第3章轨迹规划
机器人运动轨迹规划
第2章 工业机器人运动学和动力学
第5讲 讲 机器人运动轨迹规划 机器人运动轨迹规划
第2章 工业机器人运动学和动力学 在规划中,不仅要规定机器人的起始点和终止点, 而且要 给出中间点(路径点)的位姿及路径点之间的时间分配, 即给出 两个路径点之间的运动时间。 轨迹规划既可在关节空间中进行, 即将所有的关节变量表 示为时间的函数,用其一阶、二阶导数描述机器人的预期动作, 也可在直角坐标空间中进行,即将手部位姿参数表示为时间的 函数, 而相应的关节位置、 速度和加速度由手部信息导出。
θ (t ) = c0 + c1t + c2t 2 + c3t 3
(3.67)
第2章 工业机器人运动学和动力学 这里初始和末端条件是:
θ (ti ) = θ i θ (t ) = θ f f & θ (ti ) = 0 θ (t ) = 0 & f
对式(3.67)求一阶导数得到:
第2章 工业机器人运动学和动力学
二自由度机器人关节空间的归一化运动
第2章 工业机器人运动学和动力学 如果希望机器人的手部可以沿AB这条直线运动, 最简单的 方法是将该直线等分为几部分(图3.21中分成5份), 然后计算出各 个点所需的形位角α和β的值, 这一过程称为两点间的插值。 可 以看出,这时路径是一条直线, 而形位角变化并不均匀。很显然, 如果路径点过少, 将不能保证机器人在每一小段内的严格直线轨 迹, 因此,为获得良好的沿循精度, 应对路径进行更加细致的分割。 由于对机器人轨迹的所有运动段的计算均基于直角坐标系, 因此 该法属直角坐标空间的轨迹规划。
机器人学——轨迹规划（ArtificialPotential）
机器⼈学——轨迹规划（ArtificialPotential） 今天终于完成了机器⼈轨迹规划的最后⼀次课了，拜拜⾃带B - BOX 的 Prof. TJ Taylor. 最后⼀节课的内容是利⽤势场来进⾏轨迹规划。
此⽅法的思路⾮常清晰，针对Configration Space ⾥⾯的障碍物进⾏ DT变换，⽤DT变换值作为罚函数的输⼊，让机器⼈尽可能的远离障碍物，同时再终点设计抛物⾯函数，让机器⼈有向终点靠近的趋势。
最后所获得的就是机器⼈的⼀种可⾏运动轨迹。
由于此轨迹是梯度下降的，并且罚函数是连续的，所以如果机器⼈不陷⼊局部最优，那么就可以获得全局最优路径（我本⼈不持这样的观点，⼆阶Hessian矩阵⼤写的不服，凭什么贪婪算法是最短路径？）1、基于DT变换⽣成罚函数图 DT变换是2D2值图像中的⼀种算法，其作⽤是找到某像素到最近⾮0像素的距离。
换⾔之，就是机器⼈到最近障碍物的距离。
这种距离再机器⼈学运动中⾮常容易获得，只要有实时的距离传感器，就能够找到机器⼈再不同位置下，到最近障碍物的距离。
从⽽⽣成 f - map (罚函数图) 机器⼈的Configuration Space 与 f - map 如上图所⽰。
2、拉向终点的势 除了罚函数以外，机器⼈还需要⼀个拉向终点的势 —— Configuration Space 上⼀个以终点为中⼼的抛物⾯。
将其与f - map 相加后，即可得到最终的Artificial Potential.3、梯度下降 在Artificial Potential 上执⾏梯度下降算法，获得机器⼈运动轨迹。
4、总结 机器⼈轨迹规划是很有前景的学科，以后有前途的⽅向包括以下： ⾮同性机器⼈：⽆⼈汽车不能随时倒车 动⼒学约束下的规划：考虑机器⼈的加速减速 多机器⼈轨迹规划 针对移动障碍轨迹规划 针对不确定环境轨迹规划。
机器人学_第七讲 轨迹规划
c0 30 c1 0 c2 2.5 c3 1.6 c4 0.58 c5 0.0464
(t) 30 2.5t 2 1.6t3 0.58t 4 0.0464t5 (t) 5t 4.8t 2 2.32t3 0.232t 4 (t) 5 9.6t 6.96t 2 0.928t3
策略 3
θ1 θ2 20 30
14 55
时
16 69
间
21 77
29 81
40 80
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子：
策略 1
策略 3
策略 2 策略 4
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子，要求经过中间点的情况：
C y
B B’
A
C y
B B’
注意：这里讨论的是
A 末端的轨迹规划
x O1
直接走折线会有冲击，或者 造成机器人运动产生停顿。
O1 C
y
D B
x
E A
x O1
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
三次多项式规划
以某一关节角为例
初始位姿 i
期望末端位姿 f
三次多项式： (t) c0 c1t c2t 2 c3t 3
边界条件：
ti 0
(ti ) i
角度 速度 加速度
3
4
5
6
秒
c0 30 c1 0 c2 5.4 c3 0.72
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
讨论1： 三次多项式规划里能否指定起始点和终点的加速度？
例7.1
120
100
(ti ) 30 (ti ) c0 i
80
(t f ) 75 (t f ) c0 c1t f c2t f 2 c3t f 3
第十一讲 轨迹规划
在线性段BC部分，关节以ω 均速运动， 其位移为：
(t ) b (t tb ) t [tb , t f tb ]
至C点处的总位移为：
c (t f tb ) b [(t f tb ) tb ]
b (t f 2tb )
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(t ) a0 a1t a2t 2 a3t 3
（5.1）
其中，约束条件为：
(t0 ) 0 , (t f ) f (t0 ) 0, (t f ) 0
（5.2）
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5.2.1 以三次多项式规划
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5.1.2 在两类空间的轨迹规划
关节空间的轨迹规划： 确定各关节的位置、速度和加速度随 时间变化的规律，多用于点位作业。
末端执行器的轨迹间接实现。 问题：在关节空间光顺，在工作空间就一 定光顺吗？
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(t ) 9.0 17.0t 2 3.78t 3
(t ) 34.0t 11.34t 2 (t ) 34.0 22.68t
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5.2.1 三次多项式规划
该关节位置、速度和加速度随时间变 化的曲线：
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5.1.2 在两类空间的轨迹规划
• 在工作空间中的轨迹规划 以末端执行器在直角坐标系中的位姿、 速度和加速度描述其空间运动，以此规划 机器人运动的称为在直角坐标空间中规划， 多用于连续作业方式。
轨迹规划
弧法，圆弧前一点为 第一点，两个MOVC 分别为中间点和目标
圆弧插补方式移动至目标 位置P，P点是提前示教好的位置。
点。
P=<位置点> 说明：P的取值范围为1至1019， 其中1至 999用于标定位置点，1000 至 1019 用于码垛运动，自动获取码垛位置点。例1中如 果没有此参数，表示目标位置使用运动过程中 标定的位置点，例2中如果有P点参数，表示位 置点是在位置型变量内标定好的点。
(2)如图9-2，点击{程序 }-{程序管理}。
创建程序
(3)如图9-3，在{目标程 序}栏输入“4.9”，点击 {新建}。
图
图9.1
图9.2
图9.3
操作要点
建立工具坐 标系及示教
如图9-4，参考 4.6“工具坐标系 标定”建立工具 坐标系“TCS-3”。
如图9-5，参考 4.7“工件坐标系 的标定”建立工 件坐标系 “PCS1-5”。
使用举例
参数说明
V=<运行速度百分比> 说明：运行速度百分比 ，取值为1 至 100，默认值为 25。运动指令的 实际速度=设置中MOVJ 最大速度*V 运动指令 设置运行速度百分比*SPEED 指令速度设置百 分比。
圆弧插补方
式移动至目 标位置。 采用三点圆
MOVL V= 25 BL=0 VBL=0 MOVC V=25 BL=0 VBL=0 MOVC P=1 V= 25 BL=0 VBL=0
圆周程序 编写
(2)如图9-17，移 动机器人夹具末端 至圆周上P4点， 点击【插入】【确认】。
BL=<过渡段长度> 说明：过渡段长度，单位毫 米 ，此长度不能超出运行总长度一 半，如果 BL=0 则表示，不使用过渡段。
轨迹规划
机械臂轨迹规划一、基本参数1.初始位姿2.过渡位姿3.抓取位姿4.机械臂连杆参数二、运动学正解1.初始位姿：t1=(150)/180*pi t2=(-60)/180*pi t3=0T10=[cos(t1) -sin(t1) 0 0;sin(t1)*cos(0) cos(t1)*cos(0) -sin(0) 0; sin(t1)*sin(0) cos(t1)*sin(0) cos(0) 0; 0 0 0 1]T21=[cos(t2) -sin(t2) 0 260;sin(t2)*cos(0) cos(t2)*cos(0) -sin(0) 0; sin(t2)*sin(0) cos(t2)*sin(0) cos(0) 0; 0 0 0 1]T32=[cos(t3) -sin(t3) 0 0;连杆序号a i-1 αi-1d i θi 关节变量 初始值 1 0 0 0 θ 1 θ1 150° 2 260 0 0 θ 2 θ 2 -60° 390°260－ －sin(t3)*cos(pi/2) cos(t3)*cos(pi/2) -sin(pi/2) -260;sin(t3)*sin(pi/2) cos(t3)*sin(pi/2) cos(pi/2) 260*cos(pi/2);0 0 0 1]T30=T10*T21*T32T30 =-0.0000 -0.0000 1.0000 34.83341.0000 -0.0000 0.0000 130.00000 1.0000 0.0000 0.00000 0 0 1.00002、过渡位姿：t1=pi/2T10=[cos(t1) -sin(t1) 0 0;sin(t1)*cos(0) cos(t1)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t1)*sin(0) cos(t1)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1]t2=0T21=[cos(t2) -sin(t2) 0 260;sin(t2)*cos(0) cos(t2)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t2)*sin(0) cos(t2)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1]t3=0T32=[cos(t3) -sin(t3) 0 0;sin(t3)*cos(pi/2) cos(t3)*cos(pi/2) -sin(pi/2) -260;sin(t3)*sin(pi/2) cos(t3)*sin(pi/2) cos(pi/2) 260*cos(pi/2);0 0 0 1]T30=T10*T21*T32T30 =0.0000 -0.0000 1.0000 260.00001.0000 0.0000 -0.0000 260.00000 1.0000 0.0000 0.00000 0 0 1.00003、抓取位姿：t1=1.2388T10=[cos(t1) -sin(t1) 0 0;sin(t1)*cos(0) cos(t1)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t1)*sin(0) cos(t1)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1];t2=-0.2634T21=[cos(t2) -sin(t2) 0 260;sin(t2)*cos(0) cos(t2)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t2)*sin(0) cos(t2)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1];t3=0T32=[cos(t3) -sin(t3) 0 0;sin(t3)*cos(pi/2) cos(t3)*cos(pi/2) -sin(pi/2) -260;sin(t3)*sin(pi/2) cos(t3)*sin(pi/2) cos(pi/2) 260*cos(pi/2);0 0 0 1];T30=T10*T21*T32TT30 =0.5608 -0.0000 0.8279 300.00290.8279 0.0000 -0.5608 99.98470 1.0000 0.0000 0.00000 0 0 1.0000三、运动学反解1、中间位姿到过渡位姿syms t1t2x=260;y=260;T10=[cos(t1) -sin(t1) 0 0;sin(t1)*cos(0) cos(t1)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t1)*sin(0) cos(t1)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1];T21=[cos(t2) -sin(t2) 0 260;sin(t2)*cos(0) cos(t2)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t2)*sin(0) cos(t2)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1];t3=0T32=[cos(t3) -sin(t3) 0 0;sin(t3)*cos(pi/2) cos(t3)*cos(pi/2) -sin(pi/2) -260;sin(t3)*sin(pi/2) cos(t3)*sin(pi/2) cos(pi/2) 260*cos(pi/2);0 0 0 1];T30 =T10*T21*T32;f1=x-T30(1,4);f2=y-T30(2,4);[t1,t2]=solve(f1,f2,t1,t2)t1=vpa(t1/pi*180,6)t2=vpa(t2/pi*180,6)结果：t1 = 90.0.t2 = 0.180.2、过渡位姿到抓取位姿syms t1t2x=300;y=100;T10=[cos(t1) -sin(t1) 0 0;sin(t1)*cos(0) cos(t1)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t1)*sin(0) cos(t1)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1];T21=[cos(t2) -sin(t2) 0 260;sin(t2)*cos(0) cos(t2)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t2)*sin(0) cos(t2)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1];t3=0T32=[cos(t3) -sin(t3) 0 0;sin(t3)*cos(pi/2) cos(t3)*cos(pi/2) -sin(pi/2) -260;sin(t3)*sin(pi/2) cos(t3)*sin(pi/2) cos(pi/2) 260*cos(pi/2);0 0 0 1];T30 =T10*T21*T32;f1=x-T30(1,4);f2=y-T30(2,4);[t1,t2]=solve(f1,f2,t1,t2)t1=vpa(t1/pi*180,6)t2=vpa(t2/pi*180,6)结果：t1 =-34.110570.9803t2 =-164.909-15.0911四、计算雅克比矩阵：用矢量积法求雅可比矩阵syms t1t2T10=[cos(t1) -sin(t1) 0 0;sin(t1)*cos(0) cos(t1)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t1)*sin(0) cos(t1)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1]T21=[cos(t2) -sin(t2) 0 -170;sin(t2)*cos(0) cos(t2)*cos(0) -sin(0) 0;sin(t2)*sin(0) cos(t2)*sin(0) cos(0) 0;0 0 0 1]t3=0T32=[cos(t3) -sin(t3) 0 0;sin(t3)*cos(pi/2) cos(t3)*cos(pi/2) -sin(pi/2) -130;sin(t3)*sin(pi/2) cos(t3)*sin(pi/2) cos(pi/2) 130*cos(pi/2);0 0 0 1]T31=T21*T32;T30=T10*T21*T32;T20=T10*T21;z1 =T10(1:3,3);z2 =T20(1:3,3);p1=T31(1:3,4);p2=T32(1:3,4);r1=T10(1:3,1:3);r2=T20(1:3,1:3);p11=cross(z1,r1*p1);p22=cross(z2,r2*p2);j=[p11 p22 ;z1 z2 ]结果j =[ -sin(t1)*(-170+130*sin(t2))+130*cos(t1)*cos(t2),130*cos(t1)*cos(t2)-130*sin(t1)*sin(t2)][ cos(t1)*(-170+130*sin(t2))+130*sin(t1)*cos(t2), 130*cos(t1)*sin(t2)+130*sin(t1)*cos(t2)][0, 0][0, 0][0, 0][1, 1]当t1=90,t2=0时，雅可比矩阵为j =-260.0000 0.0000260.0000 260.00000 00 00 01.0000 1.0000当t1=70.9803,t2=-15.0911j =-43.3261 205.4828-234.7604 -159.30100 00 00 01.0000 1.0000五、操作速度分析syms q1q2v1v2v=[v1;v2;0;0;0;0];q=[q1;q2];f3=v(1,1)-je(1,1);f4=v(2,1)-je(2,1);[q1,q2]=solve(f3,f4,q1,q2)q11=vpa(q1,3)q22=vpa(q2,3)q11 =-.289e-2*v1-.373e-2*v2q22 =-.786e-3*v2+.426e-2*v1六、各关节轨迹规划采用三次多项式插值法进行关节的轨迹规划过渡位姿关节角1：初值150终值90a0 =150a1 = 0a2 =-20a3 =4.4444关节角2：初值-60终值0a0 =-60a2 =20a3 =-4.4444抓取位姿关节角1：初值90终值70.9803 a0 =90a1 =0a2 =-6.3399a3 = 1.4089关节角2：初值0终值-15.0911 a0 =0a1 =0a2 =-5.0304 a3 =1.1179。
机器人轨迹规划-张金凯PPT课件
报告人：张金凯 时 间：2016-5-18
2021/3/12
1
机器人轨迹规划
机器人运动学 机器人关节变量
运动方程
机器人位姿
机器人轨迹规划
机
机
器
器
人
人
运
动
动
力
学
学
轨迹：关节变量 机器人位姿1
速度、加速度
机器人位姿2
2021/3/12
2
关节空间描述与直角坐标描述
关节空间描述：采用关节量来描述机器人的运动。
例子5.3
i 30
•
i 0度 /s
••
i 5度 / s2
f 75
•
f 0度 / s
••
f 5度 / s2
c 0 30 c1 0 c 2 2 .5
c3 1.6 c 4 -0 .58 c5 0 .0464
2021/3/12
10
直角坐标空间轨迹
直角坐标空间轨迹规划必须反复求解逆运动学方程来计算关节角。
2021/3/12
12
直角坐标空间轨迹
例子5.6 一个两自由度机器人要求从起点(3,10)沿直线运动到终点(8,14)。 假设路径分为10段，求出机器人的关节变量。每一根杆的长度为9英寸。 解： 直角空间坐标系中直线方程为： y1414100.8
x8 83
2021/3/12
13
直角坐标空间轨迹
例子5.7 如右图机器人，每根杆长9英寸。所有关节角均为0时手臂处于垂 直向上状态。机器人沿直线从点(9,6,10)移动到(3,5,8)，求3个关节在每个 中间点的角度值。
机器人从位置A移动到位置B。
A 20 A 30
第5章-轨迹规划
将初始和末端条件代入 (t ) c0 c1t c2t 2 c3t 3 c4 t 4 c5t 5 (t ) c 2c t 3c t 2 4c t 3 5c t 4
1 2 3 4 5
(t ) 2c2 6c3t 12 c4t 2 20 c5t 3
§5.3 轨迹规划的基本原理
一 关节空间的轨迹规划
1. 非归一化运动 计算起点和终点的关节变量，各关节都以最大角 速度运动
A
B 特点：轨迹不规则，末端走过的距离不均匀，且各 关节不是同时到达。
2.归一化运动
在1的基础上对关节速率做归一化处理，使各关 节同时到达终点。 A
B
特点：各关节同时到达终点，轨迹各部分比较均 衡，但所得路径仍然是不规则的。
(t ) 5 9 .6t 6 .96 t 2 0 .928 t 3
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就相当于 一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说明在起点和终 点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬间达到匀速状态。但 很显然这是不可能的，因此在起点和终点处，可以用抛物线来 进行过渡。如图所示
§第5章 轨迹规划（4学时）
学习目的： 1 理解轨迹规划原理 2 学会用轨迹规划处理实际问题 学习内容： 1 轨迹规划原理 2 关节空间的轨迹规划 3 直角坐标空间的轨迹规划
重点：轨迹规划的基本原理 难点：关节空间的轨迹规划
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(1) 各轴协调运动定时 插补。 (2) 各关节最大加速度 限制
(1) 在空间插补点间进 行关节定时插补。 (2) 用关节的低阶多项 式拟合空间直线使各轴 协调运动。 (3) 关节最大加速度限 制
(1) 直线、圆弧、 曲线等距插补。 (2)给定起停线速 度、线加速度； 关节速度、加速 度限制
3.2.2 机器人轨迹控制过程（示教-再现过程）： （属于直角空间插补过程）
第3章 机器人轨迹规划 3.1 机器人轨迹规划概述
3.1.1 机器人轨迹的概念
轨迹：点的轨迹、位移、速度和加速度。 轨迹规划：（1）或对直角空间插值：生成手部 轨迹，再将手部运动轨迹换算成关节空间运动规 律（控制依据）；（2）或对关节空间进行插值， 生成关节空间运动规律（控制依据）。
机器人手部路径的轨迹规划 作业的描述
3.3.2 圆弧插补
一、平面圆弧插补（圆弧在坐标平面内） 已知（示教给出）不在一条直线上的三点P1、
P2、P3及对应姿态。 求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。 设v为沿圆弧运动速度；ts为插补时时间隔。
(1) 计算P1、P2、P3决定的圆弧半径R。
(2)计算总的圆心角=1+2:
1 arccos
点位控制(PTP控制)：只要求起终点位姿，没有路 径约束。
插补的依据是（1）关节最大速度和加速度；（2） 速度连续，各轴协调。
连续轨迹控制(CP控制)：有路径约束，要对路径进 行设计。
路径控制与插补方式分类
不插补
关节插补(平滑)
空间插补
(1) 各轴独立 快速到达。 PTP (2) 关节最大 加速度限制
cos
sin
0
0
sin cos cos cos
sin
0
sin cos cos sin
cos
0
X OR
YOR
ZOR
1
3.3.3 关节空间插补
给定：机器人在起始点和终止点手臂的位形。 可以给出：首末两点的力、速度和加速度的要 求； 插值依据：关节位移、速度、加速度连续性； 关节变量的容许范围等。
（1）对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点，如 直线需要示教两点，圆弧需要示教三点；
（2）计算机利用插补算法获得中间点的坐标；
（3）计算机求出 (1, …, n)，
（4）半闭环控制系统实现预期轨迹。
3.3 机器人轨迹插值计算
给出结点（位置姿态）；进行运动学反解；关节 变量的插值计算。
3.3.1 直线插补 直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补
t a0 a1t a2t2 a3t3
三、高阶多项式插值 若对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，
三次多项式就不能满足需要，须用更高阶的多项式对运 动轨迹的路径段进行插值。
例如:起始点和终止点都规定了关节的位置、速度 和加速度，则要用一个五次多项式进行插值。
t a0 a1t a2t2 a3t3 a4t 4 a5t5
3.1.4 轨迹规划涉及的主要问题 轨迹规划一般过程：
(1) 作业描述：（用示教方法）给出轨迹上的若 干个结点。
(2) 插值：在结点之间进行插补，得到直角空间 的X(t)或关节空间的位移q(t)；
(3) 以X(t)或q(t) 为依据设计控制规律。 (4) 考虑路径上是否存在障碍。
4.2 插补方式分类与轨迹控制 3.2.1 插补方式分类
i1 i
二、空间圆弧插补
空间圆弧插补可分三步来处理： (1) 把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。 (2) 利用二维平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1, Yi+1)。 (3) 把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值。
TR T ( XOR ,YOR , ZOR )R(Z , )R( X , )
算法。对于其他轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以 实现这些轨迹。
已知（示教给出）直线始末两点的坐标值P0(X0，Y0， Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及姿态，要求走空间直线： 求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。 设v为要求的沿直线运动的速度；ts为插补时间间隔。
直线长度： L Xe X0 2 Ye Y0 2 Ze Z0 2
四、用抛物线过渡的线性插值
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
一、三次多项式插值
0 0
tf
Hale Waihona Puke f 0 0
tf
0
t a0 a1t a2t2 a3t3
二、过路径点的三次多项式插值
0 0
tf
f
0 0
tf
f
Yi1 Rsin(i ) Rsini cos R cosi sin Yi cos Xi sin
式中：Xi=R cosi；Yi=Rsin i。
Xi1 Xi cos Yi sin
Yi1 Yi cos Xi sin
作业的描述
结点 运动 目标
P0 INIT 原始
P1 MOVE 接近螺栓
P2 MOVE 到达
P2 GRASP
抓住
作业的描述
P3 MOVE 提升
P4 MOVE 接近托架
P5 MOVE 插入孔中
P5 RELEASE
松夹
P6 MOVE 移开
3.1.2 轨迹规划的一般性问题 （1）描述成工具坐标系{T}相对于工件坐标系
ts间隔内行程：d = vts； 插补总步数N：L/d+1，取整；
各坐标轴增量
各插补点坐标值
X Xe X0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
X i1 X i iX Yi1 Yi iY Zi1 Zi iZ
{S}的一系列运动。 （2）轨迹的点：包含位置和姿态； （3）插值的原则：保证运动平稳。即位移、
速度函数必须连续，有时甚至加速度也要求连续。
（4）关节空间插值：将所有关节变量表示为 时间的函数，用这些关节函数及其一阶、二阶导 数描述机器人预期的运动；
（5）直角坐标空间插值：将手部位姿、速度 和加速度表示为时间的函数，再算出所有关节位 置、速度和加速度函数值。
( X2
X1)2
Y2
Y1 2
2R2
/
2R2
2 arccos
( X3
X2 )2
Y3
Y2
2
2R2
/
2R2
(3) ts时间内角位移量：=tsv/R， (4) 总插补步数(取整数)：N = / + 1
Xi1 R cos(i ) R cosi cos Rsini sin Xi cos Yi sin