MATLAB牛顿和拉格朗日插值实验报告
牛顿插值_拉格朗日插值1
实验一 插值与拟合1 实验目的(1) 明确插值多项式和三次样条插值多项式各自的优缺点；(2) 编程实现拉格朗日插值算法，分析实验结果体会高次插值产生的龙格现象；(3) 理解最小二乘拟合，并编程实现线性拟合，掌握非线性拟合转化为线性拟合的方法 (4) 运用常用的插值和拟合方法解决实际问题。
2 实验内容(1) 对于55,11)(2≤≤-+=x x x f 要求选取11个等距插值节点，分别采用拉格朗日插值和三次样条插值，计算x 为0.5, 4.5处的函数值并将结果与精确值进行比较。
输入：区间长度，n(即n+1个节点)，预测点 输出：预测点的近似函数值，精确值，及误差(2) 对下表求出拟合直线 i 1 2 3 4 5 xi 165 123 150 123 141 yi 1871261721251483 算法基本原理当精确函数 y = f(x) 非常复杂或未知，在一系列节点 x 0 … x n 处测得函数值 y 0 = f(x 0), … y n = f(x n )， 希望由此构造一个简单易算的近似函数 g(x) ≈ f(x)，满足条件g(x i ) = f(x i ) (i = 0, … n)。
这里的 g(x) 称为f(x) 的插值函数，由插值函数可以去近似估计f(x)在一些未知点处的函数值。
最常用的插值函数是多项式插值。
所谓多项式插值即求 n 次多项式x a x a a x P n n +++= 10)(使得)()(i i n x f x P = 基于基函数的拉格朗日插值是构造多项式插值最基本方法。
也是推导数值微积分和微分方程数值解的公式的理论基础。
拉格朗日插值公式为：∑==nk kk n x ly x p 0)()( 其中∏≠=--=nkj j jk j k x x x x x l 0)(当结点比较多，次数较高的插值多项式往往发生Runge 现象，分段低次插值是避免Runge 现象的重要手段。
分段一次插值将整个区间分段，在每个小区间上，用一次多项式逼近 f (x)，直观上即用折线代替曲线，只要区间足够小就可以保证很好的逼近效果，但曲线缺乏光滑性。
上交Newton,拉格朗日插值MATLAB大作业编程
作业报告使用MATLAB编程2.1Newton插值：clearclcx=[0.2 0.4 0.6 0.8 1];n=length(x);y=zeros(n);y(:,1)=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; a=x(1);b=x(end);for j=1:n-1for k=j:n-1temp=y(k+1,j)-y(k,j);y(k+1,j+1)=temp/(x(k+1)-x(k+1-j)); endc(j)=y(j,j);c(j+1)=y(j+1,j+1);endp=c(1);q=1;syms Xfor i=2:nq=q*(X-x(i-1));p=p+c(i)*q;endp=simple(p)for i=1:301t(i)=a+(b-a)/300*(i-1);Nn(i)=eval(subs(p,'X','t(i)')); endplot(t,Nn,'b')hold ongrid onlegend('Newton')title('Newton')xlabel('x')ylabel('f(x)')图像：三次样条插值：M文件spline33.mfunction [yy b c d]=spline3(x,y,xx,flag,vl,vr)if length(x)~=length(y)error('输入数据应成对');endn=length(x);a=zeros(n-1,1);b=a;d=a;dx=a;dy=a;A=zeros(n);B=zeros(n,1);fori=1:n-1a(i)=y(i);dx(i)=x(i+1)-x(i);dy(i)=y(i+1)-y(i);endfori=2:n-1A(i,i-1)=dx(i-1);A(i,i)=2*(dx(i-1)+dx(i));A(i,i+1)=dx(i);B(i,1)=3*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1)); endif flag==0A(1,1)=1;A(n,n)=1;end% --------------------------------- %% 端点一阶导数条件%if flag==1A(1,1)=2*dx(1);A(1,2)=dx(1);A(n,n-1)=dx(n-1);A(n,n)=2*dx(n-1);B(1,1)=3*(dy(1)/dx(1)-vl);B(n,1)=3*(vr-dy(n-1)/dx(n-1));end% --------------- %% 端点二阶导数条件%if flag==2A(1,1)=2;A(n,n)=2;B(1,1)=vl;B(n,1)=vr;end% --------------- %c=A\B;fori=1:n-1d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*dx(i));b(i)=dy(i)/dx(i)-dx(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3; end[mmnn]=size(xx);yy=zeros(mm,nn);fori=1:mm*nnfor ii=1:n-1if xx(i)>=x(ii)&xx(i)<x(ii+1)j=ii;break;elseif xx(i)==x(n)j=n-1;endendyy(i)=a(j)+b(j)*(xx(i)-x(j))+c(j)*(xx(i)-x(j))^2+d(j)*(xx(i)-x(j))^3; endend主程序：clear;clc;format short g;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]';y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]';u1=0;un=0;xx1=[x1(1):0.001:x1(end)]';[yy1 b1 c1 d1]=spline33(x1,y1,xx1,0,u1,un);fprintf('\t\tb1\t\tc1\t\td1\n');disp([b1 c1(1:end-1,1) d1]);plot(x1,y1,'bo',xx1,yy1,'--k');legend('spline')title('spline')grid on;2.3（1）8次拉格朗日插值M文件language1.mfunction f=language(x,y,x0) syms t l;if (length(x)==length(y))n=length(x);elsedisp('x和y的维数不相等！') return;endh=sym(0);fori=1:nl=sym(y(i));for j=1:i-1l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end;for j=i+1:nl=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); end;h=h+l;endsimplify(h);if(nargin==3)f=subs(h,t,x0);elsef=collect(h);f=vpa(f,6);end主程序：x=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];f=language1(x,y)plot(x,y)legend('language')title('language')grid on;（2）三次样条差值：M文件spline33.mfunction [yy b c d]=spline3(x,y,xx,flag,vl,vr) if length(x)~=length(y)error('输入数据应成对');endn=length(x);a=zeros(n-1,1);b=a;d=a;dx=a;dy=a;A=zeros(n);B=zeros(n,1);fori=1:n-1a(i)=y(i);dx(i)=x(i+1)-x(i);dy(i)=y(i+1)-y(i);endfori=2:n-1A(i,i-1)=dx(i-1);A(i,i)=2*(dx(i-1)+dx(i));A(i,i+1)=dx(i);B(i,1)=3*(dy(i)/dx(i)-dy(i-1)/dx(i-1));endif flag==0A(1,1)=1;A(n,n)=1;end% --------------------------------- %% 端点一阶导数条件%if flag==1A(1,1)=2*dx(1);A(1,2)=dx(1);A(n,n-1)=dx(n-1);A(n,n)=2*dx(n-1);B(1,1)=3*(dy(1)/dx(1)-vl);B(n,1)=3*(vr-dy(n-1)/dx(n-1));end% --------------- %% 端点二阶导数条件%if flag==2A(1,1)=2;A(n,n)=2;B(1,1)=vl;B(n,1)=vr;end% --------------- %c=A\B;fori=1:n-1d(i)=(c(i+1)-c(i))/(3*dx(i));b(i)=dy(i)/dx(i)-dx(i)*(2*c(i)+c(i+1))/3;end[mmnn]=size(xx);yy=zeros(mm,nn);fori=1:mm*nnfor ii=1:n-1if xx(i)>=x(ii)&xx(i)<x(ii+1)j=ii;break;elseif xx(i)==x(n)j=n-1;endendyy(i)=a(j)+b(j)*(xx(i)-x(j))+c(j)*(xx(i)-x(j))^2+d(j)*(xx(i)-x(j))^3;endend主程序：clear;clc;format short g;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64 ]';y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8]';u1=0;un=0;xx1=[x1(1):0.001:x1(end)]';[yy1 b1 c1 d1]=spline33(x1,y1,xx1,1,u1,un); fprintf('\t\tb1\t\tc1\t\td1\n');disp([b1 c1(1:end-1,1) d1]);plot(x1,y1,'bo',xx1,yy1,'--k');legend('spline')title('spline')grid on;4-1(1)M文件function.m:Function y=fun(x);y=sqrt(x)*log(x);主程序Clear；clc；h=0.001；n=1/h；t=0；s1=0；s2=0；fori=1:n-1t=t+function(i*h);endT=h/2*(0+2*t+f(1));T=vpa(T,7)For i=0:n-1s1=s1+function(h/2+i*h);endfori=1:n-1s2=s2+function(i*h);endS=h/6*(0+4*s1+2*s2+f(1));S=vpa(S,7) 综上，得解。
拉格朗日插值多项式matlab
实验报告：拉格朗日插值多项式实验目的与要求：熟练掌握拉格朗日插值的基本思想与插值公式实验内容：对于给定的一元函数)(x f y =的n+1个节点值(),0,1,,j j y f x j n ==。
试用Lagrange 公式求其插值多项式Lagrange 插值多项式。
数据如下： （1）求五次Lagrange 多项式5L ()x ，计算(0.596)f ,(0.99)f 的值。
（试构造Lagrange 多项式6L ()x ，计算的(1.8)f ,(6.15)f 值。
实验环境与器材：Matlab7.0实验过程（步骤）或程序代码： （1）fid=fopen('l3.txt','wt');fprintf(fid,'试用Lagrange 公式求其插值多项式Lagrange 插值多项式,求f(0.596),f(0.99)\n');A=[0.4,0.55,0.65,0.80,0.95,1.05];B=[0.41075,0.57815,0.69675,0.9,1,1.25382]; For p=1:2x=input('输入x=') a=1; for i=1:6a=a*(x-A(i));endl=0;for i=1:6b=1;for j=1:6if i~=jb=b*(A(i)-A(j));endendl=l+B(i)*a/((x-A(i))*b);endfprintf(fid,'x f(x)\n');fprintf(fid,'%2f %f\n',x,L);end（2）fid=fopen('l3.txt','wt');fprintf(fid,'试用Lagrange公式求其插值多项式Lagrange插值多项式,求f(1.8),f(6.15)\n');for p=1:2x=input('输入x=')A=[1,2,3,4,5,6,7];B=[0.368,0.135,0.050,0.018,0.007,0.002,0.001];a=1;for i=1:7a=a*(x-A(i));endl=0;for i=1:7b=1;for j=1:7if i~=jb=b*(A(i)-A(j));endendl=l+B(i)*a/((x-A(i))*b);endfprintf(fid,'x f(x)\n');fprintf(fid,'%2f %f\n',x,L);end实验结果与分析：（1）试用Lagrange公式求其插值多项式Lagrange插值多项式,求f(0.596),f(0.99) x f(x)0.596000 0.625732x f(x)0.990000 1.054230（2）试用Lagrange公式求其插值多项式Lagrange插值多项式,求f(1.8),f(6.15) x f(x)1.800000 0.165093x f(x)6.150000 0.001231成绩：教师签名：月日。
牛顿插值法实验报告
牛顿插值法实验报告
1. 什么是牛顿插值法？
牛顿插值法是一种多项式插值的方法，利用差商的概念，通过给定的点求出一个n 次多项式，使得该多项式经过这些点并尽可能接近给定的函数。
2. 实验步骤是什么？
（1）利用MATLAB 编写程序，输入插值节点和函数值；
（2）求解差商表及插值多项式；
（3）将插值多项式绘制成图像，并与实际函数进行比较；
（4）通过调整插值节点的个数，观察插值多项式的变化情况。
3. 实验中遇到的主要问题是什么？
在实验过程中，需要注意细节问题，如插值节点的选择、差商的计算及程序的调试等。
此外，如果插值多项式的次数太高，可能会出现插值误差过大的情况。
4. 实验的结果有哪些？
实验结果表明，随着插值节点数的增加，插值多项式的精度会提高，并且能够较好地拟合原函数。
但是如果节点过于密集，可能出现龙格现象，插值多项式的误差反而会增大。
5. 实验的意义是什么？
牛顿插值法是计算数学中重要的一种方法，对于一些实际问题的模拟和数据处理有着广泛的应用。
了解其原理和实现方式，能够更好地理解插值问题，并为计算实践提供一些帮助。
用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值.
用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值1、实验内容:用MATLAB实现拉格朗日插值和分段线性插值。
2、实验目的:1学会使用MATLAB软件;2会使用MATLAB软件进行拉格朗日插值算法和分段线性差值算法;3、实验原理:利用拉格朗日插值方法进行多项式插值,并将图形显式出来。
4、实验步骤及运行结果(1实现lagrange插值1定义函数:f = 1/(x^2+1 将其保存在 f.m 文件中,具体程序如下:function y = f1(xy = 1./(x.^2+1;2定义拉格朗日插值函数:将其保存在lagrange.m 文件中,具体实现程序编程如下:function y = lagrange(x0,y0,xm = length(x; /区间长度/n = length(x0;for i = 1:nl(i = 1;endfor i = 1:mfor j = 1:nfor k = 1:nif j == kcontinue;endl(j = ( x(i -x0(k/( x0(j - x0(k *l(j;endendendy = 0;for i = 1:ny = y0(i * l(i + y;end3建立测试程序,保存在text.m文件中,实现画图:x=-5:0.001:5;y=(1+x.^2.^-1;p=polyfit(x,y,n;py=vpa(poly2sym(p,10plot_x=-5:0.001:5;f1=polyval(p,plot_x;figureplo t(x,y,‘r',plot_x,f1输入n=6,出现下面的图形:通过上图可以看到当n=6是没有很好的模拟。
于是重新运行text.M并选择n=11由此可见n=11时的图像是可以很好的实现模拟(2分段线性插值:建立div_linear.m文件。
具体编程如下/*分段线性插值函数:div_linear.m 文件*/ function y = div_linear(x0,y0,x,n%for j = 1:length(xfor i = 1:n-1if (x >= x0(i && (x <= x0(i+1y = (x - x0(i+1/(x0(i - x0(i+1*y0(i + ( x - x0(i/(x0(i+1 - x0(i*y0(i+1;elsecontinue;endend%end测试程序(text2.m:输入n =:’；n = input(‘x0 = linspace( -5,5,n;for x = -5:0.01:5y = div_linear(x0,f(x0,x,n;hold on;plot(x,y,'r';plot(x,f(x,'b';end2运行测试程序,这是会出现:输入n=:2输入n=6,并按Enter键,出现:4关掉图形界面后,重新运行程序,输入n=11,并按enter键后出现:5再次关掉图形界面,输入n=100,并按enter键,出现:此时。
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
牛顿插值法matlab程序
算法原理：根据均差定义，把x看成[a，b]上一点，可得
…
只要把后一式代入前一式，就得到
其中
由式（1-1）确定的多项式 显然满足插值条件，且次数不超过n次的多项式，其系数为
称 为牛顿（Newton）均差插值多项式。系数 就是书本表5-1中第一条斜线上对应的数值。
式（1-2）为插值余项，由插值多项式唯一性可知，它与书本式（5.1.19）是等价的，事实上，利用均差与导数关系式可由式（1-2）推出书本式（5.1.19）。但式（1-2）更有一般性，它对f是由离散点给出的情形或f导数不存在时均适用。
g=subs(f,'t',x0)
g1=subs(f,'t',x1)
A=zeros(n,n-1);
A=[y',A];
for j=2:n
for i=j:n
A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(x(i)-x(i+1-j));
end
end
disp('差商表为');
disp(A);
（4）运行结果
f =
1-2*t^2+3*t^3
4、实验小结体会：
1）通过本次实验让我从实践验证了理论-------插值多项式的基本思想;
2）牛顿插值法建立过程中用到了插商计算，这是有别于拉格朗日插值法的一部分，在已知点数较少的情况下用牛顿插值法较为准确；
3）通过编程，加深了matlab的熟悉特别是一些函数语句，进一步体会到了函数逼近的思想。
根据均差定义把x看成ab上一点可得显然满足插值条件且次数不超过n次的多项式其系数为就是书本表51中第一条斜线上对应的数值
《计算方法》数值实验报告
实验二、拉格朗日插值法
‘linear’ ： 线性插值； ‘spline’ ： 三次样条插值； ‘cubic’ ： 立方插值。 缺省时： 分段线性插值。
9
例：在1-12的11小时内，每隔1小时测量一次温度，测 得的温度依次为：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25， 27，24。试估计每隔1/10小时的温度值。
15
例：测得平板表面3*5网格点处的温度分别为： 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。 1.先在三维坐标画出原始数据，画出粗糙的温度分布曲图. 输入以下命令： x=1:5; y=1:3; [x,y]=meshgrid(x,y); t=[82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86]; mesh(x,y,t) 2．以平滑数据,在x、y方向上每隔0.2个单位的地方进行插值.
课堂任务：
1、用MATLAB实现拉格朗日插值法； 2、用MATLAB分析龙格现象，绘制教材40页图2-5； 3、用自己编写的程序做课后题: 48页：2题. 50页：3题 (1).
用MATLAB作插值计算
一维插值函数：
yi=interp1(x，y，xi，'method')
xi处的插 值结果 插值节点 被插值点 插值方法
h=1:12; t=[5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24]; h1=1:0.1:12;
t1=interp1(h,t,h1,'spline')
plot(h1,t1)
10
例 已知飞机机翼下轮廓线上数据如下，求x每改变0.1时的y 值。
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数值分析课程实验报告
2012—2013学年度第二学期
系别：数学与计算机科学学院
实验课程
数值分析
班级
10级数学与应用数学2班
fori =1:n
y =y0(i) * l(i) + y;
end
牛顿插值
function[c, d]=newpoly(x, y)
n=length(x);
d=zeros(n, n);
d(:,1)=y';
forj=2 : n
fork=j : n
d(k, j)=(d(k, j-1) - d(k-1, j-1)) / (x(k)-x(k-j+1));
学号
39姓名Biblioteka 指导教师实验题目拉格朗日和牛顿插值
日期
2013年3月27日
实验原理
实验内容及具体步骤：
一、试验环境
计算机MATLAB软件
二、实验目的
1.熟悉启动和退出MATLAB的方法。
2.熟悉MATLAB命令窗口的组成。
3.掌握函数文件的建立及调用。
三、实验内容
四、试验步骤
functiony = lagrange(x0,y0,x)
end
end
c =d(n, n);
fork=(n-1) : - 1 : 1
c =conv(c, poly(x(k)));
m=length(c);
c(m)=c(m)+d(k, k);
end
五、练习
x0=[1 -1 2];
y0=[0 -3 4];
lagrange(x0,y0,1.5)
ans =
1.7917
m = length(x);
n = length(x0);
fori=1:n
l(i)=1;
end
fori = 1:m
forj = 1:n
fork = 1:n
ifj == k
continue;
end
l(j) = (x(i) -x0(k))/(x0(j) - x0(k))*l(j);
end
end
end
y = 0;