第23届华罗庚金杯数学邀请赛决赛初一组练习题
七年级数学竞赛 第8讲 设而不求
第8讲设而不求知能概述：字母示数是代数的一个重要特征，是由算术跨越到代数的桥梁，是数学发展史上的一个飞跃。
字母示数具有简明性、一般性，在求代数式的值、形成公式、解应用题等方面有广泛的应用。
为了沟通数量间的关系，或将有些不明朗的关系表示出来，我们需要设元，而所设的字母不能或不需要求出，这就是设而不求的基本涵义。
问题解决：例1．一个摩托车手在前13旅程中速度是40千米/时，在后23旅程中速度是50千米/时，则在他的全程中平均速度为。
解题思路：平均速度=总路程总时间，题设中并未给出总路程，需设出总路程。
(江苏省竞賽题)例2．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）。
A．1627384950 B．2345678910 C．3579111300 D．4692581470(江苏省竞赛题)解题思路：设自然数从a+1开始，这100个连续自然数的和为(a+1)+(a+2) +…+(a+100)=100a+5050，从揭示和的特征入手。
例3．在一次数学竞赛中，组委会决定用NS公司赞助的款购买一批奖品，若以1台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
问这笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少?(湖北省黄冈市竞赛题)解题思路：设每台计算器x元，每本《数学竞赛讲座》书y元，利用赞助款不变，寻找x，y的关系。
例4．将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是多少?(世界数学团体锦标賽试题)解题思路：设已知的数依次是a1，a2，a3，a4，…，a50，…，这若干个自然数排列的规律是什么?怎样求出a50?例5．如图，已知四边形 ABCD 各边的中点E ，F ，M ，N 的连线EM ，FN 交于O ，分四边形ABCD 的面积三块为6，8，10，求第四块的面积。
第二十二届“华杯赛”决赛初一组试题.pdf
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（初中一年级组）（时间: 2017 年 3 月11 日10:00～11:30）一、填空题（每小题10 分, 共80 分）1.数轴上10个点所表示的数分别为a1, a2, , a10, 且当i 为奇数时,a i +1-ai=2 , 当i 为偶数时, ai +1-ai=1, 那么a10-a6= ．2.如右图, △ABC, △AEF 和△BDF 均为正三角形, 且△ABC, △AEF 的边长分别为3和4, 则线段DF 长度的最大值等于．3.如下的代数和-1⨯2016+2⨯2015- + (-1)m m ⨯ (2016-m +1) + +1010⨯1007的个位数字是, 其中m 是正整数.4.已知2015<x <2016. 设[x]表示不大于x 的最大整数, 定义{x}=x -[x].如果{x}⨯[x]是整数, 则满足条件的所有x 的和等于.5.设x, y, z 是自然数, 则满足x2+y2+z2+xy =36的x, y, z 有组.6.设p , q , 3p-1,qq -1都是正整数, 则p2+q2的最大值等于.p7.右图是A, B, C, D, E 五个防区和连接这些防区的10条公路的示意图. 已知每一个防区驻有一支部队. 现在这五支部队都要换防, 且换防时, 每一支部队只能经过一条公路, 换防后每一个防区仍然只驻有一支部队, 则共有种不同的换防方式．8.下面两串单项式各有2017个单项式:(1)(2) xy2, x4y5, x7y8, , x3n-2y3n -1, , x6046y6047, x6049y6050; x2y3, x7y8, x12y13, , x5m-3y5m-2, , x10077y10078, x10082y10083,其中n, m 为正整数, 则这两串单项式中共有对同类项.二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）9.是否存在长方体, 其十二条棱的长度之和、体积、表面积的数值均相等？如果存在, 请给出一个例子; 如果不存在, 请说明理由.10.如右图, 已知正方形ABDF 的边长为6 厘米, △EBC 的面积为6 平方厘米, 点C 在线段FD 的延长线上, 点E 为线段BD 和线段AC 的交点. 求线段DC 的长度.11.如右图, 先将一个菱形纸片沿对角线AC 折叠,使顶点B 和D 重合. 再沿过A, B (D) 和C 其中一点的直线剪开折叠后的纸片, 然后将纸片展开. 这些纸片中菱形最多有几个? 请说明理由.12.证明: 任意5个整数中, 至少有两个整数的平方差是7的倍数.三、解答下列各题（每小题15 分，共30 分，要求写出详细过程）13.直线a 平行于直线b, a 上有10个点A1, A2, , A10, b 上有11个点B1, B2, ,B 11, 用线段连接Ai和Bj( i=1, ,10 , j=1, ,11), 所得到的图形中一条边在a 上或者在b 上的三角形有多少个？14.已知关于x, y 的方程x2-y2+k求k 的最大值.=2017有且只有六组正整数解, 且x ≥y ,。
第二十三届初一全国数学邀请赛培训题
第二十三届(2012年)“希望杯”全国数学邀请赛培训题“希望杯”命题委员会初中一年级一.选择题(以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的。
请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内)1. 计算：1-(-2)2+2)1(22-⨯-=( ) A .-2 B .-1 C .-4 D .42. 某堰塞湖的水位是730.13米，若以“千米”为计量单位，则该水位的科学记数法表示是( )A .7.3013×102B .0.073013×102C .7.3013×10-1D .0.73013×10-13. 如图，半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内。
已知阴影部分面积是小圆面积的3倍。
则Rr =( ) A .107 B .31 C .2011 D .21 4. 若有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示：则下列各式中正确的是()A .-a >bB .ba 11> C .a +b >1 D .1>-a b 5. 已知分数a 的分母是2012，分子是整数，为使|53-a |的数值最小，a 的 分子应当是( )A .1206B .1207C .1205D .12086. 若一个绝对值不等于0或1的有理数的相反数的负倒数是a ，则这个有理数是( )A .a1 B .-a C .a 1- D .a7. 计算：2012+2011-2010-2009+2008+2007-2006-2005+…+4+3-2-1=()A .2011B .2012C .0D .18. Ifa <-2，-1<b <0，H =-a -b ，O =a 2+b 2，P =-a +b 2，andE =a 2-b ，thenthemagnituderelationofthefournumberH ，O ，P ，andEis (A .H <O <P <EB .P <H <O <EC .H <E <P <OD .O <P <E <H)(英汉小词典：magnituderelation ：大小关系)9. 定义符号“☆”的意义是：a ☆b =(a +1)°b ，如果(x ☆2)☆3=27，那么x 的值等于( )A .1B .2C .3D .410. 如图所示，其中∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G=()A .180°B .225°C .360°D .120°11. 已知a ，b 均为非零有理数，5a 与7b 互为相反数，那么ba =( ) A .75 B .-75 C .57 D .-57 12. 下面四句关于约数和倍数的话中正确的是(A .正整数a 和b 的最小公倍数一定小于abB .正整数a 和b 的最大公约数一定不大于aC .正整数a 和b 的最小公倍数一定不小于abD .正整数a 和b 的最大公约数一定大于a) 13. 如图，△ABE 是边长为21的正三角形。
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(初一组)参考答案
第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C参考答案(初一组一、填空(每题l0分，共80分题号 1 2 3 4 5 6 7 8③答案二、解答下列各题(每题l0分，共40分，要求写出简要过程9．答案：26．解答：因为和是直角三角形且AC=2MC、BC=2NC，我们有：，，等式两边对应相加，结合也是直角三角形，得到：，所以：，．评分参考：1列出前两个等式得4分；2列出第三个等式得4分；3给出正确结果得2分．10．答案：每小时120千米．解答：设甲和乙车速度分别是每小时和千米，甲和乙到达C地的时间分别是小时和小时．则：，化简得：，，．所以甲车速度是每小时l20千米．评分参考：1列出一个方程给2分，共6分；2给出正确结果得4分．11．答案：．解答：设有负数根，则，进而．要保证为负数，必须满足．设有正数根，则，进而．要保证为正数，必须满足．综合上面的讨论，要保证只有负数根，必须满足．评分参考：1讨论清楚有正数根的条件得4分；2讨论清楚有负数根的条件得4分；3给出正确结果得2分．12．答案：6解答：用A、B、C、D表示四种交通工具，分情况进行讨论．1如果去(或返回时，大家选择的工具没有相同的，则最多4位同学．2如果去(或返回时，恰有两位选择的工具相同，其他几位都与别人不同，则最多有5位同学．3如果去(或返回时，恰有三位选择的工具相同，其他几位都与别人不同，则最多有6位同学．4如果去(或返回时，有四位或更多选择的工具相同，则最多有4位同学．否则，假设有5位或更多同学．不妨设前四位选择了A，则他们返回(或去时选的工具一定互不相同，分别是A、B、C、D．返回(或去时，前四位之外的任何一位选择的工具一定与前四位中的某位相同．在这两位和前四位中的另外一位三人中，去(或返回时以及返回(或去时都至少有两位选择了相同交通工具．矛盾．上面的讨论说明，至多有6位同学．下表说明6位同学可以满足题设条件．1 2 3 4 5 6去 A A A B C D回 B C D A A A评分参考：1给出正确答案得2分；2说明6位同学可以得4分．3说明多于6人不可得4分．三、解答下列各题(每题l5分，共30分，要求写出详细过程13．解答：若被乘数“奇偶偶”<200，那么，偶奇偶偶=奇偶偶×偶<188×8=1504<偶奇偶偶．矛盾．所以，被乘数不小于300．被乘数的百位与乘数的十位的乘积应该小于8，否则加一个非0偶数就应该进位了，最后的结果应该是5位数，与竖式不符．所以，被乘数的百位是3，乘数的十位是2．因此：3偶偶×2=偶奇偶，被乘数的个位数只能6或8，否则不能进位；而被乘数的十位数只能是0，2或4，否则就要进位．因此，被乘数只可能是306，308，326，328，346，348．这些数乘以4或6都得不到“偶奇偶偶”，而348乘以8时，得“偶奇偶偶”，所以，最后得到右式．评分参考：1给出正确答案得8分；2给出理由得7分．14．答案：．解答1．如图1，连接AC．则三角形ACD的面积为，易知，，同法，连接BD，求得：……①如图2，连接EF，则ADFE是个梯形，设，则因为：，所以：……②即：．也就是：，所以：．即：．评分参考：1画出辅助线得2分；2讨论到①式得4分；3讨论到②式得6分；4得到正确答案得3分．解答2．如图3，记，，，．∵且，∴，∵，∴，求得：，∴．∴．。
第23届小高组答案
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题·练习用参考答案（小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9. 【答案】：2018.n 2 + 3 =411解：因为 n 2-1 1 += 1 + 2( n 2-1n -1 -)(2≤n ≤2017) ，所以 n + 1 x = 2016 + 2(1 - 1 + 1 - 1 + + 1 - 1)3 24 2016 2018 = 2016 + 2(1 + 1 - 1 - 1)= 2019 -2 2017 20182 ⨯ 4035 2017 ⨯ 2018= 2019 -40352035153，所以[x ] = 201810. 【答案】35，7【解答】以该七边形任意一顶点为端点的对角线上共有 4+6+6+4=20 个交点， 每个交点均由 2 条对角线相交所得，即由 4 个顶点确定，故共有交点20⨯ 7÷ 4 = 35个．已在该图中出现的，以这些交点为顶点的每一个三角形，应由 3 条对角线相交围成，即由 6 个顶点确定．7 个顶点任选 6 个，共 7 种方法，故该图中以这些 交点为顶点的三角形共 7 个．11. 【答案】可以.题号1 2 345678答案927 125608ECADB1009511356770【解答】证法 1：由于S = abc + bca + cab = 111⨯ (a + b + c ) = 3⨯ 37 ⨯ (a + b + c ) ，由已知27 | abc ， 得9| abc ，故9 | (a + b + c ) ，因此27 | S ，所以27 | bca + cab .证法2：考虑_____a -9 b = 9 c - 9 b 0 c -，由已知27 | abc ，得3| abc ，故3 | (a + b + c ) ，因此27 | 9(a + b + c ) ，所以27 | abc - bca ，可得27 | bca .同理27 | cab .证得27 | bca + cab . 12. 【答案】90︒【解答】易知 DE // GF , HK = 7 厘米， DEFG 是个梯形，它的面积= 1(7 + 19)⨯ 7 = 91 （平方厘米），2因此，三角形 ABC 的面积=131- 91 = 40 （平方厘米）.作 AP ⊥ BC 于 P ，则三角形 ABC 的面积=40= 1 AP ⨯ BC = 1 AP ⨯10 ， 2 2 所以 AP = 8 厘米=AB ，因此 P 点与 B 点重合，因此 AB ⊥ BC , 即∠ABC = 90 .三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）13. 【答案】n = 520 ， m = 745 ，A 能不 2 和 3 整除。
第23届华杯赛小学中年级组初赛试题
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学中年级组）（时间：2017年12月9日10：00—11：00）一、选择题（每小题10分，共60分。
以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内。
）1、A、B均为小于1的小数，算式A×B＋0.1的结果是（）。
A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．无法确定和1的大小2、小明把6个数分别写在三张卡片的正面和反面，每个面上写一个数，每张卡片上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面上写着28、40、49，反面上的数都只能被1和它自己整除，那么，反面上的三个数的平均数是（）。
A．11 B．12 C．39 D．403、连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方块共有（）种。
A．12 B．17 C．22 D．104、在6×6网格的所有方格中放入围棋子，每个方格放1枚棋子，要求每行中的白色棋子的数目互不相等，每列中白色棋子的数目都相等，那么这个6×6网格中共有（）枚黑色棋子。
A．18 B．14 C．12 D．105、数字和等于218的最小自然数是个n位数，则n＝（）。
A．22 B．23 C．24 D．256、Ⅰ型和Ⅱ型电子玩具车各一辆，沿相同的两个圆形轨道跑步，Ⅰ型每5分钟跑1圈，Ⅱ型每3分钟跑1圈。
某同一时刻，Ⅰ型和Ⅱ型恰好都开始跑第19圈，则Ⅰ型比Ⅱ型提前（）分钟开始跑动。
A．32 B．36 C．38 D．54二、填空题（每小题10分，共40分）7、下图是某市未来十日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100为优良，从图上看，连续两天优良的是，号。
8、如上图所示，一个正方形纸片ABCD沿对角线BD剪成两个三角形，第一步操作，将三角形ABD竖直向下平移了3厘米至三角形EFG；第二步操作，将三角形EFG竖直向下再平移5厘米至三角形HIJ。
华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷初一组带答案
第二十一届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（初一组）一、选择题（每小题10 分，共60 分，以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．代数和-1⨯2008+2⨯2007-3⨯2006+4⨯2005+L -1003⨯1006+1004⨯1005的个位数字是（）A.7B.8C.9D.0【答案】B【解析】只需考察每个组合的个位数的乘积，发现这2015 个的组合中，个位数的乘积每十个一循环，观察这个循环中的乘积和：-1⨯ 8+2 ⨯ 7 -3⨯ 6+4 ⨯ 5 -5⨯ 4 + 6 ⨯ 3 - 7 ⨯ 2 +8⨯1 - 9 ⨯ 0 + 0 ⨯ 9=0 ，因此每个循环的个位数和为0，观察最后循环外的几个数的乘积和：-1⨯ 8+2 ⨯ 7 -3⨯ 6+4 ⨯ 5=8 。
因此最后得到的个位数为82．已知-1<a<b<0，则下列不等式成立的是（）A. a<a3 <ab2 <abB. a<ab2 <ab<a3C. a<ab<ab2 <a3D. a3<ab2 <a<ab【答案】A【解析】a,a3 ,ab2 ,ab 中易知只有ab >0，故ab 最大，排除B,C；另外由于-1 <a < 0 得a2 < 1 ，即a <a3 ，排除D，所以选A3．在数轴上，点A 和点B 分别表示数a 和b ，且在原点O 的两则，若a -b =2016 ，AO =2BO ，则a +b =（）A.6048B. -6048C. ±672D.0【答案】C【解析】由a -b = 2016 且A,B 在O 点两侧以及a= 2 b 知a, b的解有两种可能性：i. a >0,b<0则可解得a =2⨯ 2016 = 1344 ，b =-1⨯ 2016 =-672 ，a +b =672 3 34．如右图所示，三角形ABC 是直角三角形，∠ABC =60o ，若在直线AC 或BC 上取一点P ，使得三角形PAB 为等腰三角形，那么这样的点P 的个数为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】考察不同的等腰三角形的顶角：若P 为顶角，则P 必位于AB 的中垂线上，而AB 中垂线与直线AC,AB 的交点有两个，故这样的等腰三角形有2 个；若A 为顶角，则AB 为其中一条腰，将线段AB 绕A 点旋转，与直线AC,AB 的交点有三个，但是由于∠ABC = 60︒，此旋转后的直线与BC 延长线的交点与以P 为顶点的一个三角形重合，故这样不同的等腰三角形有2 个；若B 为顶角，同样AB 为其中一条腰，将线段AB 绕B 点旋转，与直线AC,AB 的交点同样有三个，同样与P 为顶点的一个三角形重合，故不同的三角形只有2 个；综上这样的点P 的个数为6 个。
第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则[]+[]+[]+[]+[]+[]的值为．2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、10和9，则原来给定的4个整数的和为．3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时．5．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是．6．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20厘米，则MH的长度为厘米．7．（10分）一列数a1、a2…，a n…，记S（a i）为a i的所有数字之和，如S （22）＝2+2＝4，若a1＝2017，a2＝22，a n＝S（a n﹣1）+S（a n﹣2），那么a2017等于．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有种．二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n 有多少个不同的数值？10．（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？11．（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．12．（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少．三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月I2日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？14．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分，共80分）1．（10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]＝3，则[]+[]+[]+[]+[]+[]的值为6048 ．【分析】可以先将原式化简，将每项化成带分数的形式，然后取整数部分，即可得出和．【解答】解：根据分析，原式为：[]+[]+[]+[]+[]+[]＝[]+[]+[]+[]+[]+[]＝550+733+916+1100+1283+1466＝6048．故答案是6048．2．（10分）从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值．然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8、12、10和9，则原来给定的4个整数的和为20 ．【分析】根据题意，设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，则+d ＝8（1），+c＝12（2），+b＝10（3），+a＝9（4），据此求出原来给定的4个整数的和是多少即可．【解答】解：设原来给定的4个整数分别是a、b、c、d，+d＝8（1），+c＝12（2），+b＝10（3），+a＝9（4），（1）+（2）+（3）+（4），可得2（a+b+c+d）＝8+12+10+9，所以a+b+c+d＝20，所以原来给定的4个整数的和为20．故答案为：20．3．（10分）在3×3的网格中（每个格子是个1×1的正方形）放两枚相同的棋子，每个格子中最多放一枚棋子，共有10 种不同的摆放方法．（如果两种放法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）．【分析】可以分情况讨论，四个顶点的位值一样，正中间的一个方格一个位值，剩下的四个方格位值相同，故可以分次三种情况分别计算不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，份三种情况：①当正中间即E处放一颗棋子，然后另一颗棋子放在外围任意一个位置，除去对称性因素，有2种不同的摆放方法，即AE、BE；②当两颗棋子都不在正中间E处时，而其中有一颗在顶点处时，有4种不同摆法，即AB、AF、AH、AD；③当两颗棋子都在顶点处时，有2种不同摆法，即AC、AI；④当两颗棋子都在除顶点和正中间之外的4个方格中，有2种不同摆法，即BD、BH．综上，共有：2+4+2+2＝10种不同摆放方法．4．（10分）甲从A地出发去找乙，走了80千米后到达B地，此时，乙已于半小时前离开B地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来的速度的2倍去C地．又经过了2小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是64 千米/小时．【分析】首先知道甲在2小时的路程是80千米，那么甲现在的速度和后来的速度都是可求的，再根据甲的时间和速度可求从B到C的路程，用路程除以乙的时间即是速度．【解答】解：甲在2小时走80千米，甲速为：80÷2＝40（千米/时）；甲速度加速变成40×2＝80（千米/时）；甲再经过2小时路程为：2×80＝160（千米/时）乙路程共是160千米，时间是2.5小时，乙速为：160÷2.5＝64（千米/时）故答案为：645．（10分）某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组．已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的，是只参加朗诵小组人数的，那么书法小组与朗诵小组的人数比是3：4 ．【分析】把两个小组都参加的人数看作单位“1”，则只参加书法小组人数的分率是1÷＝，只参加朗诵小组人数的分率是1÷＝5，则参加书法小组人数的分率是1+＝，参加朗诵小组人数的分率是1+5＝6，然后根据比的意义解答即可．【解答】解：把两个小组都参加的人数看作单位“1”，（1+1÷）：（1+1÷）＝：6＝3：4答：书法小组与朗诵小组的人数比是3：4．故答案为：3：4．6．（10分）如图，△ABC的面积为100平方厘米，△ABD的面积为72平方厘米．M为CD边的中点，∠MHB＝90°，已知AB＝20厘米，则MH的长度为8.6 厘米．【分析】可以利用面积公式分别求出△ABC、△ABD的高，而已知AB＝20厘米，再利用MH的中位线性质求出MH的长度．【解答】解：根据分析，过D，C分别作DE⊥AB交AB于E，CF⊥AB交AB 于F，如图：△ABD的面积＝72＝，∴DE＝7.2厘米，△ABC的面积＝100＝，∴CF＝10厘米；又∵MH＝＝×（7.2+10）＝8.6厘米．故答案是：8.6．7．（10分）一列数a1、a2…，a n…，记S（a i）为a i的所有数字之和，如S （22）＝2+2＝4，若a1＝2017，a2＝22，a n＝S（a n﹣1）+S（a n﹣2），那么a2017等于10 ．【分析】首先要分析清楚S（a i）的含义，即a i是一个自然数，S（a i）表示a i的数字和，再根据a n的递推式列出数据并找出规律．【解答】解：S（a i）表示自然数a i的数字和，又a n＝S（a n﹣1）+S（a n﹣2），在下表中列出n＝1，2，3，4，…时的a n和S（a n），n a n S（a n）1 2017 102 22 43 14 54 9 95 14 56 14 57 10 18 6 69 7 710 13 411 11 212 6 613 8 814 14 515 13 416 9 917 13 418 13 419 8 820 12 321 11 222 5 523 7 724 12 325 10 126 4 427 5 528 9 929 14 530 14 531 10 132 6 6 由上表可以得出：a4＝a28＝9，S（a4）＝S（a28）＝9；a5＝a29＝14，S（a5）＝S（a29）＝5；…可以得到规律：当i≥4时，a i＝a i+24，S（a i）＝S（a i+24），2017﹣3＝2014，2014÷24＝83…22，所以：a2017＝a3+22＝a25＝10．8．（10分）如图，六边形的六个顶点分别标志为A，B，C，D，E，F．开始的时候“华罗庚金杯赛”六个汉字分别位于A，B，C，D，E，F顶点处．将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同的摆放方法共有 4 种．【分析】显然，只有两种情况，分别讨论，相邻两个字互换，以及顺时针移动一个位值，或逆时针移动一个位值，最后可以求得总的不同的摆放方法．【解答】解：根据分析，分两类情况：①按顺序移动一个位置，顺时针移动一个位置，有1种不同摆放方法，逆时针移动一个位置，有1种不同摆放方法；②相邻两个位置互换，则共有：2种不同的摆放方法．综上，共有：1+1+2＝4种不同摆放方法．故答案是：4．二、解答题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n 有多少个不同的数值？【分析】按题意，可以分类讨论，最后确定n的取值．【解答】解：根据分析，n＝0，即5条直线互相平行；n＝1，即五条直线交于一点；n＝2，3，不存在；n＝4，5，6，7，8，9，10的情况分别如下图：n的取值共有9种不同的数，故答案是：9．10．（10分）某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐．每名学生至少选择一种，也可以多选．统计结果显示：70%的学生选择苹果，40%的学生选择了香蕉．30%的学生选了梨，那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？【分析】将所有学生分成四种，即三种水果都选的人数a、同时选苹果和香蕉的人数b、同时选梨和苹果的人数c、同时选香蕉和梨的人数d，再根据选每种水果的人数列关系式，2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40，再利用各个取值范围求出三种水果都选的人数最大值．【解答】解：根据分析，设学生总数为100人，故70人的学生选择苹果，40人的学生选择了香蕉．30人的学生选了梨，三种水果都选的学生人数有a人，同时选了苹果和香蕉的人数有b人，同时选了梨和苹果的人数有c人，同时选了香蕉和梨的人数有d人，则：2a+b+c+d＝70+40+30﹣100＝40⇒a ＝，又∵b+c+d≥0，∴a≤＝20，故当b+c+d＝0时，a取最大值20，即占总数的20%故答案是20%．11．（10分）箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017克，求两种珠子的数量和所有可能的值．【分析】按题意，可以设每个重量的数量为未知数，19克的珠子有x个，17克的珠子有y个，再列出关系式，根据正整数的范围逐步取值，最后找出符合题意的值．【解答】解：根据分析，设有x个19克的珠子，y个17克的珠子，则有：19x+17y＝2017，又∵x，y均为正整数∴1≤x≤＜106，1≤y≤＜118；19x+17y＝2017⇒x＝，由余数定理，要使x为正整数，2017﹣17y 必须能被19整除，即余数为0，而2017被9除余数为3，故17y被19除余数也为3，在所有被19除余数为3既小于2017又能被17整除的数只有：①136，即17y＝136⇒y＝8，x＝＝99，x+y＝99+8＝107；②459，即17y＝459⇒y＝27，x＝＝82，x+y＝82+27＝109；③782，即17y＝782⇒y＝46，x＝＝65，x+y＝65+46＝111；④1105，即17y＝1105⇒y＝65，x＝＝48，x+y＝48+65＝113；⑤1428，即17y＝1428⇒y＝84，x＝＝31，x+y＝31+84＝115；⑥1751，即17y＝1751⇒y＝103，x＝＝14，x+y＝14+103＝117．综上，两种珠子的数量和即x+y所有可能的值是：107、109、111、113、115、117．故答案是：107、109、111、113、115、117．12．（10分）使不为最简分数的三位数n之和等于多少．【分析】不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，根据辗转相除原理有1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5即＝1≠a|7，则a只能等于7，我们可以用5n+1尝试来锁定答案，一次尝试可知5n+1＝1或6或11或16或21，因为21＝3×7，所以5n+1＝21时7|5n+1成立，此时n为最小值，且为4，其它值即可顺次找出，只需要将4递加7即可，题中让我们求的是符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，此后利用等差数列求和即可．【解答】解：不为最简，表明（5n+1，3n+2）＝a≠1，根据辗转相除原理有1≠a|（5n+1）×3﹣（3n+2）×5即＝1≠a|7，则a只能等于7，一次尝试可知5n+1＝1或6或11或16或21，因为21＝3×7，所以5n+1＝21时7|5n+1成立，此时n为最小值，且为4，将4递加7即可，符合条件的三位数，那么最小为102，最大为998，102+109+116+…+998＝（102+998）×129÷2＝70950答：使不为最简分数的三位数n之和等于70950．三、解答题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）班上共有60位同学，生日记为某月某号，问每个同学两个同样的问题：班上有几个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月I2日的号数相同的）．结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同字生日相同？【分析】同月份和同号数的回答取遍0到14，即同月份和同号数的人数取遍1到15，进而分析求解．【解答】解：回答中包含了由0到14的所有整数，也就是说每种回答包含的学生数量是1到15．由于1+2+3+…+15＝120＝2×60，因此不论是回答同月，还是回答同号，同月份和同号数的人数的数字不会重复（比如说，某一月份生日的人有3个，就不会出现生日号数为某一号的人数有3个），因此统计同月份或同号数的人数时，1～15这15个数字每个数字都只出现一次．要使同月同日的人尽量少，则可以使月份情况或者号数情况尽量分散，例如可以将60拆分成：60＝1+2+3+4+5+7+8+9+10+11这一种分散情况，不妨设这是同月份的人数，和另一种情况：60＝6+12+13+14+15，这是同号数的人数，分析最大数字15，将15个同号数的人，分配到上面10个月份中，可知，同月同日最少会有两人．所以：该班生日相同的人数至少有2人．14．（15分）将1至9填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的格子所填的数字最大是多少？【分析】按题意，1至9的数字中，填入4和5之外，只剩下7个数，可以先求出7个数的和，即为36，中间的x只可能是3，6，9，故一一检验，即可得知x的值．【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9＝36，填入的x是其它五个数的因数，故x只能是3、6、9，若x＝9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍；x＝6时，如图所示，易知x＝6符合题意．故答案是：6．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 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第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题及参考答案(初一组)
第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案（初一组）一、 填空题（每题10分，如果一道题中有两个答案，则每个5分）二、 解答下列各题，要求写出简要过程（每题１０分）７、解答：.13922=+n m①解方程⎩⎨⎧-=+-=+965543y x y x 得到ｘ=－３，ｙ=１；②代入原方程中后两个方程，得到⎩⎨⎧=+=-3568n m n m 再解上面关于ｍ和ｎ的方程，得到.,136139-==n m ③计算.13916911722==+n m８、解答：李家养牛300头，王家养牛221头。
算术方法：（见小学解答） 代数解法：① 李家的牛群中有67%是母牛，67是质数，可以设李家养牛头数为100x ，王家的牛群中仅有131是母牛，13是质数，可以设王家养牛数是13y ，列出方程100x+13y=521。
…………………………（*）② x 和y 是整数，分别取x=1，2，3，4，5。
可以得到x=3，y=13。
或者解同余方程（*）。
（*）式两边除13，)13(14Mod x ≡-…………………………（**）x=3是（**）式的解，得到y=17。
9、解答：71=∆∆的面积的面积ABC G H I ① 如图(A)，连接BG ，用Ｓ记△ABC 的面积，X 和Y 分别记第九届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题参考答案 （初一组）△DCG 和△BGF 的面积。
② 由已知条件：,331S Y X =+ （1） S Y X 3232=+ 解方程组（１），得到.,214211S Y S X ==同样方法可以得到△EAH 的面积＝△FBI 的面积=.211S③ 从△ADC 的面积＝△BEA ＝,31S ，得到， 四边形GCEH 的面积＝四边形HAFI 的面积＝（.)521S S =-所以，我们得到 △GHI 的面积＝,)(71211211032S S =-- 即71=∆∆的面积的面积ABC GHI10、解答：12⨯[34⨯5－6÷（7－８）－９]＝12⨯167=2004和12⨯[34×5－6⨯（7－８）－９]＝12⨯167=200411、解答：42圈。
2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组)(1)
2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）一、填空题（每小题10 分，共 80 分）1．（ 10 分）在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这 2017 个数中有个三位数．2．（ 10 分）如图（ 1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中x 代表的数字为．3 ．（ 10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[]+[]+[]+[]+[]+[] 等于．4．（ 10 分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍．如果将白球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的倍．5．（ 10 分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有个．6．（ 10 分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为40 平方厘米，则长方形的面积是平方厘米．7．（10 分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是500 米，用了 7 分钟；从商店到游乐场以80 米 /分钟的速度要走8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米，走的速度是60 米 / 分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是米/分钟．8．（ 10 分）亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．二、简答题（每小题15 分，共 60 分）9．（ 15 分）如图所示，两个边长为 6 的正方形ABFE 和 CDEF 拼成长方形ABCD ．G 为 DE 的中点．连接BG 交 EF 于 H ．求图中五边形CDGHF 的面积．10．（ 15 分）乌龟和兔子进行1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10 米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？11．（15 分）如图，一个边长为 3 的正六边形被 3 组平行于其边的直线分割成边长为 1 的 54个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？12．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母 x 的格子所填的数字最大是多少？2017 年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10 分，共 80 分）1．（ 10 分）在 2017 个自然数中至少有一个两位数，而且其中任意两个数至少有一个三位数，则这 2017 个数中有2016 个三位数．【分析】按题意， 2017 个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于2，若有 2 个或 2 个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有 1 个两位数，不难求得三位数的个数．【解答】解：根据分析， 2017个自然数中至少有一个两位数，而任意两个数至少有一个三位数，则可知，两位数的个数不能大于2，若有 2 个或 2 个以上的两位数，则取出的两个有可能都是两位数，与题意不符，故只能有 1 个两位数，而三位数的个数即为：2017﹣ 1＝ 2016 个．故答案是： 2016．2．（ 10 分）如图（ 1）所示，一个棋子从 A 到 B 只能沿着横平竖直的路线在网格中行走，给定棋子的一条路线，将棋子在某一列中经过的格子数标在该列的上方，在某一行中经过的格子数标在该行的左方．如果右图（2）中网格上方和左方的数字也是根据以上规则确定的，那么图中 x 代表的数字为2．【分析】首先分析题意，然后枚举出一种符合题意的画法即可．【解答】解：依题意可知：路线如图所示：x＝ 2 满足条件．故答案为： 23 ．（ 10分）用[x]表示不超过x的最大整数，例如[10.2]＝10．则[]+[]+[]+[]+[]+[] 等于6048．【分析】本题考察高斯取整．观察式子可知首位两项，[] 内的数相加等于2017，又因为当x 不是整数时， [x]+[2017 ﹣ x] ＝ 2016，故两两相加，可以得到答案．【解答】解：因为2017 和11 是质数，所以[] 内的数据都不是整数，则 []+[]＝ 2017﹣ 1＝ 2016，同理可得 []+[] ＝ 2016，[]+[]＝ 2016，所以原式＝ 2016+2016+2016 ＝ 6048．故填： 60484．（ 10 分）盒子里有一些黑球和白球，如果将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍．如果将白球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 4 倍．【分析】将黑球数量变成原来的 5 倍，总球数将会变成原来的 2 倍，黑球数增加 4 倍，总球数增加 1 倍，也就是黑球个数的 4 倍就是总球数，那么白球的个数是黑球个数的4﹣ 1＝3 倍；把黑球数看成 1 份，白球数就是 5 份，总球数就是 4 份；再根据白球数变成原来的 5 倍，也就是增加 4 倍，即增加3× 4＝ 12 份，这总球数就是12+4＝16 份，用 16份除以原来的 4 份，即可求出总球数变成原来的几倍．【解答】解：把黑球看成 1 份，则白球是 3 份，总球数是 4 份；当白球变成原来的 5 倍，就是增加 4 倍，即增加 3× 4＝12 份（12+4）÷ 4＝ 4可以画图如下：答：总球数将会变成原来的 4 倍．故答案为：4．5．（ 10 分）能被自己的数字之和整除的两位数中，奇数共有 5 个．【分析】显然，奇数只能被奇数整除，故这个奇数的数字之和一定为奇数，因这个两位数个位上为奇数，故十位上只能是偶数，从而得知此奇数十位上只能是1、3、 5、 7、 9，而且此奇数不能是质数，故要排除掉质数，从而最后确定奇数的个数．【解答】解：根据分析，符合题意的奇数十位上只能是：2、4、6、8，再排除掉质数后，只剩下： 21、 25、 27、 45、 49、 63、65、 69、81、 85、 87，一一检验，排除掉25、49、65、 69、 85、 87，故符合题意的奇数为： 21、 27、 45、63、 81，共 5 个．故答案是：5．6．（ 10 分）如图，将一个正方形硬纸片的四个角分别剪去一个等腰直角三角形，最后剩下一个长方形．正方形边长和三角形直角边长都是整数．若剪去部分的总面积为40 平方厘米，则长方形的面积是24平方厘米．【分析】因剪去的两个大等腰直角三角形可组成一个正方形，两个小等腰直角三角形可组成一个小正方形，可设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b，则根据题意可知22＝ 40，又因正方形边长和三角形直角边长都是整数，可根据22a+b 2 +6＝ 40知大等腰三角形的直角边和小等腰直角三角形的直角边是多少，进而可求出原正方形的边长，再用原正方形的面积减去40 可求出长方形的面积是多少，据此解答．【解答】解；设大等腰三角形的直角边为a，小等腰三角形的直角边为b22a +b ＝ 40222 +6＝ 40可知大等腰直角三角形的直角边是 6 厘米，小等腰直角三角形的直角边是 2 厘米原正方形的面积：（6+2 ）×（ 6+2）＝8×8＝ 64（平方厘米）64﹣ 40＝ 24（平方厘米）答：长方形的面积是24 平方厘米．故答案为： 24．7．（10 分）小龙从家到学校的路上经过一个商店和一个游乐场．从家到商店距离是500 米，用了 7 分钟；从商店到游乐场以80 米 /分钟的速度要走8 分钟；从游乐场到学校的距离是 300 米，走的速度是60 米 /分钟．那么小龙从家到学校的平均速度是72米/分钟．【分析】首先根据：路程＝速度×时间，用从商店到游乐场的速度乘用的时间，求出从商店到游乐场的路程是多少，进而求出小龙从家到学校的路程是多少；然后根据：时间＝路程÷速度，用从游乐场到学校的距离除以小龙走的速度，求出从游乐场到学校用的时间是多少；最后用小龙从家到学校的路程除以用的时间，求出小龙从家到学校的平均速度是多少即可．【解答】解：（ 500+80 × 8+300）÷（ 7+8+300 ÷ 60）＝（ 500+640+300 ）÷（ 7+8+5）＝1440÷ 20＝72（米 / 分钟）答：小龙从家到学校的平均速度是72 米 /分钟．故答案为： 72．8．（ 10 分）亚瑟王在王宫中召见 6 名骑士，这些骑士中每个骑士恰好有 2 个朋友．他们围着一张圆桌坐下（骑士姓名与座位如图），结果发现这种坐法，任意相邻的两名骑士恰好都是朋友．亚瑟王想重新安排座位，那么亚瑟王有6种不同方法安排座位，使得每一个骑士都不与他的朋友相邻（旋转以后相同的，算同一种方法）．【分析】首先根据题目要求旋转相同的算同一种方法，因此可只考虑其中一个人排在第一位的情况，然后根据题目条件进行后续排序即可．【解答】解：为方便起见，分别用数字1、 2、 3、 4、5、 6 代表 6 个人，则 1 的朋友为 2和 6，即和 1 相邻的只能是3， 4， 5．由于旋转相同的算同一种方法，可以只考虑以 1 开始的排序方法，由于是一个圆圈，则第二位和最后一位只能从3， 4， 5 中选，那么以 1 为基准可排的座位顺序为：（ 1）若第二位选3，则第三位选5或 6，①若第三位选 5，则第四位只能选2，还剩下 4 和 6，由于最后一位只能是3， 4，5，则第五位选 6，第六位选 4，即 1， 3， 5， 2，6， 4；②若第三位选 6，还剩下2， 4，5，若第四位选 2，则剩下 4 和 5，相邻，不符合题意，且 6 和 5 相邻，因此第四位选 4，则第五位选2，第六位选5，即 1， 3，5， 2， 6， 4；（ 2）若第二位选4，可同样推理，得到两种排序，即1，4，6，2，5，3 和 1，4，2，6，3， 5，（ 3）若第二位选5，可同样推理，得到两种排序，即 1，5，2，4，6，3，和 1，5，3，6，2， 4．共计 6种．故答案为： 6．二、简答题（每小题15 分，共 60 分）9．（ 15 分）如图所示，两个边长为 6 的正方形 ABFE 和 CDEF 拼成长方形 ABCD ．G 为 DE 的中点．连接 BG 交 EF 于 H ．求图中五边形CDGHF 的面积．【分析】 G 为 DE 的中点，所以EG＝ 6÷ 2＝ 3，因 EG：AG＝ EH： AB，可求出EH 的长度，再根据三角形的面积公式可求出三角形EHG 的面积，用正方形的面积减去它的面积，就是阴影部分的面积，据此解答．【解答】解： G 为 DE 的中点EG＝ 6÷ 2＝ 3EG： AG＝ EH ：AB3：（ 6+3）＝ EH ： 63： 9＝ EH： 69EH＝3× 6EH ＝26× 6﹣3× 2÷ 2＝36﹣3＝33答：图中五边形CDGHF 的面积是33．10．（ 15 分）乌龟和兔子进行1000 米赛跑，兔子速度是乌龟速度的 5 倍，当它们从起点同时出发后，乌龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉，兔子醒来时乌龟已经领先它，兔子奋起直追，但乌龟到达终点时，兔子仍落后10 米．求兔子睡觉期间，乌龟跑了多少米？【分析】首先把兔子全程先考虑不睡时跑的总路程为990 米，乌龟跑了多远，剩余的路程就是兔子睡觉时乌龟跑的路程．【解答】解：首先根据兔子的速度是乌龟的 5 倍可知，兔子跑的路程是乌龟的 5 倍．当他们都不休息时兔子跑全程的1000﹣ 10＝ 990（米）；乌龟跑的路程是990÷ 5＝198（米）；兔子睡觉乌龟继续跑的路程为：1000﹣ 198＝ 802（米）答：兔子睡觉期间乌龟跑了802 米．个小正三角形，那么以这些小正三角形的顶点为顶点的正六边形共有多少个？【分析】观察图形，数出正六边形的个数，可以分类计数，分边长为 1 的正六边形、边长为 2 的正六边形、边长为 3 的正六边形，再加起来即可．【解答】解：根据分析，边长为 1 的正六边形个数有：19 个；边长为 2 的正六边形个数：7 个；边长为 3 的正六边形个数： 1 个，另外，如图，两种类型的正六边形的个数为：7+2＝9 个正六边形的总个数为：19+7+1+9 ＝36 个．故答案是： 36．12．（15 分）将 1 至 9 填入图的网格中．要求每个格子填一个整数，不同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数倍．已知左右格子已经填有数字 4 和 5，问：标有字母 x 的格子所填的数字最大是多少？【分析】按题意， 1 至 9 的数字中，填入 4 和 5 之外，只剩下7 个数，可以先求出7 个数的和，即为36，中间的x 只可能是3， 6， 9，故一一检验，即可得知x 的值．【解答】解：根据分析，1+2+3+6+7+8+9 ＝ 36，填入的 x 是其它五个数的因数，故x 只能是 3、 6、 9，若 x＝ 9，则，不能每个数的周围的数字之和是该格子中所填数字的整数倍；x＝ 6 时，如图所示，易知x＝ 6 符合题意．故答案是： 6．第 11 页（共 11 页）。
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第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组) 总分
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题（初中一年级组·练习用）
一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）
1. 点O 为线段A B 上一点，∠AOC =10︒，∠COD = 50︒，
A O
B 则∠BOD =或．
2.已知m＞0 ，且对任意整数，201812
3
k
m
+
均为整数，则m的最大值为．
3. []表示不超过的最大整数，如[-1.3] =-2 ，[1.3] =1．
已知
129
[[[=4
101010
a a a
++++++
K，则a的取值范围是．
4. 使 2n +1 和11n +121都是平方数的最小正整数 n 为 ．
5. 在3⨯ 3 的“九宫格”中填数，使每行每列及每条对角线上的 三数之和都相等．如
图，有 3 个方格已经填的数分别为 3，
10，2018，则“九宫格”中其余 6 个方格所填数之和等 于 ．
6. 已知某三角形的三条高线长 a ，b ，c 为互不相等的整数，则 a + b + c 的最小值 为 ．
7. 16 张卡片上分别写着 1~16 这 16 个自然数，把这 16 张卡片分成 4 组，使得 每组卡
片张数一样，每组卡片上所写数的和相等，且每组有两张卡片上的数 的和为 17，共有 种分法．(说明：不考虑组的顺序，也不考虑组内数字的 顺序．例如将 1~16 分为四组后，保持各组内数字不变，只改变组的顺序或组内数字
的顺序，视为相同的分法．)
8.
a ，
b ，
c 是三个不同的非零整数，则423abc ab bc ca -+的最小值为 ．
第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中一年级组)
二、解答下列各题（每题10 分, 共40 分, 要求写出简要过程）
9. 现有两种理财方式供王老师选择．方案一：购买一款分红产品，前三年每年年
初交10 万元，第6 年年初返6 万元，以后每年处返1.5万元；方案二：购买一款年利率 5%，满一年计息的储蓄产品，第一年初存款 10 万元，接下两年每年年初追加本金10 万元，并将之前的本息全部续存．请问哪个选择更
划算？请说明理由．（参考数据：1.054 +1.053 +1.052 =3.47563125）
10. 如图，考古发现一块正多边形的瓷砖残片（如图），瓷砖上已不能找到完整的
一个“角”，考古专家判定D，E 两点是该正多边形相邻的两个顶点，C ，D 两个顶点之间隔有一个顶点．经过测量∠CDE =135︒，D E =13厘米．原正多边形的周长是多少厘米？
11. 一筐苹果，若分给全班同学每人3个，则还剩下25 个；若全班同学一起吃，其
中5个同学每人每天吃1个，其他同学每人每天吃2个，则恰好用若干天吃
完．问筐里最多共有多少个苹果？
12. 给定一个5×5 方格网，规定如下操作：每次可以把某行（或列）
中的连续3 个小方格改变颜色（把白格变黑格，把黑格变白格）．如果开始时所有 25 个小方格均为白色，请问：能否经过 8 次这样的操作，使得 5×5 方格网恰好变为黑白相间（如图所示），且任何一个小方格在前4次操作中至多变色1次？如
果能，请给出一种操作方案（直接画出第4，5，6，7 次操作后的方格网颜色）；如果不能，请给出证明．
三、解答下列各题（每小题 15 分, 共30 分, 要求写出详细过程）
13. 求证：不存在3个有理数的平方和等于15．
14. 如图，一个由41 个小方格组成的棋盘．先将其中的任意8个方格染黑，然后按
照以下规则继续染色：如果某个方格至少与2个黑格都有恰好1个公共顶点，那么就将这个方格染黑．这样操作下去能否将整个棋盘都染成黑色？。