切比雪夫滤波器设计

切比雪夫滤波器设计

巴特沃斯滤波器的频率特性曲线,无论在通带内还就是阻带内都就是频率的单调函数。因此,当通带的边界处满足指标要求时,通带内肯定会有裕量。所以,更有效的设计方法应该就是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内,或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。

切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型:振幅特性在通带内就是等波纹的,在阻带内就是单调的称为切比雪夫I 型滤波器;振幅特性在通带内就是单调的,在阻带内就是等波纹的称为切比雪夫II 型滤波器。采用何种形式的切比雪夫滤波器取决于实际用途。图1与图2分别画出了N 为奇数、偶数时的切比雪夫I 、II 型滤波器的频率特性。

1、切比雪夫I 型滤波器的基本特点

现在介绍切比雪夫I 型滤波器的设计,切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为

()

2

222

1

()()1N A H j c λλελ==

+ 为小于1的正数,表示通带内振幅波动的程度。ε越大,波动也越大。/p λ=ΩΩ为Ω对截止频率p Ω的归一化频率,p Ω为截止频率,也就是滤波器的通带带宽(注:切比雪夫滤波器的

p

s

p

(a)

1

(b)

1

图1切比雪夫I 型滤波器的振幅特性 (a)N=3,2dB

通带波纹的切比雪夫振幅特性 (b)N=4,2dB 通带波纹的切比雪夫振幅特性

(a)

1

(b)

1

图2 切比雪夫II 型滤波器的振幅特性

p

s

/p

ΩΩp λs

/p

ΩΩp s

p

通带带宽并不一定就是3dB 带宽)。()N C x 就是N 阶切比雪夫多项式,定义为

1

1

cos()01

()()

1N Ncos x x C x ch Nch x x --⎧<≤⎪=⎨≥⎪⎩

其中1

cos ()x -为反余弦函数;()ch x 为双曲余弦函数;1

()ch x -为反双曲余弦函数;它们的定

义如下所示 2

x x

e e chx -+=

1()()ln(ch x arcch x x -==

上式可展开为多项式的形式如表1所示:

由表1可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为

11()2()()N N N C x xC x C x +-=-

图3示出了N=0,4,5时切比雪夫多项式的特性。由图3可见:

1、 切比雪夫多项式的零值在01x <<的间隔内。

2、 当x<1时,()1N C x ≤,且具有等波纹幅度特性。

3、 在1x ≤的区间外,()N C x 就是双曲余弦函数,随着x 而单调增加。

再瞧函数22()N C x ε,ε就是小于1的实数,22

()N C x ε的值在1x ≤之内,将在0至2ε之间改变。而22

1()N

C x ε+的函数值在1x ≤之内,将在1至21ε+之间改变。然后将22

1()N

C x ε+取倒数,即可得切比雪夫I 型滤波器幅度平方函数。

根据以上所述,在1λ≤,2

()H j λ在接近1处振荡,其最大

值为1,最小值为

2

1

1ε

+。在此范围之外,随着λ增大,22

()1N C ελ?,则2

()H j λ很快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I 型滤波器振幅特性

曲线,从中可以瞧出:振幅特性()H j λ的起伏为1

～

,因2

(1)1N C =,所以在1

p λ=时

,()H j λ=

即切比雪夫I 型滤波器的截止频率并不对应3dB 的衰减。

表1切比雪夫多项式

1

图3 切比雪夫多项式曲线

2、切比雪夫I 型滤波器设计方法

要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数,需要确定三个参数:,c εΩ及N 。下面研究如何确定这三个参数,具体步骤如下:

(1) 将实际频率Ω归一化得

1p p p

λΩ=

=Ω,s

s p

λΩ=

Ω 再根据已知的p α,s α,幅度平方函数2221

|()|1()N H j C λελ=+ 确定ε与N 。

(2)确定ε与N 。

定义通带波纹(即通带衰减)()αλ(以分贝为单位)为:

22

2

1()10lg

10lg 1()()

N C H j αλελλ⎡⎤==+⎣⎦

代入 p λ,p α,s λ,s α得

22

2210lg 10lg 1()1()N p p N s s

C C αελελα=⎡⎤+⎧⎪⎣⎦⎨⎡⎤+=⎪⎩⎣⎦ 即

2

2

2

2

1010

2

2

1

()10()

10

1

1()N p N S p s s C C ch Nch ααε

λε

λελ-=⎧-⎪⎨⎡⎤=-=⎪⎩⎣⎦

因为1p λ=,2

(1)1N C =,所以

2

10101p

αε=-

101021

22

10101

101

()101

s

s

p

s ch Nch a αααλε

---⎡⎤=

=

=⎣⎦-

则 11()

()

s ch a N ch λ--=

其中

a =

这样可以求出ε与N,

其中1()ln ch x x -=