实验3 极限与连续
实验2 极限与连续（基础实验）
实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用
Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形
特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.
基本命令
1.画散点图的命令ListPlot:
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项]
或者
ListPlot[{y1,y2,…yn},选项]
前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的散点图;后一形式的命令, 默认自变量i x 依次取正整数,,,2,1n 作出点列为),(,),,2(),,1(21n y n y y 的散点图. 命令ListPlot 的选项主要有两个:
(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来;
(2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小.
2.求极限的命令Limit:
其基本格式为
Limit[f[x],x->a]
其中f(x)是数列或者函数的表达式, x->a 是自变量的变化趋势。
如果自变量趋向于无穷, 用
x->Infinity.
对于单侧极限, 通过命令Limit 的选项Direction 表示自变量的变化方向. 求右极限, 0+→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->-1];
求左极限, 0-→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->+1];
求+∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1];
求-∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1]。
注:右极限用减号, 表示自变量减少并趋于a ,同理,左极限用加号, 表示自变量增加并趋于a .
3.实验中用到的函数和命令:
Append[expr,elem] 将元素elem 添加到序列expr 中；
Table[expr,{i,imin,imax}] 生成一个表，序号从IMIN 到IMAX ；
Print[expr1,expr2,...] 在屏幕上输出表达式或数字。
4.循环语句For
循环语句的基本形式是
For[循环变量的起始值, 测试条件, 增量, 运算对象]
运行此命令时, 将多次对后面的对象进行运算, 直到循环变量不满足测试条件时为止. 这里必须
用三个逗号分开这四个部分. 如果运算对象由多个命令组成, 命令之间用分号隔开.
例如, 输入
t=0;
For[j=1,j<=10,j++,t=t+j];
t
则循环变量j 从取值1开始, 到10结束. 每次增加1. 执行结果, 输出变量t 的最终值1+2+…
+10=55.
注:For 语句中的 j++ 实际表示j=j+1.
实验举例：
1、作散点图
例2.1 分别画出坐标为)10,,2,1(),4,(),,(3222 =+i i i i i i 的散点图, 并画出折线图.
分别输入命令
t1=Table[i^2,{i,10}]; g1=ListPlot[t1,PlotStyle->PointSize[0.02]];
g2=ListPlot[t1,PlotJoined->True];Show[g1,g2];
t2=Table[{i^2,4i^2+i^3},{i,10}];
g1=ListPlot[t2,PlotStyle->PointSize[0.02]];
g2=ListPlot[t2,PlotJoined->True];Show[g1,g2];
则分别输出所求图形。
2、数列极限的概念
例2.2 通过动画观察当∞→n 时数列21n a n =
的变化趋势.
输入
Clear[tt];
tt={1,1/2^2,1/3^2};
Do[tt=Append[tt,N[1/i^2]];
ListPlot[tt,PlotRange->{0,1},PlotStyle->PointSize[0.02]],{i,4,20}]
则输出所求图形动画。
从图中可以看出所画出的点逐渐接近于x 轴。
3、函数的极限
例2.3 在区间]4,4[-上作出函数x x x x x f --=339)(的图形, 并研究 ).(lim 1x f x →
输入命令
Clear[f];f[x_]=(x^3-9x)/(x^3-x);
Plot[f[x],{x,-4,4}];
则输出)(x f 的图形. 从图可猜测 ).(lim 1
x f x →不存在. 例2.4 观察函数x x x f sin 1)(2
=当+∞→x 时的变化趋势. 取一个较小的区间[1, 10], 输入命令
f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}];
则输出)(x f 在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上, 逐次取更 大的区间, 可以更有力地说明当+∞→x 时, .0)(→x f
作动画: 分别取区间]100,10[,],20,10[],15,10[ 画出函数的图形, 输入以下命令:
i=3;
While[i<=20,Plot[f[x],{x,10,5*i},PlotRange->{{10,100},{-0.008,0.004}}];i++]
则输出17幅图, 点黑右边的线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数 x x x f sin 1)(2
=当∞→x 时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势。
例2.5 求和式 +++++=!
1!31!211n e 的近似值。
输入：e0=1.;e1=1.;m=10;
Print["n"," E"]; For[i=1,i<=50,i++,
e1=N[e0+1/i!,18];
Print[i," ",e1];
If[Abs[e0-e1]>10^-m,e0=e1,Break[]] ]
输出结果：
n E
1 2.
2 2.5
3 2.66667
4 2.70833
5 2.71667
6 2.71806……
4、两个重要极限
例2.6研究第二个重要极限.11lim x
x x ⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→ 输入：Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity] 输出为e. 再输入
Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}] 则输出函数x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛+11的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限 .11lim e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→ 实验习题：
1. 设数列.12111333n
x n +++= 计算这个数列的前30项的近似值. 2. 定义数列.321,1110⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+==--n n n x x x x 可以证明:这个数列的极限是.3计算这个数列的前 30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势。
3. 计算极限
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+→x x x x x sin 11sin lim )1(0 x x e x 2lim )2(+∞→
30sin tan lim )3(x
x x x -→ x x x 0lim )4(+→ x x x ln cot ln lim
)5(0+→ x x x ln lim )6(20+→ x
x x x x x sin cos sin lim )7(20-→ 125523lim )8(323+++-∞→x x x x x x x x e e x x x sin 2lim )9(0----→ x x x x cos 11
0sin lim )10(-→⎪⎭⎫ ⎝⎛ x0=0.;x1=0.;m=10;
Print["n", " E"];
For[i=1,i ≤30,i++,
x1=N[x0+1/(i^3),18];
Print[i," ",e1];
If[Abs[x0-x1]>10^-m,x0=x1,Break[]] ]。
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计
《极限与函数的连续性教学活动设计及效果评估》教案设计第一章：引言1.1 课程背景1.2 教学目标1.3 教学方法1.4 教学内容第二章：极限的概念2.1 极限的定义2.2 极限的性质2.3 极限的计算方法2.4 教学活动设计2.5 教学效果评估第三章：函数的连续性3.1 连续性的定义3.2 连续性的性质3.3 连续性的判定3.4 教学活动设计3.5 教学效果评估第四章：极限与连续性的关系4.1 极限与连续性的联系4.2 极限与连续性的区别4.3 极限与连续性的应用4.4 教学活动设计4.5 教学效果评估第五章：教学案例分析5.1 案例一：求极限问题5.2 案例二：判断函数连续性5.3 案例三：应用极限与连续性解决实际问题5.4 教学活动设计5.5 教学效果评估第六章：教学实践与反思6.1 教学实践的过程记录6.2 学生学习情况的观察与分析6.3 教学策略的调整与优化6.4 教学效果的自我评估6.5 教学反思与改进计划第七章：学生学习评价7.1 学生学习评价的目的与意义7.2 学生学习评价的方法与工具7.3 学生学习评价的标准与指标7.4 学生学习评价的结果分析7.5 学生学习评价的反馈与指导第八章：家长与学生沟通8.1 家长沟通的重要性8.2 与家长沟通的方法与技巧8.3 家长沟通的内容与注意事项8.4 家长反馈的收集与分析8.5 家长与学生沟通的有效性评估第九章：教学资源与环境9.1 教学资源的种类与作用9.2 教学资源的选择与使用9.3 教学环境的重要性与创设9.4 教学辅助工具与技术的应用9.5 教学资源与环境对学生学习的影响第十章：总结与展望10.1 教学活动的整体回顾10.2 教学目标的达成情况10.3 教学成果的总结与分享10.4 未来教学活动的展望与计划10.5 对教学事业的热情与承诺重点和难点解析重点环节一：极限的概念解析：理解极限的概念是学习微积分的基础，学生需要掌握极限的定义、性质以及计算方法。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是数学中的两个重要概念。
极限是研究函数变化趋势时常用的方法，而连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
本文将分别介绍极限和连续性的概念、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、极限极限是研究函数变化的重要工具。
简单来说，极限描述的是当自变量接近某一特定值时，函数值的趋势。
设函数f(x)在某一点x=a附近有定义，则当x无限接近于a时，如果函数值f(x)无限接近于某一常数L，就称函数f(x)在x=a时的极限为L，记作lim（x→a）f(x)=L。
极限有一些基本性质。
首先，唯一性性质指的是函数在某一点的极限只能有一个确定的值。
其次，加法定理指的是两个函数的极限之和等于这两个函数的极限之和。
再次，乘法定理指的是两个函数的极限之积等于这两个函数的极限之积。
最后，复合函数的极限定理指的是由两个连续函数构成的复合函数的极限等于这两个函数的极限之积。
极限在数学中有广泛的应用。
在微积分中，通过极限的概念，我们可以定义导数和积分，进而研究函数的变化速率和曲线下的面积。
在实际问题中，极限常用于计算在无限分割下的边长、面积、体积等数值，比如求圆的周长、圆的面积等。
二、连续性连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
简单来说，如果函数在某一点处无间断、无跳跃，就称该函数在该点连续。
设函数f(x)在某一区间[a,b]上有定义，则当x属于[a,b]时，函数f(x)连续，当且仅当函数f(x)在[a,b]上每一点x处都连续。
连续函数具有一些基本性质。
首先，定义域上的有界闭区间上的连续函数，一定有最大值和最小值。
其次，闭区间上的连续函数满足介值定理，即如果函数在一个区间的两个端点值异号，则在这个区间上，一定存在函数的零点。
连续性在数学中也有广泛的应用。
在微积分中，通过连续性的概念，我们可以判断函数的极值点和最值点，进而求得函数的最大值和最小值。
在实际问题中，连续性常用于描述物体在一定时间内的运动轨迹、函数图像的连续性以及实验数据的趋势等。
高等数学中的极限与连续性研究
高等数学中的极限与连续性研究极限和连续性是高等数学中重要的概念，对于理解各种数学问题和应用具有重要意义。
本文将重点研究高等数学中的极限和连续性，以及这两个概念在实际问题中的应用。
1. 极限的概念和性质极限是数学分析的基础概念之一，它描述了函数在某一点附近的行为。
在研究极限时，我们通常关注函数在某一点无限接近于某个特定值的情况。
正式地说，对于给定函数f(x)和一点a，我们说函数f(x)在x趋近于a时，极限为L，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立。
极限具有一些重要的性质，如唯一性、有界性和保号性等。
其中唯一性指出，如果极限存在，则该极限是唯一的。
有界性和保号性则说明了在满足一定条件下，极限所在的区间中函数值是有界的。
2. 连续性的概念和充分条件连续性是函数论中的一个重要概念，它描述了函数在整个定义域上的行为。
对于函数f(x)，如果在其定义域的任意一点a处，极限lim(x→a) f(x)存在且等于f(a)，则称函数f(x)在点a处连续。
连续函数具有一些特性和充分条件。
例如，若函数f(x)在一个区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上有界且可达到最大值和最小值。
另外，若函数f(x)和g(x)都在点a处连续，则它们的和、差、积和商都在点a处连续。
3. 极限和连续性在实际问题中的应用极限和连续性在实际问题中有广泛的应用。
举例来说，它们在物理学、工程学和经济学等领域中被广泛应用。
在物理学中，极限和连续性被应用于描述物质在空间中的运动轨迹。
例如，通过研究物体在一定时间内的位置变化，我们可以通过极限的概念计算出物体的瞬时速度和加速度。
在工程学中，极限和连续性被应用于解决各种设计问题。
例如，在结构设计中，通过研究材料的强度和极限载荷，工程师可以确定合适的结构尺寸和材料选择。
在经济学中，极限和连续性则常用于解决优化问题，如最大化利润和最小化成本。
极限和连续专题教育课件
lim 2x
x1
实际上我们有
“x x0时”函数极限运算法则：
假如 lim f (x) a ， lim g(x) b 那么
x x0
x x0
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b
x x0
x x0
x x0
lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) a b
x x0
x x0
注：使用极限四则运算法则旳前提 是各部分极限必须存在.
一样有“x 时”函数极限运算法则：
假如 lim f (x) a ， lim g(x) b 那么
x
x
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) a b
x
x
x
lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) a b
(5) lim 2x ; x2
(3) lim x2 ; x1
(6) lim (2x2 - 1) . x2
对于极限体现式 lim f (x) a ，中旳 x x0，应怎样了解? x x0
应了解为x能够用任何方式无限趋近于 x0 ，其中涉及:
1）从表达 x0 旳点旳左边无限趋近于 x0 ； 2）从表达 x0 旳点旳右边无限趋近于 x0； 3）从表达 x0 旳点旳两侧交错地无限趋近于x0 ； 总之，不论以哪种方式趋近，只要 x x0 ，就有 f ( x) a. 下面讨论函数旳“单侧”极限,即自变量x只能从表达 旳x0点旳一侧
f ( x) 无限趋近于1.
因为x从不同方向无限趋近于0时, f ( x) 所无限趋近旳值不同,
所以, f ( x) 在x=0处无极限. 即 lim f (x)不存在. x0
极限与连续求极限的基本方法与连续函数的性质
极限与连续求极限的基本方法与连续函数的性质对于数学领域的学习者来说，极限和连续是非常重要的概念。
它们不仅在微积分中扮演着核心角色，还对于解决实际问题和理解数学的本质有着重要意义。
本文将介绍极限与连续求极限的基本方法以及连续函数的性质，帮助读者在学习这些概念时能够更加理解和应用。
一、极限的基本方法极限是一个数列或者函数在接近某个特定值时的行为。
求极限的基本方法包括直接代入法、夹逼法、无穷小量替换法和洛必达法则。
下面将详细介绍这些方法。
1. 直接代入法当函数在某一点的值可以直接计算时，可以通过直接代入这个点的值来求得函数的极限。
例如，对于函数 f(x) = x^2 + 3x - 2，当 x 接近 2 时，可以直接代入 x=2 来计算 f(x) 的极限。
2. 夹逼法夹逼法适用于需要确定函数在某一点的极限时。
当函数 f(x) 在某一区间内被两个其他函数 g(x) 和 h(x) 夹住时，如果 g(x) 和 h(x) 在这个区间内极限相等，那么 f(x) 在这个点的极限也与 g(x) 和 h(x) 的极限相等。
3. 无穷小量替换法无穷小量替换法常用于求链式运算的极限。
当某一个函数的极限表示为一个无穷小量时，可以将这个无穷小量替换为另一个具有相同极限的函数，以便更容易求得极限。
4. 洛必达法则洛必达法则是求解函数在某一点的未定型极限的方法。
当函数 f(x) 和 g(x) 在某一点的极限都为 0 或无穷大时，可以对 f(x) 和 g(x) 分别求导，并计算导数的极限，如果这个极限存在，那么函数 f(x) 和 g(x) 在这一点的极限也存在，且相等。
二、连续函数的性质连续函数在数学中占据着重要地位，它们具有多种性质和特点。
下面将介绍连续函数的一些基本性质。
1. 极限存在性连续函数在某一点的极限存在，并且等于这一点的函数值。
也就是说，对于连续函数 f(x) ，当 x 接近某个特定值时，存在极限lim(x→a) f(x) = f(a)。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是微积分中的重要概念，它们在数学中具有广泛的应用。
通过研究极限与连续性，我们可以更好地理解函数的性质，以及它们在实际问题中的应用。
本文将详细介绍极限与连续性的定义、性质以及相关的定理。
一、极限的定义与性质1.1 极限的定义极限是函数在某一点的接近程度的概念。
设函数 f(x) 在某一点 a 的某一侧定义，如果对于任意给定的正数ε，都存在着另一个正数δ，使得只要 x 落在点 a 的邻域，并且与 a 的距离小于δ，那么对应的函数值f(x) 与函数在点 a 的极限 L 的差的绝对值小于ε，即 |f(x) - L| < ε，则称函数 f(x) 在点 a 的极限为 L，记作lim(x→a) f(x) = L。
1.2 极限的性质（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 在点 a 的极限存在且为 L，则该极限必定唯一。
（2）局部有界性：如果函数 f(x) 在点 a 的某一邻域内有极限 L，则该函数在点 a 的某一邻域内有界。
（3）极限的保序性：如果函数 f(x) 在点 a 的极限存在且为 L，如果函数 g(x) 在点 a 的极限存在且f(x) ≤ g(x)，则有 li m(x→a)f(x) ≤lim(x→a)g(x)。
二、连续性的定义与性质2.1 连续性的定义函数连续性是指函数在定义域上没有间断点的性质。
设函数 f(x) 在某一点 a 处定义域内定义，如果极限lim(x→a)f(x) 存在且等于 f(a)，则称函数 f(x) 在点 a 处连续。
2.2 连续性的性质（1）函数连续的若干基本性质：a. 两个连续函数的和仍然是连续函数。
b. 两个连续函数的差仍然是连续函数。
c. 两个连续函数的乘积仍然是连续函数。
d. 一个连续函数与一个不为零的常数的积仍然是连续函数。
e. 两个连续函数的商（分母不为零）仍然是连续函数。
（2）连续函数的复合运算结果仍然是连续函数。
三、相关定理3.1 介值定理介值定理是连续函数的重要性质。
数学分析实验报告题
一、实验目的1. 通过实验加深对极限和连续性概念的理解；2. 培养学生运用数学工具解决实际问题的能力；3. 提高学生的实验操作技能和团队协作精神。
二、实验原理1. 极限的概念：当自变量x趋向于某一值时，函数f(x)的值也趋向于某一确定的值A，则称A为函数f(x)当x趋向于某一值时的极限。
2. 连续性的概念：如果函数f(x)在点x0处有定义，且极限lim(x→x0)f(x)=f(x0)，则称函数f(x)在点x0处连续。
三、实验仪器与材料1. 计算器2. 数学分析教材3. 实验指导书四、实验步骤1. 验证函数极限的存在性（1）选取函数f(x)=x^2，验证当x趋向于0时，f(x)的极限是否存在，若存在，求出极限值。
（2）选取函数f(x)=sin(x)/x，验证当x趋向于0时，f(x)的极限是否存在，若存在，求出极限值。
2. 验证函数的连续性（1）选取函数f(x)=x，验证f(x)在x=0处是否连续。
（2）选取函数f(x)=1/x，验证f(x)在x=0处是否连续。
五、实验结果与分析1. 验证函数极限的存在性（1）对于函数f(x)=x^2，当x趋向于0时，f(x)的值也趋向于0，因此极限lim(x→0)f(x)=0。
（2）对于函数f(x)=sin(x)/x，当x趋向于0时，f(x)的值趋向于1，因此极限lim(x→0)f(x)=1。
2. 验证函数的连续性（1）对于函数f(x)=x，在x=0处有定义，且极限lim(x→0)f(x)=f(0)=0，因此f(x)在x=0处连续。
（2）对于函数f(x)=1/x，在x=0处无定义，因此f(x)在x=0处不连续。
六、实验总结1. 通过本次实验，我们对极限和连续性概念有了更深入的理解，掌握了验证函数极限和连续性的方法。
2. 实验过程中，我们运用了计算器等工具，提高了自己的实验操作技能。
3. 在实验过程中，我们学会了与团队成员协作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
4. 本次实验有助于我们更好地将理论知识应用于实际问题，提高了我们的数学分析能力。
(完整版)极限与连续
第二章 极限与连续本章教学内容本章介绍了数列极限与函数极限的概念、基本知识和基本理论以及函数连续性的基本知识．微积分是一门以变量（函数等）作为研究对象、以极限方法作为基本研究手段的数学学科，无论是微分学、积分学、还是无穷级数问题都需以极限为工具进行研究，整个微积分学就是建立在极限论的基础之上的．连续性是函数的一个重要的分析性质，本章运用极限引入函数连续性的概念．在微积分学中讨论的函数，主要是连续型的函数，它有许多良好的性质，它是本课程的主要研究对象．教学思路1． 学习微积分的一个直接的重要的目的是掌握研究函数的微观性态和宏观性态的方法．这一点无论对学术研究能力的培养还是对研究生入学应试，都是非常重要的．当然，学习微积分的目的还有其更重要的另外一面，那就是培养和训练思维与思考问题的模式，掌握学习未知世界的方法与技巧，不管你将来是否从事数学及其相关学科，如能达到上述境界，则必会长期受益．2．极限的思想、概念与方法是分析数学问题的基本工具和语言．数列极限和函数极限都是高等数学重要的基础，但相对而言，前者是训练和培养极限思维模式的基础．对数列极限的有关概念和方法，站到较高台阶上去思考，将有助于全部微积分内容的学习．因此，极限的基本概念要讲透，使学生能接受并理解其深刻的内涵．要使学生会熟练地求极限．可让学生适当地多做一些练习题．3．用“N -ε”、“δε-”语言定义极限不能省略，不要求学生会做有关的习题，但要领会，以便理解有关的定理的证明．4．函数的连续性作为承上（极限理论与方法）启下（微分、积分概念）的重要环节，它是用极限等工具研究函数局部性质与整体性质的开始．函数在一点处连续的概念描述了函数的局部性质，而在一个区间上的连续性则描述了一个函数的整体性质．也可以说前者涉及的是函数微观性态，而后者则是刻画函数的宏观性态，并且，二者互相渗透，相辅相成．闭区间上连续函数的性质只作介绍，其证明略去．5．本章重点是极限定义与其等价性描述，极限的性质及运算，以及若干重要结论构成的知识层次．学好本章内容，对掌握微积分全部内容与技巧有着重要的影响作用．6．本章新概念多、难点多，又处于学生从初等数学跃上高等数学台阶的转型时期，很不习惯．因此，本章内容讲授完成后可安排一次习题课．教学安排本章教学时数为14学时，课时分配如下：§2.1数列的极限2学时§2.2 函数的极限 2学时§2.3变量的极限，§2.4无穷大量与无穷小量 2学时§2.5极限的运算法则 2学时§2.6两个重要的极限 2学时§2.7函数的连续性 2学时习题课 2学时教学目标理解数列的极限、函数的极限及函数的左、右极限的概念．了解有界变量的概念，了解变量有极限与有界的关系．了解无穷大量、无穷小量的概念及二者之间的关系．了解极限存在的两个准则．熟练掌握极限的运算法则、无穷小量的性质、两个重要极限以及利用函数的连续性求函数极限的方法．理解函数连续的概念，会判断函数在某点的连续性．掌握讨论简单分段函数连续性的方法．理解初等函数在其定义域内都是连续的结论．理解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值与最小值定理、介值定理及其零值性推论）及其简单应用．§2.1 数列的极限教学内容：数列的极限，包括数列极限的概念，数列极限的N -ε定义，数列极限的几何意义等．教学重点：数列极限的概念及数列极限的证明．教学难点：利用“N -ε”定义证明极限．教法建议：1．建立极限概念时，可先从一些简单直观、容易接受的实例（如“一尺之棰，日取其半”、“刘徽割圆”等）出发，建立数学模型，引入并形成极限概念．2．在此基础上，分三步引入极限定义：第一步，先讲描述性定义；第二步，用距离、绝对值为工具，对描述性定义中的话逐一地抽象，用数学语言（四个不等式）来表示，提炼出数列极限的N -ε定义；第三步，对数列极限的N -ε定义给出几何解释，辅之以草图，对ε、N 等作补充说明，加深印象．3．引入定义以后，可用简单的例子介绍用N -ε定义证明数列极限的论证方法，其关键是“由0>∀ε去找)(εN ”，并总结出使用N -ε方法的四个步骤：1o 0>∀ε，令ε<-||A y n ；2o 据ε<-||A y n ，分析并推出)(εϕ>n （含ε的式子）；3o 取)]([εϕ=N （整数部分）；4o 用N -ε定义叙述并下结论．应给学生指出：前三步是分析找N ；第四个步骤综合才是正式的证明．这种分析加综合的叙述方式的优点是思路清晰，N 不是一眼就能看出来的，所以要先分析找N ，不要把它与综合的证明混淆起来了．4．对于N -ε论证法，不要要求过高，这里只是让学生见识一下就可以了，随着后续内容的学习和多次运用N -ε论证法证题，使学生逐步加深体会、理解并接受．§2.2 函数的极限教学内容：函数的极限，包括当∞→x 时函数)(x f 的极限，当0x x →时函数)(x f 的极限，左极限与右极限，函数极限的性质等．教学重点：当0x x →时函数)(x f 的极限．教学难点：函数极限的δε-定义．教法建议：1．讲授“当∞→x 时函数)(x f 的极限”时，可以从数列极限的N -ε定义出发，结合几何图形，引出当∞→x 时函数)(x f 的极限的M -ε定义．2．通过两个实例引出当0x x →时函数)(x f 的极限的δε-定义，注意讲清在这个过程中变量x 的变化过程以及相应的函数)(x f 的变化过程．3．从0x x →的不同方式引出左极限、右极限的定义．4．教材中关于函数极限的三个定理：定理2.1（当0x x →时函数)(x f 的极限存在的充分必要条件）；定理2.2（局部保号性定理）；定理2.3（局部保不等式性定理）的内容要求学生能熟记，证明只要能接受即可．定理2.1在证明极限不存在时更为方便．注意定理2.2，定理2.3的条件与结论中关于等号的讨论．§2.3 变量的极限，§2.4 无穷大量与无穷小量教学内容：变量的极限，无穷大量，无穷小量，无穷大量与无穷小量的关系，无穷小量的阶等．教学重点：无穷小量的概念及其运算性质．教学难点：无穷小量概念的理解．教法建议：1．在复习∞→n 时数列的极限，∞→x 时函数的极限，0x x →时函数的极限的基础上概括出一般变量极限的定义．讲解过程中要特别注意对“总有那么一个时刻”的概括．这一定义只有对两种变量、三种过程都适用的情况下才能使用．2．对“变量在某一时刻后有界不一定有极限”除课本上的例子外，还可补充以下两例：（1）x x f 1sin )(=在0=x 附近有界，但xx 1sin lim 0→不存在； （2）x x f sin )(=在),(∞+-∞内有界，但x x sin lim ∞→不存在． 3．讲授无穷大量与无穷小量的概念时要注意：无穷大量和无穷小量是相对某一极限过程而言，离开极限过程，不能直接称某一变量为无穷大量或无穷小量；无穷大量和无穷小量都是一个变量，不能认为是一个非常大或非常小的数．4．无穷小量的运算性质：定理2.5, 定理2.6及其推论今后经常用到，要求学生能熟练掌握．5．无穷小量阶的比较，本次课只要学生能接受基本概念，以后再逐步熟悉，并能用于求极限即可．§2.5极限的运算法则教学内容：极限的运算法则，包括极限的加、减、乘、除四则运算法则及其推论，利用变量极限的运算法则求一些变量的极限等．教学重点：利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．教学难点：极限的加、减运算法则（定理2.8）的证明,求未定式极限的技巧.教法建议：1．极限的四则运算法则及其推论的证明不要求学生掌握，关键是通过本节的例题要求学生能熟练正确地利用变量极限的四则运算法则求一些变量的极限．2．例1，例2是直接利用法则求多项式函数的极限．3．例3利用了无穷小量与无穷大量的关系求分式的极限．4．例4、例5、例6总结出求有理函数极限的规律．5．例7、例8开始接触利用初等变形求未定式极限，这里只要让学生认识∞∞,00两种未定式极限即可，初等变形的各种方法可通过作业、习题课再去逐步学习、掌握．6．例9是分段函数．分段函数在分段点处的极限，要分别计算左、右极限，看它们是否相等．§2.6 两个重要的极限教学内容：极限存在的两边夹准则、单调有界准则，1sin lim 0=→xx x ，e n n n =+∞→)11(lim 或e xx x =+∞→)11(lim ，利用两个重要极限求极限等． 教学重点：两个重要极限及利用两个重要极限求极限．教学难点：两个重要极限的证明及其应用．教法建议：1．本节课中两个准则是为证明两个重要极限服务的．在证明两个重要极限时要向学生讲清楚用准则证明极限的步骤与方法，以便今后能正确运用准则证明极限．2．利用两个重要极限，可以求许多00型三角函数式的极限与∞1型幂指函数式的极限，这两个公式在下一章中建立导数公式等方面也有重要的作用．3．公式 1sin lim 0=→xx x 可推广成 1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ，其中)(x ϕ的单位是弧度，分子、分母中的)(x ϕ必须完全相同，当0x x →时，必须0)(→x ϕ（即为00型未定式）． 4．公式e x x x =+∞→)11(lim 可推广成 e x x x =+→)(10)()](1[lim ϕϕϕ，要注意：括号内的式子必须分离出含1的项，剩下的项)(x ϕ必须与指数部分互为倒数，当0x x →时，必须0)(→x ϕ（即为∞1型幂指未定式）．§2.7 函数的连续性教学内容：函数改变量，函数)(x f y =在点0x 处连续，函数)(x f y =在区间],[b a 上连续，函数的间断点，连续函数的运算法则，闭区间上连续函数的性质，利用函数连续性求函数的极限．教学重点：函数连续性的概念，利用函数连续性求函数的极限．教学难点：函数的间断点，闭区间上连续函数的性质．教法建议：1．本次课的教学内容中知识点较多，对以后微积分课程内容的学习影响也较大，但大部分知识点仅作课堂讲解，只要求学生了解，而不要求学生会证明，因此，教师在课堂教学中安排要紧凑、重点应突出．2．为了加深对函数连续性概念的理解，可以简要地列出函数在一点处连续的几种等价的定义．（1）用增量定义：0lim 0=∆→∆y x ； （2）用极限定义：)()(lim 00x f x f x x =→； （3）用δε-定义：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-||0x x 时，总有ε<-|)()(|0x f x f ； （4）用左、右极限推出：)()(lim )(lim )()(0000x f x f x f x C x f x x x x ==⇔∈-+→→．3．注意区分函数极限与连续性的δε-定义中，不等式δ<-<||0a x 与δ<-||a x 的不同点，前者不管)(x f 在a x =处有无定义，均可研究其极限；而后者连续性要求)(x f 在点a x =处必须有定义．4．分段函数的间断点只可能在分段点处．可增加函数间断点分类的内容．5．初等函数的的连续性、闭区间上连续函数的连续性不要求学生知道证明，但要求学生能熟悉它们的内容，并能运用这些性质证明一些简单的命题．习 题 课教学内容：本章知识系统复习．教学重点：函数极限与连续的概念，求极限的方法．教学难点：求未定式极限的方法．教法建议：1．本次课不仅是对第二章极限与连续内容的系统复习，还应在复习的基础上使学生加深对本章基本概念的理解、能系统清晰地掌握本章有关知识与方法．2．本章所学极限过程有：∞→n ，∞→x ，+∞→x ，-∞→x ，0x x →，0x x +→，0x x -→共七种；各种极限结果有：A （有限数）含0（无穷小），∞（无穷大），∞+与∞-共五种，将它们搭配有35种极限形式．课堂上可适当选择一些用N -ε，δε-定义表示，其余的可留给学生课后去练习，以加深对极限概念的理解．3．求（证）极限的方法很多，第四章还要讲用洛必达法则去求（证）极限．本章概括为用初等方法去求（证）极限，可归为以下几种方法：（1）利用极限的定义和性质求（证）极限；（2）利用两个重要极限求极限；（3）利用两个重要准则求（证）极限；（4）用极限的运算法则和初等变形法求未定式极限；（5）进行无穷小量的比较，用等价无穷小代换或无穷小性质求极限；（6）用函数的连续性求（证）极限．4．两个重要极限以及利用两个重要极限求极限是学习的重点之一，为加深学生对它们的理解，并会熟练运用它们求极限，可补充以下例题随堂练习：0sin lim =∞→x x x ； 1sin sin lim 1=→x x x ； 0sin lim =∞→n n n ； nm nx mx x =→sin sin lim 0； 11sin lim =∞→n n n ； 0sin lim =∞→n x n ； ⎪⎩⎪⎨⎧=∞≠=→.0,,0,sin sin lim 0000x x x n x n x xe =+→ααα10)1(lim ； ab c bx x e x a =++∞→)1(lim ；ab c be a =++→ααα)1(lim 0． 5．未定式极限，有00、∞∞、∞⋅0、∞-∞、∞1、00和0∞等类型，这里00和∞∞是最基本的两种，其它的可经过适当的变换化为这两种未定式极限．本章主要要求学生能熟练掌握用分解因式、乘以共轭因式法求前两种未定式极限．6．一般常用的等价无穷小有：当0→x 时，1~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~-+x e x x x x x x ，2~cos 12x x -， x x αα~1)1(-+， )1,0(ln ~1≠>-a a a x a x ．第 二 章 测 评 题一 选择题1．数列n nn x n cos +=的极限是（ ）．A ．0 B. 1 C. -1 D. 不存在2. 设⎩⎨⎧>+≤-=1,31,)(x x x x x f ,⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(3x x x x x g ,则)]([lim 1x g f x →( )． A ．等于1- B. 等于1 C. 等于4 D. 不存在 3. =-+++∞→)2122321(lim 222n n n n n （ ）．A. 0B. ∞C. 21D. 14．设121)(11++=-x x e e x f ，则)(lim 0x f x →（ ）．A ．是∞ B. 不存在 C. 是0 D. 是215．已知0>a ，=--+-+→22lim a x ax a x a x （ ）．A. 1B. 0C.a 21 D. a 21 6. =+--→23)1sin(lim 21x x x x ( )． A. 0 B. ∞ C. 1 D. -17．当0→x 时，αx 与23sin x 为等价无穷小量的充分条件是=α（ ）．A. 2B. 3C. 5D. 68．下列结果错误的是（ ）．A ．e x x x =++∞→2)11(lim B. e xx x =-∞→)11(lim C. e x x x x =+-→22120)1(lim D. e x x x =--→120)1(lim9. 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<=0,20,2sin )(x x x x x x f 在分段点0=x 处（ ）．A ．函数有定义且极限存在 B. 函数无定义极限亦不存在C. 极限存在且且连续D. 极限存在但不连续10. 函数nn x x x f 211lim )(++=∞→,讨论)(x f 的间断点, 其结论为( )． A. 不存在间断点 B. 存在间断点1-=xC. 存在间断点0=xD. 存在间断点1=x二 填空题11．已知当∞→x 时，b ax x x x f --++=11)(2为无穷小量，则=a ，=b ．12．=-+→xx x x 20tan 3sin )121(lim ． 13. 已知21)1(lim =-∞→x x x a ,则=a ． 14. =-→x x x 111lim ．15．函数65||ln )(2-+=x x x x f 的全部间断点共有 个,它们是 ．16．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤<+≤+=x xb x x x a x x f 1,10,10,)(2 在定义区间内连续，则=a ，=b ．三 计算题17．设141151312-+++=n x n ，求n n x ∞→lim ． 18．求)]11()311)(211[(lim 222n n ---∞→ ．19．求)(lim x x x x x --+∞→．20．求xx x x x 530sin 2)cos 1(sin lim+-→．21．求⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ． 22．求xx x e x 20)(lim +→．23．设tt t x x f 21lim )(⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→，求)2(ln f ． 24．求xx x sin 30)21(lim +→．25．判断函数111)(--=x x ex f 的间断点，并说明间断点的类型．26．求⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=-0,0,00,sin )(12x e x x x x xx f x 的连续区间．四 证明题27．利用夹逼准则证明112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n ． 28．设函数)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)()(a g a f >，)()(b g b f <．证明：在),(b a 内至少存在一点ξ，使得)()(ξξg f =成立． 29．证明方程0cos sin =-x x x 在)23,(ππ内至少有一实根． 30．证明方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +．第二章测评题参考答案一 选择题1. B2. D3. C4. B5. C6. D7. D8. B9. D 10. D二 填空题11．1=a ，1-=b 12. 3 13. 2ln =a 14. 1-e 15. 共有3个，它们是6-=x ，0=x ，1=x 16. 1=a ，2=b三 计算题 17．解 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=121121n ， 21lim =∞→n n x ． 18．解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-22211311211n⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n 1111311311211211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n 11311211 •⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 11311211 ⎝⎛=23•34•45•…•1-n n •⎪⎭⎫+n n 1• ⎝⎛21•32•43•…•12--n n •⎪⎭⎫-n n 121+=n •nn n 211+= ． 所以 2121lim )]11()311)(211[(lim 222=+=---∞→∞→n n nn n ．19．解 )(lim x x x x x --+∞→xx x x x x -++=+∞→2lim111112lim=-++=+∞→xx x ．20．解 因0→x 时，x x ~sin ，33~sin x x ，2~cos 12x x -故 xx x x x 530sin 2)cos 1(sin lim+-→52322limx x x x x ⋅+⋅=→221221lim 0=+=→x x ． 21．解 利用夹逼准则有∑∑∑===++≤++≤++ni ni ni n n ii n n in n n i 1212121即 )1(2)1()2(21212+++≤++≤++∑=n n n n i n n i n n ni而 21)2(21lim=++∞→n n n ， 21)1(2)1(lim 2=+++∞→n n n n n所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n 22212111lim 21=． 22．解 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→→→x x x xx x x xx x e x e ex e e x 22020201lim 1lim )(lim22021lim e e x e x x e xe x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=→•412e e =．23．解 x xx tt t t e x t t x x f 22211lim )1(lim )(=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→∞→4)2(ln 2ln 2==e f ． 24．解 xx x x xx x x sin 312210sin 30)21(lim )21(lim ⋅⋅→→+=+6616sin 210])21[(lim e e x xx x x ==+=⨯⋅→．25．解 )(x f 在1=x 及0=x 处无定义，是函数的间断点． 因 111lim 11=--→-x x x e，011lim 11=--→+x x x e，所以1=x 处是)(x f 的跳跃间断点．∞=--→111limx x x e， 所以0=x 处是)(x f 的无穷间断点．26．解 0<x 时，)1(sin )(+=x x xx f ，1-≠x ．0=x 时，111sin lim sin lim )(lim 020=+⋅=+=---→→→x x x xx x x f x ox x ， 0lim )(lim 1==-→→++xx x ex f)(lim 0x f x →不存在，所以)(x f 在0=x 处不连续．0>x 时，)(x f 连续． 综上所述，)(x f 在1-=x 及0=x 点不连续．因此，)(x f 的连续区间为),0()0,1()1,(∞+--∞- ．四 证明题27．证 利用夹逼准则有11211122222+<++++++<+n n nn n n nn n而 1lim2=+∞→nn n n ， 11lim2=+∞→n nn所以 112111lim 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++∞→n n n n n ． 28．证 令)()()(x g x f x F -=，则)(x F 在闭区间],[b a 上连续，且0)()()(>-=a g a f a F ，0)()()(<-=b g b f b F ．由介值定理可知，在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(=ξF ，即0)()(=-ξξg f ，于是有)()(ξξg f =．29．证 令x x x x f cos sin )(-=，则)(x f 在闭区间]23,[ππ上连续，且0cos sin )(>=-=πππππf ，0123cos 2323sin )23(<-=-=ππππf ． 由介值定理，至少存在一点)23,(ππξ∈，使0)(=ξf ，即方程0cos sin =-x x x 在)23,(ππ内至少有一个实根．30．证 令x b x a x f -+=sin )(，则)(x f 在),(∞+-∞上连续，且0)0(>=b f ，0]1)[sin()()sin()(≤-+=+-++=+b a a b a b b a a b a f ．当01)sin(=-+b a 时，b a +就是方程的一个正根．当01)sin(<-+b a 时，0)(<+b a f ，由介值定理，至少存在一点),0(b a +∈ξ，使0)(=ξf ．综上所述，方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个不超过b a +的正根．。
《连续与极限》课件
极限的单调有界定理
单调有界定理是极限运算中的另一个重要定理，它指出如果一个数列是 单调递增（或递减）且有上界（或下界），那么这个数列必定收敛。
单调有界定理的应用也需要证明数列的单调性和有界性，并证明其收敛 性。在应用单调有界定理时，需要注意数列的单调性和有界性的判断。
单调有界定理在研究函数的极限和连续性等方面也有着重要的应用，可 以用来求解一些较为复杂的极限问题。
总结词
收敛数列的性质。
详细描述
数列的极限定义基于一个实数$lim_{n to infty} a_n = L$ ，表示当$n$趋向无穷大时，数列$a_n$趋向于一个常数 $L$。
详细描述
收敛数列具有唯一性、有界性和稳定性等性质，这些性质 在解决实际问题中具有重要应用。
函数的极限
总结词
函数的极限描述了函数在某一点或无穷远点的变化趋势。
泛函分析
泛函分析是数学分析的延伸和发展，涉及到函数空间、算子、泛函等概念。在泛函分析中，连续与极限 的概念被用于研究函数空间的结构、算子的性质以及解决一些与函数空间相关的数学问题。
在实际生活中的应用
金融
在金融领域中，连续与极限的概念被用于描述金融数据的波动和变化，以及预测 金融市场的走势和风险。例如，在期权定价、风险评估和投资组合优化等方面， 连续与极限的概念有着广泛的应用。
03
极限的运算
极限的四则运算
极限的四则运算法则是极限运算的基础，包括加法、减法、乘法和除法等运算。
在进行极限的四则运算时，需要注意运算的优先级和运算顺序，同时要确保各项的 极限都存在。
极限的四则运算法则可以用来求解一些简单的极限问题，也可以为后续的夹逼定理 和单调有界定理等提供基础。
极限的夹逼定理
极限与连续的教学备课与方法总结
极限与连续的教学备课与方法总结教育教学中样样皆重，备课工作尤其重要。
极限与连续是高中数学中的难点，也是许多学生最难理解的部分。
本文将从备课的角度，总结一些教学方法和技巧，帮助老师提高教学效果，让学生更好地理解这些概念。
一、备课前的准备工作在备课之前，老师需要对极限与连续这部分的教材和知识点进行系统的了解和掌握。
首先，需要对这个概念的定义进行深入理解，明确基本概念和运算法则。
其次，需要掌握一些基本的计算方法和技巧。
最后，需要了解一些与这个概念相关的定理和公式，以便在教学中随时使用。
二、教学方法和技巧1. 把握好教学思路在教学中，老师需要抓住核心思想，以简单易懂、生动有趣的方式，进行讲解。
首先，可以通过引入相关应用实例或问题，引起学生的兴趣。
然后，通过引导学生总结规律，从而理解和掌握极限的概念和性质。
最后，需要通过大量的练习，帮助学生巩固和加深理解。
2. 多方位展示教学材料教学中需要多方位地展示教学材料，以帮助学生理解。
可以通过图片、视频、实物等形式来进行展示，加深学生对极限与连续的理解和记忆。
3. 切忌模式化教学教学方法需要多样化，老师需要结合个人特点，培养和挖掘学生的学习潜能。
要避免僵化的教学方式，命令式、枯燥无味的教学，让学生感到极度的厌倦。
4. 多次强调和回顾极限与连续等概念理解需要时间，教师需要多次进行强调和回顾，帮助学生消除疑虑和困惑。
通过多次的课堂互动，帮助学生彻底了解和掌握这些概念。
三、教学实践与案例分析在教学实践中，老师可以利用一些教学案例和题目，帮助学生解决一些实际问题。
通过实践和案例分析，帮助学生理解极限的概念、性质和计算方法，提高学生的解题能力和质量。
四、总结与展望备课工作对教育教学的重要性不言而喻。
极限与连续是高中数学中的难点，但通过科学、合理的备课工作，根据实际情况对教学方法和技巧进行合理的应用，各个方面得到充分发挥，将极限与连续授予给学生会变得更加简单和明了。
同时，在教学实践过程中，老师需要不断总结反思，加强方法和技巧的针对性和实用性，不断完善教学质量，让更多学生受益于高效、优质的教育教学。