分式方程教学案例

教学案例 倪莉

含字母的分式方程的解的问题

在学习分式方程的时候，含字母的分式方程的解的问题情况比较复杂，学生往往容易混淆或者考虑不完整。含字母的分式方程的解的问题主要有以下三种情况：

一、含字母的分式方程无解

例1、的值。没有实数解，求的分式方程

关于m x m x x x --=-+3132 解： x

m x x --=-+3132 3

1

2-=-=+m x m x 去分母 分式方程没有实数解，则3-=m x 是增根

而分式方程的增根是303=⇒=-x x

633==-∴m m

二、含字母的分式方程只有一个实数解

例2、的值。只有一个实数解，求的分式方程关于m x

x m x x x x x +=+-+2112 解：

1211222=---+=+-+m x x x x m x x x x 去分母整理得： 因为分式方程只有一解，所以此一元二次方程可能有两个相等的实数根，或者有两个不

相等的实数解时期中一解是增根。

① 一元二次方程有两个相等的实数解

2

0)1(440

-==---=∆m m

② 一元二次方程有两个不相等的实数解时，其中一解是增根

20)1(440->>--->∆m m

此时增根为100

)1(-===+x or x x x 101202-==---=m m x x x 中得代入

201212

==----=m m x x x 中得代入 212或或--=∴m

三、含字母的分式方程有增根

例3、的值。有增根，求的分式方程关于m x m x x x 1

15122-=-++

解：37

1

15122+-=-=-++m x x m x x 去分母整理得：

因为分式方程有增根，所以110)1)(1(-===-+x x x x 或

413

71101371-=-=+--=-==+-

=m m x m m x 时当时当 410--=∴或m

通过上述三个例题，我们可以看到，含字母的分式方程的解的问题，一般可以这么做：

化为整式方程 含字母的分式方程有增根 增根代入整式方程

0=∆ 0>∆ 把增根代入一

元二次方程

含字母的分式方程无解

化为一元二次方程 0<∆

化为一元一次方程

把增根代入一元一次方程 含字母的分式方程只有有一解