数学实验二：极限与连续
微积分-函数的极限
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
微积分
2、另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
微积分
微积分
dx rx dt
微积分
第二章 极限与连续
• 数列的极限 • 函数的极限 • 变量的极限 • 无穷大量与无穷小量 • 极限的运算法则 • 两个重要的极限 • 函数的连续性
微积分
2.2 函数极限
微积分
1. 自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x)
A
x2 1 x1 2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x
x0
时,
就有 x2 1 2 x1
,
lim x2 1 2. x1 x 1
微积分
例5
证明 :当x0
微积分
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) A , 那末常数A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
高等数学的教学大纲(最新完整版)
高等数学的教学大纲(最新完整版)高等数学的教学大纲高等数学是大学本科公共基础课程，内容主要包括极限与连续、微积分、线性代数、概率论和数理统计等方面。
具体的教学大纲可能会因学校、地区或教师而有所不同，以下是一般高等数学的大致内容：1.极限与连续：包括极限的定义、性质和计算，以及连续的概念和应用。
2.导数与微分：包括导数的定义、性质和计算，以及微分的概念和应用。
3.积分学：包括不定积分、定积分的定义、性质和计算，以及积分的应用。
4.线性代数：包括行列式、矩阵、向量空间、线性方程组等概念和应用。
5.概率论：包括概率、条件概率、随机变量、期望和方差等概念和应用。
6.数理统计：包括基本概念、参数估计、假设检验、回归分析等应用。
除了以上内容，高等数学的教学大纲还包括数学建模、数学软件应用等方面的内容，以培养学生的数学思维和应用能力。
教育部大学数学教学大纲教育部大学数学教学大纲是指教育部制定的大学数学课程的教学大纲，包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等。
这些大纲规定了大学数学课程的教学内容、教学要求、教学时数等方面的内容，是大学数学教师进行教学的重要依据。
教育部大学数学教学大纲的内容包括：高等数学：一、函数与极限；二、导数与微分；三、导数的应用；四、不定积分；五、定积分；六、定积分的应用；七、微分方程；八、向量代数与空间解析几何；九、多元函数微分学；十、重积分；十一、曲线积分与曲面积分；十二、无穷级数。
线性代数：一、行列式；二、矩阵；三、向量；四、线性方程组；五、矩阵的特征值和特征向量；六、二次型。
概率论与数理统计：一、概率论的基本概念；二、随机变量及其分布；三、多维随机变量及其分布；四、随机变量的数字特征；五、大数定律和中心极限定理；六、样本及抽样分布；七、参数估计；八、假设检验。
高等数学实验教学大纲高等数学实验教学大纲是指为了更好地指导学生进行实验，所编写的指导性文件。
以下是部分高等数学实验的教学大纲：1.极限与连续__极限的定义与计算__极限存在性定理__无穷小与无穷大的性质__连续函数的定义与性质__极限与连续的应用2.导数与微分__导数的定义与计算__导数的应用__微分的定义与计算__微分的应用3.积分学__不定积分与定积分的定义与计算__积分的应用__微积分基本定理__积分学的学习方法4.微分方程__微分方程的定义与计算__微分方程的应用__常微分方程的解法__微分方程的学习方法5.向量代数与空间解析几何__向量代数的基础知识__向量代数在几何中的应用__空间解析几何的基础知识__空间解析几何在几何中的应用6.多重积分与曲线积分__多重积分的基础知识__多重积分的计算与应用__曲线积分的基础知识__曲线积分的计算与应用高等数学教学大纲撰写意见根据《大学数学教学基本要求》，结合《高等数学》课程特点，对教学大纲的撰写提出以下意见：1.课程概述：简要介绍高等数学的基本内容、课程目标、学习方法等，突出高等数学在自然科学、工程技术和经济生活中的重要地位，强调数学素质的培养对学生全面发展的重要性。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
Mathematica平台上极限与连续的数学实验研究
一
文献标 识码 ：Ａ
文章编号 ：１ ０ － ６ ２ ２ １ ）０— ０ ７ ＿ ０ ８ － １ ９（ ０ ５ ０ ４ ４ １
、
引言
数 学软件 的 出现和 发展 为我们提 供 了变 革 高等数 学教学方 式难得 的机遇【。 ｌ传统 的高 等数 学教学 已经 】
不能够适应现代教学技术的发展，数学软件使用现已非常普及 ，在全国大学生数学建模竞赛中，应用数 学软件 求解 问题 是必 不可少 的 。 以计算 机作 为教 、学 、研 的工具 ，适 时地 将数 学软件 融入 到高 等数 学课 程 中去 ，有 着十 分重 要 的现 实 意义 ，它 不仅 为教师 和学 生提供 了一 个“ 的教 与学 的平 台，而 且也 使师 活” 生能够 在该平 台里动 态地探 索和研 究数 学 问题 【。 ２ ｊ 极 限与 连续 是微积 分 中的重 要 内容 之一 ，它 是后 续章节 的基 础 。在传 统 的教学模 式下 ，对 于学 生来 说极 限与连 续 的概念 是很难理 解 ，在 软件Ｍａ ｅ ｔ ａ 台上进行 实验教 学 ，这 些概念将 变得 十分 简单 。 ｔ ｍａｉ 平 ｈ ｃ Ｍａ ｅ ｔ ａ 能够进行 数值 计算 、符 号计 算 、绘 图、动画 演示等 功能 的一款软 件 ，为数学 的教 学与学 生 ｔ ｍａｉ 是 ｈ ｃ 的学习发挥 重要作 用 。 本文通 过实例 来研 究 Ｍａｈｍａｅ 在极 限与连 续数 学实验 。 ｔｅ ｔ ａ ｉ Байду номын сангаас 二 、极 限 的数 学 实验 例 １ 圆术 的实验 演示 。 割 在平 台 中输 入 以下 语句 ： ｎ ＝ （内切正 ｎ边形 的边数 ，任意输 入一个 数 ｎ ） ｃ＝ ａ ｈｃ［ ｉ ｌ［０ ０ ， 】 ｌＧｒｐ ｉｓ ｒ ｅ｛， ） １】 Ｃｃ ； （原 点在 ＼ ｏ ０＼ 圆 ｒ ｆ ，） ）的 ） ｃ＝ ａｈｃ［ｉｅＴｂｅ｛ ｏ［￣ｉ ］ ｉ［ｎ ｉ ］，ｉ０ｎ 】； ２ Ｇｒｐ ｉ Ｌｎ ［ａｌ［Ｃ ｓ ｒ ／ ，ｎ２ ／ ｝ ｛ ，｝］ ｓ ２ ｎ Ｓ ｎ ， 】 （将 圆周 ｎ等分 ， 正 ｎ边形 做 ）
连续函数性质及其在实际问题中的应用分析
连续函数性质及其在实际问题中的应用分析连续函数是数学分析中的重要概念，它在许多实际问题的建模和解决中发挥着关键作用。
本文将介绍连续函数的性质，并探讨其在实际问题中的应用。
连续函数是一种在数学上严格定义的函数，其定义是基于极限的概念。
简而言之，一个函数在某一点处连续，意味着当自变量的取值趋近于该点时，函数值也趋近于该点。
连续性具有以下重要性质：1. 接近性：连续函数的一个关键特征是当自变量接近某一值时，函数值也趋近于相应的值。
这使得我们可以在自变量的一个附近进行近似计算，从而简化问题的求解过程。
2. 切比雪夫性质：连续函数具有切比雪夫性质，即在定义域上任意取定两个数值a和b（a<b），函数在[a，b]区间上连续。
这意味着函数的图像在[a，b]区间上没有突变或跳跃，而是平滑而连贯的。
在实际问题中，连续函数广泛应用于许多领域，例如物理学、经济学和工程学等。
以下是一些实际问题中连续函数的应用示例：1. 压力传感器：在工程领域，压力传感器用于测量气体或液体的压力。
通过使用一个连续函数来表示压力-电压转换关系，可以将传感器输出的电压值转换为相应的压力值。
连续函数的应用使得我们可以在离散取样的压力值之间进行插值，从而获得更精确的测量结果。
2. 股票价格预测：在经济学中，连续函数可用于预测股票价格的变化趋势。
通过分析历史数据，建立一个连续函数模型来描述价格的变化，并通过这个模型来预测未来的价格。
连续函数可以提供比离散数据更准确的预测结果，并帮助投资者做出更明智的投资决策。
3. 光滑曲线拟合：在科学研究中，连续函数常用于光滑曲线的拟合。
通过选择最佳的连续函数模型，可以将离散的实验或观测数据用曲线来近似表示，从而更好地理解数据背后的规律。
这种拟合可以用于预测未来的趋势或优化实验设计。
4. 数值积分：连续函数在数值积分中起着重要的作用。
数值积分是一种用离散数值逼近连续函数积分值的方法。
通过将连续函数划分为一系列小的区间，并通过在区间上的离散点上计算函数值的数值平均，可以得到积分的近似值。
连续函数与极限运算的应用案例
连续函数与极限运算的应用案例在数学中，连续函数和极限运算是两个非常重要的概念。
连续函数是指在其定义域上的每一个点都有定义并且函数值与该点的极限相等的函数。
而极限运算是指当自变量趋近于某一特定值时，函数值也会趋近于某一确定值的过程。
本文将通过几个实际应用案例，来探讨连续函数和极限运算的具体应用。
案例一：温度的连续性假设我们有一个温度传感器，可以实时测量某地的温度。
我们希望通过这个传感器来判断某一天的温度变化情况。
为了方便分析，我们将一天的时间分为24个小时，每个小时取一个测量值。
首先，我们将温度与时间建立函数关系。
假设温度函数为T(t)，其中t表示时间，单位为小时。
我们可以通过传感器得到一系列的温度测量值，例如T(0)、T(1)、T(2)、...、T(23)，分别表示第0小时、第1小时、第2小时、...、第23小时的温度。
现在我们来研究这个温度函数的连续性。
连续函数要求在定义域上的每个点都有定义，并且函数值与该点的极限相等。
在这个案例中，定义域是时间范围[0, 23]，即0到23小时。
我们可以通过观察一天中温度的变化情况来判断温度函数的连续性。
如果温度在不同时间点之间有明显的跳跃或突变，那么这个温度函数就不是连续函数。
但是，如果温度在不同时间点之间变化平缓，没有明显的跳跃或突变，那么这个温度函数就是连续函数。
例如，如果我们观察到温度在0到1小时之间从20摄氏度突然上升到30摄氏度，那么在这个时间点上，温度函数就不是连续函数。
但是，如果温度在0到1小时之间缓慢上升，没有明显的跳跃，那么温度函数就是连续函数。
通过这个案例，我们可以看到连续函数的概念在实际生活中的应用。
通过观察温度的连续性，我们可以判断出温度的变化趋势，从而更好地了解天气情况。
案例二：速度与位移的关系在物理学中，速度和位移是两个重要的物理量。
速度表示物体在单位时间内移动的距离，而位移表示物体从一个位置到另一个位置的距离。
假设我们有一个匀速运动的物体，它的速度为v。
1.2.1函数的极限——自变量趋于无穷大的情形
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势
x
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势
x
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势
x
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势
x
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势
x
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势
x
通过上面演示实验的观察: 当 x 无限增大时，f ( x) sin x 无限接近于0.
x 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
X
y sin x x
A
X
例1 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
证
这里 f ( x) A sin x 0 sin x 1
x
xx
要使
f (x) A , 只要 1 x
,
即x
1,
0, 取 X 1 0, 则当 x X时恒有
sin x 0 , 故 lim sin x 0.
x
" X "定义
lim f ( x) A
x+
0,X 0, 使当 x X 时,恒有 | f ( x) A | .
几何意义
对 0,X 0 ,当 x X时,函数 y f (x)图形完全
落在以直线 y A为中心线，宽为 2 的带形区域内.
y sin x x
A
X
2. x 时 f (x) 的极限
x
0,X 0, 使当 x X 时，恒有| f ( x) A | .
数学分析实验报告题
一、实验目的1. 通过实验加深对极限和连续性概念的理解；2. 培养学生运用数学工具解决实际问题的能力；3. 提高学生的实验操作技能和团队协作精神。
二、实验原理1. 极限的概念：当自变量x趋向于某一值时，函数f(x)的值也趋向于某一确定的值A，则称A为函数f(x)当x趋向于某一值时的极限。
2. 连续性的概念：如果函数f(x)在点x0处有定义，且极限lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
三、实验仪器与材料1. 计算器2. 数学分析教材3. 实验指导书四、实验步骤1. 验证函数极限的存在性（1）选取函数f(x)=x^2，验证当x趋向于0时，f(x)的极限是否存在，若存在，求出极限值。
（2）选取函数f(x)=sin(x)/x，验证当x趋向于0时，f(x)的极限是否存在，若存在，求出极限值。
2. 验证函数的连续性（1）选取函数f(x)=x，验证f(x)在x=0处是否连续。
（2）选取函数f(x)=1/x，验证f(x)在x=0处是否连续。
五、实验结果与分析1. 验证函数极限的存在性（1）对于函数f(x)=x^2，当x趋向于0时，f(x)的值也趋向于0，因此极限lim(x→0)f(x)=0。
（2）对于函数f(x)=sin(x)/x，当x趋向于0时，f(x)的值趋向于1，因此极限lim(x→0)f(x)=1。
2. 验证函数的连续性（1）对于函数f(x)=x，在x=0处有定义，且极限lim(x→0)f(x)=f(0)=0，因此f(x)在x=0处连续。
（2）对于函数f(x)=1/x，在x=0处无定义，因此f(x)在x=0处不连续。
六、实验总结1. 通过本次实验，我们对极限和连续性概念有了更深入的理解，掌握了验证函数极限和连续性的方法。
2. 实验过程中，我们运用了计算器等工具，提高了自己的实验操作技能。
3. 在实验过程中，我们学会了与团队成员协作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
4. 本次实验有助于我们更好地将理论知识应用于实际问题，提高了我们的数学分析能力。
人大版_微积分_第二章_极限与连续
微积分
dx rx dt
莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
指出下列证明lim n n 1 中的错误．
n
n
思考题
1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 得 0, 取 N ln 2 1 ln(1 )
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
微积分
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
微积分
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
新编高等数学第二章
2.1.2 收敛数列的性质
定理2.1 （极限的唯一性）收敛数列{an}的极限是唯一的. 定理2.2 （收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界.
推论2.1 有界数列未必收敛，无界数列必定发散. 例如，数列(－1)n是有界数列，但它是发散的；数列2n 是无 界数列，且它是发散的.
即 由函数f(x)在x=1处极限存在的充要条件可知，
例
【例2-4】设函数 证明
，证明：当x→0时，f(x)的极限不存在. 因为 ，所以 不存在.
2.2 函数的极限
2.2.2极限的四则运算法则 定理2.3（极限四则运算法则）设在自变量x的同一变 化过程中,极限limf（x）及limg（x）都存在,则有
第 二 章
极限与连续
2.1 数列的极限
目录
2.2 函数的极限
2.3 两个重要极限 2.4 函数的连续性 2.5 应用示例 2.6 数学实验二
2.1 数列的极限
2.1.1数列极限的定义
在中学，我们已经学过数列的概念.按一定顺序排列的 无穷多个数x1，x2，…xn，…
极限的概念是由求实际问题的精
确解答而产生的.我国古代数学 家刘徽于公元263年创立了“割
例
解 做出函数y=2x的图像（见图2-6），可以看出 故limx→∞2x不存在.
2.2 函数的极限
2.当x→x0时，函数f(x)的极限
先从图像上考察两个函数f(x)=x+2与f(x)=（x2－4）/（x－2），如图2-7所示.
微课:当x→x0时， 函数f(x)的极限
图 2-7
从图2-7中不难看出，当x无限接近于2时，f(x)=x+2无限趋近于4，f(x)=x2－4x－2也无限趋近