九年级数学培优试题(一)

2013届九年级数学培优试题（一） 新人教版

1．已知，如图，矩形OABC 的长OA=3，宽OC=l ，将△AOC 沿AC 翻折得△APC ． (1)∠PCB= 度，P 点的坐标为( )； (2)若P 、A 两点在抛物线y=2

43

x bx c -++上，求b 、c 的值，并说明点C 在此抛物线上；

(3)在(2)中的抛物线CP 段(不包括C 、P 点)上是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大?若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由．

3．如图，已知二次函数c x ax y +-=42

的图像经过点A （―1，0）和点D （5，0）． （1）求该二次函数的解析式；

（2）直接写出该抛物线的对称轴及顶点C 的坐标；

（3）点B 是该抛物线与y 轴的交点，求四边形ABCD 的面积．

4.已知抛物线y=x 2

+(2n-1)x+n 2

-1 (n 为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式； (2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；

②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.

x

O y 5

－

1 A

C

B

D

5.如图，Rt△AOB是一张放在平面直角坐标系中的三角形纸片，点O 与原点重合，点A在x 轴上，点B在y轴上，3

OB BAO＝30°，将Rt△AOB折叠，使OB边落在AB边上，点O与点D重合，折痕为BE。⑴求点E和点D的坐标；

⑵求经过O、D、A三点的二次函数解析式；

⑶设直线BE与⑵中二次函数图象的对称轴交于点F，M为OF中

点，N为AF中点，在x轴上是否存在点P，使△PMN的周长最

小，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

6. 矩形的顶点在坐标原点O，OA在y轴上，A点坐标为（0，3），另一边OB在x的正半轴上,

点M是AC边的中点，点P是OB边上一动点,PF⊥OM，PE⊥BM，垂足分别为E、F．（1）若四边形PEMF为矩形，求B点坐标；

（2）在（1）条件下，求过A、M、B三点的抛物线解析式；

（3）在抛物线上是否存在一点N，使得四边形AMON是平行

四边形，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由。3

y

x A

O

B

C

M

P

F

E

7.正方形ABCD 的边长为4，P 是BC 上一动点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，设PB =x ,△ADQ 的面积为y . （1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）、若（1）中函数是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标. （3）画出这个函数的图象.

（4）点P 是否存在这样的位置，使△APB 的面积是△ADQ 的面积的

3

2

，若存在，求出BP 的长，若不存在，说明理由.

8.如图所示, 在平面直角坐标系xOy 中, 正方形OABC 的边长为2cm, 点A 、C 分别在y 轴的负

半轴和x 轴的正半轴上, 抛物线y=ax 2

+bx+c 经过点A 、B, 且12a+5c=0.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如果点P 由点A 开始沿AB 边以2cm/s 的速度向点B 移动, 同时点Q 由点B 开始沿BC 边以1cm/s 的速度向点C 移动.

①移动开始后第t 秒时, 设S=PQ 2(cm 2

), 试写出S 与t 之间的函数关系式, 并写出t 的取值范围;

②当S 取得最小值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P 、B 、Q 、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R 点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.