高考数学总复习资料归纳
高职高考中职数学对口升学总复习基础模块(下册)全册重点知识点小结归纳
时， a 0 ，方向任意。
C O U N T E R PA R T ENTRANCE EXAM
中职数学基础模块(下册)知识点
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高职高考中职数学对口升学总复习知识点总结归纳 基础模块（下册）
CONTENTS
第六章 P03 第七章 P11 第八章 P18 第九章 P26 第十章 P44
知识清单
【知识结构】
——知—识—清—单——————一—.数—列—的—概—念————————————
1.数列的定义
按一定次序排列的一列数叫做数列 项：数列中每个数都叫做数列的项。各项依次叫作这个数列的第1项(首项)、 第2项、...第n项。 项数：各项在数列中所处位置的编号。
2.数列的分类
有穷数列：项数有限的数列
无穷数列：项数无限的数列
3.数列的一般形式
一般形式：a1,a2,a3,...,an,...,其中an是数列的第n项，叫作数列的通项，n叫作an的序号 整个数列记作｛an｝
an1 an
q, an
0, q 0
通常用字母q表示.
【注意】： ① 求公比q一要用相领两项的后项除以前项，而不能用前项除以后项；
② 等比数列中每一项及公比q都不为0；
③ 不为0的常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列。
2.等比数列通项公式： (1)an
a1qn1; (2)an
am q n m
知识清单
一.数列的概念
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4.数列的通项
通项公式：an与n之前的函数关系式an=f(n). 数列的通项an可看成是n的函数（以正整数的子集为定义域）。
【注意】： ①数列的通项公式可以不止一个； ②数列中的数依次出现正负相间的数时，可把符合分离出来，用(-1)n或 (-1)n+1来表示； ③求数列的通项公式关键是寻求各项与项数的关系并归纳其规律。
高职高考中职数学对口升学总复习基础模块(上册)全册重点知识点小结归纳
中职数学基础模块(上册)知识点
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高职高考中职数学对口升学总复习知识点总结归纳 基础模块（上册）
CONTENTS
第一章 P03 第二章 P25 第三章 P37 第四章 P46 第五章 P55
知识清单
【知识结构】
知识清单
6.实数的分类：
整数
正整0 数自然数
实数
有理数
负整数
分数
正分数 负分数
无理数(无限不循环小数)
知识清单
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7.常用数集的记法：
集合名 称
记法
实数 集
R
有理数 集
Q
整数 集
Z
自然数 集
N
正整数 集
N*或N+
知识清单
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⑤ 第一象限的所有点组成的集合: {(x, y) | x 0, y 0}
⑥ 第二象限的所有点组成的集合: {(x, y) | x 0, y 0}
⑦ 第三象限的所有点组成的集合: {(x, y) | x 0, y 0}
⑧ 第四象限的所有点组成的集合：{(x, y) | x 0, y 0}
知识清单
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性质描述法
【注意】：
①有些集合的代表元素需要有两个或两个以上的字母表示. ②如下 一些写法是错误的，如：
把{(a,b)}表示成{a,b},{x=a,y=b}或｛x|a,b｝;× 用｛实数集｝或｛全体实数｝表示R；×
知识清单
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2021人教A版高考数学总复习《集合》
() A.a∈P
B.{a}∈P
然数，而集合 P 是不大于 2 021的自然数构成的集合，
所以 a∉P，只有 D 正确.
答案 D
3.(老教材必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y∈R且 y＝x}，则A∩B中元素的个数为________.
规律方法 1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论. 2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或 区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常要合理利 用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解.确定参数所满足的条件时，一定要 把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
A.{1，－1}
B.{1，－1，0}
C.1，－1，－34
D.－1，－34
(2)设集合 A＝{x|(x－a)2<1}，且 2∈A，3∉A，则实数 a 的取值范围为________.
解析 (1)由定义，当x＝0时，z＝1， 当 x＝－2 时，z＝1－2＋－12＝－1 或 z＝2－2－1＝－34.
因此 P⊙Q＝1，－1，－34. (2)由题意得（（32－－aa））22≥<11，，解得1a<≤a2<或3，a≥4. 所以1<a≤2. 答案 (1)C (2)(1，2]
考点二 集合间的基本关系
【例2】 (1)(2019·湖北八校联考)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则
实数a的所有可能取值的集合为( )
A.{－1}
B.{1}
C.{－1，1}
D.{－1，0，1}
(2)(2020·长沙长郡中学模拟)已知集合A＝{x|y＝log2(x2－3x－4)}，B＝{x|x2－3mx＋ 2m2<0(m>0)}，若B⊆A，则实数m的取值范围为( )
2023年广东春季高考学考数学知识点归纳总结(复习备考必备)
广东省春季高考(学考）数学知识点归纳总结第一章集合一、集合的基本概念(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)常见数集的记法(4)集合的分类若按元素的个数分类，可分为有限集、无限集、空集；若按元素的属性分类，可分为点集,如：(){},1M x y x y =+=、数集，如：{}1N y x y =+=，等．特别注意空集是一个特殊而又重要的集合，如果一个集合不包含任何元素，这个集合就叫做空集，空集用符号“∅”表示．理解集合的意义―抓住集合的代表元素。
如:数集{x|y=f(x)}表示y=f(x)的定义域，数集{y|y=f(x)}表示y=f(x)的值域，点集{(x,y)|y=f(x)}表示y=f(x)的图像；(5)集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A 中的元素都是B 的元素，B 中的元素也都是A 的元素)，则称这两个集合相等．二、．集合间的基本关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A 与集合B 中的所有元素都相同A ＝B 子集A 中任意一个元素均为B 中的元素A ⊆B真子集A 中任意一个元素均为B 中的元素，且B 中至少有一个元素不是A 中的元素AB集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN +(N*)ZQR空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集⊆⇔A∪B=B⇔A∩B=A，A是B的子集A B对于含有n个元素的有限集合子集数目：其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n-1,2n-1,2n-2；若A集合有m个元素，B集合有n个元素，且A M B,则这样的集合M有2n-m个.（∅是任何集合的子集，条件为A B⊆时不要忘了A=∅的情况）.三、集合的表示：列举法、描述法、图示法．理解集合的意义，如:数集{x|y=f(x)}表示y=f(x)的定义域，数集{y|y=f(x)}表示y=f(x)的值域，点集{(x,y)|y=f(x)}表示y=f(x)的图像；四、集合的基本运算注意：已知集合A、B，当时，你是否注意到“极端”情况：；求集合的子集时不能忘记∅五、全称量词与存在量词命题⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“”表示；全称量词命题p：，它的否定：，⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“”表示；存在量词命题p：，它的否定：⌝真假与P相反.（3命题p六、充分必要条件(1)如果p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；(2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，则p 是q 的充要条件．(3)若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分不必要条件，同时q 是p 的必要不充分条件；若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件，同时q 是p 的充要条件；若p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件，同时q 也是p 的既不充分也不必要条件．七．充分必要条件的两种判断方法(1)定义法：同上；(2)集合法：根据p 、q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；建立与p 、q 相应的集合，即(){:p A x p x =成立}，(){:q B x q x =成立}．若A B ⊆，则p 是q 的充分条件，若A B ，则p 是q 成立的充分不必要条件；若B A ⊆，则p 是q 的必要条件，若B A ，则p 是q 成立的必要不充分条件；若A B =，则p 是q 成立的充要条件；若A ⊆/B 且B ⊆/A ，则p 是q 成立的既不充分也不必要条件．第二章不等式一、不等式的基本性质：(1)基本性质①a ＞b ⇔b ＜a(对称性)②a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c(传递性)③a ＞b ⇒a+c ＞b+c(加法单调性)④a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc,a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc(乘法单调性)(2)运算性质①a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b+d(同向不等式相加)②a ＞b ，c ＜d ⇒a －c ＞b －d(异向不等式相减)③a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd(同向不等式相乘)④a ＞b ＞0，0＜c ＜d ⇒c a ＞db(异向不等式相除)⑤a ＞b ＞0⇒na ＞nb (n ∈Z ，且n ＞1)(开方法则)⑥a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈Z ，且n ＞1)(乘方法则)注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法、绝对值法。
四川高考数学必考知识点
四川高考数学必考知识点数学作为一门基础性的学科，对于学生来说是必考的科目之一。
在四川高考中，数学的卷子分为两卷，涵盖了多个知识点。
在备考过程中，了解并熟悉这些必考知识点对于取得优异成绩非常重要。
本文将介绍。
一、函数与方程在高考数学卷子中，函数与方程是必考的重点知识点。
包括函数的性质、函数的图像与性质、一次函数与二次函数、指数与对数函数以及三角函数等。
学生需要了解函数与方程的概念，掌握函数的性质与图像的特点，能够解决各种类型的一次方程、二次方程、指数对数方程以及三角方程等。
在备考过程中，可通过做大量的练习题来巩固这些知识点。
二、数列与数学归纳法数列与数学归纳法也是四川高考数学卷子中必考的知识点之一。
通过学习数列的概念、性质以及不同类型的数列，学生能够了解数列的规律，从而解决与数列相关的问题。
同时，数学归纳法也是解决数列问题的一种有效方法，学生需要了解数学归纳法的基本原理，并能够灵活运用。
三、平面向量与坐标平面几何在几何中，平面向量与坐标平面几何也是四川高考数学卷子中必考的内容。
学生需要了解平面向量的概念、性质以及运算法则，能够解决与平面向量相关的各类问题。
同时，坐标平面几何也是必考的知识点，学生需要掌握直线的斜率、两点间的距离、直线与圆的方程等，以及解决与其相关的几何问题。
四、立体几何立体几何也是四川高考数学卷子中必考的知识点之一。
学生需要了解三维空间的相关概念，如平面及其方程、空间直线及其方程、空间两条直线的位置关系等。
此外，对于平行四边形、棱柱、棱锥、圆锥、球等几何体的性质也需要有一定了解，并能够解决与其相关的几何问题。
五、概率与统计概率与统计也是四川高考数学卷子中必考的知识点。
学生需要了解概率的概念、性质以及运算法则，并能够运用概率的计算方法解决相关问题。
同时，对于统计学的基本概念、统计资料的整理与展示以及统计分析等也需要有所了解。
学生应了解调查、统计等基本方法，并能够运用统计学知识解决实际问题。
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测4-1三角恒等变换带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第四章 三角函数4.1 三角恒等变换单独考查三角变换的题目较少，往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，应用三角恒等变换进行化简，综合性比较强，但难度不大．也可能与三角函数等其他知识相结合．题型一.同角三角函数的基本关系、诱导公式1．（2020•新课标Ⅱ）若α为第四象限角，则（ ） A ．cos2α＞0 B ．cos2α＜0 C ．sin2α＞0 D ．sin2α＜0【答案】D ．【解答】解：α为第四象限角，则−π2+2k π＜α＜2k π，k ∈Z ，则﹣π+4k π＜2α＜4k π，∴2α是第三或第四象限角或为y 轴负半轴上的角，∴sin2α＜0， 故选：D ．2．（2018•新课标Ⅱ）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23，则|a ﹣b |＝（ ） A ．15B ．√55C ．2√55D ．1【答案】B ．【解答】解：∵角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 终边上有两点A （1，a ），B （2，b ），且cos2α=23， ∴cos2α＝2cos 2α﹣1=23，解得cos 2α=56，∴|cosα|=√306，∴|sinα|=√1−3036=√66，|tanα|＝|b−a 2−1|＝|a ﹣b |=|sinα||cosα|=√66√306=√55．故选：B ．3．（2017•新课标Ⅱ）已知sinα﹣cosα=43，则sin2α＝（ ） A ．−79B ．−29C ．29D ．79【答案】A ．【解答】解：∵sinα﹣cosα=43，∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣2sinαcosα＝1﹣sin2α=169， ∴sin2α=−79， 故选：A ．4．（2018•新课标Ⅱ）已知sinα+cosβ＝1，cosα+sinβ＝0，则sin （α+β）＝ −12． 【答案】−12．【解答】解：sinα+cosβ＝1，两边平方可得：sin 2α+2sinαcosβ+cos 2β＝1，①， cosα+sinβ＝0，两边平方可得：cos 2α+2cosαsinβ+sin 2β＝0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）＝1，即2+2sin （α+β）＝1， ∴2sin （α+β）＝﹣1． ∴sin （α+β）=−12． 故答案为：−12．5．（2015•四川）已知sinα+2cosα＝0，则2sinαcosα﹣cos 2α的值是 ﹣1 ． 【答案】﹣1【解答】解：∵sinα+2cosα＝0，即sinα＝﹣2cosα， ∴tanα＝﹣2，则原式=2sinαcosα−cos 2α1=2sinαcosα−cos 2αsin 2α+cos 2α=2tanα−1tan 2α+1=−54+1=−1， 故答案为：﹣16．（2021•新高考Ⅱ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）A ．−65 B ．−25C ．25D ．65【答案】C ．【解答】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin 2θ+cos 2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ)2sinθ+cosθ=sinθ(sinθ+cosθ) =sin 2θ+sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ1+tan 2θ =4−21+4=25． 故选：C ．7．（2017•北京）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若sinα=13，则cos （α﹣β）＝ −79． 【答案】−79【解答】解：方法一：∵角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， ∴sinα＝sinβ=13，cosα＝﹣cosβ，∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣cos 2α+sin 2α＝2sin 2α﹣1=29−1=−79 方法二：∵sinα=13，当α在第一象限时，cosα=2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第二象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=−2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79： ∵sinα=13，当α在第二象限时，cosα=−2√23， ∵α，β角的终边关于y 轴对称，∴β在第一象限时，sinβ＝sinα=13，cosβ＝﹣cosα=2√23， ∴cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ=−2√23×2√23+13×13=−79综上所述cos （α﹣β）=−79， 故答案为：−79题型二.两角和与差公式1．（2017•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），tanα＝2，则cos （α−π4）＝3√1010．【答案】3√1010【解答】解：∵α∈（0，π2），tanα＝2，∴sinα＝2cosα，∵sin 2α+cos 2α＝1，解得sinα=2√55，cosα=√55， ∴cos （α−π4）＝cosαcos π4+sinαsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010， 故答案为：3√10102．（2020•新课标Ⅱ）已知2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，则tanθ＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1 C ．1 D ．2【答案】D ．【解答】解：由2tanθ﹣tan （θ+π4）＝7，得2tanθ−tanθ+11−tanθ=7，即2tanθ﹣2tan 2θ﹣tanθ﹣1＝7﹣7tanθ，得2tan 2θ﹣8tanθ+8＝0， 即tan 2θ﹣4tanθ+4＝0， 即（tanθ﹣2）2＝0， 则tanθ＝2， 故选：D ．3．（2014•新课标Ⅱ）设α∈（0，π2），β∈（0，π2），且tanα=1+sinβcosβ，则（ ）A ．3α﹣β=π2 B ．3α+β=π2C ．2α﹣β=π2D ．2α+β=π2【答案】C ． 【解答】解：由tanα=1+sinβcosβ，得： sinαcosα=1+sinβcosβ，即sinαcosβ＝cosαsinβ+cosα，sin （α﹣β）＝cosα＝sin （π2−α）， ∵α∈（0，π2），β∈（0，π2），∴当2α−β=π2时，sin （α﹣β）＝sin （π2−α）＝cosα成立．故选：C ．4．（2015•江苏）已知tanα＝﹣2，tan （α+β）=17，则tanβ的值为 3 ．【答案】3．【解答】解：tanα＝﹣2，tan （α+β）=17， 可知tan （α+β）=tanα+tanβ1−tanαtanβ=17， 即−2+tanβ1+2tanβ=17，解得tanβ＝3．故答案为：3．5．（2013•新课标Ⅱ）设θ为第二象限角，若tan （θ+π4）=12，则sinθ+cosθ＝ −√105 ． 【答案】−√105【解答】解：∵tan （θ+π4）=tanθ+11−tanθ=12，∴tanθ=−13， 而cos 2θ=cos 2θsin 2θ+cos 2θ=11+tan 2θ， ∵θ为第二象限角， ∴cosθ=−√11+tan 2θ=−3√1010，sinθ=√1−cos2θ=√1010， 则sinθ+cosθ=√1010−3√1010=−√105． 故答案为：−√1056．（2016•新课标Ⅱ）已知θ是第四象限角，且sin （θ+π4）=35，则tan （θ−π4）＝ −43 ． 【答案】−43．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴−π2+2kπ＜θ＜2kπ，则−π4+2kπ＜θ+π4＜π4+2kπ，k ∈Z ， 又sin （θ+π4）=35，∴cos （θ+π4）=√1−sin 2(θ+π4)=√1−(35)2=45． ∴cos （π4−θ）＝sin （θ+π4）=35，sin （π4−θ）＝cos （θ+π4）=45．则tan （θ−π4）＝﹣tan （π4−θ）=−sin(π4−θ)cos(π4−θ)=−4535=−43． 故答案为：−43．7．（2015•重庆）若tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C ．【解答】解：tanα＝2tan π5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=cosαcos3π10+sinαsin 3π10sinαcos π5−cosαsinπ5=cos3π10+tanαsin 3π10tanαcos π5−sinπ5=cos 3π10+2tan π5sin 3π102tan π5cos π5−sin π5=cos 3π10+2sin π5cosπ5sin 3π102sin π5cosπ5cos π5−sin π5=cos π5cos 3π10+2sin π5sin 3π102sin π5cos π5−cos π5sin π5=cos(π5−3π10)+sin π5sin 3π10sin π5cos π5+sin(π5−π5)=cos π10+sin π5sin 3π10sin π5cos π5=cos π10−12[cos(π5+3π10)−cos(π5−3π10)]12sin 2π5=cos π10+12cos π1012sin 2π5=3cos π10sin 2π5=3cos π10sin(π2−π10)=3cos π10cos π10=3． 故选：C ．题型三.倍角公式1．（2021•乙卷）cos 2π12−cos 25π12=（ ）A ．12B ．√33C ．√22D ．√32【答案】D ．【解答】解：法一、cos2π12−cos25π12=1+cos π62−1+cos5π62=12+12cos π6−12−12cos 5π6=12×√32−12×(−√32)=√32． 法二、cos 2π12−cos 25π12＝cos 2π12−sin 2π12＝cosπ6=√32． 故选：D ．2．（2020•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（ ） A ．√53B ．23C ．13D ．√59【答案】A ．【解答】解：由3cos2α﹣8cosα＝5，得3（2cos 2α﹣1）﹣8cosα﹣5＝0， 即3cos 2α﹣4cosα﹣4＝0，解得cosα＝2（舍去），或cos α=−23．∵α∈（0，π），∴α∈（π2，π），则sinα=√1−cos 2α=√1−(−23)2=√53．故选：A ．3．（2019•新课标Ⅱ）已知α∈（0，π2），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（ ）A ．15B ．√55C ．√33D ．2√55【答案】B ．【解答】解：∵2sin2α＝cos2α+1， ∴可得：4sinαcosα＝2cos 2α， ∵α∈（0，π2），sinα＞0，cosα＞0，∴cosα＝2sinα，∵sin 2α+cos 2α＝sin 2α+（2sinα）2＝5sin 2α＝1， ∴解得：sinα=√55． 故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）若cos （π4−α）=35，则sin2α＝（ ）A ．725B ．15C ．−15D ．−725【答案】D ．【解答】解：法1°：∵cos （π4−α）=35，∴sin2α＝cos （π2−2α）＝cos2（π4−α）＝2cos 2（π4−α）﹣1＝2×925−1=−725，法2°：∵cos （π4−α）=√22（sinα+cosα）=35，∴12（1+sin2α）=925，∴sin2α＝2×925−1=−725，故选：D ．5．（2013•浙江）已知α∈R ，sinα+2cosα=√102，则tan2α＝（ ） A ．43B ．34C ．−34D ．−43【答案】C ．【解答】解：由sinα+2cosα=√102，则（sinα+2cosα）2=52，即sin 2α+4sinαcosα+4cos 2α=52， 可得tan 2α+4tanα+4tan 2α+1=52，解得tanα＝3或−13．那么tan2α=2tanα1−tan 2α=−34．故选：C ．6．（2013•新课标Ⅱ）已知sin2α=23，则cos 2（α+π4）＝（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】A ．【解答】解：∵sin2α=23，∴cos 2（α+π4）=12[1+cos （2α+π2）]=12（1﹣sin2α）=12×（1−23）=16． 故选：A ．7．（2021•甲卷）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinα，则tanα＝（ ）A ．√1515B ．√55C ．√53D ．√153【答案】A ．【解答】解：由tan2α=cosα2−sinα，得sin2αcos2α=cosα2−sinα，即2sinαcosα1−2sin 2α=cosα2−sinα，∵α∈（0，π2），∴cosα≠0，则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin 2α，解得sinα=14，则cosα=√1−sin 2α=√154，∴tanα=sinαcosα=14√154=√1515． 故选：A ．8．（2010•宁夏）若cosα=−45，α是第三象限的角，则1+tanα21−tanα2=（ ）A ．−12 B ．12C ．2D ．﹣2【答案】A ．【解答】解：由cosα=−45，α是第三象限的角， ∴可得sinα=−35，则1+tanα21−tanα2=cos α2+sinα2cos α2−sinα2=1+sinαcosα=1−35−45=−12，故选：A ．9．（2012•江苏）设α为锐角，若cos （α+π6）=45，则sin （2α+π12）的值为 17√250． 【答案】17√250． 【解答】解：设β＝α+π6，∴sinβ=35，sin2β＝2sinβcosβ=2425，cos2β＝2cos 2β﹣1=725， ∴sin （2α+π12）＝sin （2α+π3−π4）＝sin （2β−π4）＝sin2βcos π4−cos2βsin π4=17√250． 故答案为：17√250．10．（2011•重庆）已知sinα=12+cosα，且α∈（0，π2），则cos2αsin(α−π4)的值为 −√142 ． 【答案】−√142 【解答】解：由sinα=12+cosα，得到sinα﹣cosα=12①， 又sin 2α+cos 2α＝1②，且α∈（0，π2）， 联立①②解得：sinα=√7+14，cosα=√7−14，∴cos2α＝cos 2α﹣sin 2α=−√74，sin （α−π4）=√22（sinα﹣cosα）=√24，则cos2αsin(α−π4)=−√74√24=−√142． 故答案为：−√142题型四.三角函数的最值——辅助角公式1．（2021•乙卷）函数f （x ）＝sin x3+cos x3的最小正周期和最大值分别是（ ）A ．3π和√2B ．3π和2C ．6π和√2D ．6π和2【答案】C ．【解答】解：∵f （x ）＝sin x 3+cos x3=√2sin （x 3+π4）， ∴T =2π13=6π．当sin （x3+π4）＝1时，函数f （x ）取得最大值√2；∴函数f （x ）的周期为 6π，最大值√2． 故选：C ．2．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A ．【解答】解：函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）=15sin （x +π3）+cos （﹣x +π6）=15sin （x +π3）+sin （x +π3）=65sin （x +π3）≤65． 故选：A ．3．（2017•新课标Ⅱ）函数f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34（x ∈[0，π2]）的最大值是 1 ．【答案】1【解答】解：f （x ）＝sin 2x +√3cos x −34=1﹣cos 2x +√3cos x −34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝﹣t 2+√3t +14=−（t −√32）2+1， 当t =√32时，f （t ）max ＝1， 即f （x ）的最大值为1， 故答案为：14．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝2sin x +sin2x ，则f （x ）的最小值是 −3√32． 【答案】−3√32． 【解答】解：由题意可得T ＝2π是f （x ）＝2sin x +sin2x 的一个周期， 故只需考虑f （x ）＝2sin x +sin2x 在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f ′（x ）＝2cos x +2cos2x ＝2cos x +2（2cos 2x ﹣1）＝2（2cos x ﹣1）（cos x +1），令f ′（x ）＝0可解得cos x =12或cos x ＝﹣1， 可得此时x =π3，π或5π3；∴y ＝2sin x +sin2x 的最小值只能在点x =π3，π或5π3和边界点x ＝0中取到，计算可得f （ π3）=3√32，f （π）＝0，f （ 5π3）=−3√32，f （0）＝0，∴函数的最小值为−3√32， 故答案为：−3√32．5（2020•北京）若函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为 π2．【答案】π2．【解答】解：∵sin （x +φ）≤1，cos x ≤1，又函数f （x ）＝sin （x +φ）+cos x 的最大值为2，所以当且仅当sin （x +φ）＝1，cos x ＝1时函数f （x ）取到最大值， 此时x ＝2k π，k ∈Z ，则sin （x +φ）＝sinφ＝1， 于是φ=π2+2k π，k ∈Z 时φ均满足题意， 故可选k ＝0时，φ=π2． 故答案为：π2．1．（2020•广州模拟）sin80°cos50°+cos140°sin10°＝（ ） A ．−√32 B ．√32C ．−12D ．12【答案】D ．【解答】解：sin80°cos50°+cos140°sin10°＝cos10°cos50°﹣sin50°sin10°＝cos （50°+10°）＝cos60°=12． 故选：D ．2．（2018•沈阳一模）已知tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ的值为（ ）A ．195B ．165C ．2310D ．1710【答案】C ．【解答】解：∵tanθ＝2，则sinθ+cosθsinθ+sin 2θ=1+1tanθ+sin 2θsin 2θ+cos 2θ＝1+12+tan 2θtan 2θ+1=32+44+1=2310，故选：C ．3．（2020•福州一模）若tan(π2−α)=3cos(α−π)，则cos2α＝（ ） A ．﹣1 B ．79C ．0或79D ．﹣1或79【答案】D ．【解答】解：由tan(π2−α)=3cos(α−π)，得sin(π2−α)cos(π2−α)=−3cosα，所以cosαsinα=−3cosα，所以cosα＝0或sinα=−13，故cos2α＝2cos 2α﹣1＝﹣1，或cos2α=1−2sin 2α=79． 故选：D ．4．（2017秋•乐山期末）已知cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，且α，β均为锐角，则sin(α+π6)=（ ） A ．8√2−315B ．8√2−415C ．8−3√215D ．8−4√215【答案】A ．【解答】解：∵α，β均为锐角， ∴α+β∈（0，π），β−π6∈（−π6，π3）， 由cos(α+β)=35，sin(β−π6)=13，得sin （α+β）=√1−cos 2(α+β)=45，cos （β−π6）=√1−sin 2(β−π6)=2√23．∴sin(α+π6)=sin[（α+β）﹣（β−π6）]＝sin （α+β）cos （β−π6）﹣cos （α+β）sin （β−π6）] =45×2√23−35×13=8√2−315． 故选：A ．5．（2019秋•湖北月考）若sin （π6−θ）=35，则sin （π6+2θ）＝（ ）A ．−2425B ．2425C ．−725D ．725【答案】D ．【解答】解：sin （π6+2θ）＝sin[π2−2（π6−θ）]＝cos2（π6−θ）＝1﹣2sin 2（π6−θ）＝1−1825=725，故选：D ．6．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3），则f （x ）的最小值为 12．【答案】12．【解答】解：函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x +π3）＝sin 2x +（ 12sin x +√32cos x ）2=54sin 2x +34cos 2x +√34sin2x =12sin（2x −π6）+1，当sin （2x −π6）＝﹣1时，函数f （x ）min ＝1−12=12． 故答案为：12．7．已知α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ，则（ ） A ．2α＝β+πB ．2α＝π﹣βC ．3α＝π+βD ．3α＝π﹣β【解答】解：∵α，β都是锐角，且tanαtanβ=1+1cosβ， ∴sinα⋅sinβcosα⋅cosβ=1+1cosβ， ∴cosαcosβ+cosα＝sinαsinβ， ∴cos （α+β）＝﹣cosα＝cos （π±α），∴α+β＝2k π+π+α（k ∈Z ），或α+β＝2k π+π﹣α（k ∈Z ）， ∴β＝2k π+π+α（k ∈Z ）（舍去），或2α＝2k π+π﹣β（k ∈Z ）， ∵α，β都是锐角， 当k ＝0时，2α＝π﹣β， 故选：B ．8．已知α，β∈（0，π），cosα=−3√1010，若sin （2α+β）=12sinβ，则α+β＝（ ）A ．54πB ．23πC ．76πD ．74π【解答】解：∵α（0，π），cosα=−3√1010， ∴sinα=√1−cos 2α=√1010， ∴sin2α＝2sinαcosα＝2×√1010×（−3√1010）=−35，cos2α＝1﹣2sin 2α＝1﹣2×(√1010)2=45， ∵sin （2α+β）=12sinβ， ∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=12sinβ，∴−35cosβ+45sinβ=12sinβ，即sinβ＝2cosβ， 又sin 2β+cos 2β＝1，且β∈（0，π）， ∴sinβ=2√55，cosβ=√55，∴sin （α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ=√1010×√55+（−3√1010）×2√55=−√22＜0， ∵α，β∈（0，π），且cosα＜0，cosβ＞0，∴α∈（π2，π），β∈（0，π2），∴α+β∈（π2，3π2），∴α+β=5π4． 故选：A ．。
2023年高考数学总复习历年真题题型归纳与模拟预测2-3函数与方程、不等式带讲解
☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，.第二章 函数2.3 函数与方程、不等式高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视.题型一.函数零点的个数1．（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y ＝cos xB ．y ＝sin xC ．y ＝lnxD ．y ＝x 2+1【解答】解：对于A ，定义域为R ，并且cos （﹣x ）＝cos x ，是偶函数并且有无数个零点；对于B ，sin （﹣x ）＝﹣sin x ，是奇函数，由无数个零点；对于C ，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D ，定义域为R ，为偶函数，都是没有零点；故选：A ．2．（2013•天津）函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：函数f （x ）＝2x |log 0.5x |﹣1，令f （x ）＝0，在同一坐标系中作出y ＝（12）x ．与y ＝|log 0.5x |，如图，由图可得零点的个数为2．故选：B ．3．（2019•新课标Ⅲ）函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：函数 f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数，即方程2sin x ﹣sin2x ＝0 在区间[0，2π]的根个数，即2sin x ＝sin2x ＝2sin x cos x 在区间[0，2π]的根个数，即sin x ＝0 或 cos x ＝1 在区间[0，2π]的根个数，解得x ＝0或 x =π 或 x ＝2π．所以函数f （x ）＝2sin x ﹣sin2x 在[0，2π]的零点个数为3个．故选：B ．4．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），若函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与y ＝f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑ m i=1x i ＝（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【解答】解：∵函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），故函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象也关于直线x ＝1对称，故函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|与 y ＝f （x ） 图象的交点也关于直线x ＝1对称，不妨设x 1＜x 2＜…＜x m ，则点（x 1，y 1）与点（x m ，y m ），点（x 2，y 2）与点（x m ﹣1，y m ﹣1），…都关于直线x ＝1对称，所以x 1+x m ＝x 2+x m ﹣1＝…＝x m +x 1＝2，由倒序相加法可得∑ m i=1x i =12×2m ＝m ， 故选：B ．5．（2012•辽宁）设函数f （x ）（x ∈R ）满足f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．又函数g （x ）＝|x cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在[−12，32]上的零点个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【解答】解：因为当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 3．所以当x ∈[1，2]时2﹣x ∈[0，1]，f （x ）＝f （2﹣x ）＝（2﹣x ）3，当x ∈[0，12]时，g （x ）＝x cos （πx ），g ′（x ）＝cos （πx ）﹣πx sin （πx ）； 当x ∈[12，32]时，g （x ）＝﹣x cos πx ，g ′（x ）＝πx sin （πx ）﹣cos （πx ）． 注意到函数f （x ）、g （x ）都是偶函数，且f（0）＝g（0），f（1）＝g（1）＝1，f（−12）＝f（12）=18，f（32）＝（2−32）3=18，g（−12）＝g（12）＝g（32）＝0，g（1）＝1，g′（1）＝1＞0，根据上述特征作出函数f（x）、g（x）的草图，函数h（x）除了0、1这两个零点之外，分别在区间[−12，0]，[0，12]，[12，1]，[1，32]上各有一个零点．共有6个零点，故选：B．题型二.已知函数零点求参1．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）={e x，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0）B．[0，+∞）C．[﹣1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．2．（2019•天津）已知函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．若关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A ．[54，94]B ．（54，94]C ．（54，94]∪{1}D ．[54，94]∪{1} 【解答】解：作出函数f （x ）={2√x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1．的图象，以及直线y =−14x 的图象，关于x 的方程f （x ）=−14x +a （a ∈R ）恰有两个互异的实数解，即为y ＝f （x ）和y =−14x +a 的图象有两个交点，平移直线y =−14x ，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a =94或a =54，考虑直线与y =1x 在x ＞1相切，可得ax −14x 2＝1，由△＝a 2﹣1＝0，解得a ＝1（﹣1舍去），综上可得a 的范围是[54，94]∪{1}． 故选：D ．3．（2016•天津）已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2﹣x 恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，23]B ．[23，34]C ．[13，23]∪{34}D ．[13，23）∪{34} 【解答】解：y ＝log a （x +1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a ＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：{3−4a 2≥00＜a ＜102+(4a −3)⋅0+3a ≥log a (0+1)+1；解得，13≤a ≤34； 由图象可知，在[0，+∞）上，|f （x ）|＝2﹣x 有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f （x ）|＝2﹣x 同样有且仅有一个解，当3a ＞2即a ＞23时，联立|x 2+（4a ﹣3）x +3a |＝2﹣x ，则△＝（4a ﹣2）2﹣4（3a ﹣2）＝0，解得a =34或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为[13，23]∪{34}， 故选：C ．4．（2016•山东）已知函数f （x ）={|x|，x ≤m x 2−2mx +4m ，x ＞m，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是 （3，+∞） ．【解答】当m ＞0时，函数f （x ）={|x|，x ≤mx 2−2mx +4m ，x ＞m的图象如下：∵x ＞m 时，f （x ）＝x 2﹣2mx +4m ＝（x ﹣m ）2+4m ﹣m 2＞4m ﹣m 2，∴y 要使得关于x 的方程f （x ）＝b 有三个不同的根，必须4m ﹣m 2＜m （m ＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．5．（2021•濂溪区校级开学）已知f （x ）={−sin π2x ，−2≤x ≤0，|lnx|，x ＞0，若关于x 的方程f （x ）＝k 有四个实根x 1，x 2，x 3，x 4.（其中x 1＜x 2＜x 3＜x 4）则x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围是（ ）A ．（0，2e +1e −2）B ．（0，e +1e −2）C ．（1，e +1e −2）D ．（1，2e +1e −2） 【解答】解：关于x 的方程f （x ）k 有四个实根，则y ＝f （x ）与y ＝k 有四个交点，横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4．则x 1+x 2＝﹣2，1e ＜x 3＜1＜x 4＜e ，且ln |x 3|＝ln |x 4|，即x 3x 4＝1， ∴x 1+x 2+x 3+2x 4=−2+x 3+2x 4=x 3+2x 3−2， 令g(x)=x +2x −2，x ∈(1e ，1)，则g′(x)=1−2x 2＜0，所以g （x ）在(1e ，1)上单调递减， ∴1＜g(x)＜2e +1e −2，即x 1+x 2+x 3+2x 4的取值范围为(1，2e +1e −2)．故选：D ．6．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e ﹣x +1）有唯一零点，则a ＝（ ）A ．−12B ．13C ．12D ．1【解答】解：f （x ）＝x 2﹣2x +a （e x ﹣1+e﹣x +1）＝（x ﹣1）2+a （e x ﹣1+e ﹣x +1）﹣1， 令t ＝x ﹣1，则y ＝t 2+a （e t +e ﹣t ）﹣1为偶函数，图象关于t ＝0对称，若y ＝0有唯一零点，则根据偶函数的性质可知当t ＝0时，y ＝﹣1+2a ＝0，所以a =12．故选：C ．题型三.函数与不等式1．（2014•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={e x−1，x ＜1x 13，x ≥1，则使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是 x ≤8 ． 【解答】解：x ＜1时，e x ﹣1≤2，∴x≤ln2+1，∴x＜1；x ≥1时，x 13≤2，∴x ≤8，∴1≤x ≤8，综上，使得f （x ）≤2成立的x 的取值范围是x ≤8．故答案为：x ≤8．2．（2018•新课标Ⅲ）设函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，则满足f （x +1）＜f （2x ）的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1] B ．（0，+∞）C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，0） 【解答】解：函数f （x ）={2−x ，x ≤01，x ＞0，的图象如图： 满足f （x +1）＜f （2x ），可得：2x ＜0＜x +1或2x ＜x +1≤0，解得x ∈（﹣∞，0）．故选：D ．3．（2013•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）={−x 2+2x ，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，若|f （x ）|≥ax ，则a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（﹣∞，1] C ．[﹣2，1] D ．[﹣2，0]【解答】解：由题意可作出函数y ＝|f （x ）|的图象，和函数y ＝ax 的图象，由图象可知：函数y ＝ax 的图象为过原点的直线，当直线介于l 和x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数y ＝|f （x ）|在第二象限的部分解析式为y ＝x 2﹣2x ，求其导数可得y′＝2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y＝ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D ．4．（2014•辽宁）已知f （x ）为偶函数，当x ≥0时，f （x ）={cosπx ，x ∈[0，12]2x −1，x ∈(12，+∞)，则不等式f （x ﹣1）≤12的解集为（ ） A ．[14，23]∪[43，74]B ．[−34，−13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[−34，−13]∪[13，34]【解答】解：当x ∈[0，12]，由f （x ）=12，即cosπx =12， 则πx =π3，即x =13，当x ＞12时，由f （x ）=12，得2x ﹣1=12，解得x =34， 则当x ≥0时，不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34，（如图）则由f （x ）为偶函数，∴当x ＜0时，不等式f （x ）≤12的解为−34≤x ≤−13， 即不等式f （x ）≤12的解为13≤x ≤34或−34≤x ≤−13，则由13≤x ﹣1≤34或−34≤x ﹣1≤−13，解得43≤x ≤74或14≤x ≤23，即不等式f （x ﹣1）≤12的解集为{x |14≤x ≤23或43≤x ≤74}，故选：A ．1．已知函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，则函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为函数f(x)={|lnx|，x ＞0−2x(x +2)，x ≤0，且x ≤0时f （x ＝﹣2x （x +2）＝﹣2（x +1）2+2； 所以f （x ）的图象如图，由图可得：y ＝f （x ）与y ＝3只有两个交点； 即函数y ＝f （x ）﹣3的零点个数是2； 故选：B ．2．已知函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上，则m 的取值范围为（ ） A ．（﹣4，0）B ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞）D ．[﹣4，0）【解答】解：因为f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 在区间（0，1]上是单调递增， 函数f （x ）＝log 2（x +1）+3x +m 的零点在区间（0，1]上， 所以{f(0)＜0f(1)≥0，即{m ＜0log 22+3+m ≥0，解得﹣4≤m ＜0．故选：D ．3．设偶函数f （x ）（x ∈R ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2．又函数g （x ）＝|cos （πx ）|，则函数h （x ）＝g （x ）﹣f （x ）在区间[−12，32]上的零点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：∵f （x ）＝f （2﹣x ），故f （x ）的图象关于x ＝1对称， 又函数f （x ）是R 上的偶函数，∴f （x +2）＝f （﹣x ）＝f （x ），∴f（x）是周期函数，T＝2，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝f（﹣x）＝x2．令h（x）＝0，则f（x）＝g（x），在同一坐标系中作y＝f（x）和y＝g（x）在区间[−12，32]上的图象，由图象可得y＝f（x）和y＝g（x）有5个交点，故函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为5．故选：A．4．已知函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[−12，0]D．(12，1]【解答】解：函数f（x）={ax+1，x＜0lnx，x＞0若函数f（x）的图象上存在关于坐标原点对称的点，可得x＞0时，ax﹣1＝lnx，有解；可得a=lnx+1x，令g（x）=lnx+1x，g′（x）=−lnxx2，所以x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数是增函数，x＞1时，g′（x）＜0，函数g（x）是减函数，所以g（x）的最大值为：g（1）＝1，所以a≤1．故选：B．5．已知函数f(x)=lnxx，g（x）＝xe﹣x，若存在x1∈（0，+∞），x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）＝k（k＜0）成立，则x1x2的最小值为（）A．﹣1B．−2e C．−2e2D．−1e【解答】解：g（x）＝xe﹣x=xe x=lnexe x=f（e x），函数f（x）定义域{x|x＞0}，f′（x）=1−lnx x2，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＝1时，f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0；x∈（1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，此时f（x）＞0，所以若存在x 1∈（0，+∞），x 2∈R ，使得f （x 1）＝g （x 2）＝k （k ＜0）成立， 则0＜x 1＜1且f （x 1）＝g （x 2）＝f （e x 2），所以x 1＝ex 2，即x 2＝lnx 1，所以x 1x 2＝x 1 lnx 1，x 1∈（0，1）， 令h （x ）＝xlnx ，x ∈（0，1）， h ′（x ）＝lnx +1，当x ∈（1e ，1）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增，当x ∈（0，1e）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减，所以当x =1e时，h （x ）min ＝h （1e）=1e ln 1e =−1e．故选：D ．6．（多选）已知函数f （x ）＝e x +x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）＝lnx +x ﹣2的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ） A ．e a +lnb ＞2B ．e a +lnb ＜2C ．a 2+b 2＜3D ．ab ＜1【解答】解：由f （x ）＝0，g （x ）＝0得e x ＝2﹣x ，lnx ＝2﹣x ，函数y ＝e x 与y ＝lnx 互为反函数， 在同一坐标系中分别作出函数y ＝e x ，y ＝lnx ，y ＝2﹣x 的图象， 如图所示，则A （a ，e a ），B （b ，lnb ），由反函数性质知A ，B 关于（1，1）对称，则a +b ＝2，e a+lnb ＝2，ab ＜(a+b)24=1，∴A 、B 错误，D 正确．∵f '（x ）＝e x +1＞0．∴f （x ）在R 上单调递增，且f （0）＝﹣1＜0，f(12)=√e −32＞0， ∴0＜a ＜12．∵点A （a ，e a ）在直线y ＝2﹣x 上，即e a ＝2﹣a ＝b ， ∴a 2+b 2=a 2+e 2a ＜14+e ＜3．C 正确．故选：CD ．。
高考数学复习资料
数学M单元推理与证明M1 合情推理与演绎推理8．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人8．B20．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)，其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数．(1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值；(2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小；(3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论)20．解：(1)T1(P)＝2＋5＝7，T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8.(2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}．当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b.因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)．当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b.因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)．所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立．(3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小，T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52.15．、[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．15．6[解析] 若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确；若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4.若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.19．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式． 14．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________． 14．A 14．14．F ＋VM2 4．[2014·A. 方程x p ＞1，n ∈N *. ＞1＋px ；＋c p a 1－p n ，证明：a n ＞a n ＋1＞c 1p.x ，原不等式成立． ②假设p ＝k (k ≥2，k ∈N )时，不等式(1＋x )k >1＋kx 成立．当p ＝k ＋1时，(1＋x )k ＋1＝(1＋x )(1＋x )k >(1＋x )(1＋kx )＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2>1＋(k ＋1)x . 所以当p ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x >－1，x ≠0时，对一切整数p >1，不等式(1＋x )p >1＋px 均成立． (2)方法一：先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n ＝1时，由题设知a 1>c 1p成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k >c 1p成立．由a n ＋1＝p －1p a n ＋c p a 1－p n 易知a n >0，n ∈N *. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1a k ＝p －1p ＋c p a －p k ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1. 由a k >c 1p >0得－1<－1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k－1<0. 由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k ＋1a k p＝⎣⎡⎦⎤1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1p>1＋p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k －1＝c a p k .因此a p k ＋1>c ，即a k ＋1>c 1p， 所以当n ＝k ＋1时，不等式a n >c 1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n 再由a n ＋1a n ＝1＋1p ⎝⎛⎭⎫c a p n －1可得a n ＋1a n <1， 即a n ＋1<a n .综上所述，a n >a n ＋1>c 1p，n ∈N *.方法二：设f (x )＝p －1x ＋c x 1－p ，x ≥c 1，则x p ≥c ，⎭⎫－c x p >0. x >c 1p 时，f (x )>f (c 1p )＝c 1p .1，并且a 2＝f (a 1)>c 1p ，从而可得a 1>a 2>c 1p ，k ＋1>c 1p 成立，则当n ＝k ＋1时，f (a k )>f (a k ＋1)>f (c 1p )，即有a k ＋1>a k ＋2>c 1p，所以当n ＝k ＋1时，原不等式也成立．综合①②可得，对一切正整数n ，不等式a n >a n ＋1>c 1p均成立．19．、[2014·广东卷] 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{a n }的通项公式．22．、[2014·全国卷] 函数f (x )＝ln(x ＋1)－axx ＋a(a >1)． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设a 1＝1，a n ＋1＝ln(a n ＋1)，证明：2n ＋2<a n ≤3n ＋2.22．解：(1)易知f (x )的定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝x [x －（a 2－2a ）]（x ＋1）（x ＋a ）2.(i)当1<a <2时，若x ∈(－1，a 2－2a )，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－1，a 2－2a )是增函数； 若x ∈(a 2－2a ，0)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(a 2－2a ，0)是减函数； 若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)是增函数．(ii)当a ＝2时，若f ′(x )≥0，f ′(x )＝0数.(iii)当a >2时，若x ∈(－1，0)，则f ′(x )>0若x ∈(0，a 2－2a )，则f ′(x )<0， 所以f (x )在(0，a 2－2a )是减函数；若x ∈(a 2－2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f ((2)由(1)知，当a ＝2时，f (x )在(－1，＋∞当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝0，即ln(x 又由(1)知，当a ＝3时，f (x )在[0，3)当x ∈(0，3)时，f (x )<f (0)＝0，即ln(x ＋≤3k ＋2.＝2k ＋3，a k ＋1＝ln(a k ＋1)≤ln ⎝⎛⎭3k ＋2＋1<3k ＋2＋3＝3k ＋3，即当n ＝k ＋1时，有2k ＋3 <a k ＋1≤3k ＋3，结论成立．根据(i)(ii)知对任何n ∈结论都成立．21．，，，[2014·陕西卷] 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设n ∈N ＋，比较g (1)＋g (2)＋…＋g (n )与n －f (n )的大小，并加以证明． 21．解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x 1＋x， g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可得g n (x )＝x 1＋. 下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即g k (x )那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g 论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立．≥ax1＋x恒成立． )， ＝0， x ＝0时等号成立)．∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， 故知ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立． 综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]．(3)由题设知g (1)＋g (2)＋…＋g (n )＝12＋23＋…＋nn ＋1，比较结果为g (1)＋g (2)＋…＋g (n )>n －ln(n ＋1)．证明如下：方法一：上述不等式等价于12＋13＋…＋1n ＋1<ln(n ＋1)，在(2)中取a ＝1，可得ln(1＋x )>x1＋x，x >0. 令x ＝1n ，n ∈N ＋，则1n ＋1<ln n ＋1n .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，12<ln 2，结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即1＋1＋…＋1<ln(k ＋1)．那么，当n ＝k ＋1ln(k＋2)，即结论成立．由①②可知，结论对在(2)中取a ＝1，可得令x ＝1n ，n ∈N ＋，则＋…＋1n ＋1，＝xx ＋1，x ＝n 及x 轴所围成的曲边梯形的面积，而12＋23＋…＋nn ＋1是图中所示各矩形的面积和，∴12＋23＋…＋n n ＋1>⎠⎛0n x x ＋1d x ＝⎠⎛0n ⎝⎛⎭⎫1－1x ＋1d x ＝n －ln (n ＋1)， 结论得证．22．，，[2014·重庆卷] 设a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋2＋b (n ∈N *)． (1)若b ＝1，求a 2，a 3及数列{a n }的通项公式．(2)若b ＝－1，问：是否存在实数c 使得a 2n <c <a 2n ＋1对所有n ∈N *成立？证明你的结论． 22．解：(1)方法一：a 2＝2，a 3＝2＋1. 再由题设条件知(a n ＋1－1)2＝(a n －1)2＋1.从而{(a n －1)2}是首项为0，公差为1的等差数列， 故(a n －1)2＝n －1，即a n ＝n －1＋1(n ∈N *)方法二：a 2＝2，a 3＝2＋1.可写为a 1＝1－1＋1，a 2＝2－1＋1，a 3下面用数学归纳法证明上式． 当n ＝1时，结论显然成立．假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝k －1＋1，则a k ＋1＝（a k －1）2＋1＋1＝（k －1）＋1这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立． 所以a n ＝n －1＋1(n ∈N *)．(2)方法一：设f (x )＝（x －1）2＋1－1，则令c ＝f (c )，即c ＝（c －1）2＋1－1，解得下面用数学归纳法证明命题1，所以a 2<14<a 3<1，结论成立．f (c )<f (a 2k ＋2)<f (a 2)＝a 3<1，，这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．n ∈N *成立．a n ＋1＝f (a n )． 假设n ＝k 时结论成立，即0≤a k ≤1. 易知f (x )在(－∞，1]上为减函数，从而 0＝f (1)≤f (a k )≤f (0)＝2－1<1.即0≤a k ＋1≤1.这就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．故①成立． 再证：a 2n <a 2n ＋1(n ∈N *)． ②当n ＝1时，a 2＝f (1)＝0，a 3＝f (a 2)＝f (0)＝2－1，所以a 2<a 3，即n ＝1时②成立． 假设n ＝k 时，结论成立，即a 2k <a 2k ＋1. 由①及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得 a 2k ＋1＝f (a 2k )>f (a 2k ＋1)＝a 2k ＋2， a 2(k ＋1)＝f (a 2k ＋1)<f (a 2k ＋2)＝a 2(k ＋1)＋1.这就是说，当n ＝k ＋1时②成立．所以②对一切n ∈N *成立．由②得a 2n <a 22n －2a 2n ＋2－1，即(a 2n ＋1)2<a 22n －2a 2n ＋2，因此a 2n <14. ③又由①②及f (x )在(－∞，1]上为减函数，得f (a 2n )>f (a 2n ＋1)，即a 2n ＋1>a 2n ＋2.所以a 2n ＋1>a 22n ＋1－2a 2n ＋1＋2－1，解得a 2n ＋1>14. ④ 综上，由②③④知存在c ＝14使a 2n <c <a 2n ＋1对一切n ∈N *成立．新课标第一网系列资料 。
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高考数学总复习资料归纳
现在高三的同学们正处在高三复习的关键时刻，学习的效率和品质直接关乎高考的成败。
下面是小编为大家整理的关于高考数学总复习资料，希望对您有所帮助!
高考数学复习要点整理
第一：高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。
主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。
第二：平面向量和三角函数。
重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。
第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。
难度比较小。
第三：数列。
数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。
第四：空间向量和立体几何。
在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。
第五：概率和统计。
这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。
第六：解析几何。
这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量最高的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。
考生应该掌握它
的通法，第二类我们所讲的动点问题，第三类是弦长问题，第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点，第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。
第七：押轴题。
考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。
这是高考所考的七大板块核心的考点。
高考数学重点复习资料
一、充分条件和必要条件
当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法
1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B 是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可
2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法
在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若A⊆B，则p是q的充分条件。
若A⊇B，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若A⊈B，且B⊉A，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展
1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与
逆否命题，也可以叙述为：
(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;
(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;
(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。
一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
高三数学复习资料
(1) 常规的线性规划问题，即求在线性约束条件下的最值问题;
(2) 与函数、平面向量等知识结合的最值类问题;
(3) 求在非线性约束条件下的最值问题;
(4) 考查线性规划问题在解决实际生活、生产实际中的应用.而其中的第(2)(3)(4)点往往是命题的创新点。
【例1】设函数f(θ)=?3?sin?θ+??cos?θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点?p(x,y)?，且0≤θ≤?π?。
(1) 若点p的坐标为12,32，求f(θ)的值;
(2) 若点p(x,y)为平面区域ω：x+y≥1,x≤1,y≤1。
上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值。
分析第(1)问只需要运用三角函数的定义即可;第(2)问中只要先画出平面区域ω，再根据抽画出的平面区域确定角θ的取值范围，进而转化为求f(θ)=a?sin?θ+b?cos?θ型函数的最值。
解(1) 由点p的坐标和三角函数的定义可得?sin?θ=32，?cos?θ=12。
于是f(θ)=3?sin?θ+??cos?θ=?3×32+12=2。
(2) 作出平面区域ω (即三角形区域abc)如图所示，其中a(1,0)，b(1,1)，?c(0,1)?.于是0≤θ≤?π?2,
又f(θ)=3?sin?θ+?cos?θ=2?sin?θ+?π?6，
且?π?6≤θ+??π?6≤?2?π?3，
故当θ+?π?6=?π?2，即θ=?π?3时，f(θ)取得最大值，且最大值等于2;
当θ+?π?6=?π?6，即θ=0时，f(θ)取得最小值，且最小值等于1。
点评本题中的最大的亮点在于以解答题的形式将线性规划中的基础内容平面区域与三角函数的求值进行了的有机综合，过去历年高考对线性规划考查中并不多见。
二、基本不等式
基本不等式是不等式的重要内容,也是历年高考重点考查的知识之一。
它的应用几乎涉及高中数学的所有的章节,高考命题的重点是大小判断、求最值、求范围等.大多为填空题，试题的难度不大，近几年的高考试题中也出现了不少考查基本不等式的实际应用问题。
【例2】心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量为1，则x 天后的存留量y?1=4x+4;若在t(t>0)天时进行第一次复习，则此时这似乎存留量比未复习情况下增加一倍(复习的时间忽略不计)，其后存留量y?2随时间变化的曲线恰好为直线的一部分，其斜率为a(t+4)?2(?a
(1) 若a=-1,t=5，求“二次复习最佳时机点”;
(2) 若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围。
分析关键是分析图像和理解题目所表示的含义，建立函数关系，再用基本不等式求最值。
解设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，
由题意知，y?2=a(t+4)?2(?x-?t)+8t+4(?t>?4),
所以y=y?2-y?1=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4(t>4)。
当a=-1,t=5时，
y=-1(5+4)?2(x-5)+85+4-4x+4
=-(x+4)81-4x+4+?1≤?-2481+1=59，
当且仅当x=14 时取等号，所以“二次复习最佳时机点”为第14天.
(2) y=a(t+4)?2(x-t)+8t+4-4x+4?=--a(x+4)(t+4)?2-?4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)?2?≤-2-4a(t+4)?2+?8-
at+4，当且仅当-a(x+4)(t+4)?2?=4x+4?即x=2-a(t+4)-4 时取等号，由题意2-a(t+4)-4>t，所以-4
点评基本不等式在每年的高考中几乎是从不缺席的.，关键是要注意运用基本不等式的条件：一正、二定、三相等。
三、不等式的求解
【例3】对于问题：“已知关于x的不等式ax?2+bx+c>0的解集为(-1,2)，解关于x的不等式ax?2-bx+c>0”，给出如下一种解法：参考上述解法，若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1,-13∪12,1，则关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的解集为? ? 。
分析观察发现ax?2+?bx+?c>0将x换成?-x得??a(-x)?2+?b(-x)+c>0，则解集也相应变化，-x∈(-1,2)，则?x∈?(-2,1)，不等式kx+a+x+bx+c<0将x换成1x得不等式kxax+1+bx+1cx+1<0，故1x∈-1,-13∪12,1，分析可得答案。
解由ax?2+bx+c>0的解集为(-1,2)，得a(-x)?2+b(-x)+c>0的解集为(?-2?,1)，即关于x的不等式ax?2-bx+c>0的解集为(-2,1)。
若关于x的不等式kx+a+x+bx+c<0的解集为-1,?-13?∪12,1
则关于x的不等式kxax+1+bx+1cx+1<0的可看成kx+a+x+bx+c<0中的x用1x代入可得，则有1x∈?-1?,-13∪12,1从而解得x∈(-3,?-1?)∪(1,2),故答案为(-3,-1)∪(1,2)。