直线与直线直线与平面平面与平面垂直的判定与性质

【课题】直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【教学目标】知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质．【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直．【教学设计】在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90o即可.在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B AC内找到一条直线AC与平面B1BDD11垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过 程行为行为意图间*巩固知识 典型例题【知识巩固】例1 如图9-43，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，判断直线AB 和DD 1是否垂直．解 AB 和DD 1是异面直线，而BB 1∥DD 1，AB ⊥BB 1，根据异面直线所成的角的定义，可知AB 与DD 1成直角．因此1AB DD .图9-43说明强调引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会10 *运用知识 强化练习1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？2．在图9?43所示的正方体中，找出与直线AB 垂直的棱，并指出它们与直线1AA 的位置关系． 提问 指导 思考 解答了解 知识 掌握 情况14 *创设情境 兴趣导入【问题】前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 如图9?44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直．质疑 引导 分析思考带领 学生 分析17 *动脑思考 探索新知【新知识】从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．讲解 说明理解带领 学生 分析图9?44*巩固知识典型例题【知识巩固】例2长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9?45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什么？图9?45解因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD．图9?46[小提示]在实际生活中，我们采用如图9?46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂直，就是直线与平面垂直方法的应用．【做一做】如果只给一个卷尺，你能否判断操场中立的旗杆与底面垂直吗？过 程行为行为意图间两条直线互相平行．如图9?47所示，设m α⊥，n α⊥，则 m ∥n ．[想一想]如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？为什么？ 说明引领 分析 理解带领 学生 分析 32 *巩固知识 典型例题【知识巩固】例3 如图9?48，AB 和CD 都是平面α的垂线，垂足分别为B 、D ，A 、C 分别在平面α的两侧，AB ＝4 cm ，CD ＝8 cm ，BD ＝5 cm ，求AC 的长．图9?48解 因为AB ⊥α，CD ⊥α，所以 AB ∥CD ．因为BD 在平面α内，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ．设AB 与CD 确定平面β，在平面β内，过点A 作AE ∥BD ，直线AE 与CD交于点E ．在直角三角形ACE 中，因为AE ＝BD ＝5 cm ，CE ＝CD ＋DE ＝CD ＋AB ＝8 + 4 =12（cm ），所以 AC ＝22AE CE + ＝ 22512+ ＝13（cm ）．说明 强调 引领讲解说明 观察 思考 主动 求解 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 37 *运用知识 强化练习1．一根旗杆AB 高8 m ，它的顶端A 挂两条10 m 的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C 、D 两点，并使点C 、D 与旗杆脚B 不共线，如果C 、D 与B 的距离都是6 m ，那么是否可以判定旗杆AB 与地面垂直，为什么？2．如图所示，ABC ∆在平面α内，90BAC ∠=︒，且PA α⊥于A ，那么AC 与PB 是否垂直？为什么？提问 巡视 指导思考 解答及时 了解 学生 知识 掌握 情况α图9?47mn过程行为行为意图间42 *创设情境兴趣导入【知识回顾】两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作βα⊥．画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9?49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9?49（2））．【做一做】请动手画出图9?50中的两个图形．[实例]建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9?50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直．图9?50质疑引导分析观察思考带领学生分析48*动脑思考探索新知【新知识】这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直．如图9?51所示，如果ABβ⊥，AB在α内，那么αβ⊥．讲解说明引领分析理解带领学生分析β（2）α图9?49过 程行为行为意图间52*巩固知识 典型例题【知识巩固】例4 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1（如图9?52）中，判断平面B 1AC 与平面B 1BDD 1是否垂直．图9?52解 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，B 1B ⊥平面ABCD ，所以BB 1⊥AC ，在底面正方形ABCD 中，BD ⊥AC ，因此AC ⊥平面BB 1D 1D ，因为AC 在平面B 1AC 内，所以平面B 1AC 与平面B 1BDD 1垂直．说明 强调 引领 讲解 说明 观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会57 *创设情境 兴趣导入 【实验】如图9?53所示，在正方体1A C 的侧面11A ABB 中，作1EE AB ，观察1EE 与底面ABCD 的关系．质疑 引导 分析思考带领 学生 分析601A 1D 1C 1B A DCB图9?53E 1E图9?51过 程行为行为意图间*动脑思考 探索新知 【新知识】可以看到，由于1EE AB ⊥，故11EE BB ∥，又1BB BC ⊥，因此1EE BC ⊥．这样，1EE 就与底面ABCD 中的两条相交直线AB BC 、都垂直，所以1EE 与底面ABCD 垂直．由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．讲解 说明引领分析理解 记忆带领 学生 分析64 *巩固知识 典型例题【知识巩固】例5 如图9?54所示，平面α⊥平面β， AC 在平面α内，且AC ⊥AB ，BD 在平面β内，且BD ⊥AB ，AC ＝12 cm ，AB ＝3 cm ，BD ＝4 cm ．求CD 的长．图9?54解 在平面β内，连结AD ．又由于BD ⊥AB ，所以在直角三角形ABD 中，222223425=+=+=AD AB BD ，故 AD ＝5（cm ）．因为αβ⊥，AC 在平面α内，且AC ⊥AB ，AB 为平面α与β的交线，所以AC ⊥β．因此CA ⊥AD ．在直角三角形ACD 中，22222125169=+=+=CD AC AD ，故 CD ＝13（cm ）．说明 强调 引领 讲解 说明观察 思考 主动 求解通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点69 *运用知识 强化练习1．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，与平面1AB 垂直的平面有个，与平面1AB 垂直的棱有 条．提问思考及时 了解 学生A C D DABC【教师教学后记】。