2023辽宁沈阳中考数学真题及答案
2024中考压轴题05 圆的综合(5题型+解题模板+技巧精讲)(原卷版)
压轴题05圆的综合目录题型一切线的判定题型二圆中求线段长度题型三圆中的最值问题题型四圆中的阴影部分面积题型五圆中的比值（相似）问题下图为二次函数图象性质与几何问题中各题型的题型一切线的判定解题模板：技巧：有切点，连半径，证垂直（根据题意，可以证角为90°，如已有90°角，可以尝试证平行） 没切点，作垂直，证半径（通常为证全等，也可以通过计算得到与半径相等）【例1】1．（2023-四川攀枝花-中考真题）如图，AB 为O 的直径，如果圆上的点D 恰使ADC B ∠=∠，求证：直线CD 与O 相切．【变式1-1】（2023-辽宁-中考真题）如图，ABC 内接于O ，AB 是O 的直径，CE 平分ACB ∠交O 于点E ，过点E 作EF AB ∥，交CA 的延长线于点F ．求证：EF 与O 相切；【变式1-2】（2023-辽宁-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C E ，在O 上，2CAB EAB ∠=∠，点F 在线段AB 的延长线上，且AFE ABC ∠=∠．(1)求证：EF与O相切；(2)若41sin5BF AFE=∠=，，求BC的长．【变式1-3】（2023-湖北鄂州-中考真题）如图，AB为O的直径，E为O上一点，点C为EB的中点，过点C作CD AE⊥，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．(1)求证：CD是O的切线；题型二圆中求线段长度解题模板：【例2】（2023-西藏-中考真题）如图，已知AB为O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交O于点E，垂足为点D，AC平分BAD∠．(1)求证：CD 是O 的切线； (2)若8AC =，6BC =，求DE 的长．【变式2-1】（2023-内蒙古-中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，点C 是AE 的中点，连接BC ，过点C 的直线垂直于BE 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点P ．(1)求证：PC 为⊙O 的切线；(2)若PC =，10PB =，求BE 的长．【变式2-2】（2023-辽宁大连-中考真题）如图1，在O 中，AB 为O 的直径，点C 为O 上一点，AD 为CAB ∠的平分线交O 于点D ，连接OD 交BC 于点E ．(1)求BED ∠的度数；(2)如图2，过点A 作O 的切线交BC 延长线于点F ，过点D 作DG AF ∥交AB 于点G ．若AD =4DE =，求DG 的长．【变式2-3】（2023-湖北恩施-中考真题）如图，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，点O 为AB 的中点，连接CO 交O 于点E ，O 与AC 相切于点D ．(1)求证：BC是O的切线；(2)延长CO交O于点G，连接AG交O于点F，若AC FG的长．题型三圆中的最值问题解题模板：技巧精讲：1、辅助圆模型【例3】（2023-湖南长沙-三模）如图1：在O 中，AB 为直径，C 是O 上一点，3,4AC BC ==.过O 分别作OH BC ⊥于点H ，OD AC ⊥于点D ，点E 、F 分别在线段BC AC 、上运动（不含端点），且保持90EOF ∠=︒．(1)OC =______；四边形CDOH 是______（填矩形/菱形/正方形）； CDOH S =四边形______； (2)当F 和D 不重合时，求证：OFD OEH ∽；(3)⊙在图1中，P 是CEO 的外接圆，设P 面积为S ，求S 的最小值，并说明理由；⊙如图2：若Q 是线段AB 上一动点，且1QAQB n =∶∶，90EQF ∠=︒，M 是四边形CEQF 的外接圆，则当n 为何值时，M 的面积最小？最小值为多少？请直接写出答案．【变式3-1】（2023-安徽-模拟预测）如图，半圆的直径4AB =，弦CD AB ∥，连接,,,AC BD AD BC ．(1)求证：ADC BCD △≌△；(2)当ACD 的面积最大时，求CAD ∠的度数．【变式3-2】（2023-四川-中考真题）如图1，已知线段AB ，AC ，线段AC 绕点A 在直线AB 上方旋转，连接BC ，以BC 为边在BC 上方作Rt BDC ，且30DBC ∠=︒．(1)若=90BDC ∠︒，以AB 为边在AB 上方作Rt BAE △，且90AEB ∠=︒，30EBA ∠=︒，连接DE ，用等式表示线段AC 与DE 的数量关系是 ；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE AB ⊥，4AB =，2AC =，求BC 的长；(3)如图3，若90BCD ∠=︒，4AB =，2AC =，当AD 的值最大时，求此时tan CBA ∠的值．【变式3-3】（2023-陕西西安-模拟预测）【问题情境】如图1，在ABC 中，120A ∠=︒，AB AC =，BC =ABC 的外接圆的半径值为______； 【问题解决】如图2，点P 为正方形ABCD 内一点，且90BPC ∠=︒，若4AB =，求AP 的最小值； 【问题解决】如图3，正方形ABCD 是一个边长为的书展区域设计图，CE 为大门，点E 在边BC 上，CE =，点P 是正方形ABCD 内设立的一个活动治安点，到B 、E 的张角为120︒，即120BPE ∠=︒，点A 、D 为另两个固定治安点，现需在展览区域内部设置一个补水供给点Q ，使得Q 到A 、D 、P 三个治安点的距离和最小，试求QA QD QP ++的最小值．（结果精确到0.1m 1.7≈，214.3205≈）题型四 圆中的阴影部分面积【例4】（2024-西藏拉萨-一模）如图，等腰ABC 的顶点A ，C 在O 上， BC 边经过圆心0且与O 交于D 点，30B ∠=︒.(1)求证：AB 是O 的切线； (2)若6AB =，求阴影部分的面积【变式4-1】（2023-陕西西安-一模）如图，正六边形ABCDEF 内接于O ．(1)若P 是CD 上的动点，连接BP ，FP ，求BPF ∠的度数；(2)已知ADF △的面积为O 的面积．【变式4-2】（2023-浙江衢州-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90,ACB O ∠=︒为AC 边上一点，连结OB ．以OC 为半径的半圆与AB 边相切于点D ，交AC 边于点E ．(1)求证：BC BD =．(2)若,2OB OA AE ==．⊙求半圆O 的半径．⊙求图中阴影部分的面积．【变式4-3】（2023-辽宁阜新-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 是O 上AB 异侧的两点，DE CB ⊥，交CB 的延长线于点E ，且BD 平分ABE ∠．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)若60ABC ∠=︒，4AB =，求图中阴影部分的面积．【变式4-4】（2023-山东枣庄-中考真题）如图，AB 为O 的直径，点C 是AD 的中点，过点C 做射线BD 的垂线，垂足为E ．(1)求证：CE 是O 切线；(2)若34BE AB ==，，求BC 的长；(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积（用含有π的式子表示）．题型五 圆中的比值（相似）问题 技巧精讲：【例5】（2024-陕西西安-模拟预测）如图，AB 为O 的直径， 点 D 为O 上一点， 过点 B 作O 切线交AD 延长线于点 C ，CE 平分ACB ∠，CE BD ，交于F ．(1)求证：BE BF =；(2)若O 半径为2，3sin 5A =，求DF 的长度． 【变式5-1】（2023-湖南湘西-二模）如图，AB 是O 的直径，点C ，D 在O 上，AD 平分CAB ∠，交BC 于点E ，连接BD ．(1)求证：BED ABD △△．(2)当3tan 4ABC ∠=，且10AB =时，求线段BD 的长．(3)点G 为线段AE 上一点，且BG 平分ABC ∠，若GE =，3BG =，求CE 的长．【变式5-2】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径CD 与O 相切于点C ，与BA 的延长线交于点D ，连接BC ，点E 在线段OB 上，过点E 作BD 的垂线交DC 的延长线于点F ，交BC 于点G ．(1)求证：FC FG =；(2)若220AO AD ==，点E 为OB 的中点，求GE 的长．【变式5-3】（2024-陕西西安-一模）如图，AB 是O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与,A B 不重合），CD AB ⊥且CD AB =，连接CB ，与O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使EF 与O 相切．(1)求证：EF EC =；(2)若D 是OA 的中点，4AB =，求BF 的长．一、解答题1．（2024-云南-模拟预测）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 是O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，F 为CE 的中点，连接BD ，DF ，BD 与AC 交于点P ．(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若45DPC ∠=︒，228PD PB +=，求AC 的长．2．（2024-湖北黄冈-模拟预测）如图，PO 平分APD ∠，PA 与⊙O 相切于点A ，延长AO 交PD 于点C ，过点O 作OB PD ⊥，垂足为B ．(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为4，5OC =，求PA 的长．3．（2024-江苏淮安-模拟预测）如图，已知直线l 与O 相离，OA l ⊥于点A ，交O 于点 P ，点 B 是O 上一点，连接BP 并延长，交直线l 于点 C ，使得AB AC =．(1)判断直线AB 与O 的位置关系并说明理由；(2)4PC OA ==，求线段 PB 的长．4．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，CD 是O 的直径，点P 是CD 延长线上一点，且AP 与O 相切于点A ，弦AB CD ⊥于点F ，过D 点作DE AP ⊥于点E ．(1)求证：∠∠EAD FAD =；(2)若4PA =，2PD =，求O 的半径和DE 的长．5．（2024-四川凉山-模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若30A ∠=︒，3DF =，求CE 长．6．（2024-山东泰安-一模）如图，AB CD ，是O 的两条直径，过点C 的O 的切线交AB 的延长线于点E ，连接AC BD ，．(1)求证：ABD CAB ∠=∠；(2)若B 是OE 的中点，12AC =，求O 的半径．7．（2024-福建南平-一模）如图1，点D 是ABC 的边AB 上一点．AD AC =，CAB α∠=，O 是BCD △的外接圆，点E 在DBC 上（不与点C ，点D 重合），且90CED α∠=︒-．(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)如图2，若CE 是⊙O 的直径，且2CE =，折线ADF 是由折线ACE 绕点A 顺时针旋转α得到． ⊙当30α=︒时，求CDE 的面积；⊙求证：点C ，D ，F 三点共线．8．（2023-四川甘孜-中考真题）如图，在Rt ABC △中，=90ABC ∠︒，以BC 为直径的O 交AC 边于点D ，过点C 作O 的切线，交BD 的延长线于点E ．(1)求证：=DCE DBC ∠∠；(2)若=2AB ，=3CE ，求O 的半径．9．（2023-湖北黄石-中考真题）如图，AB 为O 的直径，DA 和O 相交于点F ，AC 平分DAB ∠，点C 在O 上，且CD DA ⊥，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：2AC PC BC ⋅=；(3)已知23BC FP DC =⋅，求AF AB的值．10．（2023-辽宁鞍山-中考真题）如图，四边形ABCD 内接于O ，AB 为O 的直径，过点D 作DF BC ⊥，交BC 的延长线于点F ，交BA 的延长线于点E ，连接BD ．若180EAD BDF ∠+∠=︒．(1)求证：EF 为O 的切线．(2)若10BE =，2sin 3BDC ∠=，求O 的半径．11．（2023-湖南湘西-中考真题）如图，点D ，E 在以AC 为直径的O 上，ADC ∠的平分线交O 于点B ，连接BA ，EC ，EA ，过点E 作EH AC ⊥，垂足为H ，交AD 于点F ．(1)求证：2AE AF AD =⋅；(2)若sin 5ABD AB ∠==，求AD 的长． 12．（2023-辽宁沈阳-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点（点C 不与点A ，B 重合），连接AC 、BC ，点D 是AB 上的一点，AC AD =，BE 交CD 的延长线于点E ，且BE BC =．(1)求证：BE 是O 的切线；(2)若O 的半径为5，1tan 2E =，则BE 的长为______ ．13．（2023-黑龙江大庆-中考真题）如图，AB 是O 的直径，点C 是圆上的一点，CD AD ⊥于点D ，AD 交O 于点F ，连接AC ，若AC 平分DAB ∠，过点F 作FG AB ⊥于点G ，交AC 于点H ，延长AB ，DC 交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)求证：AF AC AE AH ⋅=⋅；(3)若4sin 5DEA ∠=，求AH FH的值．14．（2023-四川雅安-中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，点E 是BC 的中点，连接BD ，DE ．(1)求证：DE 是O 的切线；(2)若2DE =，1tan 2BAC ∠=，求AD 的长；(3)在（2）的条件下，点P 是O 上一动点，求PA PB +的最大值．15．（2023-辽宁营口-中考真题）如图，在ABC 中，AB BC =，以BC 为直径作O 与AC 交于点D ，过点D 作DE AB ⊥，交CB 延长线于点F ，垂足为点E ．(1)求证：DF 为O 的切线；(2)若3BE =，4cos 5C =，求BF 的长．。
2023年辽宁省沈阳市中考数学二模试卷(含解析)
2023年辽宁省沈阳市中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列各数中，小于0的数是( )A. 8B. 5.6C. ―43D. 122. 下列立体图形中，它的三视图都相同的是( )A. B. C. D.3. 如果a>b，那么下列各式中正确的是( )A. a2<b2B. 3a<3bC. ―a>―bD. a+1>b+14. 下面的计算正确的是( )A. 5a2―4a2=1B. 3a+4b=7abC. 2(a+b)=2a+bD. ―(a+b)=―a―b5. 已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC(∠ABC=30°,∠BAC=60°)按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1=70°.则∠2的度数为( )A. 30°B. 40°C. 60°D. 70°6. 下面的四个命题中，真命题是( )A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等B. 抽签中奖的概率为110，则每抽10次签，一定会有1次中奖C. 一组数据的方差越大，数据越稳定D. 400人中至少有两人的生日在同一天是必然事件7. 某排球队12名队员的年龄如表所示：该队队员年龄的众数与中位数分别是( )年龄/岁1819202122人数/人14322A. 19岁，19岁B. 19岁，20岁C. 20岁，20岁D. 20岁，22岁8. 已知反比例函数y=6，下列说法中正确的是( )xA. 该函数的图象分布在第一、三象限B. 点(―4,―3)在函数图象上C. y随x的增大而增大D. 若点(―2,y1)和(―1,y2)在该函数图象上，则y1<y29. 如图，△OAB是某大桥主塔的正面示意图，，∠OAB=70°，则桥面宽度AB(单位：m)是( )A. B. C. D.10.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边长向正方形外作等边△CDE，AC与BE相交于点F，则∠AFD的度数为( )A. 65°B. 60°C. 50°D. 45°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 分解因式3x2―3x=．12. 不等式组的解集为______ ．13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，若AC=AD，∠CAD=40°，则∠B的度数为______ °.14. 在平面直角坐标系中，点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(3,0)，(2,―3)，△A′B′O与△ABO关于点O位似，A′与A，B′与B是对应顶点，且△A′B′O的面积等于△ABO面积的9，16则点B′的坐标为______ ．15. 某商厦将进货单价为70元的某种商品，按销售单价100元出售时，每天能卖出20个，通过市场调查发现，这种商品的销售单价每降价1元，日销量就增加1个，为了获取最大利润，该种商品的销售单价应降______ 元.16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点M以每秒1个单位的速度从点B沿BA边向点A运动，同时点N以每秒1个单位的速度从点A沿AC边向点C运动，当点N到达终点C时，点M随之停止运动，连接MN，BN，设点M，N的运动时间为t秒，当△BMN为等腰三角形时，t的值为______ 秒.三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。
2022年中考必做真题：辽宁省沈阳市数学中考试卷含解析
2022年中考必做真题：沈阳市数学中考试题（含答案）一、挑选题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题2分，共20分）1. 下列各数中是有理数的是A. B. 0C．2D. 352. 辽宁男篮冠后，从4月21日至24日各类媒体关于“辽篮CBA夺冠”的相关文章达到81000篇，将数据81000用科学记数法表示为A. 0. 81×104B. 0. 81×105C. 8. 1×104D. 8. 1×1053左下图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的左视图是4．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，－1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是A. (4, 1)B. (-1, 4)C. (-4, -1)D. (-1, -4)5．下列运算错误的是A. (m2) 3=m6B. a10÷a9=aC．x3·x5＝x8 D. a4 +a3=a76．如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1＝60°，则∠2补角的度数是A. 60°B. 100°C. 110°D. 120°7．下列事件中，是必定事件的是A. 任意买一张电影票，座位号是 2的倍数B. 13个人中至少有两个人生肖相同C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯D. 明天一定会下雨8．在平面直角坐标系中， 一次函数y ＝kx ＋b 的 图象如图所示， 则k 和b 的 取值范围是A. k>0, b>0B. k>0, b<0C. k<0, b>0D. k<0, b<09．点A （－3， 2） 在反比例函数y ＝k x （k ≠O ） 的 图象上， 则k 的 值是 A. -6B. 32-C. -1D. 6 10．如图， 正方形ABCD 内接于⊙O， AB ＝22， 则AB 的 长是A. πB. 32πC. 2πD. 12π 二、 填空题（每小题3分， 共18分）11．因式分解： 3x 3－12x ＝.12．一组数3， 4， 7， 4， 3， 4， 5， 6， 5的 众数是 .13．化简： 22124a a a ---=. 14．不等式组20360x x -<⎧⎨+≥⎩的 解集是 . 15．如图， 一块矩形土地ABCD 由篱笆围着， 并且由一条与CD 边平行的 篱笆EF 分开．已知篱笆的 总长为900m （篱篱笆的 厚度忽略不计） ， 当AB ＝m 时， 矩形土地ABCD 面积最大.16．如图， △ABC 是 等边三角形， AB ＝7， 点D 是 边BC 上一点， 点H 是 线段AD 上一点， 连接BH 、 CH ， 当∠BHD＝60°∠AHC＝90°时， DH ＝.三、 解答题（第17小题6分， 第18、 19小题各8分， 共22分）17. 计算:20123()(4)2π-︒--+--2tan45 18．如图， 在菱形ABCD 中， 对角线AC 与BD 交于点O ， 过点C 作BD 的 平行线， 过点D 作AC 的 平行线， 两直线相交于点E.（1）求证:四边形OCED是矩形;（2）若CE＝1， DE＝2，则菱形ABCD的面积是 .19．经过校园某路口的行人，可能左转，也可能直行或右转假定这三种可能性相同，现有小明和小亮两人经过该路口，请用列表法或画树状图法，求两人之中至少有一人直行的概率.四、（每小题8分，共16分）20．九年三班的小雨同学想了解本校九年级学生对哪门课感兴趣，随机抽取了部分九年级学生进行调查（每名学生必选且只能挑选一门课程），将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图：学生感兴趣的课程情况条形统计图学生感兴的课程情况扇形统计图根据统计图提供的信息，解答下列问题（1）在这次调查中一共抽取了名学生， m的值是 .（2）请根据以上信息直接．．在答题卡上补全条形统计图;（3）扇形统计图中，“数学”所对应的圆心角度数是度；（4）若该校九年级共有1000名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校九年级学生中有几名学生对数学感兴趣.21，某公司今年1月份的制作成本是 400万元，由于改进制作技术，制作成本逐月下降， 3月份的制作成本是 361万元、假定该公司2、 3、 4月每个月制作成本的下降率都相同.（1）求每个月制作成本的下下降率；（2）请你预测4月份该公司的制作成本.五、（本题10分）22．如图， BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点C.（1）若∠ADE＝25°，求∠C的度数（2）若AB＝AC， CE＝2，求⊙O半径的长.六、（本题10分）23．如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标为（0， 10），点E的坐标为（20， 0），直线l1经过点F和点E，直线11与直线12： y＝x相交于点P（1）求直线的表达式和点P的坐标；（2）矩形ABCD的边AB在y轴轴的正半轴上，点A与点F重合，点B在线段OF上，边AD平行于X轴，且AB＝6， AD＝9, 将矩形ABCD沿射线FE的方向平移，边AD始终与x轴平行，已知矩形ABCD以每秒5个单位的速度匀速移动动（点A移动到点E时停止移动），设移动时间为t秒（t＞0） ,①矩形ABCD在移动过程中， B、 C、 D三点中有且只有一个顶点落在直线11或12上，请直接．．写出此时t 的值；②若矩形ABCD在移动的过程中，直线CD交直线11于点N，交直线于点M，当△PMN的面积等于18时，请直接．．写出此时t的值.七、（本题12分）24．已知△ABC是等腰三角形， CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M在边AC上，点N在边BC上（点M、点N不与所在线段端点重合）， BN＝AM，连接AN， BM．射线AG∥BC，延长BM交射线AG于点D，点E在直线AN上，且AE＝DE.（1）如图，当∠ACB＝90°时,①求证：△BCM≌△CAN;②求∠BD E的度数;（2）当∠ACB＝α，其它条件不变时，∠BDE的度数是（用含α的代数式表示）（3）若△ABC是等边三角形， AB＝33，点N是 BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接．．写出线段CF的长八、（本题12分）25．如图，在平而直角坐标系中，抛抛物线C1:y＝ax2＋bx－1经过点A（－2， 1）和点B（－1，－1），抛抛物线C2： y＝2x2＋x＋1，动直线x＝t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M（1）求抛物线C1的表达式;（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连连接KQ和QN．当KO＝1且∠KNO＝∠B NP时，请直接．．写出点Q的坐标参考答案一、挑选题（每小题2分，共20分）1. B2. C3. D4. A5. D6. D7. B8. C9. A10. A二、填空题（每小题3分，共18分）11. 3x(x+2) (x-2) 12. 4 13.12a+14. 22x-≤<15. 15016.13三、解答题（第17小题6分，第18、 19小题各8分，共22分）17. 2218．证明：（1）四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，∠COD＝90°, CE∥OD，DE∥OC，四边形OCED是平行四边形，∠COD＝90º, 平行四边形OCED是矩形(2) 4。
2023年辽宁省中考模拟考试(二)数学试题(附答案)
AC BD E辽宁省中考模拟考试（二）数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1.本试卷分第一部分（客观题）和第二部分（主观题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第一部分时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第二部分时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（客观题）一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．︱-9︱的平方根等于（ ） A ．±3 B ．3C ．±3D ．32．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )3．下列运算正确的是（ ） A 2(5)5-=- B ．21()164--= C ．632x x x ÷= D ．325()x x =4.如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E 等于（ ）ABCDOE（第9题图）A.30°B. 40°C. 60°D. 70° 5.某校篮球班21名同学的身高如下表身高cm 180 186 188 192 208 人数（个）46542则该校蓝球班21名同学身高的众数和中位数分别是（单位：cm ）（ ）A.186，186B.186，187C.186，188D.208，1886．不等式组： 2011x x +≥⎧⎨-<⎩的解集在数轴上表示正确的是( )7.由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，售价由原来每斤12元，连续两次下降a%下调到每斤是5元，下列所列方程中正确的是（ ） A.12（1+a%）2=5 B.12（1-a%）2=5 C.12（1-2a ）=5 D.12（1+a 2%）=5 8.如图，将∠AOB 放置在5×5的正方形网格中， 则sin ∠AOB 的值是( )A ．23B ．32C ．21313D ．313139．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=5过对角线 交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E 则AE 的长是（ ）第8题图AOB15题6012A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.410．已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象 如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<； ③ 024>++c b a ； ④ b c 32<；⑤)(b am m b a +>+，（1≠m 的实数） 其中正确的结论有（ ） A. 2个 B. 3个C. 4个D. 5第二部分（主观题）二、填空题（每题3分，共24分）11．某校学生在“爱心传递”活动中，共筹得捐款37400元，请你将数字37400用科学计数法并保留两个有效数字表示为 ． 12. 若式子xx 1+有意义，则x 的取值范围是_________. 13.分解因式：2212123b ab a +-= ．14.冬天的雪是我们的乐园，一次下雪后，小伙伴们堆了一大雪人，准备给雪人制作一个底面半径为9cm ，母线长为30cm 的圆锥形礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧 面积为 cm 2.(结果保留π)15．如图所示，一个60o 角的三角形纸片，剪去这个600角后， 得到 一个四边形，则么21∠+∠的度数为 。
2023年辽宁省沈阳市私立联合体中考数学一模试卷及答案解析
2023年辽宁省沈阳市私立联合体中考数学一模试卷一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每题2分，共20分）1．（2分）﹣2023的倒数是（）A．﹣2023B．2023C．D．2．（2分）北京时间2022年12月4日11时01分，神舟十四号载人飞船与空间站组合体成功分离．航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲在空间站出差了183天返回家园，数据183用科学记数法表示为（）A．0.183×103B．1.83×103C．18.3×102D．1.83×102 3．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）下列运算中，正确的是（）A．a5+a5＝a10B．（a﹣b）2＝a2﹣b2C．（a2）3＝a5D．（﹣a）2•（﹣a）＝﹣a35．（2分）下列说法正确的是（）A．检查神舟十五号载人飞船零件的质量采用抽样调查B．调查“浑河水库”水质问题采用抽样调查C．打开电视机正在播放世界杯决赛是必然事件D．掷一枚质地均匀的硬币落地时正面朝上是必然事件6．（2分）已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，当x1＞x2＞0时，下列结论正确的是（）A．y2＜y1＜0B．y1＜y2＜0C．0＜y2＜y1D．0＜y1＜y2 7．（2分）如图，在▱ABCD中，过点C作CE⊥AB，交BA的延长线于点E，若∠EAD＝48°，则∠BCE的度数为（）A．48°B．45°C．42°D．132°8．（2分）国务院联防联控机制公布进一步优化疫情防控的二十条措施后，国民增强了自我防控意识，一段时间N95口罩需求量增大，某工厂6个生产车间日生产量（万只）如图所示．因任务需要，现决定再组建一个生产车间，若新车间的日生产量为4500万只，则下列关于现在7个生产车间的日生产量的平均数和方差的说法中，正确的是（）A．平均数不变，方差变大B．平均数不变，方差变小C．平均数不变，方差不变D．平均数变小，方差不变9．（2分）直线l1和l2在直角坐标系中的位置如图所示，则直线l1和l2与x轴围成的图形的面积为（）A．4B．3C．2D．110．（2分）如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE．连接AE，BD交于点O，则图中的角等于60°的个数为（）A．6B．8C．9D．10二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）分解因式：2m3﹣8m＝．12．（3分）如图，CA⊥BE于点A，AD⊥BF于点D，则图中与α互补的角是．13．（3分）小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是．14．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为．15．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣6，0），B（2，0），若点C在一次函数的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件的C点的个数有个．16．（3分）如图，四边形OABC是矩形，OC在x轴上，OA在y轴上，函数y＝x的图象与AB交于点D（3，3），点E是射线BC上一点，沿DE折叠点B恰好落在函数y＝x的图象上，且BE＝2CE，则点B的坐标为．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．（6分）计算：．18．（8分）沈阳市教育局为了丰富九年级学生线上教学内容，开展了沈阳“名师在线”公益活动，深受广大学生和家长的赞誉．首先开展的是语文、数学和物理三个学科，学生可以自愿参加．（1）李亮随机选择一个学科，则他选择的是数学学科的概率是；（2）张军和李亮各随机从三个学科中选择一个学科，用画树状图或列表的方法，求两个人选择的是不同学科的概率．19．（8分）如图，等腰三角形ABC中，AB＝BC，将△ABC沿着BA的方向平移，使点A，B，C对应点分别为点E，A，D，连接DC．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若DE＝8，，求四边形EBCD的面积．四、（每小题8分，共16分）20．（8分）国务院联防联控机制综合组2022年11月11日公布《关于进一步优化新冠肺炎疫情防控措施科学精准做好防控工作的通知》，即防控工作的二十条．又于2022年12月7日公布的新十条措施，明确要求，各地各部门要不折不扣把各项优化措施落实到位．为了使学生在新形势下提高防控意识，某校将“1，正确佩戴N95口罩：2．勤洗手，勤漱口；3．不去人多的公共场所聚集；4．熟知几种中药对预防新冠的用途．”几个问题，对学生进行防疫知识教育．并随机抽取部分学生的防范意识进行测试，测试结果分为A：非常优秀，B：优秀，C：良好，D：一般四个等级，并依据测试成绩绘制了如两幅尚不完整的统计图．（1）这次抽样调查的学生人数是人，并补全条形统计图；（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为，在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为°；（3）该校学生有1800人，请你估计其中A等级的学生人数．21．（8分）为营造绿色、优美、生态、宜居的城市环境，2022年沈阳市政府有关部门继续积极推进“口袋公园”规划建设工作，“口袋公园”如玉珠般散落在沈阳市的大街小巷，成为一张靓丽的城市名片．在中央广电总局“中国美好生活大调查”中，沈阳市名列第2名，公园城市建设取得了里程碑式的成绩．某区的一个“口袋公园”工程中，甲队单独施工50天可以完成该项工程，若甲队施工23天之后乙队加入，两队还需同时施工12天，才能完成该项工程．（1）若乙队单独施工，则需要多少天才能完成该项工程；（2）由于甲队有其他任务，所以参与该项工程施工的时间不超过15天，则乙队至少施工多少天才能完成该项工程．五、（本题10分）22．（10分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，过D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接DB，且∠DBE＝∠DBA．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，，求图中阴影部分的面积．六、（本题10分）23．（10分）如图，直线y＝kx+b（k≠0）经过点A（﹣2，3）与x轴交于点B（4，0），C是线段AB的中点，连接OC．（1）求直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式；（2）将线段OC绕着点C顺时针旋转，点O的对应点D落在y轴的正半轴上，点Q在射线BO上，连接AD、CQ，若以B、C、Q为顶点的三角形与△ADC相似，则点Q的坐标为，并求出它们的相似比；（3）在（2）的条件下，若点P在直线OC上，连接AP、DP，当AP+DP的值最小时，则点P的坐标为．七、（本题12分）24．（12分）如图，正方形ABCD的边长为3，现将正方形ABCD绕点C顺时针旋转α得正方形CB′A′D′．A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′．（1）如图，当正方形CB′A′D′的对角线CA'落在CD的延长线时，B′A′与AD相交于点E，连接AB′，则旋转角α＝；△AB′E的周长＝；（2）当旋转角α＝60°，B′A′与AD相交于点E，B′A′，D′A′的延长线分别与CD的延长线相交于点F，H．求的值；转角α的正切值；（4）当旋转角α＝90°，点P在直线DD′上，点Q在射线CD上，点K在与直线CD的距离为2的直线上时，若以点D，P，Q，K四点为顶点的四边形是菱形，直接写出菱形的周长．八、（本题12分）25．（12分）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，0），，C（3，0），抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过△ABC的三个顶点．（1）求抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）点M是抛物线在第一象限上一点．①连接AM与BC相交于点E，即将△ABC分为两个三角形，若这两个三角形的面积之比为1：2时，则点M的坐标为，直线AM的函数表达式为；②将△ABO沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，点A的对应点为A'，点O的对应点为点O'．求出△A'MO'与△BOC重合部分的图形的周长；（3）在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴上取一点K，连接CK，使∠ACK+∠BAO ＝90°，延长CK交抛物线于点P，连接AK．动点Q从C点出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，是否存在某一时刻，使∠AQP＝∠AKP？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由．2023年辽宁省沈阳市私立联合体中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，每题2分，共20分）1．【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．【解答】解：﹣2023的倒数是．故选：C．【点评】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：183＝1.83×102．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．4．【分析】根据整式的乘法，幂的乘方运算、完全平方公式以及合并同类项法则即可求出答案．【解答】解：A、原式＝2a5，故A不符合题意．B、原式＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意．C、原式＝a6，故C不符合题意．D、原式＝﹣a3，故D符合题意．故选：D．【点评】本题考查整式的乘法，幂的乘方运算、完全平方公式以及合并同类项法则，本题属于基础题型．5．【分析】根据“全面调查与抽样调查的特点，事情发生可能性大小”逐一判断即可解答．【解答】解：A、检测“神舟十五号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故本选项不符合题意；B、调查“浑河水库”水质问题采用抽样调查，故本选项符合题意；C、打开电视机正在播放世界杯决赛是随机事件，故本选项不符合题意；D、掷一枚质地均匀的硬币落地时正面朝上是随机事件，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了全面调查和抽样调查，必然事件，确定事件，熟练掌握它们的定义和特点是解答本题的关键．6．【分析】根据反比例函数的性质判断即可．【解答】解：∵k＝3＞0，∴当x1＞x2＞0时，y随x的增大而减小，∴0＜y1＜y2，故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．7．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，继而求得∠B＝∠EAD＝48°，然后由CE⊥AB，即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B＝∠EAD＝48°，∵CE⊥AB，∴∠E＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠B＝42°．故选：C．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及平行线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．【分析】根据平均数和方差的定义分别计算出原数据和新数据的平均数与方差，从而得出答案．【解答】解：原数据的平均数为×（4000×2+4500×2+5000×2）＝4500，方差为×[2×（4000﹣4500）2+2×（4500﹣4500）2+2×（5000﹣4500）2]＝，新数据的平均数为＝4500，新数据的方差为×[2×（4000﹣4500）2+3×（4500﹣4500）2+2×（5000﹣4500）2]＝，所以新数据的平均数不变，方差变小，故选：B．【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．9．【分析】利用待定系数法求得两直线的解析式，进一步求得两直线的交点，然后利用三角形面积公式即可求解．【解答】解：设直线l1的解析式为y＝k1x+b，∵直线l1经过点（2，0）和（0，2），∴，解得，∴直线l1的解析式为y＝﹣x+2；设直线l2的解析式为y＝k2x，∵直线l2经过点（﹣2，1），∴1＝﹣2k2，解得k2＝﹣，∴直线l2的解析式为y＝﹣x，解得，∴两直线的交点为（4，﹣2），∴直线l1和l2与x轴围成的图形的面积为：＝4，故选：A．【点评】本题是两条直线的相交或平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．10．【分析】由“SAS”可证△DCB≌△ACE，再利用三角形内角和定理可求∠AOH＝∠DCH ＝60°，即可解决问题．【解答】解：如图：AC与BD交于点H．∵△ACD，△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴∠CAE＝∠CDB，∵∠DCH+∠CHD+∠BDC＝180°，∠AOH+∠AHO+∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOH＝∠BOE＝60°，∵两个等边三角形有6个60°角，∴一共有8个60°角．故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用三角形内角和定理证明角相等，属于中考常考题型．二、填空题（每题3分，共18分）11．【分析】提公因式2m，再运用平方差公式对括号里的因式分解．【解答】解：2m3﹣8m＝2m（m2﹣4）＝2m（m+2）（m﹣2）．故答案为：2m（m+2）（m﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．【分析】根据垂直定义可得∠CAB＝∠ADC＝∠ADB＝90°，从而可得∠B+∠ACD＝90°，α+∠B＝90°，根据同角的余角相等可得α＝∠ACD，再根据平角定义可得结论．【解答】解：∵CA⊥BE，AD⊥BF，∴∠CAB＝∠ADB＝90°，∴α+∠B＝90°，∠B+∠ACD＝90°，∴α＝∠ACD，∵α+∠EAD＝180°，∴α与∠EAD互补，∵∠ACD+∠ACF＝180°，∠ACD＝α，∴α与∠ACF互补，∴图中与α互补的角是∠EAD和∠ACF．故答案为：∠EAD和∠ACF．【点评】本题考查了垂线，余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．13．【分析】先求出瓷砖的总数，再求出白色瓷砖的个数，利用概率公式即可得出结论．【解答】解：∵由图可知，共有5块瓷砖，白色的有3块，∴它停在白色地砖上的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查的是几何概率，熟记概率公式是解答此题的关键．14．【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），由此求出a﹣b+c的值．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x＝1，∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴的另一交点为（﹣1，0）是解题的关键．15．【分析】根据已知可求得直线与两轴的交点，①分别过点A、点B作垂线，可得出符合题意的点C，②利用圆周角定理，可得出符合条件的两个点C．【解答】解：由题意知，直线y＝﹣x+1与x轴的交点为（2，0），与y轴的交点为（0，1），∴直线y＝﹣x+1过点B，如图，过点A作垂线与直线的交点C（﹣6，4），过AB中点E（﹣2，0），作垂线与直线的交点为F（﹣2，2），则EF＝2＜4，所以以4为半径，以点E为圆心的圆与直线必有1个交点∴共有2个点能与点A，点B组成直角三角形．故答案为：2．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，利用了直角三角形的性质和直线与圆的位置求解．16．【分析】设沿DE折叠点B落在函数y＝x的图象上的点为B′，连接B′E，作B′M⊥AB于M，EN⊥B′M于N，如图，则EN＝BM，BE＝MN，设B′（m，m），BM＝DM ＝3﹣m，NE＝B′N＝2﹣（3﹣m）＝m﹣1或NE＝B′N＝6﹣（3﹣m）＝m+3，由勾股定理得BN2+NE2＝B′E2，即可得到2（m﹣1）2＝22或2（m+3）2＝62，解得m的值，即可求得OC的长，从而求得点B的坐标．【解答】解：设沿DE折叠点B落在函数y＝x的图象上的点为B′，连接B′E，作B′M⊥AB于M，EN⊥B′M于N，如图，则EN＝BM，BE＝MN，∵点D（3，3），∴BC＝3，∵BE＝2CE，∴BE＝2或6，∴B′E＝2或6，设B′（m，m），∴BM＝DM＝3﹣m，NE＝B′N＝2﹣（3﹣m）＝m﹣1或NE＝B′N＝6﹣（3﹣m）＝m+3，∵BN2+NE2＝B′E2，′∴2（m﹣1）2＝22或2（m+3）2＝62，解得m＝1+或m＝3﹣3，∴NE＝或3，∴OC＝1+2或6﹣3，∴B（1+2，3）或（6﹣3，3）．故答案为：（1+2，3）或（6﹣3，3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理的应用，表示出线段的长度是解题的关键．三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）17．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：＝5﹣3+×+1＝5﹣3++1＝3+．【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．18．【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两个人选择的是不同学科的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）∵有语文、数学和物理三个学科，∴他选择的是数学学科的概率是．故答案为：．（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中两个人选择的是不同学科的结果有：（语文，数学），（语文，物理），（数学，语文），（数学，物理），（物理，语文），（物理，数学），共6种，∴两个人选择的是不同学科的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．19．【分析】（1）根据平移的性质得到AD＝BC，AD∥BC，根据菱形的判定定理即可得到结论；（2）过A作AH⊥DE于H，设AH＝3x，EH＝4x，根据平移的性质得到AE＝AB，AD＝BC，根据菱形的性质得到S△ABC＝S△ACD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵将△ABC沿着BA的方向平移，使点A，B，C对应点分别为点E，A，D，∴AD＝BC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：过A作AH⊥DE于H，∵，∴设AH＝3x，EH＝4x，∵将△ABC沿着BA的方向平移，使点A，B，C对应点分别为点E，A，D，∴AE＝AB，AD＝BC，∵AB＝BC，∴AE＝AD，∴DH＝EH＝DE＝＝4，∴x＝1，∵四边形ABCD是菱形，＝S△ACD，∴S△ABC＝3×＝36．∴四边形EBCD的面积＝3S△ADE【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行的性质，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．四、（每小题8分，共16分）20．【分析】（1）用A等级学生人数和已知百分比求出总人数，计算B等级的频数即可补全条形统计图；（2）用D等级学生人数除以样本容量可得D等级学生人数占被调查人数的百分比；用360°乘以C等级所占的比例可得在扇形统计图中C等级所对应的圆心角度数；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：（1）这次抽样调查的学生人数是：26÷32.5＝80（人），B等级人数为：80﹣26﹣4﹣20＝30；补全条形统计图如下：故答案为：80；（2）D等级学生人数占被调查人数的百分比为＝5%；在扇形统计图中C等级所对应的圆心角为360°×＝90°．故答案为：5%；90；（3）1800×＝585（人），答：估计其中A等级的学生人数大约为585人．【点评】本题考查条形统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．【分析】（1）设乙队单独施工x天可以完成该项工程，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；（2）设乙队需施工y天才能完成该项工程，利用甲队完成的工程量+乙队完成的工程量＝总工程量，结合甲队参与该项工程施工的时间不超过15天，可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）设乙队单独施工x天可以完成该项工程，根据题意得：+＝1，解得：x＝40，经检验，x＝40是所列方程的解，且符合题意．答：乙队单独施工40天可以完成该项工程；（2）设乙队需施工y天才能完成该项工程，根据题意得：+≥1，解得：y≥28，∴y的最小值为28．答：乙队至少施工28天才能完成该项工程．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．五、（本题10分）22．【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质结合题意推出∠DBE＝∠ODB，根据直角三角形的性质推出∠EDB+∠DBE＝90°，则∠EDB+∠ODB＝90°，根据切线的判定定理求解即可；（2）连接OC，解直角三角形求出BD＝2，∠EDB＝30°，∠DBE＝∠DBA＝60°，进而推出△OBD是等边三角形，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC＝AB＝2，再图中阴影部分的面积＝S扇形OBC﹣S△OBC求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵OB＝OD，∴∠DBA＝∠ODB，∵∠DBE＝∠DBA，∴∠DBE＝∠ODB，∵DE⊥CB交CB的延长线于点E，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠DBE＝90°，∴∠EDB+∠ODB＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DE＝3，＝，∠E＝90°，∴tan∠EDB＝＝，BD＝＝2，∴∠EDB＝30°，∴∠DBE＝∠DBA＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵OB＝OD，∠DBA＝60°，∴△OBD是等边三角形，∴OB＝OD＝BD＝2，∴AB＝4，∵∠ABC＝60°，∠ACB＝90°，∴∠A＝30°，∴BC＝AB＝2，∴图中阴影部分的面积﹣S△OBC＝S扇形OBC＝﹣×2×3＝2π﹣3．【点评】此题考查了切线的判定与性质，熟记切线的判定与性质、扇形面积计算公式是解题的关键．六、（本题10分）23．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）当以B、C、Q为顶点的三角形与△ADC相似时，存在△BCQ∽△ACD和△BCQ∽△ADC，①当△BCQ∽△ADC时，则，解得：BQ＝，即可求解；②△BCQ ∽△ACD时，同理可解；（3）作点D关于直线OC的对称点R，连接AR交直线OC于点P，则点P为所求点，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故直线y＝kx+b（k≠0）的函数表达式为：y＝﹣x+2；（2）将线段OC绕着点C顺时针旋转，点O的对应点D落在y轴的正半轴上，则点D （0，3），∵点A、D的纵坐标相同，则AD∥x轴，∴∠DAC＝∠CBO，当以B、C、Q为顶点的三角形与△ADC相似时，存在△BCQ∽△ACD和△BCQ∽△ADC，由点A、C、D的坐标得，BC＝＝AC，AD＝2，①当△BCQ∽△ADC时，则，即，解得：BQ＝，则点Q（﹣，0），△BCQ和△ADC相似比为：＝3：4；②△BCQ∽△ACD时，则，解得：BQ＝2，即点Q（2，0）；②△BCQ和△ACD相似比为：1：1；综上，点Q的坐标为：（﹣，0）或（2，0）；相似比为：3：4或1：1，故答案为：（﹣，0）或（2，0）；（3）作点D关于直线OC的对称点R，连接AR交直线OC于点P，则点P为所求点，理由：根据点的对称性，PR＝PD，则AP+DP＝AP+PR＝AR为最小．由点C的坐标得，直线OC的表达式为：y＝x①，则直线DR的表达式为：y＝﹣x+3，联立上述两式得：﹣x+3＝x，解得：x＝，即PR和OC的交点坐标为（，），则点（，）是RD的中点，由中点坐标公式得，点R（，），由点R、A的坐标得，直线AR的表达式为：y＝﹣（x+2）+3②，联立①②得：﹣（x+2）+3＝x，解得：x＝，即点P（，）．【点评】本题考查了一次函数综合应用，涉及到三角形相似、一次函数的性质、点的对称性等，有一定的综合性，其中（2），分类求解是本题解题的关键．七、（本题12分）24．【分析】（1）利用旋转变换的性质，正方形的性质，解直角三角形求出AB′，EB′，AE即可；（2）证明△FA′H∽△FDE，推出＝，求出FH，EF，可得结论；（3）如图3中，延长CD交A′B′于点J，连接CE．设DJ＝x，EJ＝y，利用相似三角形的性质，勾股定理，构建方程组求解；（4）分DQ是菱形的边或对角线，分别画出图形求解即可．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝3，∠B＝∠BAD＝90°，∠CAD＝∠CAB＝∠ACB＝∠ACD＝45°，∴AC＝＝＝3，由旋转变换的性质可知CB＝CB′＝3，∠A′B′C＝90°，∴∠AB′E＝90°，∴∠AEB′＝∠CAE＝45°，∴AB′＝B′E＝3﹣3，∴AE＝AB′＝6﹣3，∴△AEB′的周长＝2（3﹣3）+6﹣3＝3．故答案为：45°，3；（2）如图2中，由旋转变换的性质可知∠BCB′＝∠HCD′＝60°，∵∠BCD＝∠B′＝∠D＝90°，∴∠DCB′＝30°，∴CF＝＝2，∴DF＝CF﹣CD＝2﹣3，∵CH＝CD′•cos60°＝6，∴FH＝CH﹣CF＝6﹣2，∵∠EDF＝90°，∠DFE＝60°，∴EF＝＝4﹣6，∵∠A′FH＝∠EFD，∠FA′H＝∠EDF＝90°，∴△FA′H∽△FDE，∴＝＝＝+1；（3）如图3中，延长CD交A′B′于点J，连接CE．∵∠B′＝∠CE＝90°，CE＝CE，CD＝CB′，∴Rt△CEB′≌Rt△CED（HL），∴DE＝EB′，由题意2××DE×CD＝3，∴DE＝EB′＝1，设DJ＝x，EJ＝y，∵∠EJD＝∠CJB，∠EDJ＝∠CB′J＝90°，∴△EDJ∽△CB′J，∴＝，∴＝，∴x＝3y﹣3，∵y2＝x2+1，∴y2＝9y2﹣18y+9+1，∴y＝或1（舍弃），∴x＝，∵CD′∥A′B′，∴∠DJE＝∠DCD′＝α，∴tanα＝＝＝；（4）如图当DQ是菱形的边时，菱形DQKP，菱形DQK′P′的周长都是8．菱形DK1P′Q″的周长为8，当DQ′是菱形的对角线时，菱形DP′Q′K″的周长为8．综上所述，满足条件的菱形的周长为8或8．．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，菱形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．八、（本题12分）25．【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；（2）①运用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝﹣x+，根据题意可得点E为线段BC的三等分点，即E1（1，1），E2（2，），分别运用待定系数法求出直线AM的解析式，联立方程组即可求得点M的坐标；②由题意得△ABO沿着x轴正方向平移2个单位，即A′（1，0），O′（2，0），利用勾股定理可得AB＝，CB＝，再由△CFO′∽△CBO，可求得FO′＝，CF ＝，由△CGA′∽△CBA，可得CG＝，A′G＝，即可求得答案；（3）设K（1，m），分两种情况：①如图3，当点K在x轴下方时，过点P作PH⊥x 轴于点H，设抛物线对称轴交x轴于点L，则L（1，0），由△CKL∽△BAO，可得K（1，﹣），运用待定系数法可得直线CK的解析式为y＝x﹣2，联立方程组可求得P（﹣，﹣），由题意得Q（3﹣t，0），根据∠AQP＝∠AKP，可推出PQ＝CQ＝t，利用勾股定理建立方程求解即可求得t的值；②当点K在x轴的上方时，如图4，过点P作PH ⊥x轴于点H，同①的方法即可求得t的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），，C（3，0）三点，∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+；（2）①设直线BC的解析式为y＝kx+d，∵，C（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，∵直线AM将△ABC分为两个三角形的面积之比为1：2，∴点E为线段BC的三等分点，∵OC＝3，∴点E的横坐标分别为1或2，如图1，取线段BC的三等分点E1、E2，当x＝1时，y＝﹣×1+＝1，当x＝2时，y＝﹣×2+＝，∴E1（1，1），E2（2，），设直线AM的解析式为y＝mx+n，把A（﹣1，0），E1（1，1）分别代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，得：，解得：（舍去），，∴M1（2，）；把A（﹣1，0），E2（2，）分别代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AM的解析式为y＝x+，联立方程组，得：，解得：（舍去），，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为M1（2，）、M2（，），直线AM的函数表达式为y＝x+或y＝x+；故答案为：M1（2，）、M2（，），y＝x+或y＝x+；②将△ABO沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，∵B（0，），M1（2，），∴△ABO沿着x轴正方向平移2个单位，∴A′（1，0），O′（2，0），在Rt△ABO中，OA＝1，OB＝，∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，在Rt△CBO中，OC＝3，OB＝，∠COB＝90°，∴CB＝＝＝，又CA＝4，CO′＝1，CA′＝2，∵O′B′∥OB，∴△CFO′∽△CBO，∴＝＝，即＝＝，∴FO′＝，CF＝，∵A′B′∥AB，∴△CGA′∽△CBA，∴＝＝，即＝＝，∴CG＝，A′G＝，∴FG＝CG﹣CF＝﹣＝，A′O′＝2﹣1＝1，∴四边形A′GFO′的周长＝A′O′+FO′+FG+A′G＝1+++＝，故△A'MO'与△BOC重合部分的图形的周长为；（3）存在．∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+2，∴抛物线对称轴为直线x＝1，设K（1，m），①如图3，当点K在x轴下方时，过点P作PH⊥x轴于点H，设抛物线对称轴交x轴于点L，则L（1，0），∴CL＝2，LK＝﹣m，∵∠ACK+∠BAO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠ACK＝∠ABO，∵∠CLK＝∠BOA＝90°，∴△CKL∽△BAO，∴＝，即＝，解得：m＝﹣，∴K（1，﹣），设直线CK的解析式为y＝k′x+b′，则，解得：，∴直线CK的解析式为y＝x﹣2，联立方程组得：，解得：（舍去），，∴P（﹣，﹣），H（﹣，0），由题意得Q（3﹣t，0），∴CQ＝t，∵A、C关于对称轴对称，∴∠ACK＝∠CAK，∵∠AKP＝∠ACK+∠CAK，∴∠AKP＝2∠ACK，∵∠AQP＝∠AKP，∴∠AQP＝2∠ACK，当点Q位于点A的右侧时，∠AQ1P＝∠ACK+∠Q1PC，∴∠ACK＝∠Q1PC，∴PQ1＝CQ1＝t，∴Q1H＝3﹣t﹣（﹣）＝﹣t，PH＝，∵Q1H2+PH2＝Q1P2，∴（﹣t）2+（）2＝t2，解得：t＝，∴Q1（﹣，0），当点Q在点A的左侧时，∠AQ2P＝∠AQ1P，∴Q2P＝Q1P，∵PH⊥Q1Q2，∴Q2H＝Q1H＝﹣﹣（﹣）＝，∴Q2（﹣，0），∴3﹣t＝﹣，解得：t＝；②当点K在x轴的上方时，如图4，过点P作PH⊥x轴于点H，由（3）①知∠ACK＝∠ABO，△CKL∽△BAO，∴＝，即＝，解得：m＝，∴K（1，），设直线CK的解析式为y＝k″x+b″，则，解得：，∴直线CK的解析式为y＝﹣x+2，联立方程组得：，解得：（舍去），，∴P（，），H（，0），∵∠AQP＝∠AKP，∴∠AQP＝2∠ACK＝∠ACK+∠CPQ，∴∠ACK＝∠CPQ，∴PQ＝CQ＝t，∵HQ＝﹣t，PH＝，∴（﹣t）2+（）2＝t2，解得：t＝；综上所述，t的值为或或．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点，三角形面积，平移变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，本题综合性很强，难度较大，解题关键是运用方程思想和分类讨论思想思考解决问题。
沈阳市2023初中数学中考模拟试卷及答案
沈阳市2023初中数学中考模拟试卷及答案2023沈阳市初中数学模拟考试一、选择题（每题3分，共30分）1. 在∠ABC中，若cosA=2/3，那么∠A=（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2. 下列几何体中表面积最小的是（）A. 正方体B. 长方体 C . 圆柱体 D. 圆锥体3. 求解不等式x＞4等价于（）A. x≥4B. x≤4 ≠4 D. x=44. 已知sin60°= ，cos45°= ，那么tan45°=A. 1B. 2C. 3D. 45. 在函数y=ln(x-1)+1的图象上，该函数的定义域为（）A. (1,+∞)B. (1,2)C. (0,1)D. (2,+∞)二、填空题（每题4分，共16分）6. 若一个正方形的面积为36平方厘米，则它的周长为____________。
7. 三角形的三个内角 A、B、C 满足A+B=90°，已知A=35°，则 C 的度数是____________。
8. 请你计算：tan(arcsin(2/5))=____________。
9. 设关于x的函数y=2x2-6x+3，则y=2时，x=____________。
三、解答题（共54分）10. （6分）计算：（1）sin60°+cos30°=____________（2）cos20°sin50°-sin20°cos50°=____________11. （6分）计算：（1）sin2π+cos2π=____________（2）sin506°+cos506°=____________12. （6分）求tan75°=____________13. （8分）计算：（1）sin(60°-23°)=____________（2）cos(35°-125°)=____________14. （8分）已知任意的角α，tanα=2和cosα= ，求sinα=____________15. （8分）已知正方形的边长为a，求它的面积和周长：面积＝____________；周长＝____________。
2022年辽宁省沈阳市中考数学试题(含答案解析)
∴点 ，
∴向上翻折部分的图象解析式为 ，
∴向上翻折部分平移后的函数解析式为 ，平移后抛物线剩下部分的解析式为 ，
设直线BC的解析式为 ，
把点B（6，0），C（0，-3）代入得：
，解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
同理直线 的解析式为 ，
∴BC∥C′G′，
设点P的坐标为 ，
∵ 是圆 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵四边形 内接于圆 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
23．
（1）直线AB的函数表达式为y = x+9
（2）① m②S= m2③15 2
24．
（1）AD = AC
（2）结论成立，因为△AOD≌△BOC（SAS）。证明略。
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
，
∵ ，且 ，
∴当 时，S有最大值，即为 ；
故答案为：150．
22．
（1）证明：∵四边形 内接于圆 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是圆 的直径，
∴ 是圆 的切线．
（2）解：延长 交 的延长线于点 ，
BH⊥x轴交AD于点H，
当x=6时， ，
∴点H（6，-4），即BH=4，
设点 ，则点 ，
∴ ，
∵ 的面积记为 ， 的面积记为 ，且 ，
∴BF=2EF，
∵EG⊥x，BH⊥x轴，
∴△EFG∽△BFH，
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2023年辽宁沈阳中考数学真题及答案
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视
图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 我国自主研发的口径球面射电望远镜有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为用科学记数法表示数据为( )
A. B. C. D.
4. 下列计算结果正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6. 某班级准备利用暑假去研学旅行，他们准备定做一批容量一致的双肩包为此，活动负责人征求了班内同学的意向，得到了如下数据：
容量
人数
则双肩包容量的众数是( )
A. B. C. D.
7. 下列说法正确的是( )
A. 将油滴入水中，油会浮在水面上是不可能事件
B. 抛出的篮球会下落是随机事件
C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命，采用普查的方式
D. 若甲、乙两组数据的平均数相同，，，则甲组数据较稳定
8. 已知一次函数的图象如图所示，则，
的取值范围是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
9. 二次函数图象的顶点所在的象限是( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
10. 如图，四边形内接于，的半径为
，，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：______．
12. 当时，代数式的值为______ ．
13. 若点和点都在反比例函数的图象上，则
______ 用“”“”或“”填空
14. 如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：
以点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在
内交于点；
作射线交直线于点；
若，则 ______ 度
15. 如图，王叔叔想用长为的栅栏，再借助房屋的外
墙围成一个矩形羊圈，已知房屋外墙足够长，当矩形
的边 ______ 时，羊圈的面积最大．
16. 如图，在中，，
，点在直线上，，
过点作交直线于点，连接
，点是线段的中点，连接，则的长为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
计算：．
18. 本小题分
为弘扬中华优秀传统文化，学校举办“经典诵读”比赛，将比赛内容分为“唐诗”“宋词”“元曲”三类分别用，，依次表示这三类比赛内容现将正面写有，，的三张完全相同的卡片背面朝上洗匀，由选手抽取卡片确定比赛内容选手小明先从三张卡片中随机抽取一张，记下字母后放回洗匀，选手小梅再随机抽取一张，记下字母请用画树状图或列表的方法，求小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率．19. 本小题分
如图，在中，，是边上的中线，点在的延长线上，连接，过点作交的延长线于点，连接，求证：四边形是菱形．
20. 本小题分
“书香润沈城，阅读向未来”，沈阳市第十五届全民读书季启动之际某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查问卷设置了五种选项：“艺术类”，“文学类”，“科普类”，
“体育类”，“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
此次被调查的学生人数为______ 名；
请直接补全条形统计图；
在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是______ 度；
根据抽样调查结果，请你估计该校名学生中，有多少名学生最喜爱“科普类”图书．
21. 本小题分
甲、乙两人加工同一种零件，每小时甲比乙多加工个这种零件，甲加工个这种零件所用的时间与乙加工个这种零件所用的时间相等，求乙每小时加工多少个这种零件．
22. 本小题分
如图，是的直径，点是上的一点点不与点，重合，连接、，点是上的一点，，
交的延长线于点，且．
求证：是的切线；
若的半径为，，则的长为______ ．
23. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点点不与点重合，过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．
求的值和直线的函数表达式；
以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点．当时，设线段的长度为，求与之间的关系式；
连接，，当的面积为时，请直接写出的值．
24. 本小题分
如图，在▱纸片中，，，，点
为边上的一点点不与点重合，连接，将▱纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为，，射线
与射线交于点．
求证：；
如图，当时，的长为______ ；
如图，当时，过点作，垂足为点，延长
交于点，连接，，求的面积．
25. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，与
轴的交点为点和点．
求这个二次函数的表达式；
点，在轴正半轴上，，点在线段上，以线段，为邻边作矩形，连接，设．
连接，当与相似时，求的值；
当点与点重合时，将线段绕点按逆时针方向旋转后得到线段，连接，，将绕点按顺时针方向旋转
后得到，点，的对应点分别为、，连接当的边与线段垂直时，请直接写出点
的横坐标．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】或
17.【答案】解：原式
．
18.【答案】解：用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有种等可能出现的结果，其中小明和小梅抽到同一类比赛内容的有种，
所以小明和小梅抽到同一类比赛内容的概率为．
19.【答案】证明：，是边上的中线，
垂直平分，
，，
，
，，
，
≌，
，
，
四边形是菱形．
20.【答案】
21.【答案】解：设乙每小时加工个这种零件，则甲每小时加工个这种零件，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：乙每小时加工个这种零件．
22.【答案】
23.【答案】解：点在直线上，
，
一次函数的图象过点和点，
，
解得，
直线的解析式为；
点在直线上，且的横坐标为，的纵坐标为：，
点在直线上，且点的横坐标为，
点的纵坐标为：，
，
点，线段的长度为，
，
，
，
即；
的面积为，
，
即，
解得，
由知，，
，
解得，
即的值为．
24.【答案】
25.【答案】解：二次函数的图象经过点，与轴的交点为点，
，
解得：，
此抛物线的解析式为；
令，则，
解得：或，
，
．
，，，
，
四边形为矩形，
，，
，，，，
Ⅰ当∽时，
，
，
；
Ⅱ当∽时，
，
，
．
综上，当与相似时，的值为或；
点与点重合，
．
，，，，．
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
．
Ⅰ当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，
．
过点作轴于点，则，
，
，此时点的横坐标为；
Ⅱ当所在直线与垂直时，如图，
，
，
设的延长线交于点，过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，则轴，．
，
，
．
，
．
，
，
此时点的横坐标为；
Ⅲ当所在直线与垂直时，如图，
，，
，
，，三点在一条直线上，则，
过点作，交的延长线于点，
，
此时点的横坐标为．
综上，当的边与线段垂直时，点的横坐标为或或．。