信号与线性系统题解 阎鸿森 第六章

信号与线性系统题解 阎鸿森 第六章 习题答案

1. 用定义计算下列信号的拉氏变换及其收敛域，并画出零极点图和收敛域。 (a)(),0at e u t a > (b) (),0at te u t a > (c) (),0at

e u t a --> (d) [cos()]()c t u t Ω-

(e) [cos()]()c t u t Ω+θ- (f) [sin()](),0at

c e

t u t a -Ω> (g) (),b at b a δ-和为实数

(h) 23,0(),0

t t e t x t e t -⎧>⎪

=⎨<⎪⎩

解：(a)

σ

1

,Re{}s a s a

>-，见图(a) (b)

2

1

,Re{}()

s a s a >-, 见图(a) (c) 1

,Re{}s a s a

-<-+,见图(b)

(d) 22

,Re{}c

s

s a s -

<-+Ω, 见图(c) (e)

22

cos sin ,Re{}0c c

s s s θθ

-Ω>+Ω,见图(d) (f)

22

,Re{}()c

c

s a a s Ω>-++Ω,见图(e)

(g) 2

1||

sb

a e a - ,整个s 平面

(h)

11,2Re{}332s s s

+-<<-+,见图(f) j Ω

a

0σ

(a)

jΩ

σ

a-

(b)

jΩ

σ

(c)

jΩ

σ0

(d)

a-

jΩ

σ

(e)

2-3

jΩ

σ

(f)

2.用定义计算图P6.2所示各信号的拉氏变换式。

X(t)

1

T

t

(a)

1

2

X(t)

123t

(b)

T

t

1

X(t)

(c)

1

T

t

X(t)

(d)

1

T/2

t

X(t)T

(e)

π

0X(t)

t

sin t

π

(f)

解： (a)

222

sin 111sin [()()]111

st sT st

s te dt

e t u t u t e dt e s s s π

--+∞

--π

-∞-=--π=-⋅=+++⎰

⎰0

1

(1)T

st sT e dt e s

--=-⎰

(b)

1

2

3

1

2

223232121

(1)()()1

(1)st

st

st s s s s s s s s e dt e dt e dt

e e e e e s s s e e e s -----------++=-+-+-=+--⎰

⎰⎰ (c) 20111(1)T st sT sT te dt e e T s Ts

---=-+-⎰

(d)

0221(1)11111

(1)(1)(1)T

st sT sT sT sT t e dt T e e e e s Ts s s Ts

------

+=--+-=--⎰

(e) 2222221212()(1)[(1)]sT

sT sT s

X s e e e e s Ts s Ts

----=-+-+--

(f)

s

222

sin 111sin [()()]111

st sT st s te dt

e t u t u t e dt e s s s π

--+∞

--π

-∞-=--π=-⋅=+++⎰

⎰

3. 对图P6.3所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。 (a) x(t)的傅立叶变换存在。 (b) 2()t

x t e 的傅立叶变换存在 (c) ()0,0x t t => (d) ()0,5x t t =<

解：(a) x(t)的傅立叶变换存在，则j s =Ω应在()X s 的收敛域内 图(a) 1Re{}1s -<< 图(b) 3Re{}3s -<< 图(c) Re{}1s >-

(b) 2()t

x t e 的傅立叶变换存在，则s ＝-2轴一定在()x s 的收敛域内 图(a), Re{}1s <- 图(b), 3Re{}3s -<< 图(c), 3Re{}1s -<<- (c) x(t)=0,t>0,则x(t)为左边信号 图(a),Re{}1s <- 图(b),Re{}3s <- 图(c), Re{}3s <-

(d) x(t)=0, t<5,则x(t)为右边信号 图(a), Re{s}>1 图(b), Re{s}>3 图(c), Re{s}>-1

4. 针对图P6.4所示的每一个信号的有理拉氏变换的零极点图，确定：

(a) 拉氏变换式。

(b) 零极点图可能的收敛域，并指出相应信号的特征。 解： 图(a) 拉氏变换为 (1)

()(3)(1)

s X s k s s -=⋅

++，k 为常数。

收敛域Re{}3s <-时，信号为左边信号 为Re{}1s <-时，信号为右边信号。 为3Re{}1s -<<-时，信号为双边信号

图(b) 拉氏变换为21

()(2)(1)(1)

s X s k s s s +=⋅++-

收敛域Re{}2s <-时，信号为左边信号