复变函数及积分变换试题及答案
(完整版)复变函数与积分变换习题答案
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。
(1) i 解：2cossin22ii e i πππ==+(2) -1解：1cos sin i e i πππ-==+ (3)1+解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解：2221cos sin 2sin 2sincos2sin(sincos )2222222sincos()sin()2sin 222222i i i i i e πααααααααααπαπαα⎛⎫- ⎪⎝⎭-+=+=+⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭(5) 3z解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e +解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+(7)11ii-+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++二、计算下列数值(1) 解：1ar 21ar 21ar 2 b i ctg k a bi ctg abi ctgaπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⎧⎪=⎨⎪⎩(2)解：6226363463222i k i i i i e i ee e iπππππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎧=+⎪⎪⎪⎨====-+⎪⎪⎪=-⎩(3) i i 解：()2222ii k k i i e eππππ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(4)解：()1/2222ii k k eeππππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==(5) cos5α解：由于：()()552cos5i i e e ααα-+=，而：()()()()()()()()5555555555cos sin cos sin cos sin cos sin nni nn nni n n e i C i e i C i αααααααααα-=--==+==-=-∑∑所以：()()()()()()()()()()()555505555043253543251cos5cos sin cos sin 21 cos sin 112 5cos sin cos sin cos 5cos sin 10cos sin cos n n n nn n n n nn n C i i C i i C i ααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=+-⎣⎦⎡⎤=+-⎣⎦=++=-+∑∑(6) sin5α解：由于：()()552sin 5i i ee ααα--=，所以：()()()()()()()()()()()()55550555505234245552341sin 5cos sin cos sin 21 cos sin 1121 sin cos sin sin cos sin 10cos sin 5sin cos n n n nn n n n nn n C i i i C i i i C i C i iααααααααααααααααα--=--=⎡⎤=--⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦=++=-+∑∑ (7) cos cos2cos n ααα+++L L 解：()()221cos cos 2cos ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ααααααααααααααααααααααα----------⎡⎤+++=+++++++⎣⎦⎡⎤--+--⎡⎤--⎢⎥=+=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦+=L L L L L L (1)(1)22(1cos )12cos 22cos(1)2cos cos 1cos(1)cos 22(1cos )2(1cos )1sin()sin22 2sin2i i n i n in in e e e e n n n n n ααααααααααααααααα+-+-⎡⎤---++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤--++--++==⎢⎥--⎣⎦+-=(8) sin sin 2sin n ααα+++L L 解：()()221sin sin 2sin ()()2(1)1(1)11(1)(1)1 21122(1cos )1 2i i in i i in i in i i in i i in i in i i i n e e e e e e i e e e e e e e e e e i e e i e i αααααααααααααααααααααα---------⎡⎤+++=+++-+++⎣⎦⎡⎤-----⎡⎤--⎢⎥=-=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦=L L L L L L (1)(1)112(1cos )12sin 2sin(1)2sin sin sin(1)sin 22(1cos )2(1cos )1cos()cos22 2sin2i n in i i n in e e e e e i i n i n n n i n αααααααααααααααααα+--+-⎡⎤--+-++-⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-++-++==⎢⎥--⎣⎦-++=1.2 复变函数1、试证明函数f (z )=Arg(z ) (-π<Arg(z) ≤π)，在负实轴上(包括原点)不连续。
复变函数与积分变换试题及答案7
复变函数与积分变换试题与答案一、填空（每题2分）1．z=i 的三角表示式是：。
指数表示式是。
2．|z -1|=4在复平面上表示的曲线是一个 。
3．38的全部单根是： ，， 。
4．函数在f (z )=|z |2在z 平面上是否解析 。
5．设C 是正向圆周|z |=1，积分⎰c z dz2=。
6．函数221)1()(z ez f -=的弧立奇点是和，其中是极点，是本性奇点。
7．级数 +++++n z z z 21在|z |<1时的和函数是 。
8．分式线性映射具有，，。
二、判断题(每题2分，请在题后括号里打“√”或“×”)。
1．零的辐角是零。
（ ） 2．i <2i .（ ） 3．如果f (z )在z 0连续，那么)(0z f '存在。
（ ） 4．如果)(0z f '存在，那f (z )在z 0解析。
（ ） 5．z e e -=2（ ） 6．解析函数的导函数仍为解析函数（ ） 7．幂级数的和函数在其收敛圆内解析。
（）8．孤立奇点的留数在该奇点为无穷远点时其值为1--β9．单位脉冲函数)(t δ与常数1构成一个傅氏变换对。
（ ） 10．共形映射具有保角性和伸缩率的不变性。
（）三、计算题（每题6分） 1．dz zzc ⎰3sin （其中C 为正向圆周|z|=1）2．⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++4||3211z dz z z （积分沿正向圆周进行）3．dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）4．求函数)2()(1)(10-+=z i z z f 在无穷远点处的留数四、求解题（每题6分）1． 求函数22),(y x y x u -=的共扼调和函数),(y x v 和由它们构成的解析函数)(z f ，使f （0）=0。
2． 求函数2)1(1)(z z z f -=在1|1|0<-<z 内的罗朗展开式。
五、解答题（每题6分）1．求函数⎩⎨⎧≥<=-000)(t e t t f tβ的傅氏变换)(ωF 。
复变函数积分变换复习卷及答案
复变函数复习卷及参考答案一、填空题1、复数1z i =+的三角表示式=2(cossin )44i pp+；复指数表示式=42ie p 。
2、复数()13z i =+的z =2；23Argz k pp =+；arg 3z p=；13z i =-。
3、62111i i i -æö==-ç÷+èø。
10125212131i i i i i +-=+-=-。
4、()()31123513253x y i x i y i x y +=ì++-=-Þí-=-î，求解方程组可得，45,1111x y -==。
5、()()231,f z z z =-+则()61f i i ¢-=--。
6、()n3L i -ln 226i k i pp =-+；ln()ie 12i p=+。
7、()(2)1321,(13)2ik i iiee i p p p -++==+。
8、32282(cossin)33k k i p pp p++-=+；0,1,2k =。
1224(4)2i i -==±。
9、1sin 2e e i i --=；221cos ()22i e e pp p -=+；10 、21024z dzz z ==++ò ；1212z dz i z p ==-ò 。
11、设31cos ()zf z z -=，则0z =是（一级极点）；31cos 1Re [,0]2z s z -=。
1()s i n f z z=，0z =是本性奇点。
二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。
（1）()22f z x iy=+；解：22,,2,0,0,2u u v v u x v y x y xyxy¶¶¶¶======¶¶¶¶，一阶偏导连续，因此当,x y y x u v u v ==-时，即x y =时可导，在z 平面处处不解析。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换试题及解答
复变函数与积分变换试题系别班级学号姓名得分评卷人-------------- 一、填空(每题3分，共24分)1.(上£1严的实部是 _______ ,虚部是________ ,辐角主值是______1-V3/2.满足lz + 21 + lz-2K5的点集所形成的平面图形为,该图形是否为区域—.3. 7(z)在福处可展成Taylor级数与/(%)在处解析是否等价？ .4. (l + i)i的值为______________________________________________主值为.5.积分，的值为 _____________ ，f '—dz. = ________ .Juw z J izi=2 4)a--)"1 -L6.函数J (z)=——7"-3在Z =。
处Taylor展开式的收敛半径是 ______ .z-l7.设F [<(。
]=Z3), F 则F [/1(0*/2(r)]=,其中力⑺* /2(0定义为.8.函数/(外=任的有限孤立奇点z°=_，Z。
是何种类型的奇点？ .Z得分评卷人二、(6分)设/仁)=/一丫3+2//〃问/仁)在何处可导？何处解析？并在可导处求出导数值.三、(8分)设i ，= eXsiny,求p 的值使P 为调和函数，并求出解析函数 f(z) = u + iv.四、(10分)将函数〃z) = "—在有限孤立奇点处展开为 2z~ — 3z+1Laurent 级数.得分评卷人 -------------- 五、计算下列各题(每小题6分，共24分)1. /(z) = f求/(1 + )J 图7 4-z2. 求出/(z) = eV 在所有孤立奇点处的留数3. L(f 32产(”。
)4. 尸——二~＜公J 。
1 + sin- x六、(6分)求上半单位圆域｛2：1[1<1,11]12>0｝在映射卬=22下的象.七、(8分)求一映射’将半带形域-恭，＜”，＞。
复变函数与积分变换试题及答案9
∂u ∂v =x= ∂x ∂y
∴ u = xy + g ( x )
∂v ∂u =y= ∂y ∂x
∴ u = xy + c （3 分）
∴ u = xy + g ′( x )
∵ f (0) = u (0,0) + iv (0,0) = c = 0 ∴ f ( z ) = (−
（2 分）
x2 1 2 i + y )i + xy = − z 2 2 2 2
v = 3x 2 y − y 3
∂u ∂u ∂u ∂u = 3x 2 − 3 y 2 = ， = −6 xy = − 且四个偏导连续 ∂x ∂y ∂y ∂x
∴f(z)在整个复平面上解析 ∴ f ′( z ) = 3x − 3 y + i 6 xy = 3 z
2 2
2
(4 分) （3 分）
2．解：∵ −
原式（4 分）= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
（3 分）= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4．解：∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
4．解： s 3 F ( s ) + 3s 2 F ( s ) + F ( s ) =
1 s
（4 分）
F (S ) =
1 1 1 1 = = ⋅ 2 3 s( s + 3s + 3s + 1) s ( s + 1) s ( s + 1) 3
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第一套第一套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 若（ ），则复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+是区域D 内的连续函数。
A. (,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内连续； B. (,)u x y 在区域D 内连续； C. (,)u x y 、(,)v x y 至少有一个在区域D 内连续； D. 以上都不对。
2. 解析函数()f z 的实部为sin x u e y =，根据柯西-黎曼方程求出其虚部为（ ）。
A.cos x e y C -+； B cos x e y C -+； C sin x e y C -+； D cos x e y C +3.2|2|1(2)z dzz -==-⎰（ ）。
A. i π2； B. 0； C. i π4； D. 以上都不对. 4. 函数()f z 以0z 为中心的洛朗展开系数公式为（ ）。
A. 101()2()n n f d c iz ξξπξ+=-⎰ B. 0()!n n f z c n =C. 201()2n k f d c iz ξξπξ=-⎰D. 210!()2()n n k n f d c iz ξξπξ+=-⎰5. z=0是函数zz sin 2的（ ）。
A.本性奇点B.极点C. 连续点D.可去奇点6. 将点∞，0，1分别映射成点0，1，∞的分式线性映射是（ ）。
A.1z zw -=B. z 1z w -=C. zz 1w -= D. z11w -=7. sin kt =（）L （ ），（()Re 0s >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks 1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.23(1)i += [1] ；----------------------------------------装--------------------------------------订-------------------------------------线----------------------------------------------------2. 幂级数∑∞=1n nn z ！收敛于 [2] ；3. 设0Z 为复函数）（z f 的可去奇点，则）（z f 在该点处的留数为 [3] . ；4. 通过分式线性映射z kz λωλ-=-（k 为待定复常数）可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<；5. 一个一般形式的分式线性映射可由z b ω=+、az ω=、1zω=三种特殊形式的映射复合而成，分别将ω平面看成z 平面的平移映射、旋转与伸缩映射、 [5] ； 6. 求积分()i x e x dx ωδ∞--∞=⎰[6] ；三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 平面点集D 称为一个区域，如果D 中任何两点都可以用完全属于D 的一条折线连接起来，这样的集合称为连通集。
（ ）2. ()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是：(,)u x y 与(,)v x y 在D 内可微，且满足C-R 方程。
（ ）3.将z 平面上一个点集映射到ω平面上一个点集，z 的参数方程是：()z z t =，ω的参数方程是：[()]f z t ω=，则函数z 与ω导数满足伸缩率不变性、旋转角不变性和保角性。
（ ）4. 拉氏变换的微分性质为：若[()]()f t F s =L ，则[()]()(0)f t tF s f '=-L 。
（ ）5. 傅里叶级数001()cos()nnn f t c A n t ωθ∞Γ==++∑表示一个周期为T 的信号()ft Γ可以分解为简谐波之和，这些简谐波的（角）频率分别为一个基频0ω的倍数。
（ ）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 当b a ，分别等于多少时，函数）（3223y -y bx i x )z (f ++=axy 在复平面上处处解析?2. 计算2||2(8)()z zdz z z i =-+⎰。
3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：21()(1)z f z z z +=-，0||1z <<.4. 利用留数定理计算积分 22||2sin (1)z zdz z z =-⎰5. 求微分方程组(29)(3)0(0)(0)1(27)(5)0(0)(0)0x x x y y y x x x x x y y y y y '''''''-+-++===⎧⎨'''''''++--+===⎩的解一、选择题（每小题3分，共21分）1. A2. B3.B4. A5. A6. D7. A.二、填空题（每小题3分，共18分）1.34k 4k 2[cos isin ]k 0,1,26363ππππ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；或533336622,2,2e e e πππ2. ze ； 3. 0； 4. 上半平面()Imz 0>； 5. 反演映射 6. 1.三、判断题 （每小题2分，共10分）1. ×2. √3. √4. √5. √四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分） 1. 解：3223y y bx v axy x u -=+=,u v x y u v yx ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩（3分）222222223,2,2,333,22u u v vx a y a x y b x y b x yxy x y x a y b x y a x y b x y∂∂∂∂=+===-∂∂∂∂⇒+=-=（3分）33=-=⇒b a , （3分）2. 解：2z 2z dz 8-z (z i)=+⎰（）228z izi z π=-=-（5分）（或判断出-i 在圆内，22不在圆内，得2分）29π=（4分）3. 将函数在指定圆环内处展开为洛朗级数：1z 0,1)(z z 1z )z (f 2<<-+=2222z 1z 12121f (z)z (z 1)z (z 1)1z z z+-+===---- （5分）（或：写出洛朗级数公式2分）2212n n z z z∞==-∑2212222n z z z z-=-------1z 0<< （4分）4. 解：由于函数在积分区域内有可去奇点z=0与单极点z=1（4分）2221sin Re ((),0)0,Re ((),1)lim(-1)sin 1(-1)z zs f z s f z z z z →===（3分）由留数定理，原积分22sin 1i π= （2分）5. 解：2222(29)()(3)()12(27)()(5)()32s s X s s s Y s ss s X s s s Y s s⎧-+-++=+⎨++--+=+⎩（4分）整理得2222()()41()()1s X s Y s s X s Y s s +⎧-=⎪⎪+⎨⎪+=⎪-⎩（4分） 解得222211211()31343421211()313434s X s s s s s Y s s s s ⎧=++⎪⎪-++⎨⎪=-+⎪-++⎩（4分）再取拉氏变换得到其解为：121()cos 2sin 2333221()cos 2sin 2333t t x t e t t y t e t t⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩（3分）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1. 13i +的指数式为（ ）。
A 、232i eπ B 、23i eπ C 、32i eπ D 、62i eπ2. 复函数LnZ （ ）。
A 在复平面上处处解析；B 在复平面上处处不解析；C 除去原点外处处解析；D 除去原点及负半实轴外处处解析. 3. 由柯西积分公式得，积分||12z dzz =-⎰的值为（ ）。
A.0 B. 1 C. 2 D.无解 4. 洛朗级数的正幂部分叫（ ）。
A 、主要部分B 、解析部分C 、无限部分D 、都不对5. z 1sin 在点z=0处的留数为（ ）。
A.-1B.0C.1D.26. 保角映射具有的性质有（ ）。
A. 反演性、保圆性、保对称性 B. 共形性、保角性、保对称性 C. 共形性、保圆性、保对称性D. 反演性、保角性、保对称性7. kt =（e ）L （ ），（()Re s k >）。
A.22k s k +； B.22k s s +； C. k s -1； D. ks1.二、填空题（每小题3分，共18分）1.()53i -= [1] 。
2. 幂级数()21!n nn n z n∞=∑收敛半径为： [2] 。
3. 孤立奇点可分为可去奇点、极点和 [3] 三种。
4. 通过分式线性映射1i z ezϕαωα-=-，(1α<，ϕ为实数)可将 [4] 映射成单位圆内部1ω<。
5. 在扩充复平面上两点1z 与2z 是关于圆周C 的对称点的充要条件是通过1z 与2z 的任何圆周Γ与C[5] 。
6. 按定义，函数()f x 的傅里叶变换式为 [6] 。
三、判断题 （每小题2分，共10分）1. 如果平面点集G 中的每一点都是它的内点，则称G 为开集。
（ ）2. ln z 的所有分支可表示为ln 2z Lnz k i π=+。
（ ）3. 设函数()f z ω=在0z 的邻域内有定义，且在0z 具有保角性和伸缩率不变性，则称()f z ω=在0z 时共形的。
（ ）4. 傅里叶级数()()001cos n n n f t c A n t ωθ∞Γ==++∑中()/20/21T T c f t dt TΓ-=⎰的物理意义：表示周期信号在一个周期内的平均值，也叫做交流分量。
（ ）5. 拉氏变换的微分性质为：若[()]()f t F s =L ，则[()]()(0)f t tF s f '=-L 。
（ ）四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 设()3232my nx y i x lxy +++为解析函数，试确定l,m,n 的值2. 计算积分3Czdz z -⎰，:2C z =；3. 将下列各级数在指定圆环域内展开为洛朗级数()()2112z z +-，12z <<；4. 利用留数定理求积分（圆周均取正向）()()152332412z z dz zz =++⎰5. 求微分方程式的解(4)cos (0)(0)(0)0(0)y y ty y y y c '''''''''+=====（c 为常数）第二套一、选择题（每小题3分，共21分）1. C2.D3. A4. B5. C6. C7.C .二、填空题（每小题3分，共18分）1. ()163i -+ 2. 0 3.本性奇点 4. 单位圆内部1z <5. 正交6.()()i t F f t e dt ωω+∞--∞=⎰三、判断题 （每小题2分，共10分）1. √2. ×3. √4. ×5. √ 四、计算题（前四题，每小题9分，第五题，15分，共51分）1. 解：由题意知：实部32u my nx y =+、虚部32v x lxy =+2u nxy x ∂=∂，223u my nx y ∂=+∂，223v x ly x ∂=+∂，2v lxy y∂=∂ （2分） 由于()3232m y n x y i xl x y +++为解析函数，故有u v x y u v yx ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ （2分） 即22222233nxy lxy my nx x ly=-⎧⎨+=--⎩ （3分）解得m=1，n=-3，l=-3 （2分） 2. 解：由z-3=0，得奇点为z=3（3分）此时不在C 的环域内，由柯西基本定理（3分）知03Czdz z =-⎰（3分）3. 解：22121555112z z z z --=++++- （3分）()()22222111121111115510121112z z z z z z z z =---+-++-()()()2121000112111155102n n nn n n n n n z z z∞∞∞++====-----∑∑∑ （3分）2343221112111112555510204080z z z z z z z z =⋅⋅⋅++-------⋅⋅⋅<< （3分）4. 解：函数()()15232412z zz ++在3z =的外部，除∞点外没有其他奇点，因此根据定理二与规则四有：()()()1523242Re ,12Cz dz i s f z zz π=-∞⎡⎤⎣⎦++⎰（3分）2112Re ,0i s fz z π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（3分）()()232412Re ,0112i s z z z π⎡⎤⎢⎥=⎢⎥++⎣⎦2i π= （3分） 5. 解：方程两边取拉氏变换，得432s ()()1sY s cs s Y s c s -+-=+ （2分） 解出3221()(1)(1)c Y s s s s s =+++（3分） 12222221[]Re [,0]Re [,1](1)(1)(1)(1)(1)(1)st ste e s s s s s s s s s s s -=+-++++++L2222Re [,]Re [,](1)(1)(1)(1)st ste e s i s i s s s s s s ++-++++（3分） 2222201lim()lim()lim()lim()(1)(1)(1)(1)()(1)()st st st sts s s i s i e e e e s s s s s s s i s s s i →→→→-=+++++++++- 111(cos sin )22t t e t t -=-++- （2分）因此，原方程的解11132211()[()][][](1)(1)y t Y s c s s s s ---==+++L L L 2111(cos sin )222t c t t e t t -=+-++-（5分） 第三套一、填空题（每空2分，共20分）1．复数312i-的实部为 [1] ，虚部为 [2] 及其共轭复数为 [3] .2．已知()f z u iv =+是解析函数，其中221ln()2u x y =+，则vy∂=∂ [4] .3．设C 为正向圆周1z =,则dz ie z ⎰-C22π= [5] .4．幂级数31nn z n∞=∑的收敛半径为 [6] .5．0z =是ln(1)()z f z z+=的奇点，其类型为 [7] . 6．设211()1(1)(1)(1)(1)(1)n n f z z z z z =-+--++--+--，则Res[(),1]f z = [8] .7．δ函数的傅里叶变换为()F ω= [9] . 8．函数 1()(1)F s s s =- 的拉普拉斯逆变换为()f t = [10] .二、选择题（每小题2分，共20分）1．复数1682525z i =-的辐角为（ ） A ．1arctan 2B ．-1arctan2C ．π-arctan 12D ．21arctan+π 2．方程2Re 1z =所表示的平面曲线为（ ）A ．圆B ．直线C ．椭圆D ．双曲线 3．在复平面上，下列关于正弦函数sin z 的命题中，错误．．的是（ ） A ．sin z 是周期函数 B ．sin z 是解析函数 C ．sin 1z ≤D ．z cos )z (sin ='4．设C 为正向圆周1z =，则dz zz⎰Ccos =（ ） A ．i π B ．2i π C ．0D ．15．在拉氏变换中，函数1()f t 与2()f t 的卷积，12()()f t f t *为（ ）A ．12()()t f t f t dt -∞⎰B ．120()()tf f d τττ⎰C ．120()()tf f t d τττ-⎰D ．120()()tf f t d τττ-⎰6．幂级数11!n n z n -∞=∑的收敛区域为（ ）A ．0z <<+∞B ．z <+∞C ．01z <<D ．1z <7．设()(2)ze f z z z =-的罗朗级数展开式为n n n c z +∞=-∞∑，则它的收敛圆环域为（ ）A ．02z <<或2z <<+∞B ．022z <-<或22z <-<+∞C ．02z <-<+∞D ．022z <-<8．3z π=是函数sin()3()3z f z z ππ-=-的（ ） A ．一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点9．2Res[,2](2)zi z i -=+（ ）A ．2iB ．-1C ．2i -D ．110．0()t t δ-的傅里叶变换为（ ）A ．1B ．0tC ．0i t e ω-D ．0i t e ω三、计算题（每小题8分，共24分）1． 已知||2sin4()d f z zζπζζζ==-⎰，求(12)f i -，(1)f ，(1)f '。