中考数学中的折叠问题专题复习

中考数学中的折叠问题专题复习

一、教学目标

1、基础知识目标：

使学生进一步巩固掌握折叠图形的性质，会利用其性质进行有关的计算和证明。

2、能力训练目标：

提升学生的空间想象能力、抽象思维能力、逻辑推理能力及综合运用数学知识解决问题的能力。

3、情感态度与价值观要求：

鼓励学生积极参与数学学习活动，对数学证明有好奇心和求知欲。

二、教学重点、难点

重点：会利用折叠图形的性质进行有关的计算和证明。

难点：综合运用所学数学知识进行有关的计算和证明。

三、教学方法

讲、练、测相结合的教学方法，在老师的引导下，通过讲、练、测的有机结合，达到知识、技能、方法的全线突破。

四、教学程序及设想

1、巧设情景，设疑引入

观察与发现：小明将纸片ABC

（AB>AC）沿过A的直线折叠，使

得AC落在AB边上，折痕为AD,

展开纸片；再次折叠该三角形纸片，

使点A和点D重合，折痕为EF,展

开纸片后得到AEF（如图1）。小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由。引出课题。

2、运用性质，折叠问题实质上就是轴对称变换归类探究。

归类一：折叠后求角的度数

典例解析：将矩形纸片ABCD折叠，使得D点与B

重合，点C落在点C'处，折痕为EF，如果∠ABE＝20°，

则∠EFC'＝（）

A. 125°

B. 80°

C. 75°

D. 无法确定

评析：本题只要抓住折叠的本质特征，折叠前后的

两个图形全等，找出翻折前后的一些不变量，其次要注意利用矩形的性质，如矩形的每个角都是90°、对边互相平行等。

体验感悟：随后给学生一定的时间去感悟和体会这类题的解题思路和方法。

1、如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿AF折叠，已知∠ADB=20°，那么，∠BAF为多少度时，才能使AB'∥BD？

（∠BAF＝55°）

利用折叠的性质求角的度数，当条件中有某些

角的度数时，综合题中的其他条件，找已知角和未

知角的关系，从而求的未知角的度数。若条件中没

有任何一个角的度数已知时，该怎样思考？

2、如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，沿过点D的折痕，将A角翻折，使A落在BC边上的A1处，则∠E A1B=

（本题和上题的区别在于条件中没有任何一个角

的度数是已知的，要把线段之间的关系转化角的度数，

然后求得未知角的度数。在难度上有所加深，其目的

在于培养学生综合运用所学数学知识解决问题的能

力。）

利用折叠的性质，除了可以求角的度数之外，还

可以求线段的长度引出。

归类二：求线段的长度

例2、如图在长方形ABCD中，AB=8,BC=10,经折叠，A点落在BC边的F点处，折痕DE与AB的交点是E，求EF

的长。

解：

连接DF，设AE＝X

根据题意，AE＝EF＝X，DF＝AD＝BC

＝10

所以根据勾股定理得CF＝6

所以BF＝10－6＝4

因为BE＝8－X

所以根据勾股定理得：

(8－X)2＋42＝X2

所以

64－16X＋16＝0

解得

X＝5

所以EF的长是5

（这道题基础性强，且有一定的综合性，有利于培养学生综合运用所学知识解决问题的能力。同时对应的练习题的设置，在上题的基础上综合性又有所提升，既巩固了基础知识又提升了学生综合运用数学知识解决问题的能力。同时又为综合运用做好了知识和技能的准备。）

本题把折叠问题转化成轴对称问题，对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点即可得到相等的线段利用勾股定理求出未知线段

体验感悟：

1、将矩形ABCD纸片沿EF折叠，使D点与BC边的中点D′重合，若BC = 8，CD = 9，则EF = .

2、已知矩形纸片ABCD，AB=2，

AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD

上的点E重合。

(1)如果折痕FG分别与AD、AB交

与点F、G(如图1)，求DE的长；

(2)如果折痕FG分别与CD、AB交与点F、G(如图2)，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长。

（图①中FG是折痕，点A与点E重合，根据折叠的对称性,已知线段AF 的长,可得到线段EF的长，从而将求线段的长转化到求Rt△DEF的一条直角边DE. 图②中，连结对应点A、E，则折痕FG垂直平分AE，取AD的中点M，连结MO，则MO=DE，且MO∥CD，又AE为Rt△AED的外接圆的直径，则O为圆心，延长MO交BC于N，则ON⊥BC，MN=AB,又Rt△AED 的外接圆与直线BC相切，所以ON是Rt△AED的外接圆的半径，即ON=AE，

根据勾股定理可求出DE= ，OE= . 通过Rt △FEO ∽Rt △AED ，求得FO= ，从而求出EF 的长。）

对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 本题把折叠问题转化为轴对称问题，利用勾股定理和相似求出未知线段，最后把所求的线段转化到直角三角形中去处理。

归类三：综合运用

1、将边长OA=8，OC=10的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C 、A 分别在X 轴和Y 轴上。在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F ，连接EF ，将△EOF 沿EF 折叠，使点O 落在AB 边上的点D 处。

作OC 于点G 。

求证：

EO=DT ；

(3)在(2)的条件下，设()T x y ，，写出y 与x 之间的函数关系式为 ，自变量x 的取值范围是 ；

(4)如图③，将矩形OABC 变为平行四边形，放在平面直角坐标系中，且OC=10，OC 边上的高等于8，点F 与点C 不重合，过点D 作DG ∥y 轴交EF 于点T ，交OC 于点G ，求出这时的

坐标y 与x 之间的函数关系式（不求自变量x 的取值范围）。

(1)5

(2)证明：∵△EDF 是由△EFO 折叠得到的，∴∠1=∠2．

又∵DG ∥y 轴，∠1=∠3．

∴∠2=∠3．∴DE =DT ．

∵DE =EO ，∴EO =DT ．

(3)41612+-=x y ． (4)解：连接OT ，

()T x y ，