椭圆综合测试题(含答案)

椭圆测试题

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、离心率为

32

，长轴长为6的椭圆的标准方程是（ ） （A ）22195x y += （B ）22195x y +=或22

159x y += （C ）

2213620x y += （D ）2213620x y +=或22

12036

x y += 2、动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为（ ）

A.椭圆

B.线段12F F

C.直线12F F

D.不能确定

3、已知椭圆的标准方程2

2

110

y x +=，则椭圆的焦点坐标为（ ）

A.(

B.(0,

C.(0,3)±

D.(3,0)±

4、已知椭圆22

159

x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3，则P 到另一焦点的距离是（ ）

A.3

B.2

C.3

D.6 5、如果22

212

x y a a +

=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围为（ ） A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--?+∞ C.(,1)(2,)-∞-?+∞ D.任意实数R

6、关于曲线的对称性的论述正确的是（ ）

A.方程22

0x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程3

3

0x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2

2

10x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程3

3

8x y -=的曲线关于原点对称

7、方程 22221x y ka kb +=（a ＞b ＞0,k ＞0且k ≠1)与方程22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0)表示的椭圆（ ）.

A.有相同的离心率

B.有共同的焦点

C.有等长的短轴.长轴

D.有相同的顶点.

8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b

+=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于

A B 、两点．若3AF FB =，则k =( )

（A ）1 （B （C （D ）2

9、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )

A.

54 B.53 C. 52 D. 5

1 10、若点O 和点F 分别为椭圆22

143

x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为( )

A ．2

B ．3

C ．6

D ．8

11、椭圆()22

2210x y a a b

+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段

AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是( )

（A ）（0，

2] （B ）（0，1

2

] （C ）1，1） （D ）[

1

2

，1）

12 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )

A.[1-1+

B.[1

C.[-1,1+

D.[1-

二、填空题：（本大题共5小题，共20分.）

13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

14 椭圆

22

14924

x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 . 15 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ， 且

D F F B 2=，则C 的离心率为 .

16 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足22

00012

x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为

三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17.（10分）已知点M 在椭圆

22

1259

x y +=上，M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为'P ，并且M 为线段P 'P 的中点，求P 点的轨迹方程.

18.(12分)椭圆22

1(045)45x y m m

+=<<的焦点分别是1F 和2F ，已知椭圆的离心率3e =过中心O 作直

线与椭圆交于A ，B 两点，O 为原点，若2ABF 的面积是20，求：（1）m 的值（2）直线AB 的方程

19（12分）设1F ，2F 分别为椭圆22

22:1x y C a b

+=(0)a b >>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交

于A ,B 两点，直线l 的倾斜角为60，1F 到直线l 的距离为

（Ⅰ）求椭圆C 的焦距；

（Ⅱ）如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.

20（12分）设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，

直线l 的倾斜角为60o

,2AF FB =.

(I) 求椭圆C 的离心率； (II) 如果|AB|=

15

4

，求椭圆C 的方程.

21（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （-1,1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13

-

. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

22 （12分）已知椭圆22

221x y a b

+=（a>b>0）的离心率

面积为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ，已知点A 的坐标为（-a ，0）.

（i ）若AB

5

||=，求直线l 的倾斜角； （ii ）若点Q y 0（0，）在线段AB 的垂直平分线上，且4Q Q =?B A ，求y 0的值.

椭圆参考答案

1.选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

B

B

C

C

B

C

A

B

B

C

D

D

【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过B

作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得，，由，得，∴

即k=，故选B.

9

10【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有

2200143

x y +=,解得22

003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ?=++

=00(1)OP FP x x ?=++203(1)4x -=2

0034

x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ?取得最大值2

22364

++=，选C 。

【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。

11 解析：由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，

即F 点到P 点与A 点的距离相等

而|FA |＝22

a b c c c

-= |PF

|∈[a －c ,a ＋c ]

于是2

b c

∈[a －c ,a ＋c ]

即ac －c 2

≤b 2

≤ac ＋c 2

∴222

222

ac c a c a c ac c

?-≤-??-≤+?? 1112c a

c c a

a ?≤???

?≤-≥??或 又e ∈(0,1) 故e ∈1,12??

????

答案：D

12（2010湖北文数）9.若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 A.[122-,122+] B.[12-,3] C.[-1,122+]

D.[122-,3]

二、填空题：（本大题共4小题，共16分.）

13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是

14 椭圆

22

14924

x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角，则Rt △PF 1F 2的面积为 . 15 （2010全国卷1文数）(16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C

于点D ， 且BF 2FD =，则C 的离心率为 .

与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析1

】如图，||BF a ==, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =，得

1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133

||||22

DD OF c ==,

即32D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a =-=-

又由||2||BF FD =,得2

32,c a a a

=

-e ?=【解析2】设椭圆方程为第一标准形式22

221x y a b

+=，设()22,D x y ，F 分 BD 所成的比为2，

222230223330;122212222

c c c c y b x b y b b

x x x c y y -++?-=

?===?===-++，代入 2222

91144c b a b

+=

，3e ?=16（2010湖北文数）15.已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2

2

00012

x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为_______。 【答案】

[,0

【解析】依题意知，点P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P 在原点处时12max (||||) 2 PF PF +=，当P 在椭圆顶点处时，取到12max (||||)PF PF +为

1)+，故范围为

[.因为00(,)x y 在椭圆22

12x y +=的内部，则直线

0012x x y y ?+?=上的点（x, y ）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.

二.填空题：