数的整除
数的整除
一、整数与整除的意义 1、 零和正整数统称为自然数。
2、 正整数、零、负整数，统称为整数。
3、 整除：整数a 除以整数b （0b ），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b能整除a ，记作b ︱a 。
整除的条件：（1） 除数、被除数都是整数；（2） 被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽与整除联系与区别：（1） 联系：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除。
（2） 区别：整除中被除数、除数和商都为整数，余数为零。
二、因数与倍数1、 整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（也称约数）,因数与倍数是相互依存的.。
2、 因数和倍数的特点：（1） 一个整数的因数有有限个。
一个整数最小的因数是l ，最大的因数是它本身。
（2） 一个整数的倍数有无限个。
最小的倍数是它本身，没有最大倍数。
3、 因数和倍数的性质：（1） 任何一个整数都是它本身的倍数，也是它本身的因数； （2） 1是任何一个整数的因数，任何整数都是1的倍数；（3） 0是任何一个不等于0的整数的倍数，任何一个不等于0的整数都是0的因数。
三、奇数与偶数整数与整除知识要点1、奇数和偶数的概念：能被2整除的整数叫做奇数；不能被2整除的整数叫做偶数。
2、运算性质：（1）奇数±奇数=偶数（加减法中奇数改变结果的奇偶性）（2）奇数±偶数=奇数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（3）偶数±偶数=偶数（加减法中偶数不改变结果的奇偶性）（4）奇数个奇数的和或差（相加减）为奇数（5）偶数个奇数的和或差（相加减）为偶数（6）奇数×奇数=奇数（7）偶数×偶数=偶数（8）奇数×偶数=偶数（9）奇数×奇数×奇数×奇数×…×奇数×偶数=偶数（10） a+b与a-b同奇或同偶四、整数的可整除性特征：1、被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
数的整除
知识点归纳一概念1、整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。
倍数和约数是相互依存的。
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。
一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。
例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
2、个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。
自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
3、一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
第2节：数的整除
第2节数的整除知识梳理1、如果整数a 除以整数b (0b ≠)所得的商a b是整数，那么叫做a 被b 整除，或b 整除a ， 记作b a |，又称b 为a 的约数，而a 为b 的倍数。
0能被所有非零的整数整除。
2、数的整除性的常见特征.（1）若整数a 的个位数是偶数，则2a |；（2）若整数a 的个位数是0或5，则5a |；（3）若整数a 的末两位数是4或25的倍数，则4a |(或25a |)；（4）若整数a 的各位上的数字和是3或9的倍数，则a 3|(或9a |)；（5）若整数a 的末三位数是8或125的倍数，则8a |(或125a |)；（6）若整数a 的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差是11的倍数，则11a |；（7）若整数a 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差是7 或11或13的倍数，则7a |(或11a |或13a |).3、整除的常用性质.设a ，b ，c ，d 都是整数，有：（1）若 b a |，c b |则c a |；（2）若c a |，c b |，则 ()c a b |±；（3）若 b a |，c a |，则[b ，c ] | a ；（4）若 b a |，c a |，且 b 与c 互质，则 bc a |.典例精析考点1:运用数的整除特征解决简单的实际问题【例1】某班学生不到50人，一次数学考试中有17学生得优秀、13学生得良好，有12学 生及格，问该班有多少个学生在这次考试中不及格？分析：由题意，班级人数中有17学生得优秀、13学生得良好、12学生及格，这说明班级人数能被7，3，2整除，而7，3，2又是互质数，所以班级人数为2×3×7 = 42(人），则由此根据不 及格人数的比例不难求得不及格人数.解：班级人数为2×3×7==42(人），不及格人数为：41114211732⎛⎫⨯---= ⎪⎝⎭（人） 跟踪训练一次数学竞赛，比赛结果有17的学生获一等奖，有15的学生获二等奖，有12的学生获三等奖，其余获纪念奖，已知参加这次竞赛的人数超过50人但不满100人，问获纪念奖的有多 少人？跟踪训练11、学生人数应能被7，5，2整除，[7，5，2] = 70（人），又因为50<70<100，所以学生总数是70人，获纪念奖的人数为111701752⎛⎫⨯---⎪⎝⎭=11（人）考点2:运用数的整除特征解“数字谜”的问题【例2】已知五位数1234x能被12整除，求x的值.解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当l + 2 + 3+4+×能被3整除时，×=2，5，8，当末两位4x能被4整除时，× = 0，4，8，∴× = 8.跟踪训练2（1）已知五位数1234A能被15整除，试求A的值。
数的整除知识要点
第一章：数的整除基本知识：（1）零和正整数统称为自然数。
最小的自然数为0，最小的正整数为1。
（2）正整数、零和负整数，统称为整数。
（3）整除的条件：1、被除数、除数都是整数。
2、商是整数而且没有余数。
a÷b若整除，则有两种表述方法：a能被b整除， b能整除a（4）一个数的因数的个数是有限的。
最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的。
最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
a÷b若整除，则a是b的倍数，b是a的因数。
相互依存，不能说成a是倍数、b是因数。
（5）能被2整除的整数，个位上数字为0、2、4、6、8。
能被5整除的整数，个位上数字为0、5。
能被3整除的整数，各个数位上数字之和能被3整除。
（6）一个整数能被2整除为偶数，不能被2整除为奇数。
（7）奇+奇=偶偶+偶=偶奇+偶=奇奇⨯奇=奇偶⨯偶=偶奇⨯偶=偶（8）相邻的两个整数相差1。
相邻的两个奇数相差2。
相邻的两个偶数相差2。
（9）只含有因数1和本身的整数叫做素数或质数。
除了1和它本身之外还有别的因数，这样的数叫做合数。
1既不是素数也不是合数。
（10）整数按奇偶可以分为奇数和偶数这两类。
整数按因数个数可以分为素数、1、合数这三类。
（11）100以内的素数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
（12）51=3×17，91=7×13 57=19×3 68=17×4（13）2是唯一的偶素数。
最小的素数是2，最小的合数是4。
（14）几个整数公有的因数，叫做它们的公因数，其中最大的一个叫做它们的最大公因数。
几个整数的公有的倍数叫做他们的公倍数，其中最小的一个叫做它们的最小公倍数。
（15）如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素。
（16）求两个整数的最大公因数：把所有公有的素因数连乘。
数的整除
数的整除（背的内容）
1、被3或9整除的数的特点:各位数字的和是3或9的倍数
2、被2整除的数的特点：个位数是偶数。
3、被5整除的数的特点：个位是0或5.
4、被4或25整除的数的特点：末两位数能被4或25整除。
5、被8或125整除的数的特点：末三位数能被8或125整除。
6、被11整除的数的特点:这个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差是11的倍数。
7、被7或11或13整除的数的特点：这个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数之差能被7或11或13整除。
写的内容
1、把一个棱长为4厘米的正方体以任意长度横着切两片，以任意长度竖着切两条，在每一条上切三块，共切出12块。
不一样的长方体，则这12块长方体的表面积是多少？
2、有一个长方体和一个正方体，正好可以拼成一个新的长方
体，新长方体的表面积比原长方体的表面积增加60平方厘米，求正方体的表面积？
3、一个长方体，表面积为184平方厘米，底面积是20平方厘
米，底面周长为18平方厘米，求长方体的体积？
4、一个长方形跑道长150米，宽60米，王丽和杨乐同时从一
个顶点同向起跑，王丽每分钟跑500米，杨乐
每分钟跑450米，两人第一次相遇时各跑多少米？
5、一轮船往返于A、B两港运送货物，去时顺水每小时行24
千米，返回时逆水每小时行16千米，返回时比去时
多用4小时，求AB两港间相距多少千米？
6、一架飞机顺风而行每小时飞900千米。
现在它从甲地到乙
地顺风而去，逆风返回，返回时比去时多用2小时，
已知风速每小时为75千米，求往返甲、乙两地共用多长时
间？。
数的整除性质与应用
数的整除性质与应用数的整除性质是数学中的重要概念之一，它描述了一个数能够整除另一个数的性质。
在日常生活和数学应用中，我们经常用到数的整除性质来解决问题。
本文将对数的整除性质进行详细介绍，并探讨它在实际应用中的作用。
一、整数的除法定义与整除性质在数学中，我们将一个整数a除以另一个非零的整数b，如果能够得到一个整数q，使得a = bq，我们就称a能够被b整除，或者说b能够整除a，记作b|a。
整除性质主要包括以下几个方面：1. 传递性: 如果a能够被b整除，b能够被c整除，那么a也能够被c整除。
2. 常数倍数性质: 如果a能够被b整除，那么对于任意非零常数k，ka也能够被kb整除。
3. 相等性: 一个数能够被自身整除，即对于任意非零整数a，a能够被a整除。
4. 整除的基本性质: 如果a能够被b整除，那么a的所有倍数也能够被b整除。
二、整除的应用数的整除性质在实际应用中起着重要的作用，以下是一些常见的应用场景：1. 分数化简在分数的运算中，我们经常需要对分数进行化简。
利用整除性质可以帮助我们快速找到最大公约数，从而将分数化简为最简形式。
例如，对于分数12/18，我们可以通过求12和18的最大公约数来进行化简。
由于18能够整除12，所以12/18可化简为2/3。
2. 整数的因数与倍数在数的因数和倍数问题中，整除性质是一个重要的工具。
我们可以利用整除性质判断一个数是否是另一个数的因数，或者判断两个数是否互为倍数。
例如，判断一个数是否是另一个数的因数时，我们只需要通过整除性质将这两个数相除，如果余数为0，则该数是另一个数的因数。
3. 素数与合数素数是指只有1和自身两个因数的数，而合数是指除了1和自身之外还有其他因数的数。
利用整除性质，我们可以判断一个数是否为素数。
例如，判断一个数n是否为素数时，我们只需要将n与2到√n之间的所有整数相除，如果都无法整除，则n为素数。
因为如果n能够被大于√n的数整除，那么一定能够被小于√n的数整除。
数的整除知识点总结
一. 数的分类第一种分法 : 树状图 韦恩图整数第二种分法 整数第三种分法： 正整数一些关于数的结论:是最小的自然数,-1是最大的负整数,1是最小的正整数2.没有最大的整数,没有最小的负整数,没有最大的正整数3.正整数、负整数、整数的个数都是无限的二．整除1.整除定义概念：整数a 除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a注意点：一定要看清楚谁被谁整除或谁整除谁,这里的a相当于被除数,b 相当于除数2.整除的条件：1.除数、被除数都是整数2.被除数除以除数,商是整数而且余数为零注意点：区分整除与除尽：整除是特殊的除尽如正方形是特殊的长方形一样,即a 能被b 整除,则a 一定能被b 除尽,反之则不一定即a 能被b 除尽,则a 不一定能被b 整除;如4÷2=2, 4既能被2除尽,也能被2整除；4÷5=, 4能被5除尽,却不能说4能被5整除三．因数与倍数1.因数与倍数的定义：整数a能被整数b整除,a 就叫做b的倍数,b就叫做a的因数约数;注意点：1.因数和倍数是相互依存的,不能简单的说某个数是因数,某个数是倍数;如：6÷3=2,不能说6是倍数,3是因数；要说6是3的倍数,3是6的因数;2.因数与倍数是建立在整除的基础上的,所以如4÷=20,一般是不说4是的倍数,是4的因数;2.因数与倍数的特点：一个整数的因数中最小的因数是1,最大的因数是它本身;一个数的倍数中最小的倍数是这个数本身,没有最大的倍数;因数的个数是有限的,都能一一列举出来,倍数的个数是无限的;3.求一个数因数的方法：利用积与因数的关系一对一对找,找出哪两个数的乘积等于这个数,那么这两个数就是这个数的因数;如16=1×16=2×8=4×4,那么16的因数就有1、2、4、8、16,计算时一定不要忘了1和这个数本身都是它的因数,注意按照一定的顺序以防遗漏;4.求一个数倍数的方法：这个数本身分别乘以1、2、3、4、5……即正整数得到的积就是这个数的倍数;若用n表示所有的正整数,则2的倍数可表示为2n, 5的倍数可表示为5n四．能被2、5、3整除的数的特点1.能被2整除的数即2的倍数个位上的数字是0、2、4、6、8,反之,个位上的数字是0、2、4、6、8的数也能被2整除2.能被5整除的数即5的倍数个位上的数字是0、5,反之,个位上的数字是0、5的数都能被5整除3.能被3整除的数即3的倍数各个位数上的数字之和是3的倍数,反之,各个位数上的数字之和是3的倍数的数都能被3整除4.能被2、5同时整除的数的个位数字都是0,个位数字为0的数也能被10整除,能被10整除的数一定能被2或5其中的一个或两个同时整除;五．奇数、偶数1.奇数与偶数的定义：能被2整除的整数叫做偶数,不能被2整除的整数叫做奇数;按照能否被2整除来划分奇数与偶数2.奇数个位数上的数的特点：1、3、5、7、9偶数个位数上的数的特点：0、2、4、6、83.在连续的正整数中除1外,与奇数相邻的两个数是偶数,与偶数相邻的两个数是奇数4.相邻的奇数或偶数数字相差2,奇数可用2n-1或2n+1表示,偶数可用2n表示;5.奇数与偶数加法和乘法的运算特点奇数+奇数=偶数偶数+偶数=偶数奇数+偶数=奇数奇数×奇数=奇数偶数×偶数=偶数奇数×偶数=偶数利用此结论可检验一些运算是否正确,同时也要注意结论的逆向运用,如偶数奇数可拆成哪些奇数或偶数的和、积六.素数、合数1.素数与合数定义：一个正整数如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数质数,如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数;注意点：1.素数与合数的分类方法是根据它们因数的个数来分的,素数只有2个因数1和本身,合数至少有三个因数；任何一个数除1外都有1和它本身两个因数;2. 1既不是素数也不是合数;3．最小的素数是2,最小的合数是42.素数与奇数的联系和区别奇数不一定都是素数;√1既不是素数也不是合数,9、15等是奇数但是合数所有素数都是奇数; ×2是素数,但2是偶数3.合数与偶数的联系与区别合数不一定都是偶数;√9、15等都是合数,但它们是奇数偶数都是合数; ×2是偶数但2是素数注意:判断题对的要说明原因,错的要举出反例;七．素因数与分解素因数1.素因数与分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数;把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数;注意：1.求一个数的素因数时,先把这个数分解素因数,有几个素因数就写几个;如24=2×2×2×3,则素因数是2、2、2、3,而不是2、32.因数与素因数的区别：因数可以是素数或合数,素因数一定是素数;一个数的素因数一定是这个数的因数,因数的个数一定比素因数的个数多;2.分解素因数的方法树枝分解法：过程中注意不要漏写乘号,分解要彻底,直到没有合数出现,也不能出现1.要分解的合数写在等号左边,把它的素因数用相乘的形式写在等号右边,再把这几个素因数按从小到大的顺序排列;短除法：1.先用一个能整除这个合数的素数去除通常从最小的开始,偶数肯定先用2除,奇数一般从3开始一个个带入验算2.得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止;3.然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式;3.由一个数分解素因数求这个数的因数12=2×2×3,素因数是2、2、3,除1外由单个的素因数组成因数有2、3,由两个素因数组成的因数有2×2=4,2×3=6,由三个素因数组成的因数有2×2×3=12,所以12的因数有1、2、3、4、6、12.4. 由一个数分解素因数求这个数因数的个数1所有素因数都相同时,因数的个数是它素因数的个数+1,如8=2×2×2,素因数是2、2、2,则8的因数的个数是它素因数的个数+1,即4个2素因数不完全相同时,因数的个数是每个素因数个数+1后相乘的积,如12=2×2×3,素因数2的个数是2,素因数3的个数是1,则12的因数的个数是2+1×1+1=6八.公因数与最大公因数1.公因数与最大公因数定义:几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.2.互素定义：如果两个整数只有公因数1,那么称这两个数互素;如8和9注意：互素是两个数之间,素数是指一个数,互素的两个数的最大公因数就是1.两个互素的数未必都是素数; √8和9互素,但8和9都是合数两个不同的素数一定互素. √若缺少“不同的”,则错,因为3和3都是素数但不互素3. 求两个数最大公因数的方法：1 一般方法：写出两个数所有的因数,再找出它们共同的最大的因数2 分解素因数的方法：把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,把它们所有的公有的素因数相乘,所得的积就是它们的最大公因数;3 短除法：先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最大公因数就是左侧的除数的乘积. 类比用短除法分解素因数的方法4. 两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数;如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.九.公倍数和最小公倍数1.公倍数与最小公倍数定义:几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.2.求两个数最小公倍数的方法:1一般方法:从小到大分别依次写出几个这两个数的倍数,再找出它们共同的最小的倍数2分解素因数的方法: 把这两个数分解素因数,再找出相同的素因数,再取各自剩余的素因数,将这些数连乘所得的积,就是这两个数的最小公倍数.3短除法: 先用这两个数公有的素因数去除一般从最小的素因数开始,得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到两个数互素为止,这两个数的最小公倍数就是左侧的除数与底部商的乘积.注意点:1.用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时,过程都相同,只是最后写结论时注意需要乘哪些数.2.求两个数的最大公因数和最小公倍数,先判断这两个数是否存在因数倍数关系或互素关系,存在因数倍数关系时,最大公因数就是较小的那个数,最小公倍数就是较大的那个数;两数互素时,最大公因数就是1,最小公倍数就是它们的乘积.3.两个整数的公倍数一定能被这两个数整除.十.求三个整数的最大公因数和最小公倍数拓展1求三个整数的最大公因数:同样也是三种方法,只需找出三个数共同的因数,最大的因数就是最大公因数.注意与三个数的最小公倍数区分2求三个整数的最小公倍数:一般方法:写出三个数的倍数,再找出最小公倍数.分解素因数法:分别分解素因数,先找出三个数共同的素因数,再找出每两个数公有的素因数,再取各自剩余的素因数,把这些素因数连乘所得的积就是这三个数的最小公倍数.短除法:先用三个数公有的素因数去除直到三个数没有公有的素因数,再用其中两个数公有的素因数去除,直到除得的三个商两两互素为止即三对互素数。
13、 数的整除
□□□ „ □□ □□□ □□□ d c b a
999 a b c d e ， 1001 a b c d e
首先说明，这里截位是从右边开始的，左边不足部分可以“补零” ． 从截位规律中，可以得到 9 和 3 的整除特征：判断数字和．数字和不但能判断 3 和 9 整除，余数特征 也是这样的，数字和被 9 除的余数是几，那么这个多位数被 9 除就余几．为了减少计算量，可以把数字和 是 9 的数字抛弃掉，这种方法就是“弃九法” ． 如 4678123，因为 467812331，31 被 9 除余 4，所以 4678123 也被 9 除余 4．也可以抛弃 6 和 3、7 和 2、8 和 1，最后就剩下 4，所以原来的数 4678123 被 9 除余 4． 下面证明对一个多位数三位一截作减加，用来判断 1001 的整除特征，由于 100171113，从而得到 7、11、13 的整除特征． 证明：设多位数为 dcba （其中 a、b、c 均为三位数，d 可以不足三位数） ，则
华数知识点点击破
陈老师讲义
第 13 讲
数的整除
【内容综述】 在整数的数学理论中，有一类整数的整除特征，能帮助大家判断一个多位数是否被某个特定的整数整 除，也可确定一些多位数中未知的数字．这是数论重要内容之一． 1、整除定义 对于两个整数 a，b0，若存在另一个整数 q，使得 abq 或 abq 成立，则称 b 能整除 a，或 a 能被 b 整除，记作： b a ．反之，如果不存在整数 q，使得上面式子成立，则 称 b 不能整除 b，或 a 不能被 b 整除，记作： b a ． 如，因为 1243，所以 4 能整除 12，或 12 能被 4 整除，记作： 4 12 ．因为 12522，所以 5 不能 整除 12，记作： 5 12 ． 2、整除性质 1） 1 a ， b 0 b 0 ， c c c 0 ； 由此，1 能整除任意整数，任何非零自然数都能整除 0，任何非零自然数都能整除它本身．所以，可 以利用整除来对非零自然数分类．只能被 1 整除的数只有 1，只能被 1 和本身整除的数是质数，除了 1 和 本身，还有其它数能整除这个数的是合数． 2）若 a b ， b c ，则 a c ； 数的整除具有传递性，如 3 6 ， 6 24 ，可以得到 3 24 ． 3）若 a b ，则 a kc （k 为整数） ； 当一个数能整除另一个数时，则另一个数任意倍数也能被这个数整除，也就是说被除数可以任意扩整 数倍．如 3 9 ，则 3 9 k （k 为整数） ．注意，反过来一般不成立，如 6 4 7 9 ，但 6 确不能整除 4、7 或 9 其中的一个．只有当 p 为质数时， p ab ，则 p a 或 p b ． 4）若 a b ， a c ，则 a mb nc （m、n 均为整数） ； 这条整除性质特别重要，它是许多整除推理的理论依据．例如，若 7 100a 38 ，则我们可以先从 100a38 中减去 7 的倍数 98a35，得到差是 2a3，2a3 就被 7 整除，这样数就变小了，易于分析．也可 以继续推导， 7 2a 3 ，则 7 4 2a 3 ，从而 7 整除 8a127a7，即 7 a 5 ．此推理过程简写如下：
数的整除知识点
数的整除知识点数的整除问题，容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的容之一。
数的整除1.整除——因数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的因数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的因数；63是7的倍数，7是63的因数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除.⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
数的整除知识梳理
第一章数的整除一、知识整理1.1整数和整除整除的条件：1．除数、被除数都是整数。
2．被除数除以除数，商是整数，而且余数为零。
除尽的条件：1．除数、被除数不一定是整数。
2．被除数除以除数，商是整数或有限小数，而且余数为零。
☆整除是除尽的一种特殊情况。
1.2整数和整除的意义整数a能整除整数b，b叫做a的倍数。
a叫做b的因数。
☆倍数和因数是相互依存的。
1.3能被2、5整除的数1.4素数、合数与分解素因数正整数素数（2是唯一的偶素数）合数既不是素数也不是合数。
素数：除1与本身外没有其他因数的数。
合数：除1与本身外有其他因数的数。
分解素因数用短除法。
（用等式些写结论，分解的书写在最前。
）1.5公因数与最大公因数求两数的最大公因数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最大公因数是c 的表示方法：（a ，b ）=c☆若两数互素，那么它们的最大公因数就是1。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较小数。
1.6公倍数与最小公倍数求两数的最小公倍数：1.定义法2.分解素因数3.短除法a 和b 的最小公倍数是c 的表示方法：[a ，b]=c☆若两数互素，那么它们的最小公倍数就是两数的乘积。
☆若两数是倍数关系，那么它们的最大公因数就是较大数。
总结：一个整数正整数 零 负整数☆任何一个合数都可以分解质因数。
1.整除 “三整一零” 整除是除尽的一种特殊情况。
2.倍数，因数整数间的关系 3.互素（两两互素）4.公因数（最大） 最小公倍数5.公倍数（最小） =最大公因数×各自独有的因数奇数（2n 加1，n 为正整数） 偶数（2n ，n 为正整数）素数：只有1和它本身这两个因数 合数：除了1和它本身还有其它因数二、习题练习1.求下列各数的最大公因数和最小公倍数。
（1）56，108，72 （2）36，28,15三、拓展知识对于“每/每隔/每过”不同情况的区分：。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
五年级数学提高班练习卷（4）—（数的整除）
例题：
1．根据235=200+30+5=100×2+l0×3+5在( )里填数。
547=100×( )+l0×( )+( )
2ab7=1000×2+( )×a+( )×b+( )
2．一个五位数，在它的右边写上一个7，得到一个六位数。
在它的左边写上一个7，
得到另一个六位数。
而且第二个六位数正好是第一个六位数的5倍，则这个五位数
是( )。
3．在十进制中，各位数字均是0或1，并且能被225整除的最小的自然数是( )。
4．在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3，4，5整除。
符合
这些条件的六位数中，最小的一个是多少?
自我检测：
1．数A8919B能被66整除，这个六位数是多少？
2．六位数865abc能被3，4，5整除，要使865abc尽可能的小，a，b，c各是多少? 3．已知55能整除□691□，求这个五位数。
4．任意一个三位数连写两次所得到的六位数，一定能被7，11，13同时整除，为什么？
5．从0，3，5，7这四个数字中任选三个数，排成能同时被2，3，5整除的三位数，这样的三位数有多少个?
6．五年级四个小组帮果农收橘子，第一小组收了126千克，第二小组收了149千克，第三小组收了238千克，第四小组收了95千克。
问：最少还应取多少千克，就可以把全部橘子平均分成4份?并求出每份的重量。
7．一个三位数能被3整除，去掉它的末位数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几?
8．1—200这200个自然数中，能被6和8整除的数共有多少个?
9．一个三位数减去它的各个数位的数字之和，其差还是一个三位数46X，求X。
10．商店里有几箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中五箱。
已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍。
问：商店里剩下的一箱货物重多少千克?
11．一个自然数乘13后，乘积的最后三位数是123，这样的自然数中，最小的是多少？
12．三位数的百位、十位、个位数字分别是5，a，b，将它接连重复写99次成为：
5ab5ab…5ab，如果所成之数能被91整除，这个三位数5ab是多少?
99个5ab。