复变函数答案
完整版)复变函数测试题及答案
完整版)复变函数测试题及答案复变函数测验题第一章复数与复变函数一、选择题1.当 $z=\frac{1+i}{1-i}$ 时，$z+z+z$ 的值等于（）A) $i$ (B) $-i$ (C) $1$ (D) $-1$2.设复数 $z$ 满足 $\operatorname{arc}(z+2)=\frac{\pi}{3}$，$\operatorname{arc}(z-2)=\frac{5\pi}{6}$，那么 $z$ 等于（）A) $-1+3i$ (B) $-3+i$ (C) $-\frac{2}{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}i$ (D) $\frac{1}{3}+2\sqrt{3}i$3.复数 $z=\tan\theta-i\left(\frac{1}{2}\right)$，$0<\theta<\pi$，则 $[0<\theta<\frac{\pi}{2}$ 时，$z$ 的三角表示式是（）A) $\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (B)$\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$ (C) $-\sec\theta[\cos(\pi+\theta)+i\sin(\pi+\theta)]$ (D) $-\sec\theta[\cos\theta+i\sin\theta]$4.若 $z$ 为非零复数，则 $z^2-\bar{z}^2$ 与$2\operatorname{Re}(z)$ 的关系是（）A) $z^2-\bar{z}^2\geq 2\operatorname{Re}(z)$ (B) $z^2-\bar{z}^2=2\operatorname{Re}(z)$ (C) $z^2-\bar{z}^2\leq2\operatorname{Re}(z)$ (D) 不能比较大小5.设 $x,y$ 为实数，$z_1=x+1+\mathrm{i}y,z_2=x-1+\mathrm{i}y$ 且有 $z_1+z_2=12$，则动点 $(x,y)$ 的轨迹是（）A) 圆 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D) 抛物线6.一个向量顺时针旋转 $\frac{\pi}{3}$，向右平移 $3$ 个单位，再向下平移 $1$ 个单位后对应的复数为 $1-3\mathrm{i}$，则原向量对应的复数是（）A) $2$ (B) $1+3\mathrm{i}$ (C) $3-\mathrm{i}$ (D)$3+\mathrm{i}$7.使得 $z=\bar{z}$ 成立的复数 $z$ 是（）A) 不存在的 (B) 唯一的 (C) 纯虚数 (D) 实数8.设 $z$ 为复数，则方程 $z+\bar{z}=2+\mathrm{i}$ 的解是（）A) $-\frac{3}{3}+\mathrm{i}$ (B) $-\mathrm{i}$ (C)$\mathrm{i}$ (D) $-\mathrm{i}+4$9.满足不等式$|z+i|\leq 2$ 的所有点$z$ 构成的集合是（）A) 有界区域 (B) 无界区域 (C) 有界闭区域 (D) 无界闭区域10.方程 $z+2-3\mathrm{i}=2$ 所代表的曲线是（）A) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (B) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (C) 中心为 $-2+3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周 (D) 中心为 $2-3\mathrm{i}$，半径为 $2$ 的圆周11.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）A) $\frac{z-1}{z+2}=2$ (B) $z+3-\bar{z}-3=4$ (C) $|z-a|=1$ ($a0$)12.设 $f(z)=1-z$，$z_1=2+3\mathrm{i}$，$z_2=5-\mathrm{i}$，则 $f(z_1-z_2)$ 等于（）A) $-2-2\mathrm{i}$ (B) $-2+2\mathrm{i}$ (C)$2+2\mathrm{i}$ (D) $2-2\mathrm{i}$1.设 $f(z)=1$，$f'(z)=1+i$，则 $\lim_{z\to 0}\frac{f(z)-1}{z}=$ $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析，且 $u+v$ 是实常数，则$f(z)$ 在 $D$ 内是常数。
(完整版)复变函数试题及答案
-5四123456五1一二三四2、、、、、、、、5、、、填（1611-计求将计计求设证使单判计B计证空e算函函算算将函明符选断算i1算明题n）9积数数积实单数：合题题题2题题（解，2分分积位在D条（（（，（（每不析fff2分圆件每每每z7每每小存zzz函CC3e小小小小小在题在zL数CIxz0=2题题题2题题区解的z221zzd1k402y321域2析z零226，共(Di分1k6a7，点分分分=1iD形0，x分z分80z且是zd，，，2，5内,c映,视））1满doC孤本共共共A±1解射iL答zs:足立质，2在…1析成题2134在的6的，x006C），z单情：2C所分分分(证，位a况f9有1i）））i y明圆的可23孤2711n：去)酌01C1立+w函52心情，1z奇iy数的邻给8点41D直域21的（2i，1线内n1f，分包9u，段分展zA式括，1，成也f0线15共洛在2性01n9朗）A变D21z0级处换内分数2的解1n）w留（析,数并nL指z1出,2 收敛）的域函数____________________________________________________________________________________________________________ f z
1 解： C 的参数方程为： z=i+t, 0 t 1 dz=dt
x
y
ix 2
dz ＝
1
t
1
it 2 dt =
1
i
C
0
23
2 解: z 1为 f z 一阶极点
z 1 为 f z 二阶极点
2
2k
1, 2 ) ， 4 ei ln 2 e 4
(k=0, 1, 2 )
5
i , 6 0, 7
复变函数课后习题答案(全)
习题一答案之巴公井开创作1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+ （2）(1)(2)i i i -- （3）131i i i -- （4）8214i i i -+- 解：（1）1323213i z i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-， （2）3(1)(2)1310i i i z i i i -+===---， 因此，31Re , Im 1010z z =-=， （3）133335122i i i z i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-， （4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cos sin 22ii i e πππ=+= （2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+= （3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22i r i re πθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值：（1）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5（6解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=- （3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+-- （4）23(cos5sin5)(cos3sin3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式暗示12z z 与12z z 解：12cos sin , 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以 12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+， 5． 解下列方程：（1）5()1z i += （2）440 (0)z a a +=> 解：（1）z i += 由此25k i z i e i π=-=-， (0,1,2,3,4)k =（2）z ==11[cos (2)sin (2)]44a k i k ππππ=+++，当0,1,2,3k =时，对应的4个根分别为：(1), 1), 1), )i i i i +-+--- 6． 证明下列各题：（1）设,z x iy =+则z x y ≤≤+证明：首先，显然有z x y =≤+；其次，因 222,x y x y +≥ 固此有 2222()(),x y x y +≥+从而z =≥。
复变函数考试题及答案
复变函数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 复变函数中，以下哪个选项是解析函数的必要条件？A. 函数在定义域内连续B. 函数在定义域内可导C. 函数在定义域内满足柯西-黎曼方程D. 函数在定义域内处处有界答案：C2. 如果函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析的，则以下哪个等式成立？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = -∂v/∂xC. ∂u/∂x = -∂v/∂yD. ∂u/∂y = ∂v/∂x答案：B3. 在复平面上，以下哪个区域是单连通的？A. 整个复平面B. 去掉原点的复平面C. 去掉实轴的复平面D. 去掉单位圆的复平面答案：A4. 复变函数的柯西积分定理适用于以下哪种情况？A. 函数在整个复平面上解析B. 函数在简单连通域内解析C. 函数在任意区域解析D. 函数在任意区域连续答案：B5. 对于解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，以下哪个等式是正确的？A. ∂u/∂x = ∂v/∂yB. ∂u/∂y = ∂v/∂xC. ∂u/∂x = ∂v/∂yD. ∂u/∂y = -∂v/∂x答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果f(z)是解析函数，且f(z)=z^2，则f'(z)=________。
答案：2z2. 函数f(z)=1/z在z=0处是________。
答案：无定义的3. 函数f(z)=e^z的导数是________。
答案：e^z4. 函数f(z)=z^n（n为正整数）的n阶导数是________。
答案：n!5. 函数f(z)=sin(z)的解析延拓是________。
答案：sin(z)三、计算题（每题10分，共20分）1. 计算积分∮_C z^2 dz，其中C是由z=1和z=i围成的矩形的边界。
答案：02. 计算积分∮_C (z^2-1)/z dz，其中C是单位圆|z|=1的正向边界。
答案：2πi四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明如果f(z)是解析函数，且f(z)在某个区域内有界，则f(z)在该区域内是常数函数。
《复变函数》习题及答案
第 1 页 共 10 页《复变函数》习题及答案一、 判断题1、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0的某个邻域内可导。
（ ）2、如果z 0是f (z )的本性奇点，则)(lim 0z f z z →一定不存在。
（ ）3、若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内连续，则u (x,y )与v (x,y )都在D 内连续。
( )4、cos z 与sin z 在复平面内有界。
（ ）5、若z 0是)(z f 的m 阶零点，则z 0是1/)(z f 的m 阶极点。
（ ）6、若f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件，则f (z )在z 0解析。
（ ）7、若)(lim 0z f z z →存在且有限，则z 0是函数的可去奇点。
（ ）8、若f (z )在单连通区域D 内解析，则对D 内任一简单闭曲线C 都有0)(=⎰Cdz z f 。
（ ）9、若函数f (z )是单连通区域D 内的解析函数，则它在D 内有任意阶导数。
（ ）10、若函数f (z )在区域D 内的解析，且在D 内某个圆内恒为常数，则在区域D 内恒等于常数。
（ ）11、若函数f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0连续。
（ ） 12、有界整函数必为常数。
（ ） 13、若}{n z 收敛，则} {Re n z 与} {Im n z 都收敛。
( )14、若f (z )在区域D 内解析，且0)('≡z f ，则C z f ≡)(（常数）。
（ ） 15、若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数。
（ ） 16、若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件。
（ ） 17、若函数f (z )在z 0可导，则f (z )在z 0解析。
（ ） 18、若f (z )在区域D 内解析，则|f (z )|也在D 内解析。
（ ）19、若幂级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。
(完整版)复变函数试题及答案
2、计算积分
5z 2 z 2 z( z 1)2 dz
3、将函数 f z z 1 在 z 1的邻域内展成泰勒级数 , 并指出收敛范围 z1
x2
4、计算实积分 I= 0
(x2
1)( x 2
dx 4)
5、求 f ( z)
1 1 z2 在指定圆环 2
zi
内的洛朗展式
6、求将上半平面 Im z 0 共形映射成单位圆 w 1的分式线性变换
I=
1 2
(x2
x2 1)( x 2
dx 4)
= 1 2 i Re s f ( z) Resf (z)
2
zi
z 2i
z2
=i (z
i )( z2
4) z i
z2 ( z2 1)( z 2i ) z 2i
= 6
5 解： f ( z)
1
( z i)( z i )
1
1
=
2
(z i) 1
2i
zi
= 6 解:
1
(z
i)2
n
(
0
1) n
(2i )n (z i )n
w =L(i)=k z i zi
2i
w
k (z
i)2
2 zi
-3 -
6分
…4 分 …６分 …1 分 …2 分 …3 分 …5 分 …6 分 …1 分 …3 分
…6 分 2分
…3 分
____________________________________________________________________________________________________________
w L z ，使符合条件 L i 0 ， L i 0
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1
习题一
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3
352π2π;;1;8π(13);.cossin7199iiiii
①解：35i17i35i7i117i17i
3816i198i17e50255i
其中8πarctan19．
②解：eii其中π2．
π
2
eii
③解：ππii1ee
④解：28π13i16ππ3.
∴2πi38π13i16πe
⑤解：32π2πcosisin99
解：∵32π2πcosisin199．
∴322πiπ.3i932π2πcosisin1ee99
8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 33i的平方根.
⑴i的三次根．
解：133ππ2π2πππ22icossincosisin0,1,22233kkik
∴1ππ31cosisini6622z． 25531cosπisinπi6622z
3
9931
cosπisinπi6622z
⑵-1的三次根
2
解：1332π+π2ππ1cosπisinπcosisin0,1,233kkk
∴1ππ13cosisini3322z
2
cosπisinπ1z
习题二：
2. 在映射2wz下，下列z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设eiw或
iwuv
.
（1）π02,4r； （2）π02,04r;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数)
解：设222i()2iwuvxiyxyxy
所以22,2.uxyvxy
(1) 记eiw，则π02,4r映射成w平面内虚轴上从O到4i的一段，即
π
04,.2
(2) 记eiw，则π0,024r映成了w平面上扇形域，即π04,0.2
(3) 记wuiv，则将直线x=a映成了22,2.uayvay即2224().vaau是以原点为焦
点，张口向左的抛物线将y=b映成了22,2.uxbvxb
3
即2224()vbbu是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示.
3. 求下列极限.
(1) 21lim1zz;
解：令1zt,则,0zt.
于是22201limlim011zttzt.
(2) 0Re()limzzz;
解：设z=x+yi，则Re()izxzxy有
000Re()1limlimi1izxykxzxzxkxk
显然当取不同的值时f(z)的极限不同
所以极限不存在.
（3） 2lim(1)zizizz；
解：2lim(1)zizizz=11limlim()()()2zizizizizziziz.
（4） 2122lim1zzzzzz.
解：因为222(2)(1)2,1(1)(1)1zzzzzzzzzzz
所以2112223limlim112zzzzzzzzz.
4
4. 讨论下列函数的连续性：
(1)
22
,0,()0,0;xyzxyfzz
解：因为220(,)(0,0)lim()limzxyxyfzxy,
3
42
,0,()0,0.xyzfzxyz
解：因为33422022xyxxyxyxy,
所以342(,)(0,0)lim0(0)xyxyfxy
所以f(z)在整个z平面连续.
5. 下列函数在何处求导？并求其导数.
(1) 1()(1)nfzz (n为正整数)；
解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.
1()(1)nfznz
.
(2) 22()(1)(1)zfzzz.
解：因为f(z)为有理函数，所以f(z)在2(1)(1)0zz处不可导.
从而f(z)除1,izz外可导.
22
222
32
222
(2)(1)(1)(1)[(1)(1)]()(1)(1)2543(1)(1)zzzzzzfzzzzzzzz
(3) 38()57zfzz.
解：f(z)除7=5z外处处可导，且223(57)(38)561()(57)(57)zzfzzz.
5
(4) 2222()ixyxyfzxyxy.
解：因为
2
222222
i()ii(i)(i)(1i)(1i)1i()xyxyxyxyxyzfzxyxyxyzz
.所以f(z)除z=0外处处可导，且
2
(1i)()fzz
.
6. 试判断下列函数的可导性与解析性.
(1) 22()ifzxyxy
解：22(,),(,)uxyxyvxyxy在全平面上可微.
22
,2,2,yuvvyxyxyxxyxy
所以要使得
uvxy， uvyx
,
只有当z=0时,
从而f(z)在z=0处可导，在全 平面上不解析.
(2) 22()ifzxy.
解：22(,),(,)uxyxvxyy在全平面上可微.
2,0,0,2uuvvxyxyxy
只有当z=0时,即(0,0)处有uvxy,uvyy.
所以f(z)在z=0处可导，在全平面上不解析.
(3) 33()23ifzxy;
解：33(,)2,(,)3uxyxvxyy在全平面上可微.
22
6,0,9,0uuvvxyxyxy
所以只有当23xy时，才满足C-R方程.
从而f(z)在230xy处可导，在全平面不解析.
(4) 2()fzzz.
解：设izxy，则
6
23232
()(i)(i)i()fzxyxyxxyyxy
3232
(,),(,)uxyxxyvxyyxy
2222
3,2,2,3uuvvxyxyxyyxxyxy
所以只有当z=0时才满足C-R方程.
从而f(z)在z=0处可导，处处不解析.
9. 试证下列函数在z平面上解析，并求其导数.
(1) f(z)=x3+3x2yi-3xy2-y3i
证明：u(x,y)=x3-3xy2, v(x,y)=3x2y-y3在全平面可微,且
2222
33,6,6,33uuvvxyxyxyxyxyxy
所以f(z)在全平面上满足C-R方程，处处可导，处处解析.
22222
()i336i3(2i)3uvfzxyxyxyxyzxx
.(2)
()e(cossin)ie(cossin)xxfzxyyyyyxy
.
证明：
(,)e(cossin),(,)=e(cossin)xxuxyxyyyvxyyyxy
处处可微，且
e(cossin)e(cos)e(cossincos)xxxuxyyyyxyyyyx
e(sinsincos)e(sinsincos)xxuxyyyyxyyyyy
e(cossin)e(sin)e(cossinsin)xxxvyyxyyyyxyyx
e(cos(sin)cos)e(cossincos)xxvyyyxyyyyxyy
所以uvxy, uvyx
所以f(z)处处可导，处处解析.
()ie(cossincos)i(e(cossinsin))ecosiesin(ecosiesin)i(ecosiesin)eeiee(1)xxxxxxxxzzzzuvfzxyyyyyyxyyxxyyxyyyyyxyz