第一次作业-结构-变分原理
变分法原理
变分法原理变分法是一种用于求解泛函和微分方程问题的数学方法。
它通过对一个函数进行微小的变化，并计算出在这个微小变化下泛函的变化量，从而得到泛函的极值。
变分法在物理学和工程学等领域有广泛的应用，如优化问题、经典力学中的作用量原理以及量子力学中的路径积分等。
要理解变分法的原理，首先需要了解泛函的概念。
泛函是一种将函数映射到实数集上的函数，例如能量泛函、作用泛函等。
对于一个给定的泛函，我们希望找到使其取得最大或最小值的函数。
而变分法就是一种通过对函数进行微小变化，从而使得泛函的变化量趋于零的方法。
以最简单的泛函问题为例，考虑一个函数y(某)在区间[a,b]上的泛函J，即J[y(某)]，例如J[y]=∫(a到b)F(某,y,y')d某，其中F是已知的函数，y'表示导数。
我们的目标是找到函数y(某)，使得泛函J[y(某)]取得极值。
为了寻找这样的函数，我们引入一个变分函数δy(某)，它表示函数y(某)关于自变量某的微小变化量。
于是，我们可以将函数y(某)写成y(某)+εδy(某)，其中ε是一个小的实数。
然后，将变分函数代入泛函中得到J[y(某)+εδy(某)]。
将J[y(某)+εδy(某)]展开成泛函J[y(某)]关于ε的幂级数，取一阶项，得到J[y(某)+εδy(某)]≈J[y(某)]+ε∫(a到b)(∂F/∂y)δyd某+ε∫(a到b)(∂F/∂y')δy'd某。
由于δy(某)是任意的，我们要使得泛函J[y(某)+εδy(某)]的变化量趋于零，只需使得∂F/∂y- d/d某(∂F/∂y')=0，即Euler-Lagrange方程。
根据Euler-Lagrange方程解出δy(某)，再令δy(某)的边界条件为零，即δy(a)=δy(b)=0。
这样，我们就可以得到函数y(某)的特解。
总结起来，变分法的原理是将函数表示为原函数与微小变化的函数之和，将其代入泛函中展开，并取一阶项，最后通过求解Euler-Lagrange 方程得到特解。
结构力学第一次作业
第一次作业作业要求：1） 本次作业包含多个章节的内容，请根据教学进度，逐步完成，待本次作业中的题目都完成后，以Word 文档形式统一上传递交（请勿做一题上传一题）。
2） 计算题需列出相关的计算公式，步骤需尽量详细、清晰。
3） 独立完成，并在规定时间内上传递交（不交或迟交作业会影响平时成绩）113P ql =。
(2l v 'v2）用梁的弯曲微分方程式的解及边界条件分别计算以下两图中梁的挠曲线方程式。
左图A 中弹性支座3/6A l EI =。
PAθ1θ23000()6N x v x v x EIθ=++，()00v A p N =-300()6x v x Ap x A N EI θ⎛⎫∴=++- ⎪⎝⎭()()0v l v l '==由得300200200060263l Ap l A N EI l N EI pl Ap l EI pN θθθ⎫⎛⎫++-=⎪⎪⎪⎝⎭⎬⎪+=⎪⎭⎧-==-⎪⎨⎪=⎩解出 3333()1922pl x x v x EI l l ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭()()()()()()()2300122300012120001221223121212260,42026622M x N x v x x EI EIv l v l M l N l EI EI M l l l EI EIEI M l N l N l EI EI x x v x x l l θθθθθθθθθθθθθθ=++'==⎫⎧=--++=⎪⎪⎪⎪⎬⎨⎪⎪=+++=⎪⎪⎩⎭++∴=++由得解得第四章作业（共3题）：1）用力法解图中1和2处的弯矩值，画出弯矩图。
已知：12232l l l ==，124I I =，23I I =123Q图4.4°21对，节点角连续方程：()()()()()()()()()()()()()21020010000021020000017/26434180438034641804410.1242/550.0182M l M l Q l M l E I E I E I EI M l M l Q l E I E I E I M Ql Ql M Ql Ql⎧+-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩⎧==⎪⎨⎪==⎩1234023012233404.543,I I I I I l l l l ======图令，由对称考虑一半2）将上题中刚架的杆l-2化为具有弹性固定端的单跨梁，计算出弹性固定端的柔性系数，并利用弹性固定端单跨梁的弯曲要素表解之。
第三章变分原理与有限元方法
第三章变分原理与有限元方法1.引言在工程实践中，我们经常面临解决微分方程的问题，如结构力学问题和热传导问题。
变分法和有限元方法是两种常用的数值方法，用于求解这些微分方程。
2.变分原理变分法是一种通过变分问题建立微分方程解的数值近似的方法。
变分法的基本思想是将要求解的微分方程问题转化为一个泛函极小化问题。
在这个问题中，泛函是一个函数，它以一些函数（称为试探函数）为自变量。
通过求取使泛函极小化的试探函数，可以得到微分方程的近似解。
3.最小作用量原理变分法的核心原理是最小作用量原理，也称为哈密顿原理。
该原理指出，真实的系统在任意的微小变分下，其作用量是不变的。
作用量是系统的能量和时间的乘积，用来描述系统的运动轨迹。
根据最小作用量原理，可以得到一个极小化问题，通过对试探函数进行变分，使得作用量取得极小值。
有限元方法是一种通过将实际问题离散化为一个有限个子区域，然后在每个子区域内建立适当的数学模型，并进行逼近求解的方法。
有限元方法的核心思想是将连续的物理问题转化为离散的代数问题，通过求解代数问题来得到连续问题的近似解。
5.有限元离散化有限元离散化是有限元方法的第一步，通过将连续的问题离散化为一组离散点上的代数问题。
这个过程中，将整个域划分为有限个子区域，即有限元，每个有限元内部的物理变量可以近似为一个简单的函数，比如常数或低阶多项式。
我们在每个有限元中引入一组基函数，将物理变量表示为这组基函数的线性组合。
6.有限元弱型表达有限元弱型表达是有限元方法的关键步骤，通过将原始的微分方程乘以一个试验函数并在整个域上积分，得到一个弱形式的表达式。
这个表达式中包含了未知函数及其导数的积分项，通过解这个弱形式的表达式，可以得到未知函数的近似解。
7.有限元方程组和边界条件通过离散化和弱型表达，可以得到一组线性代数方程组，其中未知数是有限元的节点上的物理变量。
这个方程组可以通过标准的数值方法求解。
边界条件是方程组的一部分，它指定了在边界上的物理变量的值。
考试结构设计原理第一次作业
2021年9月份考试结构设计原理第一次作业 一、单项选择题（本大题共70分，共 20 小题，每题 分） 1. 正截面承载能力计算中采纳等效矩形应力图形，其确信原那么为（ ）。 A. 保证压应力合力的大小和作用点位置不变 B. 矩形面积xfc＝曲线面积，χ＝χc C. 由于截面假定χ＝χc 2. 钢筋混凝土短柱受压钢筋的配筋率为：（ ） A. % B. 2% C. 3%~5% 3. 对混凝土构件施加预应力主要目的是：（ ） A. 提高承载力 B. 避免裂缝或减少裂宽（使用阶段）发挥高强材料作用 C. 对构件进行检验 4. 我国《公路桥规》是以何种概率为基础的（ ）。 A. 半概率 B. 全概率 C. 近似概率 5. 考虑到长期荷截作用的影响和荷截初偏心影响，规定了纵向弯曲系数值，当（ ） A. λ=L0/b（矩形）越大，φ值越大 B. λ=L0/b （矩形）越大，φ值越小 C. λ=L0/b≤8时，构件承载力降低 6. 变形钢筋与混凝土间的粘结能力（ ）。 A. 比光面钢筋略有提高 B. 取决于钢筋的直径大小 C. 主要是钢筋表面凸出的肋的作用 7. 纯无粘结预应力混凝土梁与有粘结预应力混凝土梁相比： （ ） A. 裂缝形态与发展相同 B. 荷载—跨中挠度曲线不同 C. 在最大弯矩截面上，预应力钢筋随荷载变化的规律相同 8. 普通钢筋混凝土结构不能充分发挥高强钢筋的作用，主要原因是：（ ） A. 受压混凝土先破坏 B. 未配高强混凝土 C. 不易满足正常使用极限状态 9. 关于偏心受压构件，以下说法正确的是（ ） A. 根据偏心距及配筋情况的不同，主要有受拉破坏和受压破坏两种破坏形态； B. 受拉破坏属于脆性破坏； C. 受压破坏时，受拉钢筋和受压钢筋均达到屈服强度。 10. 梁在斜截面设计中，要求箍筋间矩𝑆≤𝑆max，其目的是： （ ） A. 避免斜裂缝过宽 B. 避免发生斜拉破坏 C. 避免发生斜压破坏 D. 保证箍筋发挥作用 11. 梁的抵抗弯矩图要求包围设计弯矩图，其目的是保证：（ ） A. 正截面抗弯强度 B. 斜截面抗弯强度 C. 斜截面抗剪强度 12. 受弯构件是指( )。 A. 截面上有弯矩作用的构件 B. 截面上有剪力作用构件 C. 截面上有弯矩和剪力作用的构件 D. 截面有弯矩、剪力和扭矩作用的构件 13. 混凝土收缩变形（ ） A. 与 混凝土所受的应力大小有关 B. 随水泥用量的增加而减小 C. 随水灰比的增加而增大 14. 板通常不配置箍筋，因为（ ） A. 板很薄，没法设置箍筋 B. 板内剪力较小，通常混凝土本身就足以承担 C. 设计时不计算剪切承载力 D. 板内有拱作用，剪力由拱直接传给支座 15. 超筋梁正截面极限承载力与（ ） A. 混凝土强度品级有关 B. 配筋强度𝑆𝑆𝑆𝑆有关 C. 混凝土级别和配筋强度都有关 D. 混凝土级别和配筋强度都无关。 16. 无腹筋简支梁，要紧通过以下哪一种方式传力： （ ） A. 纵筋的销栓力 B. 混凝土骨料的啮合力 C. 混凝土与拉筋形成的拱 17. 钢筋的冷加工有两种方法(冷拉、冷拔)（ ） A. 二者都可提高钢筋的抗拉和抗压强度 B. 冷拉时钢筋的冷拉应力应低于钢筋的屈服点 C. 冷拔后的钢筋没有明显的屈服点 D. 冷加工(冷拉、冷拔)后对塑性没有影响 18. 无腹筋梁随着剪跨比由小到大，其斜截面的破坏形态将由（ ） A. 斜拉转变为剪压，再转变为斜压 B. 斜拉转变为斜压，再转变为剪压 C. 剪压转变为斜压，再转变为斜拉 D. 斜压转变为剪压，再转变为斜拉。 19. 梁斜截面弯曲破坏与剪切破坏的根本区别在于（ ） A. 斜截面弯曲破坏时，梁受力纵筋在斜缝处受拉屈服而剪切破坏时纵筋不屈服 B. 斜截面弯曲破坏是由弯矩引起的，而剪切破坏是弯矩剪力共同作用的结果 C. 剪跨比较大时发生斜截面弯曲破坏，较小时发生剪切破坏。 20. 梁在斜截面设计中，要求箍筋间矩𝑆≤𝑆max，其目的是：（ ） A. 避免发生斜拉破坏 B. 防止发生斜压破坏 C. 保证箍筋发挥作用 D. 避免斜裂缝过宽
变分原理-1
= ∫∫ n j ∆σ ij ui d B + ∫∫ n j ∆σ ij ui d B − ∫∫∫ (∆σ ij ), j ui d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B
B1 B2 V B1
(6-6)
= ∫∫ n j ∆σ ij ui d B − ∫∫∫ (∆σ ij ), j ui d V = 0
(6-4)
= Γ(σ ij ) + ∫∫∫ sijklσ kl ∆σ ij d V +
V
1 sijkl ∆σ kl ∆σ ij d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B 2 ∫∫∫ V B1
(6-5)
= Γ(σ ij ) +
1 sijkl ∆σ kl ∆σ ij d V + ∫∫∫ ε ij ∆σ ij d V − ∫∫ n j ∆σ ij ui d B 2 ∫∫∫ V V B1
Beltrami-Michell 的协调方程。 【证明】由于静力可能应力要预先满足平衡条件，即式(1-1)和(1-6)，故要构造一 个新的泛函
Γ* (σ ij , λi , βi ) = 1 sijklσ ijσ kl d V − ∫∫ n jσ ij ui d B 2 ∫∫∫ V B1
V B2
+ ∫∫∫ (σ ij , j + f i )λi d V + ∫∫ (n jσ ij − pi ) β i d B
V V B2
(4-1)
其中 U (ui ) 是应变能密度，即单位体积应变能
2
1 U (ui ) = cijkl ε ijε kl 2 最小势能原理：在所有变形可能位移中，精确解使总势能取极小值。
证明如下。首先将 uik 写成如下形式:
变分原理基础_讲义
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。
用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。
根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
变分法基本原理范文
变分法基本原理范文变分法是一种数学方法，用于求解变分问题。
它是分析力学、泛函分析、控制论和最优化等领域中的基本工具之一、变分法的基本原理是根据给定的泛函，通过对其进行适当的变分，即对泛函的自变量进行微小的变化，在满足边界条件的前提下，寻找使得泛函取得极值的解。
这篇文章将介绍变分法的基本原理和应用。
在数学和物理中，泛函是函数的集合，其中自变量是函数。
泛函可以被视为一个函数空间中的点，它将函数映射为实数。
变分问题是在给定的约束条件下，寻找使得一些泛函取得极值的函数。
这个极值函数被称为变分问题的解。
变分法的基本思想是将泛函中的函数替换为具有相同边界条件的变分函数，并对这个变分函数进行微小的变化。
然后，通过求解变分函数的变分，来确定使得泛函取得极值的函数。
为了更好地理解变分法的基本原理，我们将通过一个简单的例子进行说明。
假设我们要求解下面的变分问题：\[ J[y] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y, y') dx \]这里，$y$是未知的函数，$y'$是$y$的导数，$x_1$和$x_2$是给定的边界点。
我们的目标是找到函数$y(x)$，使得泛函$J[y]$取得极值。
首先，我们引入一个变分函数$y(x) + \epsilon \eta(x)$，其中$\epsilon$是一个小的实数，$\eta(x)$是任意的可微函数，并满足边界条件$\eta(x_1) = \eta(x_2) = 0$。
然后，我们将变分函数代入原始的泛函中：\[ J[y + \epsilon \eta] = \int_{x_1}^{x_2} F(x, y + \epsilon \eta, y' + \epsilon \eta') dx \]在这里，$\eta'(x)$是$\eta(x)$的导数。
然后，我们对上述表达式关于$\epsilon$进行泰勒展开：\[ J[y + \epsilon \eta] = J[y] + \epsilon\frac{dJ[y]}{d\epsilon} + O(\epsilon^2) \]我们希望找到使得泛函取得极值的函数，因此可以令$\frac{dJ[y]}{d\epsilon}$等于零，即：\[ \frac{dJ[y + \epsilon \eta]}{d\epsilon} = \int_{x_1}^{x_2} \left( \frac{\partial F}{\partial y} \eta + \frac{\partialF}{\partial y'} \eta' \right) dx = 0 \]这里，我们利用了对泛函的导数与边界条件的关系$\frac{dJ[y]}{d\epsilon} = \frac{dJ[y+\epsilon\eta]}{d\epsilon}$。
结构设计原理 ( 第1次 )
第1次作业一、计算题（本大题共10分，共 1 小题，每小题 10 分）钢筋混凝土矩形弯剪扭构件，截面尺寸为25×60cm，计算弯矩Mj=118.8KN.m；计算剪力Qj=77.52KN；计算扭矩MTj=9.17KN.m。
采用25号混凝土，I级钢筋，试进行配筋计算二、单项选择题（本大题共40分，共 20 小题，每小题 2 分）1. 对钢筋冷加工的目的是（）A. 提高屈服强度B. 增加钢材的塑性C. 提高钢筋与混凝土的粘结强度D. 调直、除锈2. 对混凝土构件施加预应力主要目的是：（）A. 提高承载力B. 避免裂缝或减少裂宽（使用阶段）发挥高强材料作用C. 对构件进行检验3. 与素混凝土梁相比，钢筋混凝土抵抗开裂的能力（）。
A. 提高许多B. 完全相同C. 提高不多4. 在设计双筋梁、大偏压和大偏拉构件中要求x≥2’as的条件是为了：（）A. 防止受压钢筋压屈；B. 保证受压钢筋在构件破坏时能达到设计屈服强度f’y ；C. 避免f’y > 400N/mm25. “部分预应力混凝土”是指正常使用荷载下（）A. 允许存在拉应力或有限裂宽B. 预应力钢筋少且应力较低C. 仅允许存在拉应力6. 单筋梁ρmax值A. 是个定值B. 混凝土等级低，同时钢筋等级高，ρmax小C. 钢筋等级高，ρmax小D. 混凝土等级高，同时钢筋等级高，ρmax小7. 所谓预应力混凝土是指（）A. 对钢筋进行张拉构件B. 将压力直接施加在构件上C. 对外载产生拉应力部位的混凝土施加压应力8. 混凝土的极限压应变（）A. 包括弹性应变和塑性应变、塑性部分越大、延性越好；B. 包括弹性应变和塑性应变，弹性部分越大，延性越好；C. 是δ口ε曲线上最大压应力所对应的应变值。
9. 在支点和按构造配置箍筋区段之间的剪力包络图中的计算剪力应该由混凝土、箍筋和弯起钢筋来共同承担，其中混凝土和箍筋应承担（）A. 40%B. 60%C. 45%10. 梁的弯起钢筋设计中，按照抵抗弯矩图外包了弯矩包络图原则并且弯起位置符合规范要求，其正截面和斜截面抗弯承载力为（）A. 应复核B. 应计算C. 不必复核11. 受弯构件是指( )。
变分原理-第1章
§1-2 变分及其特性 函数的极大极小问题是大家熟知的，泛函的极大极小问题有类似特性。 1、泛函的定义 定义 如果对于某一类函数 {y (x )}中每个函数 y (x ) ，V 有一值与之对应，或
者 V 对应于函数 y (x ) 的关系成立，则我们称变量 Π 是函数 y (x ) 的泛函，即
V = V ( y (x )) 。可变函数 y ( x ) 称为自变函数，依赖自变函数而变的量 V ，称为自变
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
L=∫
x2
x1
dy dz 1+ + dx dx
2
2
dx
（1-3）
其中： y = y ( x) ， z = z ( x) 满足约束条件
ϕ ( x, y , z ) = 0
（1-4）
上面提出的问题最后化为如下数学问题：在 x1 ≤ x ≤ x 2 区间内决定两个函数
变分原理及有限元法
史治宇
结构强度研究所
力学的变分原理PPT课件
如果F不显含自变量 t , 则欧拉方程有初积分 :
F - q F 常 数
2021/3/7
q
CHENLI
13
例 ： 求 最 速 落 径 方 程 . ( 已 知 F 1 y '2 ) 2 gy
解：
因F
不显含
x,
则有 F
-
y'
f y '
C1.
即：
1 y '2 2gy
y
'
y
'
1 y '2 2gy
其中t为自变量，q为力学系统的广义坐标，此函数关系
如图中曲线所示。当自变量
t有微小增量dt时，对应的
q
函数q的微小增量的线性主部
dq称为函数的微分，记为
d qq'(t)d t
(1 )
或: q' (t) dq dt
2021/3/7
o
CHENLI
, q=q(t)+εη(t)
p δq dq q=q(t)
常
数
1
y '2
y '
y'
常数
2gy
2 g y (1 y '2 )
2 g y (1 y '2 ) 常 数 y (1 y '2 ) C 1 引 入 参 数 ， 使 y ' c tg y C 1 C 1 (1 c o s 2 )
1 ctg 2 2
2021/3/7
CHENLI
比如，牛顿提出的力学三大定律，就是力学的基本原理，由这些基本原理出发，经过严 格的逻辑推理和数学演绎，可以获得经典力学的整个理论框架。
力学原理可以分为两大类：不变分原理和变分原理。每一类又可 分为微分形式和积分形式。
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作业1
1、求泛函
1
0
22
[][()]dxxJyyxyx
的极值曲线，边界条件为00()yxy，11()yxy；再求出(1)1y，(2)2y时泛函的值。
解：
y0F，2y'12'Fxy，由欧拉方程'0yydFFdx可知，'y
FC
，即212'xyC
12'Cyx，1
2
C
yCx
由边界条件00()yxy，11()yxy，0111011yyCxx，00112011xyyxCxx
(1)1y，(2)2y
时，12C，23C，23yx，22'yx，
2
2
1
2
[][2]3Jydxx
2、求泛函
2
[](,)1()dbaJyvxyyx
的Euler方程。
解：
2
(,,')(,)1(')Fxyyvxyy
，则(,)yvxyFy，122'[1(')]'yFyy
由欧拉方程3122222'(,)(')''[1(')]''[1(')]0yydvxyFFyyyyydxy
3、求泛函
2
22
0
[,][2()()]dJyzyzyzx
满足条件(0)0y, (2)1y, (0)0z, (2)1z的极值曲线。
解：
()22''0LdLzyydxy
()22''0LdLyzzdxz
即(4)(4)yyzz，由特征方程410，求得1,1,,ii
故1234cossinxxyCeCeCxCx，代入边界条件(0)0y, (2)1y, (0)0z,
(2)1z
，求得sinyx，sinzx
4、给出泛函
22
[]()ddxyDJxy
，222[]()dddxyzVJxyz
试由变分方程推导欧拉方程，在二维区域D和三维区域V的边界值为已知。
解：
二维区域D：
=[]xyxyDFFFJdxdy
()xxxxxDDFFFdxdydxdyndx
x
n
表示边界的外法线矢量与x轴夹角的余弦。
()yyyyyDDFFFdxdydxdyndy
于是[()()]()xyxyxyDFFFFFJdxdynndxy
欧拉方程()()0xyFFFxy，即0(2)(2)0xyxy，22220xy
三维区域V：[]xyzxyzVFFFFJdxdydz
应用Gauss公式，得到
[()()()][]xyzxyzxyzVFFFFFFFJdxdydznnndxyz
欧拉方程()()()0xyzFFFFxyz，即
0(2)(2)(2)0xyzxyz
，2222220xyz
5. 利用变分原理推导最速降线的控制微分方程，并求解。
解：
2
1(')2yFgy
，由于不含x，欧拉方程可化为''FFyCy
2
2
1(')112''2221(')yyyCgygyy
，即221[(')1]22yyrgc
令'cot2y，则22sin2yr，设()x，上式对求导，得cotsin2dydxdxrdxdd
sin(1cos)cot2dxr
rd
，积分得0(sin)xrx，(1cos)yr
6. 利用变分原理推导悬链线的控制微分方程，并求解。
解：
2
1(')Fyy
，由于不含x，欧拉方程可化为''FFyCy
得到21(')yCy，令'2eeysh，21yCshCch，设()x，上
式对求导得'dydxdxyCchdxdd，CshdxdCdsh，积分得1xCC，
消去得1xCyCchC.