天津理工大学概率论与数理统计第五章习题答案详解
概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第五章习题参考答案
2． 证明：对ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ意常数 c, d，有
∑ ( x − c)( y − d ) = ∑ ( x − x )( y − y ) + n( x − c)( y − d ) ．
i =1 i i i =1 i i
n
n
证： ∑ ( xi − c)( y i − d ) = ∑ [( xi − x ) + ( x − c)][( y i − y ) + ( y − d )]
样本的分布为 p ( x1 , x2 , L , xn ) = λ eλ x1 ⋅ λ eλ x2 L λ eλ xn = λ n e
λ ∑ xi
i =1 n
，xi > 0．
6． 美国某高校根据毕业生返校情况纪录，宣布该校毕业生的年平均工资为 5 万美元，你对此有何评论？ 解：返校的毕业生只是毕业生中一部分特殊群体， 样本的抽取不具有随机性， 不能反应全体毕业生的情况．
i =1 i =1 n
n
n
= ∑ [( xi − x )( y i − y ) + ( x − c)( y i − y ) + ( xi − x )( y − d ) + ( x − c)( y − d )]
i =1 n n n
= ∑ ( x i − x )( y i − y ) + ( x − c)∑ ( y i − y ) + ( y − d )∑ ( x i − x ) + n( x − c)( y − d )
频数 9 9 5 4 4 1 1 3 4 30
频率 0.225 0.225 0.125 0.1 0.1 0.025 0.025 0.075 0.1 1
概率论与数理统计第五章统计检验
第五章统计检验1.学习要求、重点难点本章要求深刻理解统计检验的基本思想，统计检验的基本概念和基本步骤。
重点理解统计检验中常犯的两类错误，小概率原理在统计检验中的应用。
在做参数统计检验的时候合理选择原假设与备择假设。
特别是总体方差已知或者未知的情况下，选择恰当的统计量是统计检验正确与否的关键。
2.内容提要在前一章中，我们介绍了参数估计的方法. 在生产实践和科学研究中，还有另一类重要的统计推断问题——统计检验，又称为假设检验。
其思想有点类似于数学中“反证法”，它是对总体的分布或者参数作出某种假设，然后根据所得样本检验这个假设是否成立。
假设检验根据假设对象不同，分为非参数和参数的假设检验。
非参假设检验针对总体分布假设所做的检验，而参数假设检验是在总体分布已知的情况下，对未知参数假设进行的检验。
本章主要介绍的后者。
后文提到的统计检验（假设检验）如不加说明均指参数的假设检验。
本章要求掌握以下几个基本概念。
（一）统计检验的涵义统计检验是先对总体参数提出某种假设，然后利用样本信息判断假设是否成立的过程，是利用样本的实际资料检验事先对总体某些数量特征所做的假设是否可信的一种统计分析方法。
该推理方法有两个重要的特点：（1）用了反证法的思想。
（2）利用小概率事件在一次实验中基本不发生的原理。
（二）原假设与备择假设统计检验是从总体参数所做的一个假设开始的，假设一般包括两个部分：原假设H和备择假设1H。
（1）原假设H研究者想要收集证据予以反对的假设，原假设又称虚无假设或零假设，它常是根据已有的资料，或经过周密考虑后确定的。
一般来说，原假设建立的依据都是已有的、具有稳定性的，从经验看，不会被轻易否定的。
统计检验的目的，就在于作出决策：接受原假设还是拒绝原假设。
（2）备择假设H1研究者想要收集证据予以支持的假设，也称研究假设或者择一假设，即原假设被否定之后应选择的、与原假设逻辑对立的假设。
（三）统计检验中的两类错误如果原假设是正确的，由于样本的随机性，这时我们做出了拒绝原假设的决策，从而犯了错误。
概率论第五章习题解答课后习题答案
第五章习题解答1、据以往的经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和1920h 的概率。
解 设这16只元件的寿命为i X ，1,2,,16i =，则161i i X X ==∑，因为()100i E X μθ===，22()10000i D X σθ===于是随机变量161616001600400iiXn XX Z μ-⨯--===∑∑近似的服从(0,1)N160019201600{1920}{}400400X P X P -->=>1600{0.8}400X P -=>16001{0.8}400X P -=-<1(0.8)=-Φ＝10.78810.2119=-=.2\（1）一保险公司有10000个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为280美元，标准差为800美元，求索赔总金额不超过2700000美元的概率； （2）一公司有50张签约保险单，每张保险单的索赔金额为i X ，1,2,,50i =（以千美元计）服从韦布尔分布，均值()5i E X =，方差()6i D X =求50张保险单索赔的合计总金额大于300的概率。
解 （1）设每个投保人索赔金额为i X ，1,2,,10000i =，则索赔总金额为100001ii X X==∑又 ()280i E X =，2()800i D X =，所以， 索赔总金额不超过2700000美元的概率{2700000}1`{270000}P X P X >=-≤10000128010000270000028000001{}80010080000ii XP =-⨯-=-≤⨯∑1000012800000101{}800008ii XP =-=-≤-∑ 10000128000001{1.25}80000ii XP =-=-≤-∑近似的服从(0,1)N即 {2700000}1( 1.25)P X >=-Φ-(1.25)0.8944=Φ= （2）{300}1{300}P X P X >=-≤505051iXP -⨯=-≤∑505051iXP -⨯=-≤∑505051 2.89}iXP -⨯=-≤∑1(2.89)=-Φ10.99810.0019=-=3、计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差相互独立，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，（1）将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？（2）最多可有几个数相加，使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90？ 解 设每个加数的舍入误差为i X ，1,2,,1500i =，由题设知i X 相互独立同分布，且在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，从而0.50.5()02i E X -+==，2(0.50.5)1()1212i D X +== (1)、记15001i i X X ==∑，=(0,1)N ，从而 {||15}1{||15}P X P X >=-≤1{1515}P X =--≤≤1P =-≤≤1[(=-Φ-Φ2(1=-Φ2(1(1.34))=-Φ2(10.9099)0.1802=-=。
概率论与数理统计-第四与五章练习答案
《概率论与数理统计》第四、五章练习学院 班级、学号 姓名 成绩一、单项选择题（每小题2分，共16分）说明：请将答案直接填入下表中！(A)1- (B)0 (C)21 (D)1 2.设随机变量X 和Y 的方差存在且不等于0，则DY DX Y X D +=+)(是X 和Y (A)不相关的充分条件，但不是必要条件 (B)独立的充分条件，但不是必要条件(C)不相关的充分必要条件 (D)独立的充分必要条件3.设X 是一个随机变量，μ=EX ，2σ=DX (0,>σμ为常数)，则对任意常数c ，必有(A)222)(c EX c X E -=- (B)22)()(μ-=-X E c X E(C)22)()(μ-<-X E c X E (D)22)()(μ-≥-X E c X E 4.设随机变量X 和Y 独立同分布，方差存在且不为零，记Y X U -=，Y X V +=，则随机变量U 与V 必然(A)不独立 (B)独立 (C)相关系数不为零 (D)相关系数为零5.假设随机变量)1,0(~N X ，)4,1(~N Y ，且相关系数1=XY ρ，则(A)1}12{=--=X Y P (B)1}12{=-=X Y P(C)1}12{=+-=X Y P (D)1}12{=+=X Y P6.设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则(A)X 与Y 一定独立 (B)),(Y X 服从二维正态分布(C)X 与Y 未必独立 (D)Y X +服从一维正态分布7.设随机变量n X X X ,,,21 )1(>n 独立同分布，且其方差为02>σ，令随机变量∑==ni i X n Y 11，则 (A)212)(σn n Y X D +=+ (B)211)(σnn Y X D +=- (C)nY X Cov 21),(σ= (D)21),(σ=Y X Cov 8.设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为λ)1(>λ的指数分布，记)(x Φ为标准正态分布的分布函数，则 D (A))(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ (B))(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ (C))(lim 1x x n n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λ (D))(lim 1x x n X P n i i n Φ=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-∑=∞→λλ 二、填空题（每小题2分，共14分）1.设随机变量X 的服从参数为λ的指数分布，则=>}{DX X P 1-e2.设随机变量X 服从二项在区间]2,1[-上服从均匀分布，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=010001X X X Y ，则方差=DY98 3.设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==}{2EX X P 121-e 4.设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 21，5 5.设随机变量321,,X X X 相互独立，其中1X 在]6,0[上服从均匀分布，2X 服从正态分布)2,0(2N ，3X 服从参数为3=λ的泊松分布，记32132X X X Y +-=，则=DY 466.设随机变量X 和Y 的相关系数为，0==EY EX ，222==EY EX ，则=+2)(Y X E67.设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据切比雪夫不等式≤≥+}6|{|Y X P 121 三、解答题（每题7分，共49分）1.设随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，2=EX ，3=DX ，求条件概率}2|0{≤>X X P【答】5,1=-=b a ；32 2.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他0103)(2x x x f X ，试求： （1）随机变量X 的分布函数)(x F X ；（2）数学期望EX 与方差DX ；【解】（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤=111000)(3x x xx x F X （2）43=EX ；532=EX ，803)(22=-=EX EX DX3.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（EX ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。
概率论与数理统计第五章练习答案郝志峰,谢国瑞
概率论与数理统计第五章习题的联合概率分布列为即。
对应的概率为：的所有可能取值对是。
于是二维随机变量服从二项分布并的所有可能取值也是则是乙击中目标的次数，。
设分布；并服从二项的所有可能取值是则是甲击中目标的次数解：设),(.2304.06.0*8.0)2,2(P ;3072.06.0*)6.01(*8.0)1,2(P ;1024.0)6.01(*8.0)0,2(P ;1152.06.0*8.0*)8.01()2,1(P ;1536.06.0*)6.01(*8.0*)8.01()1,1(P ;0512.0)6.01(*8.0*)8.01()0,1(P ;0144.06.0*)8.01()2,0(P ;0192.06.0*)6.01(*)8.01()1,0(P ;0064.0)6.01(*)8.01()0,0(P )2,2(),1,2(),0,2(),2,1(),1,1(),0,1(),2,0(),1,0(),0,0(),().60,2(B ;,1,20).80,2(B ,1,20,.1221222221212122122212222ηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηξηηξξ=====-====-====-====--====--====-====--====--===C C C C C C的联合概率分布列为：即。
事件等品和二等品，不可能即抽到的产品同时是一即抽到一等品即抽到二等品即抽到三等品。
对应的概率分别为：所有可能取值对是解：),()(0)1,1();(;8.0)0,1()(;1.0)1,0();(;1.0)0,0()1,1(),0,1(),1,0(),0,0(),(.2212121212121ξξξξξξξξξξξξ============P P P P的联合概率分布列为：的边缘分布可以得到和又利用。
，得到：非负，并且和等于有可能取值对应的概率利用离散型随机变量所。
可知：解：根据),(0)1,1()1,1()1,1()1,1(11)0,1()0,1()1,0()0,0()1,0(1)0(.3212121212121212121212121ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ====-====-==-=-===-=+==+==+==+-====P P P P P P P P P P的联合分布列为：所以对应的概率为：的所有可能取值为有：从而对于是的概率密度可知：解：根据),()arctan 2()1()1(P )1,1(P )1,1()arctan 21(arctan 2)1()1(P )1,1(P )0,1(arctan 2)arctan 21()1()1(P )1,1(P )1,0()arctan 21()1()1(P )1,1(P )0,0(),1,1(),0,1(),1,0(),0,0(),(.arctan 2)1(P ,arctan 21)1(P ,2,1,arctan 21)1(P arctan 2112)(2)1(P .4212212121212121212121221212121121ηηπξξξξηηππξξξξηηππξξξξηηπξξξξηηηηπξπξπξπππξξe P P e e P P ee P P e P P e e k e e de e dx e e k k xx x x =≤≤=≤≤===-=>≤=>≤===-=≤>=≤>===-=>>=>>====≤-=>=-=>=+=+=≤⎰⎰∞-∞--).1)(1()0,0()0,3()4,0()4,3()40,30()3(0y 0,00,0),1)(1(),().1)(1(12),(.12),(0,0.0),(,0),(0y 0)2(.12A 12),(1)1(.516943430)43()43(04030)43(--=+--=≤<≤<⎪⎩⎪⎨⎧≤≤>>--=--===>>==≤≤=====------+-+-∞+-∞+-∞+∞++-∞+∞-∞+∞-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e F F F F P x y x e ey x F e e dxdy e y x F e y x f y x y x F y x f x Ady e dx eA dxdy Aedxdy y x f y x y x x yy x y x y xy x ηξ时或者当时当因此：于是对应的分布函数：时，当于是对应的分布函数时，联合密度函数或者当所以解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-+=-===+-≤≤+-≤≤+===+≤≤--≤≤-==>-<⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-=⎰⎰-+-+--其他因此：于是对应的概率密度是时，）当（于是对应的概率密度是时，）当（于是对应的边缘分布时，或者）当（其他对应的概率密度是：，所以的面积为解：由于,010,101,1)(;121)(,21),(,1110iii ;121)(,21),(,1101ii ;0)(,0),(11i ,011,11,21),(),(2.61111x x x x x f x dy x f y x f x y x x x dy x f y x f x y x x x f y x f x x y x y x y x f D xx xx ξξξξηξ.48251611218141)4,4()3,3()2,2()1,1()()3(.161487481348254321;414141414321)2(.41,1161*4121*381*2)1(.7=+++===+==+==+====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+++ηξηξηξηξηξηξP P P P P a a 的边缘分布为：的边缘分布为：可得：根据解：.913)3(1311)()(),3arctan 2(1)3arctan 2)(22(1),()(.412)2(1211)()(),2arctan 2(1)22)(2arctan 2(1),()()3(.91416)3(131)2(1211),(),()2(.1,2,)2)(2arctan (),(0)3arctan )(2(),(0)2)(2(),(1,.822'222'222222222yy y F y f yy y F y F xx x F x f x x x F x F yx y x y x F y x y x f A C B y x C x B A x F y C B A y F C B A F y x +=+==+=++=+∞=+=+==+=++=+∞=++=++=∂∂∂====⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-∞=+-=-∞=++=+∞+∞=ππππππππππππππππππππππππηηηξξξ边缘密度函数所以边缘分布函数边缘密度函数所以边缘分布函数从而的任意性可知：利用，满足：解：对任意的.)(.1445.0)5.08413.0(21))0()1((212121)1()21()(.91212122222函数为标准正态分布的分布其中解：x dxe dx e dxdy e P x x xy Φ=--=Φ-Φ-=-=-==<⎰⎰⎰⎰---ππππξη⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=+==⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+=+==⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧>>≤≤>+>≤≤+≤≤≤≤+<<=+==≤≤>+==>≤≤+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==≤≤≤≤==>>==<<==+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-∞-∞-∞+∞-∞+∞-∞-∞-∞+∞-∞+∞-其他的边缘密度函数为：其他的边缘密度函数为：并且并且并且并且或者因此：时并且当时并且当时并且当时并且当于是概率密度时或者当的范围分情况进行讨论下面我们对利用所以解：,020,6131)31(),()(,010,322)31(),()()3(21,1201,12131210,31322010,1213100,0),(;12131),1(),(,201)v (;3132)2,(),(,210)iv (;12131)61()31(),(),(,2010)iii (;1),(),(,21)ii (;0),(,0),(,00)i (.,,),(),()2(.31,32)22()(),(1)1(.10102220222322322322302200210210202y y dx xy x dx y x f y f x x x dy xy x dy y x f x f y x y x y y y x x x y x y x y x y x y x F y y y F y x F y x x x x F y x F y x y x y x dx xy y x dx dy xy x dxdyy x f y x F y x dxdy y x f y x F y x y x F y x f y x y x dxdy y x f y x F c c dx cx x dx dy cxy x dxdy y x f x x y x yxyηξηξ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++=++==+=≤≤==<>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++=++==+=≤≤==<>其他于是时，当没有定义；于是时或者同样，当其他于是时，当没有定义；于是时或者当,020,62332231)(),()|(,322)(10)(),()|(,0)(,01,010,226613131)(),()|(,6131)(20)(),()|(,0)(,02)4(22222y x yx x x xy x x f y x f x y f x x x f x x f y x f x y f x f x x x y xyx y xy x y f y x f y x f y y f y y f y x f y x f y f y y ξξξξηηηη⎪⎩⎪⎨⎧<≥===≥==<⎪⎩⎪⎨⎧<≥===⎪⎩⎪⎨⎧<≥===≥==<⎪⎩⎪⎨⎧<≥===--+--∞++-∞+∞---+--∞++-∞+∞-⎰⎰⎰⎰0,00,22)(),()|(0)(),()|(,0)(00,00,)2(),()(0,00,22)(),()|(0)(),()|(,0)(00,00,2)2(),()()1(.112)2(0)2(2)2(20)2(x x e e e y f y x f y x f y y f y x f y x f y f y y y e dx e dx y x f y f y y e e e x f y x f x y f x x f y x f x y f x f x x x e dy e dy y x f x f x y y x y y x yxy x x y x ηηηηξξξξηξ时，当没有定义；所以时，于是当的边缘密度函数为：时，当没有定义；所以时，于是当的边缘密度函数为：解：.12)1()1,2()1|2()2(410201)2(--+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=≤≤≤=≤≤⎰⎰⎰e dyedxdy e P P P yy x ηηξηξ.2ln 11)1()3(,010),1(111),()()2(,010,11)|()(),(),(,,01,11)|(:)1,(,)10(,010,1)(:)1,0()1(:.1212110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=>+⎪⎩⎪⎨⎧<<--=-==⎪⎩⎪⎨⎧<<<-==⎪⎩⎪⎨⎧<<-=<<=⎩⎨⎧<<=⎰⎰⎰⎰-∞+∞-dy dx x P y y n dx xdx y x f y f y x xx y f x f y x f y x xx y f x x x x x f y y y ηξηηξηξξηξξ其他的边缘密度为：其他的联合密度函数为：因此其他上的均匀分布，可得服从区间时又根据其他上的均匀分布，所以服从区间由于解.,:.91B ,92A )A 91(319131B A )A 91)(1819161(911B A 311819161,.13的确是独立的随机变量知代入联合分布列验证可解得：：是独立的随机变量可得性质及解：根据联合分布列的ηξηξ==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++==+++++表：因此，联合分布列如下是独立随机变量：于是根据边缘分布以及的概率分布为解：设.4112131;31216111;838121;214181;1218124141;43681;416241;2418161,.3,2,1;2,1,),(),(.141332321312222112212111131212111111=-=-==--=--==-=-=====--=--========-======∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p j i p y x P ij j i ηξηξηξ.0,41,41,2121214341)0()1(.1,0;1,0,),(),(.2121*43*332143),()(.41,163;21,43,1021,43,.15010010111110001110010000011011联合分布列为解得：得：。
概率论第四、五章课后习题答案
第四章 随机变量的数字特征2．某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备。
以X 表示一天中调整设备的次数，试求E (X )。
(设诸产品是否为次品是相互独立的。
)解：先求检验一次，决定需要调整设备的概率。
设抽检出次品件数为Y ，则Y ~b (10,0.1).记需调整设备一次的概率为p ，则2639.01.09.01109.01}1{}0{1)1(910=⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-=-=>=Y P Y P Y P p 又因各次检验结果相互独立，故)2639.0,4(~b X X 的分布律为于是0556.12639.0444)1(43)1(62)1(41)(43223=⨯==⨯+-⨯+-⨯+-⨯=p pp p p p p p X E以后将会知道若X ~b (n ,p )，则np X E =)(.6．(1)设随机变量X 的分布律为求)53(),(),(22+XE X E X E(2)设)(~λπX ，求)11(+X E解：(1)E (X )=(-2)⨯0.4+0⨯0.3+2⨯0.3=-0.2 由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2⨯0.4+02⨯0.3+22⨯0.3=2.8E (3X 2+5)=[3⨯ (-2)2+5]⨯0.4+[3⨯ 02+5]⨯0.3+[3⨯22+5]⨯0.3=13.4如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3⨯2.8+5=13.4(2)因)(~λπX ，故!}{k ek X P k λλ-==)1(1)1()1!(!)!1()!1(}{11)11(1100λλλλλλλλλλλλλλλλ--∞=-∞=-∞=+-∞=-∞=-=-=-==+=+==+=+∑∑∑∑∑eeej ej ek ek ek X P k X E j jj jk k k k k7. (1)设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x f x求(I)Y =2X ；(II) Y =e -2X 的数学期望(2)设随机变量n X X X ,,2,1 相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布,(I)求},,max{2,1n X X X U =的数学期望；(II)求},,min{2,1n X X X V =的数学期望。
天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解
第一章 随机变量 习题一1、写出以下随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω={}1843,,, (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数Ω= {} ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进展检验，合格的记上“正品〞，不合格的记上“次品〞，如连续查出2个次品就停顿，或检查4个产品就停顿检查，记录检查的结果。
用“0”表示次品，用“1”表示正品。
Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,}(4)在单位圆任意取一点，记录它的坐标Ω=}|),{(122<+y x y x(5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度(6 ) .10只产品中有3只次品，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出，写出抽取次数的根本空间U =“在 ( 6 ) 中，改写有放回抽取〞 写出抽取次数的根本空间U =解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。
}其中 ei 表示“抽取 i 次〞的事件。
i = 3、 4、…、 10( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… }其中 ei 表示“抽取 i 次〞的事件。
i = 3、 4、…2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出以下各对事件的关系(1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件(3)20>x 与18<x 互不相容 (4)20>x 与22≤x 相容事件(5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容(6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件解: 互不相容:φ=AB ;对立事件:φ=AB )1(且Ω=⋃B A3、设A,B,C 为三事件，用A,B,C 的运算关系表示以下各事件(1)A 发生，B 与C 不发生 - C B A (2)A 与B 都发生，而C 不发生 - C AB(3)A,B,C 中至少有一个发生-C B A ⋃⋃ (4)A,B,C 都发生 -ABC(5)A,B,C 都不发生-C B A (6)A,B,C 中不多于一个发生 -C B C A B A ⋃⋃(7)A,B,C 中不多于两个发生-C B A ⋃⋃(8)A,B,C 中至少有两个发生-BC AC AB ⋃⋃4、盒装有10个球，分别编有1- 10的，现从中任取一球，设事件A 表示“取到的球的为偶数〞，事件B 表示“取到的球的为奇数〞，事件C 表示“取到的球的小于5”，试说明以下运算分别表示什么事件.(1)B A 必然事件 (2)AB 不可能事件 (3)C 取到的球的不小于5 (4)C A 1或2或3或4或6或8或10(5)AC 2或4 (6)C A 5或7或9 (7)C B 6或8或10 (8)BC 2或4或5或6或7或8或9或105、指出以下命题中哪些成立，哪些不成立. (1)B B A B A = 成立 (2)B A B A = 不成立 (3)C B A C B A = 不成立 (4)φ=))((B A AB 成立(5)假设B A ⊂，那么AB A = 成立(6)假设φ=AB ，且A C ⊂，那么φ=BC 成立(7)假设B A ⊂，那么A B ⊂ 成立 (8)假设A B ⊂，那么A B A = 成立7、设一个工人生产了四个零件，i A 表示事件“他生产的第i 个零件是正品〞),,,(4321=i ，用1A ,2A ,3A ,4A 的运算关系表达以下事件.(1)没有一个产品是次品； (1)43211A A A A B =(2)至少有一个产品是次品；(2)432143212A A A A A A A A B =⋃⋃⋃=(3)只有一个产品是次品；(3)43214321432143213A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃=(4)至少有三个产品不是次品 4)432143214321432143214A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A B ⋃⋃⋃⋃=8. 设 E 、F 、G 是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简以下各式：(1)()()F E F E (2) ()()()F E F E F E 〔3〕()()G F F E 解 :(1) 原式()()()()E F F F E F E E E ==(2) 原式 ()()()()E F F E F F E F E F E ===(3) 原式()()()()()G E F G F F F G E F E ==9、设B A ,是两事件且7060.)(,.)(==B P A P ，问(1)在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？ 解: (1)6.0)(,=⊂AB P B A (2)3.0)(,==⋃AB P S B A10. 设事件 A ， B ， C 分别表示开关 a ， b ， c 闭合， D 表示灯亮，那么可用事件A ，B ，C 表示：(1) D = A B C ；(2) D = ()C B A 。
概率论与数理统计-第四与五章练习答案
《概率论与数理统计》第四、五章练习学院 班级、学号 姓名 成绩一、单项选择题（每题 2 分，共 16 分） 说明：请将答案直接填入下表中！1 234 56781.A C D X Y D D CCX C Yn 次，以 与 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 和 的将一枚硬币重复扔掷有关系数等于(A)1(B) 01 (D)1(C)2.设随机变量 X 和 Y 的方差存在且不等于 2DY 是 X 和Y0，则 D (XY) DX(A)不有关的充分条件，但不是必需条件(B)独立的充分条件，但不是必需条件(C)不有关的充分必需条件 EXDX(D)独立的充分必需条件3.X是一个随机变量，， (,0 为常数 )，则对随意常数c ，必有设2(A) E( Xc)2 EX 2c 2(B) E( Xc) 2 E( X )2 (C)E( X c)2E( X )2(D) E( Xc)2E( X) 24.设随机变量 X 和 Y 独立同散布，方差存在且不为零，记UXY ，V XY ，则随机变量 U 与V 必定(A)不独立(B)独立(C)有关系数不为零(D)有关系数为零5.假定随机变量 X ~ N (0 ,1) ， Y ~ N (1,4) ，且有关系数 XY1 ，则 (A) P{ Y 2X 1} 1 (B) P{ Y2 X 1} 1 (C) P{ Y2X1} 1(D) P{ Y 2 X1}16.设随机变量 X 和 Y 都听从正态散布，且它们不有关，则(A) X 与 Y 必定独立 (B) ( X ,Y) 听从二维正态散布(C) X 与 Y 未必独立(D) XY 听从一维正态散布27. 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n (n 1)独立同散布，且其方差为0，令随机变量Y1 n X i，则n i 1(A) D( X 1Y)n 22(B) D(X 1Y )n 1 2nn22(C)Cov( X 1,Y )(D) Cov( X 1 ,Y)n8.设 X 1, X 2 , , X n , 为独立同散布的随机变量序列，且均听从参数为 (1) 的指数分布，记 (x) 为标准正态散布的散布函数，则DnnX inX i n(A) lim Pi 1nx( x)(B) lim Pi1nx(x)nnnnX inX i(C) lim Pi 1nx(x)(D) lim Pi1nx(x)nn二、填空题（每题 2 分，共 14 分）1. X的听从参数为的指数散布，则 P{ XDX }e 1设随机变量1 X 0 2.设随机变量 X 听从二项在区间[ 1, 2] 上听从均匀散布， 随机变量 Y0 X 0，则方1X差 DY891 e 13.设随机变量 X 听从参数为 1 的泊松散布，则P{ X EX 2}p ，进行 100 次独立重复试验，当p24.设一次试验的成功率为时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为1， 525.设随机变量 X 1 , X 2 , X 3 互相独立，此中 X 1 在[ 0,6] 上听从均匀散布， X 2 听从正态散布N (0,22) ， X 3 听从参数为3 的泊松散布，记 YX 1 2X 23X 3，则 DY466.设随机变量 X 和 Y 的有关系数为，EXEY 0，EX 2 EY 22，则 E(X Y)267.设随机变量 X 和 Y 的数学希望分别为 2 和 2，方差分别为 1 和 4，而有关系数为0.5 ，则依据切比雪夫不等式P{| XY | 6}112三、解答题（每题 7 分，共 49 分）1. 设 随 机 变 量 X 服 从 区 间 [ a, b] 上 的 均 匀 分 布 ， EX 2， DX3，求条件概率P{ X0|X 2} 【答】 a1, b5；232.设连续型随机变量X 的概率密度为 f X ( x) 3x20 x1，试求：0 其余（ 1）随机变量 X 的散布函数 F X (x) ；（ 2）数学希望 EX 与方差 DX ；x 0【解】（ 1） F X (x)x 30 x 11x1（2） EX3；EX23，DX EX2(EX)2345803.假定一设施开机后无故障工作的时间X 听从指数散布，均匀无故障工作的时间（ EX ） 为 5 小时，设施准时开机， 出现故障时自动关机， 而在无故障的状况下工作 2 小时便关机。
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填空题: 1•设随机变量E() 2.设E( i) ,D(P{|3. 设DX i1(i第5章大数定律与中心极限定理，方差D( ) 2，则由切比雪夫不等式有P{|相互独立同i) 8,(iD()1,2丄接可得P X 91,2,,n )对于，并估计P {|分布的随机变量，X i,X2丄，X9相互独立且同9X i ,则对任意给定的19~2解：切比雪夫不等式指出: 如果随机变量X满足：E(x) 对任意给定的0,有P{| X I 22,或者P{| X写出所满足的切彼雪夫不等式4}由于随机变量X1, X2,L,X9相互独立且同分布,而且有EX i 1, DX i1(i 1,2丄9),所以4.设随机变量X满足: E(X)D(X)E(X)X iX i,D(X)解：切比雪夫不等式为：设随机变量X满足1丄2n布，而且有EX i 1 ,0,由切比雪夫不等式直与D(X) 2都存在，则9E(X i)i 19D(X i)i 19,9.2,则由切比雪夫不等式，有 P{| XE(X) , D(X)2，则对任意2的0,有P{| X | } 丐・由此得 P{| X |7、设n 表示n 次独立重复试验中事件 A 出现的次数,np(1 p)8. 设随机变量n,服从二项分布B(n, p),其中0 p 1,n 1,2丄，那么，对于任一实数 x,有 Jim P{| n np| x |} ___ 0 _______ .9. 设X 1,X 2丄,X n 为随机变量序列,a 为常数，则{X n }依概率收敛于a 是指1,或 0, lim P X n a _0_。
n10.设供电站电网有100盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率皆为 0.8.假设每盏灯开关是相互独立的，若随机变量X 为100盏灯中开着的灯数，则由切比雪夫不等式估计，X 落解：E(X) 80, D(X) 16 ,于是P(75 X 85) P(|X 80| 5) 1 16—.25 25•计算题:1、在每次试验中，事件 A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件 A 发生的次数在 450至550次之间的概率.解：设X 表示1000次独立试验中事件 A 发生的次数，则 E(X) 500, D(X )250P{450 X 550} P{| X 5001 50}5、设随机变量 ，E ( ) , D()，则 P{|为相互独立的随机变量序列，且i (i1,2,)服从参数为 的泊松n分布，则limnX}1 ”2t 22dtb np概率，则P {ab}np(1 p) a np t 27dtp 是事件A 在每次试验中出现的0, lim P X n an在75至85之间的概率不小于9 25P{| X E(X) | 50} 1D(X)5021型25000.92、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机.在系统运行期间，每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90.系统正常工作时，要求能清晰接受信号的交换机至少 45台.求该通信系统能正常工作的概率 • 解:设X 表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数，则X ~ B(50,0.90).由此P(通信系统能正常工作)P(45X50)45 50 0.9「50一0.9一0.1X 50 0.9 —50一0.9—0.150 50 0.9 —50一0.9—0.1(2.36) (0) 0.990 9 0.5 0.490 9.3、某微机系统有120个终端，每个终端有5%的时间在使用的，试求有不少于10个终端在使用的概率4、某校共有4900个学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1，问阅览室要准备多少个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位 解：设去阅览室学习的人数为,要准备k 个座位. ___解：某时刻所使用的终端数 由棣莫弗一拉普拉斯定理知P{ 10} 1~ b(120,0.05)， np 6，npq 5. 710 6 5.71 (1.67)0.0475.若各终端使用与否是相互独立~ b(n, p), n 4900, p 0.1,np 4900 0.1 490, npq要准备539个座位，才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位..4900 0.1 0.9.441 21.P{0k}k np 0 np k 490 .npq npq210 490 21k 490 21 (23.23) k 490 210.99.k 490查N(0,1)分布表可得 212.326 3, k 21 2.326 3 490 538.852 35. 随机地掷六颗骰子 ，试利用切比雪夫不等式估计：六颗骰子出现的点数总和不小于 不超过33点的概率。
问：n 的最小值应如何 ？抽样检查产品质量时，如果发现次品多于 10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接受该产品的概率达到0.9?解：设？表示六颗骰子出 现 的 占 八数 总 和。
?i ，表示第i 颗 骰 子 出 现 的 占八、数， ?1， ?2，…，?6相 互 独 \立显 然i = 1,2，…11 2 3 6 1 6 ,2 小2624935 1221356.设随机变量f(x)33 12132,e xx 0 0x 01691戲 3380.9 相互独立，且均服从指数分布1 n 10 为使 P — kn 扌95100,11解: E kJD k1 n1 r 1 nEk-,D -kn k 1nk 1由 切比 雪夫不等 式 得1 n 11PkPn k 1101 n1~2D k2n k 1n1 nl 1 n1kE—kn k 1 n k 1 101 2100 1095 100从而 n ? 2000 , 最小值是2000P{X 10} 0.9，而 P{ X n0.110 n 0.1}0.9I n 0.1 0.9 In 0.1 0.98. (1)一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少必需要有 85个元件工作，求系统的可靠程度 (即正常 运行的概率);(2)上述系统假设有n 个相互独立的元件组成， 而且又要求至少有 80%的元 件工作才能使系统正常运行，问 n 至少为多大时才能保证系统的可靠程度为 0.95?解：⑴设X 表示正常工作的元件数，则X ~ b(100,0.9),P{5 吗33 3由中心极限定理可知(2)设X表示正常工作的元件数，则 X ~ b(n,0.9)所以P{X n 0.1 •、n 0.1 0.910 0.1 n} 、0.09n由中心极限定理知，当 n 充分大时, 有P{X 0.1n耳竺}..n 0.1 0.9 . 0.09n(10 0.1 门) (0.3 n0.1，(10 0.1 n) 03、n0.1查表得10 0.1 n03. n1.28 n 147P{X 85}P{100 X 85}~85 90P{=rX 100 0.9 .100 0.1 0.9100 90510 5 (3)目(1(3))(5) 0.953P(X 0.8 n) P(0.8 n X n)P{0.3；X 0.9 n .n 0.9 0.10.2 n 0.3. nX 0.9n } 0.3 n "(寸)(寸)0.95n 25P{X 85}(芈)2_n X 0.9 n30.3 nP{*9•一部件包括10部分，每部分的长度是一随机变量，相互独立且具有同一分布，其数学 期望为2mm ，均方差为0.05 mm ，规定总长度为20 ? 0.1 mm 时产品合格，试求产品 合格的概率。
已知：(0.6 ) = 0.7257; ( 0.63 ) = 0.7357。
10 •计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相 互独立的随机变量，并且都在区间 ［0.5, 0.5 ］上服从均匀分布，求 1200个数相加时误差总和的绝对值小于 10的概率。
已知：(1)=0.8413; ⑵=0.9772。
解：设?1,?2 , , ?n 表示取整误差， 因它们在 [0.5 ,0.5 ］上服从均匀分布故有E i 0 , D1 . , i 12, ,n12根 据同 分布的中心要极限定理 ,得1200120010 01i10 0P10 Pii 1 10 P厂 111J1200 —— J1200 ——(200—V 1212X121200P 11 = ( 1 ) ( 1 ) =2 ( 1 ) 1、1200 1V 12=2 ? 0.8413 1 = 0.682611.将一枚硬币连掷100次，试用隶莫佛--拉普拉斯定理计算出现正面的次数大于60的概率。
已知 ：⑴=0.8413 ;(2) = 0.9772 ; 当 x > 4 ,(x) =1。
1解：设？为 掷100次中出现正面的次数，它服从二项分布 B ( 100, )2解:设每个部分的长度为 2 2 D( X ) = ? = ( 0.05 )E ( X ) = 2 = ?, X ( i =1,2,…,10 )，得合格品的概率为 10P 0.1iX i 200.1 P0.63 103.18 0.05(i1X i 10 2)°630.631 -- e2 t 2和0.631T et2?dt0.63 1 2 -- et27dt 2 0.7357 1 0.4714这里np 100-50 , npq 50 2522由隶 莫佛 --拉普拉斯定理，得P 60100 P60 50 50 100 50.25 、25 25P 250 1010 212 •有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是成功一次•(1) 某人随机地去猜，问他成功一次的概率是多少？(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒 •他连续试验10次，成功3次•试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力(各次试验是相互独立的).⑵设X ：试验10次成功的次数，则X ~ B 10,丄70因此随机事件 X 3是一个小概率事件，根据“小概率事件在一次试验中是不大可能发生 的”的原理，随机事件 X 3是不大可能发生的，但它却发生了，因此我们要以断定此人确 有区分酒的能力•13•保险公司新增一个保险品种：每被保险人年交纳保费为额为2万元•根据统计，这类被保险人年出事概率为 0Q00 5・这个新保险品种预计需 投入100万元的广告宣传费用•在忽略其他费用的情况下，一年内至少需要多少人参 保，才能使保险公司在该年度获利超过 100万元的概率大于95%？x1 t2((x) . e 2dt ， (1・29) 0・9015，(1£5) 0・9505，(3・09) 0・9990,(3.72) 0.999 9, (4.27) 0.999 99) 解：设参保人数为 N 人，则查N ( 0, 1 )分布函数表，得 P{ 60 < ? ? 100 } = 1 0.977 = 0.023 .解: (1)设A=｛试验成功一次｝，则有P(A)170由于 P(X 3) c 301 3 69 7 70703.1633 104.100元，每被保险人出事赔付金1, 第i 人出事，. 0 10,第i 人不出事，i 1,2，L ，N ，i ~ q p ，E i P ，D i Pq.NP(20 000 i 1 000000100N 1000 000) 0.95.i 1NP( i N /200 2 000 000)0.95.i 1N 20 000 200Np 330 Npq, p 0.0005, q 0.9995, 0.9 N 20 000330 JNpq , 9N 2 1053 30^ Npq2521081N (36 10 3 300 pq) N 4 100,N245 068.03 N 493827160.490,4 ac63 296.41 ,N54182.22.f (x)nx x -e , x 0,n !14、证明题 :设随机变量 X 的密度函数为0,x0.P(0 X 2( n 1))n 1.求n证： n 1r 1 1E(X)xf (x)dxxe dx(n 1)xe x dx n 1, 0n!(n 1)!n 2n 2E(X 2)xexdx (n 1)(n 2)x e xdx (n 1)(n 2),(n 2)!n!D(X) E(X 2) [E(X)]2(n 1)( n 2) (n 1)2n 1.由切比雪夫不等式得P(° X 2(n 1)) P(|X (n 1)| n 1) P(|X E(X)| n 1) .D(X) 1 n 1 丄 (n 1)2(n 1)2n 1Np100N 2 00000020 000Np小pqNpq0.95.100N 2000 00020000 —1.65,。