第五章 结构的位移计算
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结构力学第五章 力法
超静定结构
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别
• 静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。 • 超静定结构的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即： 内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法
• • 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。
M1 M1 M 12 l 3 (图形自乘) • EI dx EI dx 3EI 11
•
1P
4 M1MP ql dx EI 8EI
• 代入变形条件， 得： • X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) • 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基
•⊿2P=[(ql2/2×l)×l] =ql4/2EI
（3）、解方程 （求解未知量）
• 力法方程：（可消去 l3/EI） • 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 • -X1+4/3X2+ ql/2 = 0 • 解出： • X 1 =3ql/7 • X2 = - 3ql/56
1nXn+
… … nnXn+ ⊿nP = 0
• (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） • 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、… Xn； • 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约 束后所得的静定结构； • 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
• （1）、可写成矩阵形式: 11 12 1n X 1 1P 0 • 22 2 n X 2 2 P 0 21 n1 n 2 nn X N nP 0 • [δ ]{X} + {⊿P } = {0} • [δ ]——系数矩阵、柔度矩阵 • （2）、力法方程主系数： δ ii≠0,恒为正 . • 因为δ ii是Xi=1作用在自身方向上，所产 生的位移系数，所以不为零，恒为正。
超静定结构与静定结构 在计算方面的主要区别
• 静定结构的内力只要根据静力平衡条件即 可求出，而不必考虑其它条件，即：内力是 静定的。 • 超静定结构的内力则不能单由静力平衡
条件求出，而必须同时考虑变形协调条件，即： 内力是超静定的。
求解超静定结构的计算方法
• • 从方法上讲基本有两种：力法和位移法。 从历史上讲分传统方法和现代方法。
M1 M1 M 12 l 3 (图形自乘) • EI dx EI dx 3EI 11
•
1P
4 M1MP ql dx EI 8EI
• 代入变形条件， 得： • X1= - ⊿1P/δ11= 3ql/8 (↑) • 最后弯矩图可用叠加原理（也可将X1作用在基
•⊿2P=[(ql2/2×l)×l] =ql4/2EI
（3）、解方程 （求解未知量）
• 力法方程：（可消去 l3/EI） • 4/3 X 1 -X 2 - 5ql/8 = 0 • -X1+4/3X2+ ql/2 = 0 • 解出： • X 1 =3ql/7 • X2 = - 3ql/56
1nXn+
… … nnXn+ ⊿nP = 0
• (n次超静定结构在荷载作用下的力法典型方程） • 基本未知量：n个多余未知力X1 、X2、… Xn； • 基本体系：从原结构中去掉相应的n个多余约 束后所得的静定结构； • 基本方程：n个多余约束处的n个变形条件。
力法典型方程的讨论：
• （1）、可写成矩阵形式: 11 12 1n X 1 1P 0 • 22 2 n X 2 2 P 0 21 n1 n 2 nn X N nP 0 • [δ ]{X} + {⊿P } = {0} • [δ ]——系数矩阵、柔度矩阵 • （2）、力法方程主系数： δ ii≠0,恒为正 . • 因为δ ii是Xi=1作用在自身方向上，所产 生的位移系数，所以不为零，恒为正。
材料力学第五章梁弯曲时的位移
实例3 ：均布载荷
分析受均布载荷作用下梁的位移。
材料力学第五章梁弯曲时 的位移
在材料力学的第五章中，我们将学习有关梁在弯曲时的位移。掌握梁的基本 知识、位移方程和位移计算方法，以及梁的挠度与转角关系。
梁的基本知识
1 定义
梁是一种长条形结构，承受着沿其长度方向的外部力。
2 类型
常见的梁包括简支梁、悬臂梁和受力梁。
3 材料
梁可以由不同类型的材料制成，例如钢、木材或混凝土。
梁的位移方程
1 弯曲位移
2 挠度
3 转角
梁在弯曲时，沿梁的长度方 向发生位移。
挠度是梁的中点相对于其自 由状态的偏移量。
转角是指梁在弯曲时端部角 度的变化。
简支梁的位移计算方法
1
载荷和反力
计算简支梁上的载荷和反力分布。
2
弯矩方程
使用弯矩方程推导出简支梁的位移方程。
3
边界条件
应用适当的边界条件来解决位移方程中的未知量。
悬臂梁的位移计算方法
加载和支座反力
确定悬臂梁上的加载和支座反力。
弯曲力矩方程
通过推导弯曲力矩方程来解决悬臂 梁的位移问题。
解决边界条件
应用边界条件来计算悬臂梁的位移。
受力梁的位移计算方法
1
截面转动方程
2
推导出受力梁的截面转动方程。
3
确定力的分布
分析受力梁上的力分布，包括集中力和均布 力。
边界条件和位移方程
应用边界条件，求解受力梁的位移方程。ຫໍສະໝຸດ 梁的挠度与转角关系挠度
挠度是梁在弯曲时沿其长度方向上的位移。
转角
转角是梁在弯曲时端部偏离初始位置的角度。
关系公式
挠度和转角之间存在一定的关系，可以通过公式计算。
结构力学第五章-4(温度变化)
温度位移公式图示结构设外侧温度升高内侧温度升高求k点的竖向位移设温度沿杆件截面厚度为线性分布杆轴温度与上下边缘的温差另外温度变化时杆件可以自由地发生变形杆件不引起剪应变即dv将温度引起的变形代入公式可得上式中的正负号
§5-6 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
dut t0ds
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件可以自由地发生
变 向du形 伸t ,长杆和件t0d截不s面引转起d角剪为t应：变，htd即s dvt=o,微段轴线 膨 胀 系
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
100C c3 l
c2
A
l
c1 实际位移状态
B
C
FP=1
A
FCy 1
FAx 1
FAy 1 虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
Cx
FPl 3 16EI
各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
虚拟状态
实际状态
单位荷载内力图为：
§5-6 静定结构温度变化时的位移计算
(Analysis of Displacements in a Statically Determinate Structures Induced by Temperature Changes)
dut t0ds
t0
t1
h1 h
(t2
t1 )
h2t1 h1t2 h
设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴
温度 t0 与上、下边缘的温差 t 为：
t0
h1t2
h2t1 h
t t2 t1
另外，温度变化时，杆件可以自由地发生
变 向du形 伸t ,长杆和件t0d截不s面引转起d角剪为t应：变，htd即s dvt=o,微段轴线 膨 胀 系
FAx
FAy
A FRici
(
1 l
By
1 2h
Bx
)
0.0075 rad
(
)
例 3：求 Cx ? 解：构造虚设力状态
B
FP=1 C
100C c3 l
c2
A
l
c1 实际位移状态
B
C
FP=1
A
FCy 1
FAx 1
FAy 1 虚拟力状态
同时考虑荷载、温度和支座位移的影响
Cx
FPl 3 16EI
各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m
解：构造虚拟状态
虚拟状态
实际状态
单位荷载内力图为：
结构力学习题集及答案
第三章 静定结构的位移计算一、判断题：1、虚位移原理等价于变形谐调条件，可用于求体系的位移。
2、按虚力原理所建立的虚功方程等价于几何方程。
3、在非荷载因素(支座移动、温度变化、材料收缩等)作用下，静定结构不产生内力，但会有位移且位移只与杆件相对刚度有关。
4、求图示梁铰C 左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：A.;;B.D.C.M =1=15、功的互等、位移互等、反力互等和位移反力互等的四个定理仅适用于线性变形体系。
6、已知M p 、M k 图，用图乘法求位移的结果为：()/()ωω1122y y EI +。
M kM p21y 1y 2**ωω( a )M 17、图a 、b 两种状态中，粱的转角ϕ与竖向位移δ间的关系为：δ=ϕ 。
8、图示桁架各杆E A 相同，结点A 和结点B 的竖向位移均为零。
9、图示桁架各杆EA =常数，由于荷载P 是反对称性质的，故结点B 的竖向位移等于零。
二、计算题：10、求图示结构铰A 两侧截面的相对转角ϕA ，EI = 常数。
q11、求图示静定梁D 端的竖向位移 ∆DV 。
EI = 常数 ，a = 2m 。
10kN/m12、求图示结构E 点的竖向位移。
EI = 常数 。
ll l /32 /3/3q13、图示结构，EI=常数 ，M =⋅90kN m , P = 30kN 。
求D 点的竖向位移。
P14、求图示刚架B 端的竖向位移。
q15、求图示刚架结点C 的转角和水平位移，EI = 常数 。
q16、求图示刚架中Ｄ点的竖向位移。
EI ＝常数。
l/217、求图示刚架横梁中Ｄ点的竖向位移。
EI＝常数。
18、求图示刚架中D点的竖向位移。
E I = 常数。
qll l/l/2219、求图示结构Ａ、Ｂ两截面的相对转角，EI＝常数。
l/23l/320、求图示结构A、B两点的相对水平位移，E I = 常数。
ll21、求图示结构B点的竖向位移，EI = 常数。
ll22、图示结构充满水后，求A 、B 两点的相对水平位移。
5第五章梁弯曲时的位移5-1
(b) 小挠度条件下， 简化为： 小挠度条件下，w' 2 << 1，式(b)简化为： 简化为
M (x ) ± w ′′ = E Iz
(5-1)
（挠）曲线在x-y坐标中M与w''的 曲线在 坐标中 正负号关系
O
x
M M
O
x
M M
y
M <0 w′′ > 0
y
M >0 w′′ < 0
M与w''总是异号 总是异号
1 θ w C
法线
变形前梁轴线
x
A
x y
B
切线
1
变形后截面形心
截面x 截面 的水平位移相对于w为高阶微量 <<w ，略去
截面x的位移 挠度 截面 的位移—挠度、转角 的位移 挠度、 转角 θ C 1 w θ C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（ 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， ）的条件下， 略去x 方向的线位移， 略去 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移， 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度， 表示，单位m、 挠度，用 w 表示，单位 、mm；角位移 ； 是横截面变形前后的夹角，称为转角 转角， 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 表示，单位弧度。 光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（ 的曲线称为挠曲线 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 曲线） 。
固定端
M (x ) ± w ′′ = E Iz
(5-1)
（挠）曲线在x-y坐标中M与w''的 曲线在 坐标中 正负号关系
O
x
M M
O
x
M M
y
M <0 w′′ > 0
y
M >0 w′′ < 0
M与w''总是异号 总是异号
1 θ w C
法线
变形前梁轴线
x
A
x y
B
切线
1
变形后截面形心
截面x 截面 的水平位移相对于w为高阶微量 <<w ，略去
截面x的位移 挠度 截面 的位移—挠度、转角 的位移 挠度、 转角 θ C 1 w θ C
1
挠度
A
x y
B
x
挠曲线
梁变形前后横截面形心位置的变化称 为位移，位移包括线位移和角位移。 为位移，位移包括线位移和角位移。在小 变形和忽略剪力影响（ 变形和忽略剪力影响（l >> h）的条件下， ）的条件下， 略去x 方向的线位移， 略去 方向的线位移，y 方向的线位移是截 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移， 面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，称为 挠度， 表示，单位m、 挠度，用 w 表示，单位 、mm；角位移 ； 是横截面变形前后的夹角，称为转角 转角， 是横截面变形前后的夹角，称为转角，用 θ 表示，单位弧度。而变形后的轴线是一 表示，单位弧度。 光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（ 的曲线称为挠曲线 条光滑连续平坦的曲线称为挠曲线（弹性 曲线） 曲线） 。
固定端
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
材料力学第五章梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
工程实例
7-1
工程实例
工程实例
5-1 梁的位移——挠度及转角
建立坐标系，oxy为梁对称面，外力作用在对 称面内。所以，挠曲线为o xy面内的平面曲线。
挠度
y 向下为正。
y
x
y
转角
x
挠曲线
挠曲线方程：
7-2
w= f (x)
挠度
略去剪力的影响，则平面假设成立，发
y
5.2 积分法求梁的挠度和转角
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度， 梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
2）写出x截面的弯矩方程
FAx 0, FAy F (), M A Fl (
)
A
x
l
yB
F B
B
x
M ( x ) F (l x ) F ( x l )
A
FAx 0, FAy
Fb Fa , FBy l l
2）弯矩方程
FAy x1
ymax
x2
FBy
AC 段：
M x1 FAy x1 Fb x1 ,0 x1 a l
y
a
b
CB 段：
Fb M x2 FAy x2 F ( x2 a ) x2 F ( x2 a ), l
目录
a x2 l
5.2 积分法求梁的挠度和转角
A d 2 w1 Fb EI M ( x1 ) x1 2 dx1 l FAy x1 dw1 Fb 2 EI EI ( x1 ) x1 C1 x2 dx1 2l Fb 3 a EIw1 x C1 x1 D1 6l a x2 l CB 段： y d 2 w2 Fb EI M ( x2 ) x2 F ( x2 a) 2 dx2 l dw Fb 2 F EI 2 EI ( x2 ) x 2 ( x2 a ) 2 C 2 dx2 2l 2 Fb 3 F EIw2 x 2 ( x2 a)3 C2 x2 D2 6l 6
结构力学基础概念
结构力学基本概念第一章绪论1、建筑物和工程设施中承受．．称为工程结构，简称为结构。
．．．．的部分．．、传递荷载．．．．而起骨架作用从几何角度来看，结构可分为三类，分别为：杆件结构、板壳结构、实体结构。
2、结构力学中所有的计算方法都应考虑以下三方面条件：①力系的平衡条件或运动条件。
②变形的几何连续条件。
③应力与变形间的物理条件（或称为本构方程）。
3、结点分为：铰结点、刚结点。
铰结点：可以传递力，但不能传递力矩。
刚结点：既可以传递力，也可以传递力矩。
4、支座按其受力特质分为：滚轴支座、铰支座、定向支座、固定支座。
5、在结构计算中，为了简化，对组成各杆件的材料一般都假设为：连续的、均匀的、各向同性的、完全弹性或弹塑性的。
6、荷载是主动．．作用于结构的外力。
狭义荷载：结构的自重、加于结构的水压力和土压力。
广义荷载：温度变化、基础沉降、材料收缩。
7、根据荷载作用时间的久暂，可以分为：恒载、活载。
根据荷载作用的性质，可以分为：静力荷载、动力荷载。
第二章结构的几何构造分析1、在几何构造分析中，不考虑这种由于材料的应变所产生的变形．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
2、杆件体系可分为两类：几何不变体系------在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的。
几何可变体系------在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。
3、自由度：一个体系自由度的个数．．。
．．．．．．．的个数．．．可以独立改变的坐标．．．．．．，等于这个体系运动时一点在平面内有两个自由度（横纵坐标）。
一个刚片在平面内有三个自由度（横纵坐标及转角）。
4、凡是自由度．．都是几何可变．．．．体系。
．．．．．的体系．．．的个数大于零5、一个支杆（链杆）相当于一个约束。
可以减少一个自由度．．．．．．．。
一个单．铰（只连接两个刚片的铰）相当于两个约束。
可以减少两个自由度．．．．．．．。
一个单．刚结（刚性结合）相当于三个约束，可以减少三个自由度．．．．．．．。
结构力学讲义ppt课件
x y
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
5
§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
x
结点自由度
y
φ
x
y
x
刚片自由度
2）一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定 该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参
数x、y、φ。
4. 约束
凡是能减少体系自由度的装置就称为约束。
6
约束的种类分为：
1）链杆
简单链杆 仅连结两个结点的杆件称为简单 链杆。一根简单链杆能减少一个自由度，故一 根简单链杆相当于一个约束。
FyA
特点： 1) 结构在支座截面可以绕圆柱铰A转动 ； 2) x、y方向的反力通过铰A的中心。
29
3. 辊轴支座
A
A
FyA
特点： 1) 杆端A产生垂直于链杆方向的线位移； 2) 反力沿链杆方向作用，大小未知。
30
4. 滑动支座（定向支座）
A 实际构造
A
MA
FyA
A
MA
FyA
特点： 1）杆端A无转角，不能产生沿链杆方向的线 位移，可以产生垂直于链杆方向的线位移；
16
A
I
II
c)
B III C
形成瞬铰B、C的四根链杆相互平行（不等 长），故铰B、C在同一无穷远点，所以三个 铰A、 B、C位于同一直线上，故体系为瞬变 体系（见图c）。
17
二、举例
解题思路： 基础看作一个大刚片；要区分被约束的刚片及
提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复 杂链杆和复杂铰外，约束不能重复使用。
高等教育出版社
4
第一章 绪 论
§1-1 结构力学的内容和学习方法
§1-2 结构计算简图
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§1-1 结构力学的内容和学习方法
一、结构
建筑物或构筑物中 承受、传递荷载而起 骨架作用的部分称为 结构。如：房屋中的 框架结构、桥梁、大 坝等。
自考结构力学_超静定结构的内力和位移
取C结点，如图6.12c所示，由∑y=0 得： 4 NCA = QCB = ql 7
取结点B，由∑X=0 ，已知 3 得 NBC = ql 7
3 x2 = ql 7
图6.12 求各杆轴力及剪力
三、力法典型方程
支座移动时的计算
X1
d11 X 1 d12 X 2 D1c = 0 h d 21 X 1 d 22 X 2 D 2c =
1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多 余力）。
2、力法基本体系 力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的 静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束 后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余 力共同作用的体系。
3、力法基本方程 力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移 一致的条件。 方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算 问题，显然，超静定转化为静定问题。
1 (d 11 ) k 25 X 1 = ql ( ) 32 5 X 1 = ql ( ) (c) 4
？
基 本 体 系
M图由M = M1 X1 M P 作出：
温度内力的计算
画出 M 1 , M 2 , N1 , N 2 图 计算
t1 t1 t2 t1 X1
t1 t2
梁刚架： 系 数 桁 架：
d d
d
M i yi = i ds= ii EI EI j yi Mi M j ds = ij = EI EI 2 N l = i ii EA
2
自由项
梁刚架：
桁 架：
d ij = EA M M ds D iP = EI
Ni N jl
d11 X1 d12 X 2 D1P = 0 d 21 X1 d 22 X 2 D2 P = 0
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例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因 产生相对转角d，试求A点在i－i方向的 产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向 位移 m。 的位移 Q。
i
B d
A
m
i
B
d
A
Q
a
B
a
d
A
i
m
i
B A
Q
a
M
B
a
1 1
A
A
FQ
a
a
M 1 sin a
h/d D d/2 1 C A 1/h
)
0.5 B
d/2
d/2
1
h/d
2）求Δ DH
1 a 1 DH ( a) () 2 2
3）求 ΔC
1 a 1 C ( a) ( h h
1/h B d/2 0
0
d/2
§5.2 结构位移计算一般公式 1.局部变形时静定结构的位移计算
相对位移：指两点 或两截面相互之间 位置的改变量。
FP1 C
CH
FP3 A A
DH
D FP2
B
AB
B
CD两点的相对水平位移
CD CH DH
AB两截面的相对角位移 AB A B
二、使结构产生位移的因素 荷载 温度改变 支座移动 为什么要计算 制造误差 等 位移?
所以，为了求两个截面的相对位移，只需要在 该两个截面同时加一对大小相等，方向相反，性 质与所求位移相应的单位荷载即可。 下面给出几种情况的广义单位荷载： q 1
1)
1
求Δφ
单位荷载
2)
ΔAV
A l B
求
ΔBV
1/l A
1/l B
AB =(Δ Δ AV + BV )/l
A FP B
单位荷载
3)
Δ AB =Δ AH +Δ BH = ( M1 M 2 ) ds ( FQ1 FQ 2 ) 0ds ( FN 1 FN 2 ) ds
由上图b)可得：
M M1 M 2
所以得：
FQ FQ1 FQ 2
FN FN 1 FN 2
AB M ds FQ 0ds FN ds
2. 桁架 桁架各杆只有轴力，所以位移计算公式为：
FN FNP Δ= ds EA FN FNP FN FNPl ds EA EA
FN FNPl MMP ds EI EA 用于弯曲杆 用于二力杆
3. 组合结构
4. 拱 拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略：
②求结构在单位载荷作用下的内力和支座反力；
③利用位移计算一般公式求位移。
5.广义位移的计算
ΔAH
求图a）结构A、B截面相对水平位移 AB AH BH。
A κ,γ0 , ε q
a) 给定位移
B
ΔBH
1 A
M , FQ , FN
b)
B 1
1 A
B
A
1 B
=
M1, FQ1, FN1
c) 虚设单位荷载1
P 1 P 1 P 1 P 1
§ 5.3荷载作用下结构的位移计算
FP=1 D
M , FQ , FN
FP B q A D D
C
B
C
κ,γ0 , ε (MP,FQP,FNP ) ΔDH,ΔDV,θD
A
给定位移、变形
若结构只有荷载作用，则位移计算一般公式为：
1 ( M ds FQ 0 FN )ds
FQ 1 sin
虚功方程：1 m M d 0
1 Q FQ d 0
Q FQ d
m M d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在 ｉ－ｉ方向的位移 N 。
i
B
A
N
由平衡条件：
d
B
i
A
FN 1 cos
kFQ FQP FN FNP MMP 1 ds ds ds EI GA EA
正负号规则：
1） 不规定 M和 M P 的正负号，只规定乘积 MM P 的正负号。若M和 M P 使杆件同一侧纤维受 拉伸长，则乘积为正，反之为负；
M
MP
M
正
M
MP
正
MP
负
2） FN 和 FNP以拉力为正，压力为负； 3） FQ 和 FQP的正负号见下图。
FN FNP MMP ds ds EI EA
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
1 P
kH
FN FNPl EA
1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
FNP
0
0
a 1
2 2
1
2P
k
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
3
1 D
A
B
C
1 c cA 3 2 1 1 cA 0 2l
1 cA 2l
1 3
A
2 3
C D
1
B
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 解 （2）建立虚功方程 1 FRk ck 0 步 骤 （3）解方程得 F FQ 2 , FN 2
d) 虚设单位荷载2
虚设单位载荷如上页图c) ，d)所示。
1 AH M1 ds FQ1 0ds FN 1 ds 1 BH M 2 ds FQ 2 0ds FN 2 ds
d
1
d
M , FN , FQ
d ds
ds ds R
d ds
续基本思路：设 ds 0 , 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的 形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 （3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。
d M Q N Md FQd FN d
练习： 已知刚架支座B向右移动a,求 CV、 DH、 c。 1 C C D D h A
B d/2
d/2 a
A d/4h
0.5
d/4h 求 CV 0.5
B
解：
1）求 Δ CV
1 CV d da ( a ) () 4h 4h
D h A d/2
C
1 D
C
B
A 0.5 a
第五章
结构的位移计算
基本要求：
理解实功、虚功、广义力、广义位移
的概念，变形体虚功原理和互等定理。
掌握荷载产生的位移计算。
熟练掌握图乘法求位移。
了解了解温度改变、支座移动引起的
位移计算。
§5.1 概
一、结构位移种类
A
述
P
A
A
AH
AV
线位移 位移 角位移
绝对位移
A A点线位移 AH A点水平位移 AV A点竖向位移 A截面角位移
虚功方程：
N
1
1 N FN d 0
FN
B
FN
A
N FN d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移， 即是三者的叠加，有：
M Q N Md FQd FN d
推导位移计算公式的两种途径
{由刚体虚功原理来推导－局部到整体。
在荷载作用下，应变 、 0、 与内力 M P、FQP、 FNP 的关系式如下：（式中k为剪应力不均匀系数）
MP EI
0
kFQ P GA
FNP EA
上式适用的条件是：小变形，材料服从虎克定 律，即体系是线性弹性体。
kFQP FNP MP 1 M ds FQ ds FN ds EI GA EA
3）位移公式为
钢筋混凝土结构G≈0.4E 例：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。 P 矩形截面, k =1.2,I/A=h2/12 解：1）虚拟单位荷载 ds 2）实际荷载下内力 虚拟荷载下内力 2
M R sin FN sin FQ cos
Q
EI 1 h 2 M GAR 4 θ R 2 dθ 1 h I N M AR 2 12 R k h <1 R 10
C B b 已知 c1 求
?
A
a
设虚力状态
FRA a FP b 0
FP=1
B
FRA
b a
虚功方程
A
C a b
1 FRA c1 0
b c1 a
FRA
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
4.求位移步骤如下：
①沿拟求位移方向虚设性质相应的单位载荷；
a
FN
FN FNPl EA
1
练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.
P
2P
P
1
kV
1