有限元分析的数学求解原理共80页文档
杆梁结构的有限元分析原理详解
基本变量为：
节点 位移
(1)
内部各
点位移
(2)
(3)
应变
应力
5 第5页，共104页。
完整的求解过程
1）结构离散化 该构件由两根杆件做成，因此可以自然离散成2个杆单元。
假定以这类单元位移的特征为两个端点位移，就这两个离散单元给出 节点编号和单元编号。
2
单元e刚度矩阵
单元e节点力列阵
12
第12页，共104页。
3）离散单元的装配
在得到各个单元的势能表达式后，需要进行离散单元的装配，以求出整个系统的总势 能，对于该系统，总势能包括两个单元部分
e 1 2
1 qu1T K1u1 u2T K 2u2 P1Tu1 P2Tu2 2
1 2
u1
e 1 2 0
EA1 EA2
l1
l2
EA2
l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
F3
l 2
15
第15页，共104页。
6）求解节点位移
将结构参数和外载荷代入上式有
3EA2
l2
EA2 l2
EA2
l2
EA2
u2 u3
0
F3
l 2
求解得（单位m）
3 2E4 1
得单元刚度矩阵为：
kⓔ
EA l
1 1
1
1
（3-10 ）
28
第28页，共104页。
二 扭转杆单元
图2 扭转杆单元示意图
设扭转杆单元的长度为 l ，截面惯性矩为 I ，剪切模量为G，杆端扭矩分别
有限元法的基本原理
有限元法的基本原理有限元法（Finite Element Method）是一种用于求解工程和物理问题的数值计算方法。
它将复杂的结构或物理系统分割成若干个小的、简单的部分，这些部分被称为有限元。
通过对每个有限元进行数学建模和描述，再根据各个有限元之间的相互关系，最终得到整个系统的数学模型，并通过求解模型得到所需的结果。
有限元法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1.离散化：将需要分析的实际物体或系统划分为多个小的部分，每个小部分称为有限元。
每个有限元都有自己的几何形状和物理特性。
2.建立方程：对每个有限元进行数学建模，设定适当的假设和方程，并将其转化为一个或多个待求解的方程。
这些方程描述了物体各点之间的关系和行为。
3.组装和边界条件：将所有有限元的方程组合起来形成整个系统的方程。
在这个过程中，考虑到边界条件，如约束和加载，以使系统模型更接近实际情况。
4.求解方程：通过数值解法或迭代算法，对系统方程进行求解。
常用的方法有直接法、迭代法、矢量或矩阵求逆等。
5.后处理：根据求解结果，得到所需的物理量和信息，并进行数据分析和可视化，以获得更深入的认识。
有限元法的最大优点之一是其适用性广泛。
它可以应用于各种复杂的结构和物理系统，包括静力学、动力学、热传导、电磁学等。
通过适当的选择有限元类型和参数，可以对各种材料和结构进行准确的分析和预测。
此外，有限元法对于学术和工程研究的意义也非常重大。
它提供了一种理论和实践相结合的方法，可以对实际问题进行数值模拟和优化设计。
通过对有限元模型的分析，可以预测物体或系统的行为和响应，从而为实际工程项目的决策提供有力的支持。
然而，有限元法也存在一些局限性和挑战。
首先，有限元法在建立数学模型和求解方程时需要一定的理论基础和数值计算技术。
其次，模型的精确性和结果的准确性依赖于有限元的选择和划分，以及材料参数和边界条件的准确性。
最后，有限元法的计算量通常很大，特别是对于复杂的结构和多物理场问题，需要高性能计算和有效的算法来提高计算效率。
有限元方法中的数学原理
有限元方法中的数学原理有限元方法是一种数值计算方法，广泛应用于工程领域中的结构分析、热传导、流体力学等问题的求解。
其数学原理主要包括离散化、基函数插值、变分原理和矩阵方程求解等。
首先，有限元方法将连续的物理问题离散化为有限数量的子区域，每个子区域称为有限元。
这种离散化过程被称为网格划分。
通过将连续问题离散化为离散问题，可以利用计算机进行数值求解，得到问题的近似解。
离散化的结果是一系列互不重叠但相互邻接的子区域，称为网格单元。
这些网格单元通常是简单的几何形状，如直线段、三角形、四边形等，而且它们的数目越多，近似解的精度越高。
接下来，对于连续问题的离散化解，有限元方法使用基函数进行插值。
所谓基函数，就是一组已知的函数，它们在每个网格单元上都有不同的值。
基函数可以是多项式函数、三角函数等，其选择通常与问题的性质有关。
利用基函数，问题的解可以在每个网格单元的节点上得到近似表达。
这种近似表示使得问题的求解被简化为在节点上的代数运算。
在有限元方法中，变分原理是一个重要的理论基础。
变分原理认为，对于一个物理问题的解，其满足一定的泛函极值条件。
泛函是一个函数的函数，其描述了物理系统的性质。
有限元方法使用变分原理将物理问题转化为一个极值问题，即求解能使泛函取得极小值（或者极大值）的近似解。
对于结构力学问题，常用的泛函是势能和虚功原理。
有限元方法在变分原理指导下，将问题转化为代数求解问题，从而得到问题的近似解。
最后，在有限元方法中，通过求解矩阵方程来获得问题的近似解。
有限元方法首先将受力、位移、形状等参数表示成矩阵的形式，并利用变分原理求得这些参数的近似解。
然后，通过将这些参数代入到某个方程中，得到一个矩阵方程组。
该方程组通常是一个线性方程组，可以使用常用的数值方法进行求解。
解出矩阵方程组后，得到的是问题的近似解，可以进行后续分析和评估。
总之，有限元方法是一种基于数值计算的工程分析方法，其数学原理主要包括离散化、基函数插值、变分原理和矩阵方程求解等。
有限元法的基本原理
第二章有限单元法的基本原理作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。
经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。
从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。
它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。
通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。
在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。
尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。
通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。
2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。
3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。
4）有限元的收敛性和误差估计。
由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。
另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。
§2.1 弹性力学基本方程有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。
2-1-1、平衡方程对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程0*00000000=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂z y xxz yz xy z y x F F F z yzz x y z y x τττσσσ 记为： 0=+F A σ其中A 是微分算子，F 是体积力向量。
有限元法原理
有限元法原理
有限元法是一种工程计算方法，主要用于求解连续介质的力学问题。
它的基本原理是将连续介质离散成有限个小单元，然后利用有限元的形状函数对每个小单元进行近似，最终利用这些近似解来求解整个连续介质的力学问题。
有限元法的主要思想是将问题的解表示为一个有限个数的基函数的线性组合。
这些基函数与小单元的形状函数相联系，通过对小单元的形状函数进行合适的选取和调整，可以确保解在小单元内满足边界条件。
然后，通过将所有的小单元的解进行组合，就可以得到整个连续介质的解。
在实际的计算中，有限元法通常分为以下几个步骤：首先，需要根据实际问题确定合适的有限元模型，包括选择适当数量和类型的有限元单元。
然后，需要确定边界条件，即确定整个连续介质的边界约束条件。
接下来，根据小单元的形状函数和基函数，可以建立刚度矩阵和荷载向量。
最后，通过求解线性方程组，可以得到整个连续介质的解。
有限元法具有广泛的应用范围，在工程领域中可以用于求解各种静力学、动力学、热力学、流体力学等问题。
它不仅能够提供精确的解，同时也具有较高的计算效率和灵活性。
因此，有限元法已经成为工程计算领域中一种非常重要的数值分析方法。
01 有限元分析的基本原理
有限元分析的基本流程
有限元分析的基本流程
(5) 求支反力
方程组的最后一行方程，可求出支反力
(6) 求各个单元的其它力学量(应变、应力)
有限元分析的基本流程
对象离散→单元描述→整体组装→问题求解
基本流程的示意图
有限元分析的特点
• 有限元分析最大特点就是标准化和规范化
这种特点使得大规模的分析和计算成为可能， 当采用了现代化计算机以及所编制的软件作为 实现平台时，则复杂工程问题的大规模分析就 变为了现实
有限元法的基本思想
• 有限单元法(finite element method)是求解 数学物理问题(复杂微分方程)的一种数值计 算近似方法。它发源于固体力学，以后迅 速扩展到流体力学、传热学、电磁学、声 学等其它物理领域。 • 有限元法的基本思想可以归结为：将连续 系统分割成有限个分区或单元，对每个单 元提出一个近似解，再将所有单元按标准 方法组合成一个与原有系统近似的系统。
• 基于节点位移的求解方法 平衡关系
矩阵形式
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于位移求解的通用形式 平衡关系
分解
一维阶梯杆结构问题的求解
• 基于位移求解的通用形式 左端的第1项实质为
左端的第2项实质为
一维阶梯杆结构问题的求解
• 材料力学求解
求解的基本力学变量是力(或应力) 静定问题，可直接求出 静不定问题，则需要变形协调方程(一定技巧)
• Thomas J. R. Hughes, The Finite Element Method:
Dover Publications, 2000
Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis,
有限元计算原理与方法
有限元计算原理与方法有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。
它是目前工程界最常用的一种数值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。
有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。
每个有限元内只需要考虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。
有限元法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。
有限元法的基本步骤包括以下几个方面：1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几何单元，如线段、三角形、四边形单元等。
2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。
有限元网格的划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。
3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。
4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质，建立单元刚度矩阵和载荷向量。
单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。
5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩阵和载荷向量。
6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通常为位移或载荷。
7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的位移和应力等解。
8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行分析和可视化显示。
有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。
它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。
随着计算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的应用将会更加广泛和深入。
《有限元数学原理》PPT课件
d 2 v dx2
求解方程 得EId dx4v4 p(x)0
v (x ) E 1 I 2 p 4 0x 4 c 3 x 3 c 2 x 2 c 1 x 1
其中c1,c2,c3是待定系数。最后可 得
v (x )p 0 x 4 2 lx 3 l3 x 2 4 E I
讨论
U 1 2
在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义 变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际 应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用 近似计算方法。
对于泛函
n
yx ii
1）假定
i1
yx
0
2）将上式代入泛函 ，计算变分 。
i
3）由极值条件，算出待y定x常n数ii ，使之满足基本微分方程。
U
d x
0 xx
应变余能
U
d x
0x x
U W 0
有限元上的应用（位移法）： 假设单元位移模式 单元刚度方程
间接解法——变分原理：
把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值） 的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立 了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理 的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果 解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理， 或称为完全的广义变分原理。
ijij
d
1 2
l
0xxdAdx
应变能
1 2
l
0
EyvyvdAdx
1 2
l EIZ v2 dx
外力功
Wlp(x)v(x)dx
势能 U W 1 2 lE I Z v 2 d x lp ( x ) v ( x ) d x
有限元分析步骤-单元分析