中考综合试题专题

综合试题专题————存在性问题探究 特殊图形的存在性. 一．等腰三角形和直角三角形 例1、如图，抛物线)0(1282aaaxaxy与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线上另有一点C在第一象限，满足∠ACB为直角，且恰使△OCA∽△OBC. ⑴、求线段OC的长. ⑵、求该抛物线的函数关系式. ⑶、在x轴上是否存在点P,使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由. （已做）

C

OBAx

y 2

例2、如图，已知A（－1,0），E（0，－22），以点A为圆心，以AO长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作BF∥AE交⊙A于点F，直线EF交x轴于点C. ⑴、求证：直线FC是⊙A的切线. ⑵、求点C的坐标及直线FC的解析式. ⑶、有一个与⊙A的半径相等，且圆心在x轴上运动的⊙P，若⊙P与直线FC相交于M、N两点，是否存在这样的点P，使△PMN是直角三角形.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. (已做)

·x

yABCEFO 3

例3、如图①，已知抛物线)0(32abxaxy与x轴交于点A（1,0）和B（－3,0），与y轴交于点C. ⑴、求抛物线的解析式； ⑵、设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由; ⑶、如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标. (已做)

① ② ABCO ABCO 4

例4、一开口向上的抛物线与x轴交于A(m-2,0)、B（m+2,0）两点，抛物线的顶点为C，且AC⊥BC. ⑴、若m为常数，求抛物线的解析式； ⑵、若m为小于0的常数，那么⑴中的抛物线经过怎样的平移可以使顶点在坐标原点； ⑶、设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m,使得△BOD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. （已做）

ABC

D

Ox

y 5

例5、已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝２，OC＝３．过原点Ｏ作∠AOC的平分线交AB于点Ｄ，连接DC，过点Ｄ作DE⊥DC，交OA于点E. ⑴、求过点E、D、C的抛物线的解析式； ⑵、将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与⑴中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为56，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； ⑶、对于⑵中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. （已做）

AB

CD

EOx

y 6

变式练习： 1、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系的正方形纸片,点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC=4，点E为BC的中点，点N的坐标为（3,0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M，现将纸片折叠，使顶点C落在MN上，并与MN上的点G重合，折痕为EF，点F为折痕与y轴的交点。 ⑴、求点G的坐标. ⑵、求折痕EF所在直线的解析式. ⑶、设点P为直线EF上的点，是否存在这样的点P，使得以P、F、G 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在、请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

ABC

OEFMNx

y

G 7

2、如图，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数)0(2acbxaxy的图象过原点，A点和斜边OB的中点M. ⑴、求出这个二次函数的解析式和对称轴； ⑵、在坐标轴上是否存在一点P，使△PMA中PA=PM，如果存在，写出点P的坐标，如果不存在，说明理由.

AB(6,6)

M

Ox

y 8

例6、如图，在直角梯形OABC中，OC∥AB，C(0,3),B(4,1),以BC为直径的圆交x轴于E、D两点（D点在E点的右方）. ⑴、求E、D的坐标. ⑵、求过B、C、D三点的抛物线的解析式. ⑶、过B、C、D三点的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点Q的坐标。

ABC

DOx

y 9

例7、已知：如图，抛物线cbxaxy2经过A（1,0）、B（5，0）、C（0,5）三点. ⑴、求抛物线的函数关系式； ⑵、若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E（4，m）,请求出△CBE的面积S的值； ⑶、在抛物线上求一点P，使得△ABP为等腰三角形并写出P点的坐标； ⑷、除⑶中所求的P点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P；若不存在，请说明理由.

ABCDEOx

y 10

例8、已知在矩形ABCD，AB=4，BC=225，O为BC上的一点，BO=27 ，如图，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点。 ⑴、若M的坐标为（1,0），如图①，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？ 请直接写出所有符合条件的点P的坐标： ⑵、若将⑴中的点M的坐标改为（4,0），其它条件不变，那么符合条件的等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标； ⑶、若将⑴中的点M的坐标改为（5,0），其它条件不变，请直接写出符合条件的等腰三角形有几个.(不必求出点P的坐标)

ABCDOM·

x

y 11

例9、如图所示，抛物线经过点A(12,0),B(-4,0),C(0,-12).顶点为M，过点A的直线y=kx－4交y轴于点N. ⑴、求该抛物线的函数关系式和对称轴. ⑵、试判断△AMN的形状，并说明理由. ⑶、将AN所在的直线L向上平移，平移后的直线L与x轴和y轴分别交于点D、E.当直线L平移时（包括L与直线AN重合），在抛物线对称轴上是否存在点P，使得△PDE是以DE为直角边的等腰三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

ABCNOx

Y

M AMNEOx

y

D 12

二、平行四边形、菱形等的存在性 例10、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线上A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点. ⑴、求抛物线的表达式. ⑵、点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标。

ABCxy 13

例11、如图5，已知抛物线)0(2acbxaxy的顶点坐标为Q（2,-1）,且与y轴交于点C（0,3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右 ），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与点A不重合），过P作PD∥y轴，交AC于点D. ⑴、求抛物线的解析式. ⑵、当△ADP是直角三角形时，求P点的坐标. ⑶、在问题⑵的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

ABCDPOQ· 14

变式练习3、 如图，在直角坐标系中，以点A（0,3）为圆心，以32为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E. ⑴、若抛物线cbxxy231经过C、D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上. ⑵、在⑴中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小. ⑶、设Q为⑴中的抛物线上的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形.若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. （已做）

ABCDEOx· 15

例12、已知：如图，二次函数42xy的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线x=m(m＞2)与x轴交于点D. ⑴、求A、B、C三点的坐标. ⑵、在直线x=m(m＞2)上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点的坐标（用含m的代数式表示）； ⑶、在⑵成立的条件下，试问：抛物线42xy上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由.

ABCDOxyx=m