正弦定理 余弦定理应用实例练习 含答案

课时作业3应用举例

时间：45分钟满分：100分

课堂训练

1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是()

A．103海里B．106海里

C．52海里D．56海里

【答案】 D

【解析】如图，∠A＝60°，∠B＝75°，

则∠C＝45°，

由正弦定理得：

BC＝AB·sin A

sin C

＝10×sin60°

sin45°

＝5 6.

2．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()

A ．502m

B ．503m

C ．252m D.252

2m

【答案】 A

【解析】 因为∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝30°，根据正弦定理可知，AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，即50sin30°＝AB sin45°，解得AB ＝

502m ，选A.

3．从某电视塔的正东方向的A 处，测得塔顶仰角是60°；从电视塔的西偏南30°的B 处，测得塔顶仰角为45°，A ，B 间距离是35m ，则此电视塔的高度是________m.

【答案】 521

【解析】 如图所示，塔高为OC ，则∠OAC ＝60°，∠AOB ＝180°－30°＝150°，∠CBO ＝45°，AB ＝35，

设电视塔高度为h m，则OA＝3

3h，OB＝h，在△AOB中由余弦定理可得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB·cos∠AOB，

即352＝(3

2＋h2－2×33h×h×(－32)

3h)

解得h＝521.

4．如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？

【分析】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A到直线BC的距离与38海里的大小，于是我们只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，将它与38海里比较大小即可．

【解析】 在△ABC 中，BC ＝30，∠B ＝30°，∠ACB ＝135°， ∴∠BAC ＝15°

由正弦定理BC sin A ＝AC sin B ，即：30sin15°＝AC sin30° ∴AC ＝60cos15°＝60cos(45°－30°)

＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(6＋2)，

∴A 到BC 的距离为d ＝AC sin45°＝15(3＋1)≈40.98海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )

A ．北偏东10°

B ．北偏西10°

C ．南偏东10°

D ．南偏西10°

【答案】 B

【解析】 如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，

∵AC ＝BC ，∴∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，∴∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.

2．某市在“旧城改造”工程中，计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要( )

A ．450a 元

B ．225a 元

C ．150a 元

D ．300a 元

【答案】 C

【解析】 S △＝12×20×30×sin150°＝12×20×30×12 ＝150(m 2)，

∴购买这种草皮需要150a 元，故选C.

3．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长的长度(单位：m)是( )

A ．5

B ．10

C ．10 2

D ．10 3

【答案】 C

【解析】 如图，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.在△ABB ′中，利用正弦定理可求得BB ′的长度．

在△ABB ′中，∠B ′＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m. 由正弦定理，得

BB ′＝AB sin45°

sin30°＝10×2

2

12

＝102(m)．

∴坡底延长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.

4．一船以226km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为( )

A ．66 km

B ．132 km

C ．96 km

D ．33 km

【答案】 A

【解析】 如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°， AB ＝226×3

2＝336， 由正弦定理336sin120°＝SB

sin45°， ∴SB ＝66(km)．

5．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )

A.206

3米 B ．106米 C.106

3米 D ．202米

【答案】 A

【解析】 设树干底部为O ，折断点为P ，树尖着地处为M ，如图，△OPM 中，∠P ＝180°－∠M －∠O ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦