基于Contourlet的图像PCA去噪方法(精)

４６２００７，４３（２１）ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ计算机工程与应用基于Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ的图像ＰＣＡ去噪方法张久文，敦建征，孟令锋ＺＨＡＮＧＪｉｕ－ｗｅｎ，ＤＵＮＪｉａｎ－ｚｈｅｎｇ，ＭＥＮＧＬｉｎｇ－ｆｅｎｇ兰州大学信息科学与工程学院，兰州７３００００ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｃｉｅｎｃｅ＆ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆＬａｎｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌａｎｚｈｏｕ７３００００，ＣｈｉｎａＥ－ｍａｉｌ：ｄｕｎｊｚｈ０４＠ｌｚｕ．ｃｎＺＨＡＮＧＪｉｕ－ｗｅｎ，ＤＵＮＪｉａｎ－ｚｈｅｎｇ，ＭＥＮＧＬｉｎｇ－ｆｅｎｇ．Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔｉｍａｇｅｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇｂａｓｅｄｏｎｐｒｉｎｃｉｐａｌｃｏｍｐｏｎｅｎｔａｎａｌｙｓｉｓ．ＣｏｍｐｕｔｅｒＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ，２００７，４３（２１）：４６－４８．Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｐｏｓｅｓａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｗｈｉｃｈｕｔｉｌｉｚｅｓｎｏｉｓｅｅｎｅｒｇｙ，ｉｎｓｔｅａｄｏｆｉｔｓｖａｒｉａｎｃｅ，ｔｏｐｅｒｆｏｒｍｉｍａｇｅｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇｂａｓｅｄｏｎＰｒｉｎｃｉｐａｌＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ（ＰＣＡ）ｉｎＣｏｎｔｏｕｒｌｅｔｄｏｍａｉｎ．ＴｈｅＣｏｎｔｏｕｒｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｓａｎｅｗｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆｔｈｅｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍｉｎｔｗｏｄｉｍｅｎｓｉｏｎｓ．Ｉｔｓｍａｉｎｆｅａｔｕｒｅｉｓｃｏｍｂｉｎｉｎｇｎｏｎ－ｓｅｐａｒａｂｌｅｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌｆｉｌｔｅｒｗｉｔｈｗａｖｅｌｅｔｆｉｌｔｅｒ．Ｍｏｓｔｏｆｔｈｅｅｘｉｓｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｉｍａｇｅｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇｒｅｌｙｏｎａｃｃｕｒａｔｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｎｏｉｓｅｖａｒｉａｎｃｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｅｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｎｏｉｓｅｖａｒｉａｎｃｅｉｓｖｅｒｙｈａｒｄｉｎＣｏｎｔｏｕｒｌｅｔｄｏｍａｉｎ．Ｐｒｏｐｏｓｅａｎｅｗｍｅｔｈｏｄｆｏｒｉｍａｇｅｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＣｏｎｔｏｕｒｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｉｎｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇｔｈｅｔｙｐｉｃａｌｉｍａｇｅＢａｒｂａｒａｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｏｆｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｍｅｔｈｏｄｉｓｏｂｖｉｏｕｓｌｙｓｕｐｅｒｉｏｒｂｏｔｈｉｎｖｉｓｉｏｎａｎｄｉｎＰＳＮＲ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ＰｒｉｎｃｉｐａｌＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ；ｉｍａｇｅｄｅ－ｎｏｉｓｉｎｇ摘要：提出了一种通过主分量分析（ＰＣＡ）对Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ域中噪声能量的估计来实现去噪的新方法。

Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换是一种结合多时频局域性外，还具有多方向性、各向异性等特征。

因分辨率分析和方向性滤波的小波变换，它除了具有一般小波变换的多尺度、此，Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ能有效地捕获到自然图像中的轮廓，并对其进行稀疏表示。

目前使用的小波去噪方法基本上都是建立在对噪声方差估计的基础上，而在Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换系数中，通过建立数学模型对噪声方差进行精确的估计是很困难的。

算法无需对噪声方差进行硬阈值去噪算法和基于小波的图像ＰＣＡ去噪方法比较，该算法不仅提高了图像估计，更具有实用价值。

实验结果显示，与小波软、的信噪比，而且图像视觉效果也明显改善。

关键词：Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换；主分量分析；图像去噪文章编号：１００２－８３３１（２００７）２１－００４６－０３文献标识码：Ａ中图分类号：ＴＰ３９１方向性分解的能力使得变换后的方向性子带数目增加，表征图像边缘的大系数的数目减少，因此选择合适的阈值进行去噪就能获得比小波变换更好的效果。

Ｍ．Ｎ．Ｄｏ和ＭａｒｔｉｎＶｅｔｔｅｒｌｉ［５，６］使用双重滤波器组结构实现了Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换，并且将其应用于非线性近似和图像去噪，取得了很好的效果。

主分量分析（ＰＣＡ）［７－１０］的概念首先由ＫａｒｌＰａｒｓｏｎ在１９０１年引进，当时只针对于非随机变量来讨论，１９３３年Ｈｏｔｅｌｌｉｎｇ将这个概念推广到随机变量。

主分量分析是一种把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法，即设法将原来指标重新组合成一组新的互相无关的几个综合指标来代替原来的指标，同时根据实际需要从中可取几个较少的综合指标尽可能多地反映原来的指标的信息，从数学角度来看，这是一种降维处理技术。

本文在Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ域中基于主分量分析方法提出了一种通过对噪声能量的估计来对图像进行去噪的方法。

该算法不依赖于对噪声方差的估计，直接根据对噪声能量的估计计算阈值。

实验结果显示，该方法能更因此，对于解决实际问题非常有效。

有效地保留图像的细节和纹理，获得更好的视觉效果和更高的１引言一般来说，现实中的图像都是带噪声的图像，为了后续更高层次的处理，有必要对图像进行去噪。

人们根据实际图像的特点、噪声的统计特征和频谱分布的规律，发展了各式各样的去噪方法。

近年来，小波技术由于具备良好的时频特性，在实际中得到非常广泛的应用。

在去噪领域中，小波理论也同样受到了许多学者的重视，他们应用小波进行去噪，并获得了非常好的效果［１－４］。

然而，小波分析（ＭＡＬＬＡＴ算法）在一维信号处理所具有的优异特性并不能简单地推广到二维图像或更高维的视频数据。

由一维小波张成的分离小波（Ｓｅｐａｒａｂｌｅｗａｖｅｌｅｔ）只具有有限的方向，不能“最优”表示含线奇异或者面奇异的高维函数。

为了解决小波这一局限性，新的理论不断发展。

Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换［５］正是为解决二维或更高维奇异性而产生的一种新的分析工具。

Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换是一种结合多分辨率分析和方向性滤波的小波变换，它除了具有一般小波变换的多尺度、时频局域性各向异性等特征，能有效地捕获到自然图外，还具有多方向性、像中的轮廓，并对其进行稀疏表示。

相对小波而言，Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ基金项目：国家自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｉｏｎａｌＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．６０５７２０１１／ｆ０１０２０４）；“特色项目计划基金（Ｎｏ．９８５”ＬＺ９８５－２３１－５８２６２７）；甘肃省自然科学基金（ｔｈｅＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＦｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆＧａｎｓｕＰｒｏｖｉｎｃｅｏｆＣｈｉｎａｕｎｄｅｒＧｒａｎｔＮｏ．ＹＳ０２１—Ａ２２—００９１０）张久文，敦建征，孟令锋：基于Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ的图像ＰＣＡ去噪方法２００７，４３（２１）４７ＰＳＮＲ值，尤其是对那些包含了丰富的细节和纹理的图像。

２基本理论２．１Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换是２００２年Ｍ．Ｎ．Ｄｏ和ＭａｒｔｉｎＶｅｔｔｅｒｌｉ提出的一种“真”二维图像稀疏表达方法，它不仅继承了小波变换的多分辨率时频分析特征，而且具有高度的方向性和各向异性。

当特Ｖ＝ｄｉａｇ（"１，"２，…，"Ｎ），是ＣＯＶ的特征值构成的对角矩阵。

征值"Ｎ按从大到小的顺序排列时，那么所对应Ｕ的各个基向量便是ＰＣＡ的最优投影方向，按该方向对数据进行投影，得到的各主分量互不相关。

因此通过求解协方差矩阵特征值对应的特征向量，可以获得各主分量对应的投影方向，从而实现ＰＣＡ的求解过程。

Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ的基函数有２ｎ（ｎ表示二维定向滤波器ｎ级分解）种方向，以及灵活的纵横比，可以将图像分解到任意的２ｎ个方向子带上，因此Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ可以以近似最优的效率表示任何一维的平滑边缘，它能用比小波变换更少的系数来表达光滑的曲线，可以很好地逼近图像的几何结构，如图１［５］所示。

３基于ＣＯＮＴＯＵＲＬＥＴ的图像ＰＣＡ去噪算法为了更细致地分析Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ域中各系数的局部特征，将每个高频子带又分解成大小为Ｋ×Ｎ的子块进行处理，如图３所示。

在每个Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ系数子块内，将每行Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ系数看作Ｎ维行向量ｘｉ，则有Ｋ个行向量组成大小为Ｋ×Ｎ的矩阵Ｘ，其协方差矩阵为：１ＣＯＶ＝Ｋ其中"）（ｘ－ｘ"）!（ｘ－ｘｉｉｉ＝１ＫＴ（２）Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换是通过塔形方向滤波器组（ＰＤＦＢ）把图像［５］#＝１ｘＫ!ｘｉ＝１Ｋｉ（３）分解成各个尺度上的带通方向子带，主要由两个步骤实现，如图２所示。

首先，将传统的拉普拉斯金字塔应用于多级分解，以“捕获”奇异点。

在分解的每一步利用低通滤波器和２抽样技术产生一个低分辨率的图像，该图像代表原始图像的低频信息，对该图像进行２插值并与原始图像进行比较得到一个高通图像，高通图像主要包含噪声和边缘变化信息。

这样的过程可以在低通图像上反复进行，最终产生一个低通图像和多级高通图像序列。

整个分解过程虽然会产生最高的１／３冗余，但是可以有效其次，对地避免频率混迭现象，在图像去噪等应用中是有效的。

高频图像应用迭代的二维定向滤波器（ＤｉｒｅｃｔｉｏｎａｌＦｉｌｔｅｒＢａｎｋ，协方差矩阵ＣＯＶ的Ｎ个特征值按从大到小的顺序排列"１≥"２≥…≥"Ｎ，其对应的特征向量!１，!２，…，!Ｎ构成了特征空间的一组基。

其中前ｄ（≤Ｎ）个基向量Ｕｄ＝［!１，!２，…，!ｄ］可以表征ｘｉ的主要特征，这样就可以应用前ｄ个主分量来估计Ｘ的重构模型Ｙ：ＤＦＢ）来捕捉定向信息，将分布在同方向上的奇异点合成为一个系数。

Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ变换的最终结果是用类似线段的基结构来逼近原图像。

Ｙ＝Ｕｄ＊Ｘ＊ＵｄＴ（４）根据式（４）完成对Ｋ个行向量的重构，可以实现对矩阵Ｘ的重构，得到重构矩阵Ｙ。

由于子块中的Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ系数大部分是由噪声引起的，经ＰＣＡ得到的重构矩阵Ｙ反映了由噪声引２．２主分量分析主分量分析［７－１０］（ＰｒｉｎｃｉｐａｌＣｏｍｐｏｎｅｎｔＡｎａｌｙｓｉｓ，ＰＣＡ）是近起的Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ系数的幅值特征。

本文使用重构矩阵Ｙ中年来在图像分析与模式识别领域研究较多的一种统计学特征提取方法。

其基本原理是，根据Ｋ－Ｌ变换在测量空间中找到一组正交向量，这组数据能最大的表示出数据的方差，将原模式矢量从原来的ｎ维空间投影到这组正交矢量张成的ｍ维子空间上（通常ｍ＜＜ｎ），其投影系数构成原模式的特征矢量，从而完成维数的压缩。

ＰＣＡ充分利用数据中的二阶统计信息进行特征提取和降维，它有多种不同的计算方法。

常用的是通过计算数据矩阵Ｘ的协方差矩阵ＣＯＶ的特征值和特征向量，从而得到正交变换矩阵Ｗ。

由于图像矩阵Ｘ为实向量矩阵，因此根据矩阵分析理论，其协方差矩阵Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ系数的绝对值的均值Ｔ，作为对该子块内由噪声引起的Ｃｏｎｔｏｕｒｌｅｔ系数幅值的估计［１２］。