079空间几何体的结构特征及三视图与直观图(师)

空间几何体的结构特征及三视图与直观图（师）
考纲要求：认识柱、锥、台、球的结构特征；能识别并画出简单空间图形的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图。

知识梳理
1.1柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'
'
'
'
'E
D
C
B
A
ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'
AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'
'
'
'
'E
D
C
B
A
P-
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
几何特征：①球的截面是圆面；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图
1 三视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下
2 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等
3直观图：斜二测画法
4斜二测画法的规则：
（1）.在已知图形中取相互垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于O 。

画直观图时，把它们画成对应的'x 轴与'y 轴，两轴交于点'O ，且使'''45(135)x O y ∠=︒︒或，它们确定的平面表示水平面。

（2）.已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴或'y 轴的线段；
（3）.已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。

典例分析
考点一：空间几何体的结构
【例1】1、下列各组几何体中是多面体的一组是（ ）
A 三棱柱 四棱台 球 圆锥
B 三棱柱 四棱台 正方体 圆台
C 三棱柱 四棱台 正方体 六棱锥
D 圆锥 圆台 球 半球
2、下列说法正确的是（ ）
A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥
B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台
C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱
D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形
3、下面多面体是五面体的是（ ）
A 三棱锥
B 三棱柱
C 四棱柱
D 五棱锥
4、下列说法错误的是（ ）
A 一个三棱锥可以由一个三棱锥和一个四棱锥拼合而成
B 一个圆台可以由两个圆台拼合而成
C 一个圆锥可以由两个圆锥拼合而成
D 一个四棱台可以由两个四棱台拼合而成
5、下面多面体中有12条棱的是（ ）
A 四棱柱
B 四棱锥
C 五棱锥
D 五棱柱
6、在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可有几个（ ）
A 1 个
B 2 个
C 3个
D 4个
7、一个棱柱至少有————————个面，面数最少的棱柱有————————个顶点，有—————————个棱。

8、一个棱柱有10个顶点，所有侧棱长的和为60，则每条侧棱长为————————————
9、有下列命题：
①圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
②在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
③圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的．其中正确的有( B )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10、图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下
底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截
面图形可能是( D )
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(1)(4)
D ．(1)(5)
变式1：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BC ＝2，BB 1＝1，由A 到C 1在长方体表面上的最短距离为多少？
考点二 ：空间几何体的三视图
【例2】1、两条相交直线的平行投影是（ ） A 两条相交直线 B 一条直线 C 一条折线 D 两条相交直线或一条直线
2、如图中甲、乙、丙所示，下面是三个几何体的三视图，相应的标号是（ ）
① 长方体 ② 圆锥 ③ 三棱锥 ④ 圆柱
A ②①③
B ①②③
C ③②④
D ④③②
正视图侧视图俯视图 正视图 侧视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图
甲 乙 丙
3、如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形，则这个几何体可能是（ ）
A 长方体或圆柱
B 正方体或圆柱
C 长方体或圆台
D 正方体或四棱锥
4、如图所示的一个几何体，，在图中是该几何体的俯视图的是（ ）
5、当圆锥的三视图中的正视图是一个圆时，侧视图与俯视图是两个全等的———————三角形。

6、①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体一定是正方体。

②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体一定长方体。

③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体④如果一个几何体的正视图和俯视图都是等腰梯形，则这个几何体一定圆台。

其中说法正确的是—————————
7、如图，E 、F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1
在该正方体的面上的射影可能是_________.
8、根据图中物体的三视图，画出物体的形状
9、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C l D 1的棱长为a ，动点M 、
N 、Q 分别在线段1111,,AD B C C D 上.当三棱锥Q-BMN 的俯
视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于
A A
B 1 B
C C
D 1
D 。

A B
C
D
C 1
D 1B 1
A 1C D M Q N
（ B ） A.
212a B. 214a C. 224a D. 234
a 考点三 :直观图
【例3】1、下列说法正确的是（ ）
A 水平放置的正方形的直观图可能是梯形
B 两条相交直线的直观图可能是平行直线
C 平行四边形的直观图仍然是平行四边形
D 互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直
2、若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21倍 B 4
2倍 C 2倍 D 2倍 3、三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在——————————————投影下画出来的。

4、有下列结论：①角的水平放置的直观图一定是角②相等的角在直观图中仍然相等③相等的线段在直观图中仍然相等④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行
其中正确的是——————————————
5、下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；⑤球．其中投影不可能是线段的是_②④⑤．
[解析] 三角形的投影是线段成三角形；直线的投影是点或直线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形或四边形；球的投影是圆．
6、如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是( )．
A ．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心
B ．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心
C ．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心
D ．原三角形的外心的平行投影还是投影三角形的外心
变式3：如右图，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，
已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是___10_____．
[答案] 10
[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，
BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.。