_专题15三角函数解答题2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(解析版)

即 ，可得 ．
由于 ，所以 ，故
．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第17题
11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第17题)(12分)在平面四边形 中， ， ， , ．
(1)求 ;(2)若 ,求 ．
【答案】解析：(1)在 中，由正弦定理得 ．
16．(2015高考数学新课标2理科·第17题)(本题满分12分) 中， 是 上的点， 平分 ， 面积是 面积的2倍．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 ， ，求 和 的长．
【答案】
解析：(Ⅰ) ， ，因为 ， ，所以 ．由正弦定理可得 ．
(Ⅱ)因为 ，所以 ．在 和 中，由余弦定理得
， ．
．由(Ⅰ)知 ，所以 ．
故 ．
(2)由题设及(1)得 ,即 ．
所以 ,故 ．
由题设得 ,即 ．
由余弦定理得 ,即 ,得 ．
故 的周长为 ．
【考点】三角函数及其变换．
【点评】在处理解三角形问题时,要注意抓住题目所给的条件,当题设中给定三角形的面积,可以使用面积公式建立等式,再将所有边的关系转化为角的关系,有时需将角的关系转化为边的关系;解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角,求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角,再有另外一个条件,求面积或周长的值”,这类问题通法思路是:全部转化为角的关系,建立函数关系式,如 ,从而求出范围,或利用余弦定理以及基本不等式求范围;求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可．
【题目栏目】三角函数\正弦定ห้องสมุดไป่ตู้和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题
5．(2021年新高考Ⅰ卷·第19题)记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ，点 在边 上， ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 ．
【答案】解析：
(1)由题设， ，由正弦定理知： ，即 ，
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】解析：解法一：
由 可得： ，
不妨设 ，
则： ，即 ．
选择条件①的解析：
据此可得： ， ，此时 ．
选择条件②的解析：
据此可得： ，
则： ，此时： ，则： ．
选择条件③的解析：
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\三角形中的面积问题
【题目来源】2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题
15．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)(本题满分为12分) 的内角 的对边分别为 ，已知
( )求 ；
( )若 ， 的面积为 ，求 的周长．
【答案】( ) ；( )
【官方解答】( )由已知及正弦定理得：
(1)求 面积；
(2)若 ，求b．
【答案】(1)
(2)
解析：(1)由题意得 ，则 ，
即 ，由余弦定理得 ，整理得 ，则 ，又 ，
则 ， ，则 ；
(2)由正弦定理得： ，则 ，则 ， ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2022新高考全国II卷·第18题
3．(2022新高考全国I卷·第18题)记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)若 ，求B；
(2)求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) ．
解析：(1)因为 ，即 ，
而 ，所以 ；
(2)由(1)知， ，所以 ，
而 ， 所以 ，即有 ．
所以
．
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题
【题目来源】2022新高考全国I卷·第18题
4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第18题)在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， ．．
(Ⅰ)
【基本解法1】
由题设及 ，故
上式两边平方，整理得
解得
【基本解法2】
由题设及 ，所以 ，又 ，所以 ，
(Ⅱ)由 ，故
又
由余弦定理及 得
所以b=2
【知识拓展】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．
∴ ，又 ，∴ ，得证．
(2)由题意知： ，
∴ ，同理 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，又 ，
∴ ，整理得 ，解得 或 ，
由余弦定理知： ，
当 时， 不合题意；当 时， ；
综上， ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2021年新高考Ⅰ卷·第19题
6．(2020年新高考I卷(山东卷)·第17题)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
考点：1、三角形面积公式；2、正弦定理和余弦定理．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2015高考数学新课标2理科·第17题
17．(2013高考数学新课标2理科·第17题) 中内角 的对边分别为 ，已知 ．
由题设知， ，所以 ．
由题设知， ，所以 ．
(2)由题设及(1)知， ．
在 中，由余弦定理得
．
所以 ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第17题
12．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题) 的内角 的对边分别为 ,已知 的面积为 ．
(1)求A；
(2)若BC=3，求 周长的最大值．
【答案】(1) ；(2) ．
解析：(1)由正弦定理可得： ，
，
，
(2)由余弦定理得： ，
即 ．
(当且仅当 时取等号)，
，
解得： (当且仅当 时取等号)，
周长 ， 周长的最大值为 ．
【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值．
【点评】在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来．正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\三角形中的面积问题
可得 ， ，
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2020新高考II卷(海南卷)·第17题
8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题) 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\正、余弦定理的综合应用
【题目来源】2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题
9．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第18题) 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1) ;(2) ．
【官方解析】
由余弦定理可知: 即
整理可得 ,解得 (舍去)或 ．
(2)法一:设 ,则在 中,由勾股定理可得
在 中,有
由余弦定理可得
即 即
所以 ,解得
所以 ．
法二:依题意易知
又因为 ,
所以
所以 ．
法三:∵ ,
由余弦定理 ．
∵ ,即 为直角三角形,
则 ,得 ．
由勾股定理 ．
又 ,则 ,
．
【考点】 余弦定理解三角形;三角形的面积公式
与条件 矛盾，则问题中的三角形不存在．
解法二：∵ ,
∴ ,
，
∴ ,∴ ,∴ ,∴ ,
若选①， ,∵ ,∴ ,∴c=1;
若选②， ,则 , ;
若选③,与条件 矛盾．
【题目栏目】三角函数\三角函数的综合问题
【题目来源】2020年新高考I卷(山东卷)·第17题
7．(2020新高考II卷(海南卷)·第17题)在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中 三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
(1)求 ; (2)若 , ,求 的周长．
【答案】(1) ;(2) 的周长为 ．
【分析】(1)由三角形面积公式建立等式 ,再利用正弦定理将边化成角,从而得出 的值;(2)由 和 ,计算出 ,从而求出角 ,根据题设和余弦定理可以求出 和 的值,从而可求出 的周长．
【解析】(1)由题设得 ,即 ．
由正弦定理得 ．
【题目栏目】三角函数\正弦定理和余弦定理\三角形中的面积问题
【题目来源】2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第17题
13．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)(12分) 的内角 的对边分别为 ．已知 ， ， ．
(1)求 ；
(2)设 为 边上一点，且 ，求 的面积．
【答案】(1) ;(2)
【解析】(1)由 可得 ,因为 ,故 ．