数列的通项公式与前n项和的关系

1.（11辽宁T17）

已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10

（I ）求数列{a n }的通项公式；

（II ）求数列⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和． 【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.

【难易程度】容易

【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,

a d a d +=⎧⎨+=-⎩

解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1） （II ）设数列1{}2

n n a -的前n 项和为n S ，即211,22n n n a a S a -=+++ 故11S =（步骤2） 12.2242

n n n S a a a =+++ 所以，当1n >时， 1211111222211121()2422

121(1)22

n n

n n n n n

n n n n S a a a a a S a n n -------=+++--=-+++--=--- =

.2n

n （步骤3） 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{

}.22n n n n a n n S --=的前项和（步骤4）

2.（10上海T20）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，n +∈N .

（1）证明：{}1n a -是等比数列；

（2）求数列{}n S 的通项公式，并求出n 为何值时，n S 取得最小值，并说明理由.

【测量目标】数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系.

【试题解析】（1）当1n =时，114a =-；当2n …时，11551n n n n n a S S a a --=-=-++，()15116

n n a a -∴-=-，（步骤1） 又11150a -=-≠ ，∴数列{}1n a -是等比数列；

（步骤2） （2）由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭

，得151156n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，（步骤3） 从而()1575906n n S n n -+⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭N ；

（步骤4） 解不等式1n n S S +<，得15265n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，56

2log 114.925n >+≈，（步骤5） ∴当15n …时，数列{}n S 单调递增；

（步骤6） 同理可得，当15n …时，数列{}n S 单调递减；

故当15n =时，n S 取得最小值．（步骤7）

3.（09辽宁T14）

等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = .

【测量目标】数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系.

【难易程度】中等 【参考答案】13

【试题解析】∵11(1)2n S na n n d =+

-∴5131510,33S a d S a d =+=+. ∴5311114653060(1515)154515(3)15S S a d a d a d a d a -=+-+=+=+=. ∵53655,S S -=故413

a =

. 4.（09全国II T19）

设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+

（I ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 ； （II ）求数列{}n a 的通项公式.

【测量目标】数列的通项公式n a 与数列的前n 项和n S 的关系.

【试题解析】（I ）由11,a =及142n n S a +=+，有 12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=（步骤1） 由142n n S a +=+， ① 则当2n …时，有142n n S a -=+ ② ①－②得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-（步骤2） 又12n n n b a a +=- ，12n n b b -∴=，（步骤3）

{}n b ∴是首项13b =，公比为2的等比数列．

（步骤4） （II ）由（I ）可得11232n n n n b a a -+=-= ，113224

n n n n a a ++∴-=（步骤5） ∴数列{}2

n

n a 是首项为12，公差为34的等比数列．（步骤6） ∴1331(1)22444

n n a n n =+-=-，2(31)2n n a n -=- （步骤7）