高中数学本册学业质量标准检测2课时作业含解析人教A版选修2_1.doc

本册学业质量标准检测(二)本套检测题仅供教师参考备用，学生书中没有。

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是( D ) A ．若x 2≥1，则x ≥1若x ≤－1 B ．若－1<x <1，则x 2<1 C ．若x >1或x <－1，则x 2>1 D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥12．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( A ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22 B ．⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22D ．⎝⎛⎭⎪⎫3210，4210，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，－22 [解析] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得⎝ ⎛⎭⎪⎫3210，4210，－22和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，－4210，22.3．已知命题p ：函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)的图象关于x ＝π6对称，命题q ：函数f (x )＝2sin(2x ＋π3)向右平移π6个单位，所得函数图象关于原点对称，则下列选项中是假命题的是( D )A ．¬pB ．p ∨qC ．(¬p )∧qD ．(¬p )∧(¬q )[解析] ∵f (π6)＝2sin 2π3＝3≠2，∴f (x )的图象不关于x ＝π6对称．故p 为假命题；∵平移后所得函数为y ＝2sin[2(x －π6)＋π3]＝2sin2x ，易知此函数为奇函数．∴函数图象关于原点对称，∴q 为真命题．∴(¬p)∧(¬q)为假命题．4．已知向量a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是( A )A．2，12B．－13，12C．－3,2 D．2,2[解析] 已知a∥b，则∃t∈R，使得b＝t a(t≠0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧tλ＋t＝62μ－1＝02t＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t＝2λ＝2μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧t＝－3λ＝－3μ＝12.5．如图，在三棱锥A－BCD中，DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，E为BC中点，则AE→·BC→等于( A )A．0 B．1C．2 D．3[解析] ∵AE→·BC→＝12(AB→＋AC→)·(DC→－DB→)＝12(DB→－DA→＋DC→－DA→)·(DC→－DB→)＝12(DB→－2DA→＋DC→)·(DC→－DB→)＝12DB→·DC→－12DB→2－DA→·DC→＋DA→·DB→＋12DC→2－12DC→·DB→∵DA，DB，DC两两垂直，且DB＝DC，∴AE→·BC→＝0.故选A．6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( D )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线[解析] ∵P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，又ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，∴D 1C 1⊥侧面BCC 1B 1.∴D 1C 1⊥PC 1，∴PC 1为P 到直线D 1C 1的距离，即PC 1等于P 到直线BC 的距离，由圆锥曲线的定义知，动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．7．(浙江丽水市2019－2020学年高二质监)如图，在三棱锥P －ABC 中，PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC ＝b (a ＜b )，设二面角P －AB －C 的平面角为α，则( C )A ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＞π，2α＜∠PAC ＋∠PBC B ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＜π，2α＜∠PAC ＋∠PBC C ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＞π，2α＞∠PAC ＋∠PBCD ．α＋∠PCA ＋∠PCB ＜π，2α＞∠PAC ＋∠PBC [解析] 如图(1)，取PC 中点D ，连接AD ，BD ，由PB ＝BC ＝a ，PA ＝AC 易知BD ⊥PC ，AD ⊥PC ，故可得PC ⊥平面ABD ，作PM ⊥AB 于M ，由△ABP ≌△ABC ，可得CM ⊥AB ，∴∠PMC ＝a ，又PM ＝CM ＝h ＜a ＜b ，由图(2)可得a 2＝∠PMC 2＞∠PBC 2＞∠PAC2，∴2a ＞∠PAC ＋∠PBC ，a ＋∠PCA ＋∠PCB ＞∠PBC 2＋∠PAC2＋∠PCA ＋∠PCB ＝∠PBC 2＋∠PCB ＋∠PAC2＋∠PCA ＝π，故选C ． 8．如图，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( C )A ． 3B ． 5C ．7D ．3[解析] 根据双曲线的定义，可得|BF 1|－|BF 2|＝2a ， ∵△ABF 2是等边三角形，即|BF 2|＝|AB |， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，即|BF 1|－|AB |＝|AF 1|＝2a 又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a ， ∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a ，∵△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， ∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos120°，即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×(－12)＝28a 2，解之得c ＝7a ，由此可得双曲线C 的离心率e ＝c a＝7.故选C ．二、多项选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．)9．已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式成立的是( ACD ) A ．DA →·PB →＝0 B ．PC →·BD →＝0 C ．PD →·AB →＝0 D ．PA →·CD →＝0[解析] ①⎭⎪⎬⎪⎫DA ⊥AB DA ⊥PA ⇒DA ⊥平面PAB ⇒DA ⊥PB ⇒DA →·PB →＝0，故A 成立；②同①知AB →·PD →＝0，故C 成立；③PA ⊥平面ABCD ⇒PA ⊥CD ⇒PA →·CD →＝0，故D 成立； ④若BD →·PC →＝0，则BD ⊥PC ，又BD ⊥PA ，∴BD ⊥平面PAC ，故BD ⊥AC ，但在矩形ABCD 中不一定有BD ⊥AC ，故B 不成立．故选ACD ． 10．下列命题是假命题的是( ABC )A ．命题p ：“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2”，则¬p 是真命题B ．“x ＝－1”是“x 2＋3x ＋2＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋3<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0” D ．“a >1”是“f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件 [解析] ∵sin x ＋cos x ＝2sin (x ＋π4)≤2，∴命题p 是真命题，则¬p 是假命题，故A错误；由x 2＋3x ＋2＝0得x ＝－1或x ＝－2，则“x ＝－1”是“x 2＋3x ＋2＝0”的充分不必要条件，故B 错误，特称命题的否定是全称命题，则命题“∃x ∈R ，使得x 2＋2x ＋3＜0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0”，故C 错误；当a ＞1时，f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数成立，即充分性成立，若f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数，则a ＞1，即必要性成立，故“a ＞1”是“f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件，故D 正确．故选D ．11.若点P 是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 225－y 29＝1上的一点，且|PF 1|＝12，则|PF 2|＝( AB )A ．2B ．22C ．4D ．20[解析] 由双曲线x 225－y 29＝1得a ＝5，b ＝3，c ＝34，由双曲线的定义得||PF 2|－|PF 1||＝10，即|PF 2|＝|PF 1|±10＝12±10＝22或2.12.已知O 是坐标原点，A ，B 是抛物线y ＝x 2上不同于O 的两点，OA ⊥OB ，下列四个结论中，所有正确的结论是( ABD )A ．|OA |·|OB |≥2 B ．|OA |＋|OB |≥2 2C ．直线AB 过抛物线y ＝x 2的焦点 D ．O 到直线AB 的距离小于等于1[解析] 设A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则OA →·OB →＝0，即x 1x 2(1＋x 1x 2)＝0，所以x 2＝－1x 1.对于A ，|OA |·|OB |＝x 211＋x 21·1x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 21＝1＋x 21＋1x 21＋1≥2，当且仅当x 1＝±1时取等号，正确；对于B ，|OA |＋|OB |≥2|OA |·|OB |≥22，正确；对于C ，直线AB 的方程为y －x 21＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x1(x －x 1)，不过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，错误；对于D ，原点到直线AB ：⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1x 1x －y ＋1＝0的距离d ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－1x 12＋1≤1，正确．三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知p ：x －1x≤0，q ：4x ＋2x－m ≤0，若p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是__m ≥6__.[解析] 由x －1x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≤0x ≠0，得0<x ≤1，由题设知，当0<x ≤1时，4x ＋2x－m ≤0，即4x＋22≤m 恒成立，易知y ＝4x＋2x(0<x ≤1)的最大值为6，所以m ≥6.14．已知点A 、B 、C 的坐标分别为(0,1,0)、(－1,0，－1)、(2,1,1)，点P 的坐标为(x,0，z )，若PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，则P 点的坐标为__(－1,0,2)__.[解析] 由已知，AB →＝(－1，－1，－1)，AC →＝(2,0,1)，PA →＝(－x,1，－z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧PA →·AB →＝0PA →·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋z ＝0－2x －z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1z ＝2.∴P (－1,0,2)．15.已知点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，则椭圆C 的方程为__x 24＋y 2＝1__；若直线y ＝12x 交椭圆C 于M ，N 两点，则|MN |＝__10__.[解析] 由题意可知，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，由点A (－2,0)，B (0,1)在椭圆上，焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，消去y ，整理得2x 2＝4，则x 1＝2，x 2＝－2，y 1＝22，y 2＝－22，则|MN |＝2＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫22＋222＝10. 16．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为__1510__. [解析] 如图所示，AD ⊥平面BCD ，AD ＝32， BD ＝CD ＝BC ＝12，∴V A －BCD ＝13×AD ×S △BCD .又∵V A －BCD ＝V D －ABC ＝13×h ×S △ABC ，∴由等积法可解得h ＝1510. 三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(山东省潍坊市2018－2019学年高二期末)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱BB 1和对角线DB 1的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)求直线MN 与直线CB 1所成角的大小． [解析] (1)证明：连接BD ，∵M ，N 分别是棱BB 1和DB 1的中点， ∴MN ∥BD .∵MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD .(2)设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1的方向分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，B 1(1,1,1)，∴M (1,1，12)，N (12，12，12)，B 1C →＝(－1,0,1)，MN →＝(－12，－12，0)，∴cos 〈MN →，B 1C →〉＝MN →·B 1C →|MN →||B 1C →|＝1212·2＝12. ∴直线MN 与直线CB 1所成角为π3.18．(本小题满分12分)如图，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22.求椭圆的标准方程．[解析] 设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c 2＝a 2－b 2. 由|F 1F 2||DF 2|＝22，得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1|·|F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22. 由DF 1⊥F 1F 2，得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.19．(本小题满分12分)(福建省南平市2019－2020学年高二期末)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝PA ＝2，AB ＝1，E 为PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PDC ； (2)求二面角P －BC －D 的余弦值．[解析] (1)以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，B (1,0,0)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，则E (1,1,1)．∴BE →＝(0,1,1)，PC →＝(2,2，－2)，DC →＝(2,0,0)，∴BE →·PC →＝0，BE →·DC →＝0， ∴BE ⊥PC ，BE ⊥DC 且PC ∩DC ＝C ， ∴BE ⊥平面PDC .(2)平面BDC 的法向量m ＝(0,0,1)，设平面PBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵DP →＝(0，－2,2)，DB →＝(1，－2,0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0DB →·n ＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋2z ＝0x －2y ＝0，取得一个法向量n ＝(2,1,1)． ∴cos m·n ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝16＝66.∴二面角P －BD －C 的余弦值为－66. 20．(本小题满分12分)(2019－2020学年房山区期末检测)已知F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当抛物线C 过点M (1，－2)时，求抛物线C 的方程； (2)证明：OA →·OB →是定值．[解析] (1)因为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点M (1，－2)， 所以4＝2p ，p ＝2，所以抛物线C 的方程y 2＝4x ；(2)证明：当直线l 斜率存在时，F (p 2，0)，设直线l 的方程为y ＝k (x －p2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －p 2 ①y 2＝2px ②，将(1)代入(2)得，⎝ ⎛⎭⎪⎫kx －kp 22＝2px ，化简得kx 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p4＝0，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，因为点A ，B 都在抛物线y 2＝2px 上，所以y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝2p 2x 1x 2，所以y 21y 22＝p 4，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0， 所以y 1y 2＝－p 2，所以OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34p 2是定值．当直线l 无斜率时，F (p 2，0)，设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1＝x 2＝p2，代入抛物线方程y 2＝2px 得，y 21＝p 2，y 22＝p 2，所以y 21y 22＝p 4，因为点A ，B 分布在x 轴的两侧，所以y 1y 2＜0， 所以y 1y 2＝－p 2，所以OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)， 所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－34p 2，是定值．综上，OA →·OB →＝－3p 24是定值．21．(本小题满分12分)(福建厦门市2019－2020学年高二质检)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠ACD ＝π2，∠BAC ＝π3，PC 与平面ABCD 所成的角为π6，又PA＝CD ＝2.(1)证明：平面PAC ⊥平面PCD ； (2)求二面角B －PC －D 的余弦值． [解析] (1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又因为AC ⊥CD 且PA ∩AC ＝A ， 所以CD ⊥平面PAC ， 因为CD ⊂平面ABCD ， 所以平面PAC ⊥平面PCD . (2)因为PA ⊥平面ABCD ，所以AC 为PC 在平面ABCD 内的射影， 所以∠PCA 为PC 与平面ABCD 所成角，故∠PCA ＝π6， 在Rt △PAC 中，因为PA ＝2，所以AC ＝23， 在Rt △ACD 中，因为AC ＝23，CD ＝2，所以AD ＝4，∠CAD ＝π6， 又因为∠BAC ＝π3， 所以∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝π2，即BA ⊥AD . 在Rt △ACD ，因为AC ＝23，∠BAC ＝π3，所以AB ＝3，BC ＝3. 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系：则B (3，0,0)，C (3，3,0)，D (0,4,0)，P (0,0,2)， 得PB →＝(3，0，－2)，BC →＝(0,3,0)，PD →＝(0,4，－2)，CD →＝(－3，1,0)， 设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0n ·BC →＝0⇒⎩⎨⎧ 3x －2z ＝03y ＝0， 令x ＝2，得n ＝(2,0，3)． 设平面PCD 的法向量为m ＝(x ′，y ′，z ′)， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0m ·CD →＝0⇒⎩⎨⎧ 4y ′－2z ′＝0－3x ′＋y ′＝0， 令x ′＝3，得m ＝(3，3,6)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m|·|n| ＝23＋6322＋32·32＋32＋62 ＝837×43＝277， 观察可知，二面角B －PC －D 为钝角，所以二面角B －PC －D 的余弦值为－277.22．(本小题满分12分)(2019－2020 学年深圳高级中学期末测试)设椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0 )，F 1，F 2是椭圆的左右焦点，以F 1，F 2及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为3的正三角形．(1)求椭圆方程；(2)过F 1分别作直线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，设l 1与椭圆交于A ，C 两点，l 2与椭圆交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最小值．[解析] (1)由题设可得：⎩⎨⎧ a ＝2c bc ＝3， ∵a 2－b 2＝c 2，∴a 2＝4，b 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1；(2)由(1)可知椭圆x 24＋y 23＝1的焦点F 1(1,0) 当其中一条直线斜率不存在时，令|AC |＝4，则|BD |＝2b 2a＝3. ∴S ＝12|AC ||BD |＝6 当直线斜率存在时，设直线l 1：y ＝k (x ＋m )，代入椭圆方程得：(3＋4k 2)x 2＋8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0，则x 1＋x 2＝－－8k 2m 3＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2m 2－123＋4k2； 所以弦长＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2m3＋4k 22－4·4k 2m 2－123＋4k 2 ＝431＋k 24k 2－k 2m 2＋33＋4k 22， 设直线AC 的斜率为k ，不妨设k ＞0，则|AC |＝12k 2＋14k 2＋3，|BD |＝12k 2＋14＋3k 2， ∴S ABCD ＝12·12k 2＋14k 2＋3·12k 2＋14＋3k2 ＝72k 2＋1212＋25k 2＋12k4 ＝72k 2＋12k 2＋12k 2＋12＝72k 2k 2＋12＋12 ＝721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12∈[28849，6) 因为k ＞0，∴k ＋1k ≥2k ·1k ＝2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2≥4,0＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2≤14， 12＜1⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12≤494， 28849≤721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＜6 ∴721⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12∈[28849，6) 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤28849，6.故(S ABCD )min ＝28849.。