2017-2018北京市西城区高三数学一模理科试题及答案

西城区高三统一测试

数学（理科） 2018.4

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．若集合{|320}A x x =∈+>R ，2{|230}B x x x =∈-->R ，则A B =

（A ）{|1}x x ∈<-R （B ）2

{|1}3

x x ∈-<<-R

（C ）2

{|3}3

x x ∈-<

（D ）{|3}x x ∈>R

2．执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5

3．已知圆的方程为22

20x y y +-=．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆

的极坐标方程为 （A ）2sin ρθ=- （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-

（D ）2cos ρθ=

4．正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是

（A ）

（B

（C ）6 （D ）6+5．已知O 是正方形ABCD 的中心．若DO AB AC λμ−−→

−−→

−−→

=+，其中λ，μ∈R ，则λ

μ

= （A ）1

2-

（B ）2- （C ）（D

6．设函数2()f x x bx c =++．则“()f x 有两个不同的零点”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

7．函数2241,0,

()23,0.x

x x x f x x ⎧-+>⎪=⎨⋅⎪⎩

≤ 则()y f x =的图象上关于原点O 对称的点共有 （A ）0对 （B ）1对 （C ）2对

（D ）3对

8．某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务．现有 三项任务U ，V ，W ，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s ）依次为a ，b ，c ，其中a b c <<．一项任务的“相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比．下列四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时间”之和最小的是 （A ）U →V →W （B ）V →W →U

（C ）W →U →V

（D ）U →W →V

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．若复数(i)(34i)a ++的实部与虚部相等，则实数a =____．

10．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若12a =，420S =，则3a =____；n S =____．

11．已知抛物线2

8y x =-的焦点与双曲线2

221(0)x y a a

-=>的一个焦点重合，则a =____；

双曲线的渐近线方程是____．

12．设0ω>，若函数2

cos y x ω=的最小正周期为

π

2

，则ω=____．

13．安排甲、乙、丙、丁4人参加3个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有人参

加．若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为____．（用数字作答）

14．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，

点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等， 则1A P 的最小值是____．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

在△ABC sin sin 2C c A ⋅=⋅． （Ⅰ）求A ∠的大小；

（Ⅱ）若a b =ABC 的面积．

16．（本小题满分13分）

某企业2017年招聘员工，其中A 、B 、C 、D 、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：

（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；

（Ⅱ）从应聘E 岗位的6人中随机选择2人．记X 为这2人中被录用的人数，求X 的分布列和

数学期望；

（Ⅲ）表中A 、B 、C 、D 、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于

5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）

17．（本小题满分14分）

如图1，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，O 为DE 的中点，AB AC ==，4BC =．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使得平面1A DE ⊥平面BCED ，如图2．

（Ⅰ）求证：1A O BD ⊥；

（Ⅱ）求直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值；

（Ⅲ）线段1A C 上是否存在点F ，使得直线DF 和BC ？若存在，求出11A F

A C

的值；若不存在，说明理由．

图1 图2

18．（本小题满分13分）

已知函数1

()e (ln )x

f x a x x

=⋅+

+，其中a ∈R ． （Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线e

x

y =-垂直，求a 的值； （Ⅱ）当(0,ln 2)a ∈时，证明：()f x 存在极小值．

19．（本小题满分14分）

已知圆22:4O x y +=和椭圆22:24C x y +=，F 是椭圆C 的左焦点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；

（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，过P 作x 轴的垂线，交圆O 于点Q （,P Q 不重合），l 是过点Q 的圆O 的

切线．圆F 的圆心为点F ，半径长为||PF ．试判断直线l 与圆F 的位置关系，并证明你的结论．

20．（本小题满分13分）

数列n A ：12,,

,(2)n a a a n ≥满足：1(1,2,,)k a k n <=．记n A 的前k 项和为k S ，并规定00S =．定义集合*

{n E k =∈N ，|k n ≤k j S S >，0,1,

,1}j k =-．

（Ⅰ）对数列5A ：0.3-，0.7，0.1-，0.9，0.1，求集合5E ； （Ⅱ）若集合12{,,

,}(1n m E k k k m =>，12)m k k k <<<，证明：1

1(1,2,,1)i i

k k S S i m +-<=-；

（Ⅲ）给定正整数C ．对所有满足n S C >的数列n A ，求集合n E 的元素个数的最小值．