2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第一章 解三角形1.2.3 Word版含答案
高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评5 Word版含答案
高中数学必修五《解三角形》单元测试（含答案）一、选择题1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c的关系满足() A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.【答案】 B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()A.57B.37C.21 D．13【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A＝12×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×12＝13.∴a＝13.【答案】 D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R＝()A.12B．1C．2 2 D．52 2【解析】S△ABC ＝12ac sin B＝24c＝2，∴c＝4 2.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sin B＝52×22＝522.【答案】 D4．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62D．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12.整理得AB 2－2AB －3＝0.解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332.【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1，所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)， 整理得7b 2－27b －40＝0，解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4.结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.【答案】 D二、填空题6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为 ．【解析】 画出三角形知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3.【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是 cm 2.【解析】 解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S △＝12×3×5×45＝6(cm 2)．【答案】 68．(2021·郑州模拟)在△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为 ．【解析】 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°.整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)．∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534.【答案】 1534三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2.【证明】 由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ，∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2， 即a 2＋b 2＝5c 2.10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积．解(1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]1．为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C ，D 两点处进行测量．在C 点测得塔底B 在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D 点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( )A ．5米B ．10米C ．15米D ．20米【解析】 如图，由题意得，AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD .设塔高AB ＝x ，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝AB tan 30°＝3x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD ·cos 120°，∴(3x )2＝x 2＋100＋10x ，解得x ＝10或x ＝－5(舍去)，故选B.【答案】 B2．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1-2-28所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1-2-28【解析】 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒ sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos 30°－sin∠ACB·sin 30°＝2114.【答案】21 144．如图1-2-29，某军舰艇位于岛屿A的正西方C处，且与岛屿A相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A出发沿东偏北60°方向逃窜，同时，该军舰艇从C处出发沿东偏北α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．图1-2-29(1)求该军舰艇的速度；(2)求sin α的值．解(1)依题意知，∠CAB＝120°，AB＝100×2＝200，AC＝120，∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314.。
2018秋新版高中数学人教A版必修5习题：第一章解三角形 1.1.2
1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升基础巩固1在△ABC 中,符合余弦定理的是( ).A.c 2=a 2+b 2-2ab cos CB.c 2=a 2-b 2-2bc cos AC.b 2=a 2-c 2-2bc cos AD.cos C =a 2+b 2+c 22ab答案:A2已知在△ABC 中,b cos A=a cos B ,则△ABC 是( ).A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形解析:由余弦定理得,b ·b 2+c 2-a 22bc =a ·a 2+c 2-b 22ac ,整理得,a=b.故选B .答案:B3在△ABC 中,若a=7,b=8,cos C =1314,则最大角的余弦值是().A.‒15B .‒16C.‒17D .‒18解析:因为c 2=a 2+b 2-2ab cos C=72+82-2×7×8c=3.×1314=9,所以根据三边的长度知角B 为最大角,故cos B =a 2+c 2-b 22ac =49+9-642×7×3=‒17.所以cos B=‒17.答案:C4在△ABC 中,已知a=2,则b cos C+c cos B 等于( ).A. 1B .2C.2D.4解析:b cos C+c cos B=b ·a 2+b 2-c 22ab +c ·a 2+c 2-b 22ac =2a 22a =a =2.答案:C5在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c.若a 2-b 2=3bc,sin C =23sin B ,则A 等于().A.30° B.60°C.120°D.150°解析:根据正弦定理,由sin C=B 可得c=23sin 23b ,把它代入a 2-b 2a 2-b 2=6b 2,=3bc 得即a 2=7b 2.结合余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+12b 2-7b 22b ·23b =32.又∵0°<A<180°,∴A=30°.答案:A6在△ABC 中,若sin A ∶sin B ∶sin C=5∶7∶8,则B= .解析:由正弦定理,有a ∶b ∶c=5∶7∶8,不妨设a=5k ,b=7k ,c=8k ,则由余弦定理得cos BB =a 2+c 2-b 22ac =(5k )2+(8k )2-(7k )22×5k ×8k =12,所以=π3.答案:π37在△ABC 中,若a=b=1,c =3,则C = .解析:由余弦定理得,cos C =a 2+b 2-c 22ab =1+1-32×1×1=‒12.∵C ∈(0°,180°),∴C=120°.答案:120°8在△ABC 中,若b=1,c =3,A =π6,则a = ,sin B = . 解析:由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc cos A=12+(3)2‒2×1×3cos π6=1,所以a=1.所以a=b.所以A=B =π6.所以sin B=12.答案:1 129在△ABC 中,已知cos △ABC 的形状.2A 2=b +c 2c ,判断解在△ABC 中,由已知cos 2A 2=b +c 2c,得1+cosA 2=b +c 2c ,∴cos A =b c .根据余弦定理,得b 2+c 2-a 22bc =b c .∴b 2+c 2-a 2=2b 2,即a 2+b 2=c 2.∴△ABC 是直角三角形.能力提升1△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若b 2=ac ,且c=2a ,则cos B 等于( ).A .14B .34C .24D .23解析:因为b 2=ac ,且c=2a ,由余弦定理得cos B=a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-a ·2a 2a ·2a =34.答案:B2设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c.若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C ,3b=20a cos A ,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ).A.4∶3∶2B.5∶6∶7C.5∶4∶3D.6∶5∶4解析:由题意可设a=b+1,c=b-1.∵3b=20a ·cos A ,∴3b=20(b+1)·b 2+(b -1)2-(b +1)22b (b -1),整理得7b 2-27b-40=0,解得b=5,故a=6,b=5,c=4,即sin A ∶sin B ∶sin C=a ∶b ∶c=6∶5∶4.答案:D ★3在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的大小为( ).A .π6B .π3C .π6或5π6D .π3或2π3解析:∵(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,B ∴a 2+c 2-b 22ac tan =32,即cos B tan BB B =32,sin =32,B =π3或=2π3.答案:D 4在△ABC 中,A=120°,c=5,a=7,则sinB sinC= . 解析:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即49=b 2+25+5b ,解得b=3或b=-8(舍去),所以sinB sinC =b c =35.答案:355在△ABC 中,若B=60°,2b=a+c ,则△ABC 的形状是 .解析:根据余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B.∵B=60°,2b=a+c ,60°,∴(a +c 2)2=a 2+c 2‒2accos 整理得(a-c )2=0,故a=c.又B=60°,∴△ABC 是等边三角形.答案:等边三角形6在△ABC 中,a 2+c 2=b 2+2ac .(1)求B 的大小;(2)求2cos A +cos C 的最大值.解(1)由余弦定理及题设得cos B=a 2+c 2-b 22ac =2ac 2ac =22.又因为0<B<π,所以B=π4.(2)由(1)知A+C=3π4.A+cos C A+co 2cos =2cos s (3π4-A )AA A =2cos ‒22cos +22sin A A=co =22cos +22sin s (A -π4).因为0<A <3π4,所以当A A+cos C 取得最大值1.=π4时,2cos 7在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,4sin 2B +C 2‒cos 2A =72.(1)求角A 的度数;(2)若a =3,b +c =3,求b 和c 的值.解(1)由4sin 2A A+B+C=180°,2B +C 2‒cos =72及得2[1-cos(B+C )]-2cos 2A+1=72,整理得4(1+cos A )-4cos 2A=5,即4cos 2A-4cos A+1=0,故(2cos A-1)2=0,解得cos A=12.∵0°<A<180°,∴A=60°.(2)由余弦定理,得cos A=b 2+c 2-a 22bc .∵cos A=12,,得(b+c )2-a 2=3bc ,∴b 2+c 2-a 22bc =12,化简并整理∴32-bc=2.(3)2=3bc,即则由{b+c=3,bc=2,解得{b=1,c=2或{b=2,c=1.★8在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2a sin A=(2b+c)sin B+(2c+b)sin C.(1)求A的大小;(2)若sin B+sin C=1,试判断△ABC的形状.解(1)由已知,根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.由余弦定理a2=b2+c2-2bc cos A,得cos A=‒1 2.又A∈(0,π),故A =2π3.(2)由(1)中a2=b2+c2+bc及正弦定理,可得sin2A=sin2B+sin2C+sin B sin C,B sin C,即(32)2=sin2B+sin2C+sin又sin B+sin C=1,∴sin B=sin C = 1 2.又0<B,C <π3,∴B=C=π6.∴△ABC为等腰三角形,且是钝角三角形.。
2019-2020学年人教A版高中数学必修五限时规范训练：第1章 解三角形 1.1.2 Word版
姓名，年级：时间：第一章1。
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2【基础练习】1．在△ABC中,a2等于（）A．a2＋b2－2ab cos C B．b2＋c2－2bc sin CC．a2＋c2－2ac cos B D．b2＋c2－2bc cos A【答案】D【解析】利用余弦定理的定义判断即可．2．在△ABC中，角A,B，C的对边a，b，c满足b2＋c2＝a2＋bc，且bc＝8,则△ABC的面积等于( )A．2错误!B．4C．4错误!D．8【答案】A【解析】∵b2＋c2＝a2＋bc，可得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝错误!＝错误!＝错误!.∵A∈(0，π)，∴A＝错误!，∴S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!×8×错误!＝2错误!.故选A．3．（2019年山西太原期末）如图，在△ABC中，点D在AC上,AB⊥BD，BC＝3错误!，BD＝5，sin∠ABC＝错误!，则CD的长度等于( )A．4 B．5C．4 2 D．5错误!【答案】A【解析】由题知sin∠ABC＝错误!＝sin错误!＝cos∠CBD，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·c os∠CBD＝27＋25－2×3错误!×5×错误!＝16.∴CD＝4。
4．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.【答案】0【解析】∵b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－2ac·cos120°＝a2＋c2＋ac,∴a2＋c2＋ac－b2＝0.5．在△ABC中，A＝60°，最大边与最小边是方程x2－9x＋8＝0的两个实根，则边BC长为________．【答案】57【解析】∵A＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b,c。
又b＋c＝9，bc＝8，∴BC2＝b2＋c2－2bc cos A＝（b＋c)2－2bc－2bc cos A＝92－2×8－2×8×cos60°＝57，∴BC＝57。
2019版人教A版数学必修五试题：第一章 解三角形 1.1-2
[A 基础达标] 1．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于( ) A．1 B.2 C．2 D．4
解析：选C.bcos C＋ccos B＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a＝2. 2．(2018·合肥高三调研)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，C＝60°，a＝4b，c＝13，则b＝( ) A．1 B．2 C．3 D.13 解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a2＋b2－2abcos 60°，因为a＝4b，所以13＝16b2＋
b2－2×4b×b×12，解得b＝1，故选A. 3．在△ABC中，AB＝3，BC＝13，AC＝4，则AC边上的高为( ) A.322 B.332 C.32 D．33 解析：选B.由BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A，得cos A＝12.因为A为△ABC的内角，所以A＝π3，所以AC边上的高h＝AB·sin A＝3×32＝332. 4．(2018·重庆一中期末)在△ABC中，三边上的高依次为113，15，111，则△ABC为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形
解析：选C.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，113，15，111分别为a，
b，c上的高．因为S△ABC＝12a×113＝12b×15＝12c×111，所以可设a＝13k，b＝5k，c＝11k(k>0)，由余弦定理，得cos A＝（5k）2＋（11k）2－（13k）22×5k×11k＝－23110<0，则A∈π2，π，所以△ABC为钝角三角形，故选C. 5．(2018·合肥一中期中检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C＝120°，c＝2a，则( ) A．a>b B．aC．a＝b D．a与b的大小关系不能确定 解析：选A.由余弦定理，知c2＝a2＋b2－2abcos C，则2a2＝a2＋b2＋ab，即a2＝b2＋ab，
2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题：第1章 解三角形 1-1 第3课时 含答案 精品
第一章 1.1 第3课时A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则其面积等于导学号 68370090( D ) A ．12 B ．212C ．28D ．6 3[解析] 由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9＋64－492×3×8＝12，∴sin A ＝32． ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×8×32＝63．2．在△ABC 中，已知a ＝x ，b ＝2，B ＝60°，如果△ABC 有两解，则x 的取值范围是导学号 68370091( C )A ．x >2B ．x <2C ．2<x <433D ．2<x ≤433[解析] 欲使△ABC 有两解，须a sin60°<b <a ． 即32x <2<x ，∴2<x <433． 3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是导学号 68370092( B )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形[解析] 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又∵b 2＝ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0，∴a ＝c ， ∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°． 故△ABC 是等边三角形．4．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为导学号 68370093( B )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°[解析] ∵33＝12×4×3sin C ，∴sin C ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝60°，故选B ．5．在△ABC 中，已知(b ＋c )∶(a ＋c )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于导学号 68370094( B )A ．6∶5∶4B ．7∶5∶3C ．3∶5∶7D ．4∶5∶6[解析] ∵(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6， ∴b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b6． 令b ＋c 4＝c ＋a 5＝a ＋b 6＝k (k >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝4k c ＋a ＝5k a ＋b ＝6k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝72k b ＝52k c ＝32k．∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3． 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是导学号 68370095( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[解析] 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a －b )2＋6， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332．二、填空题7．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝__4__．导学号 68370096[解析] 由3sin A ＝2sin B 及正弦定理知：3a ＝2b ，又因为a ＝2，所以b ＝3；由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋9－2×2×3×(－14)＝16，所以c ＝4．8．在△ABC 中，A ＝60°，最大边与最小边是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 长为导学号 68370097[解析] ∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b 、c ． 由条件可知，b ＋c ＝9，bc ＝8， ∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos60° ＝57， ∴BC ＝57． 三、解答题9．在△ABC 中，S △ABC ＝153，a ＋b ＋c ＝30，A ＋C ＝B2，求三角形各边边长．导学号 68370098[解析] ∵A ＋C ＝B 2，∴3B 2＝180°，∴B ＝120°．由S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ＝153得：ac＝60，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos120°)＝(30－b )2－60得b ＝14， ∴a ＋c ＝16∴a 、c 是方程x 2－16x ＋60＝0的两根．所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝10c ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6c ＝10， ∴该三角形各边长为14,10和6．10．(2017·北京理，15)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a ．导学号 68370099(1)求sin C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．[解析] (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝37a ，所以由正弦定理，得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝3314． (2)因为a ＝7，所以c ＝37×7＝3．由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得 72＝b 2＋32－2b ×3×12，解得b ＝8或b ＝－5(舍去)．所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×32＝63．B 级 素养提升一、选择题1．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )·sin A ，则角B 的大小为导学号 68370100( A )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[解析] 由正弦定理得(b －c )(b ＋c )＝a (a －3c )，即a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又由余弦定理得：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，∴B ＝30°，选A ．2．在△ABC 中，有下列关系式： ①a sin B ＝b sin A; ②a ＝b cos C ＋c cos B ； ③a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C; ④b ＝c sin A ＋a sin C ． 一定成立的有导学号 68370101( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[解析] 对于①③，由正弦、余弦定理，知一定成立．对于②，由正弦定理及sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ，知显然成立．对于④，利用正弦定理，变形得sin B ＝sin C sin A ＋sin A sin C ＝2sin A sin C ，又sin B ＝sin(A ＋C )＝cos C sin A ＋cos A sin C ，与上式不一定相等，所以④不一定成立．故选C ．3．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为导学号 68370102( D )A ．－19B ．13C ．1D ．72[解析] ∵3a ＝3b ，∴b ＝32a ，由正弦定理，得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2＝2×94a 2－a 2a 2＝72． 4．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝导学号 68370103( D )A ．154B ．34C ．3 1516D ．1116[解析] ∵6sin A ＝4sin B ＝3sin C ， ∴6a ＝4b ＝3c ， ∴b ＝32a ，c ＝2a ．由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－94a 22a ×2a＝1116．二、填空题5．在△ABC 中，BC ＝8，AC ＝5，且S △ABC ＝12，则cos2C ＝__725__．导学号 68370104[解析] 利用二倍角公式和三角形面积公式求解．S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝20sin C ＝12，sin C＝35，所以cos2C ＝1－2sin 2C ＝1－2×(35)2＝725． 6．已知三角形两边长分别为1和3，第三边上的中线长为1，则三角形的外接圆半径为__1__．导学号 68370105[解析] 如图，AB ＝1，BD ＝1，BC ＝3，设AD ＝DC ＝x ，在△ABD 中， cos ∠ADB ＝x 2＋1－12x ＝x 2，在△BDC 中，cos ∠BDC ＝x 2＋1－32x ＝x 2－22x ，∵∠ADB 与∠BDC 互补，∴cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，∴x2＝－x 2－22x ，∴x ＝1，∴∠A ＝60°，由3sin60°＝2R 得R ＝1．三、解答题7．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －b )cos C －c cos B ＝0． 导学号 68370106 (1)求角C 的值；(2)若三边a 、b 、c 满足a ＋b ＝13，c ＝7，求△ABC 的面积．[解析] (1)已知(2a －b )cos C －c cos B ＝0可化为(2sin A －sin B )cos C －sin C cos B ＝0， 整理得2sin A cos C ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ， ∵0<A <π，∴sin A ≠0，∴cos C ＝12，又0<C <π，∴C ＝π3．(2)由(1)知cos C ＝12，又a ＋b ＝13，c ＝7，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝169－3ab ， 即49＝169－3ab ，∴ab ＝40，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×40×sin π3＝103．C 级 能力拔高1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝3．导学号 68370107 (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积．[解析] (1)∵角A 、B 、C 为△ABC 的内角， 且B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35．∴sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310． (2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310．又∵B ＝π3，b ＝3，∴在△ABC 中，由正弦定理得a ＝b sin A sin B ＝65．∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋9350．2．(2017·天津理，15)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35．导学号 68370108(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin(2A ＋π4)的值．[解析] (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45．由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝25＋36－2×5×6×45＝13，所以b ＝13．由正弦定理a sin A ＝bcos B ，得sin A ＝a sin B b ＝3 1313．所以b 的值为13，sin A 的值为3 1313．(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513．所以sin(2A ＋π4)＝sin2A cos π4＋cos2A sin π4＝1213×22＋(－513)×22＝7226．。
2018-2019版数学新设计同步人教A版必修五讲义：第一章 解三角形 1-1-1一 含答案 精品
§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理(一)学习目标 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法(重、难点)；2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题(重点).预习教材P2－3完成下列问题： 知识点一 正弦定理 1.正弦定理的表示2.正弦定理的常见变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R 为△ABC 外接圆的半径). (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径).(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . (4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝a sin A ＝b sin B ＝csin C .(5)a sin B ＝b sin A ，a sin C ＝c sin A ，b sin C ＝c sin B. 【预习评价】1.正弦定理对任意三角形都适用吗？ 提示 都适用，且比值为2R .2.正弦定理的主要功能是什么？ 提示 实现三角形中边角关系的转化. 知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【预习评价】1.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则sin B ＝( ) A.33B.63C.22D.32解析 由于a sin A ＝b sin B ，故1532＝10sin B ，解得：sin B ＝33.答案 A2.在△ABC 中，若B ＝30°，b ＝2，则asin A ＝________. 解析 a sin A ＝b sin B ＝212＝4.答案 4题型一 对正弦定理的理解【例1】 在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B.a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2B C.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin CD.正弦值较大的角所对的边也较大解析 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k ＞0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确.当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误.根据比例式的性质易得C正确.大边对大角，故D正确.答案 B规律方法根据正弦定理的适用范围和变形公式进行判断.【训练1】下列有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦值的比是定值；④在△ABC中，A∶B∶C＝a∶b∶c.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析因为正弦定理适用于任意三角形，故①②不正确；由正弦定理，有asin A＝bsin B＝csin C＝2R，因为三角形确定，所以其外接圆半径R为定值，故③正确；④显然不正确.答案 A题型二已知两角与任意一边解三角形【例2】在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形. 解∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°.由asin A＝csin C得a＝c sin Asin C＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.由bsin B＝csin C得b＝c sin Bsin C＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75°，∵sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6 4，∴b＝20×2＋64＝52＋5 6.规律方法解决已知两角及一边类型的解题方法：(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边.(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边.【训练2】 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35＞0，∴sin A ＝45. ∵cos B ＝513＞0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得c ＝b sin C sin B ＝145.答案 145【例3】 在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π3，求A ，B ，b . 解 ∵a sin A ＝csin C ， ∴2sin A ＝632，解得：sin A ＝22，又∵a ＜c ，C ＝π3，∴A ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π4－π3＝5π12，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6＋24，∴b ＝c sin B sin C ＝6sin 5π12sin π3＝3＋1. 【迁移】 若把例3中a ＝2改为B ＝π4，求A ，a ，b 的值.解 由三角形内角和定理知A ＝π－π3－π4＝5π12.又由正弦定理c sin C ＝bsin B ，得b ＝c sin B sin C ＝6×sin π4sin π3＝2.又由a sin A ＝csin C ， 得a ＝c sin A sin C ＝6×sin 5π12sin π3＝3＋1.规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.课堂达标1.在△ABC 中，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，下列等式中总能成立的是( ) A.a sin A ＝b sin B B.b sin C ＝c sin A C.ab sin C ＝bc sin BD.a sin C ＝c sin A解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 得a sin C ＝c sin A . 答案 D2.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( ) A.135° B.90° C.45°D.30°解析 由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22，∵0°<A <180°，∴A ＝45°或135°.又∵a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝45°. 答案 C3.在△ABC 中，若BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析 由正弦定理得：AB ＝sin Csin A BC ＝2BC ＝2 5. 答案 2 54.在△ABC 中，若a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________. 解析 由正弦定理，sin A ＝a sin B b ＝3×222＝32，又A ∈(0，π)，a ＞b ，A ＞B ， ∴A ＝π3或2π3. 答案 π3或2π35.在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形. 解 ∵a sin A ＝csin C ，∴sin C ＝c sin Aa ＝6×sin 45°2＝32，c >a ，即C >A ，又0°＜C ＜180°， ∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1.∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°.课堂小结1.正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k ＞0).2.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.基础过关1.在△ABC 中，BC ＝a ＝5，AC ＝b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37D.57解析 sin A sin B ＝a b ＝53. 答案 A2.在△ABC 中，A ＞B ，则下列不等式中不一定正确的是( ) A.sin A ＞sin B B.cos A ＜cos B C.sin 2A ＞sin 2BD.cos 2A ＜cos 2B 解析 A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B ，A 正确. 由于(0，π)上，y ＝cos x 单调递减， ∴cos A ＜cos B ，B 正确. ∵sin A ＞sin B ＞0， ∴sin 2A ＞sin 2B ， 1－2sin 2A <1－2sin 2B ， ∴cos 2A ＜cos 2B ，D 正确. 答案 C3.在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，A ＝30°，则B 为( ) A.60° B.60°或120° C.30°D.30°或150°解析 由正弦定理可知a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝23×122＝32， ∵B ∈(0°，180°)， ∴B ＝60°或120°，故选B. 答案 B4.在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析 在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ， 由正弦定理可得：a sin A ＝csin C ，3c sin 2π3＝c sin C ，sin C ＝12，由于c <a ，且C ∈(0，π).故C ＝π6， 则B ＝π－2π3－π6＝π6.三角形是等腰三角形，B ＝C ，则b ＝c ， 则bc ＝1. 答案 15.在△ABC 中，若a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，则b cos C －a b cos A －c －sin Csin A 的值为________.解析 由正弦定理知：a sin A ＝b sin B ＝csin C ， 代入得b ·cos C －a b cos A －c －sin C sin A ＝sin B cos C －sin A sin B cos A －sin C －sin C sin A ＝sin B cos C －sin B cos C －cos B sin C sin B cos A －sin A cos B －cos A sin B －sin Csin A＝cos B sin C sin A cos B －sin C sin A ＝sin C sin A －sin C sin A ＝0. 答案 06.在△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10，解三角形.解 因为A ＋B ＋C ＝180°，所以C ＝105°.所以sin C ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得a ＝sin A sin C ·c ＝10(3－1)， b ＝c sin B sin C ＝10sin 30°sin 105°＝5(6－2).所以C ＝105°，a ＝10(3－1)，b ＝5(6－2). 7.在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝30°，求边c 的长. 解 由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝32. ∵a ＜b ，∴B ＞A ＝30°， ∴B 为60°或120°.当B ＝60°时，C ＝180°－60°－30°＝90°. 此时，c ＝a 2＋b 2＝1＋3＝2.当B ＝120°时，C ＝180°－120°－30°＝30°. 此时，c ＝a ＝1. 综上知c ＝1或2.能力提升8.在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A.60° B.75° C.90°D.115°解析 不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12.整理得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A . ∴tan A ＝2＋3，又∵A ∈(0°，120°)，∴A ＝75°，故选B. 答案 B9.在△ABC 中，a ＝4，b ＝52，5cos(B ＋C )＋3＝0，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.56π解析 由5cos(B ＋C )＋3＝0得cos A ＝35，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，由正弦定理得445＝52sin B ，∴sin B ＝12.又∵a ＞b ，∴A ＞B ，且A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴B 必为锐角，∴B ＝π6. 答案 A10.在单位圆上有三点A ，B ，C ，设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＋b2sin B ＋2csin C ＝________.解析 ∵△ABC 的外接圆直径为2R ＝2， ∴a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ＝2，∴a sin A ＋b 2sin B ＋2csin C ＝2＋1＋4＝7. 答案 711.锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A ＞B .则sin A ＋sin B 和cos A ＋cos B 的大小关系为________.解析 在锐角三角形中，∵A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ，函数y ＝sin x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，则有sin A ＞sin (π2－B )，即sin A ＞cos B ， 同理sin B ＞cos A ，故sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B.答案 sin A ＋sin B ＞cos A ＋cos B12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值；(2)求a 的值.解 (1)∵B ＝π3，cos A ＝45，∴C ＝2π3－A ，sin A ＝35，∴sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310. (2)由(1)，知sin A ＝35，又B ＝π3，b ＝3，∴由正弦定理，得a ＝b sin A sin B ＝3×35sin π3＝65.13.(选做题)在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，B ＝2A .(1)求cos A 的值；(2)求c 的值.解 (1)因为a ＝3，b ＝26，B ＝2A .所以在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263. 故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A＝6 3，所以sin A＝1－cos2A＝3 3.又因为B＝2A，所以cos B＝2cos2A－1＝1 3.所以sin B＝1－cos2B＝22 3.在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝53 9.所以c＝a sin Csin A＝5.。
人教A版高中数学必修五第一章解三角形综合练习.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修5第一章《解三角形》综合练习一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120° 2．已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9B ．18C ．93D ．1833．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶3∶2，则A ∶B ∶C 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶1C ．1∶3∶2D ．3∶1∶24．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k (k ≠0)，则k 的取值范围为( ) A ．(2，＋∞) B ．(-∞，0) C ．(-21，0) D ．(21，＋∞) 5在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BC AB ⋅的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5 D ．-5 6．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392 C ．338 D ．2397．已知锐角三角形的边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是( ) A ．135<<x B ．13＜x ＜5 C ．2＜x ＜5 D ．5＜x ＜58．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，则∠C 等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°9．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是( ) A ．135° B ．90° C ．120° D ．150° 10．在△ABC 中，若c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，则∠C 等于( ) A ．90° B ．120° C ．60° D ．120°或60°二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 2．在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________．3．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________． 4．已知△ABC 的面积为23，且b ＝2，c ＝3，则∠A ＝________． 5．在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，a ＝2(3＋1)，那么△ABC 的面积为________．6．在△ABC 中，|AB |＝3，|AC |＝2，AB 与AC 的夹角为60°，则|AB -AC |＝________；|AB ＋AC |＝________．7．已知△ABC 中，A ＝60°，最大边和最小边是方程x 2-9x ＋8＝0的两个正实数根，那么BC 边长是________．8．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝8，cos C ＝1413，则最大角的余弦值是________． 9．若△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝1，则面积S 的取值范围是________．10．已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积S ＝4222c b a -+，则角C ＝________．三、解答题(本大题共6小题，共40分)1．在△ABC 中，b ＝10，A ＝30°，问a 取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？ 2．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △3．a ，b ，c 为△ABC 的三边，其面积S △ABC ＝123，bc ＝48，b -c ＝2，求a ．4．在△ABC 中，∠C ＝60°，BC ＝a ，AC ＝b ，a ＋b ＝16． (1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式． (2)当a 等于多少时，S 有最大值？并求出这个最大值．5．在△ABC 中，已知a 2-a ＝2(b ＋c )，a ＋2b ＝2c -3，若sin C ∶sin A ＝4∶13，求a ，b ，c ．6．半径为R 的圆外接于△ABC ，且2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a -b )sin B ． (1)求角C ； (2)求△ABC 面积的最大值．参考答案 一、选择题1．D 分析：由正弦定理得，BbA a sin sin =， ∴ sin B ＝23sin =a A b ， ∴ ∠B ＝60°或∠B ＝120°．2．C 分析：∵ ∠A ＝30°，∠B ＝120°， ∴ ∠C ＝30°，∴ BA ＝BC ＝6， ∴ S △ABC ＝21×BA ×BC ×sin B ＝21×6×6×23＝93．3．A 分析：由正弦定理得，CcB b A a sin sin sin ==， ∴ sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶3∶2＝21∶23∶1，∴ A ∶B ∶C ＝30°∶60°∶90°＝1∶2∶3．4．D 分析：利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边．5．D 分析：∵ AB ·BC ＝-BA ·BC ， ∵ BA ·BC ＝|BA ||BC |cos B ＝21(|BA |2＋|BC |2-|AC |2)＝21(52＋72-82)＝5 ∴ AB ·BC ＝-BA ·BC ＝-5 6．B 分析：∵ S △ABC ＝21×1×c ×sin60°＝3，∴ c ＝4，∴ a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝13 ∴ R ＝339sin 2=A a∵ a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ∴33922sin sin sin ==++++R C B A c b a7．A 分析：由三角形三边的关系，得1＜x ＜5，(1)当1＜x ＜3时，由22＋x 2＞32解得5＜x ＜3； (2)当3≤x ＜5时，由22＋32＞x 2解得3≤x ＜13，由(1)(2)可知5＜x ＜13．8．D 分析：由(a ＋b ＋c )(a ＋b -c )＝3ab ，得a 2＋2ab ＋b 2-c 2＝3ab∴212222=-+ab c b a ，∴ cos C ＝60° 9．C 分析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7知三角形的三边之比为a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，最大的边为c ，∴ 最大的角为∠C ．由余弦定理得cos C ＝21532)7()5()3(222-=⨯⨯-+k k k k k ，∴ ∠C ＝120°． 10．D 分析：由c 4-2(a 2＋b 2)c 2＋a 4＋a 2b 2＋b 4＝0，得(a 2＋b 2)2-2(a 2＋b 2)c 2＋c 4＝a 2b 2，∴ (a 2＋b 2-c 2)2＝a 2b 2，∴ a 2＋b 2-c 2＝±ab ，∴ cos C ＝212222±=-+ab c b a ， ∴ ∠C ＝120°或∠C ＝60°．二、填空题1．23或3 分析：sin C ＝23230sin 32=︒，则∠C ＝60°或120°，故∠A ＝90°或30°，由S △ABC ＝21×AB ×AC ×sin A ，可得S △ABC ＝23或S △ABC ＝3． 2．30°或150°分析：由b ＝2c sin B 及正弦定理CcB B cC c B b sin sin sin 2sin sin ==得， ∴ sin C ＝21，∴ ∠C ＝30°或150°．3．22 分析：∵ c ＝2R sin C ，∴ R ＝22sin 2=C c．4．60°或120° 分析：∵ S △ABC ＝21bc sin A ，∴ 23＝21×2×3sin A ，∴ sin A＝23， ∴ ∠A ＝60°或120°． 5．6＋23 分析：∵B b A a sin sin =，∴ ︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b， ∴ b ＝4．∴ S △ABC ＝21ab sin C ＝6＋23． 6．719 分析：由三角形法则知|AB -AC |2＝|BC |2＝|AB |2＋|AC |2-2|AB |·|AC |·cos A ＝32＋22-2×3×2×cos60°＝7 ∴ |AB -AC |＝7类似地由平行四边形及余弦定理可知|AB ＋AC |2＝32＋22-2×3×2×cos120°＝19∴ |AB ＋AC |＝197．57 分析：∵ A ＝60°，∴ 最大边和最小边所夹的角为A ，AB 、AC 为x 2-9x＋8＝0的两个正实数根，则AB ＋AC ＝9，AB ×AC ＝8∴ BC 2＝AB 2＋AC 2-2×AC ×AB ×cos A ＝(AB ＋AC )2-2×AC ×AB ×(1＋cos A )＝92-2×8×23＝57 8．-71分析：先由c 2＝a 2＋b 2-2ab cos C 求出c ＝3，∴ 最大边为b ，最大角为B ， ∴ cos B ＝712222-=-+ac b c a ． 9．(0，163] 分析：S △ABC ＝21ab sin C ＝43ab ＝16341434)(432=⋅=+⋅≤b a (0<a <1)可得0<S △ABC ≤163． 10．45° 分析：S △ABC ＝21ab sin C ＝21224222222=⋅-+=-+ab ab c b a c b a ab cos C ∴ sin C ＝cos C ，∴ tan C ＝1，∴ C ＝45°三、解答题1．解：∵ A ＝30°，b ＝10(1)当0＜a ＜b sin A 时无解，即0＜a ＜5时，无解． (2)当a ＝b sin A 时，有一解，即a ＝5时，有一解．(3)当b sin A ＜a ＜b 时，有两解，即5＜a ＜10时，有两解． (4)当a ≥b 时，有一解，即当a ≥10时，有一解． 综上(1)、(2)、(3)、(4)得当0＜a ＜5时，无解；a ＝5或a ≥10时，有一解；5＜a ＜10时，有两解．2．解：b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·23·2·(-23)＝49． ∴ b ＝7， S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝233．3．解：由S △ABC ＝21bc sin A ，得123＝21×48×sin A ∴ sin A ＝23∴ A ＝60°或A ＝120°a 2＝b 2＋c 2-2bc cos A ＝(b -c )2＋2bc (1-cos A )＝4＋2×48×(1-cos A )当A ＝60°时，a 2＝52，a ＝213 当A ＝120°时，a 2＝148，a ＝2374．解：(1)∵ a ＋b ＝16，∴ b ＝16-a S ＝21ab sin C ＝21a (16-a )sin60°＝43 (16a -a 2)＝-43(a -8)2＋163（0＜a ＜16)(2)由(1)知，当a ＝8时，S 有最大值163． 5．解：∵ sin C ∶sin A ＝4∶13∴ c ∶a ＝4∶13设c ＝4k ，a ＝13k ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b k k由①、②消去2b ，得 13k 2-16k ＋3＝0③解得k ＝133或k ＝1， ∵ k ＝133时b ＜0，故舍去． ∴ k ＝1，此时a ＝13，b ＝2135-，c ＝4． 6．解：(1)∵R C cB b A a 2sin sin sin === Rb B Rc C R a A 2s i n ,)2(s i n ,)2(s i n 2222===∴ ∵ 2R (sin 2A -sin 2C )＝(3a －b )sin B ∴ 2R ［(R a 2)2-(R c 2)2］＝(3a -b )·Rb 2 ∴ a 2-c 2＝3ab -b 2∴ 232222=-+ab c b a∴ cos C ＝23，∴ C ＝30° (2)∵ S ＝21ab sin C ＝21·2R sin A ·2R sin B ·sin C ＝R 2sin A sin B＝-22R ［cos(A ＋B )-cos(A -B )］ ＝22R ［cos(A -B )＋cos C ］＝22R ［cos(A -B )＋23］当cos(A -B )＝1时，S 有最大值22432)231(2R R +=+．。
2017-2018学年高中数学人教A版必修五习题：第1章 解三角形 1-2 第1课时 含答案 精品
第一章 1.2第1课时A级基础巩固一、选择题1．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为导学号68370125(D)A．10 km B． 3 kmC．10 5 km D．107 km[解析]在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC＝107，即A、C两地的距离为107 km．2．如图，在河岸AC测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是导学号68370126(D)A．γ，c，αB．b，c，αC．c，α，βD．b，α，γ[解析]本题中a、c、β这三个量不易直接测量，故选D．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时导学号68370127(C)A．5 n mlie B．5 3 n mlieC．10 n mlie D．10 3 n mlie[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10， 在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300 m 和500 m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为导学号 68370128( C )A ．500 mB ．600 mC ．700 mD ．800 m[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°， 由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m 由此可得河宽为(精确到1m)导学号 68370129( C )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝406．设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m)．6．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km /h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min 时，两船的距离是导学号 68370130( B )A ．7 kmB ．13 kmC ．19 kmD ．10－3 3 km[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km ．二、填空题7．两船同时从A 港出发，甲船以每小时20 n mile 的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以每小时12 n mile 的速度向北偏西40°方向航行，一小时后，两船相距__28__n mile ．导学号 68370131[解析] 如图，△ABC 中，AB ＝20，AC ＝12，∠CAB ＝40°＋80°＝120°，由余弦定理，得BC 2＝202＋122－2×20×12×cos120°＝784． ∴BC ＝28 n mile ．8．一只蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，则x ＝3__cm ．导学号 68370132 [解析] 如图，由题意知，∠BAC ＝75°，∠ACB ＝45°． ∠B ＝60°，由正弦定理，得x sin ∠ACB ＝10sin B ，∴x ＝10sin ∠ACB sin B ＝10×sin45°sin60°＝1063．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°．求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)导学号 68370133[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°， AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°．在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2 n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30 min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？导学号 68370134[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°．由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7．787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7．06(n mile)．∵h >6．5 n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行．B 级 素养提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2 km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为 3 km ，则A 、B 两船的距离为导学号 68370135( D )A ．2 3 kmB ．3 2 kmC ．15 kmD ．13 km[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68 n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为导学号 68370136( A )A ．1762 n mile/hB ．34 6 n mile/hC ．1722n mile/hD ．34 2 n mile/h[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．3．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是 导学号 68370137( B )A ．10 kmB ．10 2 kmC ．15 kmD ．15 2 km[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20( km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°． 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102( km)．二、填空题4．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile ．此时海盗船距观测站107 n mile ，20 min 后测得海盗船距观测站20 n mlie ，再过__403__min ，海盗船到达商船．导学号 68370138[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20 min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝400＋900－7002×20×30＝12．∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．5．如图，一艘船上午8∶00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8∶30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是__16__n mile/h ．导学号 68370139[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午8∶00在A 地，8∶30在B 地， ∴航行0．5小时的路程为8 n mile ， ∴此船的航速为16 n mile/h ． 三、解答题6．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．导学号 68370140[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29 800， EF 2＝1202＋902＝1502， 由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665．C 级 能力拔高1．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图)．能够测量的数据有俯角和A 、B 间的距离．请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．导学号 68370141[解析] 方案一：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算AM ，由正弦定理，得AM ＝d sin α2sin (α1＋α2)；第二步：计算AN ，由正弦定理，得AN ＝d sin β2sin (β2－β1)；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos (α1－β1)．方案二：①需要测量的数据有：点A 到点M 、N 的俯角α1、β1；点B 到点M 、N 的俯角α2、β2；A 、B 间的距离d (如图)．②第一步：计算BM ，由正弦定理，得BM ＝d sin α1sin (α1＋α2)；第二步：计算BN ，由正弦定理，得BN ＝d sin β1sin (β2－β1)；第三步：计算MN ，由余弦定理，得 MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos (β2＋α2)．2．已知海岛B 在海岛A 的北偏东45°方向上，A 、B 相距10 n mile ，小船甲从海岛B 以2 n mile /h 的速度沿直线向海岛A 移动，同时小船乙从海岛A 出发沿北偏西15°方向也以2 n mile/h 的速度移动．导学号 68370142(1)经过1 h 后，甲、乙两小船相距多少海里？(2)在航行过程中，小船甲是否可能处于小船乙的正东方向？若可能，请求出所需时间，若不可能，请说明理由．[解析] 经过1 h 后，甲船到达M 点，乙船到达N 点， AM ＝10－2＝8，AN ＝2，∠MAN ＝60°，所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos60°＝64＋4－2×8×2×12＝52．所以MN ＝213．所以经过1 h 后，甲、乙两小船相距213海里．(2)设经过t (0<t <5)h 小船甲处于小船乙的正东方向，则甲船与A 距离为AE ＝(10－2t )n mile ，乙船与A 距离为AF ＝2t n mile ，∠EAF ＝60°，∠EF A ＝75°，则由正弦定理，得AF sin45°＝AE sin75°，即2t sin45°＝10－2t sin75°， 则t ＝10sin45°2sin75°＋2sin45°＝103＋3＝5(3－3)3<5．答：经过5(3－3)3小时小船甲处于小船乙的正东方向．。
2019秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理练习(含解析)新人教A版必修5
第1课时 正弦定理A 级 基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝12，则△ABC 外接圆的半径为( ) A ．6B ．2 3C ．3 D. 3答案：D2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝3，A ＝60°，那么角B 等于( )A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 解析：因为a ＝3，b ＝3，A ＝60°，所以sin B ＝b sin A a ＝12.因为a >b ，所以A >B ，所以B ＝30°.答案：A3．在△ABC 中，b ＝5，B ＝π4，tan A ＝2，则a 的值为( ) A ．10 2 B ．210 C.10 D. 2 解析：因为在△ABC 中，b ＝5，B ＝π4， tan A ＝sin A cos A＝2，sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以sin A ＝255. 由正弦定理可得a 255＝5sin π4， 解得a ＝210.答案：B4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sinB ∶sin CB ．a ＝b ⇔sin 2A ＝sin 2BC.asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C D ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．答案：B5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B＝2R ， 由a ＝b sin A 得：2R sin A ＝2R sin B ·sin A ，所以sin B ＝1，所以B ＝π2. 答案：B二、填空题6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝________．解析：因为cos A ＝63，所以sin A ＝33， 因为B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝223， 又b sin B ＝asin A ，所以b ＝2 6. 答案：2 67．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝4∶3∶5，则2sin A －sin B sin C＝________． 解析：设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝5k (k >0)，由正弦定理，得2sin A －sin B sin C ＝2a －b c ＝2×4k －3k 5k＝1. 答案：18．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则AB 边上的高是________． 解析：由正弦定理，AC sin B ＝AB sin C ， 所以sin C ＝AB ·sin 30°AC ＝23·sin 30°2＝32， 所以C ＝60°或120°，(1)当C ＝60°时，A ＝90°，AB 边上的高为2；(2)当C ＝120°时，A ＝30°，AB 边上的高为2sin 30°＝1.答案：1或2三、解答题9．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝45°，b ＝45，sin B ＝255. (1)求c 的值；(2)求sin A 的值．解：(1)因为C ＝45°，b ＝45，sin B ＝255， 所以由正弦定理可得c ＝b sin C sin B ＝45×22255＝5 2.(2)因为sin B ＝255，B 为锐角， 所以cos B ＝1－sin 2B ＝55， 所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝255×22＋55×22＝31010. 10．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断三角形的形状．解：由已知得a 2sin B cos B ＝b 2sin A cos A， 由正弦定理得sin 2A sin B cos B ＝sin 2B sin A cos A. 因为sin A ，sin B ≠0，所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＋2B ＝π或2A ＝2B .所以A ＋B ＝π2或A ＝B . 所以△ABC 为直角三角形或等腰三角形．B 级 能力提升1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A的值为( )A.19B.13 C ．1 D.72 解析：因为a sin A ＝b sin B ，所以sin B sin A ＝b a. 因为3a ＝2b ，所以b a ＝32， 所以sin B sin A ＝32， 所以2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72. 答案：D2．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两个解，则x 的取值范围是________．解析：要使三角形有两解，则a >b ，且sin A <1.由a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝24x ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x >2，24x <1，所以2<x <2 2. 答案：2<x <2 23．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＋c ＝2b ，2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小并判断△ABC 的形状．解：因为2cos 2B －8cos B ＋5＝0，所以2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0.所以4cos 2B －8cos B ＋3＝0，即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0.解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3. 因为a ＋c ＝2b .由正弦定理，得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3. 所以sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3， 所以sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1. 因为0＜A ＜2π3， 所以π6＜A ＋π6＜5π6， 所以A ＋π6＝π2. 所以A ＝π3，C ＝π3. 所以△ABC 是等边三角形．。
高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评1 Word版含答案
学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3【解析】 由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝2 6. 【答案】 C2．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22， ∴∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时，不符合题意，所以∠B ＝45°，故选C.【答案】 C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶3∶2C ．2∶3∶1D ．3∶1∶2【解析】 设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ， 则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝12∶32∶1＝1∶3∶2.【答案】 B4．在△ABC中，若3b＝23a sin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为() A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，则3b＝23a·sin B可化为：3sin B＝23sin A·sin B.∵0°<∠B<180°，∴sin B≠0，∴sin A＝3 2，∴∠A＝60°或120°，又cos A＝cos C，∴∠A＝∠C，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．【答案】 C二、填空题5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理bsin B＝csin C得b＝c sin Bsin C＝1×2232＝63.【答案】6 36．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.【解析】在△ABC中，∵sin B＝12，0<B<π，∴B＝π6或B＝56π.又∵B＋C<π，C＝π6，∴B＝π6，∴A＝π－π6－π6＝23π.∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝1.【答案】 17．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B＝________. 【解析】由正弦定理得3sin A＝2sin B·sin A，∵sin A≠0，∴sin B＝3 2.又0<B<180°，∴B＝60°或120°.【答案】60°或120°三、解答题8．在△ABC中，已知acos A＝bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状. 【导学号：05920059】【解】令asin A＝k，由正弦定理得a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C.代入已知条件，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C.又A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．9．在△ABC中，∠A＝60°，sin B＝12，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．【解】由正弦定理得asin A＝bsin B，即b＝a·sin Bsin A＝3×12sin 60°＝ 3.由于∠A＝60°，则∠B<120°，又sin B＝1 2，∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝a sin Csin A＝2 3.[能力提升]1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D．72【解析】∵asin A＝bsin B，∴sin Bsin A＝ba.∵3a＝2b，∴ba＝32.∴sin Bsin A＝32.∴2sin2B－sin2Asin2A＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin Bsin A2－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72.【答案】 D2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A．a>b sin A B．a＝b sin A C．a<b sin A D．a≥b sin A【解析】由正弦定理asin A＝bsin B，∴a sin B＝b sin A，在△ABC中，0<sinB≤1，故a sin B≤a，∴a≥b sin A．故选D.【答案】 D3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，B＝π4，________，求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝3sin π4sin π6＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C ＝π，B ＝π4，A ＝π6，知C ＝7π12，再运用正弦定理，得c ＝32＋62. 【答案】 b ＝6或c ＝32＋624．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B .∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.在△ABC 中，0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π.∴∠A －∠B ＝0即∠A ＝∠B ，∴△ABC 为等腰三角形.。
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1
第3课时 角度问题
课时过关·能力提升
基础巩固
1
从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得建筑物顶部仰角为β,则山顶的
仰角为
( ).
A.α+β B.α-β C.β-α D.α
答案
:
C
2
在锐角三角形ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若
2asin B
A
解析
:
∵
2asin B
∴
由正弦定理得
2sin Asin BB.
∵sin B≠0,∴
sin A
∵△ABC是锐角三角形,∴
A
答案
:
D
3
已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40°,灯塔B在观
察站C的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的
( ).
2
A.北偏东10°
B.北偏西10°
C.南偏东10°
D.南偏西10°
解析:如图,由题意,知AC=BC,∠
ACB=80°,
∴
∠CBA=50°,α+∠
CBA=60°.
∴
α=10°,即A在B的北偏西10°.
答案
:
B
4
如图,海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°,与O相距10海里的C处,现甲船以30海里/时
的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向20海里的B处的乙船,甲船需要 小时到达
B处.
解析:在△BOC中,OC=10,OB=20,∠
BOC=120°,
3
∴
BC
∴
甲船用时
t).
答案
:
5
如图所示,在斜度一定的山坡上的一点A处测得山顶上一座建筑物顶端C对于山坡的斜度为
15°,向山顶前进100 m后,又从点B测得其斜度为45°,假设建筑物高50 m,
设山坡对于地平面的斜度
为θ,则
cos θ= .
解析:在△ABC中,AB=100,∠CAB=15°,∠
ACB=45°-15°=30°.
由正弦定理
,
故
BC=200sin 15°.
在△DBC中,CD=50,∠CBD=45°,∠
CDB=90°+θ.
由正弦定理
,
故
cos θ
答案
:
4
6
一船向正北方向匀速行驶,看见正西方两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上,继续
航行半小时后,看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上,另一座灯塔在南偏西75°方向上,则该船的速
度是 海里/时
.
答案
:
10
7
如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12海里,渔船乙以10海里
/
时的速度从岛屿A沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2小
时追上
.
(1)求渔船甲的速度;
(2)求sin α的值.
解(1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12,AC=10×2=20,∠
BCA=α.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠
BAC
=122+202-2×12×20×cos 120°=784.
解得
BC=28.
所以渔船甲的速度/时
).
(2)在△ABC中,
因为AB=12,∠BAC=120°,BC=28,∠
BCA=α,
5
由正弦定理
,
即
sin α
8
某海轮以30海里/时的速度航行,在A点测得海面上油井P在南偏东60°,向北航行40分钟后到
达B点,测得油井P在南偏东30°,海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点,求P,C间的距
离
.
解如图,在△ABP中
,AB=30
∠APB=30°,∠
BAP=120°,
∴
BP=2
在△BPC中
,BC=30
由已知,∠
PBC=90°,
6
∴
PC).
答:P,C间的距离为
2.
能力提升
1
在△ABC中,已知b2=ac,且
a2-c2=ac-bc,
A
C.1 D.2
解析:∵b2=ac,且
a2-c2=ac-bc,
∴
b2+c2-a2=bc.
∴
cos A
∵
b2=ac,
·sin B·sin B=sin A
答案
:
B
2
有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6 m,下底长为10 m,高为
A
C
7
解析:如图所示,横断面是等腰梯形ABCD,AB=10 m,CD=6 m,高
DE=m,
则
AEm,
∴
tan∠DAE
∴
∠
DAE=60°.
答案
:
B
3
有一两岸平行的河流,水速为1 m/s,小船的速度
A.与水速成45°
B.与水速成135°
C.垂直于对岸
D.不能确定
解析:如图所示,AB是水速,AD为船速,AC是船的实际速度,且AC⊥
AB.
在Rt△ABC中
,
cos∠ABC
8
∴
∠
ABC=45°,
∴
∠
DAB=90°+45°=135°.
答案
:
B
4平面内三个力F1,F2,F3作用于同一个点,且处于平衡状态,已知F1,F
2
的大小分别为
1
NF1与F2的夹角为45°,则F3与F1的夹角是 .
解析:如图,设三力作用于点O,F1与F2的合力为F,由共点力平衡,得
|F|=|F3|,F1F2FF3.
∵
∠
AOB=45°,
∴
∠
CAO=135°.
在△OCA中,由余弦定理,得
OC2=OA2+AC2-2OA·AC·cos 135°=4+
∴
OC|F3|
又由正弦定理,得
sin∠AOC
9
∴
∠
AOC=30°.
∴
∠
AOD=150°.
∴
F3与F
1
的夹角为
150°.
答案
:
150°
★5一人看到建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向,此人向北偏西70°
方向行走
3
km后,则见A在其北偏东56°方向,B在其北偏东74°方向,则AB≈ .(精确到0.1 km)
解析:设此人的初始位置是点O,如图所示
.
在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠
BCO=(180°-70°)-74°=36°,
∴
∠
CBO=180°-40°-36°=104°.
由正弦定理
,
∴
BO
在△AOC中,∠AOC=70°,∠
CAO=56°,
∴
∠
ACO=54°.
10
由正弦定理
,
∴
AO
在△AOB中,由余弦定理,知
AB≈1.6(km).
答案
:
1.6 km
6
如图,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船
立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里的C处的乙船,试问乙船应朝北偏东
约多少度的方向沿直线前往B处救援?(角度精确到
1°)
解由已知,得∠
CAB=90°+30°=120°,
则∠
ACB<90°.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=202+102-2×20×10cos 120°=700,
∴
BC=1.
在△ABC中,根据正弦定理
,
11
∴
sin∠ACB
又∠
ACB<90°,
∴
∠
ACB≈41°.
故乙船应朝北偏东大约41°+30°=71°方向沿直线前往B处救援
.
★
7
如图,A,B是海面上位于东西方向相距
5(3
解由题意得,∠DBA=90°-60°=30°,∠
DAB=90°-45°=45°,
故∠
ADB=180°-(45°+30°)=105°.
在△DAB中,由正弦定理
,
故
DB
).
12
又∠DBC=∠DBA+∠
ABC=60°,BC=2,
故在△DBC中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC
=300+1 200-2×1
=900.
解得CD=30(海里
).
则该救援船到达D点需要的时间
t).