2017-2018年广东省东莞市翰林实验学校高二(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年高二上学期期中考试数学试题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卷相应位置上．．．．．．．．.1. 已知直线的斜率为，则它的倾斜角为__________．【答案】【解析】斜率为，设倾斜角为，则，有.2. 已知圆的方程为，则它的圆心坐标为__________．【答案】【解析】，圆心坐标为.3. 若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为__________．【答案】平行或异面【解析】若直线和平面平行，且直线，则两直线和的位置关系为平行或异面.4. 已知直线：和：垂直，则实数的值为_________．【答案】【解析】当时，，两条直线不垂直；当时，，两条直线垂直，则，.综上：.5. 已知直线和坐标轴交于、两点，为原点，则经过，，三点的圆的方程为_________．【答案】【解析】直线和坐标轴交于、两点，则，设圆的方程为：，则，解得，圆的方程为，即.6. 一个圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高为_________．【答案】【解析】由题得扇形得面积为：，根据题意圆锥的侧面展开图是半径为3即为圆锥的母线，由圆锥侧面积计算公式：所以圆锥的高为7. 已知，分别为直线和上的动点，则的最小值为_________．【答案】【解析】由于两条直线平行，所以两点的最小值为两条平行线间的距离.8. 已知，是空间两条不同的直线，，是两个不同的平面，下面说法正确的有_________．①若，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.【答案】①④【解析】①若，，符合面面垂直的判定定理，则真确；②若，，，则可能平行，也可能相交，故②不正确；③若，，，则可能平行，也可能异面；③不正确；④若，，，符合线面平行的性质定理，则.正确；填①④.9. 直线关于直线对称的直线方程为_________．【答案】【解析】由于点关于直线的对称点位，直线关于直线对称的直线方程为，即.10. 已知底面边长为，侧棱长为的正四棱柱，其各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_________．【答案】【解析】∵正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为，∴正四棱柱体对角线的长为，又∵正四棱柱的顶点在同一球面上，∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径，得球半径，根据球的体积公式，得此球的体积为，故答案为.点睛：本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长，求该球的体积，考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识，属于基础题；由长方体的对角线公式，算出正四棱柱体对角线的长，从而得到球直径长，得球半径，最后根据球的体积公式，可算出此球的体积.11. 若直线：和：将圆分成长度相同的四段弧，则_________．【答案】【解析】两条直线：和：平行，把直线方程化为一般式：和，圆的直径为，半径，直线被圆所截的弦所对的圆心角为直角，只需两条平行线间的距离为4，圆心到直线的距离为2，圆心到则的距离为，若，则，同样，则，则.12. 已知正三棱锥的体积为，高为，则它的侧面积为_________．【答案】【解析】设正三棱锥底面三角形的边长为，则，底面等边三角形的高为，底面中心到一边的距离为，侧面的斜高为，.13. 已知，，若圆（）上恰有两点，，使得和的面积均为，则的范围是_________．【答案】【解析】，使得和的面积均为，只需到直线的距离为2，直线的方程为，圆心到直线的距离为1，当时，圆（）上恰有一点到AB的距离为2，不合题意；若时，圆（）上恰有三个点到AB的距离为2，不合题意；当时，圆（）上恰有两个点到AB的距离为2，符合题意，则................14. 已知线段的长为2，动点满足（为常数，），且点始终不在以为圆心为半径的圆内，则的范围是_________．【答案】第二卷二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卷指定区域内作答，．．．．．．．．．．．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 四棱锥中，，底面为直角梯形，，，，点为的中点.（1）求证：平面；（2）求证：.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：证明线面可以利用线面平行的判定定理，借助证明平行四边形，寻求线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.试题解析：证：（1）四边形为平行四边形（2）【点睛】证明线面平行有两种思路：第一寻求线线平行，利用线面平行的判定定理.第二寻求面面平行，本题借助平行四边形和三角形中位线定理可以得到线线平行，进而证明线面平行；证明线线垂直，首先利用线面垂直的判定定理，借助题目所提供的线线垂直条件，证明一条直线与平面内两条相交直线垂直，达成线面垂直，根据线面垂直的定义，然后证明线线垂直.16. 已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，.（1）求平行四边形的顶点的坐标；（2）在中，求边上的高所在直线方程；（3）求四边形的面积.【答案】（1）（2）（3）20【解析】试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.试题解析：（1）方法（一）：设，，，∴，，即.法二：中点为，该点也为中点，设，则可得；（2）∵，∴边上的高的斜率为，∴边上的高所在的直线方程为：；（3）法一：：，∴到的距离为，又，∴四边形的面积为.法二：∵，，∴由余弦定理得∴∴四边形的面积为。
广东省东莞市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(文科)(b卷) Word版含解析
2017-2018学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.）1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A． B． C． D．2．“若a＞2，则a＞1”及其逆、否、逆否这四个中，真的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．设S n为等比数列{a n}的前n项和，且8a3+a6=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．114．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，若a5+a6=10，则S10=（）A．40 B．45 C．50 D．555．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若B=60°，b2=ac，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰非等边三角形 D．等边三角形6．若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣137．已知p：x2﹣2x﹣3＜0，q：x+2≥0，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是（2，0），则其渐近线方程为（）A． B． C． D．9．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则实数c的值为（）A．2 B．2或6 C．6 D．4或610．已知=2（a＞0，b＞0），则ab的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．711．已知椭圆E的中心为坐标原点，长轴的长为8，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，抛物线C的准线与椭圆E交于A，B两点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．1212．已知函数f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+8，则过点（0，0）可以作几条直线与函数y=f（x）图象相切（）A．3 B．1 C．0 D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上.）13．若关于x的不等式x2+3mx﹣4＜0的解集为（﹣4，1），则m的值为．14．已知数列{a n}满足a n+1=a n+1（n∈N*），且a1=1，则= ．15．已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点且|MF|=3，则△OMF的面积为．16．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，在D点测得塔在北偏东30°方向，然后向正西方向前进10米到达C，测得此时塔在北偏东60°方向．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB= 米．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．（1）求角C的大小；（2）若，且△ABC的周长为，求△ABC的面积．18．已知数列{a n}的前n项和，等比数列{b n}，b1=a1，b4是a4与a5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．p：∀x∈R，x2+mx+1≥0；q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假，“p或q”是真，求实数m的取值范围．20．已知某种商品每日的销售量y（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x﹣4）2+（a为常数）；当3＜x≤5时，y=kx+7，已知当销售价格为3万元/吨时，每日可售出商品该4吨，当销售价格为5万元/吨时，每日可售出商品该2吨．（1）求a，k的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x的值，使得每日销售该商品所获利润最大．21．如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，已知椭圆C的焦距为2，且|AB|=|BF|．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（0，﹣2）的直线l交椭圆C于M，N两点，当△MON面积取得最大时，求直线l的方程．22．设函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a∈R．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞0，对∀x＞1，f（x）≥0成立，求实数a的最大值．2015-2016学年广东省东莞市高二（上）期末数学试卷（文科）（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请把正确选择支号填在答题表内.）1．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A． B． C． D．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC【解答】解：根据正弦定理，，则故选B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题2．“若a＞2，则a＞1”及其逆、否、逆否这四个中，真的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据四种真假之间的关系进行判断即可．【解答】解：若a＞2，则a＞1，成立，即原为真，则逆否也为真，逆为：若a＞1，则a＞2，为假．，当a=1.5时，满足a＞1，但a＞2不成立，则否为假，故真的个数为2个，故选：B．【点评】本题主要考查四种真假关系的判断，根据逆否的等价性只需要判断两个即可，3．设S n为等比数列{a n}的前n项和，且8a3+a6=0，则=（）A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵8a3+a6=0，∴a3（8+q3）=0，解得q=﹣2．则===5，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，若a5+a6=10，则S10=（）A．40 B．45 C．50 D．55【分析】a5+a6=10，可得a1+a10=10．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：∵a5+a6=10，∴a1+a10=10．则S10===50．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若B=60°，b2=ac，则△ABC的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰非等边三角形 D．等边三角形【分析】由余弦定理可得a=c，即可判断出结论．【解答】解：由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accos60°=ac，a=c，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．【点评】本题考查了余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（）A．11 B．﹣11 C．13 D．﹣13【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，此时M=z=3×+5×=17，由，解得，即A（4，﹣1），此时z=3×4﹣1=11，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．7．已知p：x2﹣2x﹣3＜0，q：x+2≥0，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式之间的关系进行判断即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＜0，得﹣1＜x＜3，由x+2≥0得x≥﹣2，则p是q的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．比较基础．8．双曲线5x2+ky2=5的一个焦点是（2，0），则其渐近线方程为（）A． B． C． D．【分析】根据双曲线方程，得a2=1，b2=，结合题意得a，b，c关系，解出k，从而得到双曲线方程，由此不难得出该双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线5x2+ky2=5化成标准方程得x2﹣=1，得a2=1，b2=﹣，∴c==，∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴=2，解之得k=，双曲线方程为x2﹣=1，∴该双曲线的渐近线方程为y=x，故选：D．【点评】本题给出含有参数的双曲线方程，在已知其一个焦点的情况下求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．9．已知函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极小值，则实数c的值为（）A．2 B．2或6 C．6 D．4或6【分析】根据函数在x=2处有极小值，得到f′（2）=0，解出关于c的方程，再验证是否为极小值即可．【解答】解：∵函数f（x）=x（x﹣c）2，∴f′（x）=3x2﹣4cx+c2，又f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极值，∴f′（2）=12﹣8c+c2=0，解得c=2或6，又由函数在x=2处有极小值，故c=2，c=6时，函数f（x）=x（x﹣c）2在x=2处有极大值，故选：A．【点评】本题考查函数在某一点取得极值的条件，是中档题，本题解题的关键是函数在这一点取得极值，则函数在这一点点导函数等于0，注意这个条件的应用．10．已知=2（a＞0，b＞0），则ab的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵=2（a＞0，b＞0），∴2≥，化为ab≥6，当且仅当a=3，b=2时取等号．∴ab的最小值是6．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知椭圆E的中心为坐标原点，长轴的长为8，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，抛物线C的准线与椭圆E交于A，B两点，则|AB|=（）A．3 B．6 C．9 D．12【分析】由题意知，2a=8，抛物线C：y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=﹣2，从而写出椭圆的标准方程为+=1，从而联立方程解出A，B的坐标，从而解得．【解答】解：由题意知，2a=8，故a=4，抛物线C：y2=8x的焦点为（2，0），准线为x=﹣2，故c=2，故椭圆的方程为+=1，故联立方程得，，解得，x=﹣2，y=±3，故A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3），故|AB|=6，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与椭圆的基本性质的应用，同时考查了学生的化简运算能力．12．已知函数f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+8，则过点（0，0）可以作几条直线与函数y=f（x）图象相切（）A．3 B．1 C．0 D．2【分析】设出切点，求出切点处的导数，写出切线方程把A的坐标代入后得到关于切点横坐标的方程，再解方程即可判断切点横坐标的个数，从而答案可求．【解答】解：设切点为P（x0，﹣x03+6x02﹣9x0+8），f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+8的导数为f′（x）=﹣3x2+12x﹣9，则f′（x0）=﹣3x02+12x0﹣9，则切线方程y+x03﹣6x02+9x0﹣8=（﹣3x02+12x0﹣9）（x﹣x0），代入O（0，0）得，x03﹣3x02+4=0，即有（x03+1）﹣3（x02﹣1）=0，即有（x0+1）（x0﹣2）2=0，解得x0=﹣1或2，则切线有两条．故选D．【点评】本题考查了利用导数研究曲线上点的切线问题，考查了利用切线方程，解方程的运算能力，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上.）13．若关于x的不等式x2+3mx﹣4＜0的解集为（﹣4，1），则m的值为 1 ．【分析】由已知得﹣4和1是方程x2+3mx﹣4=0的两个根，由此能求出m．【解答】解：∵关于x的不等式x2+3mx﹣4＜0的解集为（﹣4，1），∴﹣4和1是方程x2+3mx﹣4=0的两个根，∴﹣4+1=﹣3m，解得m=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意一元二次不等式的性质的合理运用．14．已知数列{a n}满足a n+1=a n+1（n∈N*），且a1=1，则= ．【分析】利用裂项消项法，求解数列的和即可．【解答】解：数列{a n}满足a n+1=a n+1（n∈N*），且a1=1，数列是等差数列，a n=n．则==1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的应用，数列求和，考查计算能力．15．已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点且|MF|=3，则△OMF的面积为．【分析】利用抛物线的定义，可得M的坐标，即可求得△OFM的面积．【解答】解：抛物线方程为y2=4x的准线方程为x=﹣1，∵|MF|=3，∴x M=2，y M=±2，∴△OFM的面积为=，故答案为：．【点评】本题考查抛物线的定义，考查三角形面积的计算，确定M的坐标是关键．16．如图，测量河对岸的塔高AB时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，在D点测得塔在北偏东30°方向，然后向正西方向前进10米到达C，测得此时塔在北偏东60°方向．并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB= 30 米．【分析】在△BCD中，由正弦定理，求得BC，在Rt△ABC中，求AB．【解答】解：由题意，∠BCD=30°，∠BDC=120°，CD=10m，在△BCD中，由正弦定理得BC=•10=10m．在Rt△ABC中，AB=BCtan60°=30m．故答案为：30．【点评】本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且．（1）求角C的大小；（2）若，且△ABC的周长为，求△ABC的面积．【分析】（1）利用正弦定理可得sinC，即可得出；（2）利用余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为，所以，由正弦定理，，又因为△ABC为锐角三角形，所以．（2）由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，△ABC的周长，c=．所以a+b=5，ab=6，∴△ABC的面积S=．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知数列{a n}的前n项和，等比数列{b n}，b1=a1，b4是a4与a5的等差中项．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（1）求出数列{a n}的首项a1，利用n≥2，，求出通项公式，然后求解．（2）化简c n=a n•b n，利用错位相减法求解数列的{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和，所以a1=S1=1…（1分）n≥2，…（2分）当n=1，也满足a n=2n﹣1…（3分）所以…（4分）b1=a1=1，2b4=a4+a5=7+9，所以b4=8，…（6分），所以q=2，所以…（7分）（2），①…（8分）②…（9分）①式减去②式得：…（10分）=﹣3﹣（2n﹣3）•2n…（11分）∴…（12分）【点评】本题考查数列通项公式，以及数列求和的基本方法，考查计算能力．19．p：∀x∈R，x2+mx+1≥0；q：方程表示焦点在y轴上的椭圆．若“p且q”是假，“p或q”是真，求实数m的取值范围．【分析】p为真，求出﹣2≤m≤2，q为真，求出 0＜m＜2，利用“p且q”是假，“p或q”是真，推出p是真且q是假，或p是假且q是真，求解即可．【解答】解：p：∀x∈R，x2+mx+1≥0为真，∴△=m2﹣4≤0⇒﹣2≤m≤2…（3分）q为真，即方程是焦点在y轴上的椭圆，∴0＜m＜2…（6分）又∵“p且q”是假，“p或q”是真，∴p是真且q是假，或p是假且q是真，…（7分），或…（11分）∴m的取值范围是∪{2}…（12分）【点评】本题考查的真假的判断与应用，考查计算能力．20．已知某种商品每日的销售量y（单位：吨）与销售价格x（单位：万元/吨，1＜x≤5）满足：当1＜x≤3时，y=a（x﹣4）2+（a为常数）；当3＜x≤5时，y=kx+7，已知当销售价格为3万元/吨时，每日可售出商品该4吨，当销售价格为5万元/吨时，每日可售出商品该2吨．（1）求a，k的值，并确定y关于x的函数解析式；（2）若该商品的销售成本为1万元/吨，试确定销售价格x的值，使得每日销售该商品所获利润最大．【分析】（1）通过x=3时，y=4；求出a，x=5时，y=5；求出k，得到函数的解析式．（2）当1＜x≤3时，求出每日销售利润的表达式，通过函数的导数判断函数的单调性，求出最大值．当3＜x≤5时，求出每日销售利润的表达式，利用二次函数的最值求解最大值，推出结果．【解答】解：（1）因为x=3时，y=4；所以a+3=4，得a=1…（2分）因为x=5时，y=5；所以5k+7=2，得k=﹣1…（4分）故…（5分）（2）由（1）知，当1＜x≤3时，每日销售利润=x3﹣9x2+24x﹣10（1＜x≤3）…（6分）f′（x）=3x2﹣18x+24．…（7分）令f′（x）=3x2﹣18x+24＞0，解得x＞4或x＜2所以f（x）在单调递增，在单调递减…（8分）所以当x=2，f（x）max=f（2）=10，…（9分）当3＜x≤5时，每日销售利润f（x）=（﹣x+7）（x﹣1）=﹣x2+8x﹣7=﹣（x﹣4）2+9…（10分）f（x）在x=4时有最大值，且f（x）max=f（4）=9＜f（2）…（11分）综上，销售价格x=2万元/吨时，每日销售该商品所获利润最大．…（12分）【点评】本题考查函数的解析式的求法，函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，分类讨论思想以及转化思想的应用．21．如图，椭圆C： =1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，已知椭圆C的焦距为2，且|AB|=|BF|．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点P（0，﹣2）的直线l交椭圆C于M，N两点，当△MON面积取得最大时，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得c=1，再由两点的距离公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）方法一、设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，点到直线的距离公式和三角形的面积公式，结合基本不等式即可得到直线方程；方法二、设出直线的方程，求得交点D，运用三角形的面积公式可得S△OMN=|OD|•|y1﹣y2|，由直线方程和韦达定理，代入整理，再由解不等式可得最大值及对应的斜率，即可得到所求直线的方程．【解答】解：（1）椭圆C的焦距为2，所以2c=2，c=1，由已知，即，2a2+2b2=3a2，a2=2b2=b2+c2，所以，可得椭圆方程为；（2）解法一：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y得关于x的方程：（1+2k2）x2﹣8kx+6=0，由直线l与椭圆相交于M、N两点，∴△＞0⇒64k2﹣24（1+2k2）＞0，解得，又由韦达定理得，∴=，原点O到直线l的距离，∵．解法1：令，则2k2=m2+3∴，当且仅当即m=2时，此时．所以，所求直线方程为．解法2：对两边平方整理得：4S2k4+4（S2﹣4）k2+S2+24=0（*）∵S≠0，，整理得：，又S＞0，∴，从而S△MON的最大值为，此时代入方程（*）得4k4﹣28k2+49=0∴，所以，所求直线方程为：．解法二：由题意知直线l的斜率存在且不为零．设直线l的方程为y=kx﹣2，M（x1，y1），N（x2，y2），则直线l与x轴的交点，由解法一知且，=|x1﹣x2|===．下同解法一．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用两点的距离和a，b，c的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式大于0和韦达定理，弦长公式，以及基本不等式，考查运算能力，属于中档题．22．设函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a∈R．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若a＞0，对∀x＞1，f（x）≥0成立，求实数a的最大值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性确定函数的单调区间，从而求出a的最大值即可．【解答】解：（1）当a=1，f（x）=lnx+x2﹣3x+2，定义域为（0，+∞）…（1分），…（2分）令f′（x）＞0，解得…（3分）令f′（x）＜0，解得…（4分）所以函数f（x）的单调增区间有和（1，+∞），单调减区间为…（5分）（2）=，因为a＞0令g（x）=2ax2﹣3ax+1，g（x）的对称轴，…（6分）①当时，即，x∈（0，+∞），g（x）≥0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增，x＞1，f（x）＞f（1）=0，即，对∀x＞1，f（x）≥0成立；…（8分）②当时，即，g（x）=2ax2﹣3ax+1=0的两根为：，，且0＜x1＜x2…（9分）若，即时x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0，所以x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1）=0，符合题意；…（10分）若，即a＞1时，，即0＜x1＜1＜x2由f（1）=0，函数f（x）在（x1，x2）单调递减，所以x∈（1，x2）时，f（x）＜f（1）=0不符合题意…（11分）综上所述，a的取值范围是（0，1]，所以a的最大值为1．…（12分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道综合题．。
2017-2018年广东省实验中学高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)
2017-2018学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将正确答案填写在答题纸相应位置）1．（5分）若集合M={y|y=3x}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[0，]B．（0，]C．（0，+∞）D．（﹣∞，]2．（5分）若函数f（x）对任意实数x满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x﹣5），则函数（）A．f（x﹣4）是奇函数B．f（x+1）是偶函数C．f（x﹣3）是奇函数D．f （x+2）是偶函数3．（5分）设f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数是（）A．（﹣∞，+∞）上的减函数B．（﹣∞，+∞）上的增函数C．（﹣1，1）上的减函数D．（﹣1，1）上的增函数4．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．5．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P36．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）等于（）A．B．C．D．7．（5分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定8．（5分）在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为（）A．1024 B．1324 C．1792 D．﹣10809．（5分）在如图所示的程序框图中，当输入实数x的值为4时，输出的结果为2；当输入实数x的值为﹣2时，输出的结果为4．若输出的结果为8，则输入的x的值为（）A．﹣3或256 B．3 C．256 D．16 或﹣310．（5分）小萌从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A．． B．．C．．D．．11．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π2有零点的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣12．（5分）对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g（x）=0}，使得|λ﹣μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点接近函数”，现已知函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点接近函数”，则实数a的取值范围（）A．[3，4]B．[1，3]C．[4，5]D．[1，2]二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填写在答题纸相应位置）13．（5分）设函数，则使得f（2x）＞f（x﹣1）成立的x 的取值范围．14．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为．15．（5分）相关变量x，y的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为=1.1x+a，则a=．16．（5分）设=．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸相应位置）17．（10分）（1）（2）证明：对一切n∈N*，都有2n+2×3n+5n﹣4能被25整除．18．（12分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生各项平均成绩（满分100分），按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），并得到频率分布直方图（如图，已知测试平均成绩在区间[30，60）有20人．（I）求m的值及中位数n；（Ⅱ）若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？19．（12分）有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生．（2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．20．（12分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；．（2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？（参考公式：b==，a=﹣b．．参考数值：=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．22．（12分）已知函数f（x）=6x﹣6x2，设函数g1（x）=f（x），g2（x）=f[g1（x）]，g3（x）=f[g2（x）]，…，g n（x）=f[g n﹣1（x）]，…（1）如果存在一个实数x0，满足g1（x0）=x0，假设n=k时，有g k（x0）=x0（n，k∈N*）成立，求证：n=k+1时，g n（x0）=x0也成立；（2）若实数x0满足g n（x0）=x0，（其中n∈N*）则称x0为稳定点，试求出所有稳定点；（3）设A=（﹣∞，0），对于x∈A，有g1（x）=f（x）=a＜0，g2（x）=f[g1（x）]=f （0）＜0，且n≥2时，g n（x）＜0．试问是否存在区间B（A∩B≠∅），对于区间内任意实数x，只要n≥2，n∈N*，都有g n（x）＜0．2017-2018学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将正确答案填写在答题纸相应位置）1．（5分）若集合M={y|y=3x}，N={x|y=}，则M∩N=（）A．[0，]B．（0，]C．（0，+∞）D．（﹣∞，]【解答】解：由M中y=3x＞0，得到M=（0，+∞），由N中y=，得到1﹣3x≥0，解得：x≤，即N=（﹣∞，），则M∩N=（0，]，故选：B．2．（5分）若函数f（x）对任意实数x满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x﹣5），则函数（）A．f（x﹣4）是奇函数B．f（x+1）是偶函数C．f（x﹣3）是奇函数D．f （x+2）是偶函数【解答】解：函数f（x）对任意实数x满足f（x﹣1）=﹣f（﹣x﹣5），将x换为x﹣2，可得f（x﹣3）=﹣f（﹣x﹣3），即f（﹣x﹣3）=﹣f（x﹣3），可得f（x﹣3）是奇函数．故选：C．3．（5分）设f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，则该函数是（）A．（﹣∞，+∞）上的减函数B．（﹣∞，+∞）上的增函数C．（﹣1，1）上的减函数D．（﹣1，1）上的增函数【解答】解：由于f（x）=lg（+a）是奇函数，且在x=0处有意义，故有f（0）=0，即lg（2+a）=0，解得a=﹣1．故f（x）=lg（﹣1）=lg（）．令＞0，求得﹣1＜x＜1，故函数f（x）的定义域为（﹣1，1）．再根据f（x）=lg（）=lg（﹣1﹣），函数t=﹣1﹣在（﹣1，1）上是增函数，可得函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数，故选：D．4．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，故选：A．5．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P 1=P2=P3．故选：D．6．（5分）掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现2点”，B表示“出现奇数点”则P（A∪B）等于（）A．B．C．D．【解答】解：由古典概型的概率公式得∵，事件A与B为互斥事件由互斥事件的概率和公式得故选：B．7．（5分）样本（x1，x2…，x n）的平均数为，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为（≠）．若样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（）A．n＜m B．n＞m C．n=m D．不能确定【解答】解：法一：不妨令n=4，m=6，设样本（x1，x2…，x n）的平均数为=6，样本（y1，y2，…，y m）的平均数为=4，所以样本（x1，x2…，x n，y1，y2，…，y m）的平均数=α+（1﹣α）=6α+（1﹣α）4=，解得α=0.4，满足题意．解法二：依题意nx+my=（m+n）[ax+（1﹣a）y]，∴n（x﹣y）=a（m+n）（x﹣y），x≠y，，∴a=∈（0，），m，n∈N+∴2n＜m+n，∴n＜m．故选：A．8．（5分）在（x﹣）8的二项展开式中，常数项为（）A．1024 B．1324 C．1792 D．﹣1080【解答】解：（x﹣）8的二项展开式的通项公式为T r=•x8﹣r•（﹣2）r•=+1（﹣2）r••，令8﹣r=0，解得r=6，故展开式中的常数项为1792，故选：C．9．（5分）在如图所示的程序框图中，当输入实数x的值为4时，输出的结果为2；当输入实数x的值为﹣2时，输出的结果为4．若输出的结果为8，则输入的x的值为（）A．﹣3或256 B．3 C．256 D．16 或﹣3【解答】解：当输入实数x的值为4时，输出的结果为2；∴f（x）=log a4=2，解得：a=2；当输入实数x的值为﹣2时，输出的结果为4．∴f（x）=b﹣2=4，解得：b=，∴f（x）=，∴当x＞0时，f（x）=log2x=8，解得x=256，当x≤0时，f（x）=（）x=8，解得x=﹣3，综上所述，输入的x的值为256或﹣3．故选：A．10．（5分）小萌从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是（）A．． B．．C．．D．．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是把5本书随机的摆到一个书架上，共有A55=120种结果，下分类研究同类书不相邻的排法种数假设第一本是语文书（或数学书），第二本是数学书（或语文书）则有4×2×2×2×1=32种可能；假设第一本是语文书（或数学书），第二本是物理书，则有4×1×2×1×1=8种可能；假设第一本是物理书，则有1×4×2×1×1=8种可能．根据分类计数原理可得同一科目的书都不相邻有32+8+8=48，∴同一科目的书都不相邻的概率P==，故选：C．11．（5分）在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f（x）=x2+2ax﹣b2+π2有零点的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．1﹣D．1﹣【解答】解：若使函数有零点，必须△=（2a）2﹣4（﹣b2+π2）≥0，即a2+b2≥π2．在坐标轴上将a，b的取值范围标出，有如图所示当a，b满足函数有零点时，坐标位于正方形内圆外的部分．于是概率为1﹣=1﹣．故选：B．12．（5分）对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g （x）=0}，使得|λ﹣μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点接近函数”，现已知函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点接近函数”，则实数a的取值范围（）A．[3，4]B．[1，3]C．[4，5]D．[1，2]【解答】解：函数f（x）=e x﹣2+x﹣3的零点为x=2，设函数g（x）=x2﹣ax﹣x+4的零点为β，若函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，根据零点关联函数，则|2﹣β|≤1，∴1≤β≤3，如图，由于g（x）=x2﹣ax﹣x+4必经过点A（0，4），故要使其零点在区间[1，3]上，则解得：3≤a≤4．故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将正确答案填写在答题纸相应位置）13．（5分）设函数，则使得f（2x）＞f（x﹣1）成立的x 的取值范围（﹣1，）．【解答】解：函数，它的定义域为R，∵f（﹣x）=f（x），∴函数f（x）为偶函数，当x＞0时，函数函数f（x）=﹣ln（1+x）单调递减，根据偶函数性质可知：得f（2x）＞f（x﹣1）成立，∴|2x|＜|x﹣1|，∴4x2＜（x﹣1）2，∴（3x﹣1）（x+1）＜0，∴x的范围为（﹣1，），故答案为：（﹣1，）．14．（5分）已知（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为512．【解答】解：∵（1+x）n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，∴=，∴n=10，则奇数项的二项式系数和为2n﹣1=29=512，故答案为：512．15．（5分）相关变量x，y的样本数据如表：经回归分析可得y与x线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为=1.1x+a，则a=0.6．【解答】解：样本平均数==3，=（2+2+3+5+6）=3.6，=﹣1.1=3.6﹣1.1×3=0.6故答案为：0.616．（5分）设=504．【解答】解：∵，∴=，则f（x）+f（1﹣x）==，故=×=504，故答案为：504．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将答案写在答题纸相应位置）17．（10分）（1）（2）证明：对一切n∈N*，都有2n+2×3n+5n﹣4能被25整除．【解答】证明：（1）设S n=C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n，①，则S n=nC n n+（n﹣1）C n n﹣1+（n﹣2）C n n﹣2+…+C n1，②，∴2S n=nC n1+nC n2+nC n3+…+nC n n=n×2n，∴S n=n×2n﹣1，∴C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n×2n﹣1，∴C n0+C n1+2C n2+3C n3+…+nC n n=n×2n﹣1+1；（2）①当n=1时，21+2•31+5×1﹣4=25，能被25整除，命题成立．②假设n=k（k∈N*）时，2k+2•3k+5k﹣4能被25整除．那么n=k+1时，原式=2k+3•3k+1+5（k+1）﹣4=6×2k+2•3k+5（k+1）﹣4=6[（2k+2•3k+5k﹣4）﹣5k+4]+5（k+1）﹣4=6（2k+2•3k+5k﹣4）﹣30k+24+5k+5﹣4=6（2k+2•3k+5k﹣4）﹣25（k﹣1）．∵6（2k+2•3k+5k﹣4）、﹣25（k﹣1）能被25整除，∴n=k+1时，命题成立．综上，2n+2•3n+5n﹣4（n∈N*）能被25整除．18．（12分）为了调查某校学生体质健康达标情况，现采用随机抽样的方法从该校抽取了m名学生进行体育测试．根据体育测试得到了这m名学生各项平均成绩（满分100分），按照以下区间分为七组：[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），并得到频率分布直方图（如图，已知测试平均成绩在区间[30，60）有20人．（I）求m的值及中位数n；（Ⅱ）若该校学生测试平均成绩小于n，则学校应适当增加体育活动时间．根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加体育活动时间？【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，第1组的频率为0.002×10=0.02，第2组的频率为0.002×10=0.02，第3组的频率为0.006×10=0.06，则m×（0.02+0.02+0.06）=20，解得m=200；由直方图可知，中位数n位于[70，80），则0.02+0.02+0.06+0.22+0.04（n﹣70）=0.5，解得n=74.5；…（4分）（Ⅱ）设第i组的频率和频数分别为p i和x i，由图知，p1=0.02，p2=0.02，p3=0.06，p4=0.22，p5=0.40，p6=0.18，p7=0.10，则由x i=200×p i，可得x1=4，x2=4，x3=12，x4=44，x5=80，x6=36，x7=20，…（8分）故该校学生测试平均成绩是==74＜74.5，…（11分）所以学校应该适当增加体育活动时间．…（12分）19．（12分）有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：（1）有女生但人数必须少于男生．（2）某女生一定要担任语文科代表．（3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表．（4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表．【解答】解：（1）先取后排，有种，后排有种，共有（）=5400种．…．（3分）（2）除去该女生后先取后排：=840种．…..（6分）（3）先取后排，但先安排该男生：=3360种．…..（9分）（4）先从除去该男生该女生的6人中选3人有种，再安排该男生有种，其余3人全排有种，共=360种．…（12分）20．（12分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；．（2）已知该厂技改前，100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？（参考公式：b==，a=﹣b．．参考数值：=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）【解答】解：（1）由题意知，=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+4+4.5）=3.5，=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，b===0.7，a=﹣b=3.5﹣0.7×4.5=0.35，∴要求的线性回归方程是y=0.7x+0.35；（2）利用回归方程，计算x=100时y=0.70×100+0.35=70.35，90﹣70.35=19.65，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．【解答】解：（I）从袋中随机抽取两个球，共有=6种情况，它们出现的机会均等．分别为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），其中取出的球的编号之和不大于4共有2种情况，即（1，2），（1，3），∴P（取出的球的编号之和不大于4）==．（II）先从袋中随机取一个球，放回袋中，再取出一个球，共有4×4=16中情况，它们出现的机会均等，其中n＜m+2的基本事件共有13个，分别是（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），∴P（n＜m+2）=．22．（12分）已知函数f（x）=6x﹣6x2，设函数g1（x）=f（x），g2（x）=f[g1（x）]，g3（x）=f[g2（x）]，…，g n（x）=f[g n﹣1（x）]，…（1）如果存在一个实数x0，满足g1（x0）=x0，假设n=k时，有g k（x0）=x0（n，k∈N*）成立，求证：n=k+1时，g n（x0）=x0也成立；（2）若实数x0满足g n（x0）=x0，（其中n∈N*）则称x0为稳定点，试求出所有稳定点；（3）设A=（﹣∞，0），对于x∈A，有g1（x）=f（x）=a＜0，g2（x）=f[g1（x）]=f （0）＜0，且n≥2时，g n（x）＜0．试问是否存在区间B（A∩B≠∅），对于区间内任意实数x，只要n≥2，n∈N*，都有g n（x）＜0．【解答】证明：（1）∵实数x0，满足g1（x0）=x0，则f（x0）=x0，又由n=k时，有g k（x0）=x0（n，k∈N*）成立，∴n=k+1时，g n（x0）=f（g k（x0））=f（x0）=x0也成立；（2）当n=1时，若实数x0满足g n（x0）=x0，即f（x0）=x0，即6x0﹣6x02=x0，解得：x0=0，或x0=，由（1）知：x0=0，或x0=时，g n（x0）=x0恒成立，即稳定点有两个0，或解：f（x）＜0，即6x2﹣6x＞0，故x＜0或x＞1．∴g n（x）＜0⇔f[g n﹣1（x）]＜0⇔g n﹣1（x）＜0或g n﹣1（x）＞1．要使一切n∈N+，n≥2，都有g n（x）＜0，必须使g1（x）＜0或g1（x）＞1，∴f（x）＜0或f（x）＞1，即6x﹣6x2＜0或6x﹣6x2＞1．解得x＜0或x＞1或＜x＜，∴还有区间（，）和（1，+∞）使得对于这些区间内任意实数x，只要n≥2，都有f n（x）＜0。
【20套试卷合集】广东省东莞市数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题1．设两个正态分布()()21,110N μσσ>和()()22,220N μσσ>的密度函数图象如图所示，则有（ ）A ．12μμ<，12σσ<B ．12μμ<，12σσ>C ．12μμ>，12σσ<D ．12μμ>，12σσ>2．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4），（13,5）；变量U 与V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2），（13,1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则（ ）A.210r r <<B.210r r <<C.210r r <<D.21r r =3．某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则（ ）A ．4=aB ．5=aC ．6=aD .7=a4．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1，2，3，……，960，分组后在第 一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中，编号落入区间[1， 450]的人做问卷 A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷 B ，其余的人做问卷 C .则抽到的人中，做问卷 B 的人数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．15111123411+++⋅⋅⋅+ 111124622+++⋅⋅⋅+111123410+++⋅⋅⋅+ 111124620+++⋅⋅⋅+6．从三元、光明、蒙牛三种品牌的牛奶包装袋中抽取一个样本进行质量检测，采取分层抽样的方法进行抽取，已知三元、光明、蒙牛三种品牌牛奶的总体数（袋数）是1000，2000，3000，若抽取的样本中，光明品牌的样本数是10，则样本中三元品牌和蒙牛品牌的样本之和是（ ） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 7．若样本数据1210,,,x x x 的标准差为2，则数据121021,21,,21x x x ---的标准差为（ ）A ．3B ．-3C ．4D ．-48．如图，在边长为3的正方形内有区域A （阴影部分所示），张明同学用随 机模拟的方法求区域A 的面积． 若每次在正方形内每次随机产生10000个点，并记录落在区域A 内的点的个数．经过多次试验，计算出落在区域A 内点的个数平均值为6600个，则区域A 的面积约为 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．89．执行如图所示的程序框图，如果输入3x =，则输出k 的值为（ ）A.6B.8C.10D.1210．已知回归直线的斜率的估计值为1．23,样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为（ ）A ．523.1ˆ+=x yB ．423.1ˆ+=x yC ．23.108.0ˆ+=x yD ．08.023.1ˆ+=x y 11．袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ） A ．15 B ．310 C ．35 D ．4512．一个物体的运动方程为21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒二、填空题13．将一颗骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ．14．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40,80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40,60)内的汽车有 辆.15．右边程序是求一个函数的函数值的程序：若执行此程序的结果为3，则输入的x 值为______16．在集合{1，2，3，4}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量),(b a m =从所得的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，则平行四边形的面积等于2的概率为_______． 三、解答题17．某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：（Ⅰ）能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．参考公式：22()K ()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++（2）若从5班、6班的调查中各随机选取2同学进行调查，调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，求随机ξ的分布列和数学的期望值．19．已知甲箱中装有3个红球、3个黑球，乙箱中装有2个红球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球. 若摸出4个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .20．现有编号分别为1,2,3,4,5的五道不同的政治题和编号分别为6,7,8,9的四道不同的历史题.甲同学从这九道题中一次性随机抽取两道题，每道题被抽到的概率是相等的，用符号（x ，y ）表示事件“抽到的两道题的编号分别为x ，y ，且x<y.”.(1)问有多少个基本事件，并列举出来；(2)求甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.21．某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x （°C ）与该奶茶店的这种饮料销量y （杯），得到如下数据：（1）若从这五组数据中随机抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；（2）请根据所给五组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+． （参考公式：()()()121ˆˆˆniii nii x x y y ba y bx x x ==--==--∑∑，．）22．随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率1P ； （2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为310，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率2P ；（3）该创业园区的A 团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在A 团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为3P ．试根据（1）、（2）中的1P 和2P 的值，写出1P ，2P ，3P 的大小关系（只写结果，不用说明理由）．参考答案ACACB BCBCD11．C 12．C 13．11214．80 15．4或－3 16．1317．（Ⅰ）有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关（Ⅱ）914（Ⅰ）根据题中的数据计算：22400(5017030150) 6.2580320200200k ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关 （Ⅱ）由已知得抽样比为818010=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为,,,,,1,2,3a b c d e ，选取2人共有{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},1a ，{},2a ，{},3a ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},1b ，{},2b ，{},3b ，{},c d ，{},c e ，{},1c ，{},2c ，{},3c ，{},d e ，{},1d ，{},2d ，{},3d ，{},1e ，{},2e ，{},3e ，{}1,2，{}1,3，{}2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个基本事件， 故所求概率为1892814P ==． 18．解析：（1）因为调查的50人中达到实际的水平有：36664328+++++=（人）， 所求的概率为280.5650P ==． （2）调查的4人中高考成绩没有达到实际水平的人数为ξ，则0,1,2,3ξ=当221122143243432222646417(0);(1)515C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 221112123243232222646431(2),(3)1030C C C C C C C p p C C C C ξξ+====== 所求的分布列为3153()0123515103030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=19．解析：（1）设“在1次摸奖中，获得二等奖”为事件A ，则2111123223322264C C C +C C C 7()C C 30P A ==⋅．（2）设“在1次摸奖中，获奖” 为事件B ，则获得一等奖的概率为223212264C C 1=C C 30P =⋅；获得三等奖的概率为221111323322322642C C +C C C C 7=C C 15P =⋅；所以17711()30301515P B =++=．由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2． 21116(0)(1)15225P X ==-=，12111188(1)C (1)1515225P X ==-=，211121(2)()15225P X ===． 所以X 的分布列是所以12122()01222522522515E X =⨯+⨯+⨯=． 20．解析：（1）共有36个基本事件.分别是（1,2）（1,3）（1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (3,8) (3,9) (4,5) (4,6) (4,7) (4,8) (4,9) (5,6) (5,7) (5,8) (5,9) (6,7) (6,8) (6,9) (7,8) (7,9) (8,9)（2）由题知满足1117x y ≤+<的共有以下15种情况： （2,9） （3,8） （3,9） （4,7） （4,8） （4,9） （5,6） （5,7） （5,8） （5,9） （6,7） （6,8） （6,9） （7,8） （7,9）∴甲同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率1553612P == 21．（1）解：设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A ．所有基本事件（m ，n ）（其中m ，n 为1月份的日期数）有：（11,12），（11,13），（11,14）， （11,15），（12,13），（12,14），（12,15），（13,14），（13,15），（14,15）共10种．事件A 包括的基本事件有（11,12），（12,13），（13,14），（14,15）共4种． ∴ 42()105P A ==． （2）解：由数据，求得91012118105x ++++==，2325302621255y ++++==．()()()()()()()()()()()()()()()2222291023251010252512103025111026258102125ˆ 2.1910101012101110810b --+--+--+--+--==-+-+-+-+-ˆˆ4ay bx =-=， ∴ y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.14yx =+． 22．（1）12；（2）0.4116；（3）132P P P >>． 解：（1）1337141012C C P C ⋅==， 所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为12；（2）1132437()()0.41161010P C =⋅=，所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为0.4116；（3）132P P P >>．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 2．本堂考试120分钟，满分150分3．答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答卷上， 4．考试结束后，将答题卷交回 一、选择题(每题5分，共60分)1．已知直线a 和两个平面α，β，给出下列四个命题：①若a ∥α，则α内的任何直线都与a 平行； ②若a ⊥α，则α内的任何直线都与a 垂直； ③若α∥β，则β内的任何直线都与α平行；④若α⊥β，则β内的任何直线都与α垂直．则其中________是真命题．A ．④②B ．①③C ．②③D ．①④2．已知,,αβγ是平面，,,l m n 是直线，则下列命题正确的是( )A ．若αβ⊥，βγ⊥则α∥γB ．若,m αβα⊥⊥，则m ∥βC ．若,l m l n ⊥⊥则m ∥nD ．若,l m αα⊥⊥则l ∥m3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为( )A ．12πB ．16πC ．32πD ．8π4．如图，已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形A 1B 1C 1D 1，且A 1B 1＝B 1C 1＝2A 1D 1＝2，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．3 B ．3 2C ．6 2D ．65．已知P 为三角形ABC 所在平面外一个点，O 为点P 在面ABC 上的射影，若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，O 为三角形ABC的( ) A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心6．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c ．则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．1122a b c -++B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+ 7．P 是两条异面直线,l m 外任意一点，则( ) A ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面8．已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1，1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－2，53)∪(53，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(53，＋∞)9．若二面角βα--l 为5π6，直线m α⊥，直线n β⊂，则，直线m ，n 所成角的取值范围是( ) A ．π(0,)2B ．ππ[,]62C ．ππ[,]32D ．ππ[,]6310．βα--l 为60，点,,l H l G ∈∈线段,,,,l FH l EG FH EG ⊥⊥⊂⊂βαHF GH EG ==，直线EF 与平面β所成角正弦值为( )A ．12B C D 11．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是( )A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC12．与正方体1111ABCD A B C D -的三条棱111,AB CC A D ，所在直线的距离相等的点A ．有且只有1个B ．有且只有2个C ．有且只有3个D ．有无数个二、填空题(每空4分，共16分)13．一个直角三角形的两条直角边长为2和4，沿斜边高线折成直三面角，则两直角边所夹角的余弦值为___________．14．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据(单位：cm )，可知几何体的体积是_________．15．四边形ABCD 为矩形，EF BC AB ,1,3==∥BC 且G EB AE ,2=为BC 的中点，K 为ADF ∆的外心．沿EF将矩形折成一个0120的二面角B EF A --，则此时KG 的长是___________________ 16．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，给出下列四个命题：①点P 在直线1BC 上运动时，三棱锥PC D A 1-的体积不变；②点P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③点P 在直线1BC 上运动时，二面角C AD P --1的大小不变；④点M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，则点M 的轨迹是过1D 点的直线．其中真命题的编号是______________．(写出所有真命题的编号) 三、解答题17．(12分) 3．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC ，点D 是棱11B C 的中点． (Ⅰ)求证：1A D ⊥平面11BB C C ； (Ⅱ)求证：1//AB 平面1A DC ；18．(12分)在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，a BC AB BC AD BAD ===∠,//,90 ，2,,AD a PA ABCD PD =⊥底面与底面成30°角．(1)若,AE PD E ⊥为垂足，求证：BE PD ⊥； (2)在(1)的条件下，求异面直线AE 与CD 所成角的正切值；19．(12分)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，在四边形ABFE ，//AB EF ，90EAB ∠=°，4,2AB AD AE EF ====，平面ABFE ⊥平面ABCD ．(1)求证：AF ⊥平面BCF ； (2)求点D 到平面BCF 的距离．20．(12分)在如图所示的一个几何体中，底面ABCD 是平行四边形，且AB ＝9，BC＝8，EF ∥平面ABCD ，且EF ＝3，EA ＝ED ＝FB ＝FC ＝13， (1)求异面直线AE 与CF 所成角的余弦值； (2)求二面角F －BC －A 的平面角的正切值；21．(12分)已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝∠BAD ＝2π，AB ＝BC ＝2AD ＝4，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，EF ∥BC ，AE ＝x ，G 是BC 的中点．沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF (如图) ． (1)当x ＝2时，求证：BD ⊥EG ；(2)若以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥的体积记为()f x ，求()f x 的最大值； (3)当()f x 取得最大值时，求二面角D －BF －C 的余弦值．FE DCB AGFDECBA22．在平面内，ABCD 是60BAD ∠=︒且AB a =的菱形，1ADD A ''和1CDD C '都是正方形．将两个正方形分别沿AD ，CD 折起，使D ''与D '重合于点D 1．设直线l 过点B 且垂直于菱形ABCD 所在的平面，点E 是直线l 上的一个动点，且与点D 1位于平面ABCD 同侧，设(0)BE t t => (1)设二面角E －AC －D1的大小为θ，若ππ32θ≤≤，求t 的取值范围； (2)在线段1D E 上是否存在点P ，使平面11//PAC 平面EAC ，若存在，求出P 分1D E 所成的比λ；若不存在，请说明理由．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一.选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共60分）. 1.命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ,则p ⌝是（ ）A ．2,11x x ∀∈+<R B ．2,11x x ∃∈+≤R C ．2,11x x ∃∈+<R D ．2,11x x ∃∈+≥R2.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（ ） A.110B.16C.15D.123. 已知yx 35+=2（x ＞0，y ＞0），则xy 的最小值是（ ） A.12 B.14 C.15 D.184．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n =( )A.6B.5C.5或6D.6或75.已知命题:p x R ∀∈，23xx<；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝6.不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．1x >7．已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )A.12B.11C.3D.－１8．下列命题错误．．的是 （ ） A ．命题“若p 则q”与命题“若p q ⌝⌝则,”互为逆否命题 B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ” C ．“0a b ⋅=”是“0a =或0b =”的必要不充分条件D ．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真9.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ） A ．2B ．3C ．4D ．510.已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）A. 9[,3)4B. 9(,3)4C. (2,3)D. (1,3)11．定义⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ),max(，已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥+2002y x y x }24,3max{y x y x z --=，则z 的取值范围是 （ ）A.[-10, 8]B.[2, 8]C.[-10, 6]D.[-16, 6]12．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（ ）A. B.3 C.2D. 二.填空题：请把答案填在答题卡的横线上（每小题5分，共20分）.13．等比数列{n a }中，2a ＝9，5a ＝243，则{n a }的前4项和为 14. 若a ＞0，b ＞0，且1=+b a 则ba 91+的最小值为 。
数学---广东省东莞市翰林实验学校2017-2018学年高一上学期期中考试试卷
广东省东莞市翰林实验学校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷一、选择题1. 已知集合，下列说法正确的是（）A. B. C. D.2. 已知集合，集合，，则（）A. B. C. D.3.已知函数，则（）A.0B.1C.D. 24. 已知集合，，，，则（）A. B. C. D.5. 设，，（）A. B. C. D.6. 下列各组函数表示相等函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. ，与，7. 下列函数中，即是偶函数，又在区间上单调递减的是（）A. B. C. D.8. 下列等式中，函数不满足的是（）A. B.C. D.9. 函数的图象过定点（）A. B. C. D.10. 已知函数（且），若，则函数的解析式为（）A. B. C. D.11. 将的图象关于直线对称后，再向右平行移动一个单位所得图象表示的函数的解析式是（）A. B.C. D.12. 下列几个命题：①函数是偶函数，但不是奇函数；②关于的方程的有一个正实根，一个负实根，则；③是定义在上的奇函数，当时，，则时，；④函数的值域是．其中正确的有（）A. ②④B. ①③④C. ①②④D. ①②③二、填空题13. 已知函数，则函数的定义域为．14. 函数是幂函数，且其图象过原点，则．15. 函数的单调递增区间是．f x的值域是．16. 已知函数，则()三、解答题17. （1）计算：；（2）已知，求．18. 设函数（，为实数），（1）若且对任意实数均有成立，求表达式；（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数k 的取值范围；19. 已知函数（且，）．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性；（3）讨论在上的单调性．20. 设函数，且，函数．（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有两个不同的解，求实数b的取值范围．21. 设，．（1）用区间表示A；（2）若，求实数的取值范围．22.已知是定义在上的奇函数．当，且时，有成立．（1）判断函数的单调性，并证明；（2）若，且对所有，恒成立，求实数的取值范围．【参考答案】一、选择题1. B2. D3. C4. B5. D6. C7. B8. B9. D10. C 11. B 12. A二、填空题13.14.15. 和16.三、解答题17.解：（1）（2）所以．18. 解：（1）因为，所以，由恒成立，知所以，从而，所以（2）由（1）可知，所以由于在上是单调函数，知或，得19. 解：（1），即，而，得即的定义域为．（2）的定义域，关于原点对称，所以即，得为奇函数．（3），令在上是减函数，所以当时，在上是减函数，当时，在上是增函数．20. 解：（1）因为，且，所以．因为，所以．（2）法一：方程为，令，，则且方程为在有两个不同的解．设两函数图象在内有两个交点．由图知时，方程有两不同解．法二：方程为，令，，则所以方程在上有两个不同的解．设，，所以所以．21. 解：（1）（2）设，若，则若，则综上所述，．22. 解：（1）设，且，在中，令，，有，因为，所以．又因为是奇函数，所以，所以，所以，即．故在上为增函数．（2）因为且上为增函数，对，有．由题意，对所有的，有恒成立，所以记，对所有的，成立．只需在上的最小值不小于零．若时，是减函数，故在上，时有最小值，且若时，，这时满足题设，故适合题意；若时，是增函数，故在上，时有最小值，且综上可知，符合条件的的取值范围是：．。
广东省东莞市翰林实验学校2018届高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含答案
翰林学校2018届高三期中考试高三文科数学期中考试试题注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用黑色字迹的钢笔或签字笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}11,R x x x A =-≤∈，{}2,x B =≤∈Z ，则A B = （ ）A ． ()0,2B ．[]0,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2 2.已知复数z 满足()()211i z i +=-，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-3.21==，且)(-⊥，则向量,的夹角为( )A. 45°B. 60°C. 120°D.135°4. 某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，样本中A 型号产品有15件，那么样本容量n 为( ) A ．50B ．60C ．70D ．805.设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,则2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．126.从六个数9,7,6,4,3,1中任取4个数，则这四个数的平均数是5的概率为( ) A ．120 B ．115 C ．15 D ．167.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．2，3B．2，4 C.0，4 D. 0，38. 2x <是2320x x -+<成立的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()f x 的递增区间为（ ）A ．52,21212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z B ．5,1212k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈ZC ．52,266k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z D ．5,66k πππ⎛⎫-++ ⎝，k ∈Z10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．67 B ．37 C ．35 D ．6511.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1212.已知函数()()22,191,1x x f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩，若函数()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．4,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．()4,0,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．()4,0,23⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13.已知点)4,3(P 在角θ的终边上，则=+++)22sin()22sin(πθπθ____________.14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≥+-0,002053y x y x y x ，则目标函数yx z 22+-=的最小值为____________.15.已知菱形ABCD 的边长为3，且060=∠BAD ，将ABD ∆沿BD 折起，使C A 、两点间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为_____________.16.设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若ABC ∆的面积为2，AB 边上的中线长为2，且A c C a b sin cos +=，则边=a ___________.三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分) 在锐角ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边,且A c a sin 23=．(1)试求角C 的大小； (2)若7=c ,且ABC ∆的面积为233,求b a +的值.18．（本小题满分12分）已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+=π．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（（2）求函数)(x f 在],0[π∈x 上的单调递增区间；19（本小题满分12分）2015年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行调查，将他们在某段高速公路的车速（km/h ）分成六段：)65,60[，)70,65[，)75,70[，)80,75[，)85,80[，]90,85[后得到如图的频率分布直方图．（1）求这错误！未找到引用源。
【精】广东省东莞市南开实验学校高二上学期期中数学试卷和解析(文科)
2018-2019学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y﹣1=0的同一侧的是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，3）D．（2，﹣3）3．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．4．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．645．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A+C=2B．若a=1，b=，则c 等于（）A．B．2 C．D．6．（5分）不等式﹣2x2+x+1＜0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）7．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosB=sinAsinB，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形8．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．29．（5分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，7]B．（﹣∞，]∪[7，+∞）C．（﹣∞，4]∪[7，+∞）D．（4，7] 11．（5分）已知数列{a n}中，a1=，（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．12．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=，若{}等差数列，则数列{a n}的第10项为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．（5分）已知条件p：x＞a，条件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是．14．（5分）当x＞1时，函数y=x+的最小值为．15．（5分）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则=．三、解答题：本大题共6个小题；共70分．17．（11分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（1）求△ABC的周长；（2）求sin（A﹣C）的值．18．（11分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N（0，﹣）．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆上的点到点（0，2）距离的最大值，并求出该点的坐标．20．（12分）已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1（1）求角A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．21．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．22．（12分）正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．2018-2019学年广东省东莞市南开实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．1．（5分）“x=30°”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：因为“x=30°”⇒“”正确，但是解得x=k•360°+30°或x=k•360°+150°，k∈Z，所以后者推不出前者，所以“x=30°”是“”的充分而不必要条件．故选：A．2．（5分）下列各点中，与点（1，2）位于直线x+y﹣1=0的同一侧的是（）A．（0，0） B．（﹣1，1）C．（﹣1，3）D．（2，﹣3）【解答】解：当x=1，y=2时，x+y﹣1=1+2﹣1=2＞0，即点（1，2）位于不等式x+y﹣1＞0对应的平面区域，则当x=﹣1，y=3时，x+y﹣1=﹣1+3﹣1=1＞0，满足条件．故选：C．3．（5分）已知椭圆的一个焦点为F（0，1），离心率，则该椭圆的标准程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，椭圆的焦点在y轴上，且c=1，e==，故a=2，b=，则椭圆的标准方程为，故选：A．4．（5分）等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（）A．15 B．30 C．31 D．64【解答】解：方法一：设公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣，d=．故a12 =a1+11d=﹣+=15，方法二：∵数列{a n}是等差数列，∴a p+a q=a m+a n，即p+q=m+n∵a7+a9=a4+a12∴a12=15故选：A．5．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A+C=2B．若a=1，b=，则c 等于（）A．B．2 C．D．【解答】解：∵A+C=2B，A+B+C=π，∴B=，即cosB=，又a=1，b=，∴由余弦定理得：3=1+c2﹣c，解得：c=2或c=﹣1（舍去），则c的值为2．故选：B．6．（5分）不等式﹣2x2+x+1＜0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【解答】解：不等式﹣2x2+x+1＜0可化为2x2﹣x﹣1＞0，即（2x+1）（x﹣1）＞0，该不等式对应方程的两根为﹣和1，所以该不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）．故选：D．7．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosAcosB=sinAsinB，则△ABC为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【解答】解：∵依题意可知cosAcosB﹣sinAsinB=cos（A+B）=0，∴﹣cosC=O，cosC=O，∴C为直角．故选：A．8．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选：B．9．（5分）给出如下四个命题：①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；②命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1≤1；④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．其中不正确的命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：①若“p且q”为假命题，则p、q中有一个为假命题，不一定p、q均为假命题；故错；②根据命题写出其否命题时，只须对条件与结论都要否定即得，故命题“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；正确；③根据由一个命题的否定的定义可知：改变相应的量词，然后否定结论：“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1；故错；④在△ABC中，根据大边对大角及正弦定理即可得：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．故正确．其中不正确的命题的个数是：2．故选：C．10．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A．[，7]B．（﹣∞，]∪[7，+∞）C．（﹣∞，4]∪[7，+∞）D．（4，7]【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：设z==+1，设k=，则z=k+1，k的几何意义为区域内的点P到原点O的直线的斜率，由图象可知当直线过B点时对应的斜率最小，当直线经过点A时的斜率最大，由，解得，即A（1，6），此时OA的斜率k=6，即+1的最大值为6+1=7．由，解得，即B（，），此时OB的斜率k==，+1的最小值为+1=．故≤z≤7，故选：A．11．（5分）已知数列{a n}中，a1=，（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，∵∴∴叠加得：∵a1=，∴故选：B．12．（5分）在数列{a n}中，a1=1，a2=，若{}等差数列，则数列{a n}的第10项为（）A．B．C．D．【解答】解：∵a1=1，a2=，且{}等差数列，则等差数列{}的首项为1，公差为，∴，则．∴．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题；每小题5分，共20分．13．（5分）已知条件p：x＞a，条件q：x2+x﹣2＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：不等式x2+x﹣2＞0可化为（x﹣1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞1，∵p是q的充分不必要条件，∴{x|x＞a}是{x|x＜﹣2或x＞1}的真子集，∴a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）故答案为：[1，+∞）14．（5分）当x＞1时，函数y=x+的最小值为3．【解答】解：∵x＞1，∴==3，当且仅当x=2时取等号．故答案为：3．15．（5分）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有13项．【解答】解：由题意可知：a1+a2+a3+a n﹣2+a n﹣1+a n=3（a1+a n）=180，∴s=×n=30n=390，∴n=13．故答案为13．16．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB﹣bcosA=c，则= 4．【解答】解：由acosB﹣bcosA=c及正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，即sinAcosB﹣sinBcosA=sin（A+B），即5（sinAcosB﹣sinBcosA）=3（sinAcosB+sinBcosA），即sinAcosB=4sinBcosA，因此tanA=4tanB，所以=4．故答案为：4．三、解答题：本大题共6个小题；共70分．17．（11分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（1）求△ABC的周长；（2）求sin（A﹣C）的值．【解答】解：（1）△ABC中，已知a=1，b=2，cosC=，∴c===2，故△ABC的周长为a+b+c=5．（2）∵b=c，∴B=C，∴cosB=cosC=，∴sinB=sinC=，∴cosA=﹣cos（B+C）=﹣cosBcosC+sinBsinC=﹣+=，∴sinA==，∴sin（A﹣C）=sinAcosC﹣cosAsinC=﹣=﹣．18．（11分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=2，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a1，a3，a7成等比数列．∴a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），化简得d=a1，d=0（舍去）．∴S3=3a1+=a1=9，得a1=2，d=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即a n=n+1．（2）∵b n=2a n=2n+1，∴b1=4，．∴{b n}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴T n==2n+2﹣4．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，且椭圆经过点N（0，﹣）．（1）求椭圆C的方程；（2）求椭圆上的点到点（0，2）距离的最大值，并求出该点的坐标．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点N（0，﹣）．故b=，即b2=3，又∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率e=，∴c=a，则b2=a2﹣c2=a2=3，∴a2=4，故椭圆的标准方程为：，（2）由已知可得椭圆的参数方程为：，则椭圆上的点到点（0，2）距离d==，当sinθ=﹣1，cosθ=0时，d取最大值2+，此时动点的坐标为（0，﹣）20．（12分）已知函数，其中，，在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（A）=1（1）求角A；（2）若，b+c=3，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，，，∴f（x）=cos2x+=2sin（2x+）∵f（A）=1，∴2sin（2A+）=1，∵＜2A+＜，∴2A+=，∴A=；（2）由余弦定理知cosA==∵，∴b2+c2﹣bc=3∵b+c=3∴bc=2∴=．21．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R；若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．【解答】解：∵方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，∴，∴m＞2或m＜﹣2又∵不等式4x2+4（m﹣2）x+1＞0的解集为R，∴，∴1＜m＜3∵p或q为真，p且q为假，∴p与q为一真一假，（1）当p为真q为假时，，解得m＜﹣2或m≥3．（2）当p为假q为真时，综上所述得：m的取值范围是m＜﹣2或m≥3或1＜m≤2．22．（12分）正项数列{a n}的前n项和S n满足：S n2﹣（n2+n﹣1）S n﹣（n2+n）=0（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】（1）解：由，得．∵{a n}是正项数列，∴．∴a1=S1=2，n≥2时，．综上，数列{a n}的通项a n=2n．（2）∵b n=，∴，∴，①=，②①﹣②，得：=2（）﹣=2×﹣=1﹣﹣，∴．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
【精品】2017-2018学年广东省东莞市翰林实验学校高一(上)期中数学试卷
域及对应法则是否都相同，从而判断出两函数是否为相等函数．
【解答】解：A．y=x 的定义域为 R，
的定义域为 [ 0，+∞），定义域不同，
不是相等函数； B．y=x 与 y=| x| 的对应法则不同，不是相等函数； C．y=x2﹣1 与 y=t2﹣1 的定义域及对应法则都相同， 是相等函数， 即该选项正确； D．这两函数的对应法则不同，不是相等函数． 故选： C． 【点评】 考查函数的三要素：定义域，值域，和对应法则，而根据定义域和对应 法则即可判断两函数是否相等．
（）
A．y=﹣| x|
B．
﹣
y=x
1
C．y=x2 D．
8．（5 分）下列四个等式中，函数 f（ x） =3x 不满足的是（
）
A．f （x+1）=3f（x） B．f（ x+y）=f（x）+f（ y） C．f （x+y）=f（x）?f（ y）
D．
9．（5 分）函数 y=loga（x﹣2）+1 的图象过定点（
故选： D．
【点评】 本题考查对数函数的图象的特点， 考查方程思想和运算能力， 属于基础
题．
10．（ 5 分）已知函数 f（ x）=ax（a＞0 且 a≠1），若 f （1）=2，则函数 f（x）的
解析式为（
）
A．f （x）=4x B．f （x）=2x C．
D．
【分析】 根据条件，利用待定系数法即可求出函数的解析式． 【解答】 解：∵ f（x）=ax（a＞0，a≠1），f （1）=2， ∴ f（1）=a1=2， 即 a=2， ∴函数 f（x）的解析式是 f（ x） =2x， 故选： B． 【点评】本题主要考查指数函数解析式的求法， 利用待定系数法是解决本题的关 键，比较基础．
2017-2018学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷及答案(文科)
2017-2018学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。
在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
）1．（5分）若复数z＝i•（1+2i）（i为虚数单位），则|z|的值为（）A．1B．C．2D．52．（5分）数列1，4，10，19，x，46，…中的x的值为（）A．26B．27C．31D．323．（5分）若双曲线mx2﹣y2＝1（m＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．4．（5分）已知x和y之间的一组数据如下：根据最小乘法原理得到y与x的线性回归直线＝x+必过点（）A．（2，2）B．（）C．（1，2）D．（）5．（5分）已知△ABC中∠A＝45°，∠B＝75°，AB＝2，则边BC的长为（）A．B．C．D．6．（5分）设实数a＝，b＝﹣1，c＝，则（）A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜a＜c7．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n满足S3＝9，且a1•a5＝6a3﹣9，则数列{a n}的公比q的值为（）A．B．1C．D．1或8．（5分）如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为12，14，则输出的a为（）A．0B．2C．4D．149．（5分）直线l：y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A、B两点，若线段AB的中点横坐标为3，则|AB|的值为（）A．8B．8C．6D．610．（5分）若等差数列{a n}的前n项和S n＝An2+Bn（A＜0），且S n≤S8，S9＜S7，则使An+B ＞0成立的最大正整数n的值为（）A．13B．14C．15D．14或15 11．（5分）若关于x，y的不等式组表示的区域为三角形，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（1，+∞）12．（5分）若函数f（x）＝x2+（1﹣a﹣lnx）x+b（a，b∈R）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列说法错误的是（）A．a＞1+ln2B．x1+x2＞1C．x1•x2D．f′（x）在（0，+∞）上有极小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【精品】2018最新学年广东省东莞市三校联考高二上学期期中数学试卷和解析
2018学年广东省东莞市三校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确选项涂在答题卡相应位置）1．（5分）数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A．a n=n2﹣（n﹣1）B．a n=n2﹣1 C．a n=D．2．（5分）若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）①a+b＜ab②|a|＞|b|③a＜b④+＞2．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（5分）已知△ABC中，a=4，b=4，∠A=30°，则∠B等于（）A．60°或120°B．30°或150°C．60°D．30°4．（5分）在等比数列{a n}中，a1=﹣16，a4=8，则a7=（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2 D．±25．（5分）已知x＞，则函数y=4x+取最小值为（）A．﹣3 B．2 C．5 D．76．（5分）等差数列{a n}中，已知前15项的和S15=90，则a8等于（）A．B．12 C．6 D．7．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°则△ABC的面积等于（）A．B．或C．D．或8．（5分）已知a n是由正数组成的等比数列，S n表示a n的前n项的和．若a1=3，a2a4=144，则S10的值是（）A．511 B．1023 C．1533 D．30699．（5分）某观察站C与两灯塔A、B的距离分别为300米和500米，测得灯塔A在观察站C北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东30°处，则两灯塔A、B间的距离为（）A．400米B．500米C．700米D．800米10．（5分）规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b=+a+b（a，b为正实数或0），若1⊙k2＜3，则k的取值范围为（）A．﹣1＜k＜1 B．0＜k＜1 C．﹣1＜k＜0 D．0＜k＜2二、填空题：（每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应的空格内）11．（5分）已知等差数列{a n}中，a7+a9=16，a4=1，则a12的值是．12．（5分）已知实数x，y满足，则y﹣2x的最大值是．13．（5分）已知△ABC的三边分别是a、b、c，且面积S=，则角C=．14．（5分）已知数列{a n}，其前n项和S n=n2+n+1，则a8+a9+a10+a11+a12=．三、解答题：（本大题共6个小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对边的边长分别是a，b，c，若a，b，c满足a2+c2﹣b2=ac．（1）求角B；（2）若b=2，∠A=105°，求c边长．16．（12分）设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=4，．（Ⅰ）求首项a1和公比q的值；（Ⅱ）若，求n的值．17．（14分）（1）已知集合A={x|x2﹣x﹣6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）已知f（x）=﹣3x2+a（6﹣a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，3）时，求实数a，b的值．18．（14分）已知A、B、C为△ABC的三个内角，他们的对边分别为a、b、c，且．（1）求A；（2）若，求bc的值，并求△ABC的面积．19．（14分）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公。
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第1页（共17页） 2017-2018学年广东省东莞市翰林实验学校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）若a＞b，ab≠0，则不等式恒成立的是（ ） A．lg（a﹣b）＞0 B． C．2a＞2b D．
2．（5分）不等式≥0的解集为（ ） A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） 3．（5分）在等比数列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（ ） A．135 B．100 C．95 D．80 4．（5分）若a＞0，b＞0且直线ax+by﹣2=0过点P（2，1），则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．6 5．（5分）原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（ ） A．0≤a≤1 B．0＜a＜1 C．a=0或a=1 D．a＜0或a＞1 6．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（ ） A．894升 B．1170升 C．1275米 D．1467米 7．（5分）△ABC中，若lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg且，则△ABC的形状 第2页（共17页）
是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 8．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ） A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2} 9．（5分）定义为n个正数p1，p2，…，pn的“均倒数”．若已知正
数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn=，则+++…+=（ ） A． B． C． D． 10．（5分）在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（ ） A． B．5 C．5 D．6 11．（5分）已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（ ） A．4 B．3 C．2﹣2 D．2 12．（5分）设u（n）表示正整数n的个位数，例如u（23）=3．若an=u（n2）﹣u（n），则数列{an}的前2015项的和等于 （ ） A．0 B．2 C．8 D．10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则B= ． 14．（5分）在等差数列{an}中，a3+a7=37，则a2+a4+a6+a8= ． 第3页（共17页）
15．（5分）已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为 ． 16．（5分）若关于x的不等式a≤x2﹣3x+4≤b的解集恰好为[a，b]，那么b﹣a= ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足． （Ⅰ）求角B的大小； （Ⅱ）若a+c=5，且b=，求△ABC的面积． 18．（12分）某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 资金 单位产品所需资金（百元） 月资金供应量（百元） 空调机 洗衣机
成本 30 20 300 劳动力（工资） 5 10 110
单位利润 6 8 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 19．（12分）设等差数列{an}满足a2=9，且a1，a5是方程x2﹣16x+60=0的两根． （1）求{an}的通项公式； （2）求数列{|an|}的前n项和Tn． 20．（12分）解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）． 第4页（共17页）
21．（12分）如图，旅客从某旅游区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟，在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长1260米，经测量，cosA=，
cosC=． （1）求索道AB的长； （2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
22．（12分）已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27． （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn，n∈N*，求Tn． 第5页（共17页）
2017-2018学年广东省东莞市翰林实验学校高二（上）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑． 1．（5分）若a＞b，ab≠0，则不等式恒成立的是（ ） A．lg（a﹣b）＞0 B． C．2a＞2b D． 【解答】解：A.0＜a﹣b≤1时，不成立； B．取b＜0时不成立； C．利用指数函数y=2x的单调性可知成立． D．取a=﹣1，b=﹣2时不成立． 故选：C．
2．（5分）不等式≥0的解集为（ ） A．[﹣2，1] B．（﹣2，1] C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2]∪（1，+∞） 【解答】解：不等式≥0 ⇔（x﹣1）（2+x）≤0且x≠﹣2 ⇔﹣2≤x≤1且x≠﹣2⇔﹣2＜x≤1． 即不等式的解集为：（﹣2，1]． 故选：B．
3．（5分）在等比数列{an}中，如果a1+a2=40，a3+a4=60，那么a7+a8等于（ ） A．135 B．100 C．95 D．80 【解答】解：利用等比数列{an}的性质有S2，S4﹣S2，S6﹣S4，S8﹣S6成等比数列， ∴S2=40，S4﹣S2=a3+a4=60，则S6﹣S4=90，S8﹣S6=135 第6页（共17页）
故a7+a8=S8﹣S6=135． 故选：A．
4．（5分）若a＞0，b＞0且直线ax+by﹣2=0过点P（2，1），则的最小值为（ ） A． B．4 C． D．6 【解答】解：由已知直线ax+by﹣2=0过点P（2，1），得到2a+b=2，a＞0，b＞0， 所以（）（a+）=2+≥2+2=4，当且仅当b=2a时，等号成
立； 故选：B．
5．（5分）原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0的两侧，则实数a的取值范围是（ ） A．0≤a≤1 B．0＜a＜1 C．a=0或a=1 D．a＜0或a＞1 【解答】解：∵原点和点（2，﹣1）在直线x+y﹣a=0两侧， ∴（0+0﹣a）（2﹣1﹣a）＜0， 即a（a﹣1）＜0， 解得0＜a＜1， 故选：B．
6．（5分）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（ ） A．894升 B．1170升 C．1275米 D．1467米 第7页（共17页）
【解答】解：∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人， ∴第5天派出：64+4×7=92人， ∴前5天共派出=390（人）， ∴前5天应发大米：390×3=1170（升）． 故选：B．
7．（5分）△ABC中，若lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg且，则△ABC的形状是（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形 【解答】解：∵lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg， ∴，． ∵，∴． ∴， ∴sinC=sinA==， 化为cosC=0， ∵C∈（0，π），．
∴A=π﹣B﹣C=． ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：C．
8．（5分）已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（ ） A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}