八年级数学勾股定理的应用测试题1
勾股定理中的常考问题(6种类型48道)—2024学年八年级数学上册(解析版)
勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。
初二数学 勾股定理的应用试题
初二数学勾股定理的应用试题1.（2014•中山模拟）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.9米，则梯子顶端A下落了（）A．0.9米B．1.3米C．1.5米D．2米【答案】B【解析】要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得AC和CE的长即可．解：在Rt△ACB中，AC2=AB2﹣BC2=2.52﹣1.52=4，∴AC=2，∵BD=0.9，∴CD=2.4．在Rt△ECD中，EC2=ED2﹣CD2=2.52﹣2.42=0.49，∴EC=0.7，∴AE=AC﹣EC=2﹣0.7=1.3．故选B．点评：考查了勾股定理的应用，解答中此题中梯子的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解答题目的关键．2.（2014•北塘区二模）有甲、乙两块铁板（厚度忽略不计），甲的形状为直角梯形，两底边长分别为4cm，10cm，且有一内角为60°；乙的形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长12cm．在不改变形状的前提下，试图分别把它们从一个直径为8.7cm的圆洞中穿过，结果是（）A．甲板能穿过，乙板不能穿过B．甲板不能穿过，乙板能穿过C．甲、乙两板都能穿过D．甲、乙两板都不能穿过【答案】C【解析】铁板是否可以从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，即求直角梯形的最大宽度h与8.5的大小关系：若h＜8.7，可以穿过，h＞8.7，不能穿过．由于铁板可以任意翻转，故要按照所沿方向的不同进行讨论．再利用已知求出它们可通过的最短长度即为一腰的高线，比它小可通过，比它大就不能通过．解：如图1，AD=4cm，BC=10cm，∠C=60°．①作DE⊥BC于E，则BE=4，EC=6，由∠C=60°知CD=2EC=12，故DE==，由DE＞8.7，BC＞8.7，故这两个方向都不能穿过圆洞．②作BF⊥CD于F，有CF=BC=5，得BF==5＜8.7，故沿CD方向可以通过圆洞．综上所述，甲板能穿过一个直径为8.7cm的圆洞；乙钢板零件：如图2，∵甲形状为等腰三角形，其顶角为45°，腰长为12cm；∴可求出可通过的最短长度即一腰的高线，设AD=x，则有sin45°=，解得x=6＜8.7，∴乙钢板零件能通过圆形入口．故选C．点评：本题主要考查等腰三角形的性质及解直角三角形的应用，解题的关键是运用合适的锐角三角函数解决问题．3.（2014•平谷区一模）在某次活动课中，甲、乙两个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：如图1，甲组测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．如图2，乙组测得学校旗杆的影长为900cm．则旗杆的长为（）A．900cm B．1000cm C．1100cm D．1200cm【答案】D【解析】根据同一时刻物高与影长成正比即可求出旗杆的高度；解：∵同一时刻物高与影长成正比，∴=，解得旗杆的高度=1200cm；故选D．点评：本题考查了把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，体现了转化的思想．此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析题意．4.（2014•石家庄二模）如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm【答案】D【解析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形ACBD，则从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线AB的长．∵圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，∴AB2=302+402=900+1600=2500，∴AB=50（cm）．故选D．点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．5.（2013•鄂州）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE 中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．解：作点A关于直线a的对称点A′，并延长AA′，过点B作BE⊥AA′于点E，连接A′B交直线b 于点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B，过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，在Rt△AEB中，BE==，在Rt△A′EB中，A′B==8．故选：B．点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．6.（2013•余姚市模拟）已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD﹣EFGH，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且FP=2PB，GQ=QC，若将这个正方体纸盒沿折线AP﹣PQ﹣QH裁剪并展开，得到的平面图形是（）A．一个六边形B．一个平行四边形C．两个直角三角形D．一个直角三角形和一个直角梯形【答案】B【解析】四个侧面除AEDH没有剪开，其它三个面都剪开，将剪开图形展开即可判断．解：依题意可知，BP=BF=DH，CQ=CG=DH，又∵PB∥CQ∥DH，∴△APB∽△AQC∽△AHD，∴A、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）故选：B．点评：本题考查了几何体的展开图．明确只有侧面的四个面，画出展开图．7.（2013•镇江模拟）已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径为2，一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短距离为（）A．8B．4πC．8D．8【答案】C【解析】要求小虫所走的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．解：如图，将圆锥沿它的一条母线OA剪开，得到扇形，则小虫所走的最短路线的长是圆锥的侧面展开图中扇形的弧所对的弦长，即为线段AA′的长度．根据题意可得出：2πr=，则2×π×2=，解得：n=90，在△AOA′中，OA=OA′=8，∠AOA′=90°，由勾股定理，得AA′==8．故选C．点评：此题主要考查了利用平面展开图求最短路径问题以及弧长的计算，根据圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8.（2012•黄冈模拟）将边长分别为3cm，3cm，2cm的等腰三角形从一个圆钢圈中穿过，那么这个圆钢圈的最小直径是（）cm．A．2B．2C．3D．【答案】D【解析】由题意可知当直径最小时，腰上的高即为直径，根据勾股定理计算再选择正确的选项即可．解：可知当直径最小时，腰上的高即为直径，而底边上的高为=2，所以腰上的高为：=，即最小直径为．故选D．点评：本题考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的性质，题目比较简单．9.（2012•平谷区二模）如图是一个长方体，AB=3，BC=5，AF=6，要在长方体上系一根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，当所用绳子的长最短时，AP的长为（）A．10B．C．8D．【答案】D【解析】将长方体右侧的面展开，与上面的面在同一个平面内，如图所示，连接AG，此时所用的绳子最短，由正方体的中平行的棱长相等，得到DC=AB=EG=3，AD=BC=5，DE=AF=6，由EG与AD平行，得到两对内错角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形EPG 与三角形APD相似，由相似得比例，将EG，AD的长代入求出EP的长，进而求出PD的，在直角三角形APD中，由AD与PD的长，利用勾股定理即可求出AP的长．解：将长方体右侧的面展开，与上面的面在同一个平面内，连接AG，与ED交于P点，此时绳子的长最短，如图所示：可得出：DC=AB=EG=3，AD=BC=5，DE=AF=6，∵EG∥AD，∴∠EGP=∠DAP，∠PEG=∠PDA，∴△EPG∽△DPA，∴==，即=，解得：EP=，∴PD=ED﹣EP=6﹣=，在Rt△APD中，PD=，AD=5，根据勾股定理得：AP==．故选D点评：此题考查了平面展开﹣最短路径问题，涉及的知识有：平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用了转化及数形结合的思想，立体图形的最短路径问题常常转化为平面图形，利用两点之间线段最短来解决．10.（2011•台湾）已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A．100B．180C．220D．260【答案】C【解析】根据题意，画出图形，先设AE的长是x公尺，如图可得，BC=160公尺，AB=340公尺，利用勾股定理，可解答．解：设阿虎向西直走了x公尺，如图，由题意可得，AB=340，AC=x+80，BC=160，利用勾股定理得，（x+80）2+1602=3402，整理得，x2+160x﹣83600=0，x 1=220，x2=﹣380（舍去），∴阿虎向西直走了220公尺．故选C．点评：本题考查了勾股定理的应用，解答关键是根据题意画出图形，运用数形结合的思想，可直观解答．。
八年级初二数学勾股定理测试试题含答案
八年级初二数学勾股定理测试试题含答案一、选择题1．如图，等边ABC ∆的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ∆沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ∆外部，则阴影部分图形的周长为（ ）A ．1cmB ．1.5cmC ．2cmD ．3cm 2．如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值 （ ）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm3．如图，□ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC 沿AC 所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为（ ）A ．1B 2C ．32D 34．如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB 30=a 上找一点M ，在直线b 上找一点N ，满足MN ⊥a 且AM +MN +NB 的长度和最短，则此时AM +NB ＝（ ）A．6 B．8 C．10 D．125．圆柱形杯子的高为18cm，底面周长为24cm，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿2cm）发现一滴蜂蜜在杯子内（距杯子下沿4cm），则蚂蚁从A处爬到B处的最短距离为（）A．813B．28 C．20 D．1226．在平面直角坐标系内的机器人接受指令“[α，A]”(α≥0，0°＜A＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向正前方沿直线行走α.若机器人的位置在原点，正前方为y轴的负半轴，则它完成一次指令[4，30°]后位置的坐标为( )A．(－2，23)B．(－2，－23)C．(－2，－2)D．(－2，2)7．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30,40,60B．7,12,13C．6,8,10D．3,4,68．下列命题中，是假命题的是( )A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形9．如图，已知AB是线段MN上的两点，MN＝12，MA＝3，MB＞3，以A为中心顺时针旋转点M，以点B为中心顺时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC，当△ABC为直角三角形时AB的长是（）A．3 B．5 C．4或5 D．3或5110．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是()A．5 B．4 C34D．434二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAA 1的直角边OA 在x 轴上，点A 1在第一象限，且OA=1，以点A 1为直角顶点，OA 1为一直角边作等腰直角三角形OA 1A 2，再以点A 2为直角顶点，OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3…依此规律，则点A 2018的坐标是_____．12．如图是由边长为1的小正方形组成的网格图，线段AB ，BC ，BD ，DE 的端点均在格点上，线段AB 和DE 交于点F ，则DF 的长度为_____．13．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．14．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，DE 垂直平分AC ，垂足为F ，//AD BC ，且3AB =，4BC =，则AD 的长为______．15．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BCA ＝30°，点D 在BC 上，点E 在△ABC 外，且AD ＝AE ＝CE ，AD ⊥AE ，则AB BD 的值为____________．16．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．17．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的边长分别为5和12，则b 的面积为_________________.18．已知a 、b 、c 是△ABC 三边的长，且满足关系式2222()0c a b a b --+-=，则△ABC 的形状为___________19．如图，在矩形ABCD 中，AD ＞AB ，将矩形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为MN ，连接CN ．若△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，则22MN BM的值为______________．20．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在ABC 内，AD 平分BAC ∠，连结CD ，把ADC 沿CD 折叠，AC 落在CE 处，交AB 于F ，恰有CE AB ⊥.若10BC =，7AD =，则EF =__________.三、解答题21．定义：有一组邻边均和一条对角线相等的四边形叫做邻和四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，∠ACD=∠ADC=80°，求证：四边形ABCD是邻和四边形．（2）如图2，是由50个小正三角形组成的网格，每个小正三角形的顶点称为格点，已知A、B、C三点的位置如图，请在网格图中标出所有的格点．．．．．．．D．，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为邻和四边形．（3）如图3，△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=23，若存在一点D，使四边形ABCD是邻和四边形，求邻和四边形ABCD的面积．22．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）23．在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°（1）如图1，D ，E 是等腰Rt △ABC 斜边BC 上两动点，且∠DAE ＝45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF①求证：△AED ≌△AFD ；②当BE ＝3，CE ＝7时，求DE 的长；（2）如图2，点D 是等腰Rt △ABC 斜边BC 所在直线上的一动点，连接AD ，以点A 为直角顶点作等腰Rt △ADE ，当BD ＝3，BC ＝9时，求DE 的长．24．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，若点P 从点A 出发，以每秒2cm 的速度沿折线A ﹣C ﹣B ﹣A 运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．（1）若点P 在AC 上，且满足PA ＝PB 时，求出此时t 的值；（2）若点P 恰好在∠BAC 的角平分线上，求t 的值；（3）在运动过程中，直接写出当t 为何值时，△BCP 为等腰三角形．25．在ABC ∆中，AB AC =，CD 是AB 边上的高，若10,45AB BC ==.（1）求CD 的长.（2）动点P 在边AB 上从点A 出发向点B 运动，速度为1个单位/秒；动点Q 在边AC 上从点A 出发向点C 运动，速度为v 个单位秒()v>1，设运动的时间为()0t t >，当点Q 到点C 时，两个点都停止运动.①若当2v =时，CP BQ =，求t 的值.=成立，求v关于t的函数表达式，并写出自②若在运动过程中存在某一时刻，使CP BQ变量t的取值范围.26．如图，点A是射线OE：y＝x（x≥0）上的一个动点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点B作OA的平行线交∠AOB的平分线于点C．（1）若OA＝52，求点B的坐标；（2）如图2，过点C作CG⊥AB于点G，CH⊥OE于点H，求证：CG＝CH．（3）①若点A的坐标为（2，2），射线OC与AB交于点D，在射线BC上是否存在一点P 使得△ACP与△BDC全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，2﹣2），请你判断也满足△ACP与△BDC全等的点是．（写出你认为正确的点）27．如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD : AD : CD＝2 : 3 : 4，（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒2cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点N从点A出发以每秒1cm速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止. 设点M运动的时间为t（秒），①若△DMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，△MDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．图1 图2 备用图28．如图1，点E是正方形ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，点M是线段BF中点，射线EM与BC交于点H，连接CM．（1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系．（2）把图1中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45︒，此时点F恰好落在线段CD上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90︒，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．29．已知，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证：四边形AFCE 为菱形．（2）如图1，求AF 的长．（3）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，点P 的速度为每秒1cm ，设运动时间为t 秒．①问在运动的过程中，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t 和点Q 的速度；若不可能，请说明理由．②若点Q 的速度为每秒0.8cm ，当A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．30．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AB ＝2，CD 是边AB 的高线，动点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点F 从点C 出发，以相同的速度沿射线CB 运动．设E 的运动时间为t （s ）（t ＞0）．（1）AE ＝ （用含t 的代数式表示），∠BCD 的大小是 度；（2）点E 在边AC 上运动时，求证：△ADE ≌△CDF ；（3）点E 在边AC 上运动时，求∠EDF 的度数；（4）连结BE ，当CE ＝AD 时，直接写出t 的值和此时BE 对应的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．【详解】解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．故选：D．【点睛】此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．2．C解析：C【分析】当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，根据勾股定理得到AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，于是得到结论．【详解】解：当C′落在AB上，点B与E重合时，AC'长度的值最小，∵∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BC′=BC=3cm，∴AC′=AB-BC′=2cm．故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．3．B解析：B【解析】【分析】如图，连接BB′．根据折叠的性质知△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=2BE．又B′E是BD 的中垂线，则DB′=BB′．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，BD=2，∴BE=12BD=1．如图2，连接BB′．根据折叠的性质知，∠AEB=∠AEB′=45°，BE=B′E．∴∠BEB′=90°，∴△BB′E是等腰直角三角形，则BB′=2BE=2,又∵BE=DE，B′E⊥BD，∴DB′=BB′=2．故选B．【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．B解析：B【解析】【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝MN，连接A'B，则A'B与直线b的交点即为N，过N作MN⊥a于点M．则A'B为所求，利用勾股定理可求得其值．【详解】过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，如图，∵AA′⊥a，MN⊥a，∴AA′∥MN．又∵AA′＝MN＝4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM＝A′N．由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．∵AE＝2+3+4＝9，AB230=，∴BE2239=-=．AB AE∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，∴A′B22=+=8．'A E BE所以AM+NB的最小值为8．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．5．C解析：C【解析】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求.详解：如图所示，将杯子侧面展开,作A关于EF的对称点A′，连接A′B,则A′B即为最短距离，A′B2222'++ (cm)A D BD=1216故选C.点睛：本题考查了勾股定理、最短路径等知识.将圆柱侧面展开，化曲面为平面并作出A关于EF的对称点A′是解题的关键.6．B解析：B【解析】根据题意，如图，∠AOB=30°，OA=4，则AB=2，OB=3A(－2，－3，故选B.7．C解析：C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【详解】A 、∵222304060+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；B 、∵22271213+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；C 、∵2226810+=，∴该选项的三条线段能构成直角三角形；D 、∵222346+≠，∴该选项的三条线段不能构成直角三角形；故选：C .【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.8．C解析：C【分析】一个三角形中有一个直角，或三边满足勾股定理的逆定理则为直角三角形，否则则不是，据此依次分析各项即可.【详解】A. △ABC 中，若∠B=∠C －∠A ，则∠C =∠A+∠B ，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；B. △ABC 中，若a 2=(b+c)(b －c)，则a 2=b 2－c 2，b 2= a 2+c 2，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；C. △ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C=3∶4∶5，则∠，故本选项错误； D. △ABC 中，若a ∶b ∶c=5∶4∶3，则△ABC 是直角三角形，本选项正确；故选C.【点睛】本题考查的是直角三角形的判定，利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①确定三角形的最长边；②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等．若相等，则此三角形是直角三角形；否则，就不是直角三角形． 9．C解析：C【分析】设AB ＝x ，则BC ＝9－x ，根据三角形两边之和大于第三边，得到x 的取值范围，再利用分类讨论思想，根据勾股定理列方程，计算解答．【详解】解：∵在△ABC 中，AC ＝AM ＝3，设AB ＝x ，BC ＝9－x ，由三角形两边之和大于第三边得：3939x x x x +-⎧⎨+-⎩＞＞， 解得3＜x ＜6，①AC 为斜边，则32＝x 2＋（9－x ）2，即x 2－9x ＋36＝0，方程无解，即AC 为斜边不成立，②若AB 为斜边，则x 2＝（9－x ）2＋32，解得x ＝5，满足3＜x ＜6，③若BC 为斜边，则（9－x ）2＝32＋x 2，解得x ＝4，满足3＜x ＜6，∴x ＝5或x ＝4；故选C ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，勾股定理等，分类讨论和方程思想是解答的关键．10．D解析：D【详解】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：x；②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：x故选：D二、填空题11．（0，21009）【解析】【分析】本题点A 坐标变化规律要分别从旋转次数与点A 所在象限或坐标轴、点A 到原点的距离与旋转次数的对应关系．【详解】∵∠OAA 1=90°，OA=AA 1=1，以OA 1为直角边作等腰Rt △OA 1A 2，再以OA 2为直角边作等腰Rt △OA 2A 3，…，∴OA 1，OA 2=）2，…，OA 2018=）2018，∵A 1、A 2、…，每8个一循环，∵2018=252×8+2∴点A 2018的在y 轴正半轴上，OA 2018=2018=21009，故答案为（0，21009）.【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题，除了研究动点变化的相关数据规律，还应该注意象限符号．12．2【分析】连接AD 、CD ，由勾股定理得：22435AB DE ==+=，224225BD =+=，22125CD AD ==+=，得出AB ＝DE ＝BC ，222BD AD AB +=，由此可得△ABD 为直角三角形，同理可得△BCD 为直角三角用形，继而得出A 、D 、C 三点共线.再证明△ABC ≌△DEB ，得出∠BAC ＝∠EDB ，得出DF ⊥AB ，BD 平分∠ABC ，再由角平分线的性得出DF ＝DG ＝2即可的解.【详解】连接AD 、CD ，如图所示：由勾股定理可得，22435AB DE ==+=，224225BD =+=22125CD AD ==+， ∵BE=BC=5，∴AB=DE ＝AB ＝BC ，222BD AD AB +=，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，同理可得：△BCD 是直角三角形，∠BDC ＝90°，∴∠ADC ＝180°，∴点A 、D 、C 三点共线，∴225AC AD BD ===，在△ABC 和△DEB 中，AB DE BC EB AC BD =⎧⎪⎨⎪=⎩＝，∴△ABC ≌△DEB(SSS)，∴∠BAC ＝∠EDB ，∵∠EDB+∠ADF ＝90°，∴∠BAD+∠ADF ＝90°，∴∠BFD ＝90°，∴DF ⊥AB ，∵AB=BC ，BD ⊥AC ，∴BD 平分∠ABC ，∵DG ⊥BC ，∴DF ＝DG ＝2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.13．71-【分析】分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差【详解】如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--，∴AP 的最大值为A P 1=AB=3如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4，由折叠的性质有PC=BC=4，在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--， ∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71--71【点睛】本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索. 14．258【分析】先根据勾股定理求出AC 的长，再根据DE 垂直平分AC 得出FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出△AFD ∽△CBA ，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】∵Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴2222AB +BC =3+4=5；∵DE 垂直平分AC ，垂足为F ，∴FA=12AC=52，∠AFD=∠B=90°， ∵AD ∥BC ，∴∠A=∠C ，∴△AFD ∽△CBA ，∴ADAC=FABC，即AD5=2.54，解得AD=258；故答案为258．【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．15．2【解析】【分析】过A点作BC的垂线，E点作AC的垂线，构造全等三角形，利用对应角相等计算得出∠DAM=15°，在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°，设DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a，2)a，1)a，1)a,代入计算即可.【详解】过A点作AM⊥BC于M点，过E点EN⊥AC于N点.∵∠BCA＝30°，AE=EC∴AM=12AC，AN=12AC∴AM=AN又∵AD=AE∴R t∆ADM≅ R t∆AEN(HL)∴∠DAM=∠EAN又∵∠MAC=60°，AD⊥AE∴∠DAM=∠EAN=15°在AM上截取AG=DG，则∠DGM=30°设DM=a,则 DG=AG=2a，根据勾股定理得：∵∠ABC＝45°∴2)a∴1)a，2)a,∴2aABBD==【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15°角转化为30°角，本题有较大难度.16．7【解析】【分析】通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．取BN中点E，连接DE，如图所示：∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，∴BE＝EN＝AN＝2，又∵AD是BC边上的中线，∴DE是△BCN的中位线，∴CN＝2DE，CN∥DE，又∵N为AE的中点，∴M为AD的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴DE＝2MN，∴CN＝2DE＝4MN，∴CM＝34 CN．在直角△CDM中，CD＝12BC＝3，DM＝12AD33，∴CM2237 2CD MD+=∴CN＝43727 32=．∵BM +MN ＝CN ，∴BM +MN 的最小值为27． 故答案是：27．【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．17．169【解析】解：由于a 、b 、c 都是正方形，所以AC =CD ，∠ACD =90°；∵∠ACB +∠DCE =∠ACB +∠BAC =90°，即∠BAC =∠DCE ，∠ABC =∠CED =90°，AC =CD ，∴△ACB ≌△DCE ，∴AB =CE ，BC =DE ； 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=AB 2+DE 2，即S b =S a +S c =22512+=169． 故答案为：169．点睛：此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．18．等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由()22220c a b a b --+-=，可知222c a b =+，a=b ，可知此三角形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.19．12【解析】如图，过点N 作NG ⊥BC 于点G ，连接CN ，根据轴对称的性质有：MA=MC ，NA=NC ，∠AMN=∠CMN.因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠ANM=∠CMN.所以∠AMN=∠ANM，所以AM=AN.所以AM=AN=CM=CN.因为△CDN 的面积与△CMN 的面积比为1：3，所以DN:CM=1:3.设DN=x ，则CG=x ，AM=AN=CM=CN=3x ，由勾股定理可得=，所以MN 2=()()222312x x x +-=，BM 2=()()2223x x -=.所以222212MN x BM x==12. 枚本题应填12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线→等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解. 20．4913【解析】【分析】如图（见解析），延长AD ，交BC 于点G ，先根据等腰三角形的三线合一性得出AG BC ⊥，再根据折叠的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）得出2345∠+∠=︒，从而得出CDG ∆是等腰直角三角形，然后根据勾股定理、面积公式可求出AC 、CE 、CF 的长，最后根据线段的和差即可得．【详解】如图，延长AD ，交BC 于点GAD 平分BAC ∠，,10AB AC BC ==,B ACB AG BC ∴∠=∠⊥，且AG 是BC 边上的中线1123,52B CG BC ∴∠=∠+∠+∠== 由折叠的性质得12,CE AC ∠=∠=123223B ∠=∠+∠+∠=∠+∠∴CE AB ⊥，即90BFC ∠=︒390B ∴∠+∠=︒230239+∴∠∠=∠+︒，即2345∠+∠=︒CDG ∴∆是等腰直角三角形，且5DG CG ==7512AG AD DG ∴=+=+=在Rt ACG ∆中，13AC ===13CE AB AC ==∴=由三角形的面积公式得1122ABC S BC AG AB CF ∆=⋅=⋅即1110121322CF⨯⨯=⨯⋅，解得12013CF=12049131313EF CE CF∴=-=-=故答案为：49 13．【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，构造一个等腰直角三角形是解题关键．三、解答题21．（1）见解析；（2）见解析；（3）363【分析】（1）先由三角形的内角和为180°求得∠ACB的度数，从而根据等腰三角形的判定证得AB=AC=AD，按照邻和四边形的定义即可得出结论．（2）以点A为圆心，AB长为半径画圆，与网格的交点，以及△ABC外侧与点B和点C组成等边三角形的网格点即为所求．（3）先根据勾股定理求得AC的长，再分类计算即可：①当DA=DC=AC时；②当CD=CB=BD时；③当DA=DC=DB或AB=AD=BD时．【详解】（1）∵∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠ACB=∠ABC，∴AB=AC．∵∠ACD=∠ADC，∴AC=AD，∴AB=AC=AD．∴四边形ABCD是邻和四边形；（2）如图，格点D、D'、D''即为所求作的点；（3）∵在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =2，BC =23， ∴AC =()22222234AB BC +=+=，显然AB ，BC ，AC 互不相等．分两种情况讨论：①当DA =DC =AC=4时，如图所示：∴△ADC 为等边三角形，过D 作DG ⊥AC 于G ，则∠ADG =160302⨯︒=︒， ∴122AG AD ==， 22224223DG AD AG =-=-=，∴S △ADC =1423432⨯⨯=，S △ABC =12AB×BC =23， ∴S 四边形ABCD =S △ADC +S △ABC =63；②当CD =CB =BD =23时，如图所示：∴△BDC 为等边三角形，过D 作DE ⊥BC 于E ，则∠BDE =160302⨯︒=︒，∴12BE BD ==3DE ===，∴S △BDC =132⨯= 过D 作DF ⊥AB 交AB 延长线于F ，∵∠FBD=∠FBC -∠DBC =90︒-60︒=30︒，∴DF=12S △ADB =122⨯=，∴S 四边形ABCD =S △BDC +S △ADB =；③当DA =DC =DB 或AB =AD =BD 时，邻和四边形ABCD 不存在．∴邻和四边形ABCD 的面积是或【点睛】本题属于四边形的新定义综合题，考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，数形结合并读懂定义是解题的关键．22．（1）见解析；（2）CD AD +BD ，理由见解析；（3）CD +BD【分析】（1）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ；（2）由“SAS ”可证△ADB ≌△AEC ，可得BD ＝CE ，由直角三角形的性质可得DE AD ，可得结论；（3）由△DAB ≌△EAC ，可知BD ＝CE ，由勾股定理可求DH ，由AD ＝AE ，AH ⊥DE ，推出DH ＝HE ，由CD ＝DE +EC ＝2DH +BD AD +BD ，即可解决问题；【详解】证明：（1）∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；（2）CD AD +BD ，理由如下：∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝2AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝2AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝12 AD，∴DH22AD AH3，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD3+BD，故答案为：CD3+BD．【点睛】本题是结合了全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合问题，熟练掌握知识点，有简入难，层层推进是解答关键.23．（1）①见解析；②DE＝297；（2）DE的值为517【分析】（1）①先证明∠DAE＝∠DAF，结合DA＝DA，AE＝AF，即可证明；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．在Rt△DCF中，由DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，可得x2＝（7﹣x）2+32，解方程即可；（2）分两种情形：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．由△EAD≌△ADC，推出∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝5，推出∠EBD＝90°，推出DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，即可解决问题；②当点D在CB的延长线上时，如图3中，同法可得DE2＝153．【详解】（1）①如图1中，∵将△ABE绕点A逆时针旋转90°后，得到△AFC，∴△BAE≌△CAF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠CAF，∵∠BAC＝90°，∠EAD＝45°，∴∠CAD+∠BAE＝∠CAD+∠CAF＝45°，∴∠DAE＝∠DAF，∵DA＝DA，AE＝AF，∴△AED≌△AFD（SAS）；②如图1中，设DE＝x，则CD＝7﹣x．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵∠ABE＝∠ACF＝45°，∴∠DCF＝90°，∵△AED≌△AFD（SAS），∴DE＝DF＝x，∵在Rt△DCF中， DF2＝CD2+CF2，CF＝BE＝3，∴x2＝（7﹣x）2+32，∴x＝297，∴DE＝297；（2）∵BD＝3，BC＝9，∴分两种情况如下：①当点E在线段BC上时，如图2中，连接BE．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∵AE＝AD，AB＝AC，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠C＝∠ABC＝45°，EB＝CD＝9-3=6，∴∠EBD＝90°，∴DE2＝BE2+BD2＝62+32＝45，∴DE＝②当点D在CB的延长线上时，如图3中，连接BE．同理可证△DBE是直角三角形，EB＝CD＝3+9=12，DB＝3，∴DE2＝EB2+BD2＝144+9＝153，∴DE＝综上所述，DE 的值为35或317．【点睛】本题主要考查旋转变换的性质，三角形全等的判定和性质以及勾股定理，添加辅助线，构造旋转全等模型，是解题的关键．24．(1) 2516；（2）83t =或6；（3）当153,5,210t =或194时，△BCP 为等腰三角形． 【分析】（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P 在CAB ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，根据勾股定理列方程即可得到结论； （3）在Rt ABC 中，根据勾股定理得到4AC cm =，根据题意得：2AP t =，当P 在AC上时，BCP 为等腰三角形，得到PC BC =，即423t -=，求得12t =，当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，若CP PB =，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，求得194t =，若PB BC =，即2343t --=，解得5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，列方程2234352t --=⨯，即可得到结论． 【详解】 解：在Rt ABC 中，5AB cm =，3BC cm =，4AC cm ∴=，（1）设存在点P ，使得PA PB =，此时2PA PB t ==，42PC t =-，在Rt PCB 中，222PC CB PB +=，即：222(42)3(2)t t -+=，解得：2516t =，∴当2516t =时，PA PB =； （2）当点P 在BAC ∠的平分线上时，如图1，过点P 作PE AB ⊥于点E ，此时72BP t =-，24PE PC t ==-，541BE =-=，在Rt BEP 中，222PE BE BP +=，即：222(24)1(72)t t -+=-，解得：83t =， 当6t =时，点P 与A 重合，也符合条件，∴当83t =或6时，P 在ABC ∆的角平分线上； （3）根据题意得：2AP t =，当P 在AC 上时，BCP 为等腰三角形，PC BC ∴=，即423t -=，12t ∴=， 当P 在AB 上时，BCP 为等腰三角形，CP PB =①，点P 在BC 的垂直平分线上，如图2，过P 作PE BC ⊥于E ，1322BE BC ∴==， 12PB AB ∴=，即52342t --=，解得：194t =， PB BC =②，即2343t --=，解得：5t =，PC BC =③，如图3，过C 作CF AB ⊥于F ，12BF BP ∴=， 90ACB ∠=︒，由射影定理得；2BC BF AB =⋅，即2234352t --=⨯， 解得：5310t =， ∴当15319,5,2104t =或时，BCP 为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（3）题的关键．25．（1）CD=8；（2）t=4；（3）12-=t v t (26t ≤<) 【分析】（1）作AE ⊥BC 于E ，根据等腰三角形三线合一的性质可得BE=12BC ，然后利用勾股定理求出AE ，再用等面积法可求出CD 的长；（2）①过B 作BF ⊥AC 于F ，易得BF=CD ，分别讨论Q 点在AF 和FC 之间时，根据△BQF ≌△CPD ，得到PD=QF ，建立方程即可求出t 的值；（3）同（2）建立等式关系即可得出关系式，再根据Q 在FC 之间求出t 的取值范围即可.【详解】解：（1）如图，作AE ⊥BC 于E ，∵AB=AC ，∴BE=12BC=25在Rt△ABE中，()2222AE=AB BE=1025=45--∵△ABC的面积=11BC AE=AB CD 22⋅⋅∴BC AE4545 CD===8AB⋅⨯（2）过B作BQ⊥AC，当Q在AF之间时，如图所示，∵△ABC的面积=11AC BF=AB CD22⋅⋅，AB=AC∴BF=CD在Rt△CPD和Rt△BQF中∵CP=BQ，CD=BF，∴Rt△CPD≌Rt△BQF（HL）∴PD=QF在Rt△ACD中，CD=8，AC=AB=10∴22AD=AC CD=6-同理可得AF=6∴PD=AD=AP=6-t，QF=AF-AQ=6-2t 由PD=QF得6-t=6-2t，解得t=0，∵t＞0，∴此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，此时PD=6-t ，QF=2t-6由PD=QF 得6-t=2t-6，解得t=4，综上得t 的值为4.（3）同（2）可知v ＞1时，Q 在AF 之间不存在CP=BQ ，Q 在FC 之间存在CP=BQ ，Q 在F 点时，显然CP ≠BQ ，∵运动时间为t ，则AP=t ，AQ=vt ，∴PD=6-t ，QF=vt-6，由PD=QF 得6-t=vt-6， 整理得12-=t v t， ∵Q 在FC 之间，即AF ＜AQ ≤AC∴610<≤vt ，代入12-=t v t得 61210<-≤t ，解得26t ≤< 所以答案为12-=t v t (26t ≤<) 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，熟练掌握勾股定理求出等腰三角形的高，利用全等三角形对应边相等建立方程是解题的关键.26．（1）（5，0）；（2）见解析；（3）①P （4，2），②满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3．理由见解析【分析】（1）由题意可以假设A （a ，a ）（a ＞0），根据AB 2+OB 2=OA 2，构建方程即可解决问题； （2）由角平分线的性质定理证明CH=CF ，CG=CF 即可解决问题；（3）①如图3中，在BC 的延长线上取点P ，使得CP=DB ，连接AP ．只要证明△ACP ≌△CDB （SAS ），△ABP 是等腰直角三角形即可解决问题；②根据SAS 即可判断满足△ACP 与△BDC 全等的点是P 1、P 2，P 3；【详解】解：（1）∵点A 在射线y ＝x （x ≥0）上，故可以假设A （a ，a ）（a ＞0），∵AB⊥x轴，∴AB＝OB＝a，即△ABO是等腰直角三角形，∴AB2+OB2＝OA2，∴a2+a2＝（52）2，解得a＝5，∴点B坐标为（5，0）．（2）如图2中，作CF⊥x轴于F．∵OC平分∠AOB，CH⊥OE，∴CH＝CF，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝45°，∵BC∥OE，∴∠CBG＝∠AOB＝45°，得到BC平分∠ABF，∵CG⊥BA，CF⊥BF，∴CG＝CF，∴CG＝CH．（3）①如图3中，在BC的延长线上取点P，使得CP＝DB，连接AP．由（2）可知AC平分∠DAE，∴∠DAC＝12∠DAE＝12（180°﹣45°）＝67.5°，由OC平分∠AOB得到∠DOB＝12∠AOB＝22.5°，∴∠ADC＝∠ODB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠ADC＝∠DAC＝67.5°，∴AC＝DC，∠BDC＝∠OBD+∠DOB＝90°+22.5°＝112.5°，∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADC＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°，∠OCB＝45°﹣22.5°＝22.5°，∠ACP＝180°﹣∠ACD﹣∠OCB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，在△ACP和△CDB中，AC ADACP DB CP DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP≌△CDB（SAS），∴∠CAP＝∠DCB＝22.5°，∴∠BAP＝∠CAP+∠DAC＝22.5°+67.5°＝90°，∴△ABP是等腰直角三角形，∴AP＝AB＝OB＝2，∴P（4，2）．②满足△ACP与△BDC全等的点是P1、P2，P3．理由：如图4中，由题意：AP1＝BD，AC＝CD，∠CAP1＝∠CDB，根据SAS可得△CAP1≌△CDB；AP2＝BD，AC＝CD，∠CAP2＝∠CDB，根据SAS可得△CAP2≌△CDB；AC＝CD，∠ACP3＝∠BDC，BD＝CP3根据SAS可得△CAP3≌△DCB；故答案为P1、P2，P3．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
八年级数学勾股定理的应用——折叠问题(专题)(含答案)
勾股定理的应用——折叠问题（专题）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，长方形纸片ABCD中，AB=12，AD=5，折叠纸片使AD边与线段BD重合，折痕为DG，则AG的长为( )A. B.6C. D.答案：D解题思路：由题意得，BD=13；由折叠知D=AD=5，G=AG，∠DA′G=∠A=90°．∴B=8．设AG=x，则，BG=12-x．在Rt△BG中，∠BA′G=90°，由勾股定理得，，即，解得，．故选D．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EF=( )A.4cmB.3cmC.5cmD.6cm答案：C解题思路：如图，AF=AD=BC=10，在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=6，所以FC=4，设EF=DE=x，则CE=8-x，在Rt△ECF中，∠C=90°，由勾股定理得，，解得，x=5．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则AE的长为____，△ABE的周长为____．( )A.，7B.，7C.，D.，答案：A解题思路：解：由题意知，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5由勾股定理得，BC=4由折叠知，AE=EC设AE=EC=x，则BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则AE=，BE=∴△ABE的周长为3+x+(4-x) =3+4=7综上，AE的长为，△ABE的周长为7故选A试题难度：三颗星知识点：略4.如图，将一长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF．若AB=4，BC=8，则△ABF的面积为( )A.6B.12C.10D.20答案：A解题思路：解：由题意知，将长方形纸片ABCD折叠，使两个顶点A，C重合，折痕为EF，∴AF=CF，∵在长方形ABCD中，AB=4，BC=8∴设BF=x，则AF=FC=8-x，在Rt△ABF中，∠B=90°，AB=4，BF=x，AF=8-x，由勾股定理得，AB2+BF2=AF2，42+x2=(8-x)2，解得，x=3，即BF=3，∴△ABF的面积为故选A．试题难度：三颗星知识点：略5.如图，长方形纸片ABCD中，AD=4，CD=3，折叠纸片使AB边与线段AC重合，折痕为AE，记与点B重合的点为F，则△CEF的面积与纸片ABCD的面积的比为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，在长方形ABCD中，AB=CD=AF=3，AD=BC=4，在Rt△ABC中，∠B=90°由勾股定理得，∴∴AC=5由折叠知，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，设BE=x，则EF=BE=x在Rt△EFC中，∠CFE=90°，CF=AC-AF=2，EC=4-x，根据勾股定理得，∴解得，x=1.5∴∵∴故选B．试题难度：三颗星知识点：略6.如图，将边长为16cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F 处，折痕为MN，则CN=_____cm，AM=_____cm．( )A.6，2B.8，3C.10，2D.12，3答案：A解题思路：∵点E是BC边的中点，∴EC BC=8，设CN=x，则EN=DN=16-x，在Rt△ECN中，∠C=90°，由勾股定理得，EC2+CN2=EN2解得，x=6如图，连接DM，EM，则DM=EM，设AM=y，则BM=16-y，在Rt△ADM中，∠A=90°，由勾股定理得，在Rt△BEM中，∠B=90°，由勾股定理得，，∵DM=ME，∴解得，y=2故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的点E处，折痕为MN．若CE的长为8cm，则AM=_____cm，BN=_____cm．( )A.，1B.，C.，D.，1答案：C解题思路：如图，设AM=x，在Rt△MED中，∠D=90°，由勾股定理，得解得，x=，即AM=，MD=，连接AN，NE，则AN=NE，设BN=y，则CN=12-y，在Rt△ABN中，∠B=90°，由勾股定理，在Rt△CEN中，∠C=90°，由勾股定理，，∵AN=NE，∴解得，故选C．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，把长方形ABCD沿AC折叠，AD落在处，交BC于点E，已知AB=2cm，BC=4cm，则EC的长为( )A.2cmB.cmC.5cmD.cm答案：D解题思路：如图，由折叠知，∠DAC=∠EAC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ECA，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC设EC=x，则AE=EC=x∵BC=4，∴BE=4-x在Rt△ABE中，∠B=90°，AB=2，BE=4-x，AE=x，由勾股定理得，解得，即EC的长为cm故选D．试题难度：三颗星知识点：略9.把长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF．若BC=5cm，CD=3cm，则DE=( )cm．A. B.C. D.答案：B解题思路：如图，由折叠知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF，∴∠DFE=∠DEF，∴DE=DF设DF=x，则BF=DF=x∵BC=5，∴CF=5-x在Rt△CDF中，∠C=90°，CD=3，CF=5-x，DF=x，由勾股定理得，解得，∴DE=DF=故选B．试题难度：三颗星知识点：略10.如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是CD边上一点，连接BE，把∠C沿BE折叠，使点C落在点F处．当△DEF为直角三角形时，DE的长为( )A.1B.1或C. D.3或答案：B解题思路：∵四边形ABCD是长方形，∴AB=CD=4，AD=BC=3，分两种情况讨论：①当∠FED=90°时，如图所示，则∠CEF=90°，由折叠的性质得：CE=FE=BC=3，∴DE=CD-CE=1；②当∠DFE=90°时，如图所示，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB=4，AD=3，∴BD=5，由折叠的性质得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，EF=EC，∴∠DFE=∠BFE=90°，即点B，F，D三点共线，点F在BD上，∴DF=BD-BF=5-3=2，设DE=x，则EF=CE=4-x在Rt△DEF中，∠EFD=90°，DE=x，EF=4-x，DF=2，由勾股定理得，解得，综上所述，DE的长为1或；故选B．试题难度：三颗星知识点：略第11页共11页。
【初中数学】人教版八年级下册第2课时 勾股定理在实际生活中的应用(练习题)
人教版八年级下册第2课时勾股定理在实际生活中的应用(356)1.如图，为了美化校园，学校准备在三边长分别是13m，13m，10m和7m，8m，9m的两块三角形空地上种植花草，你能分别计算出这两块空地的面积吗？如果能,请写出你的计算过程．2.在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面图如图①，小明据此构造出该岛的一个数学模型(如图②中的四边形ABCD)来求岛屿的面积，其中∠B=∠D= 90∘，AB=BC=15千米，CD=3√2千米，请求出四边形ABCD的面积．(结果保留根号)3.如图，在四边形ABCD中，AB=10，BC=13，CD=12，AD=5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．4.勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了两枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成(如图①，△ABC中，∠BAC=90∘)．请解答：(1)如图②，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积S1，S2，S3之间的数量关系是，请说明理由；(2)如图③，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积S1，S2，S3之间的数量关系是，请说明理由；(3)如图④，在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC+∠BCD=90∘，BC=2AD，分别以AB，CD，AD为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2,S3之间的数量关系是，请说明理由5.如图，一棵大树在一次强台风中在距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A.10mB.17mC.18mD.20m6.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开4m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A.7mB.7.5mC.8mD.9m7.如图，在一棵树CD的10m高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树底20m处的池塘的A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树有多高？8.如图，为修铁路需凿通隧道AC，现测量出∠ACB=90∘，AB=5km，BC=4km，若每天凿隧道0.2km，则几天才能把隧道AC凿通？9.如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A,B，C三点，且A，D，E，C四点在同一条直线上，∠C=90∘，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE．10.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．11.如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和10√3cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是多少厘米？12.如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？13.如图是一扇高为2m，宽为1.5m的门框，现有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长3m，宽2.7m；②号木板长4m，宽2.4m；③号木板长2.8m，宽2.8m．可以从这扇门通过的木板是（）A.①号B.②号C.①号和②号D.②号和③号14.如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A.25海里B.30海里C.40海里D.50海里15.学校有一块长方形的花圃如图所示，有少数的同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路".他们仅仅少走了步（假设1米=2步），却踩伤了花草，所谓“花草无辜，踩之何忍”！16.一架梯子AB长25米，如图所示，斜靠在一面墙上．(1)若梯子底端离墙7米，则这个梯子的顶端距地面有多高？(2)在(1)的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？17.如图是某楼梯台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是20cm，每个台阶的高度都是10cm，连接AB，则AB等于（）A.120cmB.130cmC.140cmD.150cm18.如图，某公司举行开业一周年庆典时，准备在公司门口长13米、高5米的台阶上铺设红地毯．已知台阶的宽为4米，请你算一算至少需购买多少平方米的红地毯．参考答案1.【答案】:解：如图①,过点A 作BC 的垂线，垂足为D ，∵AB =AC =13m ，BC =10m ，∴BD =CD =5m ，∴AD =√AB 2−BD 2=√132−52=12(m)， ∴S △ABC =12×BC ×AD =12×10×12=60(m 2); 如图②，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，设BE =xm ，则CE =(9−x)m ，在Rt △ABE 与Rt △ACE 中，AE 2=AB 2−BE 2=AC 2−CE 2，即64−x 2=49−(9−x)2，解得x =163， ∴AE =√AB 2−BE 2=√64−(163)2=8√53(m)， ∴S △ABC =12×9×8√53=12√5(m 2)．即图①中空地的面积为60m 2,图②中空地的面积为12√5m 22.【答案】:解：如图，连接AC ，∵AB =BC =15千米，∠B =90∘，∴∠BAC =∠ACB =45∘,AC =15√2千米．又∵∠D =90∘，∴AD =√AC 2−CD 2=12√3千米，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =(112.5+18√6)千米23.【答案】:解：如图，连接AC ，过点C 作CE ⊥AB 于点E ．∵AD ⊥CD ，∴∠D =90∘.∵在Rt△ACD中，AD=5，CD=12，∴AC=√AD2+CD2=√52+122=13. ∵BC=13，∴AC=BC．∵CE⊥AB，AB=10，∴AE=BE=12AB=12×10=5.在Rt△CAE中，CE=√AC2−AE2=√132−52=12.∴S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC=12×5×12+12×10×12=30+60=90【解析】: 连接AC,过点C作CE⊥AB于点E，在Rt△ACD中根据勾股定理求出AC的长，由等腰三角形的性质得出AE=BE=12AB，在Rt△CAE中根据勾股定理求出CE的长，再由S四边形ABCD=S△DAC+S△ABC即可得出结论.4(1)【答案】S1+S2=S3.理由如下：∵S3=√34c2，S1=√34a2，S2=√34b2,∴S1+S2=√34(a2+b2)=√34c2=S3(2)【答案】S1+S2=S3.理由如下：∵S3=18πc2，S1=18πc a2，S2=18πc b2，∴S1+S2=18πc a2+18πc b2=18πc c2=S3(3)【答案】S1+S2=S3.理由：如图,过点D作DE//AB，交BC于点E，设梯形的边AB,DC,AD的长分别为a,b,c，可证EC=AD=c，DE=AB=a，∠EDC=180∘−(∠DEC+∠BCD)=180∘−(∠ABC+∠BCD)=90∘，则a2+b2=c2.∵S1=a2,S2=b2,S3=c2，∴S1+S2=S35.【答案】:C【解析】:因为BC=5m，AB=12m，∠CBA=90∘，所以AC=√BC2+AB2=13m，所以大树在折断前的高度为BC+AC=5+13=18(m)6.【答案】:B【解析】:如图所示，设旗杆AB=xm，则AC=(x+1)m，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即(x+1)2=x2+42，解得x=7.57.【答案】:解：设这棵树高为xm，则DB=(x−10)m，∵BC+AC=30m，∴DB+DA=30m,∴AD=30−(x−10)=(40−x)m．在Rt△ACD中，AC2+DC2=AD2，∴202+x2=(40−x)2，解得x=15.∴这棵树的高度为15m8.【答案】:解：∵∠ACB=90∘，AB=5km，BC=4km，∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3(km)，3÷0.2=15(天)．答：15天才能把隧道AC凿通.9.【答案】:在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√1002−602=80(m)，∴DE=AC−AD−EC=80−20−10=50(m),∴池塘的宽度DE为50m【解析】:在Rt△ABC中，AC=√AB2−BC2=√1002−602=80(m)，∴DE=AC−AD−EC=80−20−10=50(m),∴池塘的宽度DE为50m10.【答案】:如图，过点C作CD⊥AB于点D，∵BC=400米，AC=300米，∠ACB=90∘，∴根据勾股定理得AB=500米．∵12AB·CD=12BC·AC，∴CD=240米．∵240米<250米，故有危险，因此公路AB段需要暂时封锁【解析】:要判断公路AB段是否由危险，需要比较点C到AB的距离与爆破半径250米的大小关系.11.【答案】:设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=82+62+(10√3)2=64+36+300=400.所以x=20cm，故细木棒露在盒外面的最短长度是25−20=5(cm).【解析】:长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可.12.【答案】:解：将长方体两侧面按图①方式展开，则AB=√122+162=20(cm);按图②方式展开，则AB=√82+202=4√29(cm)．因为20<4√29,所以蚂蚁爬行的最短路线为图①中A−P−B(P为CD的中点)，最短路程是20cm13.【答案】:B14.【答案】:C【解析】:如图，连接BC.由题意，得AC=16×2=32(海里），AB=12×2=24(海里），∠BAC=90∘，则CB2=AC2+AB2.于是CB=40海里.故选C.15.【答案】:4【解析】:由图可知，拐角处为一直角三角形，且直角三角形两直角边长为3米和4米.因此，可由勾股定理求得花圃内这条“路”长为5米.因2步为1米，走拐角3×2+4×2=14步，走“捷径”5×2=10步，所以他们仅仅少走了4步路.16(1)【答案】解：在Rt△AOB中，∵AB=25米，OB=7米，人教版八年级下册第2课时勾股定理在实际生活中的应用(356)∴OA=√AB2−OB2=√252−72=24(米)．答：这个梯子的顶端距地面24米(2)【答案】在Rt△A′OB′中，∵A′O=24−4=20(米)，A′B′=25米∴OB′=√A′B′−A′O=√252−202=15(米)，∴BB′=15−7=8(米)．答：梯子的底端在水平方向滑动了8米17.【答案】:B【解析】:如图，由题意得：AC=10×5=50(cm)，BC=20×6=120(cm)，故AB=√AC2+BC2=√502+1202=130(cm)．18.【答案】:解：红地毯竖直高为5米，水平长为√132−52=12(米)，所以红地毯的长为12+5=17(米)，台阶的宽为红地毯的宽，所以至少需购买17×4=68(米2)红地毯第 11 页,共11 页。
北师大版八年级(上)数学《勾股定理的应用》课堂练习(含答案)
1.3 勾股定理的应用1．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定仍然是勾股数的是（）A．a+1，b+1，c+1 B．a2，b2，c2C．2a，2b，2c D．a－1，b－1，c－1你能否再多写几组勾股数，从这些勾股数中，你能发现什么规律？2．如图1，有一个底面半径为6cm，高为24cm的圆柱，在圆柱下底面的点A 有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物后再返回到A点处休息，请问它需爬行的最短路程约是多少？（π取整数3）3．有一个长宽高分别为2cm，1cm，3cm的长方体，如图2，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，请你帮它设计爬行的最短路线，并说明理由．4．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？参考答案1．C若a，b，c为一组勾股数，那么ka，kb，kc（k≠0，k为常数）也是勾股数．2．解：如下图：将圆柱沿着过A点的高AC剪开，并将侧面展开．1·2πr=π·r≈18（cm）则AC=24cm，BC=2∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=242+182，∴AB=30（cm）∴它最短的爬行路程约为30×2=60（厘米）3．（1）当蚂蚁在侧面A1ABB1和侧面B1BCC1上爬行时，爬行的最短路线的长设为d1，则d12=（2+1）2+32=18（2）当蚂蚁在侧面A1ABB1和上底面A1B1C1D1上爬行时，由A到C1的最短路线的长设为d2，则d22=22+（3+1）2=20（3）同理可求得蚂蚁在侧面A1ADD1和D1DCC1上爬行时，d32=32+（1+2）2=18，蚂蚁在底面ABCD，侧面D1DCC1上爬行时，d32=22+（1+3）2=20所以，蚂蚁可沿A—M—C1爬行，如下图：或蚂蚁沿A—N—C1爬行，如下图：4．解：设水深为x尺如图，Rt△ABC中，AB=h，AC=h+3，BC=6由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即（h+3）2=h2+62∴h2+6h+9=h2+36，解得：h=4.5答：水深4.5尺.。
初二数学勾股定理的应用试题
初二数学勾股定理的应用试题1.下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是( )A．a=1.5,b=2,c=3B．a=7,b=24,c=25C．a="6,b=8,c=10"D．a=3,b=4,c=5【答案】A【解析】要组成直角三角形，三条线段满足较小的平方和等于较大的平方即可．A、1.52+22≠32，符合题意；B、72+242=252，C、62+82=102，D、32+42=52，不符合题意．【考点】本题考查勾股定理的逆定理点评：解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方，那么这样的三角形是直角三角形．2.已知,如图,长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为( )A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2【答案】A【解析】首先翻折方法得到ED=BE，在设出未知数，分别表示出线段AE，ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．∵长方形折叠，使点B与点D重合，∴ED=BE，设AE=xcm，则ED=BE=（9-x）cm，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴32+x2=（9-x）2，解得：x=4，∴△ABE的面积为：3×4×=6（cm2），故选A.【考点】此题主要考查了图形的翻折变换，勾股定理的应用点评：解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90O,BC=6,正方形ABDE的面积为100,则正方形ACFG的面积为( )A．64B．36C．82D．49【答案】A【解析】由正方形ABDE的面积为100得直角三角形的斜边是10．再根据勾股定理得AC=8，从而正方形ACFG的面积为64．因为S正方形ABDE =AB2=100，且在Rt△ABC中，BC=6，所以S正方形ACFG=AC2=AB2-BC2=64．故选A．【考点】本题考查的是正方形的面积公式以及勾股定理点评：解答本题的关键是熟练掌握以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．4.△ABC中，AB=AC=6，∠A=60°，BD为高，则BD=________.【答案】3【解析】先根据题意画出图形，由AB=AC=6，∠A=60°，可得△ABC为等边三角形，根据等边三角形的性质及勾股定理即可求得结果。
八年级数学勾股定理测试题
八年级数学勾股定理测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AB的长度是多少？A. 10B. 9C. 8D. 62. 如果一个三角形的三边长分别为3，4，5，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 不是三角形3. 在直角三角形中，斜边的长度是两直角边长度的平方和的平方根，这个定理被称为：A. 毕达哥拉斯定理B. 欧几里得定理C. 牛顿定理D. 高斯定理4. 一个三角形的两边长分别为7和24，如果这个三角形是直角三角形，那么第三边的长度是：A. 25B. 23C. 22D. 215. 如果直角三角形的两直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，那么a²+b²等于：A. cB. c²C. aD. b二、填空题（每题2分，共10分）6. 在直角三角形中，如果直角边长为3和4，那么斜边的长度是_________。
7. 如果一个三角形的三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是_________。
8. 直角三角形的斜边长度是两直角边长度的_________。
9. 已知直角三角形的两直角边分别为5和12，那么斜边的长度是_________。
10. 如果三角形的三边长分别为6，8和10，那么这个三角形是_________。
三、简答题（每题5分，共10分）11. 请说明勾股定理的适用范围，并给出一个例子。
12. 已知直角三角形的斜边长度为13，一条直角边的长度为5，求另一条直角边的长度。
四、应用题（每题15分，共30分）13. 一个梯形的上底为3米，下底为5米，高为4米。
如果梯形的两腰是直角三角形的斜边，求两腰的长度。
14. 一个长方体的长、宽、高分别是3米、4米和5米。
如果长方体的对角线构成一个直角三角形，求对角线的长度。
五、证明题（每题20分，共20分）15. 已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=15，BC=20。
勾股定理的应用(原卷版)-2023-2024学年八年级数学上册同步学与练(北师大版)
第03讲勾股定理的应用1.利用勾股定理及逆定理解决生活中的实际问题（梯子滑动、风吹莲动、折竹抵地、台风和爆破、航行和信号塔、速度等问题）.2.解决实际问题时，要善于构造直角三角形，把实际问题抽象成几何问题.知识点01勾股定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．题型01求梯子滑落高度【典例1】（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，∠=︒，这时，梯子的底端B到墙底C的距离BC为1m．90C(1)求此时梯子的顶端A距地面的高度AC．(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B外移0.5m吗？通过计算说明你的结论．【变式1】（2023春·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，将长为25米长的云梯AB斜靠在建筑物的侧墙上，BE长7米．(1)求梯子上端到墙的底端E的距离AE的长；(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，则梯脚B将外移多少米？【变式2】（2023·全国·八年级假期作业）如图梯子斜靠在竖直的墙AO，AO长为24dm，OB为7dm．(1)求梯子AB的长．(2)梯子的顶端A沿墙下滑4dm到点C，梯子底端B外移到点D，求BD的长．题型02求旗杆高度【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如图，某攀岩中心攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了1米，教练把绳子的下端C拉开5米后，发现其下端刚好接触地面（即⊥，求攀岩墙AB的高度．BC=米），AB BC5【变式1】（2022春·八年级单元测试）思源中学八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：（1）测得BD的长度为25米；（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为65米；（3）牵线放风筝的小明身高1.68米，求风筝的高度CE．【变式2】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A后，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B．(1)求旗杆的高度OM；(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．题型03求小鸟飞行距离【典例1】（2023春·广西贵港·八年级统考期中）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？【变式1】（2023春·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，它飞行的最短路程是________．【变式2】（2023春·广西防城港·八年级统考阶段练习）如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型04求大树折断前的高度【典例1】（2023春·江西南昌·八年级南昌市外国语学校校考期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处地，去根四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈10离竹根4尺，试问折断处离地面多高？【变式1】（2023春·湖南娄底·八年级统考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？【变式2】（2023春·全国·八年级期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高8m ，因刮大风旗杆从点C 处折断，顶部B 着地且离旗杆底部的距离4m AB =．(1)求旗杆折断处C 点距离地面的高度AC ；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C 的下方1.25m 的点D 处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点D 处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的B '处，形成一个直角ADB ' ，请求出AB '的长．题型05解决水杯中筷子问题【典例1】（2023春·河北唐山·八年级统考期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm 的直吸管露在罐外部分a 的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A ．45a <<B ．34a ≤≤C ．23a ≤≤D ．12a ≤≤【变式1】（2023·江苏·模拟预测）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何．”（丈、尺是长度单位，1丈10=尺）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（）A．10尺B．12尺C．13尺D．15尺【变式2】（2023春·内蒙古通辽·八年级校考期中）如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高h，则h的取值范围是________．为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度是cm题型06解决航海问题【典例1】（2023·宁夏吴忠·统考二模）如图，一艘轮船自西向东航行，航行到A处测得小岛C位于北偏东60︒方向上，继续向东航行20海里到达点B处，测得小岛C在轮船的北偏东15︒方向上，此时轮船与小岛C的距离为____海里．【变式1】（2023春·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西40︒方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东50︒方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？【变式2】（2022秋·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期中）如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东60︒的方向航行100km到达B港口，然后再沿北偏西30︒方向航行100km到达C港口．(1)求A ，C 两港口之间的距离；（结果保留根号）(2)C 港口在A 港口的什么方向．题型07求台阶上地毯长度【典例1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，5AC =米，13AB =米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A ．652mB ．852mC ．902mD ．1502m 【变式1】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC 是3米，斜边AB 长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m 、长13m 、宽2m 的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要_______________元．题型08判断汽车是否超速【典例1】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）某条道路限速80km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m．(1)求BC的长；(2)这辆小汽车超速了吗？【变式1】（2023春·八年级课时练习）如图，一辆小汽车在一条限速70km/h的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？题型09判断是否受台风影响【典例1】（2023·全国·八年级假期作业）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB 由A 向B 移动，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A 、B 的距离分别为300km AC =，400km BC =，又500km AB =，经测量，距离台风中心260km 及以内的地区会受到影响．(1)海港C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，某沿海城市A 接到台风警报，在该市正南方向150km 的B 处有一台风中心正以20km /h 的速度向BC 方向移动，已知城市A 到BC 的距离90km AD =，那么：(1)台风中心经过多长时间从B 点移到D 点？(2)如果在距台风中心30km 的圆形区域内都有受到台风破坏的危险，为让D 点的游人脱离危险，游人必须在接到台风警报后的几小时内撤离（撤离速度为6km /h ）最好选择什么方向？【变式2】（2023春·湖南郴州·八年级校考阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路AB 由点A 向点B 行驶，已知点C 为一所学校，且点C 与直线AB 上两点A ，B 的距离分别为200m 和150m ，250m AB =，环卫车周围130m以内为受噪声影响区域.(1)学校C 会受噪声影响吗？为什么？(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min ，求环卫车的行驶速度为多少？题型10求最短路径【典例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校联考阶段练习）有一圆柱形油罐，如图，要从点A 环绕油罐建梯子，正好到A 点的正上方点B ，问梯子最短要多少米？（已知油罐底面周长是12米，高AB 是5米）【变式1】（2023春·八年级单元测试）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，点E 是棱''B C 的中点，已知3AB =cm ，4BC =cm ，'5AA =cm ．一只小虫从A 点出发沿长方体的表面到E 点处觅食，求小虫爬行的最短距离．【变式2】（2023春·全国·八年级专题练习）问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为80cm ，宽为50cm 的长方形地毛毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD ，木块从正面看是一个边长为20cm 的等边三角形．求一只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过．．．的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”．请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC ．(2)线段AC 的长即蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程，依据是_____．(3)问题解决：如图②，展开图中AB =_____，BC =_____．(4)这只蚂蚁从点A 处到达点C 处需要走的最短路程是_____．题型11选址使到两地距离相等【典例1】（2023春·江西赣州·八年级校考期中）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中AB 所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校，分别在点C 和点D 处，CA AB ⊥于点A ，DB AB ⊥于点B ，已知25km 15km 10km AB CA DB ===，，，问：图书室E 应建在距点A 多少千米处，才能使它到两所学校的距离相等？【变式1】（2023春·上海·八年级专题练习）如图，笔直公路上A 、B 两点相距10千米，C 、D 为两居民区，DA AB ⊥于A ，CB AB ⊥于B ，已知6DA =千米，8CB =千米，现要在公路AB 段上建一超市E ，使C 、D 两居民区到E 的距离相等，则超市E 应建在离A 处多远处．【变式2】（2023春·八年级课时练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB 所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA AB ⊥于A ，DB AB ⊥于B ，已知，2.5km AB =， 1.5km CA =， 1.0km DB =，试问，图书室E 应该建在距点A 多少km 知处．才能使它到两所学校的距离相等？1．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为（）A ．10mB ．15mC ．18mD ．20m2．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P 为观测站，一艘巡航船位于观测站P 的南偏西34︒方向的点A 处，一艘渔船在观测站P 的南偏东56︒方向的点B 处，巡航船和渔船与观测站P 的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（）A ．1.5小时B ．2小时C ．2.5小时D ．4小时3．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm 和6cm ，高为10cm ，将一支长为18cm 的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（）A ．10cmB ．()18102cm -C ．8cmD ．102cm4．（2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE =1m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离CD =6m ），踏板离地的垂直高度CF =4m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m 5．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，长方体的长15cm BE =，宽10cm AB =，高20cm AD =，点M 在CH 上，且5cm CM =，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点M ，需要爬行的最短距离是（）A ．22cmB ．25cmC ．529cmD ．537cm6．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，从电杆上离地面5m 的C 处向地面拉一条长为7m 的钢缆，则地面钢缆A 到电线杆底部B 的距离是______．7．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高3米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行______米．8．（2023春·八年级课时练习）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A 处偏离欲到达地点B 处40m ，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m ．该河的宽度BC 为_____米．9．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，30QON ∠=︒，公路PQ 上A 处距离O 点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿MN 方向以72千米/小时的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为________秒．10．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为___________cm ．（杯壁厚度不计）11．（2023春·广东惠州·八年级阶段练习）如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C ，而另一只爬到树顶D 后直扑池塘C ，结果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？12．（2023春·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，已知15km DA =，10km CB =，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？13．（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，A 城气象台测得台风中心在A 城正西方向320km 的B 处，以每小时40km 的速度向北偏东60°的BF 方向移动，距离台风中心200km 的范围内是受台风影响的区域．(1)A 城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A 城受到这次台风影响，则A 城遭受这次台风影响有多长时间？14．（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A 、B 两个村子在笔直河岸的同侧，A 、B 两村到河岸的距离分别为2km AC =，5km BD =，6km CD =，现在要在河岸CD 上建一水厂E 向A 、B 两村输送自来水，要求水厂E 到A 、B 两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E 的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E 到A 、B 两村的距离之和的最小值．15．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一架长10米的梯子AB ，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙()BO 6米(1)此时梯子顶端A 离地面多少米?(2)若梯子顶端A 下滑3米到C 处，那么梯子底端B 将向左滑动多少米到D 处?16．（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点C 移动到点E ，同时小船从点A 移动到点B ，且绳长始终保持不变，回答下列问题：(1)根据题意，可知AC ________BC CE +（填“>”“<”“=”）；(2)若5CF =米，12AF =米，4AB =米，求男孩需向右移动的距离CE （结果保留根号）．17．（2023·江苏·八年级假期作业）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN 的一侧点A 处有一村庄，村庄A 到公路MN 的距离AB 为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN 上沿MN 方向行驶．(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？18．（2023春·全国·八年级专题练习）吴老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路径长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，长方体底面是边长为5cm的正方形，高为6cm，一只蚂蚁欲从长方体底面上的点A沿长方体表而爬到点C1处；（3）如图3，是一个底面周长为10cm，高为5cm的圆柱体，一只蚂蚁欲从圆柱体底面上的点A沿圆柱体侧面爬到点C处．。
人教版初中数学八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试题(答案解析)(1)
一、选择题1．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ABD △沿AD 翻折，得到AB D '，连接CB '，若2BD CB '==，3AD =，则AB C '的面积为（ ）A ．332B ．23C ．3D ．22．下列线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．6，8，10B ．1，2，3C ．43，1，53D ．2，4，6 3．如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2－MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．454．如图，在ABC 中，点D 是BC 上一点，连结AD ，将ACD △沿AD 翻折，得到AED ，AE 交BD 于点F ．若2BD DC =，AB AD =，2AF EF =，2CD =，DFE △的面积为1，则点D 到AE 的距离为（ ）A ．1B ．65C 5D 25．如图，长方形的长为3，宽为2，对角线为OB ，且OA OB =，则下列各数中与点A 表示的数最接近的是（ ）A ．-3.5B ．-3.6C ．-3.7D ．-3.86．如图，在ABC 中，13,17,AB AC AD BC ==⊥，垂足为D ，M 为AD 上任一点，则22MC MB -等于（ ）A ．93B ．30C ．120D ．无法确定 7．如图，分别以直角三角形ABC 的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD =，CE BE =，AF BF =，这三个直角三角形的面积分别为1S ，2S ，3S ，且19S =，216S =，则S 3S =（ ）A ．25B ．32C ．7D ．188．有一圆柱高为12cm ，底面半径为5πcm ，在圆柱下底面点A 处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A 相对的点B 处的食物，则沿侧面爬行的最短路程是（ ）A ．12cmB ．13cmC ．10cmD ．16cm 9．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）A ．34h <<B ．34h ≤≤C ．24h ≤≤D ．4h =10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1211．若实数m 、n 满足340m n -+-=，且m 、n 恰好是Rt ABC △的两条边长，则第三条边长为（ ）．A ．5B ．7C ．5或7D ．以上都不对 12．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下列四个说法：①2225x y +=，②1x y -=，③2125xy +=，④7x y +=．其中说法正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④二、填空题13．如图，已知OA OB =，若点A 对应的数是a ，则a 与52-的大小关系是a ____52-．14．已知△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，动点P 在线段BC 上从B 点向C 点运动，连接AP ，则AP 的最小值为等于________．15．“东方之门”座落于美丽的金鸡湖畔，高度约为301.8米，是苏州的地标建筑，被评为“中国最高的空中苏式园林”．现以现代大道所在的直线为x 轴，星海街所在的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（1个单位长度表示的实际距离为100米），东方之门的坐标为4(6,)A -，小明所在位置的坐标为(2,2)B -，则小明与东方之门的实际距离为___________米．16．如图，在直角ABC 中，90B ∠=︒，AE 平分BAC ∠，交BC 边于点E ，若5BC =，13AC =，则AEC 的面积是________．17．在ABC ∆中，AC ＝8，45C ∠=︒，AB ＝6，则BC ＝___________．18．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．19．如图，在三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝6，AB ＝10，如果在AC 边上取一点E ，以BE 为折痕，使AB 的一部分与BC 重合，A 与BC 延长线上的点D 重合，那么CE 的长为________．20．有一个三角形的两边长是8和10，要使这个三角形成为直角三角形，则第三边长为_______．三、解答题21．如图，ABC ∆中，,AB AC AD >是BC 边上的高，将ADC 沿AD 所在的直线翻折，使点C 落在BC 边上的点E 处．()1若20,13,5AB AC CD ===，求ABC ∆的面积；()2求证：22AB AC BE BC -=⋅．22．如图，ABC 中，90,10cm,6cm C AB BC ∠=︒==，若动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒1cm ，设出发的时间为t 秒．（1）出发2秒后，求ABP △的周长．（2）问t 为何值时，BCP 为等腰三角形？（3）另有一点Q ，从点C 开始，按C B A C →→→的路径运动，且速度为每秒2cm ，若P Q ､两点同时出发，当P Q ､中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t 为何值时，直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分？23．如图，ABC 中，AC=2AB=6，BC=33．AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM+MN 的最小值为 ．24．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面，此时，捕鱼的人发现，花在水平方向上离开原来的位置2尺远，求湖水的深度．25．三角形ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O 为坐标原点，()1,4A -，()4,1B --，()1,1C ．将三角形ABC 向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形111A B C ．（1）画出平移后的三角形；（2）直接写出点1A ，1B ，1C 的坐标：1A （______，______），1B （______，______），1C （______，______）；（3）请直接写出三角形ABC 的面积为_________．26．阅读下面的情景对话，然后解答问题：老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．小华：等边三角形一定是奇异三角形！小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华的说法：“等边三角形一定是奇异三角形”______正确（填“是”或“不是”）（2）在Rt ABC 中，两边长分别是a =10c =，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】证明AD ∥CB′，推出S △ACB′=S △CDB′即可解决问题．【详解】∵D 是BC 的中点，∴BD DC =，由翻折的性质可知ADB ADB '∠=∠，DB DB '=，∴2BD CB '==，∴2CD DB CB ''===，∴CDB '是等边三角形， ∴60CDB DCB ''∠=∠=︒，120BDB '∠=︒， ∴120ADB ADB '∠=∠=︒， ∴60ADC CDB '∠=∠=︒， ∴ADC DCB '∠=∠， ∴//AD CB '，∴22ACB CDB S S ''===△△ 故选：C ．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．2．D解析：D【分析】直接利用勾股定理的逆定理带入判断即可；【详解】A 、2226810+=，能组成直角三角形；B 、2221+= 能组成直角三角形； C 、22245()1()33+= ，能组成直角三角形；D 、22224+≠ ，不能组成直角三角形．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的运算，正确掌握勾股定理的逆运算是解题的关键； 3．D解析：D【分析】在Rt △ABD 及Rt △ADC 中可分别表示出BD 2及CD 2，在Rt △BDM 及Rt △CDM 中分别将BD 2及CD 2的表示形式代入表示出BM 2和MC 2，然后作差即可得出结果．【详解】解：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，BD 2＝AB 2−AD 2，CD 2＝AC 2−AD 2，在Rt △BDM 和Rt △CDM 中，BM 2＝BD 2＋MD 2＝AB 2−AD 2＋MD 2，MC 2＝CD 2＋MD 2＝AC 2−AD 2＋MD 2，∴MC 2−MB 2＝（AC 2−AD 2＋MD 2）−（AB 2−AD 2＋MD 2）＝AC 2−AB 2＝45．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC 2和MB 2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．4．B解析：B【分析】过A 作AG BC ⊥于点G ，根据2AF EF =可得3ADE ACD S S ∆∆==，再由勾股定理求得5AE AC ==，最后由三角形面积公式可求出点D 到AE 的距离．【详解】解：过A 作AG BC ⊥于点G∵1DFE S ∆=，2AF EF =∴2ADF S ∆=∴3ADE ACD S S ∆∆== ∵12ADC S CD AG ∆=⋅⋅ ∴3AG =∵AB AD =，AG BC ⊥∴2BD GB =由2BD CD =得，2GD CD ==∴224GC GD DC =+=+=在Rt AGC ∆中，225AC AG GC =+=∴5AE AC == ∴236255ADE S h AE ∆⨯=⋅== 故选：B ．【点睛】 本题考查了折叠问题，勾股定理定理，等腰三角形的性质以及三角形面积公式的应用，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．5．B解析：B【分析】先根据勾股定理求得A 点坐标，再利用二分法估算即可得出13比较接近-3.6．【详解】解：∵长方形的长为3，宽为2， ∴223213OA OB =+=∴A 所表示的数为13-∵23.612.9613=<，23.713.6913=>， ∴13-3.6和-3.7之间，∵23.6513.322513=>， ∴-3.6，故选：B ．【点睛】本题考查勾股定理，算术平方根的估算．掌握二分法估算是解题关键． 6．C解析：C【分析】由,AD BC ⊥结合勾股定理可得：2222,AC AB DC BD -=-2222MC MB DC BD -=-，再把已知线段的长度代入计算即可得到答案．【详解】解：,AD BC ⊥222222,,AB AD BD AC AD DC ∴=+=+22222222,AC AB AD DC AD BD DC BD ∴-=+--=-1713AC AB ==，，22221713304120DC BD ∴-=-=⨯=，,AD BC ⊥222222,,MC MD DC BM BD DM ∴=+=+22222222120.MC MB MD DC DM BD DC BD ∴-=+--=-= 故选：.C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握利用勾股定理解决问题是解题的关键． 7．A解析：A【分析】根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可．【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ，∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即AC =，∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒，∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+， ∴312S S S =+，∵19S =，216S =，∴3129+16=25S S S =+=，故答案为：A ．【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．8．B解析：B【分析】要想求得最短路程，首先要把A 和B 展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短求出蚂蚁爬行的最短路程．【详解】解：展开圆柱的半个侧面是矩形， 矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即52ππ=5cm ，矩形的宽是圆柱的高12cm ． 根据两点之间线段最短，知最短路程是矩形的对角线AB 的长，即13==cm 故选：B ．【点睛】此题考查最短路径问题，求两个不在同一平面内的两个点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内．根据两点之间，线段最短．确定要求的长，再运用勾股定理进行计算． 9．B解析：B【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．【详解】①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，底面对角线长，高为12cm ，由勾股定理可得：杯里面管长＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），∴34h ≤≤故选：B ．【点睛】本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．10．C解析：C【分析】首先根据勾股定理求得斜边AB 的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE 的长度．【详解】解：如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=16，由勾股定理知：20AB ===，∵AD=BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ． ∴1102AE BE AB ===， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 11．C解析：C【分析】根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4，再分两种情况利用勾股定理求出第三边．【详解】∵30m -=，30m -≥≥，∴m-3=0，n-4=0，解得m=3，n=4，当3、4都是直角三角形的直角边长时，第三边长；当3是直角边长，4是斜边长时，第三边长=故选：C ．【点睛】此题考查绝对值的非负性及算术平方根的非负性，勾股定理，根据绝对值的非负性及算术平方根的非负性求出m=3，n=4是解题的关键．注意：没有明确给出的是直角三角形直角边长还是斜边长时，应分情况求解第三边长．12．D解析：D【分析】根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可．【详解】①∵ABC 为直角三角形，∴22225x y AB +==，故①正确；②由图可知：11x y CE -===，故②正确；③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积，由此可得：141252xy ⨯+=，即：2125xy +=， 故③正确；④由①③相加可得：222150xy x y +++=，即()249x y +=，故7x y +=，故④正确；故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键．二、填空题13．＞【分析】根据勾股定理求出OB 长确定点A 表示的数再用估算法比较大小即可【详解】解：由图可知∴则点A 表示的数为∵∴∴故答案为：＞【点睛】本题考查了勾股定理实数在数轴上的表示和实数大小的比较熟练的运用勾 解析：＞【分析】根据勾股定理求出OB 长，确定点A 表示的数，再用估算法比较大小即可．【详解】 解：由图可知，22125OB =+=，∴5OA OB ==，则点A 表示的数为5-， ∵225(5)()2<，∴552<， ∴552->-， 故答案为：＞．【点睛】 本题考查了勾股定理、实数在数轴上的表示和实数大小的比较，熟练的运用勾股定理求出OB 长，确定A 点表示的数，能够利用算术平方根与被开方数大小之间的关系是解题关键．14．4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P 根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ∵AB=AC=5∴BP=BC=3在Rt △ABP 中由勾股定理得AP=4∵点P 是线段BC 上一动点∴AP解析：4【分析】过A 作AP ⊥BC 于P ，根据勾股定理以及垂线段最短即可得到结论．【详解】解：过A 作AP ⊥BC 于P ，∵AB=AC=5，∴BP=12BC=3， 在Rt △ABP 中，由勾股定理得，AP=4∵点P 是线段BC 上一动点，∴AP≥4所以，AP 的最小值为4故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理，求出AP=4是解题的关键．15．【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度再根据个单位长度表示的实际距离为米求出结果即可【详解】解：如图AC=6-（-2）=8BC=2-（-4）=6∴∴小明与东方之门的实际距离为10×10解析：1000【分析】运用勾股定理可求出平面直角坐标系中AB的长度，再根据1个单位长度表示的实际距离为100米求出结果即可．【详解】解：如图，AC=6-（-2）=8，BC=2-（-4）=6∴2222=6+8=10AB BC AC+∴小明与东方之门的实际距离为10×100=1000（米）故答案为：1000．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解答此题的关键．16．【分析】如图（见解析）先利用勾股定理可得再根据角平分线的性质可得然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得从而可得设在中利用勾股定理可求出x的值最后利用三角形的面积公式即可得【详解】如图过点E作于点解析：78 5【分析】如图（见解析），先利用勾股定理可得12AB=，再根据角平分线的性质可得BE DE=，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得12AD AB==，从而可得1CD=，设DE BE x==，在Rt CDE△中，利用勾股定理可求出x的值，最后利用三角形的面积公式即可得．【详解】如图，过点E 作ED AC ⊥于点D ，在Rt ABC 中，90,5,13B BC AC ∠=︒==，2212AB AC BC ∴=-=，AE ∵平分BAC ∠，且,90ED AC B ⊥∠=︒，BE DE ∴=，在Rt ABE △和Rt ADE △中，BE DE AE AE =⎧⎨=⎩， ()Rt ABE Rt ADE HL ∴≅，12AD AB ∴==，1CD AC AD ∴=-=，设DE BE x ==，则5CE BC BE x =-=-，在Rt CDE △中，222CD DE CE +=，即2221(5)x x +=-， 解得125x =， 即125DE =， 则AEC 的面积是111278132255AC DE ⋅=⨯⨯=， 故答案为：785． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．17．【分析】有两种情况可能是锐角三角形可能是钝角三角形过A 点作AD 垂直于BC 当为锐角三角时BC=CD+BD 当为钝角三角形时BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案【详解】如图过点A 作垂足为D 当为 解析：422【分析】ABC ∆有两种情况，可能是锐角三角形，可能是钝角三角形，过A 点作AD 垂直于BC ，当为ABC ∆锐角三角时，BC=CD+BD ，当ABC ∆为钝角三角形时，BC=CD-BD 利用勾股定理求出各边即可得到答案．【详解】如图，过点A 作AD BC ⊥ 垂足为D当为ABC ∆锐角三角时，AC ＝8，45C ∠=︒，90ADC ∠=︒∴ AD=CD=42 在Rt ABD ∆中BD=22226(42)3632AB AD -=-=- =2∴ BC=CD+BD=422+当为ABC ∆钝角三角时，同理可得 CD=42 ,BD=2∴ BC=CD-BD=422-故答案为：422±【点睛】本题考查了三角形的分类，勾股定理的应用，准确的画出图形是解决本题的关键． 18．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x 尺则水深AC=（x ﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x 的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x 尺则水深AC解析：12【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x ﹣1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，利用勾股定理求出x 的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x ﹣1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt △AB 'C 中，52+（x ﹣1）2=x 2，解之得x =13，即水深12尺，芦苇长13尺．故答案为：12．．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．19．3【分析】利用勾股定理可求出AC=8根据折叠的性质可得BD=ABDE=AE根据线段的和差关系可得CD的长设CE=x则DE=8-x利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案【详解】∵∠ACB＝90°BC＝解析：3【分析】利用勾股定理可求出AC=8，根据折叠的性质可得BD=AB，DE=AE，根据线段的和差关系可得CD的长，设CE=x，则DE=8-x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．【详解】∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴22-22AB BC-，106∵BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，∴BD=AB=10，DE=AE，∠DCE=90°，∴CD=BD-BC=10-6=4，设CE=x，则DE=AE=AC-CE=8-x，∴在Rt△DCE中，DE2=CE2+CD2，即（8-x）2=x2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案为：3【点睛】本题考查了翻折变换的性质及勾股定理的应用，根据翻折前后的两个图形能够重合得到相等的线段并转化到一个直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此类题目的关键．20．或6【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论利用勾股定理即可求解【详解】设第三边长为x当第三边是斜边时则x2=82+102=164;∴x=（负值舍去）当第三边是直角边时则斜边长为10∴x2+8解析：2416【分析】分第三边是直角边与斜边两种情况进行讨论，利用勾股定理即可求解．【详解】设第三边长为x ，当第三边是斜边时，则x 2=82+102=164;∴x=241，（负值舍去），当第三边是直角边时，则斜边长为10，∴x 2+82=102，解得：x=6，（负值舍去） 故答案是：241或6【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；熟练掌握勾股定理并运用分类讨论的思想是解题关键关键．三、解答题21．（1）126；（2）见解析【分析】（1）利用勾股定理容易求出AD 长；进而求出BD ，从而得到BC 长，再由三角形面积公式即可求解；（2）利用勾股定理易得2222AB AC BD DE -=-，再利用平方差公式分解因式可得()()22AB AC BD DE BD DE -=-+，根据折叠性质和线段和差关系即可得出结论．【详解】（1）解：AD 是BC 边上的高，90ADB ADC ∴∠=∠=在Rt ADC 中，13,5,AC CD ==2213514412AD ∴=-=在Rt ADB 中，20,12,AB AD ==22201225616BD ∴=-==16521,BC BD CD ∴=+=+=11211212622ABC S BC AD ∴=⨯⨯=⨯⨯=(平方单位)． （2）证明：ADC 沿AD 所在的直线翻折得到,ADE,,AC AE DC DE ∴==在Rt ADC 中，由勾股定理，得222,AC AD DC =+在Rt ADB 中，由勾股定理，得222BD AB AD =-， ()22222AB AC AB AD DC ∴-=-+222AB AD DC =-- 22BD DE =-()(),BD DE BD DE =-+,,BE BD DE BC BD DC BD DE =-=+=+22AB AC BE BC ∴-=⋅．【点睛】本题主要考查了勾股定理；熟练掌握翻折变换的性质，利用由勾股定理求解是解决问题的关键．22．（1）(16+；（2）6s t =或13s 或12s 或10.8s ；（3）t 为4或12秒【分析】（1）由已知条件得出发2秒后2cm CP =，则6AP cm =，再利用勾股定理求出PB 的长，即可求得ABP △的周长；（2）①当P 点在AC 上，易知PC BC =，6t s =，②P 点在AB 上时，分三种情况分别为：BP CB =，此时根据BP 的长度求出点P 运动的距离，进而求出运动的时间；CP BC =，此时过C 作斜边AB 的高，根据面积法求得高，根据勾股定理求得BH 的长，通过三角形全等证明BH PH =，进而通过运动距离求出运动时间；BP CP =，此时可以通过角度相等证明PA PC =，进而证明PA PB =，进而通过运动距离求出运动时间；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上时：8AP t =-，162AQ t =-，因为直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分，则可得816212t t -+-=，即可解得；当P 点在AB 上，Q 在AC 上时：8AP t =-，216AQ t =-，因为直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分，则可得，821612t t -+-=，即可解得．【详解】解：（1）如图1中，90,10cm,6cm C AB BC ︒∠===，∴由勾股定理得8cm AC ，动点P 从点C 开始，按C A B C →→→的路径运动，且速度为每秒1cm ， ∴出发2秒后，则2cm CP =，那么6AP cm =，90C ︒∠=，∴由勾股定理得PB =∴ABP △的周长为：610210(16210)cm AP PB AB ++=++=+；图1 （2）若P 在边AC 上时，6cm BC CP ==，此时用的时间为6s,BCP 为等腰三角形；若P 在AB 边上时，有两种情况：①若使6cm BP CB ==，此时4cm,AP P =运动的路程为12cm ，所以用的时间为12s ，故12s t =时BCP 为等腰三角形；②若6cm CP BC ==，如图，过C 作斜边AB 的高，根据等面积法求得高为4.8cm ，在Rt BCH 中，根据勾股定理可得 3.6BH cm =，在Rt BCH 和Rt CPH 中，CP BC CH CH =⎧⎨=⎩， ∴Rt BCH ≌Rt CPH ，∴BH PH =，∴7.2cm BP =，所以P 运动的路程为187.210.8cm -=，∴t 的时间为10.8s,BCP 为等腰三角形；③若BP CP =时，则PCB PBC ∠=∠，90ACP BCP ︒∠+∠=，90PBC CAP ︒∠+∠=，∴ACP CAP ∠=∠，PA PC =，∴5cm PA PB ==，∴P 的路程为13cm ，所以时间为13s 时，BCP 为等腰三角形．∴6s t =或13s 或12s 或10.8s 时BCP 为等腰三角形；（3）当P 点在AC 上，Q 在AB 上，则8,162AP t AQ t =-=-，∴直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分，∴816212t t -+-=，∴4t =；当P 点在AB 上，Q 在AC 上，则8,216AP t AQ t =-=-， ∴直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分，∴821612t t -+-=，∴12t =， ∴当t 为4或12秒时，直线PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．23．（1）3BE =；（2）33【分析】（1）利用勾股定理逆定理可得ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，连接AE ，根据线段垂直平分线的性质可得AE CE =，在Rt ABE △中利用勾股定理列出方程即可求解；（2）根据题意画出图形，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，利用全等三角形的判定与性质即可求解．【详解】解：（1）连接AE ， ，∵26AC AB ==，33BC =∴222AC AB BC =+，∴ABC 是直角三角形，90B ∠=︒，∵DE 垂直平分AC ，∴AE CE =，在Rt ABE △中，222AE AB BE =+，即222CE AB BE =+，∴()222333BE BE =+，解得3BE =（2）∵DE 垂直平分AC ，M 是DF 上一动点，∴AM CM =，∴CM MN AM MN +=+，若使CM MN +的值最小，则A ，M ，N 共线，且AN CF ⊥，如图，，在ABC 和CNA 中，B ANC ACB CAN AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABC ≌CNA ， ∴33AN BC ==【点睛】本题考查勾股定理逆定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，灵活运用以上基本性质定理是解题的关键．24．75尺【分析】根据题意，运用勾股定理，列方程求解即可．【详解】设湖水的深度为x 尺，则荷花的长是（x+0.5）尺，在图中的直角三角形中，由勾股定理得（x+0.5）2=x 2+22，解得x=3.75，故湖水的深度为3.75尺．【点睛】本题考查了勾股定理得应用，能从实际问题中抽象出数学模型是解题的关键．25．（1）见解析；（2）()12,2A ，()11,3B --，()14,1C -；（3）192【分析】（1）作出A 、B 、C 的对应点111,,A B C 并两两相连即可；（2）根据图形得出坐标即可；（3）根据割补法得出面积即可．【详解】解：（1）如图所示，111A B C 即为所求．（2）根据图形可得：()12,2A ，()11,3B --，()14,1C -（3）△ABC 的面积=5×5−12×3×5−12×2×3−12×2×5=192． 【点睛】本题考查作图-平移变换，熟练掌握由平移方式确定坐标的方法及由直角三角形的边所围成的图形面积的算法是解题关键．26．（1）是；（2）①当c 为斜边时，Rt △ABC 不是奇异三角形；②当b 为斜边时，Rt △ABC 是奇异三角形．【分析】（1）根据题中所给的奇异三角形的定义直接进行判断即可；（2）分c 是斜边和b 是斜边两种情况，再根据勾股定理判断出所给的三角形是否符合奇异三角形的定义．【详解】解：（1）设等边三角形的边长为a ，∵a 2+a 2=2a 2，∴等边三角形一定是奇异三角形，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是正确的，故答案为：是；(2)①当c 为斜边时，Rt △ABC 不是奇异三角形；②当b 为斜边时，Rt △ABC 是奇异三角形；理由如下，分两种情况：①当c 为斜边时，2252c a -=∴a=b ，∴a 2+c 2≠2b 2(或b 2+c 2≠2a 2)，∴Rt △ABC 不是奇异三角形；②当b 为斜边时，22+56c a =，∵a 2+b 2=200，∴2c 2=200，∴a2+b2=2c2，∴Rt△ABC是奇异三角形．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，需要熟练掌握勾股定理的公式，运用分类讨论的思想是解决第（2）问的关键．。
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14.2.1勾股定理的应用
◆随堂检测
1.分别以下列四组为一个三角形的三边的长：①6、8、10；②5、12、
13；③8、15、17；④7、8、9，其中能构成直角三角形的有（ ）.
A.4组 B.3组 C.2组 D.1
组
2.要从电杆离地面5m处向地面拉一条长为13m的电缆，则地面电缆
固定点与电线杆底部的距离应为（ ）.
A.10m B.11m C.12m
D.13m
3.现有两根木棒,长度分别为44㎝和55㎝.若要钉成一个三角形木
架，其中有一个角为直角，所需最短的木棒长度是（ ）.
A.22㎝ B.33㎝ C.44㎝ D.55㎝
4.等腰三角形ABC的面积为12㎝2，底上的高AD＝3㎝，则它的周长
为 ㎝。
5.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到
冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为
㎞。
6. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，
以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心
200km的范围内是受台风影响的区域.
（1） A城是否受到这次台风的影响？为什么？
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（2） 若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多
长时间？
◆典例分析
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000
米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行
多少千米？
分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形，如图•所示，•图中△
ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多
少千米，•就要知道飞机在20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的
长度．
东
北
F
E
A
B
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C
B
A
分析：由于直角△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可
以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算．
解：由勾股定理得
BC2=AB2-AC2=52-42=9（千米2）
即BC=3千米
飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：
360020×3=540（千米/时）
答：飞机每小时飞行540千米．
◆课下作业
●拓展提高
1.如图，已知S1、 S2和 S3分别是 RtΔABC的斜边AB及直角边BC和
AC为直径的半圆的面积，则S1、 S2和 S3满足关系式为（ ）.
A. S1< S2 +S3 B. S1= S2+ S3 C. S1> S2+ S3 D. S1= S2
S
3
2.如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度
至少需要 （ ）.
A.17m B.18m C.25m D.26m
第1题 第2题
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3.如图，为测湖两岸A、B间的距离，小兰在C点设桩，使△ABC为
直角三角形，并测得BC＝12m，AC＝15m，则A、B两点间的距离是
m。
4.如右图，一透明的直圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底部半径
为3㎝，高为8㎝，今有一支12㎝的吸管任意斜放于杯中，若
不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度至少为 m。
5.如下图，铁路上A、B两点相距25㎞，C、D为两村庄，DA⊥AB于
A，CB⊥AB于B，已知DA＝15㎞，CB＝10㎞，现在要在铁路AB上修
建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站
应修建在离A站多少千米处？
B A E
C
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●体验中考
1．（2009年北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点
B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A
爬到
点B，需要爬行的最短距离是（ ）
A．521 B．25 C．1055 D．35
5
2
1
1
C
A
B
D
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参考答案:
随堂检测
1、B, ①②③ 对；
2.C利用勾股定理即可
3．B。
4．18，由面积求出底边为8，进而求出腰围5，故周长为18.
5．25.由勾股定理求出.
6．(1)过点A做AC⊥BF于点C，由A、B、C三点构造直角三角形，
根据勾股定理求出直角边AC=160，∵160﹤200∴A城受到这次台风的
影响;
(2)以点A为圆心以200为半径画圆弧交BF于D、E，在Rt△ACD中
1201602002222ACADCD
所以DE=240，
∴A城遭受这次台风影响的时间为240÷40=6（小时）
拓展提高
1．B 本题由数形结合，勾股定理可以得出。•
2．A依勾股定理先求出底边为12，而地毯长等于两直角边的和，即
12+5=17.
3 ABC三点构造直角三角形，根据勾股定理求出直角边，即
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912152222BCACAB
。
4．2.由直角三角形求出斜边为10cm，故吸管露出杯口外的长度至少
为10cm。
5．解：设E站应修建在离A站x千米处则BE=25-x。由题意知：
2222
BCBEAEAD
,即2225)25(1015xx。
x=10
体验中考
1、B.主要利用图形的展开、勾股定理.