2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)

7.3 平面向量数量积及应用课标要求考情分析核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理2022(Ⅱ)卷4利用向量数量积的坐标运算求夹角2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算，向量的模2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算2020(Ⅰ)卷7向量数量积的运算和投影1.向量的夹角定义范围 共线与垂直图示已知两个非零向量a ⃗和b ⃗⃗,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角．[0,π]a ⃗//b⃗⃗?θ=0或π; a ⃗⊥b⃗⃗?θ=π2向量夹角：共起点定义已知两个非零向量a ⃗与b ⃗⃗,它们的夹角为θ，我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ叫做a ⃗与b ⃗⃗的数量积,记作a ⃗?b ⃗⃗. 即a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b⃗⃗|cosθ. 特殊情况 0⃗⃗a ⃗=0; a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=0 运算律a ⃗?b ⃗⃗=b ⃗⃗?a ⃗（交换律）;λa ⃗?b ⃗⃗=λ(a ⃗?b ⃗⃗)=a ⃗?(λb ⃗⃗)（结合律）;(a ⃗+b ⃗⃗)?c ⃗=a ⃗?c ⃗+b ⃗⃗?c ⃗（分配律）运算性质(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2; (a ⃗+b ⃗⃗)(a ⃗−b ⃗⃗)=a ⃗2−b⃗⃗2 (a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗)2=a ⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+2b ⃗⃗?c ⃗+2c ⃗?a ⃗如图，设a ⃗,b ⃗⃗是两个非零向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,考虑如下变换:过AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所在直线的垂线,垂足分别为A 1、B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,称上述变换为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影, A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗叫做向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量.若向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为θ,则向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量为|a ⃗⃗|cosθ|b⃗⃗|b ⃗⃗4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a ⃗=(x 1,y 1),b ⃗⃗=(x 2,y 2)，a ⃗,b⃗⃗的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ a ⃗?b ⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 夹角cosθ=a ⃗?b⃗⃗|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12?√x 22+y 22模 |a ⃗|=√a ⃗2 |a ⃗|=√x 12+y 12 垂直 a ⃗⊥b ⃗⃗a ⃗?b ⃗⃗=0 a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2=0 共线a ⃗//b ⃗⃗a ⃗=λb ⃗⃗(λ∈R ) a ⃗//b⃗⃗?x 1y 2=x 2y 1 不等关系a ⃗⃗,b⃗⃗共线时等号成立 |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12?√x 22+y 221.向量模长不等式：||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗±b ⃗⃗|≤|a ⃗|+|b ⃗⃗|; |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| 2.两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为锐角?a ⃗?b ⃗⃗>0且a ⃗，b ⃗⃗不共线;两个向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为钝角?a ⃗?b ⃗⃗<0且a ⃗，b ⃗⃗不共线1.【P24 T21】在三角形ABC 中，已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2，点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则向量BG⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为() A. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2.【P41 T3】设作用于同一点的三个力F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，若|F 1⃗⃗⃗⃗|=1，|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1→与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π，如图所示．(1)求F 3→的大小； (2)求F 2→与F 3→的夹角．考点一 平面向量数量积的运算 【方法储备】1.平面向量数量积的运算方法2.已知数量积求参数已知向量的数量积，用上述方法展开，得出关于参数的方程，进而求出参数.角度1投影向量 【典例精讲】例1.(2022·安徽省期中)已知|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，且e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，则a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为．【名师点睛】本题考查向量的夹角、向量的投影，属于中档题．设a⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，求出cos θ，根据投影向量的概念，即可求出结果． 【靶向训练】练1-1(2021·江苏省无锡市期末)设平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12，b ⃗⃗=(2,√5)，a ⃗?b ⃗⃗=18，则b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量为() A. 12b⃗⃗ B. 18b⃗⃗ C. 12a ⃗ D. 18a⃗ 练1-2(2022·陕西省模拟)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为() A. 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. √32CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 角度2平面向量数量积的概念及运算 【典例精讲】例2.(2022·山东省潍坊市模拟)在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题,把所求向量转化，再结合数量积的运算即可求解结论．【靶向训练】练1-3(2022·江西省模拟)已知两个单位向量a ⃗，b ⃗⃗的夹角为60°，c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗.若c ⃗?b ⃗⃗=0，则t =．练1-4(2022·北京市期末)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE =2EF ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为() A. −58B. 14C. 18D. 118角度3平面向量数量积的坐标运算 【典例精讲】例3.(2021·新课标Ⅰ卷.多选)已知O 为坐标原点,点P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,−sinβ), P 3(cos(α+β),?sin(α+β))，A(1,?0)，则() A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角函数的恒等变形公式，属于中档题． 根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可．【靶向训练】练1-5(2022·辽宁省大连市模拟)设向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，且b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，则m =． 练1-6(2022·江西省萍乡市期末)已知向量m ⃗⃗⃗⃗=(2cosωx,−1)，n ⃗⃗=(√3sinωx −cosωx,1)，其中ω>0，函数f(x)=m⃗⃗⃗⃗?n ⃗⃗+2，且f(x)的最小正周期为π2，则f(x)的解析式为． 考点二 平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题 【方法储备】1.求平面向量模的方法2.求平面向量夹角的方法3.向量的垂直、共线问题(1)两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，即:a ⃗=(x 1,y 1), b ⃗⃗=(x 2,y 2),则a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗·b⃗⃗＝0?x 1x 2+y 1y 2=0. 应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立，因为可视零向量与任意向量垂直. (2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.【特别提醒】在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.角度1平面向量的模 【典例精讲】例4.(2022·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b⃗⃗|=√10，则|b ⃗⃗|=． 【名师点睛】利用数量积的性质即可得出．本题考查了数量积的性质，向量模的计算，属于基础题．【靶向训练】练2-1(2022·湖北省咸宁市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=5，且|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗−b⃗⃗|=() A. 6B. 8C. 36D. 64练2-2(2022·.山东省济南市期末.多选) 若平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=()A. √3B. 3C. 5D. 6角度2平面向量的夹角 【典例精讲】例 5.(2022·江西省模拟)若非零向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=2√23|b ⃗⃗|，且(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b⃗⃗)，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π4 B. π2C. 3π4D. π【名师点睛】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可．本题主要考查向量夹角的求解，利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键．【靶向训练】练2-3(2021·湖北省武汉市期末)在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 若CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，则∠ADC =()A. 5π6B. 3π4C. 2π3D. π2练2-4(2022·江苏省南通市期末)已知向量a ⃗⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|=2√33|a ⃗⃗|，则向量<a ⃗⃗+b ⃗⃗，a⃗⃗>=()A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6角度3平面向量的垂直 【典例精讲】例6.(2021·浙江省温州市模拟)若|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，若(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则m 的值为【名师点睛】本题考查向量数量积的计算公式，两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0．由条件可求得a ⃗⃗?b ⃗⃗=1，根据两向量垂直，则两向量的数量积为0，从而会得到关于m 的方程，解方程即可求出m ．【靶向训练】练2-5(2021·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，若(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则实数λ=()A. −32B. 32C. −2D. 2练2-6(2022·上海市期末)已知a 、b 都是非零向量，且a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为．考点三 平面向量中的最值、范围问题 【方法储备】1.求最值、范围问题的思路（1）将向量的最值、范围问题转化为平面几何的最值、范围问题，利用平面几何的知识求解； （2）将向量坐标化，转化为函数、方程、不等式的问题解决.【典例精讲】例7.(2022·湖北省黄冈市模拟)已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为() A. 16+16√55B. 16+8√55C. 165D. 565【名师点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及直线与圆的位置关系．根据题意，设AD 为斜边BC 上的高，求出AD 的值，连接PA ，可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，分析可得当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值，据此计算可得答案．【靶向训练】练3-1(2022·湖北省模拟)已知梯形ABCD 中，∠B =π3，AB =2，BC =4，AD =1，点P ，Q 在线段BC 上移动，且PQ =1，则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为()A. 1B. 112C. 132D. 114练3-2(2022·江苏省宿迁市期末)在ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若b(tanA +tanB)=2ctanB ，且G 是ΔABC 的重心，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为．核心素养系列 直观想象、数学运算——平面向量与极化恒等式【方法储备】1.极化恒等式：a ⃗⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2] 三角形模型：在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中：则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14(|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2) 2.利用极化恒等式求数量积问题的步骤：【典例精讲】例8.(2022·山东省模拟) 如图，在△ABC 中，AC =6，AB =8，∠BAC =π2，D 为边BC 的中点． (1)求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若点P 满足CP →=λCA →(λ∈R)，求PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值； (3)若点P 在∠BAC 的角平分线上，且满足PA →=mPB →+nPC →(m,n ∈R).若1≤n ≤2，求|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围． 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算，考查化归与转化，考查运算求解能力，是中档题．(1)由极化恒等式及向量的加减运算求解；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0，由已知结合极化恒等式求解m 与n 值，进一步可得EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值． 【靶向训练】练4-1(2021·湖北省模拟)如图，已知P 是半径为3，圆心角为π2的一段圆弧AB ⏜上一点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是()A. −6B. 6−9√2C. −8D. 6−6√5练4-2(2022·福建省龙岩市期中)阅读下一段文字：(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2，两式相减得(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2=4a ⃗?b ⃗⃗?a ⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2]，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =BC =3，求AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值； (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5，求EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值．易错点1．投影向量理解错误例9.(2022·湖北省武汉市期末.多选)若A i (i =1,2,…,n)是△AOB 所在的平面内的点，且OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.下面给出的四个命题中，其中正确的是() A. |OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+⋯+|OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|B. AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0C. 点A 、A 1、A 2…A n 一定在一条直线上D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量一定相等易错点2．向量夹角定义理解错误例10.(2021·辽宁省期中)已知|a ⃗⃗|=√2，|b ⃗⃗|=4，当b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)时，向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π6 B. π4 C. 2π3 D. 3π4易错点3．平面向量的运算律运用错误例11.(2022·江苏省南通市模拟.多选)关于平面向量a ⃗⃗，b ⃗⃗，c⃗⃗，下列说法不正确的是() A. 若a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗，则a ⃗⃗=b ⃗⃗B. (a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗C. 若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗D. (a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗=(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗易错点4．混淆平面向量共线、垂直的坐标关系例12.(2022·福建省名校联考.多选)已知向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，则()A. 若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则m =12B. 若a ⃗⃗//b ⃗⃗，则m 的值为−2C. 若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则m =2D. 若m =3，则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°答案解析【教材改编】1.【解析】在△ABC 中，∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即AB ⊥AC ， 点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，则G 为△ABC 的重心，设AC 的中点为D ,∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|， ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为：23×AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 故答案选：B ．2.【解析】 (1)由F 1⃗⃗⃗⃗，F 2⃗⃗⃗⃗⃗，F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态，知F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗+F 3⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗，∵|F 1⃗⃗⃗⃗|=1,|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1⃗⃗⃗⃗与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π， ∴|F 3⃗⃗⃗⃗⃗|=|−F 1⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=√(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+4+2×1×2×(−12)=√3；(2)∵F 3⃗⃗⃗⃗⃗=−(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)，∴F 3⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗=−F 1⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗，设F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为θ，∴√3×2×cosθ=−1×2×(−12)−4，解得cosθ=−√32，又θ∈[0,π]，∴θ=5π6．即F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为5π6．? 【考点探究】例1.【解析】设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ，因为|a ⃗|=3，|b ⃗⃗|=5，a ⃗·b ⃗⃗=−12，所以cosθ=a ⃗⃗·b ⃗⃗|a⃗⃗||b ⃗⃗|=−123×5=−45， 因为e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量，所以a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为：|a ⃗|cosθ·e ⃗=3×(−45)e ⃗=−125e ⃗．故答案为−125e ⃗．练1-1.【解析】因为平面向量a ⃗，b ⃗⃗满足|a ⃗|=12,?b ⃗⃗=(2,√5),?a ⃗?b ⃗⃗=18， 所以b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量是a ⃗⃗?b ⃗⃗|a⃗⃗|×a ⃗⃗|a⃗⃗|=1812×a ⃗⃗12=18a ⃗．故答案选；D ．练1-2.【解析】因为2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以O 为BC 中点，又△ABC 外接圆的圆心为O ， 所以三角形为以A 为直角顶点的直角三角形， 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，所以△ABO 为等边三角形，则∠ABC =60°，∠ACB =30°，所以向量CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为： CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 故答案选：C ．例2.【解析】∵在梯形ABCD 中，AB//DC ，AD =BC =2，AB =4，∠ABC =π3，P 是BC 的中点，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=42−12×4×2×12=14，故答案为：14．练1-3.【解析】∵c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗，c ⃗?b ⃗⃗=0，∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b ⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=0， ∵a ⃗，b ⃗⃗是单位向量，∴|a ⃗|=|b⃗⃗|=1， 又∵a⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗?b ⃗⃗=1×1×cos60°=12， ∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=12t +(1−t)=0，∴t =2． 故答案为：2．练1-4.【解析】如图，∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，且DE =2EF ， ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18． 故答案选：C ．例3.【解析】OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0)，OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?α,sin?α)，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?β,−sin?β)，OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?(α+β),sin?(α+β))， AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosα−1,sinα)，AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosβ−1,−sinβ)，对于A ，|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1，|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2β+(−sinβ)2=1，A 正确；对于B ，|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosα−1)2+sin 2α=√2−2cosα，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√2−2cosβ，因为α,β不一定相等，所以|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|不一定相等，B 错误；对于C ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cos(α+β)；OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cos(α+β)，C 正确；对于D ，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosα，OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosβcos(α+β)+(−sinβ)sin(α+β)=cos(α+2β)，不一定相等，D 错误．故选：AC ．练1-5.【解析】∵向量a ⃗=(1,m)，b ⃗⃗=(2,1)，∴2a ⃗⃗+b ⃗⃗=(4,2m +1)，∵b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7，∴b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=8+2m +1=7，解得m =−1． 故答案为：−1．练1-6.【解析】f (x )=m ⃗⃗⃗⃗·n ⃗⃗+2=2cosωx ·(√3sinωx −cosωx)−1+2 =√3sin2ωx −(1+cos2ωx )+1=2sin (2ωx −π6)，∵最小正周期为π2，故ω=2，则f (x )的解析式为f (x )=2sin (4x −π6)． 故答案为：f (x )=2sin (4x −π6)．例4.【解析】∵向量a ⃗⃗，b ⃗⃗夹角为45°，且|a ⃗⃗|=1，|2a ⃗⃗−b ⃗⃗|=√10．∴√4a ⃗⃗2+b ⃗⃗2−4a ⃗⃗?b ⃗⃗=√10，化为4+|b ⃗⃗|2−4|b ⃗⃗|cos45°=10，化为|b ⃗⃗|2−2√2|b ⃗⃗|−6=0，∵|b ⃗⃗|≥0，解得|b ⃗⃗|=3√2． 故答案为：3√2．练2-1.【解析】因为|a ⃗⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2+2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2a ⃗⃗?b ⃗⃗=36，所以a ⃗⃗?b ⃗⃗=−7． 因为|a ⃗⃗−b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2−2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2×7=64，所以|a⃗⃗−b ⃗⃗|=8． 故选：B ．练2-2.【解析】因为平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等，所以夹角为0°或120°， 由题意知：|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，|c ⃗⃗|=3， 当夹角为0°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=4，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|=12，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=6，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9+4+12+6=6，故选项D 正确； 当夹角为120°时，2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos120°=−2，2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|cos120°=−6，2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=−3，则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9−2−6−3=√3，故选项A 正确．故选：AD ．例5.【解析】∵(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)，∴(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0， 即3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2−a ⃗⃗?b ⃗⃗=0，即a ⃗⃗?b ⃗⃗=3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2=23b ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗，b ⃗⃗>=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗||b⃗⃗|=23b ⃗⃗22√23b ⃗2=√22，即<a ⃗⃗，b ⃗⃗>=π4，故选：A ．练2-3.【解析】根据题意，因为AB =3，AD =2，AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−43DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12，所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3，即|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ADC =−3，即cos∠ADC =−12，又∠ADC ∈(0,π)，所以∠ADC =2π3．故答案选：C ．练2-4. 【解析】∵|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2?a ⃗⃗?b ⃗⃗=0， 又∵|a ⃗⃗+b|=2√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=43a ⃗⃗2?|b ⃗⃗|=√33|a ⃗⃗|，∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?a ⃗⃗=a ⃗⃗2+a ⃗⃗·b ⃗⃗=a ⃗⃗2，∴cos <a ⃗⃗+b ⃗⃗,a ⃗⃗>=(a ⃗⃗+b ⃗⃗)·a ⃗⃗|a ⃗⃗+b ⃗⃗|·|a ⃗⃗|=22√33|=√32，故向量a ⃗⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗的夹角为π6． 故答案选：D ．例6.【解析】∵|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=2，a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°，∴a ⃗⃗·b ⃗⃗=|a ⃗⃗|·|b⃗⃗|·cos60°=1 ∵(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)，∴(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)?(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)=3m |a ⃗⃗|2+(5m −3)·a ⃗⃗·b ⃗⃗−5|b⃗⃗|2=3m +(5m −3)−20=0；∴m =238． 故答案为：238．练2-5.【解析】已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3，且|a ⃗⃗|=1，|b ⃗⃗|=4，则：a ⃗⃗?b ⃗⃗=|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos π3=2，已知：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗，则：(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)?a ⃗⃗=0，即：3a ⃗⃗2+λa ⃗⃗?b ⃗⃗=0，解得：λ=−32，故选：A ．练2-6.【解析】∵a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−5b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2−15b ⃗⃗2+16a ⃗⃗?b ⃗⃗=0①，又∵a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直，∴(a ⃗⃗−4b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−2b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2+8b ⃗⃗2−30a ⃗⃗?b ⃗⃗=0②，由①②得a ⃗⃗2=b ⃗⃗2=2a ⃗⃗?b ⃗⃗,又由cosθ=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗|?|b⃗⃗|，易得：cosθ=12，则θ=60°，故答案为：60°例7.【解析】根据题意，直角三角形ABC 中，∠A =90°，设AD 为斜边BC 上的高， 又由AB =2，AC =4，则AD =√4+16=4√55， 连接PA ，则圆A 的半径r =|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， 当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值， 此时|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+16=2√5， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最大值为4√55×2√5=8，故PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为165+8=565， 故选：D ．练3-1.【解析】如图，以B 为坐标原点，?BC 所在的直线为?x 轴， 过点B 且垂直与BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 因为AD//BC ，∠B =π3，AB =2，AD =1，所以D(2,√3)，不妨设P (x,0)，Q (x +1,0)(0≤x ≤3)， 则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −2,−√3)?(x −1,−√3) =(x −2)(x −1)+3=x 2−3x +5=(x −32)2+114，由二次函数性质得当x =32时，DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值114． 故选D.练3-2.【解析】由b(tanA +tanB)=2ctanB ，得sinB (sinAcosA +sinBcosB )=2sinC ·sinBcosB ， 整理得sinAcosB +cosAsinB =2sinCcosA ，即sin(A +B)=2sinCcosA ， 又sin(A +B)=sinC ， 所以cosA =12，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=bccosA =2,所以bc =4， 又AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， 所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=13√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=13√b 2+c 2+2×2≥13√2bc +4=√123=2√33, 当且仅当b =c 时，等号成立， 所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为2√33．【素养提升】例8.【解析】 (1)由勾股定理知，AB =√AB 2+AC 2=10；解法一(坐标法)：建立平面直角坐标系，如图所示：则A(0,0)，B(0,8)，C(6,0)，BC 的中点D(3,4)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4)，CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−6,8)， 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3×(−6)+4×8=14； 解法二(基向量法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(82−62)=14； 解法三(定义法)：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×cos2B =2×5×5×(2cos 2B −1)=50×[2×(45)2−1]=14；(2)由题意，点P 在AC 上，解法一(极化恒等式)：PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−25，所以当PD ⊥CA 时，此时|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4， PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗取到最小值，即(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)min =−9； 解法二(坐标法)：设P(x,0)，则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−x,8)?(6−x,0)=(x −3)2−9，所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是−9； (3)解法一(坐标法)：以AC ，AB 为x ，y 轴建立坐标系，则∠BAC 的角平分线方程为y =x ，可以设P(a,a)，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为(−a,−a)=m(−a,8−a)+n(6−a,−a)=(−am +6n −an,8m −am −an)，所以(m +n −1)a =8m =6n ，m =34n ，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2|a|=√2|24n7n−4|=√2|247−4n|，当1≤n ≤2时，|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围是[245√2,8√2]． 解法二(几何法)：由已知得(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 则有{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2，即{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=64m ①(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=36n ②；由①÷②得86=64m 36n，所以m =34n ，所以PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1−m−n=3nAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4−7n，所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|24√2n (4−7n)|∈[24√25,8√2]．? 练4-1.【解析】由题意可得AB =√32+32=3√2，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则BC =√2，所以AC =4√2，取AC 的中点M ，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 两式平方后作差得PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−8， 要使PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小，就要使PM 最小， 易知当圆弧AB 的圆心与点P ，M 三点共线时，PM 最小， 设AB 的中点为D ，圆心为O ，连接OD 和OM ， 此时DM =AM −AD =2√2−3√22=√22， 在△ODM 中，OM =√OD 2+DM 2=(3√22)(√22)=√5，所以PM 的最小值为3−√5，代入求得PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小值为6−6√5． 故答案选：D ．练4-2.【解析】 (1)由极化恒等式知，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2]=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=9−94=274；(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0， 由极化恒等式知，AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，FB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24，EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24， 又AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5， ∴有{9m 2−n 2=27m 2−n 2=−5，解得m =2，n =3，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4m 2−n 2=7．? 【易错点归纳】例9.【解析】因为OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0， 所以AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，故选项B 正确； 即|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ， 所以|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ，则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i 在向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量相等， 又AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，所以点A 、A i 在同一条垂直于直线OB 的直线上， 故A 选项错误，选项C 正确，选项D 正确． 故选：BCD ．例10.【解析】根据题意，设向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为θ， 若b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)，则b ⃗⃗(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)=4a ⃗⃗?b ⃗⃗−b ⃗⃗2=4|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cosθ−|b ⃗⃗|2=16√2cosθ−16=0， 变形可得：cosθ=√22，又由0≤θ≤π，则θ=π4，故选：B ．例11.【解析】对于A ，a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗c ⃗⃗?(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?c ⃗⃗=0，不一定有a ⃗⃗=b ⃗⃗?，故A 不正确； 对于B ，利用向量数量积的运算性质可得：(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗?，故B 正确；对于C ，若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2，则|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，但当a ⃗⃗，b ⃗⃗与c ⃗⃗的夹角不相等时，a ⃗⃗?c ⃗⃗≠b ⃗⃗?c ⃗⃗，故C 不正确；对于D ，a ⃗⃗?b ⃗⃗与b ⃗⃗c ⃗⃗都为实数，而a ⃗⃗与c ⃗⃗不一定共线，因此(a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗≠(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗.故D 不正确．故选：ACD ．例12.【解析】向量a ⃗⃗=(−1,2)，b ⃗⃗=(1,m)，A .若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直，则(−1)×1+2×m =0，解得m =12，故A 正确；B .若a ⃗⃗?//b ⃗⃗，则(−1)×m −2×1=0，解得m =−2，故B 正确；C .若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|，则√5=√1+m 2，所以m =±2，故C 错误；D .若m =3，则b ⃗⃗=(1,3)，则a ⃗⃗·b ⃗⃗=1×(−1)+2×3=5，|a ⃗⃗|=√5，|b⃗⃗|=√10， 所以cos <a ⃗⃗,b ⃗⃗>=a⃗⃗·b ⃗⃗⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√5×√10=√22， 又<a ⃗⃗,b⃗⃗>∈[0,180°]， 所以a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°?，故D 正确． 故选：ABD ．。