x =在()0,m 上有且只有5个根，则26π,10π3m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据图象可求得函数()f x 的解析式，再根据三角函数的性质依次判断各选项.【详解】对于A ，由()02f =-，得4sin 2ϕ=-，即1sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π6ϕ∴=-，故A 正确；对于C ，又()f x 的图象过点π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 036ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ36k ω∴-=，即得132k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，12ω∴=，所以()1ππ12π12π4sin 4sin 4cos 2622323f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于B ，因为()1π4sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，而()ππππ4sin 4sin 263f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭故直线πx =不是函数()f x 的对称轴，故B 错误；对于D ，由()2f x =，得12π1cos 232x ⎛⎫-=⎪⎝⎭，解得2π4πx k =+或2π4π3k +，Z k ∈，方程()2f x =在()0,m 上有5个根，从小到大依次为：2π14π26π,2π,,6π,333，而第7个根为10π，所以26π10π3m <≤，故D 正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 的中点，则下列说法正确的有（）A.若点O 为BD 中点，则异面直线MO 与1CC 所成角的余弦值为5B.若点N 为线段BC 上的动点（包含端点），则MN DN +C.若点P 为CD 的中点，则平面AMP 与四边形11CDD C D.若点Q 在侧面正方形11ADD A 内（包含边界）且1MQ AC ⊥，则点Q 【答案】BD 【解析】【分析】取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，可判断A ；将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，根据两点间线段最短可判断B ；对于C ，如图以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，取11A B 靠近1B 的四等分点，则可证明//MF AP ，判断C ；并确定点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A 内的线段，判断D.【详解】对于A ，取BC 中点E ，连接,,ME MO OE ，则1//CC ME ，所以OME ∠为异面直线MO 与1CC 所成角，在Rt OEM △中，25cos 5ME OME OM ∠==，故A 错误；对于B ，将侧面11BCC B 延BC 旋转至与平面ABCD 共面，如图连接DM ，交BC 与点N ，此时MN DN +最小，且MN DN DM +===B 正确；对于C ，如图，以点D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,1,0,1,2,2,A P M 因为平面//ABCD 平面1111D C B A ，所以平面AMP 与平面1111D C B A 的交线为过点M 且平行于AP 的直线，取11A B 靠近1B 的四等分点F ，连接FM ，并延长交11C D 于点S ，连接SP ，交1CC 于点T ，由32,,22F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()11,,0,2,1,02MF AP ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则12MF AP =-，则//MF AP ，所以MF 为平面AMP 与平面1111D C B A 的交线，则SP 为平面AMP 与平面11CDD C 的交线，所以TP 为平面AMP 与四边形11CDD C 的交线，由于11Rt Rt FB M SC M ≅ ，所以1112SC FB ==，又1Rt Rt SC T PCT ，所以43CT =，则53PT ==，故C 错误；对于D ，因为点Q 在侧面正方形11ADD A 内，设(),0,Q x z ，则()()12,2,2,1,2,2A C MQ x z =--=---，因为1MQ AC ⊥，所以()()214220x z -----=，化简为1x z +=，则点Q 的轨迹为直线1x z +=在正方形11ADD A，故D 正确.故选：BD【点睛】关键点睛：本题选项D 为空间动点轨迹的探索问题，解答本题的关键是利用空间直角坐标系探索出动点的轨迹.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.为了解全市高三学生的体能素质情况，在全市高三学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并将这1000名学生的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图．则直方图中实数a 的值为______．【答案】0.015【解析】【分析】利用直方图直方块总面积为1，进行运算解出a 即可.【详解】由直方图可知：组距为10，所以()100.0050.0200.0400.0201a ⨯++++=，解得0.015a =.故答案为：0.015.13.给定函数()()21,f x x x g x x x=+=+，用()M x 表示()(),f x g x 中的较大者，记()()(){}max ,M x f x g x =．若函数()y M x =的图象与y a =有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是______．【答案】()10,2,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】在同一坐标系下画出()()21,f x x x g x x x=+=+的图象，求出交点坐标；结合图象再做出满足条件的直线y a =，进而求出a 的取值范围即可.【详解】由()()()2221010x x x x f x x x x x x ⎧+≤-≥⎪=+=⎨---<<⎪⎩或，()1g x x x =+，因为()()(){}max ,M x f x g x =，所以图象变为：其中()()2max1104x xx +=-≤≤，当且仅当12x =-时取最大值；且设两函数在第一象限的交点为P ，即当0,0x y >>，()()21f x x xg x x x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，解得：()1,2P ，由题意y a =与函数()y M x =的图象有3个不同的交点，由数形结合易知：10a 4<<，或2a >，故答案为：()10,2,4∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭.14.已知数列{}n a 满足：12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，定义：()mod4a b ≡表示整数a 除以4的余数与整数b 除以4的余数相同，例：()()19mod4,622mod4≡≡．设()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，其中*k ∈N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则4b =______；满足2024m S ≥的m 最小值为______．【答案】①.2②.40【解析】【分析】由12211,2,2n n n a a a a a ++==-=，可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，则得当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，即可得4b ，取()*4n s s =∈N，计算出nS后，再计算40S 及39S 即可得解.【详解】由212n n n a a a ++-=，则3415a =+=，410212a =+=，则1a 、2a 、3a 都不是4的倍数，4a 是4的倍数，5432a a a =+，不是4的倍数，65443252a a a a a =+=+，不是4的倍数，76543434321042125a a a a a a a a a =+=+++=+，不是4的倍数，87643434322410522912a a a a a a a a a =+=+++=+，是4的倍数，依次可得当n 为4的倍数时，n a 也是4的倍数，当n 不为4的倍数时，n a 也不是4的倍数，由()()42,0mod4,123mod4kk k k a b k a ⎧⎪≡=⎨≡⎪⎩或或，则有当k 是4的倍数时，42kk b =，当k 不是4的倍数时，k b k =，则44422b ==；当()*4n s s =∈N，12123256722snS=+++++++++ ()212344222484s s s =+++++++++-+++ ()()()212144442122ss s s s -+⨯+=+--21221822222622s s s s s s s ++=++---=+-，当40n =，即10s =时，有14021610226002048226462024S =⨯+-=+-=>，01040394264622646102416222024S b S =-=-=-=<，故满足2024m S ≥的m 最小值为40.故答案为：2；40.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助题意，得到当k 是4的倍数时，42kkb =，当k 不是4的倍数时，k b k =，从而可通过计算当()*4n s s =∈N 时的n S .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．（1）若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值；（2）求ABC 面积的最大值．【答案】（1）14（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得sin ,sin 66a bA B ==，从而可求sin sin A B ⋅的值；（2）利用基本不等式可得22218a b ab +≥=，再根据余弦定理可得cos C 的范围，从而可得sin C 的范围，结合三角形面积公式，即可得ABC 面积的最大值．【小问1详解】由正弦定理6sin sin sin c b a C B A ===，可得sin ,sin 66a bA B ==，91sin sin 66364a b A B ∴⋅=⋅==【小问2详解】9ab = ，22218a b ab ∴+≥=，由余弦定理可得2222161cos 2189a b c ab C ab +--=≥=，1cos 19C ∴≤<，()28001cos 81C ∴<-≤，0sin 9C ∴<≤，19sin sin 22S ab C C ∴==≤，当且仅当3a b ==时，等号成立，此时ABC 面积取得最大值16.在推动电子制造业高质量发展的大环境下，某企业统筹各类资源，进行了积极的改革探索．下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量()315x x ≤≤（件）与相应的生产总成本y （万元）的四组对照数据．x57911y200298431609企业研究人员建立了y 与x 的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：经验回归方程①：311733ˆx y =+；经验回归方程②：26860ˆ1yx =-．其中经验回归方程①的残差图如图所示（残差=观测值-预测值）：（1）在下表中填写经验回归方程②的残差，根据残差分析，判断哪一个经验回归方程更适宜作为y 关于x 的回归方程，并说明理由；x57911y200298431609ˆe（2）从该企业在过去几年生产的该产品中随机抽取100件，优等品有60件，合格品有40件．每件优等品利润为20万元，每件合格品利润为15万元．若视频率为概率，该企业某月计划生产12件该产品，记优等品件数为X ，总利润为Y ．（ⅰ）求Y 与X 的关系式，并求()E X 和()E Y ；（ⅱ）记该月的成本利润率p ，在（1）中选择的经验回归方程下，求p 的估计值．（结果保留2位小数）附：成本利润率=总利润总成本.【答案】（1）残差数据表见解析，经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程（2）（ⅰ）1805Y X =+，()7.2E X =，()216E Y =；（ⅱ）0.29【解析】【分析】（1）先列出经验回归方程②的残差数据表以及经验回归方程②的残差图，对比回归方程①进行选择，并给出理由即可；（2）对于（ⅰ），先求出优等品的概率，分析得出()12,0.6X B ~，进而得出求Y 与X 的关系式，并解出()E X 和()E Y 即可；对于（ⅱ），由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），再求出p 的估计值即可.【小问1详解】经验回归方程②的残差数据如下表：x57911y200298431609ˆe 2018-21-21经验回归方程②的残差图如图所示：经验回归方程①更适宜作为y 关于x 的回归方程.（以下理由或其他合理的理由，说出一条即可得分）：理由1：经验回归方程①这4个样本点的残差的绝对值都比经验回归方程②的小.理由2：经验回归方程①这4个样本的残差点落在的带状区域比经验回归方程②的带状区域更窄.理由3：经验回归方程①这4个样本的残差点比经验回归方程②的残差点更贴近x 轴.【小问2详解】（ⅰ）由题意知，每件产品为优等品的概率0600.6100P ==，则()12,0.6X B ~，因此()120.67.2E X =⨯=，由()2015125180Y X X X =+⨯-=+，则()()5180216E Y E X =+=；（ⅱ）由（ⅰ）知总利润为216万元，总成本估计值319ˆ12173743y =+=（万元），则2160.29749p =≈.17.已知函数()()()211ln 02f x x a x a x a =-++>．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2a =时，若函数()()211e 2x g x f x x -=-+，求函数()g x 极值点的个数．【答案】（1）答案见解析（2）2【解析】【分析】（1）求导得()()21x a x af x x'-++=，分类讨论当01a <<，1a >，1a =时分别确定导函数的符合从而得函数单调性即可；（2）求导得()12e 3x g x x --+'=，令()12e 3x h x x-=-+，求导确定其单调性与最值，从而可得()g x 的单调与极值情况.【小问1详解】()()()211x a x a a f x x a x x-++=-++='()()1,0x x a x x --=>，当01a <<时，当()()0,,1,x a x ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当(),1x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减．当1a >时，当()()0,1,,x x a ∞∈∈+时，()()0,f x f x '>单调递增；当()1,x a ∈时，()()0,f x f x '<单调递减；当1a =时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+单调递增．【小问2详解】2a =时，()()112e32ln ,e 3x x g x x x g x x--=-+-+'=，设()()()11222e3,e ,x x h x h x h x x x--=-+-''=在区间()0,∞+单调递增．因为()()1110,2e 02h h ''=-=-，所以存在唯一()01,2x ∈使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()()0,h x h x '<单调递减，即()g x '单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,h x h x '>单调递增，即()g x '单调递增．()10g '=，且()g x '在()01,x 单调递减，所以()00g x '<，又()2e 20g ='->因此()g x '在区间()0,2x 存在唯一零点t当()()0,1,,x x t ∞∈∈+时，()()0,g x g x '>单调递增；当()1,x t ∈时，()()0,g x g x '<单调递减；所以()g x 极值点为1,t ，因此()g x 极值点个数为2.18.如图，在五棱锥S ABCDE -中，平面SAE ⊥平面AED ，,AE ED SE AD ⊥⊥．（1）证明：SE ⊥平面AED ；（2）若四边形ABCD 为矩形，且1,3SE AB AD ===，2BN NC =．当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时，求三棱锥D SAE -体积．【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）借助面面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理推导即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量可得当直线DN 与平面SAD 所成的角最小时EAD ∠的大小，结合体积公式计算即可得解.【小问1详解】因为平面SAE ⊥平面,,AED DE EA DE ⊥⊂平面AED ，平面SAE 平面AED AE =，所以DE ⊥平面SAE ，又SE ⊂平面SAE ，所以DE SE ⊥，又因为,SE AD ED AD D ⊥= ，且,AD DE ⊂平面AED ，所以SE ⊥平面AED ；【小问2详解】以E 为坐标原点，分别以,,EA ED ES 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设π0,2EAD θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()()3cos ,0,0,0,3sin ,0,0,0,1A D S θθ，可得CD 与y 轴夹角为θ，所以()sin ,cos ,0DC θθ=，()1cos ,sin ,03CN DA θθ==-，()sin cos ,cos sin ,0DN DC CN θθθθ=+=+-，()()3cos ,0,1,0,3sin ,1SA SD θθ=-=- ，平面SAD 的法向量记为(),,n x y z =，由00n SA n SD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得3cos 03sin 0x z y z θθ-=⎧⎨-=⎩，令3sin cos z θθ=，得()sin ,cos ,3sin cos n θθθθ=，22cos ,DN n =，即26cos ,13DN n =，当π4θ=时，等号成立，此时，直线DN 与平面SAD 的所成的角取得最小值，此时119313344D SAE ADE V S SE -=⋅=⋅⋅= .19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(F F O 为坐标原点，直线l 与C 交于,A B 两点，点A 在第一象限，点B 在第四象限且满足直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-．当l 垂直于x 轴时，1232F A F B =- ．（1）求C 的方程；（2）若点P 为C 的左顶点且满足(0,0)OP OA OB λμλμ=+<<，直线PA 与OB 交于1B ，直线PB 与OA交于1A ．①证明：22λμ+为定值；②证明：四边形11AB A B 的面积是AOB 面积的2倍．【答案】（1）2214x y +=（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）取l 垂直x 轴特殊情况研究，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，且1232F A F B ⋅=- 求出A 点坐标，再代入椭圆方程待定系数法求解即可；（2）①由OP OA OB λμ=+建立,,P A B 坐标之间关系，利用,,P A B 在椭圆上及直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-消去1122,,,x y x y ，即可得证；②设()()()()1122133144,,,,,,,,:A x y B x y A x y B x y l x my n =+，利用韦达定理将直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-表示出来即可得到,m n 的关系2224n m =+，再表示出AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠；若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．转化为证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，由题将,y y 34用12,y y 表示，化简即可.【小问1详解】当l 垂直x 轴时，由直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故11:,:22OA y x OB y x ==-，设()()()2,,2,0A t t B t t t ->，则22212343332F A F B t t t ⋅=--=-=- ，解得2t =，即22A ⎫⎪⎪⎝⎭，则222221123a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1a b ==，故C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】（2）①设()()()1122,,,,2,0A x y B x y P -，由OP OA OB λμ=+ 知121220x x y y λμλμ-=+⎧⎨=+⎩①②，将224+⨯①②得()()22121244x x y y λμλμ+++=，即()()()2222221122121244244xy x y x x y y λμλμ+++++=．由,A B 为C 上点，则2222112244,44x y x y +=+=．又直线OA 与直线OB 的斜率之积为14-，故121214y y x x =-，即121240x x y y +=．因此221λμ+=；②由题直线l 斜率不为0，设()()()1122:,,,,,2,0l x my n A x y B x y P =+-由①联立2244x y x my n⎧+=⎨=+⎩，消去x 得()()222224240,Δ1640m y mny n m n+++-==+->，212122224,44mn n y y y y m m -+=-=++，由()()12121212440x x y y my n my n y y +=+++=，即()()()()2212121212440my n my n y y m y y mn y y n +++=++++=，即2224n m =+．因此有()()22212121212122244,,42m n y y y y y y y y y y n n n-+=-=-=+-=．AOB 面积11sin 2S OA OB AOB =⋅⋅∠，四边形11AB A B 的面积2111sin 2S A A B B AOB =⋅⋅∠，即若要证212S S =，只需证112A A B B OA OB ⋅=⋅．设()()133144,,,A x y B x y ，故只需证3142122y y y y y y -⋅-=⋅即可．直线12122:2,:x xPA x y OB x y y y +=-=，联立解得()12124122212122222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+，同理得()12123211121212222y y y y y x y y x y n y y y ==+--+．故()()()()()2222123142121212222212121224222482824n n y y n y y y y y y y y y y n n n y y n y y y y n n ++⋅--⋅-=⋅⋅=⋅⋅=⋅+-----+-+故问题得证．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将212S S =表示为112A A B B OA OB ⋅=⋅后将同一直线上的弦长比值问题转化为纵坐标的比值问题，即证明3142122y y y y y y -⋅-=⋅，而,y y 34可以用12,y y 表示出来，从而达到消元化简的目的.。
2024届河北省衡水市部分高中高三一模数学试题(解析版)
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题数学（一）（考试时间：120分钟，满分：150分）注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4M =，{}0,3,5N =，则N ()U M = ð（）A.{}0,5B.{}1,2,3,4C.{}1,2,3,4,5 D.U【答案】B 【解析】【分析】根据集合并补运算即可求得.【详解】{}0,1,2,3,4,5U =，{}0,3,5N =，所以{}1,2,4U N =ð，所以(){}1,2,3,4U M N = ð，故选：B.2.已知复数z 满足(43i)i z +=-，则z 的虚部为（）A.425-B.425 C.4i 25-D.4i 25【答案】A 【解析】【分析】由复数除法运算法则直接计算，结合复数的虚部的概念即可求解.【详解】因为(43i)i z +=-，所以()()()i 43i i 34i 43i 43i 43i 2525z ---===--++-，所以z 的虚部为425-.故选：A.3.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移ϕ个单位后得到函数()g x 的图象，若函数()()y f x g x =+的最大值为a ，则a 的值不可能为（）A.1B.1C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据图象的平移变换得到()()sin 22g x x ϕ=+，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到()()()2y f x g x x α=+=+，最后根据三角函数的性质求a 的范围即可.【详解】由题意得()()sin 22g x x ϕ=+，则()()()sin 2sin 22y f x g x x x ϕ=+=++sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2x x xϕϕ=++()1cos 2sin 2sin 2cos 2x x ϕϕ=++()2x α=+()2x α=+，sin 2tan 1cos 2ϕαϕ=+，因为[]cos 21,1ϕ∈-[]0,2，所以[]0,2a ∈.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，若1512a a a ⋅⋅为一确定的常数，记数列{}n a 的前n 项积为n T .则下列各数为常数的是（）A.7TB.8T C.10T D.11T 【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件判断出6a 为确定常数，再由此确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，()3411511111512a a q a a a a q q a =⋅⋅=⋅⋅为确定常数，即6a 为确定常数.7712674T a a a a a == 不符合题意；()48127845T a a a a a a == 不符合题意；()5101291056T a a a a a a == 不符合题意；11111210116T a a a a a == 为确定常数，符合题意.故选：D 5.关于函数4125x y x -=-，N x ∈，N 为自然数集，下列说法正确的是（）A.函数只有最大值没有最小值B.函数只有最小值没有最大值C.函数没有最大值也没有最小值D.函数有最小值也有最大值【答案】D 【解析】【分析】先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值.【详解】()22594192252525x x y x x x -+-===+---，52x ¹，由反比例函数的性质得：y 在5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y >，y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，此时2y <，又因为N x ∈，N 为自然数集，所以min y 在5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上取到，2x =时,min 7y =-，同理max y 在5,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上取到，3x =时,max 11y =，所以当N x ∈，N 为自然数集时，函数有最小值也有最大值.故选：D .6.已知函数()πcos 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()πsin 46g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断.【详解】令()11ππ12m k k -=∈Z ，得()11ππ12m k k =+∈Z ，所以曲线()y f x =关于直线()11ππ12x k k =+∈Z 对称．令()22ππ4π62m k k +=+∈Z ，得()22ππ124k m k =+∈Z ，所以曲线()y g x =关于直线()22ππ124k x k =+∈Z 对称．因为()11π{|π}12m m k k =+∈Z ()22ππ{|}124k m m k =+∈Z 所以“曲线()y f x =关于直线x m =对称”是“曲线()y g x =关于直线x m =对称”的充分不必要条件．故选：A.7.O 为坐标原点，F 为抛物线2:8C y x =的焦点，M 为C 上一点，若||6=MF ，则MOF △的面积为（）A. B. C. D.8【答案】C 【解析】【分析】首先根据焦半径公式求点M 的坐标，再代入面积公式，即可求解.【详解】设点()00,Mxy ，()2,0F ,所以026MF x =+=，得04x =，0y =±,所以MOF △的面积011222S OF y =⨯=⨯⨯故选：C8.,,a b c 为三个互异的正数，满足2ln 0,31ba cc a a-=>=+，则下列说法正确的是（）A.2c a b ->-B.2c b a -≤-C.2c a b +<+D.2c a b+≤+【答案】A 【解析】【分析】对于2ln 0cc a a-=>可构造函数()2ln f x x x =-，利用导函数可求出其单调性，利用数形结合可得02a c <<<，对于31ba =+，可在同一坐标系下画出函数x y =及31x y =+的图象，可得02a b <<<，再由不等式性质可知A 正确.【详解】由2ln0cc a a-=>得2ln 2ln c c a a -=-且c a >，构造函数()2ln f x x x =-，所以()21f x x'=-，易得()f x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，其函数图象如下图所示：由图可得02a c <<<，易知函数x y =及31x y =+交于点()2,10，作出函数x y =及31x y =+的图象如下图所示：由图知02a b <<<所以02a b c <<<<，即,2a b c <<，由此可得2a b c +<+，即2c a b ->-.故选：A【点睛】方法点睛：在求解不等式比较大小问题时，经常利用同构函数进行构造后通过函数单调单调性比较出大小，画出函数图象直接由图象观察得出结论.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是（）A.这10个数据中至少有8个数小于或等于31B.把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31C.把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31D.把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31【答案】AB 【解析】【分析】由百分位数的概念可判断.【详解】因为这10个数据的第75百分位数是31，由100.757.5⨯=，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，可知，选项A ，B 正确，C ，D 错误.故选：AB .10.函数()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ ，则下列结论正确的是（）A.()()3.14D D π>B.()D x 的值域为[]2,3C.()()D D x 是偶函数 D.a ∀∈R ，()()D x a D a x +=-【答案】AC 【解析】【分析】根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可.【详解】()3D π=，()3.142D =，()()3.14D D π>，A 正确；()2,3,x D x x ∈⎧=⎨∉⎩QQ，则()D x 的值域为{}2,3，B 错误；x ∈Q 时，x -∈Q ，()()()22D D x D ==，()()()22D D x D -==，所以()()()()D D x D D x =-，x ∉Q 时，x -∉Q ，()()()32D D x D ==，()()()32D D x D -==，()()()()D D x D D x =-，所以()()D D x 为偶函数，C正确；x =时，取1a =()()12D x a D +==，()(13D a x D -=-=，则()()D x a D a x +≠-，D 错误.故选：AC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，轴截面ABCD 为等腰梯形，且满足2224cm CD AB AD BC ====.下列说法正确的是（）A.该圆台轴截面ABCD 的面积为2B.该圆台的表面积为211πcmC.该圆台的体积为3cmD.【答案】AB 【解析】【分析】求出圆台的高12O O 可判断A ；由圆台的表面积和体积公式可判断B ，C ；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆可判断D .【详解】对于A ，由2224cm CD AB AD BC ====，可得高12O O ==则圆台轴截面ABCD 的面积为()214m 22⨯+=，故A 正确；对于B ，圆台的侧面积为()()2π1226πcm S =⋅+⨯=侧，又()22ππm1c S =⨯=上，()22π24πcm S=⋅=下，所以()26ππ41cm π1πS =++=表，故B 正确；对于C ，圆台的体积为()()3173π142πcm 33V =++=，故C 错误；对于D ，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD 存在内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD 不存在内切圆，故D 错误，故选：AB.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知()12f x x=在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，则=a __________.【答案】12-##-0.5【解析】【分析】结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.【详解】因为()12f xx =-，所以21()f x x'=+，因为()f x 在点()()1,1f 处的切线为直线20x y t -+=，所以1(1)12f a '=+=，解得12a =-.故答案为：12-13.已知力123,,F F F ，满足1231N ===F F F ，且123++=F F F 0，则12-=F F ________N.【解析】【分析】将123++=F F F 0变形后平方得到相应结论，然后将12-F F 平方即可计算对应的值.【详解】由123++=F F F 0，可得123+=-F F F ，所以()()22312-=+F F F ，化简可得222312122F =++⋅F F F F ，因为1231===F F F ，所以1221⋅=-F F ，所以12-====F F【点睛】本题考查向量中的力的计算，难度较易.本题除了可以用直接分析计算的方式完成求解，还可以利用图示法去求解.14.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作x 轴的垂线交C 于点P﹒2OM PF ⊥于点M （其中O 为坐标原点），且有223PF MF =，则C 的离心率为______.【答案】622【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于,,a b c 的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得2(,)b P c a -，2(,0)F c ，22(2,b PF c a=- ，设(,)M x y ，2(,)MF c x y =-- ，由223PF MF = 得2(2,3(,)b c c x y a-=--，223()3c c x b y a =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得2133x c b y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21(,)33b M c a ，21(,33b OM c a = ，又2OM PF ⊥，∴42222033b OM PF c a⋅=-= ，c e a =，222b c a =-代入得2222(1)0e e --=，因为1e >故解得622e +=，故答案为：2+．四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，三角形面积为S ，若D 为AC 边上一点，满足,2AB BD BD ⊥=，且223cos 3a S ab C =-+.（1）求角B ；（2）求21AD CD+的取值范围.【答案】（1）2π3（2）3,12⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得tan B =，进而求解即可；（2）在BCD △中由正弦定理可得1sin DC C=，在Rt △ABD 中，可得2sin AD A =，进而得到21sin sin A C AD CD +=+，结合三角恒等变化公式化简可得21πsin 3C AD CD ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可.【小问1详解】2cos 3a S ab C =-+ ，23sin cos 3a ab C ab C ∴=-+，即sin cos 3a b C b C =-+，由正弦定理得，3sin sin sin sin cos 3A B C B C =-+，()3sin sin sin sin cos 3B C B C B C ∴+=-+，cos sin sin sin 3B C B C ∴=-，sin 0C ≠，tan B ∴=由0πB <<，得2π3B =.【小问2详解】由（1）知，2π3B =，因为AB BD ⊥，所以π2ABD ∠=，π6DBC ∠=，在BCD △中，由正弦定理得sin sin DC BDDBC C=∠，即π2sin16sin sin DC C C==，在Rt △ABD 中，2sin sin AD A BD A==，sin sin 21sin si 22n 11A CC CA A D D∴++=+=，2π3ABC ∠=，π3A C ∴+=,21ππππsin sin sin sin sin cos cos sin sin sin 3333A C C C C C C C AD CD ⎛⎫⎛⎫∴+=+=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π03C << ，ππ2π,333C ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，πsin ,132C ⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以21AD CD +的取值范围为3,12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦.16.已知数列{}n a 的前n 项和为,0n n S a >，且2241n n n a a S +=-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1n n n n S b a a +=的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-（2）242n n n T n +=+【解析】【分析】（1）先用()1n +替换原式中的n ，然后两式作差，结合n a 与n S 的关系，即可得到{}n a 为等差数列，从而得到其通项.（2）由（1）的结论，求得n S 及1n a +，代入1n n n n S b a a +=化简，得到n T 的式子，裂项相消即可.【小问1详解】2241n n n a a S +=-Q ，2111241n n n a a S ++++=-，两式作差得:()()1120n n n n a a a a +++--=，102n n n a a a +>∴-=Q ，{}n a ∴成等差数列，又当1n =时，()2110a -=，所以11a =即()11221n a n n =+-⨯=-【小问2详解】由（1）知21n a n =-，则()()1212122n n n a a n n S n ++-===，即()()()()21111212142121n n n n S n b a a n n n n +⎡⎤===+⎢⎥-+-+⎢⎥⎣⎦1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故1111111483352121n n T n n ⎛⎫=+-+-++- -+⎝⎭L 2111482148442n n n n n n n n +⎛⎫=+-=+= ⎪+++⎝⎭.17.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和62⎫⎪⎪⎭两点.12,F F 分别为椭圆的左､右焦点，P 为椭圆上的点（P 不在x 轴上），过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A B ､两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求AB 的范围.【答案】（1）22143x y +=（2）[]3,4【解析】【分析】（1）将点3(1,2代入椭圆方程，即可求出椭圆C 的标准方程；（2）分类讨论直线斜率是否为0，从而假设直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理与弦长公式得到关于m 的关系式，再分析即可得解；【小问1详解】由题意可知，将点3(1,2代入椭圆方程，得222291416241a ba b⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得224,3a b==，所以椭圆的标准方程为22143x y+=.【小问2详解】由（1）知()11,0F-，()21,0F，当直线l的斜率为0时，24AB a==，当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为1x my=+，()11,A x y，()22,B x y，联立221431x yx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x，得22(34)690m y my++-=，易得()22Δ636(34)0m m=++>，则12122269,3434my y y ym m--+==++，所以AB==2221212443434mm m+===-++，因为20m≥，所以2344m+≥，所以240134m<≤+，所以34AB≤<，综上，34AB≤≤，即AB的范围是[]3,4.18.《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图（如图）：（1）从质量指标值在[)55,75的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.（2）经估计知这组样本的平均数为61x =，方差为2241s =.检验标准中55n x ns a ⎧⎫-=⨯⎨⎬⎩⎭，55n x ns b ⎡⎤+=⨯⎢⎥⎣⎦，N n *∈，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示不小于x 的最小整数，s 值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[]11,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[]22,a b 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？【答案】（1）25；（2）详见解析；【解析】【分析】（1）根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；（2）根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论.【小问1详解】由题意可知[)[)55,6565,750.330.22P P ==，所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：223225C C 42C 105P +===;【小问2详解】因为2241s =，知16s ，则11611661165455755 5a b -+⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]45,75内的频率约为0.160.30.266%65%++=>，又22612166121653059055a b -⨯+⨯⎧⎫⎡⎤=⨯==⨯=⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦，，该抽样数据落在[]30,90内的频率约为10.030.040.9393%95%--==<，，所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．19.如图，//AD BC ,且AD ＝2BC ，AD ⊥CD ，//EG AD 且EG ＝AD ，//CD FG 且CD ＝2FG ，DG ⊥平面ABCD ，DA ＝DC ＝DG ＝2.（1）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN //平面CDE ；（2）求平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,根据空间向量可证MN //平面CDE ；（2）利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】证明：依题意，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：可得D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (1，2，0)，C (0，2，0)，E (2，0，2)，F (0，1，2)，G (0，0，2)，3(0,,1)2M ，N (1，0，2)．依题意，DC ＝(0，2，0)，DE ＝(2，0，2)．设0n ＝(x ，y ，z )为平面CDE 的法向量，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，得0y =，令z ＝－1，得1x =，则0(1,0,1)n =- ，又3(1,,1)2MN =- ，可得00MN n ⋅= ，直线MN ⊄平面CDE ，所以MN //平面CDE .【小问2详解】依题意，可得(1,0,0)BC =- ，(1,2,2)BE =- ，(0,1,2)CF =- ，设111(,,)n x y z = 为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得10x =，令11z =，得11y =，则(0,1,1)n =，设222(,,)m x y z = 为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，得20x =，令21z =，得22y =，则(0,2,1)m =，因此有cos ,||||m n m n m n ⋅<>=⋅ 2152=⨯31010=.于是10sin ,10m n <>= .所以平面EBC 和平面BCF 所夹角的正弦值为1010.。
2024-2025学年河北省石家庄高三上学期教学质量检测数学试题及答案
石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}|15A x x =∈≤<R ，{}2|340B x x x =∈--<R ，则A B = （）A ．(]1,1-B ．()1,4-C ．[)1,4D ．[)1,52．已知复数z 满足(1i)23i z +=+，则复数z 的虚部为（ ）A ．12B ．52C ．12-D ．52-3．已知平面向量a ，b 满足()2⋅-=a a b ，且1=a ，2=b ，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．6πB ．23πC ．3πD ．56π4．已知正四棱锥底面边长为2，且其侧面积的和是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为（ ）A B C D ．5．已知sin()2cos()αβαβ+=-，4tan tan 3αβ+=，则tan tan αβ⋅=（ ）A ．3B ．3-C ．13D ．13-6．若数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，490a a +>，110S <，则n S 的最小值为（ ）A ．5S B ．6S C ．7S D ．8S 7．已知双曲线22:148x y C -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过坐标原点的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若112F A F B =，则AB =（ ）A ．B ．C ．D ．48．已知函数()F x 为定义在R 上的奇函数，且在[)0,+∞上单调递减，满足212(log )(log )2(3)f a f a f -≤，则实数a 的取值范围为（ ）A ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,8D ．[)8,+∞二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a ，b ，c 满足0a b c >>>，则下列选项正确的是（ ）A ．a c ab c b+>+B ．lg0a cb c->-C ．b ca b a c>--D ．a b ++>10．已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>，则下列说法正确的是（ ）A ．当3ω=时，()f x 在47,99ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．若12()()2f x f x -=，且12min2x x π-=，则函数()f x 的最小正周期为πC ．若()f x 的图象向左平移12π个单位长度后，得到的图象关于y 轴对称，则ω的最小值为3D ．若()f x 在[]0,2π上恰有4个零点，则ω的取值范围为2329,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．如图，曲线C 过坐标原点O ，且C 上的动点(,)P x y 满足到两个定点1(,0)F a -，2(,0)(0)F a a >的距离之积为9，则下列结论正确的是（ ）A ．3a =B ．若直线y kx =与曲线C 只有一个交点，则实数k 的取值范围为[)1,+∞C ．12PF F △周长的最小值为12D ．12PF F △面积的最大值为92三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．在等比数列{}n a 中，11a =，23464a a a ⋅⋅=，则5a =____________．13．已知函数231,0()44,0x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+<⎪⎩，若y x =与()y f x =的图象相切于A 、B 两点，则直线AB 的方程为____________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成____________部分（用数字作答）．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为2且位于x 轴上方的点，A 到抛物线焦点的距离为52．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 的直线l 交抛物线C 于B 、D 两点（异于O 点），连接OB 、OD ，若12OBF ODF S S =△△，求BD 的长．16．（本小题满分15分）如图，在直四棱柱ABCD A B C D ''''-中，13A G A D '''=，AB BC ⊥，1AB =，BC =，BD =（1）设过点G 、B 、D 的平面交直线A B ''于点M ，求线段GM 的长；（2）若AC BD ⊥，当二面角B AC D ''--为直二面角时，求直四棱柱ABCD A B C D ''''-的体积．17．（本小题满分15分）在ABC △中，AB =，AC =，点D 在边BC 上，且BD CD =．（1）若2BAD π∠=，求BC 的长；（2）若3BAC π∠=，点E 在边AC 上，且12AE EC =，BE 与AD 交于点M ，求cos AMB ∠．18．（本小题满分17分）已知函数e ()x f x x=．（1）当0x >时，求函数()f x 的最小值；（2）设方程21()x f x x+=的所有根之和为T ，且(,1)T n n ∈+，求整数n 的值；（3）若关于x 的不等式()ln e 1f x ax a x ≥-+-恒成立，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分17分）母函数（又称生成函数）就是一列用来展示一串数字的挂衣架．这是数学家赫伯特·维尔夫对母函数的一个形象且精妙的比喻．对于任意数列012,,,,n a a a a ，即用如下方法与一个函数联系起来：2012()n n G x a a x a x a x =++++ ，则称()G x 是数列{}n a 的生成函数．例如：求方程1210100t t t =+++ 的非负整数解的个数．设此方程的生成函数为210()(1)G x x x =+++ ，其中x 的指数代表(1,2,3,,10)i t i = 的值．210()(1)n n n G x x x a x +∞==+++=∑ ，则非负整数解的个数为100a ．若2()1f x x x =+++ ，则23()xf x x x x =+++ ，可得(1)()1x f x -=，于是可得函数()f x 的收缩表达式为：1()1f x x=-．故101000111001001010101()((1)()()()1G x x C x C x C x x----==-=-+-++-+- （广义的二项式定理：两个数之和的任意实数次幂可以展开为类似项之和的恒等式）则10010010010109(10)(11)(101001)10910810100!100!a C C --⨯-⨯⨯--+⨯⨯⨯==== 根据以上材料，解决下述问题：定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12kii ka=≤∑，不同的“规范01数列”个数记为m b ．（1）判断以下数列是否为“规范01数列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）规定01b =，计算1b ，2b ，3b ，4b 的值，归纳数列{}m b 的递推公式；（3）设数列{}m b 对应的生成函数为2012()m m F x b b x b x b x =+++++ ①结合()F x 与2()F x 之间的关系，推导()F x 的收缩表达式；②求数列{}m b 的通项公式．石家庄市2025届普通高中学校毕业年级教学质量摸底检测数学答案一、单选题：1-5CABCD6-8BAD 二、多选题：9．BCD10．ABD11．AD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12．1613．340x y +-=14．23四、解答题：本题共5小题，共77分。
河北省石家庄市美华美术高中2025届高三六校第一次联考数学试卷含解析
河北省石家庄市美华美术高中2025届高三六校第一次联考数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行下面的程序框图，则输出S 的值为 （ ）A ．112-B ．2360C ．1120D ．43602．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9B ．27C ．81D ．833．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21B ．42C ．63D ．844．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini aS=称为基尼系数.对于下列说法：①Gini 越小，则国民分配越公平；②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有()1f x x>；③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2=. 其中正确的是： A ．①④B ．②③C ．①③④D ．①②④5．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54πB ．34π C ．2π D ．3π 6．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ） A ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(,)e -∞C ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,)e7．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，5PA =，E 为PC 的中点，则异面直线BE 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．1339-B ．1339C ．155-D ．1559．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，3AB =，2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD ．82310．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足f x f x (4)(),+=当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，则(3)f =（ ） A ．18-B ．18C ．2-D ．211．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市1月至8月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（ ）A ．1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个B ．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C ．8月是空气质量最好的一个月D ．6月份的空气质量最差.12．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
河北高三高中数学专题试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在二项式5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．52.10的展开式中常数项是( )A ．210B ．C ．D ．－1053.若n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．94.设(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55.如果n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．106.若n 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．367.设(5x －)n 的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N ，若M －N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．－150B ．150C ．－500D ．5008.若n 为奇数，则7n ＋C7n －1＋C7n －2＋…＋C7被9除得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．89.若(2x ＋)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．210.设a 、b 、m 为整数(m ＞0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余．记为a≡b(mod m)．已知a ＝1＋C ＋C·2＋C·22＋…＋C·219，b≡a(mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2015B ．2011C ．2008D ．2006二、填空题1.在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)2.4的展开式中x 3y 3的系数为________．3.已知(x ＋x －)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是______．(以数字作答)4.如果x ＋x 2＋x 3＋…＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 9(1＋x)9＋a 10(1＋x)10，则a 9＝________.5.设函数f(x)＝(1－2x)10，则导函数f′(x)的展开式x 2项的系数为________6.3100被7除的余数为________三、解答题1.在二项式n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．2.在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求的范围．3.若(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.求：(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11；(2)a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.4.设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1，A n ＝Ca 1＋Ca 2＋…＋Ca n .(1)用q 和n 表示A n ；(2)又设b 1＋b 2＋…＋b n ＝.求证：数列是等比数列．河北高三高中数学专题试卷答案及解析一、选择题1.在二项式5的展开式中，含x 4的项的系数是( )A ．－10B ．10C ．－5D ．5【答案】B【解析】【考点】二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为4求得．解：对于T r+1=(x 2)5-r (-)r =(-1)r x 10-3r ，对于10-3r=4，∴r=2，则x 4的项的系数是C 52（-1）2=10故选项为B2.10的展开式中常数项是( )A ．210B ．C ．D ．－105【答案】B【解析】本题考查二项式定理通项为，常数项为x 指数为0的项，所以30-3r-2r=0，即r=6 所以 故选择B3.若n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】【考点】二项式定理的应用．分析：求出）n 的展开式中前三项的系数C n 0、、, 由等差数列知识求出n ，再利用通项公式求出x 4项的系数即可．解：因为n 的展开式中前三项的系数C n 0、、成等差数列， 所以+=，即n 2-9n+8=0，解得：n=8或n=1（舍）． T r+1=x 8-r ()r =()r x 8-2r ．令8-2r=4可得，r=2，所以x 4的系数为()2=7， 故选B4.设(1＋x)8＝a 0＋a 1x ＋…＋a 8x 8，则a 0，a 1，…，a 8中奇数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：利用二项展开式的通项公式判断出展开式中项的系数即为二项式系数，求出所有的二项式系数值，求出项为奇数的个数．解：由（1+x ）8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8可知：a 0、a 1、a 2、、a 8均为二项式系数，依次是C 80、C 81、C 82、、C 88，∵C 80=C 88=1，C 81=C 87=8，C 82=C 86=28，C 83=C 85=56，C 84=70，∴a 0，a 1，，a 8中奇数只有a 0和a 8两个故选A5.如果n 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为( )A ．3B ．5C ．6D ．10【答案】B【解析】【考点】二项式定理的应用．分析：利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为0得方程，求使方程有整数解的最小n 值即可． 解：由展开式通项有T r+1=(3x 2)n-r (-)r =C n r ?3n-r ?（-2）r ?x 2n-5r 由题意得2n-5r=0?n=r(r=0，1，2，，n)，故当r=2时，正整数n 的最小值为5，故选项为B6.若n 展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为( )A ．－84B ．84C ．－36D ．36【答案】B【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：首先利用所有二项式系数和为512，求出n ，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项 解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n =512，则n=9，T r+1=（-1）r C 9r x 18-3r 令18-3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选B ．7.设(5x －)n 的展开式的各项系数之和为M, 二项式系数之和为N ，若M －N ＝240, 则展开式中x 3的系数为( )A ．－150B ．150C ．－500D ．500【答案】B【解析】【考点】二项式系数的性质．分析：利用赋值法及二项式系数和公式求出M 、N 列出方程求得n ，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x 的指数为3得系数．解：(5x-)n 中，令x=1得展开式的各项系数之和M=4n根据二项式系数和公式得二项式系数之和N=2n ∵M-N=240 ∴4n -2n =240解得n=4∴(5x-)n =(5x-)4的展开式的通项为T r+1=(5X)4-r (-)r =(-1)r 54-r x 4-令4-=3得r=2 故展开式中x 3的系数为52C 42=150故选项为B8.若n 为奇数，则7n ＋C7n －1＋C7n －2＋…＋C7被9除得的余数是( )A ．0B ．2C ．7D ．8【答案】C【解析】由组合数的性质知7n +C n 17n-1+C n 27n-2+…+C n n-17=89-1=（9-1）9-1，按照二项式定理展开即可求出结果． 解：由组合数的性质知7n +C n 17n-1+C n 27n-2+…+C n n-17=89-1=（9-1）9-1=99+C 9198（-1）+C 9297（-1）2+…+C 9891（-1）8-2按照二项式定理展开，前边的项都能被9整除，最后一项为-2，故S 除以9的余数为 7故选C9.若(2x ＋)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2【答案】A【解析】略10.设a 、b 、m 为整数(m ＞0)，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余．记为a≡b(mod m)．已知a ＝1＋C ＋C·2＋C·22＋…＋C·219，b≡a(mod 10)，则b 的值可以是( )A ．2015B ．2011C ．2008D ．2006【答案】B【解析】根据已知中a 和b 对模m 同余的定义，结合二项式定理，我们可以求出a 的值，结合b=a （bmod10），比照四个答案中的数字，结合得到答案．解：∵a=1+C 201+C 202?2+C 203?22+…+C 2020?219=（1+2）20+ =×320+，∵320=（32）10=（10-1）10=1010-×109+×108-…-×101+1，其个位是1， ∴320个位是1，∴×320+个位是1，∴a 个位是1．若b=a （bmod10），则b 的个位也是1故选B ．二、填空题1.在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，x 的系数为________(用数字作答)【答案】7【解析】略2.4的展开式中x 3y 3的系数为________．【答案】6【解析】略3.已知(x ＋x －)n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是______．(以数字作答)【答案】35【解析】略4.如果x ＋x 2＋x 3＋…＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x)＋a 2(1＋x)2＋…＋a 9(1＋x)9＋a 10(1＋x)10，则a 9＝________.【答案】－9【解析】略5.设函数f(x)＝(1－2x)10，则导函数f′(x)的展开式x 2项的系数为________【答案】－2880【解析】略6.3100被7除的余数为________【答案】4【解析】略三、解答题1.在二项式n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项．【答案】前三项系数为C ，C ，C ，由已知C ＝C ＋C ，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．T r ＋ 1 ＝C()8－r (2)－r ＝C··x4－.∵4－∈Z 且0≤r≤8，r ∈Z ， ∴r ＝0，r ＝4，r ＝8.∴展开式中x 的有理项为T 1＝x 4，T 5＝x ，T 9＝ x －2.【解析】略2.在二项式(ax m ＋bx n )12(a ＞0，b ＞0，m 、n≠0)中有2m ＋n ＝0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项．(1)求它是第几项；(2)求的范围．【答案】(1)设T r ＋ 1 ＝C(ax m )12－r ·(bx n )r＝Ca 12－r b r x m(12－r)＋nr 为常数项，则有m(12－r)＋nr ＝0，即m(12－r)－2mr ＝0，∴r ＝4，它是第5项．(2)∵第5项又是系数最大的项，∴有由①得a 8b 4≥a 9b 3，∵a ＞0，b ＞0，∴ b≥a ，即≤.由②得≥，∴≤≤.【解析】略3.若(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.求：(1)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11；(2)a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10.【答案】(1)(1＋x)6(1－2x)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 11x 11.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝－26，①又令x ＝0，得a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 11＝－26－1＝－65.(2)再令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 11＝0②①＋②得a 0＋a 2＋…＋a 10＝(－26＋0)＝－32.【解析】略4.设a n ＝1＋q ＋q 2＋…＋q n －1，A n ＝Ca 1＋Ca 2＋…＋Ca n .(1)用q 和n 表示A n ；(2)又设b 1＋b 2＋…＋b n ＝.求证：数列是等比数列．【答案】(1)∵q≠1，∴a n ＝.∴A n ＝C ＋C ＋…＋C＝[(C ＋C ＋…＋C)－(Cq ＋Cq 2＋…＋Cq n )]＝[2n －(1＋q)n ]．(2)证明：∵b 1＋b 2＋…＋b n＝＝，∴b 1＋b 2＋…＋b n －1＝两式相减得：b n ＝n －1∴＝≠0， ∴是等比数列．【解析】略。