全欧拉法流固耦合问题

摘要
在这项工作中，我们提出一个关于流固耦合的一个完全欧拉结构(FSI）问题
即耦合不可压缩Navier-Stokes超弹性固体方程。完全欧拉结构是一个单一变量
结构耦合问题。与此相反的任意拉格朗日欧拉（ALE）坐标也是行之有效的，但
是完全欧拉结构，包含两个子问题，液体和固体问题。在欧拉坐标，这个概念绕
过与ALE各种困难坐标的联系，因为没有其他人的领域成果可以使用，所以该
结构是一种首创全新的方法。本方法主要研究该固体的变形，它作为一种固体变
形研究的的扩展，建立在初始点的设置，以此检测连接点的位置。由于涉及到大
变形，所以本文尽可能的利用了像固体接触边界的变化或其他固体领域的研究。
1介绍
我们为流固耦合问题提供了一种完全统一的可变有限单元法。重点强调于大
变形结构领域的应用，处于流域和该流域边界接触的结构的自由运动，和其他自
接触结构的应用。这项工作中出现的方程是Eulerian-Eulerian型的，并且这种奇
特的方法第一次出现是由Dunne引入的[14,15]。
现在有数不清的不同方法来建模和模拟流固耦合问题。在这些方法中我们专
注于单片模型，这种模型整个问题被描述为一种包含固体和流体表面的双系统。
单片模型允许含糊的描述方案，大的时间步长并且提供使用基于错误假设的可能
和最优化方法。他们已经很好的适用于大流体密度问题中如血液动力学。当流体
问题被本质的描述为一种混合欧拉或朗格朗日的结构，材料的描述通常是固体问
题的基础。所有的描述流固耦合问题的单片模型不管怎么样都要符合这两种结构。
在拉格朗日法或专一的拉格朗日法中，流体问题被定位于一种涉及域的匹配
的位置。经典的方法是ALE法，见[29.4.35]或变空间域/稳态空间法（DSD/SST），
见实例[53,51]。这些方程有相同之处，运动学和动力学结合很容易嵌入路径空间
并有多种技术支持。拉格朗日法的缺点是流体问题的转化可在大变形或大的固体
运动中破坏。
欧拉-拉格朗日法为解决流体问题使用一种欧拉混合计算单元，为解决固体
问题使用朗格朗日单元。通过使用力密度法结合这两种结构的应用于大边界[43]
或大表面[39]。其它介绍的方法在于额外的表面不同。这些例子都是虚构的域法，
其他最近的方法都是基于扩展有限单元法的。表面混合法的调查由Felippa[17]
给出。欧拉-拉格朗日法是一种表面捕捉的方法。这种表面不是修复的欧拉单元
的一部分。一种早期的表面捕捉是流体体积法[30]，其中的轨迹函数在流域中取
值1在固体中取值0。轨迹函数与表面的速度有关。找到一种合适的轨迹函数的
数值近似以此达到从流域到固体的转换是这种方法的一个困难。另一种可能的表
面捕捉方法首先被用于构造多相流，其中的功能函数表示的是域中的任意一点到
表面的距离。界面本身被设置为零等级的轮廓函数。基于等级设置方案，存在一
种非常有效和简单的数字方案可以描述自由边界流固耦合。通常表示边界的等级
设置方案缺乏表示尖角的能力。欧拉拉格朗日方法的普遍问题是靠近接口的近似
性。由于流体单元被界面分隔，那么解可以是不连续的（或至少不可微）跨越界
面，与标准近似的有限单元是困难的。在此，扩展有限元方法有助于提高精度。
最后，对于大变形问题，结构问题的描述欧拉法是可取。使用混合欧拉边界
网格，液体和固体之间的界面可以自由地在域内移动。欧拉法一直是界面捕捉的
类型。邓恩[14]和[15]首次使用了一个具有欧拉-欧拉模型的不可压缩流体与超弹
性固体相互作用的方法。这里，表面捕捉由初始点集（IPS）完成，矢量场Φ
IPS

用于传输完整的参考坐标系。IPS法能够捕捉尖锐界面。让全欧拉流体有限差分

方法基于流体体积的方法[30]是由Sugiyama等人介绍 [50]。这种方法中不可压
缩的流体和结构之间的耦合通过校正压力迭代得以解决。全欧拉流体结构基于水
平集功能的交互方式是由他和乔介绍的。等级设置函数代表所述移动结构域需要
四种。其中两种所扮演的角色类似于由Dune介绍的IPS法。
在这项工作中引入的全欧拉法是基于IPS法的延伸。流体和固体问题在欧拉
方程中给出，该边界条件在函数空间通过可变载荷的平衡实现。用于捕捉的界面
处的固体变形将扩展到只有一小层的流体域中。流动问题没有进行任何改造的建
模，并且没有额外的变量引入使得该方法很有效。
在第二部分中，我们简短提出要求的符号。第三部分致力于在欧拉坐标方程
下解决流固耦合问题。细节描述和解决方案在第四部分给出。最后，在第五部分
我们介绍展示这个解决流固耦合问题的全欧拉法的不同数值计算例子。在第六部
分我们给出结论。
符号规定
2 符号规定
令Ω为二维空间向量。在初始时刻t=0，这个空间划分为非重叠分区，分别
为流体部分f和固体部分s，并且还有一个共同的接触面i。我们会考虑的问
题，在这里域分区随时间变换，但总的区域Ω是固定的：
在t=0时刻我们称f和s为初始值。在本文的流固耦合问题中s为朗格
朗日观测点，而st指的是欧拉观测点。为简单起见，我们只考虑狄氏边界条
件问题。在功能区我们在Ω域中使用勒贝格空间2L，在运动的子域和索博列夫
空间中2L是弱衍生设置。我们定义2L在两个域空间边界上为线性的。通过1H表
示运动的子域和索博列夫空间中2L的弱衍生设置。并且用10H表示1H功能的0号
路径。
3. 流固耦合问题的欧拉方程
在本节中，我们得出方程的耦合系统描述一个结合用斯托克斯相互作用或纳
维 - 斯托克斯流体与圣维南基尔霍夫类型描述的的弹性结构。所有方程给出配
方，这使得欧拉方程和拉格朗日方程之间容易转化为协调结构。
3.1 流体问题的欧拉描述
和拉各朗日方法不同，欧拉方法不同，欧拉方法的着眼点不是流体质点而是
空间点。设法在空间中的每一点上描述出流体运动随时间的变化状况。如果，每
一点的流体运动都已知道，则整个流体的运动状况也就清楚了。因为不同时刻将
有不同流体质点经过空间某固定点，所以站在固定点上就无法观测和记录掠过的
流体质点以前和以后的详细历史。也就是说我们无法象拉各朗日方法那样直接测
量出每个质点的位置随时间的变化情况。虽然如此，不同时刻经过固定点的流体
质点的速度是可以测出的，这样采用速度矢量来描写固定点上流体运动的变化状
况就是十分自然的了。考虑到上面所说的情形，欧拉方法中流体质点的运动规律
数学上可表示为下列矢量形式：

v=vr,t

（1）

在直角坐标系中有：
,,,uuxyzt ,,,vvxyzt 
,,,wwxyzt

（2）

要完全描述运动流体的状况还需要给定状态函数压力、密度、温度等
,,,ppxyzt ,,,xyzt 
,,,TTxyzt

（3）
变数,,,xyzt，称为欧拉变数，当,,xyz固定，t改变时，（1）式中的函数代
表空间中固定点上速度随时间的变化规律，当t 固定，,,xyz改变时，它代表的
是某一时刻中速度在空间的分布规律。应该指出，有（1）式确定的速度是定义
在空间点上的，它们是空间点的坐标,,xyz的函数，所以我们研究的是场，如速
度场，压力场、密度场等。因此当我们采用欧拉观点描述运动时，就可以广泛地
利用场论的知识。
3.2 圣维南基尔霍夫类型材料的拉格朗日描述
现在我们将描写运动的拉各朗日观点和方法用数学式子表达出来，为此首先必须用某种
数学方法区别不同的流体质点。通常利用初始时刻流体质点的坐标作为区分不同流体质点的
标志。设初始时刻0tt时，流体质点的坐标是（a,b,c），它可以是曲线坐标，也可以是直角
坐标,,000xyz。我们约定采用a,b,c三个数的组合来区别流体质点，不同的a,b,c代表不同的
质点。于是流体质点的运动规律数学上可表示为下列矢量形式：


,,,rrabct
（4）

其中r是流体质点的失径。在直角坐标系中，有
,,,xxabct ,,,yyabct 
,,,zzabct
（5）

变数a,b,c,t称为拉各朗日变数。在式（2）中，如果固定a,b,c而令t改变，则得某一流
体质点的运动规律。如果固定时间t而令a,b,c改变，则得同一时刻不同流体质点的位置分
布。
现在从（4）式出发来求流体质点的速度和加速度速度和加速度是对于同一质点而言的
单位时间内位移变化率及速度变化率，设为v，v分别表示速度矢量和加速度矢量，则

,,,rabctt

v
（6）


2
v2,,,rabctt



（7）

既然对同一质点而言，a,b,c不变，因此上式写的是对时间t的偏导数。在直角坐标系中，
速度和加速度的表达式是
,,,xabctut ,,,yabctvt 
,,,zabctwt



（8）

及
22,,,uxabctt 22,,,vyabctt 
2
2
,,,wzabctt


（9）