高三数学第二轮专题复习系列(1)集合与简易

高三数学第二轮专题复习系列(1)-- 集合与简易逻辑 一、【重点知识结构】

二、【高考要求】 1. 理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的述语和符号，能正确地表示一些较简单的集合. 2. 理解|ax+b|c(c>0)型不等式的概念，并掌握它们的解法.了解二次函数、一元二次不等式及一元二次方程三者之间的关系，掌握一元二次不等式及简单分式不等式的解法. 3. 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充要条件的意义和判定. 4. 学会运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决有关集合问题，形成良好的思维品质；学会判断和推理，解决简易逻辑问题，培养逻辑思维能力. 三、【高考热点分析】 集合与简易逻辑是高中数学的重要基础知识，是高考的必考内容.本章知识的高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用、判断命题的真假、四种命题的关系、充要条件的判定等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现. 四、【高考复习建议】 概念多是本章内容的一大特点，一是要抓好基本概念的过关，一些重点知识（如子、交、并、补集及充要条件等）要深刻理解和掌握；二是各种数学思想和数学方法在本章题型中都有较好体现，特别是数形结合思想，要善于运用韦氏图、数轴、函数图象帮助分析和理解集合问题. 五、【例 题】

【例1】 设}13|{},13|{,,22yybbBxxaaARyx，求集合A与B之间的关系。

解：由4545)23(1322xxxa，得A=}45|{xx

45)23(1322yyyb45

∴A=B 【例2】 已知集合A=}0103|{2xxx，集合B=}121|{pxpx，若BA，求实数p的取值范围。 解：若B=Φ时，2121ppp

若B≠Φ时，则3251212121ppppp 综上得知：3p时，BA。

集合 集合的基本概念 集合与集合的关系 集合的应用

集合及元素 集合分类及表示 子集、包含与相等 交集、并集、补集 解含绝对值符号、一元二次、简单分式不等式

简易逻辑命题 逻辑联结词 简单命题与复合命题 四种命题及其关系 充分必要条件 【例3】 已知集合}123|),{(axyyxA，集合B=}30)1()1(|),{(2yaxayx。如果BA， 试求实数a的值。 解：注意集合A、B的几何意义，先看集合B； 当a=1时，B=Φ，A∩B=Φ 当a=－1时，集合B为直线y=－15，A∩B=Φ 当a≠±1时，集合A：)2)(1(3xay，A)3,2(，只有B)3,2(才满足条件。

故303)1(2)1(2aa；解得：a=－5或a=27

∴a=1或a=27或a=－1或a=－5。 【例4】 若集合A=}3,1,23{x，B=},1{2x，且}3,1,23{xBA，求实数x。 解：由题设知ABA，∴AB，故32x或xx232 即3x或1x或3x，但当1x时，123x不满足集合A的条件。 ∴实数x的值为3或3。 【例5】 已知集合A=}0310|{2xxx，B=}022|{2mxxx，若BBA，求实数m的值。 解：不难求出A=}52|{xx，由BBAAB，又0222mxx，m84 ①若084m，即21m，则AB ②若084m，即21m，}211211|{mxmxB，

∴52112211mm214m 故由①②知：m的取值范围是),4[m 注：不要忽略空集是任何集合的子集。

【例6】 已知集合A={019|22aaxxx}，B=}1)85(log|{22xxx，C=}082|{2xxx， 若AB与AC同时成立，求实数a的值。 解：易求得B=}3,2{，C=}4,2{，由AB知A与B的交集为非空集。 故2，3两数中至少有一适合方程01922aaxx

又AC，∴A2，即019392aa得，a=5或a=－2 当a=5时，A=}3,2{，于是}2{CA，故a=5舍去。 当a=－2时，A=}5,2{，于是}3{BA，∴a=－2。

【例7】 }023|{2xxxA，}022|{2axxxB，A∪B=A，求a的取值构成的集合。 解：∵A∪B=A，∴AB，当B时0162a，∴-4}2,1{}023|{2xxxA，当1∈B时，将x=1代入B中方程得a=4，此时B={1}，当2∈B时，将x=2代入B中方程得a=5，此时AB}2,21{，a=5舍去，∴-4【例8】 已知}023|{2xxxA，}02|{axxB且A∪B=A，求实数a组成的集合C。 解：由A={1，2}，由A∪B=A，即AB，只需a×1-2=0，a=2或a×2-2=0，a=1。 另外显然有当a=0时，B 也符合。所以C={0，1，2}。 【例9】 某车间有120人，其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人，两车都乘的18人，求： （1）只乘电车的人数；（2）不乘电车的人数；（3）乘车的人数； （4）不乘车的人数；（5）只乘一种车的人数。 解：本题是已知全集中元素的个数，求各部分元素的个数，可用图解法。设只乘电车的人数为x人，不乘电车的人数为y人，乘车的人数为z人，不乘车的人数为u人，只乘一种车的人数为v人 如图所示（1）x=66人，（2）y=36人，（3）z=98人，（4）u=22人，（5）v=80人。

【例10】 （2004届湖北省黄冈中学高三数学综合训练题）已知M是关于x的不等式0)23()73(222aaxax的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集. 解：原不等式即0)32)(12(axax，

由0x适合不等式故得0)32)(1(aa，所以1a，或23a. 若1a，则5)1(252132aaa，∴2123aa， 此时不等式的解集是}2321|{axax； 若23a，由45)1(252132aaa，∴2123aa， 此时不等式的解集是}2123|{axax. 【例11】 （2004届杭州二中高三数学综合测试题）已知1a，设命题01)2(:xaP，命题1)2()1(:2xaxQ.试寻求使得QP、都是真命题的x的集合. 解：设}1)2()1(|{}01)2(|{2xaxxBxaxA，， 依题意，求使得QP、都是真命题的x的集合即是求集合BA，

∵2211(2)1022(1)(2)1()(2)0(2)20axxxaaxaxxaxxaxa

∴若12a时，则有122xaxxa或， 而11(2)20aaaa，所以12aa， 即当12a时使QP、都是真命题的1{|22}xxxxaa或； 当2a时易得使QP、都是真命题的3{|,2}2xxxx且；

若2a，则有122xaxax或， 此时使得QP、都是真命题的1{|22}xxxaxa或． 综合略. 【例12】 （2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件axp|15:|和条件01321:2xxq，请选取适当的实数a的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为什么这一命题是符合要求的命题. 分析：本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a，也能先猜后证，所找到的实数a只需满足2151a，且51a1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研究性学习的教学方向.

解：已知条件p即ax15，或ax15，∴51ax，或51ax，

已知条件q即01322xx，∴21x，或1x； 令4a，则p即53x，或1x，此时必有qp成立，反之不然. 故可以选取的一个实数是4a，A为p，B为q，对应的命题是若p则q， 由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.

【例13】 已知)0(012:2|311:|22mmxxqxp，；¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

解：由，2|311|x得102x， 由)0(01222mmxx，得)0(11mmxm， ∴¬p即2x，或10x，而¬q即mx1，或mx1)0(m； 由¬p是¬q的必要不充分条件，知¬q¬p，

设A=}102|{xxx，或，B=)}0(11|{mmxmxx，或，

则有AB，故，，，010111mmm且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号， 解得30m，此即为“¬p是¬q的必要不充分条件”时实数m的取值范围. 【例14】 （2004届全国大联考高三第四次联考试题）已知函数xxfalog)(，其中}1220|{2aaaa.

（1）判断函数xxfalog)(的增减性； （2）（文）若命题:p)2(1|)(|xfxf为真命题，求实数x的取值范围. （2）（理）若命题:p|)2(|1|)(|xfxf为真命题，求实数x的取值范围. 解：（1）∵}1220|{2aaaa，∴020122aa， 即102a，∴函数xyalog是增函数； （2）（文）)2(1|)(|xfxf即12log|log|xxaa，必有0x， 当10x，0logxa，不等式化为12loglogxxaa， ∴12loga，这显然成立，此时10x； 当1x时，0logxa，不等式化为12loglogxxaa， ∴12logxa，故2ax，此时21ax； 综上所述知，使命题p为真命题的x的取值范围是}20|{axx. （2）（理）|)2(|1|)(|xfxf即1|2log||log|xxaa，必有0x， 当410x时，02loglogxxaa，不等式化为12loglogxxaa，