清华大学一元微积分期末考题-答案
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）
1.
=-⎰dx x x
2)1(ln
答案：C x x x x
+--+-ln |1|ln 1ln 2. ⎰=+x
dx
2cos 1 。
答案：
C x +⎪⎭
⎫ ⎝⎛tan 21arctan 21 3.
=⎰
+∞
1
2
arctan dx x
x
解：
22
ln 4)1(arctan arctan 121
1
2+=++-=⎰⎰
∞++∞
∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=⎰arctan )(，则
=⎰
dx x f )
(1
。 答案：C x x ++4
24
2 5.
=++⎰-dx x x
x 2
22sin 1cos )1(π
π 。
答案：
2
π 6. =⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎰22x x t dt e dx d 。
答案：2
4
2x x e xe
-
7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，⎰=x
dt t f t x F 02)()(，当0→x 时，)(x F 与k
x 是同阶无穷小，则=k 。
答案：3
8. 将22
(3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。 答案：2
6π
9. 设0>m ，且广义积分⎰
+∞
+0
m
x
x dx 收敛，则m 的范围为
答案：1>m
10．幂级数∑∞
=-+1
2)5(2n n
n n
x 的收敛域为 。 答案：)5,5(-
11. 级数
∑
∞
+=-1
1
sin
)1(n p
n n n 条件收敛，则参数p 的范围为 。
答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数
⎰
-x
t dt e 0
2
的幂级数展开为
答案：∑+∞
=++-0
1
2)12(!)1(n n n
n n x ，ℜ∈x
13.'x
x y
y e e
++=，的通解是 。
答案：ln 1y y
x e e e
C =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为 。 答案：2
x x y -=
15. 初值问题()⎩⎨⎧='=='+''0
)0(,1)0(0
22y y y x y 的解为 。
答案：1=y
二．计算题（每题10分，共40分）
1．求p 的范围，使得1sin ln p dx
x x
π∞⎰收敛
解：⎰⎰⎰∞+∞+=2211ln sin ln sin ln sin x
dx
x x dx x x dx x p p p πππ， 1x =附近，p p x x x x )1(1
11~ln 1sin
-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-ππ
，所以仅当20p ->时⎰21ln sin x dx x p π收敛 ……………………………………………….5分
x
x x x x p p ln ~ln 1sin ,π
π
+∞→对任意的p 成立,所以只需要考虑广义积分2ln p dx x x π∞⎰
的收敛性。因为
ln 2
ln 2,ln a a
p p
dx du x x u =⎰
⎰所以仅当1p >时广义积分2ln p dx x x π
∞⎰收敛. ……………………………………………….5分 最终,我们得到仅当(1,2)p ∈时1
sin
ln p
dx
x x
π∞
⎰
收敛。
2．计算摆线]2,0[,cos 1,sin π∈-=-=t t y t t x ， 绕x 轴旋转体的体积和表面积。
解：旋转体的体积
⎰⎰⎰=-+-=-==π
π
πππππ20
23220
320
25)cos cos 3cos 31()cos 1(dt t t t dt t dx y V
………………………………………………5分
旋转体的表面积
⎰⎰⎰
==--='+'=πππ
ππππ2032020
2
23
642sin 8cos 22)cos 1(22dt t dt t t dt y x y S
………………………………………………5分
3．求级数∑+∞
=-1
2
2)1(n n
n n 的和。 解：记∑+∞
==1
2
)(n n
x n x S ，则⎪⎭⎫
⎝⎛-=-∑+∞
=212)1(12S n n n
n ， ,11
2∑+∞=-=n n x n x S ,10∑⎰+∞
==n n x
nx dx x
S ……………………………………3分 ,11
1
0∑⎰+∞
=-=n n x nx dx x S x ,11100x x x dx dx x S x n n
x
x -==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰⎰+∞
= ……………3分 故 ,)1(1
12
0x dx x S x x -=
⎰ ,)1(2
x x
dx x S x
-=⎰
,)1(1)(3x x x x S -+= ,)
1()
1()(3x x x x S -+= 272212)1(1
2-=⎪⎭⎫
⎝⎛-=-∑+∞
=S n n n
n ……………………………………4分 4．设),0()(+∞∈C x f ，且对任意0>x 满足40
1
)()(2)(x x xf dt t f dt tx f x
x
++-=⎰⎰
，
0)1(=f ，求)(x f 。
解：令tx u =，则原方程可化为
40
)()(2)(x x xf dt t f du u f x
x
++-=⎰⎰