加速器物理必备知识

加速器物理必备知识

● 经典力学，电磁场理论，电动力学

● 狭义相对论

● Hamilton 方程，矩阵

一个电荷为e 的带电粒子，在电场强度和磁感应强度分别为E 和B 的电磁场

中运动，则其运动方程为： )(B v E e dt

p d ⨯+=。 （1.1） 这里，v m p γ=是带电粒子的动量，v 是带电粒子的速度，m 为不变质量，γ为

Lorentz 因子，即

v v v c v

⋅≡-≡ ,11

22γ， （1.2）

c 为光速。

电磁场满足Maxwell ’s 方程。在真空中，Maxwell ’s 方程的表达式（微分方程）为：

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+=⨯∇∂∂-=⨯∇=⋅∇=⋅∇t E c t r j B t B E B t r E 2001),(0),(1μρε， （1.3） 式中，ρ和j 分别为电荷与电流密度。Maxwell ’s 方程的积分形式为：

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⋅+⋅=⋅⋅-=⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰S d E c S d j l d B S d B l d E S d B dV

S d E 200101μρε， （1.4）

其中，l , S 和V 分别为线元，面积元和体积元。

Maxwell ’s 方程积分形式的物理意义要比微分形式更清楚。如，（1.4）式中

的第一式即为高斯定理，表示电荷q 即为电场E 的电力线之源，而第二式则表示

B 的磁力线没有起点也没有终点。

第三式即为电磁感应的法拉第定律，而第四式则为包含了位移电流贡献的安培定理。（1.3）式中的第四式还可以写成

t

E t r j H ∂∂+=⨯∇ 0),(ε。 （1.5） 这里，H 为磁场强度，与磁感应强度B 的关系为：

M H B +=0μ，

（1.6）

其中，M 为磁化度。在真空中，有 ]F/m [1085.8 ],[H/m 104 ,112070200--⨯=⨯==επμεμc

。 （1.7） 在简单导体中，电流密度正比于电场功率，其比例系数即为导体的电导率，

E j σ=。 （1.8）

若两个观察系之间的相对速度为v ，坐标轴分别为x , y , z , t 和x ', y ', z ', t '。在t = 0时，它们的原点相遇，则两个观察系间的传输方程为：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-='='='-=')()(2x c v t t z z y y vt x x γγ 。 （1.9）

转换方程的结果为时间的膨胀和长度的Lorentz 压缩。时间膨胀可以从式（1.9）中的第四式得到，即在“'”观察系中的一个钟，位于x = vt 处，会显示出时间的变化t ' = t /γ。

长度的Lorentz 压缩则可由（1.9）式中的第一式得到。长度为L '的物体沿x '轴在“'”观察系中是静止的，且一端在原点。当t = 0时，有L '=γL ，即在非“'”的观察系中物体的长度为L =L '/γ。

电磁场的转换可由上述转换得到。将静止的坐标中束流的场与实验室坐标系相联系，若在静止坐标系，即“'”坐标系中，只有电场，则有

20//// ,2, ,c

v E B r E E E E E ⊥⊥⊥⊥

⊥'=''=''='=γπελγ。 （1.10）

Exercises

[1] 分别计算动能为1焦耳的质子和电子的运动速度，并与光速进行比较。

[2] 在环形加速器中，束流强度通常用以安培或毫安为单位的流强（电流）来表示。若一个环形加速器的周长为240.4m，被加速的电子能量达到2.2GeV，问20mA 的束流中包含多少个电子？

[3] 动能为70MeV和1.6GeV的质子的β和γ分别为多少？同样动能的电子呢？