预备分析：非线性非平衡电磁场与光子复杂性运动
高三物理备考资料——带电粒子在电磁场中运动的应用实例分析
带电粒子在电磁场中运动的应用1、电视机电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。
电子束经过电压为U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区。
磁场方向垂直于圆面。
磁场区的中心为O ，半径为r 。
当不加磁场时，电子束将通过O 点而打到屏幕的中心M 点。
为了让电子束射到屏幕边缘P ，需要加磁场，使电子束转一已知角度θ，此时磁场的磁感应强度B 应为多少？解析： 电子在磁场中沿圆弧运动，如图所示，圆心为O ′，半径为R 。
以v 表示电子进入磁场时的速度，m 、e 分别表示电子的质量和电量，则221mv eU = R mv evB 2= Rr tg =2θ 由以上各式解得 221θtg e mU r B = 2、电磁流量计电磁流量计广泛应用于测量可导电流体（如污水）在管中的流量（在单位时间内通过管内横截面的流体的体积）。
为了简化，假设流量计是如图所示的横截面为长方形的一段管道，其中空部分的长、宽、高分别为图中的a 、b 、c ，流量计的两端与输送液体的管道相连接（图中虚线）。
图中流量计的上下两面是金属材料，前后两面是绝缘材料，现于流量计所在处加磁感强度为B 的匀强磁场，磁场方向垂直于前后两面。
当导电液体稳定地流经流量计时，在管外将流量计上、下两表面分别与一串接了电阻R 的电流表的两端连接，I 表示测得的电流值。
已知流体的电阻率为ρ，不计电流表的内阻，则可求得流量为 A. )(ac bR B I ρ+ B. )(c b aR B I ρ+ C. )(b a cR B I ρ+ D. )(abc R B I ρ+ 答案： A3、质谱仪下图是测量带电粒子质量的仪器工作原理示意图。
设法是某有机化合物的气态分子导入图中所示的容器A 中，使它受到电子束轰击，失去一个电子变成正一价的分子离子。
分子离子从狭缝s 1以很小的速度进入电压为U 的加速电场区（初速不计），加速后，再通过狭缝s 2、s 3射入磁感强度为B 的匀强磁场，方向垂直于磁场区的界面PQ 。
复杂结构非线性振动特性分析与建模
复杂结构非线性振动特性分析与建模随着科学技术的迅猛发展，复杂结构的研究领域越来越受到关注。
复杂结构的振动特性分析与建模是一项重要的研究任务。
本文将探讨复杂结构非线性振动特性分析与建模的方法和难点。
1. 引言复杂结构的非线性振动特性是指在振动过程中，结构的变形和刚度的非线性响应。
这对于复杂结构的设计、分析和控制都具有重要的意义。
2. 非线性振动特性分析复杂结构的非线性振动特性分析是一项挑战性的任务。
传统的线性振动理论无法完全描述复杂结构的振动行为。
非线性振动特性分析需要考虑结构的非线性响应以及外部激励对结构的影响。
2.1. 相位空间重构方法相位空间重构方法是一种重要的非线性振动特性分析方法。
它基于相位空间的重构理论，通过构建相位空间投影来研究系统的非线性动力学行为。
这种方法可以揭示结构的非线性特性，如混沌现象和周期运动。
2.2. 非线性动力学模型另一种常用的非线性振动特性分析方法是建立非线性动力学模型。
这种模型可以用来描述结构的变形和刚度非线性响应。
常见的非线性动力学模型包括Van der Pol模型和Duffing模型等。
2.3. 数值模拟方法数值模拟方法也是研究复杂结构非线性振动特性的重要手段。
有限元法和多体动力学法是常用的数值模拟方法。
通过数值模拟可以得到结构在不同激励下的振动响应，并进一步分析非线性振动特性。
3. 复杂结构的建模复杂结构的建模是非线性振动特性分析的前提。
准确的结构建模对于分析结构的振动特性至关重要。
复杂结构的建模可以通过实验和数学建模两种方法实现。
3.1. 实验建模实验建模是通过实验测试来获取结构的振动响应数据，并进一步建立相应的数学模型。
实验建模需要考虑结构的物理性质和实验装置的限制。
3.2. 数学建模数学建模是通过数学方法建立结构的振动模型。
数学建模可以基于结构的几何形状和材料特性来分析结构的振动特性。
常见的数学建模方法包括有限元法和多体动力学法。
4. 复杂结构非线性振动特性的挑战与展望复杂结构非线性振动特性分析与建模是一个充满挑战的领域。
第十六章 非线性物理简介
第十六章非线性物理简介引子：英国的海岸线有多长－－浅谈分形理论1967年，美国科学家曼德尔布罗在《科学》杂志上发表了一篇文章，题目是“英国的海岸线有多长？统计自相似和分形维”。
海岸线曲曲弯弯，包含了数不清的小湾和小半岛。
如果一个巨人一步能跨一公里，他可以沿着海岸走，丈量出海岸线的一个长度。
如果他一步只有五百米，他就会丈量出一个长一些的长度。
如果是一个一步只有一米的人来丈量，他可以分辨出更多的细节，得到更长的长度。
随着尺子变小，长度越来越长。
那英国的海岸线到底有多长？这看起来平庸的问题却开创了一门新的学科—分形几何学。
分形一词是由拉丁文“fractus”转化而来，原意为不规则的、支离破碎的物体。
1975年，曼德尔布罗翻阅儿子拉丁语字典时得到启发，用该词创造出一个新英文单词“fractal”，用以描述他一直研究的各种不规则的几何体。
1982年，他在《大自然的断裂状物体几何》中写道：“为什么几何给人的印象那么枯燥乏味？原因之一是它不能描绘出云彩、山峰或树的自然形状。
因为云朵不是球面，山坡不是锥体，海岸不是圆形，树皮不光滑，闪电也不是直线。
”那么隐藏在这些不规则形状之后的是什么呢？曼德尔布罗发现：“如果你仔细观察一棵树，就会发现它的每一部分都形似它的整体。
”这样的例子在自然界里比比皆是：花菜、雪花、闪电、云彩、山峰、肺、血管…曼德尔布罗认为这种部分与整体的自相似性就是自然结构的基本特性，他在1986给出定义“一分形乃以其某种方式使部分相似于整体的形状”。
分形概念一经提出很快就越出数学的范畴。
在物理学里，分形结构就有很多：一维准晶体，枝晶生长图样，聚合物生长，介电击穿形成的放电图样，逾渗模型里的集团结构，相变过程的临界行为，布朗运动，混沌系统里的奇异吸引子等等。
20世纪90年代，美国宇宙学家林德甚至提出，真空场的起伏波，由于时空膨胀而冻结，成为新的时空膨胀点，从而使整个宇宙生长为一个分形时空树。
现在分形的研究已成为非线性科学研究中的一个重要内容，并扩展到生态、生命、经济、人文等许多领域，在一些电子艺术中甚至出现奇异绚丽的分形视觉艺术作品，在计算机上也可以生成美丽如画的自然风光。
非线性光学中的非线性效应
非线性光学中的非线性效应非线性光学是光学领域中的一个重要分支，是经典光学和量子光学的交叉学科，有着广泛的应用和研究价值。
非线性光学中最基本的内容是非线性效应，这是因为物质与电磁波的相互作用是非线性的，而非线性效应是这种相互作用中最基本的结果之一。
一、什么是非线性效应一般来说，物质对电磁场的响应是线性的，即物质的极化率与电场强度成正比。
而在强光作用下，物质的响应就会变得非线性，这是因为物质中电子的电荷密度受到电磁场的影响而发生振动，产生了次谐波、三次谐波等高次谐波的频率成分，使得物质的响应不再是线性的。
比较常见的非线性效应有光学相位共轭、和频、差频、倍频等。
其中，和频与差频效应是与光学调制相关的，它们可以用于光学通信、光学传感、光学谱学等方面的应用；倍频效应则广泛应用于绿色激光、蓝光激光等领域。
二、和频效应的应用和频效应是指两束光波相交后产生一个新的频率为两束光波频率之和的光波的过程。
这个新产生的光波具有和原光波不同的颜色和波长，因此称为和频光。
这种效应可以用于光学调制、光学变频、光学振荡等方面的应用。
在光通信领域，和频效应被广泛应用于光纤通信中光波信号的调制与检测。
通过调制光波的强度，可以使其产生和频效应，而和频光则可以用于检测光波信号的强度和频率。
这种技术被称为和频光检测技术，因为其具有高灵敏度、高分辨率、高速度等优点，被广泛应用于光纤通信、光学传感等方面。
此外，和频效应还可以用于光学成像。
通过将待测试物体的反射光与强泵浦光交叉作用，可以产生和频光，从而获得待测试物体的成像信息。
这种技术被称为和频成像技术，因为其具有快速、高分辨率、非侵入性等优点，被广泛应用于生物医学成像、材料表征等方面。
三、差频效应的应用差频效应是指两束光波相交后产生一个新的频率为两束光波频率之差的光波的过程。
这个新产生的光波具有和原光波不同的颜色和波长，因此称为差频光。
这种效应可以用于光学调制、光学变频、光学振荡等方面的应用。
数学中的复杂系统和非线性动力学
数学中的复杂系统和非线性动力学随着科学技术的不断发展，人们对于复杂系统的研究越来越感兴趣。
复杂系统是由许多相互联系和作用的元素组成，这些元素之间的关系可能会随时间变化而产生变化。
但是，这些系统往往比较难以理解，因为它们的行为具有不可预测性和不可确定性。
在数学中，复杂系统的研究和分析是一门重要的学科，而这门学科的一个核心内容就是非线性动力学。
在数学中，动力学是一门研究物体运动规律和光、电、热能的传递规律的学科。
线性动力学研究的是线性系统，这些系统中的元素之间的关系是可以通过线性方程来描述的。
然而，非线性动力学研究的是非线性系统，这些系统中的元素之间的关系无法通过线性方程来描述。
非线性系统往往具有复杂的行为和不可预测性。
例如，天气系统就是一个典型的非线性系统。
虽然我们可以通过观测气温、湿度、气压等指标来预测未来的天气趋势，但是由于天气系统是一个非线性系统，即使是微小的扰动也可能导致非常不同寻常的天气现象的出现。
这也是为什么我们在气象预报中经常听到关于概率和范围的预测，而不是绝对准确的预测。
其他的非线性系统包括心脏病理系统、人口系统和经济系统等。
非线性动力学的研究很大程度上集中在混沌理论的探究上。
混沌理论研究的是一种决定论的系统，这种系统虽然是确定性的，但是由于初始条件的微小差异，也可能会产生完全不同的演化结果。
换句话说，混沌系统可能会在看似随机的行为模式之间不断跳跃，这就是所谓的混沌现象。
混沌现象可以用一种叫做“迭代函数系统”的方式来描述。
迭代函数系统使用一系列非线性方程来描述非线性系统，这些方程通常是相互联系的，并且会随着时间变化而产生变化。
在迭代函数系统中，我们可以通过输入初始条件并反复应用这些方程来计算系统的演化。
因此，迭代函数系统和计算机模拟合作是研究非线性系统和混沌现象的重要工具。
虽然非线性动力学和混沌理论可能听起来很复杂，但是它们也具有实际的应用。
例如，在金融市场中，非线性动力学可以用来预测市场趋势和风险。
非线性动力分析方法课件
反馈线性化控制
优点
能够处理非线性问题，提高系统的控制精度 和稳定性。
缺点
实现较为复杂，需要精确的系统模型和参数。
自适应控制
通过不断调整控制参数，以适应系统参数的变化。
优点：能够适应系统参数的变化，提高系统的鲁 棒性和适应性。
自适应控制是一种能够自动调整控制参数，以适 应系统参数变化的控制方法。这种方法通过实时 测量系统参数的变化，不断更新控制参数，以保 证系统性能的稳定性和最优性。
机构运动
在机构运动中，非线性动 力系统可以用于描述机构 的运动规律，如连杆机构、 凸轮机构等。
弹性力学
非线性动力系统在弹性力 学中可以用于描述材料的 非线性行为，如材料的弹 塑性、断裂等。
电力系统中的应用实例
电力系统的稳定性分析
非线性动力系统可以用于分析电力系统的稳定性，如电压波动、 频率稳定等。
谱方法的基本思想是将原问题转化为求解特征值或特征向量 的问题，通过选取适当的正交变换，将原问题转化为易于求 解的数值问题。该方法广泛应用于数值计算、流体动力学等 领域。
边界元法
边界元法是一种只对边界进行离散化 的数值方法，通过求解边界上的离散 方程来近似求解原问题的数值方法。
边界元法的基本思想是将问题只离散 化边界上的点，通过求解边界上的离 散方程来近似求解原问题的数值方法。 该方法广泛应用于流体动力学、电磁 学等领域。
缺点：可能会产生抖振现象， 需要精确的系统模型和参数。
05
非性力系的
欧拉方法
总结词
欧拉方法是数值计算中最基础的方法 之一，适用于求解初值问题。
详细描述
欧拉方法基于差分思想，通过已知的 初值和微分方程，逐步计算出未知的 函数值。该方法简单易懂，但精度较 低，适用于求解简单问题。
物理学中的非线性动力学研究
物理学中的非线性动力学研究在物理学的广袤领域中，非线性动力学宛如一座神秘而深邃的迷宫，吸引着无数科学家投身其中，探寻其奥秘。
它不仅为我们揭示了自然界中复杂现象背后的规律，还为许多实际应用提供了理论基础和创新思路。
要理解非线性动力学，首先得从“线性”和“非线性”的概念说起。
在我们熟悉的线性系统中，输入与输出之间存在着简单的比例关系，就像是在一条笔直的道路上行走，结果往往是可以预测和直观理解的。
然而，非线性系统却并非如此。
在非线性系统中，输入的微小变化可能会导致输出产生巨大的、难以预料的改变。
这种复杂性使得非线性系统的行为更加丰富多彩，也更具挑战性。
非线性动力学的研究对象广泛，涵盖了从微观的粒子运动到宏观的天体现象。
例如，流体中的湍流现象就是一个典型的非线性问题。
当流体的流速超过一定阈值时，原本平稳的流动会突然变得混乱无序，形成复杂的漩涡和湍流结构。
这种现象不仅在河流、海洋中常见，在工业管道中的流体传输、飞机机翼周围的气流等领域也具有重要意义。
再比如，生态系统中的种群动态也是非线性动力学的研究范畴。
一个物种的数量变化往往受到多种因素的相互作用，如食物供应、天敌数量、环境变化等。
这些因素之间的非线性关系使得种群数量的变化呈现出复杂的波动和周期性，甚至可能导致物种的灭绝或新物种的诞生。
在物理学中，非线性动力学的研究方法多种多样。
其中，数值模拟是一种非常重要的手段。
通过建立数学模型，将非线性方程转化为计算机程序，我们可以模拟系统的演化过程，观察其复杂的行为。
此外，实验研究也是不可或缺的。
通过精心设计的实验，我们可以直接观察和测量非线性系统的特性，验证理论模型的正确性。
非线性动力学的一个重要概念是混沌。
混沌现象看起来似乎是随机和无序的，但实际上它是由确定性的方程所支配。
这意味着，尽管我们知道系统的初始条件和演化规则，但由于系统的敏感性，微小的初始差异会在后续的演化中被迅速放大，导致结果的不可预测性。
例如，著名的“蝴蝶效应”就是混沌现象的一个生动例子：一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。
非线性科学,球形闪电和一般的三维非线性波的电磁孤子模型
非线性科学，球形闪电和一般的三维非线性波的电磁孤子模型张一方（云南大学物理系，昆明650091）摘要：非线性科学是当代科学发展的主要前沿之一。
由此得到的地震震级-周期公式预报的地震，不断被证实。
非线性引力波的预言也被证实。
球形闪电是大自然中一个未解之谜。
由非线性电磁场、非线性光学、一般的非线性电磁相互作用及其他非线性方程可以定量导出三维非线性波的电磁孤子模型，进而由此推测球形闪电应该是电磁孤子的特例。
关键词：非线性；球形闪电；电磁场；孤子；波中图分类号：P315.02文献标志码：A文章编号：1673-2928（2021）02-0090-05收稿日期：2020-9-15基金项目：国家自然科学基金项目（11664044）。
作者简介：张一方（1947-），男，云南人，教授，主要研究理论物理和交叉科学。
DOI:10.19329/ki.1673-2928.2021.02.0222021年3月第20卷第2期（总第110期）安阳工学院学报Journal of Anyang Institute of TechnologyMar,2021Vol.20No.2（Gen.No.110）非线性科学是当代科学发展的主要前沿之一。
众所周知，非线性科学有3个研究热点：混沌、孤子和分形。
1988年笔者提出一种粒子的分形模型，并推广分数维为复数维[1]。
对此《人民日报海外版》2002年4月29日第6版和哈尔滨工业大学出版社2004年出版的《探索未知世界》物理篇中68-69页都做过报道。
近年，笔者进一步展开了更深入的研究[2-3]。
本文讨论了某些非线性理论，并基于一般的非线性电磁场及其非线性方程定量导出三维非线性波的电磁孤子模型，由此推测球形闪电应该是电磁孤子的特例。
1某些非线性理论基于非线性流体力学方程等，可以导出笔者1989年提出的地震震级-周期公式[4-9]：T =T 010-b (M 0-M )（1）基于此可以在一定的时空范围对大地震做出定量预言。
动力系统非线性分析研究
动力系统非线性分析研究一、引言动力系统是研究物体在运动过程中的力学和控制性质的学科领域，而非线性分析则是研究动力系统中的非线性因素对其运动特性的影响。
在实际应用中，许多物理系统都具有复杂的非线性特性，需要使用非线性分析方法对其进行深入研究。
本文旨在介绍动力系统非线性分析的基本概念、方法和应用，并以某型号运动飞行器为例，对其动力系统进行非线性分析。
二、动力系统非线性分析基础1.非线性系统与线性系统在物理系统中，当系统的输出与输入之间呈现非线性关系时，称该系统为非线性系统。
相比之下，当系统的输出与输入之间呈现线性关系时，则称该系统为线性系统。
非线性系统在很多实际应用中显得尤为重要，如生物医学、环境科学和飞行器控制等领域。
2.常见非线性现象动力系统中常见的非线性现象包括周期运动、混沌、分岔等。
其中，周期运动指系统的输出呈现周期性特征，混沌指系统的输出展现复杂不规则的运动轨迹，而分岔则表明系统参数出现微小变化导致其输出发生极大变化。
3.非线性分析方法非线性分析涉及多种数学和计算机科学技术，常见的方法包括李雅普诺夫指数法、分岔理论、正则化方法等。
此外，机器学习技术已广泛应用于动力系统的非线性分析中。
三、运动飞行器动力系统非线性分析以某型号运动飞行器为例，对其动力系统进行非线性分析。
该飞行器的动力系统由一个涡轮喷气发动机和多个舵面控制器组成，系统输出为飞行器的姿态和航向信息。
1.李雅普诺夫指数分析采用李雅普诺夫指数法对该飞行器的姿态控制系统进行分析。
从理论上来说，如果系统的所有李雅普诺夫指数均为负，则系统是渐近稳定的。
实际计算中，该飞行器的姿态控制系统所有李雅普诺夫指数均为负，说明该系统在发生微小扰动后能够重回初始姿态。
2.分岔分析采用分岔理论对该飞行器的发动机控制系统进行分析。
该系统的参数可由两个参数$ \alpha $和$ \beta $描述，当$ \alpha $超过临界值时，系统输出呈现明显的分岔现象。
非线性动力学系统的分析与控制
非线性动力学系统的分析与控制随着科学技术的不断发展，人们对复杂系统的研究日益深入。
非线性系统时常出现在自然界和工程技术中，例如气象系统、化学反应、电路、生物系统、机械系统等等。
非线性系统具有极其丰富的动态行为，不同的系统之间存在着很大的差异性。
面对这些复杂多样的非线性系统，如何进行分析与控制是非常重要的。
一、非线性动力学系统的定义及特点非线性动力学系统是指在时间和空间上均发生动态行为的系统，其系统关系不是线性关系。
由于非线性因素的存在导致了系统的复杂性和不可预测性，系统可能表现出各种奇异的动态行为。
这些动态行为包括周期性运动、混沌、周期倍增等等。
一个非线性系统通常由多个部分组成，每个部分之间有相互作用，这种相互作用可以是线性的，也可以是非线性的。
与线性系统不同的是，非线性系统的各种状态和运动是非简单叠加的，微小的扰动可能会导致系统出现完全不同的行为，所以非线性系统的行为很难被准确地预测和控制。
二、非线性动力学系统的分析方法1. 数值方法数值方法是研究非线性系统的基本工具之一。
数值方法的核心是计算机程序，基本思路就是用计算机模拟系统的行为，通过计算机的演算，得出系统的动态变化。
在数值模拟中，巨大的数据量和模拟误差可能导致计算结果的不确定性。
为了解决这个问题，可以采用随机性和模糊性来描述不确定性，将非确定性的信息融入到模型和模拟中。
2. 动力学分析动力学分析是利用动力学知识进行对非线性系统的分析和研究。
通过对系统的本质特性进行分析，了解系统的发展趋势和行为特征。
动力学分析主要通过相空间画图、稳定性分析、流形理论等方法对非线性系统进行分析。
其中，相空间画图是研究非线性系统最常用的方法之一。
它可以将非线性系统的状态表示为相空间中的一点，通过画出系统在相空间中的运动轨迹，了解系统在不同初态下的动态行为。
3. 控制方法控制方法是为了改变非线性系统的行为，使其达到预期目标或保持稳定状态。
非线性系统的控制可以分为开环控制和反馈控制。
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预备分析：非线性非平衡电磁场与光子复杂性运动 李宗诚 苏州大学交叉科学研究室(筹) 215000 lzc58515@21cn. com
摘 要 本文转向非线性非平衡场去讨论光子的复杂运动和演变。 关键词 量子电动力学，超越完备化，非线性，光速，相对论超越完备不变性
1．引 言 在文[1] ~ [8 ] 建立非线性非平衡态量子场交叉分析物理基础上，文[9] 探讨将量子电动力学拓展到非线性非平衡态领域，建立非线性非平衡性超越类完备量子电动力学基础。文[10] ~ [25] 建立的交叉分析物理和超越完备量子结点物理可推广应用于量子场。 在原有量子力学理论中，辐射场——真空中的电磁场——用矢量势A (r, t ) 描述。采用Coulomb规范，辐射场的标量势设定为0。场强为
AB×∇=，
tAcE
∂
∂−=1
。 (1 )
Lorentz条件在无标量势情况下就是0=⋅∇A。量子化的辐射场矢量势是
()()()[]tikktikkkk
kkeruaeruactrAωωωπ∗↓−+=∑22,h， (2 )
此处、分别是k态光子的消灭、产生算符；uk
a↓
ka
k (r) 是复数矢量模式函数，它满足
()0
2
22=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∇ruckk
ω。
腔QED的特点是：真空电场的均方根值是位置的函数，在腔壁上它是0，而在腔中心它是最大值。因此原子与腔的耦合强度是原子质心位置R的函数。在腔外，耦合为0，
1,,+→ngne都是H的本征态。若失谐δ是负值，则ne,能量大于1,,+→ngne。
在腔内它们变为n,+和n,−
，能量差别从腔壁到中心逐步增大。
下面让我们转向非线性非平衡场去讨论光子的复杂运动和演变。
2. 非线性非平衡性可拓展Maxwell电磁场方程组与光速问题 对于具有分岔－混沌波动性的光子及其系统来说，在文[1] ~ [9 ] 由Maxwell电磁场方程组拓展而成的非线性非平衡性类完备电磁场方程组应当是最恰当的理论形式。这些方程的形式可以列举如下（以高斯为单位，其中非线性非平衡性场的类运动矢量具有相同因次）：
http://www.paper.edu.cn 1 tBccurlE∂
∂−=ζ
λζ
1
， 0=ζdivB
，
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+∂∂=ζζλζπJ
tDccurlH4
1， ζζπρ4=divD， (3 )
式中，cλ 为非线性非平衡性光子演变系统的前沿速度，为非线性非平衡性电场强度，为非线性非平衡性磁场强度，为非线性非平衡性电位移的类运动矢量，为非线性非平衡性完备磁感应强度，为非线性非平衡电流。这里有如下关系：
ζEζHζDζB
ζJ()EEEdEE
EddEEEE~~~
~:~,~
∂∂−∂∂
=ζζζ
ζζζζ，
()HHHdHH
HddHHHH~~~
~:~,~
∂∂−∂∂
=ζζζ
ζζζζ，
()DDDdDD
DddDDDD~~~
~:~,~
∂∂−∂∂
=ζζζ
ζζζζ，
()BBBdBB
BddBBBB~~~
~:~,~
∂∂−∂∂
=ζζζ
ζζζζ，
()JJJdJJ
JddJJJJ~~~
~:~,~
∂∂−∂∂
=ζζζ
ζζζζ。
如果仅仅考虑真空情况，则有 ζζED~~=， ζζHB~~=。 (4 )
在无电荷和电流时，有
tHcEcurl∂
∂−=ζ
λζ
~1~
， 0~=ζHdiv
，
tHcHcurl∂
∂=ζ
λζ
~1~
， 0~=ζEdiv
， (5 )
从而有 ζζζHHgraddivHcurlcurl~~~2∇−=
2222
~1~1
tHcEcurltc∂∂
−=∂
∂=ζ
λζλ，
因此ζ
H
~满足下列与分岔－混沌波动性有关的交叉波动方程：
http://www.paper.edu.cn 22222~1~~
tHcH
∂
∂=∇ζ
λζζ，
对于ζ
E
~也可以得到类似的结果。
由上述可知，在非线性非平衡性完备场中的扰动以非线性非平衡性演变光子的前沿速度进行传播，而量值由如下公式给出： λcλ
c
()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡++===∑
=−
N
nnncNccc111011;η
δηη
λλ， (6 )
式中，δ为Feigenbaum常数；ηo为未分岔时段 [t o , t1 ]在一特定演变时段 [t o , t ] 中所占的比
重，且0 ≤ η o < 1；η1 为一级分岔时段 [t1 , t 2 ] 在 [t o, t ] 中所占的比重。在不同的值下
有自己的极限值，例如，当δ = 4.6692时，的极限值约为cλ
c
λc N = 2.99 c 。一般地，在量值cλc 和2.99c 之间随非线性非平衡光子的演变而变动。也就是说，当当δ = 4.6692时，量值在 λ
c
c = 2.99792 × 10 10 cm / s ~ 2.99c = 2.99 × 2.99792 × 10 10 cm / s 范围内。 在本文作者给出的关于非线性非平衡性光子演变系统的前沿速度的公式 (6 ) 显然与倍周期分岔序列的收敛常数δ和标度因子α有关。在一维单峰映像x n + 1 = f (λ, x n) 中，每个周期
“窗口”内都含有k，k 2，…，k ∞ 的周期轨道。类似于倍周期分岔序列，它们的超稳轨道参
数1~λ，2
~λ，…，∞λ~也都有其收敛常数δk，并且在无穷累积点∞λ~( k ) 处，仍有普适的函数
gk (x )：
()()()xgxkkf
knknnkn
⇒∞∞→αλα/,,lim， (7 )
这里是该序列的标度因子。然而，迄今人们尚未找到计算和的很好的逼近方法。由于它们在数值上远比倍周期分岔序列要大，通过求解来逼近的传统方法就难以得到准确的结果。 不失一般性，在一维单峰映像x n + 1 = f (λ , x n ) 中，将函数在一点周期的分岔点进行
Taylor展开，可以得到 ()()⋅⋅⋅+′′+==+210,211,nnnxfxfxλλ， (8 )
这里我们考虑的是二次极大的单峰映像。注意到稳定的k点周期满足x n + 1 = f ( k，λ , x n )，仍
将其位于最近于临界点的x在分岔值λ′ 展开：
()()()⋅⋅⋅+′′′′′+′=∑−=+211ˆ,0,210,,nkiiknxxffkfxλλλ， (9 )
这里每个(0,,ˆ)λ′=ifxi都是λ′ 的函数。对于 (9 ) 式重新标度()nnykfx0,,λ′=，并令式
中y n的平方项系数与 (8 ) 式中的平方项系数相同，就得到重整化群的递推关系：
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