漫谈微分几何、多复变函数与代数几何

微分几何与伴随着微分几何的发展而创立的张量分析是掌握广义相对论的基础工具。也由于广义相对论的成功，使一向冷僻的微分几何成为数学的中心学科之一。

从微积分发明起，微分几何的萌芽就诞生了。但是Euler、Clairaut和Monge的工作才真正使微分几何成为独立学科。Euler在关于测地学的工作中逐步得出重要得研究，并对法曲率的计算得出著名的Euler公式。Clairaut研究了曲线的曲率和挠率，Monge发表了《分析应用于几何的活页论文》，将曲线与曲面的重要性质用微分方程表示，使得经典微分几何的发展到达一个高峰期。Gauss在测地学的研究中，经过繁杂的计算，于 1827年发现了曲面的两个主曲率乘积与它在外围的Euclidean空间中的形状无关，仅仅取决于其第一基本形式，这个结果被Gauss得意地称为是绝妙定理，从而创立了内蕴几何，把曲面的研究从外围空间中解脱出来，将曲面自身作为一个空间来研究。1854年Riemann作了《关于几何基础的假设》，推广了 Gauss在 2维曲面的内蕴几何，从而发展出n维Riemann几何，随着多复变函数的发展。一批优秀数学家将微分几何的研究对象扩展到复流形，再拓展到包含奇点的复解析空间理论。微分几何的每一步前进所面临的都不仅仅是知识的深化，更意味着知识领域的不断拓展。在这里，微分几何与多复变函数论、Lie群理论、代数几何以及PDE都彼此产生深刻的互相影响。数学在不断的分化，又不断交融。

多复变函数论与微分几何的结合闪耀着迷人的光辉，单位圆和上半平面（两者可以建立共形映射）上定义Poincare度规后，单复变函数论与微分几何的联系就历历可见。Poincare度规是共形不变量。著名的 Schwarz定理在引入Poincare度规后就可以解释为：单位圆上Poincare度规在解析映射下不增加，当且仅当此映射是分式线性变换时 Poincare度规不变。应用Poincare度规下的双曲几何可以轻松证明著名的Picard小定理。而Picard大定理的证明需要用到艰深的模函数理论，如果用微分几何观点，也可以以极其简明的方式证明。这里，微分几何深深渗透到复变函数论之中。在多复变函数论中，分析复仿射空间的区域定义度规后，接下来就实微分几何的曲率计算和其他一系列计算。在单复变情形，所有奇点离散分布，而在多复变情形，由于著名的Hartogs开拓现象，所有孤立奇点都被吞没，甚至于奇点形成的连续区域也经常被吞没，只有形成实余维数为1的流形才可以避免这个厄运。但是，即使这种情形也需要其他限制条件才可以“确保安全”。多复变函数论中奇点的这种奇特性质使得它们注定要成为流形。1922年Bergman引进著名的Ber

gman核函数，那个时代的多复变函数还是 Weyl所说的草创时代，除了Hartogs、Poincare、Levi和Cousin等几位前辈的著名研究外几乎没有任何实质性进展，Bergman 的工作无疑给这个死气沉沉的领域注入了一股活力。在多复变函数中的域上的Bergman度量，在一维情形就是单位圆和Poincare上半平面上的 Poincare度量，这注定了Bergman工作的重要性。

代数几何的基本研究对象是任意维仿射空间或者射影空间中的代数方程组（定义方程组）的公共零点（代数簇）的性质，代数簇的定义方程组的系数以及代数簇的点所在的域所在的域称为基域。不可约代数簇是其基域的有限次扩域。我们熟悉的数域上线性空间就是以数域为基域的扩域，线性空间维数就是扩张次数。从这个观点出发，代数几何可以看成是对有限扩域的研究。代数簇的性质和其基域关系极其密切。对于域上复仿射空间或者复射影空间中的代数簇，研究的过程中不仅有大量概念和微分几何及多复变函数论重合，而且在研究过程中运用到大量有关的相似工具。复流形以及复解析空间的每一步进展无不同时影响着这些学科。许多相关领域的大师，虽然看上去只研究某一领域，但是其结果却影响到其他领域。例如： Lerey研究代数拓扑得出得层论，在代数拓扑中影响不大，单却由于Serre，Weil和H? Cartan（E?Cartan长子）的引进，深刻影响了代数几何和多复变函数论。Chern研究Hermite空间的示性类，但同时影响了代数几何、微分几何和多复变函数论。Hironaka研究代数几何中的奇点消解，但是他研究的复流形到复解析空间的修改与吹胀则影响了复解析空间理论。Yau证明了 Calabi猜想不仅影响了代数几何和微分几何同时影响了经典广义相对论。同时对于我们可以看出非线性常微分方程和偏微分方程在微分几何中的重要地位。 Cartan研究对称Riemann空间，得出了重要的分类定理，给出了1、2、3维空间中齐性有界域的完全分类，证明它们都是齐性对称域，同时他猜想：这种等价关系在n维情形也成立。1959年，Piatetski-Shapiro却在研究对称有界域的自守函数论的过程中找到了两个反例，在4维和5维的情形中各找出一个齐性有界域，它们不是齐性对称域，他将这些域命名为Siegel域，以纪念Siegel在1943年研究自守函数论方面的深刻工作。 Piatetski-Shapiro的这个结果深刻影响了多复变函数论和自守函数论，同时对于对称空间理论等一系列课题产生深远影响。正如我们知道的， Cartan将对称空间的研究化为Lie群和Lie代数的研究，这个观点直接受Klein的影响而又大大发展了Klein的初步想法。当年也正是 Cartan发展了Levi-Civita联络的概念，发展出微分几何

中的一般联络理论，通过流形上各点切空间的同构映射，实现了Klein的梦想，同时大大促进了微分几何的发展。同样是Cartan，断定和乐群在流形研究中的重要性，几经波折，终于在他去世后三十年左右才被证实是正确的。在这里，我们看到了微分几何的浩瀚优美。

正如我们熟知的，测地线联系着ODE（常微分方程），极小曲面和高维极小子流形联系着PDE（偏微分方程）。这些方程都是非线性方程，因此对于分析学有着极高的要求。单复变函数论中著名的Cauchy-Riemann方程组联结起PDE和复分析之间的联系，在多复变情形，Cauchy- Riemann方程组不仅空前深化了这个联系而且由于Cauchy-Riemann方程组的超定性（方程个数大于变量个数）导致了奇异的现象。这又使得 PDE与多复变函数论与微分几何紧密结合。

大多数学习微分几何的学者都被Gauss与Riemann的内蕴几何的无比深邃击晕，被Cartan的活动标架法的优美简洁倾倒，被Chern的示性类理论的博大精深折服，被Yau深厚精湛的几何分析功底震慑。当年年轻的 Chern面对整体微分几何时说自己就像面对一座闪耀金色光芒的山无比向往却一时无法攀到最高峰。但是后来他却赶在Hopf和Weil之前成为这个领域的一代宗师。

如果说Cartan发展的微分几何渐渐改变了广义相对论的几何模式的话，那么Chern等人的微分几何不仅在延续Cartan的影响而且以纤维丛的形式推动了规范场论的发展。微分几何仍然像Einstein时代那样和物理紧紧相连并且从物理中不断获取研究课题 为什么三维球无法赋予平坦度规却可以赋予共形平坦度规？因为三维球和其他维数的球一样无法与平坦空间建立等距映射，所以无法建立平坦度规；而n维球都是单连通常曲率空间，因此可以可以建立共形平坦度规。在微分几何中，等距的含义就是映射前后流形上对应点之间的曲线距离不变。一个流形与平坦空间等距时其 Riemann截面曲率恒为零。因为所有球面的曲率都为正的常数，所以n维球面以及其他的截面曲率非零的流形都无法赋予局部平坦度规。

但是还有局部共形平坦这个概念，对于流形上两个度规G和g，如果G=exp{ρ}?g，则称G与g之间的变换是共形变换。Weyl共形曲率张量在共形变换下保持不变，它是流形上的（1,3）型张量场。当Weyl共形曲率张量为零时，流形的曲率张量可以用Ricci曲率张量与数量曲率表示，所以 Penrose 总是强调曲率=Ricci+Weyl。

一个n维Riemann流形的度规张量g在局部上共形等价于平坦度规，则称为共形平坦流形。所有截面曲率为常数的流形（常曲率流形）都是共形平坦的，所以都可以赋予共形平坦度规。而所有维数的球面（当然包括三维

球）都是常曲率流形，所以必定可以赋予共形平坦度规。反过来，共形平坦流形却未必是常曲率流形。但是有一个和Einstein流形有关的美妙结果可以弥补这个遗憾：3维以上的共形平坦 Einstein流形必定是常曲率流形。就是说要想让共形平坦流形却是常曲率流形，就必须要求Ric=λg，而这就是Einstein流形的定义。式中 Ric为Ricci曲率张量，g为度规张量，λ为常数。Einstein流形的数量曲率S=mλ为常数。而且如果S非零则其上面不存在非零的平行切向量场。Einstein引入宇宙学常数，使得他错失了预言宇宙膨胀的伟大成就，于是Hubble就飞黄腾达了；但是带有宇宙项的真空引力场方程却产生了 Einstein流形，这为数学家的展现才智提供了新舞台。

对于3维连通Einstein流形，即使不要求其共形平坦，它也自动是常曲率流形，其他维数不成立这个美妙性质，我是大一暑假学习张量分析时才知道这个结果的，感觉看到这个结果是一种享受。实流形中的截面曲率与Kahler流形中的全纯截面曲率是不一样的概念，因此也产生不一样的结果。全纯截面曲率为常数的Kahler流形，其Ricci曲率必定为常数，所以必定为 Einstein流形，称为Kahler- Einstein流形。Kahler流形为Kahler- Einstein流形当且仅当其作为Riemann流形时是Einstein流形。N维复向量空间，复射影空间，复环面以及复双曲空间都是Kahler- Einstein流形。Kahler-Einstein流形的研究成为几何学家的智力享受。

再回头讲讲等距映射的一个重要结果。考虑两个 Riemann流形M和N间的等距映射以及其诱导的切空间之间的映射，取M上任意点p，在其切空间任选两个不共线的切向量，求出其截面曲率。在映射下p点及其切空间上的那两个切向量在映射下变成另两个切向量，也求出其截面曲率。如果这个映射是等距映射，则这两个截面曲率是相等的。或者含糊些说就是等距映射 不改变截面曲率。

反过来，如果任意点都成立截面曲率不改变的性质，那么映射是不是等距映射？答案是否定