最新椭圆综合测试题(含答案)(2)

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高中数学(人教A版)选修1-1全册综合测试题(含详解)

综合测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( ) A ．“p 或q ”是真命题 B ．“p 且q ”是真命题 C ．“綈p ”为真命题 D ．以上都有可能解析若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆解析当sin θ＝1时，曲线表示圆．当sin θ<0时，曲线表示的双曲线．当sin θ>0时，曲线表示椭圆．答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件 B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同 C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，又f ′(x )＝2x ＋a x ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ，当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值．故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y ＝f (x )的导数图像，则正确的判断是( ) ①f (x )在(－3,1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． A ．①②③ B ．②③ C ．③④D ．①③④解析从图像可知，当x ∈(－3，－1)，(2,4)时，f (x )为减函数，当x ∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f (x )为增函数，∴x ＝－1是f (x )的极小值点， x ＝2是f (x )的极大值点，故选B. 答案 B11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是直线l ：x ＝a 2c (c 2＝a 2＋b 2)上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝4ab ，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 2D. 3解析设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a 2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝ca ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)， ∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________．解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633， ∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省．答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1.②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1， ③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12.∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)， ∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)，∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增；由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x，又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎨⎧ a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6](3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0，所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5. 设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205. k 1＋k 2＝y 1－1x 1－4＋y 2－1x 2－4＝(y 1－1)(x 2－4)＋(y 2－1)(x 1－4)(x 1－4)(x 2－4). 上式分子＝(x 1＋m －1)(x 2－4)＋(x 2＋m －1)·(x 1－4) ＝2x 1x 2＋(m －5)(x 1＋x 2)－8(m －1)＝2(4m 2－20)5－8m (m －5)5－8(m －1)＝0，即k 1＋k 2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

椭圆与双曲线综合测试题

椭圆与双曲线综合测试题椭圆与双曲线综合测试题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。

）1、以x2/412+y2/16=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（）。

A、x2/16+y2/4=1B、x2/4+y2/16=1C、x2/9+y2/16=1D、x2/16+y2/9=12、已知双曲线x2/9-y2/4=1上的一点P为该双曲线的两个焦点，设P到F2的距离为3，到F1的距离为2，则三角形F1PF2的面积是（）。

A、12B、63C、123D、2433、已知以x2/20+y2/16=1为焦点的椭圆C与直线L：x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆C的长轴长是（）。

A、32B、26C、27D、424、已知双曲线C的对称中心在原点，对称轴是坐标轴，且一条渐近线方程是3x+4y=0，双曲线C过点P(2，1)，则双曲线C的方程是（）。

A、9x2/25-4y2/9=1B、4x2/9-9y2/25=1C、9x2/16-4y2/25=1D、4x2/25-9y2/16=15、已知椭圆E:9x2/4+y2/16=1的左右焦点是(-5,0)和(5,0)，点P为E上一动点，当∠EPF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是（）。

A、(-3,3)B、(-5,3)C、(-5,5)D、(3,5)6、若F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1/MF2=2，则椭圆的离心率的取值范围是下列的选项（）。

A、(2/3,1)B、(1/2,1)C、(1,2/3)D、(1,1/2)7、已知椭圆x2/5+y2/4=1(n>2)和双曲线-3y2/5+x2/9=1有相同的焦点F1、F2，P(7，2)是两条双曲线的一个交点且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积是（）。

A、1B、1/2C、2D、3/28、如果已知双曲线的左右焦点分别是F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长是5，若半轴a=5，则三角形ABF2的周长是（）。

中职数学直线圆圆锥曲线测试题(含答案)

职业高中数学试题直线圆圆锥曲线测试题时间：120分钟满分120分一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）.1.直线x -3=0的倾斜角是( ). A .6πB .3πC .56πD .23π 2.直线的斜率为43-，且直线不通过第一象限，则直线方程可能是( ).A .3x +4y +7=0B .4x +3y +7=0C .4x +3y -42=0D .3x +4y -12=03. 已知A (2，b )，B (5，1)两点，且|AB |＝5，则b 等于( ). A ．－3 B ．5C ．－3或5D ．3或54．点P (－2，3)关于x 轴的对称点是( ).A ．(2，3)B ．(－2，－3)C ．(2，－3)D ．(－3，2) 5. 已知直线经过A (1，2)，B (a ，0)两点，且倾斜角为3π4，则a 等于( ). A ．3 B ．－3C ．2D ．不存在6. 直线x +ay =2a +2与ax +y =a +1平行（不重合）的充要条件是( ). A .a =12 B . 12- C .a =1 D .a =-17. 若直线l 与直线y x ＋1平行，则直线l 的倾斜角α是( ). A ．α＝0 B ．α＝π6 C ．α＝π4 D ．α＝π38. 圆心坐标为(－1，3)( ). A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝3 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －3)2D ．(x ＋1)2＋(y ＋3)29. 若圆x 2＋y 2＋ax ＋by －6＝0的圆心坐标为(3，4)，则此圆的半径是( ).A BC ．5D 10. 直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的位置关系是( ). A ．相切 B ．相交且过圆心 C ．相离D ．相交但不过圆心11. 椭圆222516x y +＝1上一点P 到椭圆两个焦点的距离之和等于( ).A ．4B ．5C ．8D ．1012. 已知双曲线方程为22259x y -＝1，则其渐近线方程为( ).A ．y ＝±54xB ．y ＝±53xC ．y ＝±45xD ．y ＝±35x13. 抛物线x ＝－14y 2的焦点坐标为( ).A ．(0，1)B ．(0，－1)C ．(1，0)D ．(－1，0)14. 椭圆2211625+=x y 的焦距是( ). A .6 B .4 C .10 D .915. 双曲线的两个焦点坐标是1F (0,-5), 2F (0,5)，且2a =8.则双曲线的方程为( ).A .221169-=y x B . 2211625-=y x C .2211625-=x y D . 2216425-=x y 二、选择题（本题共15小题，每题2分，共30分）16.已知A （−3，1）、B （2，−5）,则AB 两点间的距离为_______. 17. 已知点(2,3)A 和点(8,3)B -，则线段AB 中点的坐标为_______. 18. 直线经过点0(1,2)P ，倾角为45，则直线的方程为_______.19. 将方程12(1)2y x -=+化为直线的一般式方程为_______.20. 过点P （-2，m ）和Q (m ，4)的直线的斜率是1，则m =________. 21. 已知圆方程22860x y x y +++=，则其圆半径长________. 22..若方程ax +4y -1-0过点(3.2)，则a 的值等于________.23. 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,则椭圆的标准方程为________. 24.椭圆22216x y +=的焦点坐标为_______.25. 半实轴为4，半虚轴为3的双曲线的标准方程为_______.26. 焦点为(3,0)F 的抛物线方程为_______.27. 以C (-1,-5)为圆心，并与x 轴相切的圆的方程是________.28. 已知F 1，F 2是221216x y +＝1的两个焦点，且经过点F 1的直线与椭圆相交于M ，N 两点，则△MNF 2的周长是________．29. 圆(x －2)2＋(y ＋2)2＝2截直线x －y －5＝0所得的弦长为________．30. 已知以F 1，F 2为焦点的椭圆221636x y +＝1交x 轴正半轴于点A ，则△AF 1F 2的面积为________．三、解答题（本题共7小题，共45分）31. (6分)已知ABC ∆的三个顶点为(1,0)A 、(2,1)B -、(0,3)C ，试求BC 边上的中线AD 的长度．32. (6分)已知直线l 经过点(2,2)M -，且与直线112y x =+平行，求直线l 的方程．33. (6分)设点(4,3)A ，(6,1)B -，求以线段AB 为直径的圆的方程. 34. (6分)判断直线30x y -+=与圆22(1)(1)9x y -+-=的位置关系.35. (7分)设△ABC 的顶点坐标为(6,3)A 、(0,1)B -、(1,1)C -，求三角形的面积S ． 36. (7分)求经过圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2上的点P (2，－3)的切线方程．37. (7分)已知双曲线的焦点为（6，0），渐近线方程为5y x =±，求双曲线的标准方程．职业高中数学试题直线圆圆锥曲线测试题答案一、选择题（本题共15小题，每题3分，共45分）1—5 C B C B A 6—10 C B A A A 11—15 D D D A A 二、填空题（本题共15小题，每题2分，共30分） 1617. （5,0） 18. 10x y -+= 19. 250x y -+= 20. 1 21. 522. 73- 23. 221259x y +=．24. (0,- 25. 221169x y -=或221169y x -=26. 212y x = 27. ()()221525x y +++= 28. 16 2930.三、解答题（本题共7小题，共45分）31. 解设BC 的中点D 的坐标为(,)D D x y ，则由(2,1)B -、(0,3)C 得(2)012D x -+==-，1322D y +==，故||AD ==即BC 边上的中线AD 的长度为 32. 解设112y x =+的斜率为1k ，则112k =．设直线l 的斜率为k ，由于两条直线平行，故112k k ==．又直线l 经过点(2,2)M -，故其方程为12(2)2y x +=-，即260x y --=．33. 解设所求圆的圆心为C ，则C 为线段AB 的中点，即4631,22C +-⎛⎫⎪⎝⎭．半径为线段AB的长度的一半，即r == 故所求圆的方程为22(5)(1)5x y -+-=．34. 解：由方程22(1)(1)9x y -+-=知，圆C 的半径3r =，圆心为(1,1)C ．圆心C 到直线30x y -+=的距离为d ==,由于d r <，故直线l 与圆相交． 35. 解由点(6,3)A 、(0,1)B -可得AB =直线AB 的斜率为132063k --==-，直线AB 的方程为2(1)(0)3y x --=-，即2330x y --=，又AB 边上的高为点C 到直线AB的距离d ==．故三角形面积为182S =⨯=．36. 解：设与圆相切的直线l 的斜率为k ，圆心为C (1，－2)，直线PC 的斜率＝k PC ＝3221-+-＝－1，切线与直线PC 垂直，∴k l ＝1，∴切线方程为y ＋3＝x －2，即x －y －5＝0.37. 解由已知条件知双曲线的焦点在y轴．所以有22365a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解得4a b ==．故所求的双曲线方程为2212016x y -=．。

高二数学必修二综合测试题(含答案)

高二数学必修二综合测试题班级_______________ 姓名___________________ 总分:________________ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.下面四个命题:①分别在两个平面内得两直线就是异面直线;②若两个平面平行,则其中一个平面内得任何一条直线必平行于另一个平面; ③如果一个平面内得两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④如果一个平面内得任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行. 其中正确得命题就是( )A.①②B.②④C.①③D.②③2.过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 得直线方程为( ) A.012=-+y x B.052=-+y x C.052=-+y x D.072=+-y x3.圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心到直线y ＝33x 得距离就是( ) A.12 B.32C.1D. 34．已知21F ,F 就是椭圆得左右焦点,P 为椭圆上一个点,且2:1PF :PF21=,则21PF F cos ∠等于( ) A.12 B.31 C.41D.225.已知空间两条不同得直线m,n 与两个不同得平面,αβ,则下列命题中正确得就是( )A .若//,,//m n m n αα⊂则B .若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则C .若//,//,//m n m n αα则D .若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则6.圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得得弦长为8,则c 得值就是( ) A.10 B.10或－68 C.5或－34D.－687.已知0,0ab bc <<,则直线ax by c +=通过( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限D.第二、三、四象限8.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别就是AA 1与CC 1得中点,则直线ED 与D 1F 所成角得大小就是( ) A.15 B.13 C.129、在三棱柱111ABC A B C -中,各棱长相等,侧掕垂直于底面,点D 就是侧面11BB C C 得15y 9x 22=+QPC'B'A'CBA中心,则AD 与平面11BB C C 所成角得大小就是 ( ) A.30 B.45 C.60 D.9010.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C,有如下四个结论:①AC ⊥BD;②△ACD 就是等边三角形;③AB 与平面BCD 成60°得角;④AB 与CD 所成得角就是60°、其中正确结论得个数就是( )A 、 1B 、 2C 、 3D 、 411.如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1得体积为V ,点P 、Q 分别在侧棱AA 1 与CC 1上,AP=C 1Q ,则四棱锥B —APQC 得体积为( )A.2V B.3V C.4V D.5V(11题) 12.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1得棱长为1,线段B 1D 1上有两个动点E 、F , 且EF ＝12,则下列结论错误得就是( )A.AC ⊥BEB.EF ∥平面ABCD (12题)C.三棱锥A —BEF 得体积为定值D.△AEF 得面积与△BEF 得面积相二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.一个几何体得三视图及其尺寸(单位:cm)如图所示, 则该几何体得侧面积为_ ______cm214.两圆221x y +=与22(4)()25x y a ++-=相切, 则实数a 得值为 15.已知21F ,F 就是椭圆得两个焦点,过2F 得直线交椭圆于P 、Q 两点,PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆得离心率为16、过点A (4,0)得直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点,则直线l 斜率得取值范围为三、解答题 17.如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC,F 、F 1分别就是AC,A 1C 1得中点.求证:(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF; (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1、(17题) 18.已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动、 (1)求21--x y 得最大值与最小值;(2)求y x +2得最大值与最小值、 19. 如图,DC ⊥平面ABC ,EB ∥DC ,AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2,∠ACB ＝120°,俯视图85 58855第14题P ,Q 分别为AE ,AB 得中点.(1)证明:PQ ∥平面ACD ;(2)求AD 与平面ABE 所成角得正弦值(19题) 20．已知圆C 1:x 2+y 2－2x －4y +m =0, (1)求实数m 得取值范围;(2)若直线l :x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点,且OM ⊥ON ,求m 得值。

西安电子科技中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)

一、选择题1．设F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线C 的左.右支交于点P Q 、，若2,60PQ QF PQF =∠=︒，则该双曲线的离心率为（） A．1BC．2D．4+2．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为，则线段AB 的长度的取值范围是（） A．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D．3．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．254．已知双曲线2221(0)x y a a -=>与椭圆22183x y +=有相同的焦点，则a =（）AB．C ．2D ．45．已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆：22143x y +=上，设它的三条边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，M ，且三条边所在线的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且1k ，2k ，3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ，OE ，OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．3-C ．1813-D ．32-6．设1F ，2F 分别是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是的一个公共点，且12PF PF <，线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e ，2e ，则1211e e +的值为（） A ．2B ．3C ．32D ．527．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．9168．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A 3B ．23C 23D 439．设P 是椭圆221259x y +=上一点，M 、N 分别是两圆：()2241x y ++=和()2241x y -+=上的点，则PM PN +的最小值和最大值分别为（）A ．9，12B ．8，11C ．8，12D ．10，1210．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 11．已知1F ，2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线28y x=的焦点与双曲线的一个焦点重合，点P 是两曲线的一个交点，12PF PF ⊥且121PF F S =△，则双曲线的离心率为（） A 3B 23C 43D ．212．在平面直角坐标系xOy 中，设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支上一点，M 是1PF 的中点，且1OM PF ⊥，122PF PF =，则双曲线的离心率为A ．6B ．2C ．5D ．3二、填空题13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，且焦点到渐近线的距离为3，那么双曲线的离心率为________ 14．已知双曲线2219x y m-=(m ∈R ， m ≠0)的离心率为2，则m 的值为_________15．已知双曲线C ：22193x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ､N .若OMN 为直角三角形，则||MN =________. 16．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.17．我们知道：用平行于圆锥母线的平面(不过顶点)截圆锥，则平面与圆锥侧面的交线是抛物线一部分，如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB ､CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的圆锥曲线的一部分，则该圆锥曲线的焦点到其准线的距离等于__________.18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．已知抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线2212x y -=相交于A ，B 两点.若ABF ∆为直角三角形，则抛物线的准线方程为________.20．已知椭圆1C 和双曲线2C 的中心均在原点，且焦点均在x 轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：x0 4 26y222-22-则2C 的虚轴长为______.三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点. （1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上.23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,1P ，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作两条互相垂直的弦PA ，PB 分别与椭圆C 交于A ，B . （i ）证明直线AB 过定点；（ii ）求点P 到直线AB 距离的最大值.25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8．（1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．26．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0Q 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.点()4,3P ，记直线PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，当12k k ⋅最大时，求直线l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】∵|PQ |=2|QF |,∠PQF =60°,∴∠PFQ =90°，设双曲线的左焦点为F 1,连接F 1P ,F 1Q ，由对称性可知,F 1PFQ 为矩形,且|F 1F |=2|QF |,13QF QF =，不妨设()1220F F m m =>，则13,QF m QF m ==，故12123123F F c e a QF QF m m====--.本题选择A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．2．C解析：C 【分析】由题可求得212122ABF AF F BF F SSS=+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出aAB c=，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ()22114222AB BF AF a a =++=⨯=,2a=，a AB c ∴=，c e a =∈⎣⎦，a c ∴∈，则[]4,8ac∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 3．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,7a c =设(),P x y ，则()()22222127·771616k PF PF x y x y x ==-+-+-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.4．C解析：C 【分析】先求出椭圆焦点坐（椭圆的半焦距），再由双曲线中的关系计算出a ．【详解】椭圆22183x y +=的半焦距为835c -∴双曲线中215a +=，∴2a =（∵0a >）．【点睛】晚错点睛：椭圆与双曲线中都是参数,,a b c ，但它们的关系不相同：椭圆中222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，不能混淆．这也是易错的地方．5．A解析：A 【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，利用A ，B 在椭圆上，代入椭圆方程，两式相减得：111413t k s =-，同理可得：222413t k s =-，333413t k s =-，再利用已知条件即可得出结果. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()11,D s t ，()22,E s t ，()33,M s t ，因为A ，B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y +=，两式相减得：121211121213344y y x x sk x x y y t -+==-⨯=-⨯-+，即111413t k s =-，同理可得222413t k s =-，333413t k s =-，所以31212312311143t t tk k k s s s ⎛⎫++=-++ ⎪⎝⎭因为直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以12311144133k k k ++=-⨯=-，故选：A. 【点睛】关键点睛：本题主要考查椭圆的简单性质的应用.利用平方差法转化求解斜率是解决本题的关键.6．A【分析】设双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，根据题意，得到2122PF F F c ==，又由双曲线的定义，求得所以122PF c a =-，根据椭圆的定义，求得长半轴2a c a '=-，结合离心率的定义，即可求解. 【详解】设双曲线2C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，焦点()2,0F c ，因为线段1PF 的垂直平分线经过点2F ，可得2122PF F F c ==，又由12PF PF <，根据双曲线的定义可得21122PF PF c PF a -=-=，所以122PF c a =-，设椭圆的长轴长为2a '，根据椭圆的定义，可得212222PF PF c c a a '+=+-=，解得2a c a '=-，所以121122a a c a ae e c c c c'-+=+=+=. 故选：A. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的解题策略：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.7．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.8．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||22OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．9．C解析：C 【分析】先依题意判断椭圆焦点与圆心重合，再利用椭圆定义以及圆的性质得到最大值和最小值即可. 【详解】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为()()4,0,4,0A B -，恰好是椭圆的两个焦点，由椭圆定义知210PA PB a +==，连接PA ，PB 分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最小，最小值为28PA PB R +-=；连接PA ，PB 并延长，分别与圆相交于M ，N 两点，此时PM PN +最大，最大值为212PA PB R ++=．故选：C ．【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆外的点到圆上的点的距离最值问题，属于中档题.10．B解析：B 【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即21(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y =中122p =，14p =，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．11．B解析：B 【分析】求出双曲线的半焦距，结合三角形的面积以及勾股定理，通过双曲线的定义求出a ，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由双曲线与抛物线有共同的焦点知2c =，因为12PF PF ⊥，且121PF F S =△，则122PF PF ⋅=，222212124PF PF F F c +==，点P 在双曲线上，则122PF PF a -=，故222121224PF PF PF PF a +-⋅=，则22444c a -=，所以a = 故选：B. 【点睛】本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，考查计算能力，属于中档题..12．C解析：C 【分析】运用双曲线的定义和△PF 1F 2为直角三角形，则|PF 2|2+|PF 1|2 =|F 1F 2|2，由离心率公式，计算即可得到离心率的范围．【详解】因为M 是1PF 的中点，O 为12F F 的中点，所以OM 为三角形F 1PF 2的中位线. 因为1OM PF ⊥，所以21PF PF ⊥.又因为212PF PF a -=，122PF PF =，122F F c =，所以122,4PF a PF a ==.在△F 1PF 2中，21PF PF ⊥，所以2221212PF PF F F +=，代入得()()()222242a a c +=，所以225c a =，即5e =.故选C. 【点睛】本题考查了平面几何知识在圆锥曲线中的基本应用，根据边长关系求得离心率，属于基础题.根据各个边长关系，判断出21PF PF ⊥，再根据勾股定理求出离心率.二、填空题13．【分析】由题意画出图形再由抛物线方程求出焦点坐标得到双曲线的焦点坐标由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式求解离心率即可【详解】如图由抛物线方程得抛物线的焦点坐标即双曲线的右焦点坐标为双曲线的渐近线方程解析：2【分析】由题意画出图形，再由抛物线方程求出焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，由焦点到双曲线一条渐近线的距离列式，求解离心率即可．【详解】如图，由抛物线方程24y x =，得抛物线的焦点坐标(1,0)F ，即双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点坐标为(1,0)F ，双曲线的渐近线方程为by x a=±．不妨取by x a=，化为一般式：0bx ay -=． 223a b =+，即222433b a b =+，又221a b =-，联立解得：214a =，12a ∴=．则双曲线的离心率为：1212c e a === 故答案为：2．【点睛】本题考查双曲线及抛物线的几何性质，考查双曲线的离心率与渐近线，还考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．14．27【分析】根据双曲线标准方程知结合离心率为2及常数关系即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程知：∵双曲线的离心率为2∴而∴故答案为：27【点睛】本题考查了双曲线利用双曲线的离心率标准方程中常数的等解析：27 【分析】根据双曲线标准方程知29a =，20b m =>，结合离心率为2及常数关系222c a b =+即可求m 的值【详解】根据双曲线标准方程，知：29a =，20b m => ∵双曲线的离心率为2∴2ca=，而222c a b =+ ∴27m = 故答案为：27 【点睛】本题考查了双曲线，利用双曲线的离心率、标准方程中常数的等量关系222c a b =+求参数值15．【分析】先由题意得到渐近线方程为：右焦点或分别讨论两种情况求出两点间距离即可得出结果【详解】因为双曲线的渐近线方程为：右焦点因此渐近线夹角为即因为为直角三角形所以或当时可得所以所在直线方程为：由解得解析：【分析】先由题意，得到渐近线方程为：y x =，右焦点()F ，OM MN ⊥或ON MN ⊥，分别讨论OM MN ⊥，ON MN ⊥两种情况，求出两点间距离，即可得出结果. 【详解】因为双曲线22193x y -=的渐近线方程为：y =，右焦点()F ，因此渐近线夹角为60，即60MON ∠=，因为OMN 为直角三角形，所以OM MN ⊥或ON MN ⊥，当OM MN ⊥时，可得MN k =MN所在直线方程为：y x =-，由3y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由3y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以MN ==；当ON MN ⊥时，可得MN k =MN所在直线方程为：y x =-，由y x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩解得：3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以MN ==综上，MN =故答案为：【点睛】本题主要考查直线与双曲线的简单应用，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.16．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得c =||||OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C的左焦点，所以c =，因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==，设点P 的坐标为(,)P m n，则11422OF n ⋅=⨯解得5n =，则228(25)55m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以点P 的坐标为,55⎛-⎪⎝⎭，因为P 为椭圆C 上一点，所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.17．【分析】如图所示过点作垂足为由于是母线的中点圆锥的底面半径和高均为2可得在平面内建立直角坐标系设抛物线的方程为为抛物线的焦点可得代入解出即可【详解】解：如图所示过点作垂足为是母线的中点圆锥的底面半径解析：2【分析】如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ．由于E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，可得1OM EM ==．2OE =．在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点．可得()2,2C ，代入解出即可．【详解】解：如图所示，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M ．E 是母线PB 的中点，圆锥的底面半径和高均为2，1OM EM ∴==．2OE ∴=在平面CED 内建立直角坐标系．设抛物线的方程为22(0)y px p =>，F 为抛物线的焦点．因为)2,2C，422p ∴=，解得2p =．2,0F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭．即点F 为OE 的中点， ∴该抛物线的焦点到其准线的距离为2，故答案为：2．【点睛】本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为22200204543d -±===+，故答案为：4.【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．【分析】先求出准线方程为代入双曲线方程可得AB 的坐标再由为直角三角形设中点为则即进而求解【详解】由题可知准线方程为因为与双曲线相交于AB 则为为因为为直角三角形由双曲线的对称性可得设中点为则即解得即所解析：1y =-【分析】先求出准线方程为2py =-,代入双曲线方程可得A ,B 的坐标,再由ABF ∆为直角三角形,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =进而求解. 【详解】由题可知准线方程为2p y =-, 因为与双曲线2212x y -=相交于A ,B ,则A 为2p ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,B 为2p ⎫-⎪⎪⎭, 因为ABF ∆为直角三角形,由双曲线的对称性可得90AFB ∠=︒,设AB 中点为C ,则CE AC =,即p =解得24p =,即2p =, 所以准线方程为1y =-, 故答案为:1y =- 【点睛】本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.20．【分析】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上代入中求解即可【详解】由焦点均在轴上可得点在椭圆上则点和点在双曲线上设双曲线为则解得即所以双曲线的虚轴长为故答案为:4【点睛】本题考查双曲线的方解析：4【分析】由焦点均在x 轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,代入22221x y a b -=中求解即可. 【详解】由焦点均在x 轴上可得点(0,在椭圆上,则点()4,2-和点(-在双曲线上,设双曲线为22221x y a b-=,则222216412481a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,解得24b =,即2b =, 所以双曲线2C 的虚轴长为24b =, 故答案为:4 【点睛】本题考查双曲线的方程与焦点的位置的关系,考查双曲线的几何性质.三、解答题21．（1）22143x y +=；（2）6.【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值. 【详解】（1）由题意，得222221149141b e a a b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,3434my y y y m m +==-++，因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m==-+．于是1FQ =．直线2l 的方程为：11x y m=-- 联立111x y mx ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，，所以1PF =．所以()12113111362PQF m SFQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1m =±时，()1min6PQF S =．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题.22．（1）0y --=或0y +-=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线l 的方程为2x my =+并联立双曲线根据韦达定理可得1y 与2y 关系，结合3CN ND =可得123y y =-，从而求得m 值得直线方程；（2）列出直线AC 与BD 方程，并求点P 坐标得12P x =，故得证. 【详解】解：设直线l 的方程为2x my =+，设()11,C x y ，()22,D x y ，把直线l 与双曲线E联立方程组，22214x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()224116120m y my -++=，则1212221612,4141m y y y y m m +=-=--，（1）()112,CN x y =--，()222,ND x y =-，由3CN ND =，可得123y y =-，即22841m y m =-①，22212341y m -=-②，把①式代入②式，可得22281234141m m m ⎛⎫-= ⎪--⎝⎭，解得2120m =，m =，即直线l的方程为0y --=或0y +-=．（2）直线AC 的方程为()1111y y x x =++，直线BD 的方程为()2211y y x x =--，直线AC 与BD 的交点为P ，故()1111y x x ++()2211y x x =--，即()1113y x my ++()2211y x my =-+，进而得到122121311my y y x x my y y ++=-+，又()121234my y y y =-+，故()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y -++-++===----++，解得12x = 故点P 在定直线12x =上．【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解. 23．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2.【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可.【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x =所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k+ 同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时 2222333636122MN k k k k k k k k +-==++-- 所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=-- 即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2 所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意. 24．（1）22163x y +=；（2）（i ）证明见解析；（ii）3. 【分析】（1）由题意可得关于a ，b ，c 的方程组，结合,,a b c 的关系，则椭圆方程可求；（2）（i ）当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，利用根与系数的关系结合PA PB ⊥可得(21)(231)0k m k m +-++=，讨论210k m +-=或2310k m ++=，即可求出直线过定点；（ii ）可知当PM AB ⊥时，求出点P 到AB 的距离．求解当直线AB 的斜率不存在时，点P 到直线的距离，由此可得点P 到直线AB 距离的最大值．【详解】解：（1）由题意，得224112a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为222a b c =+，得26a =，23b =，所以，椭圆的方程为22163x y +=. （2）（i ）当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，代入椭圆方程，整理得()222124260kx kmx m +++-=，由0∆>，得22630k m -+>，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122412km x x k -+=+，21222612m x x k -=+，因为PA PB ⊥，所以121211122y y x x --⋅=---，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++-，①其中()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++，()12122y y k x x m +=++，代入①，整理得22483210k mk m m ++--=，即(21)(231)0k m k m +-++=，当210k m +-=时，直线AB 过点P ，不合题意，所以2310k m ++=，此时，直线AB 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以直线过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当直线AB 斜率不存在时，设其方程为x n =，代入解得23n =或2n =（舍去），综上所述，直线AB 恒过定点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.（ii ）∴当PM AB ⊥时，点P 到AB 的最大距离为||d PM ==当直线AB 的斜率不存在时，设其方程为x n =，代入解得23n =或2n =舍去．当23n =时，点P 到直线23x =的距离为43．综上，点P 到直线AB 距离的最大值为||d PM ==【点睛】易错点睛：本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系. 讨论直线AB 的斜率是否存在是易错点.25．（1）1y x =-或1y x =-+；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【分析】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果；（2）设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程.【详解】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，此时248MN p ==≠，不满足，舍去；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则216160k ∆=+>，且212224k x x k ++= 由抛物线定义得122222122444||||||(1)(1)22x k k MN MF NF x x x k k ++=+=+++=++=+= 即22448k k+=，解得1k =±因此l 的方程为1y x =-或1y x =-+.（2）由（1）取1,k =直线l 的方程为1y x =-，所以线段MN 的中点坐标为(3，2)，所以MN 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，该圆的圆心到直线l 的距离为d ，则002d =，则该圆的半径为222||162MN d d ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()2001162x y --=+，因为该圆与准线1x =-相切，所以()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩, 当圆心为(3,2)时，半径为4，当圆心为(11,6)-时，半径为12，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【点睛】关键点点睛：第（1）问，利用韦达定理和抛物线的定义求出抛物线的弦长是关键；第（2）问，根据几何方法求出圆的半径，利用直线与圆相切列式是解题关键.26．（1）22142x y +=；（2）10x y --=. 【分析】（1）已知条件得2b c ==，再求得a ，可得椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率为0时，12k k 的值，当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，计算12k k ，化为m 的函数，然后换元，设41t m =+，求出12k k 的最大值，及m 的值得直线方程．【详解】（1）由已知得2b c ==.又2224a b c =+=，所以椭圆的方程为22142x y +=. （2）①当直线l 的斜率为0时，则12k k ⋅=33342424⨯=-+； ②当直线l 的斜率不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为1x my =+，将1x my =+代入22142x y +=，整理得22(2)230m y my ++-=.则12222m y y m -+=+，12232y y m -=+. 又111x my =+，221x my =+，所以，112134y k k x -⋅=-2234y x -⋅-1212(3)(3)(3)(3)y y my my --=-- 12122121293()93()y y y y m y y m y y -++=-++=2232546m m m ++=+23414812m m +=++. 令41t m =+，则122324225t k k t t ⋅=+-+32254()2t t=++-1≤ 所以当且仅当5t =，即1m =时，取等号.由①②得，直线l 的方程为10x y --=.【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆标准方程，考查椭圆中的最值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的方程为1x my =+，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，然后代入12k k ，化为m 的函数，用换元法求得最值．。

高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．设z ＝10i3＋i，则z 的共轭复数为( ) A ．－1＋3i B ．－1－3i C ．1＋3iD ．1－3i2．若函数f (x )＝e x cos x ，则此函数的图象在点(1，f (1))处的切线的倾斜角为( ) A ．0 B ．锐角 C.π2D ．钝角3．用反证法证明命题“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”时，反设正确的是( )A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于12B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于12D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于124．设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a5.由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①6.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S ＝π(R 2－r 2)＝(R －r)×2π×R ＋r2，所以，圆环的面积等于以线段AB ＝R －r为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长2π×R ＋r2为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M ＝{}(x ，y )|(x －d )2＋y 2≤r 2(其中0<r<d)绕y 轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是( )A ．2πr 2dB ．2π2r 2dC ．2πrd 2D ．2π2rd 27．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 015的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 1258．下面给出了关于复数的四种类比推理：①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a 的性质|a |2＝a 2，可以类比得到复数z 的性质：|z |2＝z 2；③方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈R ，且a ≠0)有两个不同的实数根的条件是b 2－4ac >0，类比可得方程ax 2＋bx ＋c ＝0，(a ，b ，c ∈C 且a ≠0)有两个不同的复数根的条件是b 2－4ac >0；④由向量加法的几何意义，可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比得到的结论正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④9．设x ＞0，y ＞0，A ＝x ＋y 1＋x ＋y ，B ＝x 1＋x ＋y1＋y，则A 与B 的大小关系为( )A ．A ＞B B ．A ≥BC ．A ＜BD ．A ≤B10．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii，则|z |＝________.12．直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为________． 13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正方形，如下图所示：第n 个正方形数是________．14．若O 为△ABC 内部任意一点，连接AO 并延长交对边于A ′，则AO AA ′＝S 四边形ABOCS △ABC，同理连接BO ，CO 并延长，分别交对边于B ′，C ′，这样可以推出AO AA ′＋BO BB ′＋COCC ′＝________；类似地，若O 为四面体ABCD 内部任意一点，连接AO ，BO ，CO ，DO 并延长，分别交相对的面于A ′，B ′，C ′，D ′，则AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝________.三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 15．(本小题满分12分)已知F (x )＝1x－t (t －4)d t ，x ∈(－1，＋∞)．(1)求F (x )的单调区间； (2)求函数F (x )在[1,5]上的最值．16．(本小题满分12分)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，求证：1AD 2＝1AB 2＋1AC 2.在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3x (a ∈R )． (1)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若x ＝13是函数f (x )的极值点，是否存在实数b ，使得函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点？若存在，请求出b 的取值范围；若不存在，试说明理由．18．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝12－a n. (1)求a 2，a 3，a 4；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．高中数学选修2-2综合测试题参考答案1．选D ∵z ＝10i3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.2．选D f ′(x )＝e x ·cos x ＋e x ·(－sin x )＝e x (cos x －sin x )．当x ＝1时，cos x －sin x ＜0，故f ′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．3．选B “|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12”． 4．解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝x 113－＋－13＋110＝32x 2310＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 323210＝1－⎝⎛⎭⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 4410＝14.综上，a ＞b ＞c .5．选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．选B 平面区域M 的面积为πr 2，由类比知识可知：平面区域M 绕y 轴旋转一周得到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr 2)为底，以O 为圆心、d 为半径的圆的周长2πd 为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V ＝πr 2×2πd ＝2π2r 2d .7．选D ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝8 125， 58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 015)＝f (502× 4＋7)＝f (7)．∴52 015与57的末四位数字相同，均为8 125.8．选D ②中|z |2∈R ，但z 2不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b 2－4ac 来确定根的个数．9．选Cx 1＋x ＋y 1＋y ＞x 1＋x ＋y ＋y1＋x ＋y ＝x ＋y 1＋x ＋y.10．选C 由函数f (x )在x ＝－2处取得极小值可知x <－2，f ′(x )<0，则xf ′(x )>0；x >－2，f ′(x )>0，则－2<x <0时，xf ′(x )<0，x >0时，xf ′(x )>0.11．解析：∵z ＝3＋i i －i ＝(3＋i )(－i )－i 2－i ＝－i 2－3i －i ＝1－4i ，∴z ＝1＋4i.∴|z |＝12＋42＝17.答案：1712．解析：∵直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，y ＝x 3＋ax ＋b 的导数y ′＝3x 2＋a .∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝k ×1＋13＝13＋a ×1＋b ， k ＝3×12＋a ，解得a ＝－1，b ＝3，∴2a ＋b ＝1. 答案：113．解析：观察前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n 个正方形数应为n 2. 答案：n 214．解析：根据面积公式，在△ABC 中， AO AA ′＝AA ′－OA ′AA ′＝1－OA ′AA ′ ＝1－S △OBC S △ABC ＝S 四边形ABOC S △ABC ，所以AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＝3－S △OBC ＋S △OAC ＋S △OABS △ABC＝3－S △ABCS △ABC＝2.根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD 中， AO AA ′＋BO BB ′＋CO CC ′＋DODD ′＝4－V O -ABD ＋V O -ACD ＋V O -ABC ＋V O -BCDV A -BCD＝4－V A -BCDV A -BCD ＝3.答案：2 3 15．解：F(x )＝1x⎰－ (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 21x -＝13x 3－2x 2－⎝⎛⎭⎫－13－2 ＝13x 3－2x 2＋73(x >－1)． (1)F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )>0，即x 2－4x >0，得－1<x <0或x >4；由F ′(x )<0，即x 2－4x <0，得0<x <4， ∴F (x )的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，单调递减区间为(0,4)．(2)由(1)知F(x )在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F (1)＝13－2＋73＝23，F (4)＝13×43－2×42＋73＝－253，F (5)＝13×53－2×52＋73＝－6，∴F (x )在[1,5]上的最大值为23，最小值为－253.16．证明：如图所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC ，∴1AD 2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又BC 2＝AB 2＋AC 2， ∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC2.所以1AD 2＝1AB 2＋1AC2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.如图，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. 在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，∴1AF 2＝1AC 2＋1AD 2.∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2，故猜想正确． 17．解：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax －3， ∵f (x )在[1，＋∞)上是增函数， ∴在[1，＋∞)上恒有f ′(x )≥0， ∴－a3≤1，且f ′(1)＝2a ≥0.∴a ≥0.故实数a 的取值范围为[0，＋∞)． (2)由题意知f ′⎝⎛⎭⎫13＝0，即13＋2a3－3＝0， ∴a ＝4.∴f (x )＝x 3＋4x 2－3x .若函数g (x )＝bx 的图象与函数f (x )的图象恰有3个交点，即方程x 3＋4x 2－3x ＝bx 恰有3个不等实根．∵x ＝0是其中一个根，∴方程x 2＋4x －(3＋b )＝0有两个非零不等实根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16＋4(3＋b )>0，－(3＋b )≠0.∴b >－7，且b ≠－3.∴满足条件的b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． 18．解：(1)由a n ＋1＝12－a n 可得a 2＝12－a 1＝12－a ，a 3＝12－a 2＝12－12－a ＝2－a3－2a，a 4＝12－a 3＝12－2－a 3－2a＝3－2a 4－3a . (2)推测a n ＝(n －1)－(n －2)an －(n －1)a.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝a 1＝a ，右边＝(1－1)－(1－2)a 1－(1－1)a＝a ，结论成立．②假设n ＝k 时等式成立，有a k ＝(k －1)－(k －2)ak －(k －1)a ，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝12－a k＝12－(k －1)－(k －2)a k －(k －1)a＝k －(k －1)a2[k －(k －1)a ]－[(k －1)－(k －2)a ]＝k －(k －1)a(k ＋1)－ka.故当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对任何n ∈N *都有a n ＝(n －1)－(n －2)a n －(n －1)a.。

圆锥曲线综合测试题(含答案)

圆锥曲线综合测试题一、选择题（每题5分）1、双曲线x 2－5y 2＝0的焦距为（） A.6 B.26 C.23 D.432、顶点在原点，且过点（－4,4）的抛物线的标准方程是（）A.y 2＝－4xB.x 2＝4yC. y 2＝－4x 或x 2＝4yD.y 2＝4x 或x 2＝－4y3、若椭圆19222=+m y x （m>0）的一个焦点坐标为（1,0），则m 的值为（） A.5 B.3 C.23 D.224、已知方程11122=--+ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A.－1<k<1 B.k>0 C.k ≥0 D.k>1或k<－15、已知双曲线15222=-y a x 的右焦点为（3,0）则该双曲线的离心率为（） A.14143 B.423 C.23 D.34 6、如果点P （2，y 0）在以点F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上，则PF=（）A.1B.2C.3D.47、双曲线12222=-b y a x 与椭圆12222=+by m x （a >0,m>b>0）的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形8、已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为21，E 的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB=（）A.3B.6C.9D.129、已知双曲线12222=-by a x （a >0，b>0）的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，∆AOB 的面积为3，则p=（）A.1B.23 C.2 D.3 10、已知F 1，F 2为椭圆191622=+y x 的两个焦点，过点F 2的直线交椭圆与A ，B 两点，在∆A F 1B 中，若有两边之和等于10，则第三边的长度为（）A.6B.5C.4D.311、已知动圆P 过定点A （－3,0），并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是（）A.线段B.直线C.圆D.椭圆12、若直线mx ＋ny=4与圆O: x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（）A.至多一个B.2C.1D.0二、填空题（每题5分）13、抛物线x 2＝4y 上一点P 到焦点的距离为3，则点P 到y 轴的距离为。

数学必修二综合测试题(含答案)

数学必修二综合测试题一. 选择题* 1.下列叙述中，正确的是( )(A)因为P三二，Q三：二，所以PQW * ( B)因为卩三：z，Q：=卩，所以ATI；=PQ(C)因为AB二x , C三AB，D三AB，所以CD三：(D)因为AB 二:,AB '■,所以A「'J 且B - ■)*2 .已知直线|的方程为y = x则该直线I的倾斜角为().(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 135*3.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4) , 且| AB =2j6,则实数x的值是().(A)-3 或4 (B) - 6或2 (C)3 或-4 (D)6 或-2*4.长方体的三个面的面积分别是、2、3、6，则长方体的体积是( ).A . 3.2B . 2 一3 C. 、6 D. 6*5.棱长为a的正方体内切一球，该球的表面积为()2 2 2 2A、二aB、2 二aC、3 二aD、4二a*6.若直线a与平面二不垂直，那么在平面二内与直线a垂直的直线( )(A )只有一条(B)无数条(C)是平面:内的所有直线(D)不存在**7.已知直线I、m、n与平面:- > 一：，给出下列四个命题：①若m// I , n// I ，则m// n ②若m l , m// ，贝U 丄：③若m // , n // ，则m // n ④若m l , 丄：，则m // 或m =其中假命题是().(A)①(B) ②(C)** 8.在同一直角坐标系中，表示直线2 2(x-2) (y 3) =9 交于A .25** 11.已知点A(2,-3)、B(-3,-2)直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值k范围是 ()3 3 1 3 3A、k 或k--4B、k 或kC、f 4_kD、k_44 4 4 4 4*** 12.若直线kx 4 2k与曲线y「4一x2有两个交点，则k的取值范围是③(D)④y = ax与y = x • a正确的是( )(0是原点)的面积为( ).3C. 2左视图*E、F两点，则丄EOF+ oO C .(4,1]** 18 .(本小题满分12分)如图，已知正四棱锥V — ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，VM 是棱锥的高，若AC = 6cm ，VC = 5cm ，求正四棱锥 V -ABCD 的体积.二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. **13.如果对任何实数 k ,直线(3 + k)x + (1-2k)y + 1 + 5k=0都过一个定点 A ,那么点 A 的坐标是 _____________________ . **14.空间四个点 P 、A 、B C 在同一球面上，PA PB 那么这个球面的面积是 __________________ . **15 .已知 2 2 2 2 圆Ocx y =1 与圆 O 2:(x —3) ( y + 4) =9， ***16 .如图①，一个圆锥形容器的高为a ，内装一量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为-(如图②)，则图①中的水面高度2PC 两两垂直，且PA=PB=PC=, 则圆O i 与圆。

椭圆双曲线抛物线复习学案(知识点+题组练习+测试)

椭圆、双曲线、抛物线复习学案（知识点+题组练习+测试）椭圆、双曲线、抛物线综合习题专题学案一、知识点总结： 1、三种圆锥曲线的定义：椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线都是动点运动形成的轨迹。

动点在运动变化过程中，保持某种“距离”不变。

椭圆：平面内与两个定点F1，F2的距离_____等于常数（___于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

即：PF1?PF2?2a?2c?F1F2（a?0，c?0，a，c为常数），则P点的轨迹为以_______为焦点的椭圆。

注意：若2a?F1F2时，点P的轨迹为________。

若0?2a?F1F2时，点P的轨迹________。

双曲线：在平面内到两个定点F1，F2距离___________等于常数（___于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。

即：PF1?PF2?2a?2c?F1F2（a?0，c?0，a，c为常数），则P点的轨迹为以________为焦点的双曲线．注意：若2a?F1F2时，点P的轨迹为_______________。

若2a?F1F2时，点P的轨迹________。

若2a?0时，点P的轨迹是_________________．另外，定义中的_________必不可少.抛物线：平面内到定点F与到定直线l距离_______的点的轨迹。

（其中F?l）注意：若F?l，则P点的轨迹为______________________________。

2、三种圆锥曲线的标准方程：x2y2椭圆：2?2?1(a?b?0)，焦点在x轴上；aby2x2??1(a?b?0)，焦点在y轴上． a2b2（谁的_______________，焦点就在谁的轴上。

）x2y2双曲线：2?2?1(a?0，b?0)，焦点在x轴上；aby2x2??1(a?0，b?0),焦点在y轴上． a2b2(谁的______________，焦点就在谁的轴上。

)抛物线：y?2px,y??2px,（其中p?0），焦点在x轴上；22x2?2py,x2??2py, （其中p?0），焦点在y轴上。

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精品文档精品文档高二数学椭圆测试一、选择题： 1．离心率为32，长轴长为6的椭圆的标准方程是（）

（A）22195xy（B）22195xy或22159xy（C）2213620xy（D）2213620xy或2212036xy 2.动点P到两个定点1F（- 4，0）.2F（4，0）的距离之和为8，则P点的轨迹为（） A.椭圆 B.线段12FF C.直线12FF D.不能确定

3.已知椭圆的标准方程22110yx，则椭圆的焦点坐标为（） A.(10,0) B.(0,10) C.(0,3) D.(3,0) 4.已知椭圆22159xy上一点P到椭圆的一焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离是（） A.253 B.2 C.3 D.6 5.如果22212xyaa表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（） A.(2,) B.2,12, C.(,1)(2,) D.任意实数R 6.方程 22221xykakb（a＞b＞0,k＞0且k≠1)与方程22221xyab（a＞b＞0)表示的椭圆（）. A.有相同的离心率；B.有共同的焦点；C.有等长的短轴.长轴； D.有相同的顶 7.“m>n>0”是“方程221mxny表示焦点在y轴上的椭圆的”（）

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为（）

A.1 B.2 C.2 D.22 9.椭圆焦点为1F，2F，过1F的最短弦PQ长为10，2PFQ的周长为36，则此椭圆的离心率为（）

A.33 B.13 C.23 D.63

10.椭圆221123xy的一个焦点为1F，点P在椭圆上且线段1PF的中点M在y轴上，则点M的纵坐标为（） A.34 B.32 C.22 D.34 二、填空题：（本大题共4小题，共16分.） 13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是精品文档精品文档 14 椭圆2214924xy上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为 . 15.中心在原点，焦点在x轴上且过两点(3,27)P，(67,7)Q的椭圆方程为 ____________ . 16、在椭圆41622yx＝1内，过点（2，1）且被这点平分的弦所在的直线方程是___________。三、解答题： 17、（12分）当m取何值时，直线l：yxm与椭圆22916144xy相切，相交，相离？

18.（12分）已知点M在椭圆221259xy上，M'P垂直于椭圆焦点所在的直线，垂直为'P，并且M为线段P'P的中点，求P点的轨迹方程

19（12分）设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60，1F到直线l的距离为23. （Ⅰ）求椭圆C的焦距；（Ⅱ）如果222AFFB,求椭圆C的方程. 精品文档

精品文档 20（12分）设椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,2AFFB. (I) 求椭圆C的离心率； (II) 如果|AB|=154，求椭圆C的方程.

21（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于13. (Ⅰ)求动点P的轨迹方程； (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

22 （14分）已知椭圆22221xyab（a>b>0）的离心率e=32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. 精品文档精品文档（i）若42AB5||=，求直线l的倾斜角；（ii）若点Qy0（0，）在线段AB的垂直平分线上，且4•QBQA.求y0的值.

椭圆（二）参考答案 1.选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B C C B C A B B C D D 8【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为

垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴

即k=，故选B. 9 精品文档精品文档 10【解析】由题意，F（-1，0），设点P00(,)xy，则有2200143xy,解得22003(1)4xy，因为00(1,)FPxy，00(,)OPxy，所以2000(1)OPFPxxy =00(1)OPFPxx203(1)4x=20034xx，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x，因为022x，所以当02x时，OPFP取得最大值222364，选C。【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

11 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即F点到P点与A点的距离相等

而|FA|＝22abccc |PF|∈[a－c,a＋c] 于是2bc∈[a－c,a＋c] 即ac－c2≤b2≤ac＋c2 ∴222222accacacacc

1112caccaa或又e∈(0,1) 故e∈1,12 答案：D 12（2010湖北文数）9.若直线yxb与曲线234yxx有公共点，则b的取值范围是精品文档精品文档 A.[122,122] B.[12,3] C.[-1,122] D.[122,3]

二、填空题：（本大题共4小题，共16分.） 13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

14 椭圆2214924xy上一点P与椭圆两焦点F1, F2的连线的夹角为直角，则Rt△PF1F2的面积为 . 15 （2010全国卷1文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的

延长线交C于点D，且BF2FD，则C的离心率为 . 33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程

与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析1】如图，22||BFbca,

作1DDy轴于点D1,则由BF2FD，得

1||||2||||3OFBFDDBD,所以133||||22DDOFc,

即32Dcx,由椭圆的第二定义得2233||()22accFDeaca 又由||2||BFFD,得232,caaa33e 【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,Dxy，F分 BD所成的比为2，

x O

y B

F 1D D 精品文档

精品文档 222230223330;122212222cccc

ybxbybbxxxcyy



，代入

222291144cb

ab，33e

16（2010湖北文数）15.已知椭圆22:12xcy的两焦点为12,FF,点00(,)Pxy满足220

0012xy

,则|1PF|+2PF|的取值范围为_______。

【答案】2,22,0 【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时

12max(||||)2 PFPF，当P在椭圆顶点处时，取到12max(||||)PFPF为

(21)(21) =22 ，故范围为2,22.因为00(,)xy在椭圆2212xy的内部，则直线

0012xxyy

上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.

二.填空题： 13 35 14 24 15 33 16 2,22,0 三.解答题： 17.解：设p点的坐标为(,)pxy，m点的坐标为00(,)xy，由题意可知

0022yyxxxxyy











① 因为点m在椭圆221259xy上，所以有

22001259xy ② ，把①代入②得2212536xy

，所以P点的轨迹是焦点在y轴上，标准方程

为2212536xy的椭圆. 18.解：（1）由已知53cea，4535a，得5c，所以222452520mbac